量子力学第五章
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第五章量子力学的表象变换与矩阵形式
一维无限深势 阱能量表象中 能量的矩阵元
一维谐振子能 量表象中能量 的矩阵元
E1. 0 0
Emn
0
E2 0
3 2
Emn 0
0
5
2
0
0
在动量空间中，
算符F的矩阵元
FP'P
p'
(
x)
Fˆ
p
(x)dx
矩阵Fpp’是动量空间。矩阵F＝（Fmnδmn）称为对角矩阵 （diagonal matrix ）, 当Fmn=1, 称为单位矩阵（unit matrix）,表示为I＝(δmn).
p11
i
2a2
sin x cos xdx
2a
2a
p12
i
a2
sin x cos 2 xdx
2a
2a
p21
i
2a2
sin 2 x cos xdx
2a
2a
p22
i
a2
sin 2 x cos 2 xdx
2a
2a
Q在自身表象中的矩阵元
Qum (x) Qmum (x)
Qm为Q在自身空间中的的本征值
所以
a* n (t)an (t) 1
n
an 2 是对应力学量Q取不同能量本征值的几率
数列a1(t), a2 (t), a3(t),...an (t)..
可表示成一 列矩阵的形 式
a1(t)
a2 (t)
an (t)
其共轭矩阵
为一行矩阵
a*1(t), a*2 (t),... a*n (t),...
（1’）
在此坐标中，矢量A表示成
A A1e'1 A2e'2
量子力学优秀课件
[Fˆ ,Gˆ ] | n 0
c | n 0 但由题意知 c | n 0
这是相互矛盾旳， 即全部能级都简并。
23
设能级 En 的简并度为fn（fn 1），
本征态记为 | n v (v 1,2,, fn )，
在此 fn 维态空间中求矩阵 FG 的迹（trace）
tr(FˆGˆ ) fn nv | (FˆGˆ ) | nv v1
即能量本征态必有确定的宇称，其宇称就 是宇称算符Pˆ的本征值：
Pˆ n (x) n (x) (1)n n (x) 即宇称为(1)n
22
推论2 定理中如[Fˆ ,Gˆ ] c（为不等于0的常数）,
则体系全部能级都简并，而且简并度为无穷大
证明：（用反证法） 首先，设某能级 En不简并，上面已证明
10
②量子力学各守恒量不一定都可同步取确 定值，除非在同一种守恒量完全集中。 如中心力场中，
L是守恒量，Lx , Ly , Lz自然都是守恒量
但一般不能同时有确定值.
但特殊情况l 0时，Y00是它们的共同 本征态。因而此时它们同步有拟定值0。
11
③守恒量与定态旳异同
（1）概念不同 a. 定态是能量取拟定值旳状态—能量本征态 b.守恒量是特殊旳力学量，要满足一定条件
Lˆ2Y l(l 1)2Y 的形式,故Lˆ不取确定值。
9
守恒量是否处于某本征态由初始条件拟定: 假设力学量A是守恒量：
测值几率分布不随时间变化
a. 若初始时为A旳本征态，则体系保持本征态；? 本征态相应旳量子数称为好量子数
b. 若初始时没有处于 A 旳本征态，则后来任意 时刻也不会处于本征态，但是测值几 率不随 时间变化。
]
i
( pˆ x2
c | n 0 但由题意知 c | n 0
这是相互矛盾旳， 即全部能级都简并。
23
设能级 En 的简并度为fn（fn 1），
本征态记为 | n v (v 1,2,, fn )，
在此 fn 维态空间中求矩阵 FG 的迹（trace）
tr(FˆGˆ ) fn nv | (FˆGˆ ) | nv v1
即能量本征态必有确定的宇称，其宇称就 是宇称算符Pˆ的本征值：
Pˆ n (x) n (x) (1)n n (x) 即宇称为(1)n
22
推论2 定理中如[Fˆ ,Gˆ ] c（为不等于0的常数）,
则体系全部能级都简并，而且简并度为无穷大
证明：（用反证法） 首先，设某能级 En不简并，上面已证明
10
②量子力学各守恒量不一定都可同步取确 定值，除非在同一种守恒量完全集中。 如中心力场中，
L是守恒量，Lx , Ly , Lz自然都是守恒量
但一般不能同时有确定值.
