量子信息导论

量子信息论基础之 经典信息论简介基本内容：
信息的基本概念和度量：香农熵
信源与信道：互信息量，信源编码
香农定理
什么是信息：获得消息和消除掉的不确定性信息量：消除不确定性的度量
例子：事件x,出现概率为P(x)
特征：小概率事件信息量大
P(下雨) >> P(地震)
度量事件x的信息量：自信息量
I(x)=-log[P(x)] 信息论中，常以2为底数
事件集合：事件集的信息熵：事件中各事件自信息量的统计平均性质：
正定性： 可加性：
强可加性：
上凸性:H(X)>=0
香农熵：
信源和信道
信源：物理属性（空间，时间），
概率属性（无记忆，Markov信源），
数学属性（离散，连续）
信道：传送信息
input output
信道传输概率矩阵:噪声信道数学表示
互信息量：接收信息B后消除的对A的不确定性（具有对称性）事件集{A,B}的总熵：
零概率事件：某些情况下，零概率不一定表示不可能发生。

例如在实数轴上取点得有理数或整数的概率为零，但还是会发生。

零概率事件给出信息无穷大，但是由于出现概率为零，对整体信息量计算没有影响。

x*logx=logx/(1/x)-->-x-->0 when x-->0
各信息量之间的关系图
H(A|B)H(B|A)
H(A)H(B)
I(A,B)H(A,B)
事件集的互信息量：
信道容量：对于给定的信道，总存在一种信源，使得信息的传输率最大，这个最大值定义为信道的容量.
信源与信道的匹配性：
R=C 匹配； R<C 不匹配；
信道剩余度： C-R
信道的信息传输率R：
信道容量有时也表示为单位时间内可传输的二进制位的位数（称信道的数据传输速率，位速率），以位/秒（b/s ）形式予以表示，简记为bps 。

信源编码：在不失真或者减小失真的情况下尽量减少信号传送信息，提高传输率
信源信源编码信道编码信宿信源译码信道译码
信道
编码目的：适用于信号传输，增加抗干扰，
保证尽可能大的传输率
编码：使信源符号序列和码字符号C中的码字之间建立的一一对应关系
信源输出符号集合：
编码符号集合：
码元码字：
信源编码：依据输出符号的统计特性，寻找一定的方法，把信源输出的序列变成最短的码字序列，使每个码字携带的平均信息最大。

例子： S: s1 s2 s3 s4
P: 1/2 1/4 1/8 1/8
编码a ： 00 01 10 11
编码b ： 0 10 110 111码字集合：
平均码长：
新信源的传输率：信源符号的平均信息量（比特/信源符号）
编码符号数（码元符号/信源符号）
码元符号的平均信息量（比特/码元符号）
香农定理：
1948年，香农第一定理
（无失真的信源编码定理）
{A_i} {P(A_i)}
能否用m个元素来表示？ m<n
要保证信号无失真 or 差别趋于0：
例子1：{a,b} with {P(a)=0.99,P(b)=0.01}
二次扩展信源符号集合 {aa,ab,ba,bb}
相应概率 {0.9801,0.0099,0.0099,0.0001}
其中bb出现概率很小，可以近似抛弃，对整体出错率影响不大。

