(完整word版)量子力学28
(完整word版)《量子力学教程》第二版答案及补充练习
1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长 m 与温度
T 成反比，即 m T=b（常量）；
并近似计算 b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式
vdv
8hv 3
c3
1
hv
dv ，
e kT 1
以及
v c ，
v dv v d ，
有
（1）
J2
i 2m
(
2
* 2
2* )
i [1 eikr 2m r
(1 eikr ) 1 eikr
r r
r
r
(1 r
e ikr
)]r0
i [1 ( 2m r
1 r2
ik
1) r
1 ( r
1 r2
ik
1 r
)]r0
k mr2
r0
k mr3
r
可见， J2与r 反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。
Asin
n a
x
Asin ka 0
10
由归一化条件
(x) 2 dx 1
得
A2
a
sin 2
n
xdx
1
0
a
由
a
sin
b
m a
x sin
n a
xdx
a 2
mn
A 2 a
2 (x)
2 sin n x aa
k2
2mE 2
En
22 2ma 2
n2
(n 1,2,3,) 可见 E 是量子化的。
J1
i 2m
(
1
* 1
1* 1)
基本习题和答案解析量子力学
WORD格式整理量子力学习题(一)单项选择题 1. 能量为100ev 的自由电子的De Broglie 波长是 0 0 0 0 A. 1.2 A. B. 1.5 A. C. 2.1 A. D. 2.5 A. 2. 能量为0.1ev 的自由中子的De Broglie 波长是 0 0 0 0 A.1.3 A. B. 0.9 A. C. 0.5 A. D. 1.8 A. 3. 能量为0.1ev ，质量为1g 的质点的De Broglie 波长是 0A.1.4 A.B.1.9 0C.1.17 10J 2 A.D. 2.04.温度T=1k 时, 具有动能 010J 2 A. 0 A. =—k B T ( k B 2 为Boltzeman 常数）的氦原子的DeBroglie 波长是 0 A.8 A. B. 5.6 5.用 Bohr-Sommerfeld 0 A. 0 A. D. 12.6 0A. A. E n 二 n ，.B.C. 10 的量子化条件得到的一维谐振子的能量为（n 二0,1,2,…） E n = （n ：）；. 2 C. E n =（n 1） ? ■ .D. E n =2n •. 6.在0k 附近，钠的价电子的能量为3ev ，其 0 0A.5.2 A.B. 7.1 A.C. 8.4 De Broglie 波长是 0 A. 7. 钾的脱出功是2ev ，当波长为 最大能量为 A. 0.25 10J 8J. B. 1.25 C. 0.25 1046 J.D. 1.25 0A. D. 9.4 03500 A 的紫外线照射到钾金属表面时，光电子的 10」8J. 10J 6J. 8. 当氢原子放出一个具有频率--的光子，反冲时由于它把能量传递给原子而产生 的频率改变为 h A. . B. 2 . C.2七 2心 9. C ompton 效应证实了A.电子具有波动性.B.C.光具有粒子性.D. -2 '2走.D. PC .光具有波动性• 电子具有粒子性. 10. D avisson 和Germer 的实验证实了 A.电子具有波动性.B.光具有波动性. C.光具有粒子性.D. 电子具有粒子性. U （x ）斗0,0：X7中运动，设粒子的状态由 [°°,x E0,X11.粒子在一维无限深势阱 J(x)二Csin 描写，其归一化常数C 为aA ^r 1. B. . C. .a• a■ a12.设t(x)—(x)，在x-x ，dx 范围内找到粒子的几率为 22.D.13.设粒子的波函数为2A.