第8讲 矩阵的直积及其应用
矩阵及其应用ppt课件
线性方程组
• 根据矩阵乘法的定义，第三页中的线性方 程组可以表示成：
• Ax = y • 其中A是第五页中的系数矩阵，x是列向量
[x1, x2, ..., xn]，y是列向量[y1, y2, ..., ym]。 • 当n=m时，A是n阶方阵，如果A可逆，那么：
• x = A-1y
方阵的幂
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算Am。其中n 不超过50，m不超过1000000。
方阵的幂（二）
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算A1 + A2 + ... + Am。其中n不超过50，m不超过1000000。
路径计数
• 给定一个有向图，问从A点恰好经过k步 （允许多次经过同一条边）走到B点的方案 总数。图中顶点数不超过50，边数不超过 1000000。
线性递推式
已知x1, x2 ,...,xn的值和线性递推关系 xk a1xk1 a2xk2 ... an xkn , 其中k n, a1, a2,...,an是常数。对于任给的正整 数m，计算xm的值。（n不超过50，m 不超过1000000）
数乘矩阵
类似地，矩阵与数c相乘定义为cy1, ..., cym的系数所对应的矩阵：
a11 ... a1n ca11 ... ca1n c ... ... ... ... ... mn
矩阵乘法
设有如下两个方程组：
z1 a11 y1 ... a1m ym .................................. zk ak1 y1 ... akm ym 和 y1 b11x1 ... b1n xn ................................ ym bm1x1 ... bmnxn
矩阵直积
,t )nt，B=(1,
,
s
)则 ps
A B=(1 1,
,1 s ,
,t 1,
,t
s
) npts
.
注：由1）2）即可得3），下面只证1）和2）.
证明：1)由定义得
(aij )
(cij
)
(bij ) (dij )
F
(aij )
(cij
)
F F
(bij (dij
) )
F F
)
(A
B
2
2
)
(AkBk );
范数有以下性质：
命题：1)x 时，x 是范数为一的向量（单位化）;
x 2) -x = x ; 3)x，y V,有 x y x y .
证明：只证3） 我们有 x x-y+y x-y y 和 y y-x+x x-y x , 所以 - x-y x - y x-y ，也就是
定义2：设V是有限维线性空间，x , x 是V中任意两种
范数，若存在正数k1及k2，使得x V,都有：
k1
x
x
k2
x
，
称 x 与 x 是等价的.
定理1：有限维线性空间中的任何两种范数等价.
证明：设V是n维线性空间，e1, , en是V的一组基，则x V，
有唯一表达式： x=1e1 nen (e1, , en ) , 其中 =(1, ,n )T为x的坐标向量.
A C
F F
BF
D
F
2)设 =(a1, ,an )T ,则
a1
a1 B a1 (1, ,s )
B
an
an B an (1, ,s )
a1 1,a1 2
【VIP专享】第8讲 矩阵的直积及其应用
1 0
01 .
1.2 矩阵直积的性质 定理 1.1 矩阵的直积具有如下基本性质： （1） k(A B) (kA) B A (kB) ； （2） (A B) C A (B C) ； （3） A (B C) A B A C ， (B C) A B A C A ； （4） ( A B)T AT BT ； （5） ( A B)H AH BH ； （6）若 A C mn , B C pq ,C C ns , D C qt , 则 ( A B)(C D) ( AC) (BD) ， 若 B Eg ， C En ，则 ( A Eg )(En D) A D ； （7）若 A ， B 均可逆，则 A B 可逆，且 (A B)1 A1 B1；
阵的直积不满足交换律. 对单位矩阵，有 Em En En Em Emn .
例 1.1
定义 1.2
A
设
B
A
1 0
xyT x yT ，称 xyT 为向量 x 与 y 的外积.
1 0
1 0
0 1
0 1
，01Leabharlann B，A(1,1)
B
与
B
，则
A
的直积（Krionecker
1 0
0 1
若 x (x1, x2,, xn )T , y ( y1, y2,, yn )T C n ，则
（8）若 A 和 B 都是对角矩阵、上（下）三角矩阵、实
对称矩阵、Hermite 矩阵、正交矩阵、酉矩阵，则 A B 也分
别是这种类型的矩阵.
