2.4群的直积
直积运算规则
直积运算规则
以下是 9 条关于直积运算规则：
1. 嘿，你知道吗，直积的元素可多啦！就像把两组东西一股脑儿地放在一起。
比如说集合 A 有 1、2，集合 B 有 3、4，那 A 和 B 的直积不就是(1,3)、(1,4)、(2,3)、(2,4)嘛！这多直观呀！
2. 哇塞，直积运算里每个元素都有自己独一无二的位置呢！就好像拼图的每一块都得在对的地方。
像两个集合拼起来形成的直积，可不是随随便便放的哟！
3. 嘿呀，直积运算可神奇了！它就像是搭建一个独特的城堡，用不同的部分组合起来。
比如给你两个集合，通过直积能创造出好多新的组合来呢！
4. 哎呀，你想想看，直积不就是把不同的元素搭配起来嘛，这多有意思呀！就像搭配衣服，不同的上衣和裤子能搭配出好多不同的造型呢，直积也是同理哟！
5. 哇，直积运算可以让简单的集合变得超级丰富咧！好比一只小蚂蚁变成了一个庞大的蚂蚁军团。
像集合 A 是红色、蓝色，B 是圆形、方形，它们的直积可就丰富多彩啦！
6. 嘿，直积就是把不同的东西交织在一起呀，产生奇妙的结果呢！比如一组数字和一组图形的直积，会带来好多新奇的组合哦。
7. 哎哟喂，直积运算规则其实不难理解啦！就像走一条路，跟着走就能弄清楚。
不同集合的直积，就是沿着特定的方式把它们组合起来嘛！
8. 哇哦，直积有时候就像变魔法一样！能把普通的东西变得很特别呢。
比如说两个普通的集合，一通过直积就变得不一般了呀。
9. 直积运算规则呀，真的是很特别呢！它让集合变得更有魅力更有趣啦！就好像给它们穿上了一件漂亮的外衣，变得光彩照人！我的观点结论就是，直积运算让数学变得更丰富多彩，更值得我们去深入探究和发现呀！。
1.5群的直积同构同态
证明： 构成群， 满足群的四个条件） 证明：（证G'构成群，只需证 满足群的四个条件） 构成群 只需证G'满足群的四个条件
●封闭性 ●结合律
由定理给出的假设条件自动满足 中的元素与G'中元素的对应为 设G中的元素与 中元素的对应为 中的元素与 R→R' ，S→S' ，T→T'
则乘积也有对应关系 (RS)T→(R'S')T', R(ST)→R'(S'T') 中的元素满足结合律， 群G中的元素满足结合律，即 中的元素满足结合律 (RS)T=R(ST) 则 (R'S')T'=R'(S'T') 即集合G'中的元素乘积满足结合律 即集合 中的元素乘积满足结合律
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●H中的元素都属于群 ，则H中元素乘积显然满足结合律 中的元素都属于群G， 中的元素都属于群 中元素乘积显然满足结合律
●综上，子集 在与群 相同乘积规则下满足群的四个条件， 综上，子集H在与群 相同乘积规则下满足群的四个条件， 在与群G相同乘积规则下满足群的四个条件
因此， 是 的子群 因此，H是G的子群 2）（证H是不变子群） 是不变子群） ）（证 是不变子群 中的元素RS 中的元素R' 群G中的元素 µR-1→G'中的元素 E'R'-1=E' 中的元素 中的元素 即 RSµR-1=Sν →E' 属于 属于H 由元素的任意性， 则 RSµ=SνR， 由元素的任意性，可知 RH=HR 因此，子群H是 的不变子群 因此，子群 是G的不变子群
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证明定理（ 证明定理（一） 思路： 思路： 证明与G'恒元 对应的G中元素集合 恒元E'对应的 中元素集合H是 的子群 1）证明与 恒元 对应的 中元素集合 是G的子群 再证H是 的不变子群 2）再证 是G的不变子群 最后证与G'其它元素 对应的G中元素集合是 的陪集RH 其它元素R'对应的 中元素集合是H的陪集 3）最后证与 其它元素 对应的 中元素集合是 的陪集 显然与商群G/H同构（见商群定义） 同构（ 则G'显然与商群 显然与商群 同构 见商群定义） 证明： 证明： ）（H是 的子群 据群的四个条件） 的子群， 1）（ 是G的子群，据群的四个条件） ●设H的内容是 H={S1,S2,...,Sh}，H中的元素与元素间乘积均 的内容是 中的元素与元素间乘积均 对应于G'中的恒元 中的恒元E'，即 对应于 中的恒元 即 Sµ→E', Sν→E', SµSν→E' 因此有 S µ ∈ H , Sν ∈ H , S µ Sν ∈ H 子集H对元素乘积封闭 即子集 对元素乘积封闭 6
