《直积》课件
a1
1,
an
,
a1
s
an
a1
1,
an
a1
,
s
an
( 1 ,, s) .
直积的基本性质： 1)k(AB)=(kA)B=A(kB),k为常数； 2)分配律(A+B)CACBC,C(A+B)CACB; 3)结合律(AB)CA(BC); 4)吸收律(AB)(CD)(AC)(BD),AC与BD有意义.
证明：只证3） 我们有 x x-y+y x-y y 和 y y-x+x x-y x , 所以 - x-y x - y x-y ，也就是
x y xy
n
例 1： x=(1,2, ,n)TCn,定 义x1 i, xm axi,
i1
1in
A k) ( B 1 B 2
B) ; k
2 ) ( A 1 A 2A k)(B 1 B 2 B k) ( A 1 B 1) (A 2 B 2) (A kB k) ;
范数有以下性质：
命题： 1)x时，x 是范数为一的向量（单位化） ;
x 2) -x = x ; 3)x，yV,有x y xy .
a1
a n
a 1 B a1 (1,
B
a n B an (1,
,s )
, s )
a11,a12
an 1,an 2,
,a1s
,an s
直积
直积的定义与性质
定义：设A=(aij )mn,B=(bij )pq,称分块矩阵
a11B a12B a21B a22B am1B am2B
a12B a2nB
amnBmpnq
为A与B的直积(张量积或Kronecker积).记为AB=(aijB)mpnq.
例 如 ： A=a c d b,B=2 3， 则
推 论 ： 1)(A B) k=Ak Bk,k=1,2,； 2)(A In)(Im B)(Im B)(A In)A B.(乘 法 可 交 换 )
性 质 4 可 推 广 到 一 般 情 形 ：
1 ) ( A 1 B 1 ) ( A 2 B 2) ( A k B k) ( A 1 A 2
2
2
2
2
x22x y y2 x y 2
2
22
2
2
2
所 以x+y x y .
2
2
2
n
1
例 2： 设 1p , x=(1,2, ,n)T C n,定 义 xp( i p)p,
i 1
则 x 是 C n中 的 范 数 .称 为 p-范 数 . p
p = 1 时 ， 为 1 - 范 数 ； p = 2 时 ， 为 2 - 范 数 ； 令 p , 得 -范 数 . 这 三 种 范 数 为 常 见 范 数 .
定义2：设V是有限维线性空间， x,x是V中任意两种 范数，若存在正数k1及k2，使得xV, 都有：
k1 x x k2 x， 称x与x是等价的.
定 理 1 ： 有 限 维 线 性 空 间 中 的 任 何 两 种 范 数 等 价 .
证 明 ： 设 V 是 n 维 线 性 空 间 ， e 1 , ,e n 是 V 的 一 组 基 ， 则 x V ，
定 理 1： 1)两 个 上 三 角 矩 阵 的 直 积 是 上 三 角 阵 ; 2)两 个 对 角 矩 阵 的 直 积 是 对 角 阵 ; 3)InImImInImn.
直 积 具 有 以 下 运 算 规 律 ：
命题1：1)AC DBF=AC FF DB FF;
n
1
x ( 2
i 2)2=
xHx
(x,x),即x 是 由 酉 空 间 Cn 2
i1
中 内 积 诱 导 的 范 数 ,故 由 Cauchy不 定 式 得
x+y2 (xy,xy)(x,x)(x,y)(y,x)(y,y) 2
x22Re(x,y) y2 x22(x,y) y2
n
1
x ( 2
i 2)2,则x1， x及x2均 是 Cn中 的 范 数 .
i1
证 明 ： 不 难 验 证 x， x均 是 范 数 ， 对 于 x， 正 定 性 和
1
2
齐 次 性 显 然 满 足 . 下 证 满 足 三 角 不 定 式 ：
设 x=(1,2, ,n)T,y=(1,2, ,n)TCn.注 意 到
2)设为列向量，且B=(1, ,s),则
B=(1, ,s);
3)设A=(1,
,t )nt，B=(1,
,s
)则 ps
AB=(1 1, ,1 s, ,t 1, ,t s)npts.