l
定义 1.3 二元复系数多项式为 f (x, y) cij xi y j ，若矩阵 i, j0
6.培养学生观察、思考、对比及分析综合的能力。过程与方法1.通过观察蚯蚓教的学实难验点，线培形养动观物察和能环力节和动实物验的能主力要；特2征.通。过教对学观方察法到与的教现学象手分段析观与察讨法论、，实对验线法形、动分物组和讨环论节法动教特学征准的备概多括媒，体继课续件培、养活分蚯析蚓、、归硬纳纸、板综、合平的面思玻维璃能、力镊。子情、感烧态杯度、价水值教观1和.通过学理解的蛔1虫.过观适1、察于程3观阅 六蛔寄.内列察读 、虫生出蚯材 让标容生3根常蚓料 学本教活.了 据见身： 生，师的2、解 问的体巩鸟 总看活形作 用蛔 题线的固类 结雌动态业 手虫 自形练与 本雄学、三： 摸对 学动状习人 节蛔生结4、、收 一人 后物和同类 课虫活构请一蚯集 摸体 回并颜步关 重的动、学、蚓鸟 蚯的 答归色学系 点形教生生让在类 蚓危 问纳。习从 并状学理列学平的害 题线蚯四线人 归、意特出四生面体以形蚓、形类 纳大图点常、五观玻存 表及动的鸟请动文 本小引以见引、察璃现 ，预物身类 3学物明 节有言及的、导巩蚯上状 是防的体之生和历 课什根蚯环怎学固蚓和， 干感主是所列环史 学么据蚓节二样生练引牛鸟 燥染要否以举节揭 到不上适动、区回习导皮类 还的特分分蚯动晓 的同节于物让分答。学纸减 是方征节布蚓物起 一，课穴并学蚯课生上少 湿法。?广的教， 些体所居归在生蚓前回运的 润；4泛益学鸟色生纳.靠物完的问答动原 的4蛔，处目类 习和活环.近在成前题蚯的因 ？了虫以。标就 生体的节身其实端并蚓快及 触解寄上知同 物表内特动体结验和总利的慢我 摸蚯生适识人 学有容点物前构并后结用生一国 蚯蚓在于与类 的什，的端中思端线问活样的 蚓人飞技有 基么引进主的的考?形题环吗十 体生行能着 本特出要几变以动，境？大 节活的1密 方征本“特节化下物.让并为珍 近习会形理切 法。课生征有以问的小学引什稀 腹性态解的 。2课物。什游题主.结生出么鸟 面和起结蛔关观题体么戏：要利明蚯？类 处适哪构虫系察：的特的特用确蚓等 ，于些特适。蛔章形殊形征板，这资 是穴疾点于可虫我态结式。书生种料 光居病是寄的们结构，五小物典， 滑生？重生鸟内学构，学、结的型以 还活5要生类部习与.其习巩鸟结的爱 是如原活生结了功颜消固类构线鸟 粗形何因的存构腔能色化练适特形护 糙态预之结的，肠相是系习于点动鸟 ？、防一构现你动适否统。飞都物为结蛔。和状认物应与的行是。主构虫课生却为和”其结的与题、病本理不蛔扁的他构特环以生？8特乐虫形观部特8征境小理三页点观的动位点梳相组等、这；，哪物教相，理适为方引些2鸟，育同师.知应单面导鸟掌类结了；？生识的位学你握日构解2互.。办特生认线益特了通动手征观识形减点它过，抄；察吗动少是们理生报5蛔？物，与的解.参一了虫它和有寄主蛔与份解结们环些生要虫其。蚯构都节已生特对中爱蚓。会动经活征人培鸟与飞物灭相。类养护人吗的绝适这造兴鸟类？主或应节成趣的为要濒的课情关什特临？就危感系么征灭来害教；？；绝学，育，习使。我比学们它生可们理以更解做高养些等成什的良么两好。类卫动生物习。惯根的据重学要生意回义答；的3.情通况过，了给解出蚯课蚓课与题人。类回的答关：系线，形进动行物生和命环科节学动价环值节观动的物教一育、。根教据学蛔重虫点病1.引蛔出虫蛔适虫于这寄种生典生型活的线结形构动和物生。理二特、点设；置2.问蚯题蚓让的学生生活思习考性预和习适。于穴居生活的形态、结构、生理等方面的特征；3.线形动物和环节动物的主要特征。
矩阵的实际应用ppt课件
应用1 生产成本
某工厂生产三种产品. 每种产品的原料费、工资支付
、管理费等见表1.
每季度生产每种产品的数量见表2.
该公司希望在股东会议上用一个表格 直观地展示出以下数据：
(1) 每一季度中每一类成本的数量； (2) 每一季度三类成本的总数量； (3) 四个季度每类成本的总数量.
解 我们用矩阵的方法考虑这个问题. 这两张表格中
2
2
1
44
52
3
15
1 1 1 43 43 20 14
反过来查表：
123
24 25 26
ABC
即可得到信息action．
XY Z
我们选择不同的可逆矩阵 A（密钥），则可得到不同的密文。
如： 选择可逆矩阵
1 2 3
A
应用3 应用矩阵编制Hill密码
密码学在经济和军事方面起着极其重要的作用。现在密码学涉及很多 高深的数学知识，这里只做简单介绍。
密码学中将信息代码称为密码，尚未转换成 密码的文字信息称为明文，由密码表示的信息称为密文。从明文到密文的过程 称为加密，反之为解密。
信源 加密 信道 解密 信宿
1929年，希尔（Hill）通过矩阵理论对传输信息进行加密处理，提出了在密 码史上有重要地位的希尔加密算法。下面我们介绍一下这种算法的基本思想。
0.02 0.3 0.98 0.7
Ax0
0.2960 0.7040
人口迁徙模型
从初始到k年，此关系保持不变，因此上 述算式的递推式为
xk Axk1 A2 xk2 Ak x0 输入：A[0.94,0.02;0.06,0.98],
_矩阵的Kronecker乘积的性质与应用
矩阵Kronecker乘积的性质与应用摘要按照矩阵乘法的定义，我们知道要计算矩阵的乘积AB，就要求矩阵A的列数和矩阵B的行数相等，否则乘积AB是没有意义的。
那是不是两个矩阵不满足这个条件就不能计算它们的乘积呢？本文将介绍矩阵的一种特殊乘积BA ，它对矩阵的行数和列数的并没有具体的要求，它叫做矩阵的Kronecker积（也叫直积或张量积）。
本文将从矩阵的Kronecker积的定义出发，对矩阵的Kronecker 积进行介绍和必要的说明。
之后，对Kronecker积的运算规律，可逆性，秩，特征值，特征向量等性质进行了具体的探究，得出结论并加以证明。
此外，还对矩阵的拉直以及矩阵的拉直的性质进行了说明和必要的证明。
矩阵的Kronecker积是一种非常重要的矩阵乘积，它应用很广，理论方面在诸如矩阵方程的求解，矩阵微分方程的求解等矩阵理论的研究中有着广泛的应用，实际应用方面在诸如图像处理，信息处理等方面也起到重要的作用。
本文讨论矩阵的Kronecker积的性质之后还会具体介绍它在矩阵方程中的一些应用。
关键词：矩阵；Kronecker积；矩阵的拉直；矩阵方程；矩阵微分方程Properties and Applications of matrix KroneckerproductAbstractAccording to the definition of matrix multiplication, we know that to calculate the matrix product AB, requires the number of columns of the matrix A and matrix B is equal to the number of rows, otherwise the product AB makes no sense.That is not two matrices not satisfy this condition will not be able to calculate their product do?This article will describe a special matrix product BA , the number of rows and columns of a matrix and its no specific requirements, it is called the matrix Kronecker product (also called direct product or tensor product).This paper will define the matrix Kronecker product of view, the Kronecker product matrix are introduced and the necessary instructions. Thereafter, the operation rules Kronecker product, the nature of reversibility, rank, eigenvalues, eigenvectors, etc. specific inquiry, draw conclusions and to prove it. In addition, the properties of the stretch of