量子力学习题解答-第5章
量子力学答案(第二版)苏汝铿第五章课后答案5.1-5#7
r r0 r r0
2 1 r2 3 Ze Ze 3 , ' H eV r r 2 r 2 r 0 0 r 0,
2
r r0 r r0
将其视为微扰。类氢离子中 1s 轨道电子波函数为
2
D
l 0 , m
2
l|m c o s | 0 / E 0
l E
由于
cos Y00
1 Y10 3
根据球谐函数的正交性可知，能量二级修正中只有 l 1, m 0 有贡献。
所以
E0 D 1 0 | c o s
2
2
| 00 E 0/ E
2
1
2
/ 2I ,
l 0,1, 2...
对确定的 l ， m 0, 1, 2,..., l ，即能级的简并度为 2l 1 。 定理：某能级 En 非简并时， H 和宇称算符 具有共同本征矢 n 。 因而，
n r n n r n n r n n r n
07QMEx5.1-5.3 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为 r0 ，电荷分布的小球，计算这种效应对类
5.1
氢原子基态能量的一级修正。 解： 由电磁学知球形电荷分布的静电势为
Ze 3 1 r 2 , r0 2 2 r02 V (r ) Ze , r
Z 1s R10Y00 a0
3/ 2
2e
Zr a0
1 4
2 Zr a0
1s 能级的一级修正为
E1s 1s H 1s
'
1
量子力学课后习题
第一章 绪论1. 在0K 附近，钠的价电子能量约为3电子伏，求其德布洛意波长。
2. 氦原子的动能是32E kT =（k 为玻耳兹曼常数），求T =1K 时，氦原子的德布洛意波长。
3. 利用玻尔-索末菲的量子化条件，求 （1） 一维谐振子的能量；（2） 在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。
4. 两个光子在一定条件下可发转化为正负电子对。
如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 第二章 波函数和薛定谔方程1. 证明在定态中，几率密度和几率流密度与时间无关。
2. 由下列两定态波函数计算几率流密度:（1）11ikr e rψ=，（2）11ikr e rψ-=3. 求粒子在一维无限深势阱 中运动的能级和波函数。
4. 证明（2.6-14）式中的归一化常数是5. 求一维线性谐振子处于第一激发态时几率最大的位置。
6. 试求算符ˆix dFie dx=-的本征函数。
7. 如果把坐标原点取在一维无限深势阱的中心，求阱中粒子的波函数和能级的表达式。
0,2(),2a x U x a x ⎧≤⎪⎪=⎨⎪∞≥⎪⎩⎩⎨⎧≥≤∞<<=a x x ax x V 或0,0,0)(aA 1='第三章 量子力学中的力学量1. 一维线性谐振子处于基态，求: （1）势能的平均值； （2）动能的平均值； （3）动量的几率分布函数。
2. 氢原子处于基态()0,,ra r ψθϕ-=，求： （1）r 的平均值；（2）势能2e r-的平均值；（3）最可几半径； （4）动能的平均值； （5）动量的几率分布函数。
3. 一刚性转子转动惯量为I ，它的能量的经典表示式是22L H I=，L 为角动量。
求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数： （1）转子绕一固定轴转动； （2）转子绕一固定点转动。
4. 一维运动的粒子的状态是⎩⎨⎧=-0)(xAxe x λψ 00<≥x x 其中0>λ，求（1）粒子动量的几率分布函数； （2）粒子的平均动量。
量子力学第五章习题
第五章 微扰理论5.1 如果类氢原子的核不是点电荷,而是半径为0r ,电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。
解: 这种分布只对0r r <的区域有影响, 对0r r ≥的区域无影响. 根据题意知()()0ˆHU r U r '=- 其中()0U r 是不考虑这种效应的势能分布, 即()2004ze U r rπε=-()U r 为考虑这种效应后的势能分布, 在0r r ≥的区域为()204ze U r rπε=-在0r r <的区域, ()U r 可由下式()r U r e Edr ∞=-⎰其中电场为()()30233000002014,443434Ze Ze r r r r r r r E Ze r r r ππεπεππε⎧=≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩则有:()()()()22320002222222000330000001443848r rr r rr U r e Edr e EdrZe Ze rdr dr r r Ze Ze Ze r r r r r r r r r πεπεπεπεπε∞∞=--=--=---=--≤⎰⎰⎰⎰因此有微扰哈密顿量为()()()()222200300031ˆ220s s Ze r Ze r r r r r H U r U r r r ⎧⎛⎫--+≤⎪ ⎪'=-=⎨⎝⎭⎪>⎩其中s e =类氢原子基态的一级波函数为()(321001000003202exp 2Zra R Y Z a Zr a Z ea ψ-==-⎫=⎪⎭按定态微扰论公式,基态的一级能量修正值为()()()00*00111110010032222222000000ˆ131sin 4422Zrr a s s E H Hd Ze Ze Z r d d e r dr a r r r ππψψτϕθθπ-''==⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰00322222430000031422ZrZr