但特殊情况l 0时，Y00是它们的共同 本征态。因而此时它们同步有拟定值0。
11
③守恒量与定态旳异同
（1）概念不同 a. 定态是能量取拟定值旳状态—能量本征态 b.守恒量是特殊旳力学量，要满足一定条件
Lˆ2Y l(l 1)2Y 的形式,故Lˆ不取确定值。
9
守恒量是否处于某本征态由初始条件拟定: 假设力学量A是守恒量：
测值几率分布不随时间变化
a. 若初始时为A旳本征态，则体系保持本征态；? 本征态相应旳量子数称为好量子数
b. 若初始时没有处于 A 旳本征态，则后来任意 时刻也不会处于本征态，但是测值几 率不随 时间变化。
]
i
( pˆ x2
量子力学 第5章
2. 径向方程
2
球坐标下的定态方程： 球坐标下的定态方程：
ˆ2 L h ∂ 2 ∂ [− (r )+ ψ ψ +V(r)] = E 2 2 2µr ∂r ∂r 2µr （1）分离变量 令 ψ ( r,θ,ϕ ) = R( r )Ylm (θ,ϕ ) 化简方程
ˆ h2 ∂ 2 ∂ L2 [− 2 (r ) + +V(r)]R(r)Ylm(θ,ϕ) = ER(r)Ylm(θ,ϕ) 2 2µr ∂r ∂r 2µr
于是： 于是：
由于没有交叉项， 由于没有交叉项， 波函数可以采用分 离变量表示为： 离变量表示为：
h2 h2 2 [− ∇2 − ∇r +V(r)]Ψ = ET Ψ R 2(µ1 + µ2 ) 2µ
1 2 h2 1 2 h2 ∇Rφ + − ∇rψ +V = ET − 2(µ1 + µ2 ) φ 2µψ
可知， 可知，对应一个 l 值，m 取值为 0, ±1, ±2, ±3, ..., ± l +1)个值 个值。 确定后，尚有(2 +1)个磁量子状态不确定 个磁量子状态不确定。 共 (2 l +1)个值。因此当l 确定后，尚有(2 l +1)个磁量子状态不确定。 换言之， 值有(2 +1)个量子状态 这种现象称为简并， 个量子状态， 换言之，对应一个l 值有(2 l +1)个量子状态，这种现象称为简并， l 的 简并度是 (2 l +1) 度。
2
1 R(r) ≈ r , R(r) ≈ l +1 r
当
r →0
时，舍去
1 R(r) ≈ l +1 r
l
量子力学第五章
dN (m)d m
其中 (m) dN / d m 为态密度。
从初态 k 到末态 m 的跃迁几率是各种可能的跃迁几率之 和，即：W Wkm a m (t )
2 m m
a
m
(t ) (m)d m
2
于是从初态 k 到所有末态 m 的跃迁几率为：
p L 3 2 数，则有 (m)d m (m) dp ( ) p dpd 2
L 3 ) pd （8） 2 这就是动量大小为 p 且方向在立体角 d sin dd 内的自由粒
于是： (m) (
子的末态密度。
二、周期微扰 1.几率幅 考虑从 t 0 开始作用于体系的微扰为平面单色光，即
根据问题具体讨论跃迁几率的计算。
一、常微扰
ˆ 假定微扰 H 是个常数，并且只在(0, t ) 时间间隔内起 作用，则体系在 t 0 时处在 k 态，在t t 时跃迁 到 m 态的几率振幅是
ˆ ' constan t, (0 t ' t ) H ( t ' 0, t ' t ) 0,
态的几率
(20)
因在(16)式Wk m
t
2t 2 Fmk ( m k ) 中，角标 m 和 k
对调得到体系由 m 态跃迁到 k 态的几率为：
t
Wm k
2 t 2 2 Fmk ( k m )
2 2
* * ˆ 而 F 为厄密算符，即 Fmk Fmk Fmk Fkm Fkm Fkm ，且 函数是
2
2
e
i ( mk ) t
1
2
2
(mk )
其中 (m) dN / d m 为态密度。
从初态 k 到末态 m 的跃迁几率是各种可能的跃迁几率之 和，即：W Wkm a m (t )
2 m m
a
m
(t ) (m)d m
2
于是从初态 k 到所有末态 m 的跃迁几率为：
p L 3 2 数，则有 (m)d m (m) dp ( ) p dpd 2
L 3 ) pd （8） 2 这就是动量大小为 p 且方向在立体角 d sin dd 内的自由粒
于是： (m) (
子的末态密度。
二、周期微扰 1.几率幅 考虑从 t 0 开始作用于体系的微扰为平面单色光，即
根据问题具体讨论跃迁几率的计算。
一、常微扰
ˆ 假定微扰 H 是个常数，并且只在(0, t ) 时间间隔内起 作用，则体系在 t 0 时处在 k 态，在t t 时跃迁 到 m 态的几率振幅是
ˆ ' constan t, (0 t ' t ) H ( t ' 0, t ' t ) 0,
