高等量子力学 第五章 矢量空间的直和与直积
在 R1 中取一组基矢 { i }, i 1,2,, n1 , ，设这组基矢是算 符 K 的本征矢量（ K 表象） ；在 R2 中取 P 表象，其基矢为
{ m }, m 1,2,, n2 , 那么直和空间中的任意矢量 都可
以写成下列的形式：
i i m m
直和空间的维数：
( ) ( ) ( ) ( )
设 R1 为 n1 维， R2 为 n 2 维，讨论其直和空间 R1 R2 的维数。
由于加法定义（5.1）式的存在，直和空间中任意两个双矢量 形式的矢量叠加，仍可写成双矢量的形式。这就是说，直和空间 中的全部矢量，都是形如 的矢量。
在直和空间中，矢量 的 KP 表象的矩阵形式为
1 2 1 2 3
（5.12）
算符的矩阵形式也可以同样讨论； R1 和 R2 中， 在 算符 A 和 L 的矩阵形式分别为
( A L)( ) A L
(5.22)
算符运算有下列的关系：
( A B) L A L B L
( A L)( B M ) AB LM
(5.23) (5.24)
从上面各式可以看出，只要记住算符只对自己空间中的矢 量有作用，对别的空间的矢量没有作用，习惯了以后，算符间 的乘号也可以省去。
§5 矢量空间的直和与直积
有时需要由两个已知的矢量空间 R1 和 R2 构造一个更大 的矢量空间。在本节中我们讨论两种构造的方法，两个空间 的直和与直积。
§5-1 直和空间
§5-2 直积空间
§5-1 直和空间
设矢量空间 R1 中的矢量是 ， ，
，算符是 A，B， ；
而矢量空间 R2 中的矢量为 ， ， ，算符 L，M， ，
mm mm m m m m , ,
m
m
这时
( i m ) i m Eim ( ) im
i m im
可见，若在直积空间中取全部形如 i m 的矢量为基矢，则 可以叠加出所有的基矢，这些基矢是用两个下标 i 和 m 编号的：
1 1 1 2 1 1 3 1 2 2 2 1 3 2 2 2 3
可以写成
1 2
式中的 代表这个 3 1 矩阵。
虽然与直和一样，直积矢量也是与次序无关的，但习惯上仍 约定 R1 中的量写在前面，R2 中的量写在后面，im 的编号次序是 i 先取 1, m 取遍所有的值后， i 再取 2 ，以此类推。用这个次序 作为直积空间中的基矢的次序。
直积算符的矩阵表示：
直积算符 A L 在 KP 表象的矩阵形式是
数乘： 内积：
a ( a) ( a)
( )( )
此外，还有一个直积的分配律：
( )
(5.21)
这样，就构成了一个新的矢量空间，称为 R1 和 R2 的直积空间。
算符的直积：
设 R1 中的算符为 A, B,, R2 中的算符为 L, M ,, 那么直积 空间中的算符为 A L ，其意义为
有时在直积空间中也说算符 A 或算符 L ，这并不是指 R1 或
R2 中的算符， A 是 A I ( 2) 的简写， L 是 I（1） L 的简写。若在
直积空间中写 A L ，那就是
A L A I（2） I（1） L
(5.25)
式中 I（1）与 I（2）分别是 R1 和 R2 的单位算符。上式左方的加号，仍 然是直积空间中的加法，因为 R1 中的 A 和 R2 中的 L 是没有加法 的。
( ) ( ) ( ) ( )
在直和空间中的加法单位元（零矢量）是
O O (1) O ( 2 )
（1 （2 式中 O ） 和 O ） 分别是 R1 和 R2 中的加法单位元。
（5.1）
数乘： ( )a a a 内积： ( )( )
我们把这 5 个基矢写成 E1 E5
。于是，在 R1 和 R2 中，
和 的矩阵为（分别为 K 表象和 P 表象） ：
1 ， 2
式中 i i , m m
1 2 3
。
（5.11）