注 ： 由 1 ） 2 ） 即 可 得 3 ） ， 下 面 只 证 1 ） 和 2 ） .
证 明 ： 1)由 定 义 得
(aij) (cij)
((d biijj)) F ((a ciijj)) F F((d biijj)) F F A C F FD B F F
2 ) 设 = (a 1 ,, a n )T ,则
2a 2b
2a 2b
AB=a cB B b dB B=3 2 3a cc
2 3 3d b d,BA=3 2A A=3 2 3a cc
2d. 3b 3d
A B ,B A 的 阶 数 相 同 ， 但 一 般 A B B A . 直 积 不 满 足 交 换 律 . 由 直 积 的 定 义 容 易 推 出 以 下 定 理 ：
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矩阵直积
,t )nt，B=(1,
,
s
)则 ps
A B=(1 1,
,1 s ,
,t 1,
,t
s
) npts
.
注：由1）2）即可得3），下面只证1）和2）.
证明：1)由定义得
(aij )
(cij
)
(bij ) (dij )
F
(aij )
(cij
)
F F
(bij (dij
) )
F F
)
(A
B
2
2
)
(AkBk );
范数有以下性质：
命题：1)x 时，x 是范数为一的向量（单位化）;
x 2) -x = x ; 3)x，y V,有 x y x y .
证明：只证3） 我们有 x x-y+y x-y y 和 y y-x+x x-y x , 所以 - x-y x - y x-y ，也就是
定义2：设V是有限维线性空间，x , x 是V中任意两种
范数，若存在正数k1及k2，使得x V,都有：
k1
x
x
k2
x
，
称 x 与 x 是等价的.
定理1：有限维线性空间中的任何两种范数等价.
证明：设V是n维线性空间，e1, , en是V的一组基，则x V，
有唯一表达式： x=1e1 nen (e1, , en ) , 其中 =(1, ,n )T为x的坐标向量.
A C
F F
BF
D
F
2)设 =(a1, ,an )T ,则
a1
a1 B a1 (1, ,s )
B
an
an B an (1, ,s )
a1 1,a1 2
人教版《圆的面积》ppt课件4
第十二页，编辑于星期一：点 十八分。
五 课堂小结
圆的半径扩大2倍，直径就扩大( )倍，周长就扩大( )倍，面积就扩大( )倍。
(教科书第68页例1)
答：这个羊圈的周长是25.
一个运动场如下图，两端是半圆形，中间是长方形。
圆的半径扩大2倍，直径就扩大( )倍，周长就扩大( )倍，面积就扩大( )倍。
半径为2cm的圆，它的周长和面积相等。
()
()
把半径为2cm的圆的等分成16等份，拼成一个近似的
长方形，长方形的周长比圆的周长大。
()
一个圆的周长是25.12cm，它的半径是4cm，面积
是12.56cm2。
()
第六页，编辑于星期一：点 十八分。
小明骑自行车经过一座长2260.8m的桥，自行车车轮 的直径是0.6m，如果车轮每分钟转100圈，那么多 少分钟可以通过这座桥？
322= 3.14× 圆的周长越大，半径和面积也越大。
14×322=3215.
3215.36（平方米）
这个运动场的面积是多少平方米？
100× (32× 2)=6400（平方米） 把半径为2cm的圆的等分成16等份，拼成一个近似的长方形，长方形的周长比圆的周长大。
(教科书第68页例1)
圆形草坪的直径是20m，每平方米草皮8元。
圆的周长C=πd 或 C=2πr
答：这个大轮的半径是6分米。
圆的周长越大，半径和面积也越大。
半径为2cm的圆，它的周长和面积相等。
圆的周长C=πd 一个水桶的底面是圆形，周长是94.