Zr r r r a a a s Z Ze e r dr e r dr erdr a r r ---⎛⎫⎛⎫=---⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰ 完成上面的积分,需要作作三个形如0b m y y e dy -⎰的积分,用分部积分法,得00002220002222000000022112222Zr Zr r a a y Zr Zr a a a erdr ye dyZ a Zr a a a e e r Z a Z Z Z ----⎛⎫= ⎪⎝⎭⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-+-=-++⎢⎥⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎰⎰00002222332200000002322000000222222222222Zr Zr Zrr a a a y Zr a a a Zr Zr er dr y e dy e Z Z a a a a a a er r Z Z Z Z ----⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎢⎥==-++-⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰0000225440002500000000040002222224242412422424222Zr Zrr a a y Zr a a er dr y e dyZ a Zr Zr Zr Zr e Z a a a a a a a Z Z Z ---⎛⎫= ⎪⎝⎭⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎢⎥ ⎪=+--+++ ⎪ ⎪⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎩⎭⎛⎫⎛⎫⎛=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰0002325234000000025234432000000000023412424222233324222Zr a Zr a a a a r r r r e Z Z Z a a a a a a r r r r e Z Z Z Z Z Z --⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭我们可以计算11E ,0000003232122000010020025234432000000000032340203422222233312422222Zr a s Zr a Zr a a a a a Z E Ze e r r a r Z Z Z Z a a a a a a r r r r e r Z Z Z Z Z Z a e Z ---⎧⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪=--+++⎢⎥⎨ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎪⎣⎦⎩⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫-- ⎝00200022222000223230000022333332222Zr a ssa a r Z Z a a a Z Ze e Ze r Zr Z r r Z r a -⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎪++⎢⎥⎬⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎪⎣⎦⎭⎛⎫⎛⎫=-++--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭但是既然是近似计算,我们再适当地作一次近似.氢原子的半径约为13~10r cm -, 而80~10aa cm Z -=.所以有5213510821010~110r a r e e a ------=≈≈ 于是022223222212522001003333000004314311222232525rrs s s s s a s Ze Ze Ze r Ze Ze r r E er dr r Ze r a r r r a r r a -⎡⎤⎛⎫⎡⎤=--+=-++=⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎰这就是基态能量的一级修正.而准确到一级近似的能量为()()222222222000011113220024411252525s s s s Ze Ze r Ze r Z e Z r E EEa a a a a a ⎛⎫⎛⎫=+=-+=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5.2 转动惯量为I ，电偶极矩为D 的空间转子处在均匀电场E 中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的一级修正。
量子力学答案(第二版)苏汝铿第五章课后答案5.16-5#7 @
批注 [JL3]: 对于固定初末态（即具有固定的 m 与 m ）的跃迁，不需要求和。
2 3
8
2 me10 3 c3 6
8
2 me10 3 c3 6
8
me10 28 me10 c3 6 37 c3 6
The transition coefficient is
...