群论第二章ppt
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§2.1 群的概念
显然只有群元素比较少时这乘法表才排得出来，在乘法表 中每列与每行，每个元素出现一次，也仅一次，这为乘法表 的重排定理。 若群是Abel群（交换群），则乘法表中对主对角线是对称 的。下面给出几个例子 例1 G 1, 1 乘法为普通数乘法，单位元素为1 e ,a=-1逆元素为 自 己，其乘法定律 ee=e, aa=e, ea=ae=a, 这群在量子力学中很重要，这群与空间反演相对应，三维 空间矢量 r 作用 er r ar r e保持 r 不变的恒等变换 a 使 r 反演的反演变换，则 e, a 构成反演群。 我们称群G与反演群同构。
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§2.1 群的概念
给出乘法表如下表：从表中看出，群中元素任一个u乘 积 ug a ， 给出并且仅一次给出G所有元素，满足重排定理。 e a b c d f —— |—————————————— e | e a b c d f a | a e d f b c b | b f e d c a c | c d f e a b d | d c a b f e f | f b c a e d 后面看到重排定理大大限制了互相不同构有限群数目。还 可以证明，阶数为相同素数的有限群都同构。三客体置换群 S 3 与平面正三角形对称群D3 同构。
a G
ae ea a
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§2.1 群的概念
2. 乘法表与群示例
如果我们知道群中每两个元素的乘积，则群 结构就确定了。这乘积可以排列成一个乘法 表，例如G中有元素e,a,b,c,d，乘法表为 e a b c d e ee=e ea=a b c d
a b c d ae=a aa b c d ba ca da ab bb cb db ac bc cc dc ad ba cd dd
群论中的群的基本定理和群的生成元
群论是数学中一门重要的分支，研究的是代数结构中的群。
群是以二元运算（通常为乘法）定义的一种数学结构，满足封闭性、结合律、存在单位元和逆元的性质。
在群论中，有两个重要的概念，即群的基本定理和群的生成元。
首先，群的基本定理是群论中的核心定理之一。
它表明，对于任何有限群G，存在一个唯一的素数p以及正整数n₁,n₂,...,nk，使得G同构于n₁个阶为p的循环群、n₂个阶为p²的循环群、...、nk个阶为p^k的循环群的直积。
这个基本定理可以看作是将一个复杂的有限群分解为几个简单的循环群的直积的过程。
通过群的基本定理，我们可以更好地理解有限群的结构和性质，为解决许多数学问题提供了有力的工具。
其次，群的生成元是群论中的另一个重要概念。
对于给定的群G，如果存在元素a₁,a₂,...,an，它们的乘积可以得到G中的所有元素，那么称a₁,a₂,...,an是群G的生成元。
换句话说，生成元是通过群中的有限次操作可以生成整个群的元素。
生成元可以帮助我们更好地理解群的性质，特别是它们的元素之间的关系。
在许多实际问题中，通过寻找群的生成元，我们可以简化问题的复杂度，从而更容易解决。