圆形草坪的直径是20m，每平方米草皮8元。
在一张长9厘米，宽6厘米的长方形纸上剪一个最大的圆，圆的面积是多少？
或
圆的半径扩大2倍，直径就扩大( )倍，周长就扩大( )倍，面积就扩大( )倍。
高等量子力学 课件
20
进而 对于任意的 fr(q) , 总可以进行如下的幺正变换:
(q) 是任意实函数. 于是上式成为:
21
因而, 只要选择 (q) 使得
就有 即 譬如:
(通过适当选择基矢的相因子)
22
于是, 对于任一依赖于坐标和动量的算符
有
小结 在坐标表象中，坐标算符和动量算符对态矢量的作 用, 对应于以下算符对波函数的作用:
15
形式上, 可以把(k), A(k, k)理解为下标连续改变的矩阵:
16
§1.3.4 坐标表象
1 基矢 以体系的Descartes直角坐标本征态为基矢的
表象称为坐标表象, 或Schrodinger表象.
选取全体Descartes直角坐标
为厄米
算符完备组, 可以证明, 其本征值有连续谱, 于是正交归
反之 i = Ui 上述即为矢量的表象变换.
11
二、算符的表象变换
设算符A在K表象、L表象中分别表示为{Aij}和{A}:
Aij = iAj , A = A.
于是， A = ij iiAjj
即
一化关系和完备性公式分别为:
17
2 态矢量|和坐标算符函数的表示
其中,
是
在 |q 上的本征值.
进而,
18
3 动量算符的表示
利用原理3, 即 Heisenberg 对易关系 有
我们知道 (x) 具有性质:
19
将 与 则知, 若
取如下形式
对比
可使上述等式恒成立. 其中 fr(q)是q的任意实函数.
第一章 Hilbert空间
§1.1 矢量空间
1 定义; 2 正交性和模; 3 基矢; 4 子空间
§1.2 线性算符
进而 对于任意的 fr(q) , 总可以进行如下的幺正变换:
(q) 是任意实函数. 于是上式成为:
21
因而, 只要选择 (q) 使得
就有 即 譬如:
(通过适当选择基矢的相因子)
22
于是, 对于任一依赖于坐标和动量的算符
有
小结 在坐标表象中，坐标算符和动量算符对态矢量的作 用, 对应于以下算符对波函数的作用:
15
形式上, 可以把(k), A(k, k)理解为下标连续改变的矩阵:
16
§1.3.4 坐标表象
1 基矢 以体系的Descartes直角坐标本征态为基矢的
表象称为坐标表象, 或Schrodinger表象.
选取全体Descartes直角坐标
为厄米
算符完备组, 可以证明, 其本征值有连续谱, 于是正交归
反之 i = Ui 上述即为矢量的表象变换.
11
二、算符的表象变换
设算符A在K表象、L表象中分别表示为{Aij}和{A}:
Aij = iAj , A = A.
于是， A = ij iiAjj
即
一化关系和完备性公式分别为:
17
2 态矢量|和坐标算符函数的表示
其中,
是
在 |q 上的本征值.
进而,
18
3 动量算符的表示
利用原理3, 即 Heisenberg 对易关系 有
我们知道 (x) 具有性质:
19
将 与 则知, 若
取如下形式
对比
可使上述等式恒成立. 其中 fr(q)是q的任意实函数.