§5-2 直积空间
直积就是由两个已知空间 R1 : { , ,} 和 R2 : { , ,} 构造一个较大空间的另一种方法。直积空间中的数学对象也是双 矢量以及它们的叠加；双矢量也是从 R1 和 R2 中各取一个矢量不 记次序的放在一起；与直和空间的区别在于三种运算规则不同， 所以直积空间的性质和直和空间有很大的不同。
（5.14）
在上式中 Aij i A j , Lmn L m L N n 。 ， mn m L
有时也在直和空间中说算符 A ，那实际上是指算符
A O ( 2) ，说算符 L 是指 O (1) L
，这里 O (1) 和 O ( 2) 分别是 R1
和 R2 中的零算符。
（5.2） （5.3）
如果认定不同空间中矢量的内积为零，上述定义说明内积 可按分配律展开。
容易证明上述定义满足(1)~(12) 的所有条件。于是，构造成 功了一个新的矢量空间 R ， 我们说空间 R 是 R1 和 R2 的直和空间， 表为
R 用 R1 中的算符 A，B， 和 R2 中的算符 L，M， 去构造直和空间中的算符 A L ，称为 A，L 两算符的直和，其 作用为 （5.6） ( A L)( ) A L
是归一化的而且彼此正交。
下面讨论矢量和算符的矩阵表示。为具体起见，我们取 R1 为
2 维， R2 为 3 维，基矢分别为 { 1 ， 2 } 和 { 1 ， 2 ， 3 } ，这时，
直和空间为 5 维，其基矢为
1 O ， 2 O ，
O 1 ， 2 ， 3 O O
i m
由此可以看出，若取直和空间的基矢为 O ( 2) , O (1) m } { i
{ i O ( 2) , O (1) m }
i 1,2,, n1, m 1,2, n2 （5.9）
i 1,2, 都可以写成上述共 n n 个基矢的叠加。于 则任意矢量, n1, m 1,2, n2 1 2
A11 A A 21
A12 A22
L11 L L21 L 31
L12 L22 L32
L13 L23 L33
（5.13）
在直和空间中，算符 A L 的矩阵形式成为
A11 A21 A O A L O L 0 0 0 A12 A22 0 0 0 0 0 L11 L21 L31 0 0 L12 L22 L32 0 0 L13 L23 L33
现在，在 R1 中取 K 表象，基矢是 { i } ，在 R2 中取 P 表象， 基矢是 { m } ， R1 中的任意矢量 和 R2 中的任意矢量 可以 则 写成
i i i i, i i , i i
i
i
(5.26)
(5.27)
如果认定一个空间的算符作用到别的空间的矢量时得零矢 量，则上式可按分配律展开。 算符的加法和乘法可根据上述定义得出：
( A L) ( B M ) ( A B) ( L M )
（5.7）
( A L)( ) A L
( A L)( B M ) AB LM
( A L) im , jn i m A L j n Aij Lmn
(5.30)
例如直积算符 A L 矩阵的第 12 行第 34 列的元是 A13 L24 ；写成 矩阵是
与 的直积写成
直积符号 在很多情况下可以省去。
（5.17）
直积空间 R1 R2 中的运算规则如下：
加法： 是一个新的矢量， 一般不能表示为双矢量的 形式，这与直和空间中的加法不同。加法的单位元是
O O (1) O ( 2 )
(5.18) (5.19) (5.20)
当然，可以用相同的方法讨论两个以上的空间的直和。一切 关系都是明显的，这里不在赘述。