氢原子的初态（k 态）的波函数是： 100 ，末态（ k ' 态）的波函数是 21m ： 1s 态
100
1
a3
1
e
r a
（1）
r
2s 态
200
211
r ( 2 )e 2 a 3 a 32a
r ( )e 2 a sin e i 8 a 3 a r ( )e 2 a sin e i 8 a 3 a r ( )e 2 a cos 32a 3 a
0
i
t
(ez ) k 'k (ez ) k 'k
t o
e
1 [ i ( ' k ) ]t
k
dt t
（7）
0
i
e
t [ i ( ' k ) t ]t
k
i (k ' k )
0
i [(k ' k ) ]
1 t 0
(ez ) k 'k
| r k 'k
|
2
|
x | | y | | z
量子力学答案(第二版)苏汝铿第五章课后答案5.13-5#11
0
2 2 2 0 0 0 0 0 2 2 2
5.14 一根长度为 d 质量均匀分布的棒可绕其中心在一平面内转动，棒的质量为 M ，在棒的 两端分别有电荷＋Q 和－Q。 （i）写出体系的哈密顿量，本征函数和本征值； （ii）如果在转动平面内存在一电场强度为 的弱电场，准确到一级修正，他的本征函数和 能量如何变化？ （iii）如果这个电场很强，求基态的近似波函数和相应的能量值。 解： （i）该系统的哈密顿量为 H 式中 I
0
1
m1
n
n H' m Em 0 En 0
n H' m
1 2
2
dE cos e
0
i m n
d
1 1 dE 2 m n 1,0 m n 1,0 2 2 1 dE m n 1,0 m n 1,0 2
式中用了 k
0
0
0
取到 的一阶
B 0 C
0
的完备性
k
0 0
kLeabharlann k 1（ii）根据已给的条件
3 P2 1 H 0 i m 2 xi 2 , H ' x3 2 i 1 2m
可看出相应的 A
m
P3
2
, 它使 H ' i A, H 0 x3
计算 xi 在基态的平均值 xi
i 1, 2,3 至 的最低阶，并将这个结果和精确解相比较。
0
解： （i）设系统非微扰的本征态及对应的能量分别为 k 即 H0 k
0
, Ek 0
Ek 0 k
曾谨言量子力学习题解答第五章
第五章： 对称性及守恒定律［１］证明力学量Aˆ（不显含t ）的平均值对时间的二次微商为： ]ˆ],ˆ,ˆ[[222H H A A dtd -= （H ˆ是哈密顿量） （解）根据力学量平均值的时间导数公式，若力学量Aˆ 不显含t ，有]ˆ,ˆ[1H A i dt A d= （１） 将前式对时间求导，将等号右方看成为另一力学量]ˆ,ˆ[1H A i的平均值，则有： ]ˆ],ˆ,ˆ[[1]ˆ],ˆ,ˆ[1[1222H H A H H A i i dt A d -== （２） 此式遍乘2即得待证式。
［２］证明，在不连续谱的能量本征态（束缚定态）下，不显含t 的物理量对时间t 的导数的平均值等于零。
（证明）设Aˆ是个不含t 的物理量，ψ是能量H ˆ的公立的本征态之一，求A ˆ在ψ态中的平均值，有：⎰⎰⎰=ττψψd AA ˆ* 将此平均值求时间导数，可得以下式（推导见课本§5.1）⎰⎰⎰-≡=ττψψd A H H A i H A i dt A d )ˆˆˆˆ(*1]ˆ,ˆ[1 （１） 今ψ代表Hˆ的本征态，故ψ满足本征方程式 ψψE H=ˆ （E 为本征值） （２） 又因为Hˆ是厄密算符，按定义有下式（ψ需要是束缚态，这样下述积公存在） τψψτψψτd AHd A H ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=)ˆ(*)ˆ()~(ˆ* （３）（题中说力学量导数的平均值，与平均值的导数指同一量）（２）（３）代入（１）得：τψψτψψd A H id H A i dt A d )ˆ(*)ˆ(1)ˆ(ˆ*1⎰⎰⎰⎰⎰⎰-= ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=τψψτψψd A iE d A i E ˆ**ˆ* 因*E E =，而0=dtAd［３］设粒子的哈密顿量为 )(2ˆˆ2r V p H +=μ。
（１） 证明V r p p r dtd ∀⋅-=⋅μ/)(2。