第一章 Hilbert空间
§1.1 矢量空间
1 定义; 2 正交性和模; 3 基矢; 4 子空间
§1.2 线性算符
《高等数学》电子课件(同济第六版)01第一章 第1节 函数
第一节 映射与函数
一、集合
二、函数概念 三、映射 四、函数的特性 五、反函数
六、基本初等函数 七、复合函数 初等函数
1
第一节 映射与函数
一.集合:
1、集合
M {x x具有特定性质}
有限集 如 M {0,1,2, ,9}
无限集 如 M2 {( x, y) x2 y2 1}
2、集合间的关系：
（1） 子 集 ；（2） 集 合 相 等 ；（3） 空 集 ；
2
故定义域为
D
[
0
,
1 2
)
12
3、几个特殊的函数举例
(1) 符号函数
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
定义域 D (, ), 值域 W {1,0,1}
图形：
y
1
o
x
-1
x sgn x x 13
(2) 取整函数： y=[x] [x]表示不超过 x 的最大整数
如 [3] 0, [ 3] 1, [8] 8, [3.8] 4.
x, x 1
f
(x)
min{ x , x2}
x
2
,
1 x 1
三、映射（自学）x, x 1
19
四、函数的特性
1．函数的有界性:
若X D,M 0,x X,有 f (x) M 成立,
则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
如 y cos x 在（ ， ）上有界， 2 x2
y
1 x2
作业
习题11 P21
4(1)(3)(5)(7)(9),5(2)(3),6,7(1),10,11, 12(1)(3)(5),14(1)(3)(5),16,17,18
一、集合
二、函数概念 三、映射 四、函数的特性 五、反函数
六、基本初等函数 七、复合函数 初等函数
1
第一节 映射与函数
一.集合:
1、集合
M {x x具有特定性质}
有限集 如 M {0,1,2, ,9}
无限集 如 M2 {( x, y) x2 y2 1}
2、集合间的关系：
（1） 子 集 ；（2） 集 合 相 等 ；（3） 空 集 ；
2
故定义域为
D
[
0
,
1 2
)
12
3、几个特殊的函数举例
(1) 符号函数
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
定义域 D (, ), 值域 W {1,0,1}
图形：
y
1
o
x
-1
x sgn x x 13
(2) 取整函数： y=[x] [x]表示不超过 x 的最大整数
如 [3] 0, [ 3] 1, [8] 8, [3.8] 4.
x, x 1
f
(x)
min{ x , x2}
x
2
,
1 x 1
三、映射（自学）x, x 1
19
四、函数的特性
1．函数的有界性:
若X D,M 0,x X,有 f (x) M 成立,
则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
如 y cos x 在（ ， ）上有界， 2 x2
y
1 x2
作业
习题11 P21
4(1)(3)(5)(7)(9),5(2)(3),6,7(1),10,11, 12(1)(3)(5),14(1)(3)(5),16,17,18
群的基本概念ppt课件
由此可得到 S3 置换群的乘法表。
S3 置换群表：
S3
E (132) (123) (23) (13) (12)
E E (132) (123) (23) (13) (12)
(132) (132) (123) E (12) (23) (13)
(123) (123) E (132) (13) (12) (23)
Eˆ ECˆ31
Cˆ32
Aˆˆvv((12)) ˆv(3)
同构与同态在构造群表和群的特征标表中作用很大。
2.4 群的直积：直积群
2.4.1 子群 若一个群 H 的群元素皆包含于另一个群 G 之中，就称群 H 是群 G 的子群。 或者说，群 H 的阶为 h，群 G 的阶为 g，且 h ≤ g，H ∈ G。就称群 H 是群 G 的子群。 因为有相同的乘法关系，子群 H 与群 G 有相同的单位元素。