屮（x, y, z） dxdydz.'■ （x, y,z），在x—x • dx范围内找到粒子的几率为2B.屮（x, y,z） dx.2 2C.( '- (x, y, z) dydz)dx .D. . dx dy dz'- (x, yz)14.设：Mx）和：2（x）分别表示粒子的两个可能运动状态，则它们线性迭加的态c「i（x）dd）的几率分布为2 2A.|汕1 +对2 .2 2 *B. |G屮l| +C2屮2 +C1C2屮1屮2.2 2 *C.k 屮1 +C2 屮2 +2GC2屮1屮2.2 2 * * * *D.- c^;2 +。
量子力学
32
kg m / s
6.63 10 34 x 3.63 10 2 m 1.8 10 32
h x p x
子弹: px 0.01%mvx 10 4 10 10 3 200
～
2.0 10 kg m / s
6.63 10 30 x 3.3 10 m 4 2.0 10
⑵一个沿x轴正向运动,能量为E、动量为p的自由粒子 对应沿x轴正向传播的单色平面波。
Ψ( x, t ) Ae
i (t kx )
Ae
i ( kx t )
Ae
i ( px Et )
Ψ称为波函数 注：实物粒子的波动既不是机械波也不是电磁波， 它被称为“物质波”或“德布罗意波”。 例：m=1g，v=1cm/s的实物粒子
由归一化 : C
能量本征值
由
2＝2mEn k 2
n , k L
n 1,2,3,
得
En
2 2
n2 , 2mL2
• 能量取分立值（能级）→能量量子化
2mL 用不确定关系:△x=L, ∴△p~h/L
E=p2/2m~(△p)2 /2m~h2/2mL2
• 当 n 时，量子化→连续 2 2 0 — 波动性 • 最低能量(零点能) E 1 2
2 2
这样电子无法束缚在原子核中 一般L(粒子运动范围) ＞＞λ是判断微观粒子是否 可作为经典粒子处理的条件。
பைடு நூலகம்
§22-5
一.薛定谔方程
薛定谔方程
i ( px E t )
i ( px Et )
Ae
i EAe t
2
i E
p 2 2 x
(完整word版)波尔理论与量子力学对于氢原子描述的联系与区别
波尔理论与量子力学对于氢原子描述的联系与区别背景：按照经典力学的原理，电子在原子核的库伦场中的运动有加速度时，就会辐射；而发射出来的电磁波的频率等于辐射体运动的频率，原子中的电子轨道具有向心加速度，就应该连续辐射，但这样不符合下列事实：1、量子如果辐射，他的能量就会逐渐降低，电子的轨道就会慢慢缩小，直到碰到原子核湮灭。
那么原子的半径就会只有原子核那么小，显然是不符合事实的。
2、按照电动力学，原子锁发光的频率等于原子中电子运动的频率。
原子辐射时其电子轨道连续缩小，轨道运动的频率就会连续增大，那么发光的频率应该是连续变化的，原子光谱应该是连续谱，但事实并不是这样的。
此时波尔在经典理论的基础上，加入了一些量子化假设：1、定态假设：假设电子围绕原子核做圆周运动时，只能处在一些分立的稳定状态，简称定态。
当电子处在这些状态时，电子做加速运动，但是不辐射能量，因此原子具有稳定能量。
这些能量并不连续，成为能级，2、跃迁假设：电子从一个定态到另一个定态是跳跃式的，成为跃迁。
当原子从高能级定态向低能级定态跃迁时，发出一个光子。
反之，则吸收一个光子。
光子频率由下式确定：3、量子化条件：假设在定态时，电子的轨道角动量也是量子化的，只能取约化普朗克常数的整数倍。
L=nh/2缺陷：波尔理论只是在经典力学中加入了量子化的假设，并未完整的建立量子化系统。
改进：随着实物粒子波粒二象性的本质逐渐被人们了解，量子力学迅速发展。
量子力学中的薛定谔方程，能解出描述粒子在空间各点出现概率的波函数（必须满足单值、有限和连续的条件）。
通过求解，也可以得出粒子能量量子化。
相比较于波尔理论，求解薛定谔方程得出的波函数、角动量量子化和能量量子化并没有做任何假设，而只是根据量子力学的基本原理。
两者区别：1、在波尔理论中，通过定态和能级描述电子在空间某处的最可几概率。