matrix and its nature have been described and the necessary proof.Kronecker product matrix is a very important matrix product, its use is very broad, theoretical research, and other matrix solving differential equations, such as solving the matrix equation matrix theory has been widely applied in practical applications such as image processing aspects of information processing, also play an important role. After the article discusses the nature of the matrix Kronecker product it will introduce a number of specific applications in the matrix equation. Keywords:Matrix; Kronecker product; Stretch of matrix; Matrix equation; Matrix Differential Equations目录摘要 .................................................................................................................................................. I Abstract ........................................................................................................................................... II 第一章 矩阵的Kronecker 积 (1)1.1 矩阵的Kronecker 积的定义 ........................................................................................... 1 1.2 矩阵的Kronecker 积的性质 ........................................................................................... 1 第二章 Kronecker 积的有关定理及推论 ...................................................................................... 6 第三章 矩阵的拉直 . (9)3.1矩阵的拉直的定义 ............................................................................................................ 9 3.2矩阵的拉直的性质 ............................................................................................................ 9 第四章 矩阵的Kronecker 积与矩阵方程 .. (11)4.1矩阵的Kronecker 积与Lyapunov 矩阵方程 ................................................................ 11 4.2矩阵的Kronecker 积与一般线性矩阵方程 .................................................................. 13 4.3矩阵的Kronecker 积与矩阵微分方程 .......................................................................... 14 参考文献......................................................................................................................................... 16 致谢 (18)符号说明W a W a 属于集合元素nm ij a A ⨯=)( 矩阵的记法列元素的行为以n m j i a ij⨯ij A )( 列的元素行的矩阵j i AT A 的转置矩阵A H A 的共轭转置矩阵A 1-A 的逆矩阵矩阵A→A 按行拉直得到的列向量矩阵AA det 的行列式方阵AtrA 的主对角元素之和的迹，方阵A A)(A rank 的秩矩阵A)(A λ 的特征值方阵An I 阶单位矩阵nR 实数域 C 复数域n C 维复向量的全体n n m C ⨯ 复矩阵全体n m ⨯O 零矩阵B A ⊗ 的和矩阵B A Kronecker 积第一章 矩阵的Kronecker 积1.1 矩阵的Kronecker 积的定义定义1.1设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，定义A 和B 的Kronecker 积（或直积，张量积）B A ⊗为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗B a B a B a B a B a B a B a B a B a B A mn m m n n 212222111211 可以看出，其结果是一个)()(nq mp ⨯矩阵，同时也是一个以B a ij 为子块的分块矩阵.例1.1 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1201A ，[]31-=B ，则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⊗316200312B B O BB A []⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=-=⊗361203013A A A B 由此可见，B A ⊗与A B ⊗具有相同的阶数，但是它们并不相等，也就是说，Kronecker 积不满足交换律.1.2 矩阵的Kronecker 积的性质虽然Kronecker 积不满足交换律，但是具有以下一些性质： 性质1.2.1 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C O ⨯∈，则O O A A O =⊗=⊗（这个O 为)()(nq mp ⨯矩阵）.证明：略.性质1.2.2 设k 为任一常数，矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则)()()(B A k kB A B kA ⊗=⊗=⊗.证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka kA 212222111211，根据Kronecker 积的定义可以得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B kA mn m m n n mn m m n n 212222111211212222111211)()()()()()()()()()(， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB A mn m m n n mn m m n n 212222111211212222111211)()()()()()()()()()(， 即)(B A k B kA ⊗=⊗，)()(B A k kB A ⊗=⊗. 所以)()()(B A k kB A B kA ⊗=⊗=⊗.性质1.2.3 设A ，B 为同阶矩阵（同阶是为了可以做加法），则C B C A C B A ⊗+⊗=⊗+)(，B C A C B A C ⊗+⊗=+⊗)(.