（２） 证明：对于定态 V r T ∀⋅=2（证明）（１）z y x p z p y p xp r ˆˆˆˆˆˆ++=⋅，运用力学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律： ]ˆ,ˆˆ[1)ˆˆ(H p r i p rdt d⋅=⋅)],,(ˆ21,ˆˆˆˆˆˆ[]ˆ,ˆˆ[2z y x V pp z p y p x H p r z y x +++=⋅μ)],,()ˆˆˆ(21,ˆˆˆˆˆˆ[222z y x V p p p p z p y p xz y x z y x +++++=μ)],,(,[21],ˆˆˆˆˆˆ[222z y x V zp yp xp p p p p z p y p xz y x z y x z y x +++++++=μ（２） 分动量算符仅与一个座标有关，例如xi p x ∂∂= ，而不同座标的算符相对易，因此（２）式可简化成：]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[222z z y y x x p p z p p y p p x H p rμμμ++=⋅ )],,(,ˆˆˆˆˆˆ[z y x V p z p y p xz y x +++],ˆˆ[],ˆˆ[],ˆˆ[]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21]ˆ,ˆˆ[21222V p z V p y V p xp p z p p y p p x z y x z z y y x x +++++=μμμ （３）前式是轮换对称式，其中对易算符可展开如下：x x x x p x pp x p p x ˆˆˆˆˆ]ˆ,ˆˆ[232-= x x x x x x p x p p x p p x p p xˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ2223-+-= x x x x x p p x p p p xˆ]ˆ,ˆ[ˆˆ]ˆ,ˆ[2+= 222ˆ2ˆˆx x x p i p i pi =+= （４） ],ˆ[ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ],ˆˆ[V p x p V x V p x p x V V p x V p xx x x x x x =-=-= xVx i ∂∂=ˆˆ （５） 将（４）（５）代入（３），得：}{)ˆˆˆ(]ˆ,ˆˆ[222zV z y V y x V x i p p p i H p r z y x ∂∂+∂∂+∂∂+++=⋅ μ}ˆ{2V r pi ∀⋅+=μ代入（１），证得题给公式：V r pp r dt d ∀⋅-=⋅ μ2ˆ)( （６） （２）在定态ψ之下求不显含时间t 的力学量A ˆ的平均值，按前述习题２的结论，其 结果是零，令p r Aˆˆˆ ⋅= 则0)ˆˆ(*2=∀⋅-=⋅=⋅⎰⎰⎰V r p d p r p r dt d τμτψψ （７）但动能平均值 μτψμψτ22ˆ*22p d p T =≡⎰⎰⎰由前式 V r T ∀⋅⋅=21［４］设粒子的势场),,(z y x V 是z y x ,,的n 次齐次式证明维里定理（Ｖirial theorem ） T V n 2= 式中Ｖ是势能，Ｔ是动能，并应用于特例：（１）谐振子 T V = （２）库仑场 T V 2-=（３）T V n Cr V n2,==（解）先证明维里定理：假设粒子所在的势场是直角坐标),,(z y x 的n 次齐次式，则不论n 是正、负数，势场用直角痤标表示的函数，可以表示为以下形式，式中Ｖ假定是有理函数（若是无理式，也可展开成级数）：∑=ijkkj i ijk z y x C z y x V ),,( （１）此处的k j i ,,暂设是正或负的整数，它们满足：n k j i =++ （定数）ijk C 是展开式系数，该求和式可设为有限项，即多项式。
量子力学答案(第二版)苏汝铿第五章课后答案5.4-5#3
b2 (0) E1(0) E2
b2 a (0) E2 E1(0)
(3) '
（ii）严格求解法： 这就是根据表象理论，分立表象中，本征方程可以书写成矩阵方程式形式，并可以求得本征 值和本征矢（用单列矩阵表示） 。 我们设算符 H（1）具有本征矢
C1 ，本征值是 ，列矩阵方程式： C2
E1(0) 解 : （i）取 H 0 0 0
'
0 E1(0) 0
0 0 (0) E2
（ 3）
0 a 0 0 b 则有： H H H 0 0 * * 0 b a
本题的微扰矩阵（3）是简并的波函数（零级）计算得来的，若像无简并微扰论那样计算二 级能量修正是可能的，但近似程度差，从（3）看出一级能量修正为零，准确到二级修正量 的能量本征值是：
1
, f n ,代入(1)式中,得
到与 En 相应的零级波函数的系数.从而给出零级波函数和能量本征值的一级修正,
0 0 n a n
En En En
0 1
考虑 的系数,讨论第 n 个能级.