它并没有描述所以电子在空间的分布，而仅仅是得到电子最大概率存在的几个能级。
在量子力学中，通过波函数来描述自由电子在空间各处存在的概率。
量子力学ppt
量子计算和量子通信是量子力学的重要应用之一，具有比传统计算机和通信更高的效率和安全性。
量子计算是一种基于量子力学原理的计算方式，具有比传统计算机更快的计算速度和更高的安全性。量子通信是一种基于量子力学原理的通信方式，可以保证通信过程中的安全性和机密性。这两个应用具有广泛的应用前景，包括密码学、金融、人工智能等领域。
薛定谔方程
广泛应用于原子、分子和凝聚态物理等领域，可以用于描述物质的量子性质和现象。
薛定谔方程的应用
哈密顿算符与薛定谔方程
03
量子力学中的重要概念
是量子力学中的一种重要运算符号，用于描述量子态之间的线性关系，可以理解为量子态之间的“距离”。
狄拉克括号
是一种量子化方法，通过引入正则变量和其对应的算符，将经典物理中的力学量转化为量子算符，从而建立量子力学中的基本关系。
描述量子系统的状态，可以通过波函数来描述。
量子态与波函数
量子态
一种特殊的函数，可以表示量子系统的状态，并描述量子粒子在空间中的概率分布。
波函数
波函数具有正交性、归一性和相干性等性质，可以用于计算量子系统的性质和演化。
波函数的性质
一种操作符，可以用于描述物理系统的能量和动量等性质。
哈密顿算符
描述量子系统演化的偏微分方程，可以通过求解该方程得到波函数和量子系统的性质。
量子优化
量子优化是一种使用量子计算机解决优化问题的技术。最著名的量子优化算法是量子退火和量子近似优化算法。这些算法可以解决一些经典优化难以解决的问题，如旅行商问题、背包问题和图着色问题等。然而，实现高效的量子优化算法仍面临许多挑战，如找到合适的启发式方法、处理噪声和误差等。
量子信息中的量子算法与量子优化
解释和预测新材料的物理性质，如超导性和半导体性质等。
(完整word版)量子场论讲义1-4
第一章 预备知识§1 粒子和场以现有的实验水平,确认能够以自由状态存在的各种最小物质，统称为粒子。
电子、光子、中子、质子等是最早认识的一批粒子，陆续发现了大量的粒子、介子和共振态，粒子的数目达数百种,它们是物质存在的一种形式.场是物质存在的另一种形式,这种形式主要特征在于场是弥散于全空间的，全空间充满着各种不同的场,它们互相渗透和相互作用着。
按量子场论观点，每一种粒子对应一种场,场的激发表现为粒子的出现,不同激发态表现为粒子的数目和状态不同，场的退激发，表现为粒子的湮沒.场的相互作用可以引起激发态的改变，表现为粒子的各种反应过程，也就是说场是物质存在的更基本的形式，粒子只是场处于激发态时的表现. 1。
四种相互作用目前已确定的粒子之间的相互作用有四种，即在经典物理中人们早已认识到了的引力相互作用和电磁相互作用，以及在原子核物理的研究中才逐步了解的强相互作用和弱相互作用。
四种相互作用的比较见表1。
1表1.1 四种相互作用的比较 1510- 1810-介子 胶子Z W W -+π＋ p ν p电磁相互作用的强度是以精确结构常数2317.2973104137.036e cαπ-===⨯来表征的，可以同时参与四种相互作用的粒子（例如质子p ）为代表，通过典型的反应过程的比较研究,确定各种作用强度的大小。
2. 粒子的属性不同粒子有不同的内禀属性，这些属性不因粒子产生的来源和运动状态而改变。
最重要的属性有:质量m ，粒子的质量是指静止质量，以能量为单位，它和能量E 和动量→P 的关系为42222c m c p E =-电量Q ，粒子的电荷是量子化的,电荷的最小单位是质子的电荷。
自旋S,粒子的自旋为整数或半整数,如π介子的自旋为0，电子的自旋为1/2 ，矢量介子的自旋为1。
平均寿命τ，粒子从产生到衰变为其它粒子所经历的时间称为粒子的寿命。
由于粒子的寿命不是完全确定值，具一定的几率分布，如果0N 个相同粒子进行衰变，经过时间t 后还剩下N 个，则teN N τ10-=，式中τ即为粒子的平均寿命。
量子力学ppt课件
一粒沙里有一个世界 一朵花里有一个天堂 把无穷无尽握于手掌 永恒宁非是刹那时光 (荷兰，乌仑贝克，1925年电子自旋发现者）