在群的生成元的概念中，有一个重要的定理，即生成元的个数不唯一。
对于一个群G，它的生成元的个数可以是有限的也可以是无限的。
但是，存在一种特殊情况，即群G的所有生成元的个数都是有限的，这种情况下群G被称为有限生成群。
有限生成群在实际问题中具有重要的应用，如密码学、编码理论等领域。
除了有限生成群，还有一类特殊的群，即无限生成群。
无限生成群由无限多个生成元组成，通常被用来描述无穷集合中的对称性。
例如，无限群中的整数加法群Z和无限循环群C都是无限生成群。
总之，群论中的群的基本定理和群的生成元是群结构研究中的重要内容。
群的基本定理可以帮助我们理解有限群的结构和性质，而群的生成元则可以帮助我们处理复杂的群问题。
通过深入学习和应用群的基本定理和群的生成元，我们能够在数学和其他领域中更好地理解和解决问题。
第二章 群及其性质
第二章 群及其性质群论属于代数学的范畴，它所研究的是群这样一个代数系统。
所谓代数系统，就是一个具有满足一定法则的代数运算的集合。
一个群只有一种代数运算，我们把这种代数运算称为群的乘法，简称群乘。
群的定义：假设G 是由一些不同元素组成的集合，即G {} ,21,g g =。
在G 中各元素间定义了一种群乘规则 ( 连续操作，乘法、加法运算)， 如果G 对这种群乘规则满足以下条件：（1）满足封闭性。
G 中任意两个元素的乘积仍然属于G ，即 若G g g j i ∈∀,，则G g g g k j i ∈=。
（2）结合律成立。
G g g g k j i ∈∀,,，都有=k j i g g g )()(k j i g g g 。
（3）存在单位元E G ∈。
对Gg i ∈∀，都有ii i g E g Eg ==，所以E 又称为恒等操作。
（4）存在逆元。
对每个Gg i ∈, 存在一个唯一的逆元素Gg i ∈-1, 使i i g g 1-Eg g i i ==-1成立。
这时称集合G 对于所定义的群乘来说构成一个群。
这四个条件常被称为群公理。
单位元素的逆元是自身（E-1=E ）。
证明：因为1111)(g g =--，121)(-g g E g g ==--1112。
所以 E )()(21121g g g g -=211112g g g g --=。
群元的个数，称为群的阶（一般用符号g 来表示）。
若群G 的元素个数有限，则群G 称为有限群；若群G 的元素个数无限，则群G 称为无限群。
群的元素不但可以是数，而且可以是平移、转动、反射、置换、反演等物理操作。
最简单的操作是恒等操作，这种操作是指对事物什么也没有做。
我们需要恒等操作是为了满足群的数学条件。
群乘运算与元素有关。
如果群元是数，群乘就是通常的乘法或加法；如果群元是物理操作，群乘就是操作，先操作右边元素，再进行左边操作（与算符相似）。
群的乘法一般不具有可交换性，即对G g g ∈∀21,，一般说来21g g 12g g ≠。
群的基本概念
例 1-2 实数乘法群 除 0 以外的全体实数的集合对数的乘法构成群；（1）任意两实数之
积仍为实数，（2）数的乘法服从结合律，（3）恒等元为 1，（4） 逆元为其倒数。
A、B 为群 G 中的元素，如果：
AB = C 则 C 也是群 G 中的一个元素。
(2) 结合律 群元素相乘满足乘法结合律，如： ABC = ( AB )C =A( BC )
(3) 恒等元素
群中有且仅有一个恒等元素 E，且有：
EX = XE = X
其中 X 为群中的任何元素。
(4) 逆元素
群中任一元素 X 都有一个逆元素 X-1 ，且逆元素 X-1 也
1 2 3 132 3 1 2 1 2 3 23 1 3 2
群元素相乘相当于进行一次置换后，再进行一次置换。
置换群的群元素相乘彼此不对易，作用的先后次序是重要的： 先右边，再左边（action in turn !）。如