证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n b b b b b b b b b B 212222111211，则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=+mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a B A221122222221211112121111，根据Kronecker 积的定义可以得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=⊗+C b a C b a C b a C b a C b aC b a C b a Cb a C b a C B A mn mn m m m m n n n n )()()()()()()()()()(221122222221211112121111(1.1)*，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗C a C a C a C a C a C a C a C a C a C A mn m m n n 212222111211 (1.2)*， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗C b C b C b C b C b C b C b C b C b C B mn m m n n 212222111211 (1.3)*，由(1.2)*，(1.3)*得：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=⊗C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C A mn mn m m m m n n n n 221122222221211112121111 (1.4)*， 由(1.1)*，(1.4)*可得：C B C A C B A ⊗+⊗=⊗+)(.同理设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n c c c c c cc c c C 212222111211可证：B C A C B A C ⊗+⊗=+⊗)(.性质1.2.4 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，矩阵s r C F ⨯∈，则)()(F B A F B A ⊗⊗=⊗⊗证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗=⊗⊗)()()()()()()()()()(212222111211F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B A mn m m n n)(212222111211F B A F B a B a B a B a B a B a B a B a B a mn m m n n ⊗⊗=⊗⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 得证.性质1.2.5设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，矩阵s n C F ⨯∈,矩阵t q C D ⨯∈，则)()())((BD AF D F B A ⊗=⊗⊗证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=ns n n s s f f f f f f f f f F212222111211， 则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗⊗D f D f D f D f D f Df D f D f D f B a B a B a B a B a B a B a B a B a D F B A ns n n s s mn m m n n212222111211212222111211))(()()()()()()()()()()()(112111112211211121111BD AF BD f a BD f a BD f a BD c a BD f a BD f a BD f a BD f a BD f a nk ks mk n k k mk n k k mk nk ks k n k k k n k k k n k ks k n k k k n k k k ⊗=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑∑∑∑∑∑∑∑=========得证.性质1.2.6 设矩阵m m C A ⨯∈可逆， 且矩阵n n C B ⨯∈可逆，则B A ⊗可逆，且111)(---⊗=⊗B A B A .证明：mn n m I I I BB AA B A B A =⊗=⊗=⊗⊗----)()())((1111(这里I n 与数的乘法中的1起到相同的作用)， 故111)(---⊗=⊗B A B A .性质1.2.7 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则T T T B A B A ⊗=⊗)(H H H B A B A ⊗=⊗)(证明： ij T T T ji ij T B A B a B A ][])[(⊗==⊗ 得证.同理可证：H H H B A B A ⊗=⊗)(.性质1.2.8 两个正交（酉）矩阵的Kronecker 积还是正交（酉）矩阵. 证明：设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈.因为A ，B 都是正交（酉）矩阵，所以有m T T I A A AA ==，n T T I B B BB ==. 由性质1.2.7和性质1.2.5可得：mn n m T T T T T I I I BB AA B A B A B A B A =⊗=⊗=⊗⊗=⊗⊗))(())((. mn m n T T T T T I I I B B A A B A B A B A B A =⊗=⊗=⊗⊗=⊗⊗))(()()(.故mn T T I B A B A B A B A =⊗⊗=⊗⊗)()())((. 得证.第二章 Kronecker 积的有关定理及推论定理2.2.2 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则)()()(B rank A rank B A rank =⊗.证明：设rank A =r ，rank B=s ，A ，B 的标准形分别为：1111--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Q O O O I P A r ，1212--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Q O O O I P B s其中i P ，i Q =i (1，2)均为非奇异矩阵，则由性质1.2.5和1.2.6可以得：`1211211211121112121111)()()()(----------⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗=⊗⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⊗Q Q O OO I P P Q Q O O O I O OO I P P Q O O O I P Q O OO I P B A rssrsr所以)()()(B rank A rank s r B A rank =•=⊗ 得证.定理2.2.3 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m C x ∈和n C y ∈，若x 是A 关于特征值λ的一个特征向量，y 是A 关于特征值μ的一个特征向量，则y x ⊗是B A ⊗对应特征值λμ的一个特征向量.证明：因为x ，y 都是非零向量，所以x ⊗y 也是非零向量，由性质1.2.2和性质1.2.5可得：)()()()()())((y x y x By Ax y x B A ⊗=⊗=⊗=⊗⊗λμμλ.所以，y x ⊗是B A ⊗对应特征值λμ的一个特征向量.