例 1 C6 群包含 C2 子群和 C3 子群。
C 6:
E ˆ C ˆ6 2(C ˆ3 1) C ˆ6 3(C ˆ2 1) C ˆ6 5
C ˆ6 4(C ˆ3 2) C ˆ6 1
C 6 C 3 C 2
例 1 C6 群包含 C2 子群和 C3 子群。
Eˆ
C2v Eˆ Cˆ 2 (Z)
ˆ XZ
ˆYZ
Eˆ Eˆ Cˆ 2 (Z)
ˆ XZ ˆYZ
Cˆ 2 (Z) Cˆ 2 (Z)
Eˆ
ˆYZ
ˆ XZ
ˆ XZ
ˆ XZ
ˆYZ
Eˆ Cˆ 2 (Z)
ˆYZ
ˆYZ
ˆ XZ
Cˆ 2 (Z) Eˆ
例 2-5 S3 置换群
S3 置换群是三个数码 1，2，3 的所有可能的置换，共有 6 个群 元素：
S3 置换群表：
S3
E (132) (123) (23) (13) (12)
E E (132) (123) (23) (13) (12)
(132) (132) (123) E (12) (23) (13)
(123) (123) E (132) (13) (12) (23)
Eˆ ECˆ31
Cˆ32
Aˆˆvv((12)) ˆv(3)
同构与同态在构造群表和群的特征标表中作用很大。
2.4 群的直积：直积群
2.4.1 子群 若一个群 H 的群元素皆包含于另一个群 G 之中，就称群 H 是群 G 的子群。 或者说，群 H 的阶为 h，群 G 的阶为 g，且 h ≤ g，H ∈ G。就称群 H 是群 G 的子群。 因为有相同的乘法关系，子群 H 与群 G 有相同的单位元素。
例 1 C6 群包含 C2 子群和 C3 子群。
C 6:
E ˆ C ˆ6 2(C ˆ3 1) C ˆ6 3(C ˆ2 1) C ˆ6 5
C ˆ6 4(C ˆ3 2) C ˆ6 1
C 6 C 3 C 2
例 1 C6 群包含 C2 子群和 C3 子群。
Eˆ
C2v Eˆ Cˆ 2 (Z)
ˆ XZ
ˆYZ
Eˆ Eˆ Cˆ 2 (Z)
ˆ XZ ˆYZ
Cˆ 2 (Z) Cˆ 2 (Z)
Eˆ
ˆYZ
ˆ XZ
ˆ XZ
ˆ XZ
ˆYZ
Eˆ Cˆ 2 (Z)
ˆYZ
ˆYZ
ˆ XZ
Cˆ 2 (Z) Eˆ
例 2-5 S3 置换群
S3 置换群是三个数码 1，2，3 的所有可能的置换，共有 6 个群 元素：
人教版A版高中数学选修3-4直积
定理2.4.3 设G1 和G2分别是m阶及n阶的循环 群。 则G1 G2 是循环群的充要条件是 (m,n) 1。
证 设 G1 a ，G2 b. 假设 G1 G2是循环群。若 (m,n) t 1 。 则由于 orda m, ordb n, 而am/t 和 bn/t的阶都是 t， 因此
(1) G中每个元可惟一地表为hk的形式， 其中 hH, k K;
(2) H 中任意元与 K中任意元可交换， 即: 对任 意h H，k K ， 有 hk kh。
证 如果 G 是 H 和K 的内直积， 则G HK 。 所以， G 中每个元 g 都可表为hk的形式， 其中
h H ，k K 。 如果 g hk hk, h H ,k K,
所以G 是交换群。 反之， 如果G 是交换群， 那么对任意的 a1,b1 G, a2,b2 G 有
a1,a2 b1,b2 b1,b2 a1,a2 ,
即 a1b1,a2b2 b1a1,b2a2 .
故 a1b1 b1a1, a2b2 b2a2 , 所以 G1，G2 都是交换群。 (3) 构造映射
9，12)，b 也有4种选择，从而共有16个5阶元。 (2) orda 5,ordb 1. 此时 a 仍有4种选择，
而 b 只有一种选择， 故共有4个5阶元。 (3) orda 1,ordb 5 此时 a 只有一种选择，
而 b 有4种选择， 故也有4个5阶元。 于是，Ζ15 Ζ5 共有24个5阶元。
定理2.4.2 设 G1,G2 是群，a 和 b 分别是 G1和 G2中 的有限阶元素。则对于(a,b) G1 G2， 有
ord(a,b) [orda,ordb].