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1213 2 1 3 3 2 1 3 1 2 132 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1312 3 2 1 2 1 3 2 3 1 123
( 3) v ( 3) v (2) v (1 ) v 1 3 2 3
E
2.3 同构与同态
两个群，如果其群元素数目相同（同阶群），而且乘法关系相同
（有相同的乘法表），则称这两个群同构，即有相同的结构。 如 例 2-1 中的 C2 群、Ci 群、Cs 群三个群同构。 如 C3v 群与 S3 群同构。此外，还有 Cnv 群与 Dn 群同构，O 群与 Td 群同构。
自同构和直积-概述说明以及解释
自同构和直积-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述:自同构和直积是群论和代数学中重要的概念。
自同构指的是一个群与其自身之间存在一一对应的同构映射关系，直积则是将两个群的元素按照一定规则组合在一起得到一个新的群。
自同构和直积的研究在代数学和离散数学中具有重要的地位，它们不仅有着理论上的意义，也在实际中有着广泛的应用。
在本文中，我们将对自同构和直积这两个概念进行详细的介绍，并探讨它们之间的关系。
通过对这些概念的深入理解，我们可以更好地理解群论和代数结构中的各种问题，从而为进一步的研究和应用提供坚实的基础。
1.2 文章结构文章结构部分的内容应该包括本文的主要章节和内容概述。
在这里，我们可以简要介绍本文将分为引言、正文和结论三个部分。
在引言中将概述自同构和直积的概念，同时阐明本文的目的和意义。
在正文部分将详细介绍自同构和直积的定义、性质和相关定理，以及它们之间的关系。
最后在结论部分将总结自同构和直积在数学领域的重要性，并展望未来可能的研究方向。
整篇文章将围绕这些内容展开，希望可以为读者提供清晰的理解和启发。
1.3 目的本文旨在探讨自同构和直积在数学领域中的重要性和应用。
通过对自同构和直积的定义、性质和特点进行详细分析，我们希望读者能够深入了解这两个概念在代数学、几何学、拓扑学等领域中的重要作用。
通过对自同构和直积的关系进行讨论，我们将展示它们之间的联系和相互影响。
最终，我们将总结自同构和直积的重要性，并探讨它们在未来研究方向中的潜力应用，以期为数学领域的进一步发展提供启示。
2.正文2.1 自同构自同构是指一个结构与自身的同构映射。
在数学领域中，自同构通常指的是一个映射，它将一个结构映射到自身并保持结构的基本特征不变。
自同构在代数、拓扑、几何等领域都有重要应用。
在代数学中，自同构常常用来研究群、环、域等代数结构的性质。
一个群的自同构映射可以帮助我们理解群的对称性质，而一个环的自同构映射则可以揭示环的结构特征。
人教版A版高中数学选修3-4直积
定理2.4.3 设G1 和G2分别是m阶及n阶的循环 群。 则G1 G2 是循环群的充要条件是 (m,n) 1。
证 设 G1 a ，G2 b. 假设 G1 G2是循环群。若 (m,n) t 1 。 则由于 orda m, ordb n, 而am/t 和 bn/t的阶都是 t， 因此
(1) G中每个元可惟一地表为hk的形式， 其中 hH, k K;
(2) H 中任意元与 K中任意元可交换， 即: 对任 意h H，k K ， 有 hk kh。
证 如果 G 是 H 和K 的内直积， 则G HK 。 所以， G 中每个元 g 都可表为hk的形式， 其中
h H ，k K 。 如果 g hk hk, h H ,k K,
所以G 是交换群。 反之， 如果G 是交换群， 那么对任意的 a1,b1 G, a2,b2 G 有
a1,a2 b1,b2 b1,b2 a1,a2 ,
即 a1b1,a2b2 b1a1,b2a2 .