态的几率
(20)
因在(16)式Wk m
t
2t 2 Fmk ( m k ) 中，角标 m 和 k
对调得到体系由 m 态跃迁到 k 态的几率为：
t
Wm k
2 t 2 2 Fmk ( k m )
2 2
* * ˆ 而 F 为厄密算符，即 Fmk Fmk Fmk Fkm Fkm Fkm ，且 函数是
2
2
e
i ( mk ) t
1
2
2
(mk )
量子力学讲义第五章
第五章 中心力场§5.1 中心力场中粒子运动的一般性质一、角动量守恒与径向方程设质量为μ的粒子在中心力场中运动，则哈密顿量算符表示为：2ˆˆ()2p H V r μ=+ 22()2V r μ=-∇+ ，与经典力学中一样，角动量 l r p =⨯ 也是守恒量，即ˆ0l t∂=∂ˆˆ[,]0l H = 222221ˆ()22l H r V r r r r rμμ∂∂⎛⎫=-++ ⎪∂∂⎝⎭ 2,0z l l ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； 2ˆ,0l H ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ； ()2ˆ,,z H l l构成力学量完全集，存在共同本征态； 定态薛定谔(能量本征方程)：222221()22l r V r E r r r r ψψμμ⎡⎤∂∂⎛⎫⎢⎥-++= ⎪∂∂⎝⎭⎢⎥⎣⎦上式左边第二项称为离心势能，第一项称为径向动能算符。
取ψ为 ()2,,z H l l 共同本征态，即：()()(),,,l lmr R r Y ψθϕθϕ= (),lm Y θϕ是()2,z l l共同本征态：0,1,2,...l =，0,1,2,...,m l =±±± 分离变量：()()22222120l l l E V l l d d R R R r dr dr r μ-+⎛⎫++-= ⎪⎝⎭径向方程可写为：()()22222()120l l l E V r l l dR d R R dr r dr r μ-+⎡⎤++-=⎢⎥⎣⎦，0,1,2,...l = (1) 为求解径向方程，引入变换：()()l l r R r rχ=；径向方程简化为：()()22222()10l l E V r l l d dr r μχχ-+⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦ (2) 不同的中心力场中粒子的能量本征波函数的差别仅在于径向波函数R l (r )或χl (r )，它们由中心势V (r )的性质决定。
一般而言，中心力场中粒子的能级是2l +1重简并的。
量子力学第五章5.5
2Z r2 a0
2 5Ze s dτ 2 = 8a 0
2 2 2 2 Z2es ⎛ Z − 2 ⎞ Z e s 5Ze s 所以： H ( Z) = − + + 2⎜ ⎟ a0 8a 0 ⎝ Z ⎠ a0 2 2 2 es 2 27e s 5Z ⎞ e s ⎛ = Z − Z = ⎜ Z 2 − 4Z + ⎟ a0 8a 0 8 ⎠ a0 ⎝
(1)
其中 μ 是电子质量； r1 、 r2 分别是第一个电子和第二个电子到核
r r 的距离； r12 = r1 − r2 为两个电子之间的距离；最后一项是两电子
的静电相互作用。 ˆ ˆ ˆ 哈密顿算符也可写成： H = H 01 + H 02 ˆ ψ ( r , r ) = Eψ ( r , r ) 其本征方程为： H r1 r2 r1 r2
则： H ( Z) = ∫∫ ψ
* 100
r * r ˆ ˆ ( r1 )ψ 100 ( r2 )[H 01 ( Z) + H 02 ( Z)
2 es r r ⎛ Z−2⎞ −⎜ ⎟(U 01 + U 02 ) + ]ψ 100 ( r1 )ψ 100 ( r2 )dτ1dτ 2 r12 ⎝ Z ⎠
2 2 2 2 Z2es ⎛ Z − 2 ⎞ Z es es 则： H ( Z) = − + + 2⎜ ⎟ r12 a0 ⎝ Z ⎠ a0 2 es 下面计算 I = : r12
e Z 2 e = ( 3 ) ∫∫ e I= r12 r12 πa 0
3 3 −
2 s
3
2 s
−
2Z ( r1 + r2 ) a0
用微扰法求基态能量时，不仅计算较为烦琐，而且结果也不很准
量子力学第五章全同粒子
Ψ
H H Hˆ
“
´
ℏ2 2m1
2 1
´
ℏ2 2m2
2 2
`
Vp~r1
;~r2;~s1;~s2
;
tq
1这里的讨论可以平庸地推广到任意多个粒子构成的量子力学体系.