最后讨论一下子空间中的直和。若 R1 和 R2 是大空间的两个子空间， 则只有当 R1 和 R2 除零矢量 O 外不含公共矢量时，才可以谈论二者的直 和。这是因为大空间中的加法适用于所有矢量，从 R1 和 R2 中各取一个矢 量构成的双矢量 与二者之和 是等价的， 前面公式中矢量 的直和号 可以径直改写为加号。直和空间不只包含 R1 和 R2 中的所有矢 量，还包含更多的矢量。例如在三维物理空间中，若 R1 是 xy 平面上的所 有矢量，R2 是沿 z 轴的矢量， R1 R2 包含这个三维空间中的全部矢量。 则 由于算符在整个大空间中都有定义， 所以一切算符在 R1 和 R2 中是通用的， 这时没有算符的直和这一概念， （5.6）式和（5.14）式都不存在。
这些都是已知的，现在构造它们二者的直和空间。
考虑一种“双矢量”作为我们的数学对象，双矢量即取 R1 空 间中一个矢量与 R2 空间中一个矢量放在一起（不记次序） ，例如
与
放在一起 ，我们用下列特殊记号表示：
，
它们分别称为矢量 与 的直和，或 与 的直和。
高等量子力学5-1--5-2
{
m
2
}
（n1 +n2）个基矢
α ⊕ ψ = ∑ ν i αi ⊕ ∑ ε m ψ m
i m
(+) (+)
= ∑ ν i αi ⊕ φ i
( 2)
2)
( ×)
( =∑( ν
i i
= ∑ ν i αi ⊕ φ (
i
⊕ φ(
2)
( )α + ∑ ( φ
m i m
)
(1) + φ ⊕ ∑ εm ψ m m + ∑ φ( ) + εm ψ m
Pr oof ( ∆′ ) : ( A ⊗ L )( B ⊗ M ) ( α ⊗ ψ
（□）
= ( A ⊗ L)( B α ⊗ M ψ = A( B α ) ⊗ L ( M ψ = AB α ⊗ LM ψ
（□） 算符乘积定义
)
)
)
（□）
= ( AB ⊗ LM ) ( α ⊗ ψ
A指A ⊗ I (
1 2)
基矢
Eim = ν i ⊗ ε m = ν i ε m 共n1 × n2个，是R1 ⊗ R2的维数
∴以 Eim 为基矢的表象是K ⊗ P( KP)表象
讨论R1 ⊗ R2中，矢量 α ⊗ ψ 和算符A ⊗ L的矩阵表示 例：n1 = 2, n2 = 3
α1ψ 1 K ⊗ P表象中 α ⊗ ψ α1ψ 2 ψ 1 α1 α1ψ 3 α ⊗ ψ = ⊗ ψ 2 = α 2 ψ α 2ψ 1 3 α 2ψ 2 α ψ 2 3
R1 R2
K 表象
KP表象
P表象
高等量子力学 第五章 矢量空间的直和与直积
在 R1 中取一组基矢 { i }, i 1,2,, n1 , ，设这组基矢是算 符 K 的本征矢量（ K 表象） ；在 R2 中取 P 表象，其基矢为
{ m }, m 1,2,, n2 , 那么直和空间中的任意矢量 都可
以写成下列的形式：
i i m m
A11 A A 21
A12 A22
L11 L L21 L 31
L12 L22 L32
L13 L23 L33
（5.13）
在直和空间中，算符 A L 的矩阵形式成为
A11 A21 A O A L O L 0 0 0 A12 A22 0 0 0 0 0 L11 L21 L31 0 0 L12 L22 L32 0 0 L13 L23 L33
如果认定一个空间的算符作用到别的空间的矢量时得零矢 量，则上式可按分配律展开。 算符的加法和乘法可根据上述定义得出：
( A L) ( B M ) ( A B) ( L M )
（5.7）
( A L)( ) A L
( A L)( B M ) AB LM
（5.2） （5.3）
如果认定不同空间中矢量的内积为零，上述定义说明内积 可按分配律展开。
容易证明上述定义满足(1)~(12) 的所有条件。于是，构造成 功了一个新的矢量空间 R ， 我们说空间 R 是 R1 和 R2 的直和空间， 表为
R R1 R2
（5.5）