故 a1b1 b1a1, a2b2 b2a2 , 所以 G1，G2 都是交换群。 (3) 构造映射
9，12)，b 也有4种选择，从而共有16个5阶元。 (2) orda 5,ordb 1. 此时 a 仍有4种选择，
而 b 只有一种选择， 故共有4个5阶元。 (3) orda 1,ordb 5 此时 a 只有一种选择，
而 b 有4种选择， 故也有4个5阶元。 于是，Ζ15 Ζ5 共有24个5阶元。
定理2.4.2 设 G1,G2 是群，a 和 b 分别是 G1和 G2中 的有限阶元素。则对于(a,b) G1 G2， 有
ord(a,b) [orda,ordb].
证 设 orda m,ordb n, s [m,n]. 则
直积和直和
直积和直和
直积和直和是数学中的概念，用于描述两个或多个数学结构的组合方式。
直积通常用符号“×”表示，表示将两个结构按照一定的规则组合成一个新的结构；直和通常用符号“⊕”表示，表示将两个结构合并成一个新的结构。
以向量空间为例，设V和W分别为两个向量空间，则V×W是由所有形如(v,w)的元素组成的集合，其中v∈V，w∈W。
V×W中的加法和标量乘法分别定义为：
(v1,w1)+(v2,w2)=(v1+v2,w1+w2)；
k(v,w)=(kv,kw)。
而V⊕W是由所有形如v⊕w的元素组成的集合，其中v∈V，w∈W。
V⊕W中的加法和标量乘法分别定义为：
(v1⊕w1)+(v2⊕w2)=(v1+v2)⊕(w1+w2)；
k(v⊕w)=(kv)⊕(kw)。
可以看出，直积和直和的定义方式有些相似，但它们的组合方式和运算规则是不同的。
在不同的数学领域中，直积和直和的应用也有所不同，例如在代数学中常常用到直积，而在拓扑学中常常用到直和。
总之，直积和直和是数学中重要的概念，它们可以帮助我们更好地理解数学结构的组合方式和运算规则。
- 1 -。
直积的计算公式
直积的计算公式在数学中，直积是两个或多个集合的笛卡尔积的一个广义形式，它是一种很重要的基础概念。
直积在各种数学分支的表现都不相同，因此，它被广泛用于数学的各个领域，包括组合数学、代数学、几何学、拓扑学等。
直积的计算公式：设A={a1,a2,...,an}、B={b1,b2,...,bm}是两个非空集合，其直积为A×B={(a,b) | a∈A，b∈B}。
同理，设R={(x,y) | x∈A，y∈B}为A和B的直积，则R是一个由有序二元组(x,y)组成的集合。
R中的元素的个数n(A) ×n(B)，其中，n(A)和n(B)分别为集合A和B的元素个数。
例如，当A={1,2,3}，B={a,b}时，A与B的直积为{(1,a),(1,b)，(2,a),(2,b)，(3,a),(3,b)}。
直积的另一种表示形式是使用向量或矩阵的形式。
例如，若集合A和B都是有限域GF(p)上的向量空间，则A和B的直积可以表示为A⊗B={a⊗b | a∈A，b∈B}，其中⊗表示向量空间的张量积。
直积的此种表示形式在代数学、线性代数和量子力学等领域中应用广泛。
直积的计算公式可以用来计算两个或多个集合间的关系，例如可以使用直积计算关系的乘积或笛卡尔积，或者可以利用直积来计算不同集合间的同构关系。
同样地，直积也被用于计算拓扑空间和流形之间的笛卡尔积，以及多项式环和双线性映射之间的张量积。
在数学中，直积是一个非常基础的概念，在各个领域都有着广泛的应用。
因此，对于直积的基本定义和计算公式的理解，是数学学习的必要基础。
当我们能够熟练地应用直积的计算公式，我们就能更深入地理解和掌握数学中的各种概念和定理。
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证明:由(2)可将G表示为
G = { ab | a∈A，b∈B}，
而 A×B= {(a, b) | a∈A，b∈B} 作映射 f: G→A×B， ab→(a,b) ∵a1b1=a2b2 a1-1a2=b1b2-1∈A∩B a1-1a2=b1b2-1={e} a1=a2，b1=b2，
∴ f 是映射且为单射，f 也是满射。
2.4.5 群分解为不可分解子群的直积 (Group being Resolved Direct Product of Unresolved Subgroup)
定义: 设G=G1×G2×…×Gn，其中Gi G，1≤i≤n， 映射 fi : G→G fi (x) = xi , x=x1x2…xi…xn∈G，xi∈Gi 而且 fi 具有如下性质: (1) fi 是G的自同态: fi (xy)=fi (x) fi (y); (2) fi 是幂等的: fi2 = fi ; (3) fi 是正交的: 对 x∈G，则 i≠j 有 fi fj =0 (4) fi 是正规的: 任意自同构Ca，有 fi Ca= Ca fi。 则称 fi 为G的投影.