3 / 23
按照波函数的统计诠释，
›
›2
››Ψp~r1;~r2; s13; s23; tq›› d3x1d3x2
›
›
是在体积元 d3x1 中发现具有自旋 s13 的粒子 1 并在 d3x2 中发 现具有自旋 s23 的粒子 2 的概率. 归一化条件因此为：
但注意到 Pˆij “ Pˆji，我们又有：Pˆ:ij “ Pˆij，即交换算符 Pˆij 既 是幺正算符，又是 Hermite 算符.
对于 N-粒子体系的波函数 Ψp1; 2; ¨; i; ¨ ¨ ¨ ; j; ¨ ¨ ¨ ; Nq 而言， PˆijΨp1; 2; ¨; i; ¨ ¨ ¨ ; j; ¨ ¨ ¨ ; Nq “ Ψp1; 2; ¨; j; ¨ ¨ ¨ ; i; ¨ ¨ ¨ ; Nq
粒子态 'ki 上（i “ 1; 2; ¨ ¨ ¨ ; N），řNi“1 ni “ N. 这些 ni 取非负
整数，它们中有些可以等于零，有些可以大于 1. 于是，体系的符 合交换对称性的波函数可以写为：
„
ȷ
' ' ' ' S
n1n2¨¨¨nN
„
ÿP
k1 pq1q ¨ ¨ ¨ k1 pqn1 q k2 pqn1`1q ¨ ¨ ¨ k2 pqn1`n2 q ¨ ¨ ¨
'k1 pq2q 'k2 pq2q 'k3 pq2q
第五章量子力学的表象与表示§51幺正变换和反幺正变换
第五章 量子力学的表象与表示§5.1 幺正变换和反幺正变换1, 幺正算符定义对任意两个波函数)(r ϕ、)(rψ，定义内积r d r r)()(),(ψϕψϕ*⎰=(5.1)按第一章中所说，(5.1)式的含义是：当微观粒子处在状态()rψ时，找到粒子处在状态()rϕ的概率幅。
依据内积概念，可以定义幺正算符如下：“对任意两个波函数ϕ、ψ，如果算符 U恒使下式成立 ),()ˆ,ˆ(ψϕψϕ=U U (5.2)而且有逆算符1ˆ-U存在，使得I U U U U ==--11ˆˆˆˆ1，称这个算符U ˆ为幺正算符。
”任一算符Aˆ的厄米算符+A ˆ定义为：+A ˆ在任意ϕ、ψ中的矩阵元恒由下式右方决定ˆˆ(,)(,)A A ϕψϕψ+= (5.3)由此，幺正算符Uˆ有另一个等价的定义： “算符Uˆ为幺正算符的充要条件是 I U U U U==++ˆˆˆˆ (5.4a) 或者说1ˆˆ-+=U U 。
” (5.4b)证明：若),()ˆ,ˆ(ψϕψϕ=U U成立，则按+U ˆ定义， ),ˆˆ()ˆ,ˆ(),(ψϕψϕψϕU U U U+== 由于ϕ、ψ任意，所以I U U=+ˆˆ 又因为Uˆ有唯一的逆算符1ˆ-U 存在，对上式右乘以1ˆU -，即得 1ˆˆUU +-= 这就从第一种定义导出了第二种定义。
类似，也能从第二种定义导出第一种定义。
从而，幺正算符的这两种定义是等价的。
2, 幺正算符的性质幺正算符有如下几条性质：i, 幺正算符的逆算符是幺正算符证明：设 1-+=U U ， 则()()(),111--+++-===U U U U 所以1-U 也是幺正1这里强调了 U-1既是对 U右乘的逆又是对 U 左乘的逆。
和有限维空间情况不同，无限维空间情况下，任一算符 U有逆算符的三种情况：1）有一个左逆算符和无穷多个右逆算符；2）有一个右逆算符和无穷多个左逆算符；3）有一个左逆算符和一个右逆算符，并且它俩相等，唯有此时可简单地写为 U-1。
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pˆ12ψ (1,2) =ψ (2,1)
∴ pˆ12ψ (1,2) = λψ (1,2)
这就是交换算符的本征值方程. 且λ就是其本征值.