2
当 m n 时,得到能级的二级修正 E
(5)
C1 C2 1
2
2
(6)
（5）式有 C1C2 非平凡解的条件是：
E1( 0) a b E
( 0) 2
b a
0
(0) ( E1( 0) a )( E 2 a ) b2 0 ( 0) (0) E ( 0) E 2 ( E1( 0) E 2 ) a 1 b2 2 2 2
0 0 1 2
量子力学习题解答
i
Et）*
*
(r)e
i
Et
（
(r)e
i
Et）]
2m
i [ (r) *(r) *(r) (r)]
2m
可见
J与t
无关。
量子力学 盛忠志主讲
2.2 由下列定态波函数计算几率流密度：
(1) 1
1 e ikr r
(2) 2
1 e ikr r
从所得结果说明 1 表示向外传播的球面波，
2
表示向内(即向原点)
证：在一维势场中运动的粒子的定态 S-方程为
2 2m
d2 dx2
(x)
U
( x)
(x)
E
(x)
①
将式中的 x以(x) 代换，得
2 2m
d2 dx2
(x)
U
(x)
(x)
E
(x)
②
利用U (x) U (x) ，得
2 2m
d2 dx2
(x)
U (x)
(x)
E
(x)
③
量子力学 盛忠志主讲
比较①、③式可知， (x)和 (x) 都是描写在同一势场作用下的
d
8h 3 c3
1
h
d ，
ekT 1
及
c
、 d
c 2
d
得
8hc 5
1hc，ek Nhomakorabea 1令 x hc ，再由 d 0 ，得 .所满足的超越方程为
kT
d
5 xex ex 1
用图解法求得 x 4.97 ，即得 hc 4.97 ，将数据代入求得
m k T
mT b, b 2.9 10 3 m0 C
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第五章
全同粒子
本章主要内容概要
1. 全同粒子：质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子称为全同粒子。
在一个量子体系中全同粒子是不可区分的，两全同粒子相互交换不会引起物理性质的改变（全同性原理）。
所有的微观粒子可以分为两类：波色子和费米子。
所有自旋为 整数倍的粒子称为波色子，而所有自旋为/2 奇数倍的粒子称为费米子。
由费米子组成的量子体系，不能有两个或两个以上的费米子处于同一个状态（泡利不相容原理），体系的波函数在交换任意两个费米子时是反对称的。
对由波色子组成的量子体系，则不受泡利不相容原理的限制，两个或两个以上的波色子可以处于同一个状态，体系的波函数在交换任意两个波色子时是对称的。
如果体系的波函数可以由归一化的单粒子波函数()i q αφ的积表示，其中i 表示不同的单粒子态，q α表示第α个粒子的量子数（包括空间与自旋），则由N 个费米子组成体系的反对称波函数可以用N 阶行列式表示为
12121212()
()()()()()(,,...,,...,)()()()
i i i N j j j N A N k k k N q q q q q q q q q q q q q αφφφφφφΦ=
交换任何两个粒子就是交换行列式中的两列，这使行列式改变符号，即波函数A Φ在交换两粒子时是反对称的。
当任两粒子处于相同状态，即行列式中两行相同，行列式为零，表示不能有两个或两个以上的费米子处于同一个状态。
对由N 个波色子组成的体系，体系的对称波函数可以表示为 1212(,,...,,...,)()()...()A N i j k N P
q q q q C P q q q αφφφΦ=∑
其中P 表示N 个粒子在波函数中的某一种排列，P
∑表示对所有可能排列求和，由于波色
子可以处于相同的状态，,,...,i j k 可以相等，C 是归一化常数为求和的项数，,,...,i j k 完全相等时为1
，全不相等时为1/
2.交换力：以两粒子体系为例，若体系的波函数可以表示为空间部分和自旋部分之积，对称和反对称的空间波函数为
121212(,)()()()()]a b b a x x x x x x ψψψψψ±=±
这种波函数对称化的要求会使两粒子间出现一种力的作用，称为交换力。
对对称空间波函数这个力是吸引力，倾向于把两粒子拉近；对反对称空间波函数，这个力是排斥力，倾向于让两粒子相互远离。