一． 黑体辐射问题
黑体：一个物体能全部吸收辐射在它上面的电磁波而无反 射。 热辐射：任何物体都有热辐射。 当黑体的辐射与周围物体处于平衡状态时的能量分布：
热力学+特殊假设→维恩公式, (长波部分不一致). 经典电动力学+统计物理学→瑞利金斯公式（短波部分完 全不一致） 二．光电效应
光照在金属上有电子从金属上逸出的现象，这种电子叫光 电子。光电效应的规律： （1）存在临界频率 ； （2）光电子的能量只与光的频率有关，与光强无关，光 频率越高，光电子能量越大，光强只影响光电子数目。光 强越大，光电子数目越多。
1921诺贝尔物理学奖
• A.爱因斯坦 • 对现代物理方面的
贡献，特别是阐明 光电效应的定律
二、爱因斯坦光量子理论
爱因斯坦在普朗克能量子论基础上进一步提出光量 子（或光子）的概念。辐射场是由光量子组成的，光 具有粒子特性，既有能量，又有动量。
光是以光速 c 运动的微粒流，称为光量子（光子）
光子的能量 h 说明光具有微粒性
m m0
1
v2 c2
h
n
c
h 0
c
n0
X
mv
0
2h m0c
sin2
2
康普顿散射公式
c
h m0c
量子力学入门(最全版)PTT文档
象，这是和而“微测粒说量”不结相容果的。显示电磁波的速度非常的接近于光速。也就是 1874年，乔说治·强，斯顿光·史也东尼是首次一提出种了电电荷的磁概念波，它。是带亨电体里的基克本量·，赫不能兹再被制拆分作成更了小的一部分个。 能够产
生低于可见光频率的电磁波（现在我们称之为微波）的仪 器。早期研究的争议在于如何解释电磁辐射的本质，一些 人认为这是因为其的粒子性，而另一些人宣称这是一种波 动现象。在经典物理里，这两种思想是完全相悖的。
• 不久之后的一些实验现象如光电效应，只能把光看作“一 这个被称为紫外灾难的结果显然是错的。
不久之后的一些实验现象如光电效应，只能把光看作“一份一份”的或是将其量子化才能得到合理的解释。
•
• 不同温度下的黑体所辐射出的总能量和峰值波长。经典电磁理论过份 高估增强幅度，特别是短波长的部分。瑞利－金斯定律符合实验数据 中的长波长部分。但在短波长部分，经典物理预测炽热物体所发射出 的能量会趋于无穷大。这个被称为紫外灾难的结果显然是错的。
• 第一个能够完整解释热辐射光谱的模型是由马克斯·普朗克于1900年 提出的普朗克把热辐射建立成一群处于平衡状态的谐振子模型。为了 符合实验结果，普朗克不得不假设每一个谐振子必定以自身的特征频 率为能量单位的整数倍，而不能随意发射出任意量的能量。也就是说， 每一个谐振子的能量都经过“量子化”。每一个谐振子的能量量子与 谐振子的频率成一比例，这个比例常数就称为普朗克常数。普朗克常 数的符号为h，其值为 6.63×10−34 J s，频率f的谐振子能量E为
峰值频率和辐射源的温度有关）后再逐渐衰减至零。
如果我们知还道“是h”和理光子论的频上率，，就能牛用这顿个方的程计理算出论光子都的能失量。去了以往的地位。
量子力学答案完整版周世勋第三版
pdq nh
其中 q 是微观粒子的一个广义坐标，p 是与之相对应的广义动量，回路积分是沿运动轨道积 一圈，n 是正整数。
（1）设一维谐振子的劲度常数为 k，谐振子质量为μ，于是有
E p2 1 kx2 2 2
令k2
2mE 2
，得
d
2 2 (x) dx 2
k
2
2
(x)
0
其解为 2 (x) Asin kx B cos kx
④
根据波函数的标准条件确定系数 A，B，由连续性条件，得
2 (0) 1 (0) ⑤
2 (a) 3 (a) ⑥
⑤ B0
⑥
A0
sin ka 0
ka n (n 1, 2, 3,)
由归一化条件
∴ 2 (x)
Asin
n a
x
(x) 2 dx 1
得
A2
a
sin 2
n
xdx
1
0
a
由
a
sin
b
m a
x sin
n a
xdx
a 2
mn
A 2 a
2 (x)
2 sin n x aa
Asin ka 0
.专业 WORD.
.