现在，用 R1 中的算符 A，B， 和 R2 中的算符 L，M， 去构造直和空间中的算符 A L ，称为 A，L 两算符的直和，其 作用为 （5.6） ( A L)( ) A L
量子力学讲义第五章
第五章 中心力场§5.1 中心力场中粒子运动的一般性质一、角动量守恒与径向方程设质量为μ的粒子在中心力场中运动，则哈密顿量算符表示为：2ˆˆ()2p H V r μ=+ 22()2V r μ=-∇+ ，与经典力学中一样，角动量 l r p =⨯ 也是守恒量，即ˆ0l t∂=∂ˆˆ[,]0l H = 222221ˆ()22l H r V r r r r rμμ∂∂⎛⎫=-++ ⎪∂∂⎝⎭ 2,0z l l ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； 2ˆ,0l H ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ； ()2ˆ,,z H l l构成力学量完全集，存在共同本征态； 定态薛定谔(能量本征方程)：222221()22l r V r E r r r r ψψμμ⎡⎤∂∂⎛⎫⎢⎥-++= ⎪∂∂⎝⎭⎢⎥⎣⎦上式左边第二项称为离心势能，第一项称为径向动能算符。
取ψ为 ()2,,z H l l 共同本征态，即：()()(),,,l lmr R r Y ψθϕθϕ= (),lm Y θϕ是()2,z l l共同本征态：0,1,2,...l =，0,1,2,...,m l =±±± 分离变量：()()22222120l l l E V l l d d R R R r dr dr r μ-+⎛⎫++-= ⎪⎝⎭径向方程可写为：()()22222()120l l l E V r l l dR d R R dr r dr r μ-+⎡⎤++-=⎢⎥⎣⎦，0,1,2,...l = (1) 为求解径向方程，引入变换：()()l l r R r rχ=；径向方程简化为：()()22222()10l l E V r l l d dr r μχχ-+⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦ (2) 不同的中心力场中粒子的能量本征波函数的差别仅在于径向波函数R l (r )或χl (r )，它们由中心势V (r )的性质决定。
一般而言，中心力场中粒子的能级是2l +1重简并的。
高等量子力学 课件
进而 对于任意的 fr(q) , 总可以进行如下的幺正变换:
(q) 是任意实函数. 于是上式成为:
21
因而, 只要选择 (q) 使得
就有 即 譬如:
(通过适当选择基矢的相因子)
22
于是, 对于任一依赖于坐标和动量的算符
有
小结 在坐标表象中，坐标算符和动量算符对态矢量的作 用, 对应于以下算符对波函数的作用:
15
形式上, 可以把(k), A(k, k)理解为下标连续改变的矩阵:
16
§1.3.4 坐标表象
1 基矢 以体系的Descartes直角坐标本征态为基矢的
表象称为坐标表象, 或Schrodinger表象.
选取全体Descartes直角坐标
为厄米
算符完备组, 可以证明, 其本征值有连续谱, 于是正交归
反之 i = Ui 上述即为矢量的表象变换.
11
二、算符的表象变换
设算符A在K表象、L表象中分别表示为{Aij}和{A}:
Aij = iAj , A = A.
于是， A = ij iiAjj
即
一化关系和完备性公式分别为:
17
2 态矢量|和坐标算符函数的表示
其中,
是
在 |q 上的本征值.
进而,
18
3 动量算符的表示
利用原理3, 即 Heisenberg 对易关系 有
我们知道 (x) 具有性质:
19
将 与 则知, 若
取如下形式
对比
可使上述等式恒成立. 其中 fr(q)是q的任意实函数.