推论2.2.4 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m C x ∈和n C y ∈，若A 的特征值是1λ，2λ，…，m λ；B 的特征值是1μ，2μ，…，n μ，则B A ⊗的特征值为t s μλ，m s ≤≤1，n t ≤≤1（k 重根算k 个）.定理2.2.5 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m C x ∈和n C y ∈，若x 是A 关于特征值λ的一个特征向量，y 是A 关于特征值μ的一个特征向量，则y x ⊗是B I I A m n ⊗+⊗对应特征值μλ+的一个特征向量.证明：由性质1.2.3，性质1.2.5可以得到：)()()()())((y x y x y I Ax y x I A n n ⊗=⊗=⊗=⊗⊗λλ， )()()()())((y x y x By x I y x B I m m ⊗=⊗=⊗=⊗⊗μμ，故))(())(())(())((y x y x B I y x I A y x B I I A m n m n ⊗+=⊗⊗+⊗⊗=⊗⊗+⊗μλ.所以，y x ⊗是B I I A m n ⊗+⊗对应特征值μλ+的一个特征向量.推论2.2.6 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m s C x ∈和n t C y ∈，若1x ，2x ，…，m x 是A 关于特征值1λ，2λ，…，m λ的特征向量，1y ，2y ，…，n y 是B 关于特征值1μ，2μ，…，n μ的特征向量，则B I I A m n ⊗+⊗的n m •个特征值为{t s μλ+}.(s=1，2，…，m ；t=1，2，…，n ).例2.2 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m i C x ∈和n j C y ∈，若1x ，2x ，…，m x 是A 关于特征值1λ，2λ，…，m λ的特征向量，1y ， 2y ，…，n y 是B 关于特征值1μ，2μ，…，n μ的特征向量，证明：矩阵)()(B A I I n m ⊗-⊗的特征值是j i μλ-1，对应的特征向量为j i y x ⊗.(i=1，2，…，m ；j=1，2，…，n ).证明：由性质1.2.3和性质1.2.5可得：))(()()()()())((j i j i j j i i j i j i y x y x By Ax y x B A ⊗=⊗=⊗=⊗⊗μλμλ，故有：))(1())(()())(()())(())(())](()[(j i j i j i j i j i j i j i j i mn j i j i n m j i n m y x y x y x y x y x I y x B A y x I I y x B A I I ⊗-=⊗-⊗=⊗-⊗=⊗⊗-⊗⊗=⊗⊗-⊗μλμλμλ所以，矩阵)()(B A I I n m ⊗-⊗的特征值是j i μλ-1，对应的特征向量j i y x ⊗. 定理2.2.7 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，则trB trA B A tr •=⊗)(证明：由Kronecker 积和迹的定义可得：trBtrA trB a trB a trB a B a tr B a tr B a tr B A tr nn nn •=+++=+++=⊗ 22112211)()()()(得证.定理2.2.8 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，则m n B A B A )(det )(det )det(=⊗证明：设A 的特征值为1λ，2λ，…，m λ，B 的特征值为1μ，2μ，…，n μ， 由推论2.2.4可得：mn m n n m n m m n n nj j m nj j mnji nj j j i B A B A )(det )(det )()()())(())(()()()()()det(21211212111112,11=====⊗∏∏∏∏===μμμλλλμλμλμλμλμλμλμλμλμλμλ得证.第三章 矩阵的拉直3.1矩阵的拉直的定义定义3.1 设n m ij a A ⨯=)(，定义矩阵A 的按行拉直为：T mn m n n a a a a a a A A vec )()(1221111，，，，，，，，， ==→即矩阵A 的拉直是一个mn 元的列向量，它是由矩阵A 所有元素按行顺序依次排成一列得到的.例如：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a A ，则矩阵A 的拉直为T d c b a A )(，，，=→.3.2矩阵的拉直的性质矩阵的拉直具有以下性质：性质 3.2.1 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵n m C B ⨯∈，k 和l 是常数，则)(lB kA +=→→+B l A k .证明：略.性质3.2.2 设n m ij t a t A ⨯=))(()(，则dtt dA )(=dt d)(t A . 证明：左边==))((dtt dA vet ij a vet ((′)))(n m t ⨯ = [(a 11′(t )，…，a n 1′(t )，a 21′(t )，…，a n 2′(t )，…，a 1m ′(t )，…，a mn ′(t ) ]T =[(a 11(t )，…，a n 1(t )，a 21(t )，…，a n 2(t )，…，a 1m (t )，…，a mn (t ) )T ]′ = ))](([t A vet ′=))](([t A vec dtd=右边，得证. 性质 3.2.3设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵p n C X ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则AXB →⊗=X B A T)(.证明：设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，T n x x X )(1，， =→，其中，T i x 是X 的第i 行=i (1，2，…，)n ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=B x a x a B x a x a AXB T n mn T m Tn n T )()(111111 ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=→n x x X 1 所以AXB T Tn mn T m T n n T B x a x a B x a x a ])()[(111111++++= ，， →⊗=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=X B A x x B a B a B a B a x a x a B x a x a B n T mn T m T n T n mn m T n n T )()()()()(11111111111 得证. 推论3.2.4 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n m C X ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，则有1.AX →⊗=X I A n )( 2.XB →⊗=X B I Tm )(.3(AX +XB )→⊗+⊗=X B I I A Tm n )(.第四章 矩阵的Kronecker 积与矩阵方程4.1矩阵的Kronecker 积与Lyapunov 矩阵方程设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，矩阵n m C F ⨯∈，解Lyapunov 矩阵方程： AX+XB=F .第一步：将方程两边拉直，由推论3.2.4可得：→→=⊗+⊗C X B I I A Tm n )(. (4.1) 第二步：判断是否有解，根据线性方程组是否有解的判别条件可得：矩阵方程(4.1)有解的充要条件是：Tm n B I I A rank ⊗+⊗(┊)()T m n B I I A rank C ⊗+⊗=→，：有唯一解的充要条件是det(A ⊗I n + I m ⊗B T )≠0，即A 和(-B )没有公共的特征值或者说A 和B 无互为相反数的特征值.