又有: pˆ12 pˆ12ψ (1,2) = pˆ12λψ (1,2) = λpˆ12ψ (1,2) = λ2ψ (1,2) ∴ pˆ122ψ (1,2) = λ2ψ (1,2)
问题: 量子力学中是否存在没经典对应量的力学量?
对由多个粒子组成的系统,量子力学中还有其它 新的基本假设吗?
能够举一些使用量子力学去解决实际问题的例子 吗?
§1、电子的自旋
一、实验与假设: 1) 斯特恩―盖拉赫实验 1921年，施忒恩（O.Stern）和盖拉赫（W.Gerlach）发现 一些处于S 态的原子射线束，在非均匀磁场中一束分为两束。
∵ pˆ122ψ (1,2) = pˆ12ψ (2,1) =ψ (1,2)
∴ λ2ψ (1,2) =ψ (1,2)
λ2 =1
λ =1
λ = −1
对λ=1有: 对λ=−1有:
pˆ12ψ (1,2) =ψ (1,2)
pˆ12ψ (1,2) = −ψ (1,2)
称为对称性波函数. 称为反对称性波函数.
可以证明: 全同粒子的波函数的这种交换对称性是不随时间 改变的.
2)自旋角动量算符的本征值与自旋量子数:
① 由于电子的自旋角动量它在空间任何方向的投影只取两个值 Sz=± /2.这就是说:
Sˆx,Sˆy,Sˆz 的所有可能的测得值只有+ /2和- /2.因此, 这就是它 们所有可能的本征值
②
S2的本征值:
S
2 x
=
S
2 y
=
S
2 z
=
1 4
2
S
2
=
S
2 x
+
S
Sz
=
+
1 2
时
ms
=
1 2
Sz
=
−
1 2
时
ms
=
−
1 2
这里ms被称为自旋量子数. 且有:
χ
1 2
=
1 0
χ −1 2
=
0 1
这里 χ 1
和
χ −1
构成一组正交归一化的完备的本征函数系
2
2
χ
+ 1
(S
z
)χ
−Leabharlann 1(Sz)
=
0
2
2
χ
+ 1
(
S
z)χ
1
(S
z)
=
χ
+ −1
① 每个电子具有自旋角动量S,它在空间任何方向的投影只 取两个值Sz=± /2.
② 每个电子具有自旋磁矩Ms, 且有:
M
s
=
−
e m
S
③ 自旋磁矩在空间任意方向的投影也只取两个值:
Msz
=
±
e 2m
=
M
B
MB被称为玻尔磁子.
二、电子自旋角动量算符
1)电子自旋角动量:
定义算符 S 满足: Sˆ × Sˆ = i Sˆ
σˆ
y
=
0 i
−i 0
Sˆx
=
1 2
σˆ
x
=
1 2
0 1
1 0
Sˆ y
=
1 2
σˆ
y
=
1 2
0 i
−i 0
三、考虑电子自旋后对波函数的影响:
1) 自旋的存在使电子增加了一个新的自由度.
电子的ψ(r,t)确定
电子在各处出现的几率确定
但电子的状态却还没最后确定
∴ pˆ12 Aˆ un(1,2) = Aˆ pˆ12un(1,2) Aˆ pˆ12un(1,2) = Aˆ un(2,1) = anun(2,1)
注意到{un(1,2)}的完备性, 对任意波函数ψ(1,2)有:
ψ (1,2) = ∑cnun(1,2)
n
pˆ12
Aˆ ψ
(1,2)
=
pˆ12
Aˆ ∑
n
它是指所有的1和2的有关量之间的交换. 如氦原子中的两个电子组成的体系, 其哈密顿量为:
Hˆ = pˆ12 + pˆ 22 − 2e2 − 2e2 + e2
2m 2m 4πε 0r1 4πε 0r2 4πε 0 r1 −r2
显然有: 当两个电子交换表现为, H中的p1和p2的交换, 以及r1和 r2的交换. 但在这种交换下H保持不变.