第一章 Hilbert空间
§1.1 矢量空间
1 定义; 2 正交性和模; 3 基矢; 4 子空间
§1.2 线性算符
高量5-矢量空间的直和与直积
上式坐标的“+”是 R1 中的加法，右边的“+” 是直积空间的加法。这与就构成了新的矢量空间, 称为 R1 , R2的直积空间。
14
二、直积空间中的算符 1. 定义： 设 R1 中的算符为A,B, …， R2 中的算符为L,M, … ， 那么直积空间的算符为 A L,, 其定义为
( A L)(| | ) A | L |
(| | ) (| | ) (| | ) (| | )
| | | | 是一个新矢量，一般不能表
为双矢量的形式。这与直和空间的加法不同。
加法的单位元是
| 0 | 0(1) | 0( 2)
10
有时在直和空间中说算符A，实际上是指 A O( 2) . 若R1,R2是大空间的两子空间，则只有当R1,R2除 | 0 外不含公共矢量时才可以谈二者的直和. 这是因为大 空间的加法适用于所有矢量。 从R1,R2中各取一矢量构成的双矢量| | 与二 者之和 | | 是等价的，“ ”可以写成“+”。 直和空间不只包含R1,R2中所有矢量，比如3D空间 中，若R1是xy平面矢量，R2是沿z轴矢量，则 R1 R2 包含3D空间中的全部矢量。 由于算符在整个大空间都有定义，所以一切算符在 R1,R2中是通用的。这时没有算符直和这一概念。
R R1 R2
3
3. 算符的直和 用 R1 中的算符A,B, …和 R2中的算符L,M, …去构 造直和空间中的算符 A L ，称为A, L两算符的直 和。其作用为
( A L)(| | ) A | L |
如果认定一个空间的算符作用到另一个空间的矢 量时得0矢量，则上式可按分配律来展开。 算符的加法和乘法可以按照上述定义得出。
高等量子力学讲义5-6章
确定位置设置粒子接收器
→ 比较 → − ↗
散射问题中量子态的渐近行为
量子力学 波函数 描述散射过程中粒子的状态。 − − − − − → 我们考虑非相对论无自旋粒子的入射束，由于考查渐近行为， V = 0，确定粒子的入射粒子束有 平面波描述 i Ae Pz z 沿 z 轴入射 进入散射中心 (靶) 的有效力程后 入射波 (物质波) 发生衍射 − − − − − − − − − − − − − → −→ 原入射方向外 + 其它方向的衍射传播 按衍射理论习惯 − − − − − − − − − − − − → ψi ↓ 入射波 相干叠加 ψ − − − − − − → 进一步，由于散射波是由散射中心向外发散的， 出了有效力程后 相对自由粒子的球面波 − − − − − − − − − − − → ψr→∞ −→ A e
i
+
ψs ↓ 散射波 = ψi + ψs
Pi r cos θ
+A
f (θ, φ) i Ps r e r
Pi 为入射粒子动量； Ps 为粒子经散射的动量。
渐进行为中量与散射物理量的关系
由量子力学：入射粒子流 ⃗ ji = 出射粒子流：
r js =
mi
z ∗ = ∇ψi −→ ji ψi
|A|2 Pi m
2π
若我们完成对立体角的积分，则得到总的散射截面 ˆ ˆ ˆ σ = dσ = σ (θ, ϕ)dΩ =
0
ˆ
0
π
σ (θ, φ) sin θdφdθ
上述物理量的实验获得：
实验可确定量 ↙ 单位时间入射粒子数目 ↘ ratio 微分散射截面 ↓ 总散射截面 散射理论的最终目的→ 确立理论中的散射截面 6 ← 积分 → − ↘ ↘ ↙ 散射后出射的粒子数 ↙
清华大学高等量子力学-Lecture-16
第五章 对称性对称性是一个体系最重要的性质。
前面求解一维Schroedinger 方程时，我们看到，利用体系相互作用的左右对称性，导致态有确定的宇称，可以大大简化方程的求解。