例4.1 分别在下2列条件下解矩阵方程AX+XB=C.(1) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0112A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=42-1-3B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1081710C (2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3201A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1052B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=11353C 解：(1) 首先计算A 和B 的特征值，解0=-A I λ得：121==λλ，解0=-B I μ得：5221==μμ，.观察有无互为相反数的特征值发现，A 和B 没有互为相反数的特征值，所以矩阵方程有唯一解. 将矩阵方程两边拉直，得到：→→=⊗+⊗C X B I I A Tm n )(. (4.1)设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321x x x x X ，计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=4123TB ，将A ，T B ，X ，C 代入(4.1)得： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡-108171041231001100101124321x x x x ，计算得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------108171041102301106101254321x x x x ， 根据矩阵的乘法的定义可以求得：21314321-===-=x x x x ，，，. 故矩阵方程AX+XB=C 的唯一解为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2131X . (2) 同样先计算A 和B 的特征值，解0=-A I λ得：3121==λλ，， 解0=-B I μ得：1221-==μμ，.通过观察可知：021=+μλ. 一所以矩阵方程的解不唯，即存在通解. 将矩阵方程两边拉直，得到：→→=⊗+⊗C X B I I A Tm n )(. (4.1)设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321x x x xX ，计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1502TB ，将A ，T B ，X ，C 代入(4.1)得： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡1135315021001100132014321x x x x ， - 计算得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--113532520050200050034321x x x x ，根据矩阵的乘法的定义可以求得：c x x c x x -=-===3114321，，，. 故矩阵方程AX+XB=C 的通解为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=c c X 311(c 为任意常数).4.2矩阵的Kronecker 积与一般线性矩阵方程设矩阵n m k C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，矩阵q m C F ⨯=，解一般线性矩阵方程：F XB Ark k k=∑=1(r = 1，2，…).第一步，将矩阵方程两边拉直，由性质3.2.3可以得到：∑=→→=⊗rk T kkF X B A1)][(. (4.2)第二步：判断是否有解，根据线性方程组是否有解的判别条件可得：矩阵方程(4.2)有解的充要条件是：∑⊗)((Tkk B A rank ┊))(()1∑=→⊗=rk Tkk B A rank F . 即∑=⊗rk Tkk B A 1)(的所有特征值均不为0. 例4.2 设A 和C 都是n ⨯n 矩阵，A 的特征值λi （i=0，1，2，…，n ）R ∈（实数），求证：矩阵方程C XA A AXA X =++22有唯一解.证明：将两边方程拉直得到：→→=⊗+⊗+⊗C X A A A A I I T T n n ])([(22，化简得到：→→=⊗+⊗+C X A A A A I TTn ])()([22.由定义3.1可知：T A A ⊗的2n 个特征值是=j i j i ，(λλ0，1，2，…，n ). 故：2)()(2T T n A A A A I ⊗+⊗+的2n 个特征值是：22)21(43)()(1j i j i j i λλλλλλ++=++＞00(=j i ，，1，2，…，n ). 即2)()(2T T n A A A A I ⊗+⊗+是可逆的，由唯一解的判断方法可知：矩阵方程C XA A AXA X =++22有唯一解.例4.3 在下列条件下解矩阵方程C XB A XB A =+2211.已知：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=20311A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=13101B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11022A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=01232B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=48213C . 解：将矩阵方程两边拉直得到：→→=⊗+⊗C X B A B A T T)(2211. (4.3)*设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321x x x xX ，计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11301T B 和 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=02132TB 代入(4.3)*得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4821302131102113020314321x x x x .计算化简得：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------4821320027313331390564321x x x x . 根据矩阵的乘法的定义可以求得：10214321===-=x x x x ，，，.计算T T B A B A rank 2211(⊗+⊗┊4)()2211=⊗+⊗=TT B A B A rank C ， 所以方程有唯一解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1021X . 4.3矩阵的Kronecker 积与矩阵微分方程设m m C A ⨯∈矩阵，n n C B ⨯∈矩阵，n m C t X ⨯∈)(，求下列矩阵微分方程初值问题的解：⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0()()()(X X B t X t AX dt t dX (4.3)引理：设m m C A ⨯∈矩阵A ，矩阵n m C B ⨯∈，则n A I A I e e n ⊗=⊗，B m B I e I e m ⊗=⊗. 