固体中属于不同原子的两个电子组成的共价键可以由这种力解释，两电子体系的波函数是反对称的，当两个电子的自旋波函数为反对称的自旋单态时，空间波函数必是对称的，所以这种状态下的两个电子倾向于相互靠近，形成共价键。
3. 元素周期表：原子中一个单粒子态(),,n l m 称之为轨道，因为电子是费米子，受到泡利不相容原理的制约，一个轨道上只能有两个电子（一个自旋向上，一个自旋向下）。
当原子处于基态时，电子将从最低能态开始依据洪特定则依次填充。
1n =这个壳层能容纳两个电子，2n =壳层能容纳8个，3n =容纳18个，第n 个壳层可以容纳2
2n 个电子。
（洪特第一定则：在其它量都相同时，总自旋（S ）取最大值的状态的能量最低。
第二定则：当
自旋给定时，总轨道角量子数（L ）取最大值且同整体的反对称性一致时，将具有最低的能量。
第三定则：如果次壳层（n ，l ）填充不到一半，则能量最低态满足：J=L-S ；如果填充超过一半，则J=L+S 态能量最低。
）一般以
21
S J L +表示原子电子组态，其中S 为电子总自
旋角动量，L 为总轨道角动量，J 为总角动量量子数。
习题5.7 解：（a ）可分辨粒子
()()()()123123,,a b c x x x x x x ψψψψ=
（b ）全同玻色子
(
)()()()()()()()()()()()()()()()()()()123123123123123123123,,a b c a c b b a c b c a c b a c a b x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ψψψψψψψψψψψψψψψψψψψ=+++++⎤⎦
（c ）全同费米子
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=
--+-+⎤⎦
习题5.33 解：
（a ）对于可分辨例子，三个粒子都可以处于任意一个态，所以总共会有3327=个可能三粒
子态。
列出如下：
（b ）当粒子为全同玻色子时，要求波函数满足交换对称性，共10个可能态。
三个粒子处于相同粒子态：3个
123()()()a a a x x x ψψψ 123()()()b b b x x x ψψψ 123()()()
c c c x x x ψψψ 三个粒子处于两个粒子态：6个
1231231231
()()()()()()()()())a a b a b a b a a x x x x x x x x x ψψψ+ψψψ+ψψψ
123123123()()()()()()()()())a a c a c a c a a x x x x x x x x x ψψψ+ψψψ+ψψψ
1231231231
()()()()()()()()())b b a b a b a b b x x x x x x x x x ψψψ+ψψψ+ψψψ
123123123()()()()()()()()())b b c b c b c b b x x x x x x x x x ψψψ+ψψψ+ψψψ
1231231231
()()()()()()()()())c c a c a c a c c x x x x x x x x x ψψψ+ψψψ+ψψψ
123123123()()()()()()()()())c c b c b c b c c x x x x x x x x x ψψψ+ψψψ+ψψψ 三个粒子处于三个不同粒子态：1个
123123123123123123()()()()()()()()()
()()()()()()()()())
a b c a c b b a c b c a c a b c b a x x x x x x x x x x x x x x x x x x ψψψ+ψψψ+ψψψ+ψψψ+ψψψ+ψψψ
（c ）当粒子为全同费米子时，要求波函数满足完全反对称性，每个费米子必须处在互不相同的态上，只有1种可能态
]111222123123333
1231231231
23
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()a b c a b c a b c a c b a b c b a c b c a c a b c b a x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ψψψψ=ψψψ-ψψψψψ-ψψψ+ψψψ+ψψψ-ψψψ。