1.守恒量若力学量的平均值不随时间变化0d Fdt=， 则称力学量为守恒量。
F 由 ˆF F ψψ= 和Schrodinger 方程 ˆi H tψψ∂=∂ ， 有ˆˆˆˆ1ˆˆ,d FF F Fdt t t tF F H t i ψψψψψψ∂∂∂=++∂∂∂∂⎡⎤=+⎣⎦∂若不显含时间， ˆFt 1ˆˆ,d F F H dt i ⎡⎤=⎣⎦ 若与ˆFˆH 对易，则为守恒量。
ˆF 例如：a ）对于自由粒子体系，2ˆˆ2p H m =，动量不显含时间t ，且ˆp ˆˆ,p H ⎡⎤0=⎣⎦，有动量守恒； b ）对于一般体系，()2ˆˆ2p H V x m=+ˆˆ,0p H ⎡⎤，≠⎣⎦，动量不守恒； c ）对于中心场体系，()()22222ˆˆˆ222p L H V r r V m mr r r mr∂∂⎛⎞=+=−++⎜⎟∂∂⎝⎠2r ，轨道角动量算符2ˆL ，均不显含时间，且，有轨道角动量及其任意分量守恒； ˆi L t 2ˆˆˆˆ,,i L H L H ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎢⎥⎣⎦0=d ）若ˆH 不显含时间，，有能量守恒。
t ˆˆ,H H ⎡⎤=⎣⎦0故一个力学量是否为守恒量，由体系的性质，即ˆH的性质来决定。
守恒量的性质：a ）在任意态的平均值与时间无关（定义）；b ）在任意态的取值几率与时间无关 证明：，，ˆˆ,0F H ⎡⎤=⎣⎦ˆF ˆH 有共同完备本征矢n ， ˆn F n F n =，ˆnH n E n = 对于任一态 ()()n nt C t ψ=∑n ， ()()n C t n t ψ=，ˆF 取值为的几率为 n F 2()nC t 。
因为1ˆ()()()()()n n n nE E d C t n t n H t n t C t dt t i i i ψψψ∂====∂， 故 ()(0)n i E t n n C t C e−=，2()(0)n n C t C =2与时间无关。
高等量子力学-第一章__希尔伯特空间
2、基矢
正交归一的完全集称为这个空间的一个基矢组，或一组 基矢。当然一个空间可有不同的多组基矢。
n 维空间的一组基矢{1, 2 ,..., n} 的正交归一性质可以写为
i , j ij ， i, j = 1,2,…,n （1.5）
Schmidt 正交化方法： 一个矢量空间，只要知道它的一个 完全集总可以找到一组基矢。
2
1 （ 2
，2 ）12 2（，）2
由于 2 0 ，所以有 （，）2 2 2
即 （，）
三角形不等式：对于任意 和 ，有
（1.2）
Байду номын сангаас
证明：因为对任意复数 a 有 Re a a ，取 的模方，利
用此关系和 Schwartz 不等式，有 ( , ) 2 22R(e(,,) ) (,2 ) 2 2 2 ( ,) 2 2 2
和一个数 a，在集合内总有一个矢量 与之对应，记为
a a
称为 与 的乘积。数乘要满足下列四个条件：
条件（5）：1
条件（6）： ( a)b (ab) （结合律）
条件（7）： (a b) a b （第一分配律）
条件（8）： ( )a a a
（第二分配律）
α是实数时，空间称为在实数域上的矢量空间； α是复数时，空间称为在复数域上的矢量空间。
第三个例子 取数学对象为一组有次序的复数，例如四个数，
可以把它们写成一个一列矩阵：
l1
l
l2
l3 l4
加法，数乘和内积的定义分别为
l1 m1
l
m
l2
l3 l4
m2 m3 m4
l1
l
l2
l3 l4
(l, m)
高等量子力学本征矢量和本征值图文
xx年xx月xx日
目 录
• 量子力学本征矢量概念及分类 • 量子力学本征值的基本理论 • 量子力学中的矩阵表示与本征值求解 • 量子力学中的近似方法与本征值求解 • 量子力学本征值的物理意义及应用 • 量子力学本征值求解的局限性及未来发展