证 设 orda m,ordb n, s [m,n]. 则
矩阵的直积课件
v2
v2
所以 AB 2 A 2 B 2 .此范数称为Frobenious范数,简称F-范数，
v2
v2
v2
常记为 A ，它有很好的性质. F
定理4：1）A Cnn,x Cn,则 Ax A x ;
2
F2
2）U ,V为酉矩阵，有
UA = AV = UAV = A =(tr(AH A))1/2.
F
A C
F F
BF
D
F
2)设 =(a1, ,an )T ,则
a1
a1 B a1 (1, ,s )
B
an
an B an (1, ,s )
a1 1,a1 2
an 1,an 2,
,a1 s
,an s
a1
1,
an
,
a1
s
an
m,n
例3：设 A Cmn ,则
A
v1
=
i，j 1
aij
,
A
v
= max i, j
aij
,以及
A
vp
m,n =
i，j1
aij
1/ p
p
( p 1)均是A的范数.
类似的前面的讨论，我们有如下定理：
定理3：
1）A Cmn的任一种范数均是A的元素的连续函数；
2）Cmn的任两种范数均是等价的，即对 A ，A ，存在
)
(A
B
2
2
)
(AkBk );
范数有以下性质：
命题：1)x 时，x 是范数为一的向量（单位化）;
x 2) -x = x ; 3)x，y V,有 x y x y .
证明：只证3） 我们有 x x-y+y x-y y 和 y y-x+x x-y x , 所以 - x-y x - y x-y ，也就是
矢量空间的直和与直积ppt课件
算符的加法和乘法可根据上述定义得出：
(A L) (B M ) (A B) (L M ) （5.7）
(A L)( ) A L
(A L)(B M ) AB LM
(5.8)
证明：将其左边作用于直和空间中的任一矢量 上，有
(A L()A(BL)M(B)(M)( )(A)L()ABL)BM M
中的全部矢量，都是形如 的矢量。
在 R1 中取一组基矢{i },i 1,2,, n1, ，设这组基矢是算
符 K 的本征矢量（ K 表象）；在 R2 中取 P 表象，其基矢为
{ m },m 1,2,, n2 , 那么直和空间中的任意矢量 都可
以写成下列的形式：
i i m m
最后讨论一下子空间中的直和。若 R1 和 R2 是大空间的两个子空间， 则只有当 R1 和 R2 除零矢量 O 外不含公共矢量时，才可以谈论二者的直 和。这是因为大空间中的加法适用于所有矢量，从 R1 和 R2 中各取一个矢
量构成的双矢量 与二者之和 是等价的，前面公式中矢量
的直和号 可以径直改写为加号。直和空间不只包含 R1 和 R2 中的所有矢 量，还包含更多的矢量。例如在三维物理空间中，若 R1 是 xy 平面上的所 有矢量，R2 是沿 z 轴的矢量，则 R1 R2 包含这个三维空间中的全部矢量。 由于算符在整个大空间中都有定义，所以一切算符在 R1 和 R2 中是通用的， 这时没有算符的直和这一概念，（5.6）式和（5.14）式都不存在。
功了一个新的矢量空间 R ，我们说空间 R 是 R1 和 R2 的直和空间，
表为
R R1 R2
（5.5）
现在，用 R1 中的算符 A，B， 和 R2 中的算符 L，M，
去构造直和空间中的算符 A L ，称为 A，L 两算符的直和，其
近世代数群的概念课件
反身性
任何元素与自己相乘的结果仍为该元素本身。
可交换性
对于任意$a, b$在群中，有$a cdot b = b cdot a$。
可结合性
对于任意$a, b, c$在群中，有$(a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c)$。
子群与商群
子群
一个子群是一个集合在某个二元运算 下构成一个群，且该子集是原群的非 空子集。
05
有限群的结构
有限群的分 类
阿贝尔群和非阿贝尔群
01
根据群中元素的乘法是否满足交换律，可以将有限群分为阿贝
尔群和非阿贝尔群。
循环群和非循环群
02
根据群中是否存在循环子群，可以将有限群分为循环群和非循
环群。
素数阶群和非素数阶群
03
根据群的阶是否为素数，可以将有限群分为素数阶群和非素数
阶群。
有限群的Sylow定理
近世代数群的概念
目 录
• 群的定义与性质 • 群的表示与同态 • 循环群与交换群 • 群的扩张与直积 • 有限群的结构 • 群的应用
contents
01
群的定义与性质
群的定 义
群的定义
一个群是由一个集合和一个 在其上的二元运算所组成， 满足结合律、存在单位元、 存在逆元的代数系统。
结合律
群中的二元运算满足结合律， 即对于任意$a, b, c$在群中， 有$(a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c)$。
单位元
群中存在一个元素$e$，使 得对于任意$a$在群中，有 $e cdot a = a cdot e = a$。
逆元
对于任意$a$在群中，存在 一个元素$b$，使得$a cdot b = b cdot a = e$，其中 $e$是单位元。
吉林大学微积分(高等数学) PPT课件
例如实数集R中集合 A {x 0 x 1}的 补集是
AC A {x x 0 或 x 1 }.