定义二元运算为乘法 (a1,a2,…,an)(b1,b2,…,bn)=(a1b1,a2b2,…,anbn)， 则G关于乘法构成群，
G=G1×G2×…×Gn
为群G1，G2，…，Gn的外直积。 特别地，如果Gi中的二元运算都采用“+”，则称直 积 为直和，记做:G=G1⊕G2 ⊕… ⊕Gn
注1. 设e1，e2 分别是G1，G2的单位元则(e1，e2)是G1×G2 的单位元；
2.4.3 群的直积分解 (Direct Product Resolving of Group)
一般情况下，一个群能否表示(分解)为两个群的直 积呢? 定理1 设G是群，A，B是G的两个子群，满足: (1) A，B是G的不变子群，A,B G; (2) G=AB ; (3) A∩B={e}. 则G A×B.
2.4.4 群的内直积 (Internal Direct Product of Group)
定义:设G1，G2是群G的两个正规子群，满足条件 G=G1G2，G1∩G2=e， 则称G是G1和G2的内直积。 定理1设G1，G2是群G的两个子群，则G是G1和G2的内直 积的充要条件是G满足下列条件 ⑴群G中的每个元素都可唯一地表示成hk的形式，其中 h ∈ G1， k ∈ G2 ; ⑵群G1中的每个元素与群G2中的任意元素可交换， hk = kh. 定理2设G是正规子群G1，G2的内直积，则GG1×G2； 反之,若G =G1×G2，则存在群G的两个正规子群G'1， G'2，且G'i与Gi同构，使得G是G'1与G'2的的内直积。
2.4.6 有限群的直积分解 (Direct Product Resolving of Limited Group))
定义:设n是正整数，pi 是素数，若 n=p1α1p2α2 …prαr =n1n2…nr， 则称 ni (1≤i≤r)为n的初等因子。若 ni|ni+1，i=1，2，…，r-1， 则称ni为n的不变因子。 定理3 设G是有限可换群，|G|=n，则G可分解为如 下循环群的直积， G = C 1 CP 2 ... CPr
§2. 4 群的直积 (2.4 Direct Product of Group)
2.4.1 群的外直积(External Direct Product of Group)
定义:设G1，G2是两个群， G1×G2={(a，b)|a∈G1，b∈G2}， 在G1×G2中定义二元运算为乘法: (a1，b1)(a2，b2)=(a1a2，b1b2)， 则G1×G2关于这种乘法构成群，称G1×G2是G1和G2 的外直积，简称直积。 更一般地，设G1，G2，…Gn是群，考虑 G=G1×G2×…×Gn={(a1,a2,…,an)|ai∈Gi, 1≤i≤n}，
x1=a1b1，x2=a2b2∈G，由(1)(2)及正规子群 的性质，A和B的元素可交换，故有 f(x1x2)=f(a1b1a2b2)=f(a1a2b1b2)=(a1a2，b1b2) = (a1, b1) (a2, b2) = f(x1)f(x2) 保运算
∴G A×B