证明：因为性质1.2.5可得：∑∑∞=∞=⊗⊗=⊗=11)(!1)(!1k k k k kI A I A k I A k enn A k kI e I A k ⊗=⊗=∑∞=1)!1(. 同理可证：B m B I e I e m ⊗=⊗.将矩阵微分方程(4.3)两边拉直，由推论3.2.4可以得到：⎪⎩⎪⎨⎧=⊗+⊗=→0)0()()()(X X t X B I I A dt t X d T m n (4.4)由引理可得：T t B At tB AtB I I A t TT m n e X e X ee X et X )()()(000)(=⊗==→→⊗+⊗，又因为∑∑∞=∞====11!1))(!1()(k Bt k k T k k k T Tt B e t B k t B k eT ，故Bt At e X e t X 0)(= (4.5) 这就是微分方程(4.3)的解.例4.4 求解下列矩阵微分方程的初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0()()()(X X B t X t AX dt t dX (4.6)已知：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0011A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0011B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10010X . 解：可计算得到：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=101t tAte e e，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=101t t Bte e e .由(4.5)式可以得到： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==10)1()(220t tBtAt e e eX e t X . 即(4.6)的解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=10)1()(22t te e t X . 通过本章的学习，我们知道矩阵的Kronecker 积在解矩阵方程领域有很大的作用，利用Kronecker 积的性质，我们可以解决Lyapunov 矩阵方程，一般矩阵方程，矩阵微分方程的初值问题等问题.参考文献[1]矩阵论简明教程（第三版）.徐仲等编.北京：科学出版社.2014.1.[2]矩阵论教程（第2版）.张绍飞，赵迪编.北京：机械工业出版社.2012.5.[3]矩阵论引论（第2版）.陈祖明，周家胜编.北京：北京航空航天大学出版社.2012.10.[4]矩阵论十讲.李乔，张晓东编.合肥：中国科学技术大学出版社.2015.3.[5]矩阵理论及方法.谢冬秀，雷纪刚，陈桂芝编.北京：科学出版社.2012.[6]H-矩阵类的理论及应用.徐仲等编.北京：科学出版社.2013.[7]高等代数教程（上）.王萼芳编.北京：清华大学出版社.1997（2008重印）.[8]常微分方程（第二版）.东北师范大学微分方程教研室.北京：高等教育出版社.2005.4（2012.12重印）.[9]矩阵分析与应用（第2版）.张贤达编.北京：清华大学出版社.2013（2014.6重印）.[10]线性代数及其应用.毛立新，咸美新编.北京：高等教育出版社.2015.8.[11]线性代数（第2版）.钟玉泉，周建编.北京：科学出版社.2015.1.[12]矩阵理论与方法（第2版）.吴昌悫，魏洪增编.北京：电子工业出版社.2013.8.[13]线性代数学习指导.赵春燕，单净，王麟编.哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社.2012.2.[14]矩阵论.张凯院等编.北京：科学出版社.2013.[15]矩阵论导教·导学·导考.张凯院，徐仲编.西安：西北工业大学出版社.2014.8.[16]矩阵函数与矩阵方程.柏兆俊，高卫国，苏仰锋编.北京：高等教育出版社.2015.5.[17]矩阵分析.姜志侠，孟品超，李延忠编.北京：清华大学出版社.2015.[18]矩阵论札论.梁昌洪编.北京：科学出版社.2014.[19]线性代数及其应用.马新顺，王涛，郭燕编.北京：高等教育出版社.2014.7.[20]矩阵论引论.田振际，王永铎，吴德军编.北京：科学出版社.2013.[21]线性代数及其应用（第2版）.河北农业大学理学院编.北京：高等教育出版社.2006.11.（2015.2重印）.[22]线性代数及其应用.王坤龙编.北京：电子工业出版社.2014.10.[23]线性代数（第2版）.许峰，范爱华编.合肥：中国科学技术大学出版社.2013.4.[24]线性代数及其应用.俞方元编.上海：同济大学出版社.2014.8.[25]线性代数学习指导.谢政，陈挚编.北京：清华大学出版社.2012.10.[26]高等线性代数学.黎景辉，白正简，周国晖编.北京：高等教育出版社.2014.9.[27]线性代数讲义.江惠坤，邵荣，范红军编.北京：科学出版社.2013.[28]线性代数.贾屹峰编.上海：上海交通大学出版社.2012.[29]线性代数.侯亚君，艾玲，沙萍，林洪娟编.北京：机械工业出版社.2012.1（2012.7重印）.[30]线性代数.郝秀敏，姜庆华编.北京：经济科学出版社.2013.7.[31]线性代数.韩旸，王静宇，周莉编.北京：化学工业出版社.2013.8.[32]线性代数重点难点考点辅导与精析.高淑萍，张剑湖编.西安：西北工业大学出版社.2014.5.[33]线性代数.傅媛编.武汉：武汉大学出版社.2013.2（2013.11重印）.[34]跟我学线性代数：导学与习题精解.董晓波编.北京：机械工业出版社.2014.1.[35]线性代数同步学习辅导.陈绍林，唐道远编.北京：科学出版社，2014.7.[36]线性代数及应用.刘三明编.南京：南京大学出版社.2012.8.[37]线性代数.谭福锦，黎进香编.北京.人民邮电出版社.2012.8.[38]工程数学.线性代数（第6版）.同济大学数学系编.北京：高等教育出版社.2014.6.[39]矩阵分析与计算.李继根，张新发编.武汉：武汉大学出版社.2013.10.[40]矩阵计算的理论与方法.徐树方编.北京：北京大学出版社.1995.8.[41]矩阵分析及其应用.曾祥金，吴华安编.武汉：武汉大学出版社.2007.8.[42]矩阵理论与应用.张跃辉编.北京：科学出版社.2011.8.致谢通过一个月来不断的努力，终于完成了这篇毕业论文。
高中数学教案矩阵的乘法与应用
高中数学教案矩阵的乘法与应用高中数学教案：矩阵的乘法与应用高中数学作为学科中的一门重要课程，为学生提供了扎实的数学基础与解决实际问题的能力。
本教案将重点介绍矩阵的乘法与应用，帮助学生理解和掌握相关概念与技巧。
一、矩阵的乘法矩阵的乘法是矩阵运算中的重要内容，通过矩阵的乘法可以实现多个矩阵之间的运算和变换。
具体来说，设有两个矩阵A和B，它们的乘积记作AB，计算方法如下：1.1 定义设A是一个 m×n 的矩阵，B是一个 n×p 的矩阵，那么乘积AB是一个 m×p 的矩阵，其中乘积矩阵中的元素c(i,j)可表示为：c(i,j) = a(i,1)b(1,j) + a(i,2)b(2,j) + ... + a(i,n)b(n,j)1.2 注意事项在进行矩阵乘法时，需要注意以下几点：1) 两个矩阵相乘的前提是，第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相等；2) 矩阵乘法不满足交换律，即AB不一定等于BA；3) 相乘的两个矩阵的对应元素必须满足相同的运算法则，通常为加法和乘法；二、矩阵的应用矩阵在数学中具有广泛的应用，尤其在线性代数、图论、概率统计等领域。
以下将简要介绍矩阵的几个常见应用。
2.1 线性变换矩阵可以用来表示线性变换，例如旋转、缩放、平移等。
通过对矩阵的乘法运算，可以实现对多个变换的叠加，从而达到复杂变换的目的。
2.2 线性方程组的求解矩阵可以应用于线性方程组的求解。
将线性方程组的系数矩阵和常数矩阵进行相乘，可以将方程组转化为矩阵的乘法运算，从而通过求解矩阵的逆矩阵或使用高斯消元法来解得方程组的解。
2.3 图论中的邻接矩阵在图论中，矩阵可以用于表示图的相关信息。
邻接矩阵是描述无向图或有向图的常用方法之一。
通过邻接矩阵的乘法，可以实现对图的遍历、路径搜索等操作。