9
二、集合的基本运算
1. 集合的并、交、差
设 A、B 是两个集合,由所有属于A 或者属 于B 的元素组成的集合, 称为A 与 B 的并集(简称 并), 记作 A B,
即 A B {x x A 或 x B};
[a,b] {x a x b}.
oa
b
x
a 和 b 称为闭区间[a, b]的端点, a [a, b], b [a, b].
16
类似地可定义半开区间:
[a,b) { x a x b},(a,b] { x a x b}. 有限区间 [a, b]、(a, b)、(a, b]、[a, b).
a
a
a
点 a 叫做这个邻域的中心,
叫做这个邻域的半径.
x
19
去心邻域的定义:
点 a 的 邻域去掉中心a 后, 称为a 的去心
o
邻域, 记作U (a, ),即
o
U(a, ) { x 0 x a }.
开区间(a ,a) 称为a 的左 邻域, 开区间 (a, a ) 称为a 的右 邻域.
(,) {x x R} R
ob x
18
4.邻域的定义
设 是任一正数, 则开区间(a ,a ) 是 a 的一个邻域, 称为点a 的 邻域, 记作U(a, ). U(a, ) {x x a } {x a x a }.
22
按 照 定 义 ， 如 果 数 集E有 界 ， 则 存 在 常 数l与L(l L)， 使 得 对 一 切x E, 都 有
AC A {x x 0 或 x 1 }.
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二、集合的基本运算
1. 集合的并、交、差
设 A、B 是两个集合,由所有属于A 或者属 于B 的元素组成的集合, 称为A 与 B 的并集(简称 并), 记作 A B,
即 A B {x x A 或 x B};
[a,b] {x a x b}.
oa
b
x
a 和 b 称为闭区间[a, b]的端点, a [a, b], b [a, b].
16
类似地可定义半开区间:
[a,b) { x a x b},(a,b] { x a x b}. 有限区间 [a, b]、(a, b)、(a, b]、[a, b).
a
a
a
点 a 叫做这个邻域的中心,
叫做这个邻域的半径.
x
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去心邻域的定义:
点 a 的 邻域去掉中心a 后, 称为a 的去心
o
邻域, 记作U (a, ),即
o
U(a, ) { x 0 x a }.
开区间(a ,a) 称为a 的左 邻域, 开区间 (a, a ) 称为a 的右 邻域.
(,) {x x R} R
ob x
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4.邻域的定义
设 是任一正数, 则开区间(a ,a ) 是 a 的一个邻域, 称为点a 的 邻域, 记作U(a, ). U(a, ) {x x a } {x a x a }.
22
按 照 定 义 ， 如 果 数 集E有 界 ， 则 存 在 常 数l与L(l L)， 使 得 对 一 切x E, 都 有