故传递三种组合{aa,ab,ba}就可达到很高的传输效果。

随着位数的增加，其组合序列中有一些序列的出现概率指数逼近零，故在讨论时可以近似忽略。

NB:不是对单个信号一一编码，而是对信源整个符号序列进行编码,降低平均码长。

例子2：Shannon编码方法
pj sj Pj mj uj
0.4C00.000010
0.18B0.40.01103011
0.1A0.580.100141001
0.1F0.680.101041010
0.07G0.780.110041100
0.06E0.850.110141101
0.05D0.910.11101511101
0.04H0.960.11110511110
按概率大小排序；二进制表示概率；确定码元数目；获得码字
第一定理：离散无记忆信源的S^N,其熵为H(S^N),并有码字集合X,总可以找到一种编码方法，使得平均码长满足基本思路：引入典型序列(typical string)
log(n!)=nlog(n)-+O(logn) (n 很大)；
)()]1log()1(log [)!
1()!(!log log p nH p p p p n np np n C np
n =----=-=n 很大时，信源不同的n 字符串共有2^{nH(X)}个
0 {,} 1 1-i i p X x p p ⎧==⎨⎩信源123,,N X X X 次扩展，，最可能出现的序列，称为典型序列(1)()1212(,,,)()()()(1)
2np p n nH X n n p x x x p x p x p x p p --=≈-≈ ()2nH X 最多有个典型序列
}
,,,{X 21r x x x =码元符号：
香农第二定理（信道编码定理）
目的：加入冗余，增强信号传输稳定性
例子：二元对称信道编码： 1 ---> 111, 0 ---> 000 P0^3 3*P0^2*P1 3*P0*P1^2 P1^3
111 110,101,011 100,010,001 000
解码：少数服从多数 (111,110,101,011)-->1
(000,100,010,001)-->0
错误率：1-P0^3-3*P0^2*P1=3*P0*P1^2+P1^310
10
P0
P0
P1
定理：当R<C时，存在一种编码，一方面可以使得最小平均错误译码率P_{emin}任意小，另一方面又可以使得信道传输率R无限接近信道容量C。

量子信息论基础之量子力学基本假设
1). 量子态：叠加原理
2). 力学量：厄米算符
3). 量子态的演化：Schrodinger方程，幺正演化
4). 测量假设：测量投影假设
光子
原子电子
•说明：
测量过程：
系统 + 测量仪器复合系统
测量效果：
新的量子态制备的过程
在量子信息和量子计算中，测量塌缩与态叠加原理互为一对矛盾。

量子算法设计中尽量减小不需要结果出现的概率。

量子力学基本假设：
1. 量子态：叠加原理
2. 力学量：厄米算符
3. 量子态的演化：Schrodinger方程，幺正演化
4. 测量假设：测量投影假设
Copenhagen Interpretation
哥本哈根解释：玻尔, 海森堡、玻恩等
•测量塌缩的物理机制？Zurek消相干理论(1982)•塌缩的不可逆性，世界为什么选择了一种塌缩？•有其他的塌缩宇宙末？
平行宇宙Everett多世界理论(1957)
Schrodinger’s cat
基本假设的延伸
•孤立系统纯态假定==〉混合态系统
•孤立系统幺正态演化==〉子系统广义演化•测量的投影假定==〉广义测量
矩阵的极分解和奇异值分解定理：
矩阵的极分解：
A为矢量空间上的线性算符，那么存在幺正算符U
和正定算符J和K，使得A=UJ=KU，J=(A+A)1/2 ,
K=(AA+)1/2 .如果A可逆，则U是唯一的
奇异值分解：
A为方阵，则存在幺正矩阵U和V，及非对角矩阵D，满足A=UDV，D中的对角元称为A的奇异值。

利用纠缠进行光速通讯的不可能性
A B
在A端进行本地的局域测量，
统计测量无法识别两个相同的密度矩阵不能传信息
关于量子擦除：相对相位信息的擦除与复原
SG(z)
SG(x)
SG(z)
相对相位信息恢复
1.4
量子比特及其操作
•1.量子比特(Qubit): 量子信息的基本单元 二能态的量子系统
光子原子
声子
⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+=12sin 02cos θθψφi e 1()2I n ρσ=+⋅ (sin cos ,sin sin ,cos )
n θϕθϕθ= 222123det()01()0||1P P P P ρ≥⇒-++≥⇒≤ 混合态：单位球内一点
纯态：球面上一点
||P ρ⇔ 一一对应：
Bloch 矢量
(3). 量子比特的操作
•单比特操作：二维空间里的特殊幺正变换
n (2)
and det()1SU U U UU I U ++===3个自由参数
01ˆ ;10ˆ ˆ0110===⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=X X
X x σ比特反转
•双比特操作：(主要：控制-U 门)
i.量子C-NOT 门电路
a b a
c a b
=⊕控制目标
1011 ;111001
01 ;0000→→→→ii.量子控制相位门
• 3比特量子门（控制-控制-U门）
代表：Toffli门（控制-控制-非门）(3)
纯态叠加原理
力学量
幺正演化
测量投影假设混态密度矩阵
广义演化
广义测量。