推论: 设群G有n个不变子群Gi G ，i=1，2，…，n， 使G的每一元均可唯一地表示为G1，G2，…，Gn的 元的积，则 G G1×G2×…×Gn。 注:推论中的两个条件 (1) G1，G2，…，Gn是G的不变子群; (2) G的每一元均可唯一地表示 G1, G2，…，Gn 的元的积，等价于以下三个条件: (1) G=G1G …Gn n2 (2) Gi G j {e}
j 1 j i
(3) ai∈Gi，aj∈Gj，i≠j，有aiaj=ajai
更一般地，我们有 定理2. G G1×G2×…×Gn Gi' G, i=1,2,…,n, 使Gi' Gi，且
(1) G=G1' G2' …Gn' ={a1' a2'…an' |ai' ∈Gi' ，1≤i≤n}
(2) Gi' ∩(G1 ' …Gi-1' Gi+1' …Gn')={e'}， i=1,2,…,n, 推论: G G1×G2×…×Gn Gi' ≤G， i=1,2,…,n, 使 Gi' G，且 (1) a∈G，a=a1' a2' …an' ，ai' ∈Gi' 唯一表示 (2) ai' ∈Gi' ，aj' ∈Gj' ，i≠j→ ai' aj' = aj' ai'
P 1
2 r
其中p1α1，p2α2， …，prαr 是n的某一个初等因子组。
定理4. 设G是有限可换群， |G|=n=n1n2…nr， 其中 n1， n2， … nr 为n的不变因子组，则
G Cn1 Cn2 ..., Cnr
(G可表示n的为不变因子相应的循环群的直积) End
例2. 设G={e，a}是二阶循环群，则G×G含有4个元， 即 G×G={(e，e)，(e，a)，(a，e)，(a，a)} 由于 (e，a)(e，a)=(e，e)，
(a，e)(a，e)=(e，e)，
(a，a)(a，a)=(e，e)，
故G×G与Klein四元群同构, G×G K4 。
2.4.2 群的直积的性质 (Property of Direct Product of Group)
定理1 设G =G1×G2，则
⑴ G是有限群的充要条件是G1，G2都是有限群.而且
当G有限时， |G | = | G1| | G2 |； ⑵ G是交换群的充要条件是G1，G2都是交换群；
⑶ G1×G2 =G2×G1 .
定理2 设a, b分别是G1, G2的有限阶元素，则对 (a, b)∈ G1×G2，有(a, b)= [(a), ( b)]. 定理3 设G1，G2分别是m, n阶循环群，则G1×G2是循 环群的充要条件是(m, n)=1.
注. 两个投影 fi，fj 称为正交的，若 fi fj =0， f1，…，fn 称为正交投影组，若i≠j 有 fi fj =0 定义:群G叫做可分解的，若存在真正规子群G1，G2， 使G=G1×G2，否则称G是不可分解的。 定理1 群G可分解 存在投影 f ≠0,ε (ε为恒等映射) 定理2. 若群G≠{e}满足正规子群的降链条件，则G 存在不等于{e}的正规子群H1，…Hr，使 G=H1×H2×…×Hr， 且 Hi 都是不可分解的。
注2. 设 (a，b)∈ G1×G2 ，a∈G1，b∈G2 ，则 (a，b)-1= (a-1 ，b-1) 。
例1. 设G1=(Z，+)，G2=(Z/(6)，+)，则G1⊕G2 是一个 无限群，单位元为0=(0，0 )， (3， 5 )，任一元都是无限阶元。 4 )+(5，7 )=(8，
例a=(1， 3k )≠0。 3 )，则 k∈N，ka=(k，