k2
2mE 2
En
22 2ma 2
n2
(n 1,2,3,) 可见 E 是量子化的。
由此可求得相应的λ的值，记作 m 。但要注意的是，还需要验证 对λ的二阶导数在 m
处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的 m 就是要求的，具体如下：
'
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第五章习题课
1．设一维谐振子的哈密顿算符为(0)ˆH
，再加上微扰2ˆH gx '=,系统的哈密顿算符为 2(0)
222122p H H
H x gx μωμ⎛⎫
'=+=++ ⎪⎝⎭
试用微扰法求能量近似值。
解：(0)(0)(0)(0)ˆn n n
H E ψψ= (0)12n E n ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
(1)
2222212(21)221(21)22n nn
E H n H n
g n x n x n n n n g
g n n α
ωαμω''===⎤↓=-+++⎦⎛
⎫=+=+⋅ ⎪⎝
⎭ 2
2
2(2)/
2/
(0)(0)(0)(0)
2
2,2,,22222222,2,2(0)(0)(0)(0)422
21(21)2(1)(1)(2)4224mn
mn n m
m
n m n m mn m n m n m n n n n n n n n n x H E g E E E E x m x n n x x g n n n n g E E E E g δα
αωω-+-+-+'==--⎤↓==
+++⎦⎛⎫-++⎡⎤ ⎪=+=-⎢⎥ ⎪--⎣⎦⎝⎭=-∑∑2424
421222n g n ωαωμω+⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝
⎭
所以
2(0)
(1)(2)2
241122n n
n n
g g E E
E E
n ωμωμω⎛⎫⎛
⎫=++=++- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ 实际上
222222
22221121222222
p p g p H x gx x x μωμωμωμμμμ⎛⎫'=++=++=
+ ⎪⎝⎭ 所以
2
112122n g E n n ωωμω⎛⎫⎛
⎫'=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ 展开式的前三项正是微扰法的结果。
2．在(0)H 表象中，若哈密顿算符的矩阵形式为
(0)1(0)
2E a b H b E a ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦
其中，a 、b 为小的实数,且(0)(0)
12E E ≠。
求能量至二级修正，并与精确解作比较。
解：(0)(0)
(0)11(0)
(0)2200
a b E a b E H H H b a b E a E ⎡⎤⎡⎤+⎡⎤
'==+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦
⎣⎦⎣⎦ 因为
2
(0)
/(0)(0)mn n n nn
m
n m H E E H E E ''=++-∑ 所以
2(0)
11
(0)
(0)12b E E
a E E =++- 2(0)
22(0)(0)
21
b E E a E E =++- 下面求能量的精确解.能量的本征方程为
(0)111(0)
222c c E a b E c c b
E a ⎡⎤+⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 久期方程
(0)1(0)
2
0E a E
b b
E
a E
+-=+-
(0)(0)12(0)(0)(0)(0)12212(0)(0)(0)(0)1221(0)
(0)2211(2)211(2)(22112(2)()122()E E E a E E a E E b E E a E E E E =++±=
++±-⎡⎤≈++±-+⎢⎥-⎣⎦
所以
22(0)(0)(0)(0)(0)
112211(0)(0)2(0)
(0)
2112112(2)()122()b b E E E a E E E a E E E E ⎡⎤=++--+=++⎢⎥--⎣⎦ 22(0)(0)(0)(0)(0)
212212(0)(0)2(0)
(0)
2121112(2)()122()b b E E E a E E E a E E E E ⎡⎤=+++-+=++⎢⎥--⎣⎦
3．设哈密顿算符的矩阵形式为
1030002H λ
λλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
求其精确的本征值；若1λ
，求其本征值至二级近似。
解：先求精确解： 久期方程
10
3000
02E E E
λλ
λ--=--
2121E λ=-+ 2221E λ=++ 32E λ=-
再求近似解：
(0)
1000
00300
00020
H H H λ
λλ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥'=+=+⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
2
22101
101131(2)2
E λλ=+++=----
2
22201
303313(2)2
E λλ=+++=+---
22
300222123
E λλ=-+++=-----
显然，它是精确解的近似.
4．一个一维无限深势阱如图所示，在0x =和x L =处有两个无限高壁，两个宽为a 、高为0U 的小微扰势垒中心位于/4x L =和3/4x L =处，a 是小量(例如/100a L ）。
试用一级微扰论计算修正后的基态能量值及2n =和4n =的能级差。
解：一维无限深势阱的本征解为
222
(0)2
2n
n E
L
πμ= (0)2()sin
n n x
x L L
πψ=
(1,2,3,n =）
微扰势为
33,424242420
L a L a L a L a
U x x H x ⎧
-<<+-<<+⎪'=⎨⎪⎩取其它值
一级微扰下，能级修正值为
/4/23/4/2(1)*(0)(0)
22000/4/23/4/2000000
022sin sin 2223cos cos sin cos cos sin
22222(1)sin 2221
L
L a L a n nn n n L a L a k U U n x n x
E H H dx dx dx
L L L L U a U U a U n n n a n n a n L n L L n L U a U k a n k L k L
U a n k L
ππψψππππππππππ++--''===
+⎡⎤=-+=-⎢⎥⎣⎦
⎧--==⎨
=+⎰⎰⎰⎪⎪⎪⎪⎩ 能量近似值
(0)(1)
n n n
E E E =+ 基态能量近似值
22(0)
(1)
011
1
2
22U a
E E
E L L
πμ=+=+
2n =和4n =的能级差
2222000022
22022216442sin sin 2226142sin sin 2
U a U U a U a a E L L L L L L U a a L L L ππππμπμππππμπ⎛⎫⎛⎫∆=+--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 当a
L 时，有
3
22002
42063U a U a E L L L ππμπ⎛⎫
∆=-+ ⎪⎝⎭
其中用到了35
sin (0)3!5!
x x x x x =-+-
→。