01
量子力学本征矢量概念及分类
能量守恒的体现
本征值实际上是系统能量的可能取值，系统的总能量是各个 本征值的代数和，因此本征值是能量守恒的体现。
本征值的实际应用及案例分析
原子能级计算
通过求解薛定谔方程得到原子能级对应的本征值，可以预测原子光谱的频率 和波长，为原子光谱学提供基础数据。
量子隧穿效应
在量子力学中，微观粒子能够穿越高于其能量的势垒，这种现象被称为量子 隧穿效应。本征值可以描述微观粒子在势垒中的行为，预测隧穿效应发生的 可能性。
本征矢量与分离变量法
通过分离变量法，可以将多维问题转化为多个一维问题，每个一维问题对应 一个本征矢量和本征值。
本征矢量的分类及求解方法
本征矢量的分类
根据本征矢量所对应的本征值是否为实数，可将本征矢量分为实空间本征矢量和复空间本 征矢量。
实空间本征矢量求解方法
实空间本征矢量可以通过分离变量法，将多维问题简化为多个一维问题，每个一维问题对 应一个实空间本征矢量和实数本征值。
复空间本征矢量求解方法
复空间本征矢量需要利用量子力学中的波函数和能量算符来求解。首先需要构造哈密顿算 符的完全集，然后通过求解算符的矩阵元来得到复空间本征矢量和复数本征值。
02
量子力学本征值的基本理论
哈密顿算符与本征值问题
哈密顿算符定义
量子力学中的哈密顿算符是描述系条件的微分方程，可以得到本征函数和本征值的具体数值 。
喀兴林高等量子力学EX3、4、5
3.1 （做题人：韩丽芳校对人：胡相英）(好)幺正算符也有本征矢量。
证明幺正算符的本征值都是绝对值是1的复数；幺正算符的两个本征矢量，若所属本征值不同亦必正交。
证明：设算符U为幺正算符，ψ为其任意本征矢量，u为对应的本征值。
即ψψuU=则ψψψψψψψψuuUUUU*+===因0≠ψψ，所以1=*uu即1=u即证得幺正算符的本征值都是绝对值是1的复数。
设算符U为幺正算符的两个本征值为1u、2u，对应的矢量分别为1ψ、2ψ，且21uu≠。
则111ψψuU=11111ψψuU=-222ψψuU=22211ψψuU=-因为幺正算符1-+=UU则有21212121ψψψψψψuuUU*+==2121211ψψψψuuUU*+==所以1212121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-**ψψuuuu因为012121≠-**uuuu，故021=ψψ，即1ψ和2ψ正交。
即证得幺正算符的两个本征矢量，若所属本征值不同亦必正交。
3.2 投影于某一子空间的投影算符P，既然是厄米算符，它的本征值是什么？有无简并？本证子空间是什么？(好)解：投影于某一子空间的投影算符∑==mi iP 1，设全空间是n 维的，且n m <。
则本征值方程ψλψψ==∑=mi iP 1⑴其中λ为本征值， ψ为相应的本征态。
则ψλψλψ22==P P ⑵ 由幺正算符等幂性P P =2得ψψP P=2⑶由⑴、⑵和⑶式得λλ=2，所以1=λ或0=λ。
即求得投影算符的本征值是1或0。
当1=λ时，本征失量是i ，其中m i ,2,1=。
所以是简并的，本征子空间S 是由这m 个基矢构成的矢量空间。
当0=λ时，本征矢量是与i 正交的矢量。
所以也是简并的，本征子空间是S 空间的补空间。
#练习3.3 证明若算符的本征值谱中有零本征值，则这个算符肯定没有逆。
证明：假设算符A 有逆，则在值域中取一任意|φ>，则定义域有|ψ>存在 即ψφφ-==AA 1已知A的全部本征值和相应的本征矢量：i i i a A ψφ= i=1，2，3…，∴()ψψφ--==A a AA算符A 存在零本征值，即00=⇒=φa a∴对于任意本征矢量()ψφa A -≠与()ψφ-=A a 矛盾∴假设不成立，即算符的本征值谱中有零本征值，这个算符肯定没有逆。