右边 : pˆ12Eψ (1,2) = Epˆ12ψ (1,2) = Eψ (2,1)
∴ pˆ12Hˆψ (1,2) = Eψ (2,1) 又有: Hˆψ (2,1) = Eψ (2,1)
Hˆψ (2,1) = Hˆpˆ12ψ (1,2)
∴ pˆ12Hˆψ (1,2) = Hˆpˆ12ψ (1,2)
ψ(1,2)为满足薛定格方程的任意波函数, 所以:
pˆ12 Hˆ = Hˆ pˆ12
③ 交换算符p12与任何力学量算符A对易:
设un(1,2)为A的本征值为an的本征波函数, 则有: Aˆ un(1,2) = anun(1,2)
有: pˆ12 Aˆ un(1,2) = pˆ12anun(1,2) = an pˆ12un(1,2) = anun(2,1)
② 经典物理的观念与全同性是互不相容的: 在经典物理的框架内, 既使考虑全同性, 也不能有新的结论.
③波函数的几率解释(量子力学的统计决定论)与全同性原理 的一致性. ④ 量子化现象与全同性原理. 二、交换算符及其性质:
1) 交换算符与任意力学量算符的对易性: ① 交换算符: 使用p12来表示对粒子1和2之间的交换操作.
|b|2=|χ(- /2)|2表示自旋Sz=- /2的几率.
( ) 归一化条件为: χ + χ = a *
b*
a b
=
a2+
b2
=1
4) Sz的本征态:
本征值方程: Sˆz χms (Sz ) = Sz χms (Sz ) = ms χms (Sz )
其中 χms (Sz) 为本征值为Sz的本征态,ms 为Sz的本征值, 且有当:
虽然电子在各处出现的几率相 同但它们的自旋还可能不同.
自旋的存在使电子增 加了一个新的自由度.
2)考虑自旋后电子的波函数: 由于电子的自旋在任何方向的投影Sz只取两个可能的值, 所 以使用二分量波函数是方便的.即:
ψ
= ψψ((rr,−, 1212
)
)
ψ (r ,1
2
所以有:
σˆ
x
=
0 b*
b 0
又由:
σˆ
2 x
=
1
b 2 = 1 可取 b = 1
σˆ
2 x
=
b2 0
0 b2
=
1
所以有:
σˆ x = 10
1 0
③ σy在Sz表表象中的表示: 由:
σˆ
y
=
1 2i
[σˆ
z
,σˆ
x
]
④ Sx,Sy在Sz表表象中的表示:
Sˆ = Sˆxiˆ + Sˆy ˆj + Sˆzkˆ
Sˆ × Sˆ = (SˆySˆz − SˆzSˆy )iˆ + (SˆzSˆx − SˆxSˆz ) ˆj + (SˆxSˆy − SˆySˆx)kˆ
[Sˆx, Sˆy ] = i Sˆz
[Sˆy, Sˆz ] = i Sˆx [Sˆz, Sˆx] = i Sˆy
S
原子炉
准直屏
N 磁铁
2)对有关实验结果的分析: 实验内容: 以处于S态的氢原子通过非均匀磁场为例来进行分析.
① 非均匀磁场: 若外磁场沿z方向, 磁矩在外磁场中的势能为
U = −M ⋅B = −MBz cosθ
Fz
= − ∂U ∂z
=M
∂Bz ∂z
cosθ
非均匀磁场
射线的偏转表明：S 态的氢原子具有磁矩
用p12来表示这种交换操作. 以ψ(1,2)来表示两个电子的波函数, 则有:
pˆ12ψ (1,2) =ψ (2,1)
这里p12被称为交换算符.
② 交换算符与哈密顿算符对易:
哈密顿算符的本征值方程为: 两边用交换算符作用后可得:
Hˆψ (1,2) = Eψ (1,2) pˆ12Hˆψ (1,2) = pˆ12 Eψ (1,2)
证明：
σˆ
σˆ
x
y
+
σˆ
σˆ
y
x
=
1 2i
(σˆ
σˆ
y
z
−
σˆ
σˆ
z
y
)σˆ
y
+
1 2i
σˆ
y
(σˆ
σˆ
y
z
−σˆ
σˆ
z
y
)
=
1 2i
(σˆ
yσˆ
zσˆ
y
−
σˆ
zσˆ
2 y
+
σˆ
y2σˆ
z
−
σˆ
yσˆ
zσˆ
y
)
=
0
[σˆ x ,σˆ y ]+ = σˆ xσˆ y + σˆ yσˆ x = 0
4) 自旋角动量算符的表示:
归一化条件:
∫ ∫ ψ *ψdr = ψ * (r , 1 ),