2.4 概率统计中的转移矩阵转移矩阵是概率统计中常见的矩阵表示形式。
通过转移矩阵的乘法运算，可以描述系统在不同状态之间的转移概率，例如马尔可夫链、隐马尔可夫模型等。
第8讲矩阵的直积及其应用
第8讲 矩阵的直积及其应用内容：1. 矩阵直积的定义与性质2. 矩阵直积在解矩阵方程中的应用矩阵直积（Kronecker 积）在矩阵论及系统控制等工程研究领域有十分重要的应用．运用矩阵直积运算，能够将线性矩阵方程转化为线性代数方程组．§1 矩阵直积的定义与性质 1.1 矩阵直积定义1.1 设n m ij C a A ⨯∈=)(，q p ij C b B ⨯∈=)(，称如下的分块矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⊗B a B a B a B a B a B a B a B a B a B A mn m m n n212222111211为A 与B 的直积（Krionecker积，张量积），记为B A ⊗．B A ⊗是一个n m ⨯个块的分块矩阵，简写为nq m p ij C B a B A ⨯∈=⊗)(．显然B A ⊗与A B ⊗为同阶矩阵，但一般A B B A ⊗≠⊗，即矩阵的直积不满足交换律. 对单位矩阵，有m n n m mn E E E E E ⊗=⊗=.例1.1 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1001A ，)1,1(-=B ，则 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⊗11000011B A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⊗10100101A B . 定义 1.2 若nT n T n C y y y y x x x x ∈==),,,(,),,,(2121 ，则T T y x xy ⊗=，称T xy 为向量x 与y 的外积.1.2 矩阵直积的性质定理1.1 矩阵的直积具有如下基本性质：（1）)()()(kB A B kA B A k ⊗=⊗=⊗； （2）)()(C B A C B A ⊗⊗=⊗⊗；（3）C A B A C B A ⊗+⊗=+⊗)(，A C A B A C B ⊗+⊗=⊗+)(； （4）T T T B A B A ⊗=⊗)(； （5）H H H B A B A ⊗=⊗)(；（6）若,,,,t q s n q p n m C D C C C B C A ⨯⨯⨯⨯∈∈∈∈则)()())((BD AC D C B A ⊗=⊗⊗，若g E B =，n E C =，则D A D E E A n g ⊗=⊗⊗))((； （7）若A ，B 均可逆，则B A ⊗可逆，且111)(---⊗=⊗B A B A ； （8）若A 和B 都是对角矩阵、上（下）三角矩阵、实对称矩阵、Hermite 矩阵、正交矩阵、酉矩阵，则B A ⊗也分别是这种类型的矩阵.定义 1.3二元复系数多项式为∑==lj i j i ij y x c y x f 0,),(，若矩阵mm CA ⨯∈，nn C B ⨯∈，则mn 阶矩阵∑=⊗=lj i j i ij B A c B A f 0,),(，其中m E A =0，n E B =0.定理1.2 设∑==l j i jiij y x c y x f 0,),(，∑=⊗=lj i j i ij B A c B A f 0,),(，m m A ⨯的特征值为m λλλ,,,21 ，n n B ⨯的特征值为n μμμ,,,21 ，则),(B A f 的全体特征值为),(j i f μλ，),,2,1,,,2,1(n j m i ==．证明 由Schur 定理知存在酉矩阵Q P ,使得121*A AP P m H =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλ，121*B AQ Q n H=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=μμμ， 其中1A ，1B 为上三角矩阵，由定理1.1知，Q P ⊗ 为酉矩阵，j i B A 11⊗为上三角矩阵，则))(,()(1Q P B A f Q P ⊗⊗-)())((0,Q P B A Q Pc lj i j i H Hij ⊗⊗⊗=∑=),()()(110,11,B A f BA c QB Q P A Pc lj i j iij lj i jHiHij=⊗=⊗=∑∑==也是上三角矩阵. 且),(B A f 与)(11，B A f 有相同的特征值. 则)(11，B A f 的对角元即为),(B A f 的全部特征值. 因为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⊗j i m ji j i j i B B B B A 1121111*λλλ ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=j n i k ji k j i k ji k B μλμλμλλ 211*． 因此，),(11B A f 的对角元为),(j i f μλ，),,2,1,,,2,1(n j m i ==．推论1.1 设m m A ⨯的特征值为m λλλ,,,21 ，n n B ⨯的特征值为n μμμ,,,21 ，则（1）B A ⊗的特征值为j i μλ，),,2,1,,,2,1(n j m i ==； （2）B E E A m n ⊗+⊗的mn 个特征值为j i μλ+，m i ,,2,1 =，n j ,,2,1 =；（3）m n B A B A ))(det())(det )det(⋅=⊗； （4）))(()(trB trA B A tr =⊗.定理1.3 设q p n m C B C A ⨯⨯∈∈,，则)()()(B rank A rank B A rank ⋅=⊗． 证明 记A r A rank =)(，B r B rank =)(，有相应阶数的可逆矩阵T S Q P ,,,使得11000,000B E SBT A E PAQ BA r r =⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=， 则 )()(111111----⊗=⊗T B S Q A P B A ))()((111111----⊗⊗⊗=T Q B A S P ，由11--⊗S P ，11--⊗T Q 可逆，则)()()()(11B rank A rank r r B A rank B A rank B A ⋅==⊗=⊗．§2 矩阵直积在解矩阵方程中的应用 2.1 矩阵的拉直定义2.1 设n m ij C a A ⨯∈=)(，T ni i i i a a a ),,,(21 =α，),,2,1(n i =， 令 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n A ααα 21)(vec ，称)(vec A 为矩阵A 的列拉直．矩阵A 也可以按行拉直为行向量，记作)(rvec A ，有T T A A ))(vec ()(rvec =, T T A r A ))(vec ()(vec =．定理2.1 设q p p n n m C C C B C A ⨯⨯⨯∈∈∈,,，则)(vec )()(vec B A C ABC T ⊗=．证明 记),,,(),,,,(2121q p c c c C b b b B ==，则),,,()(vec 21q ABc ABc ABc ABC =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=q ABc ABc ABc 21，而 p pi i i i Ab c Ab c Ab c ABc ++=2211)(vec ),,,(21B A c A c A c pi i i =故 )(vec )()(vec )(vec 212221212111B A C B A c A c A c A c A c A c A c A c A c ABC Tpq q qp p ⊗=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= ．推论2.1 设n m n n m m C X C B C A ⨯⨯⨯∈∈∈,,，则 （1）)(vec )()(vec X A E AX n ⊗=； （2）)(vec )()(vec X E B XB m T ⊗=； （3）).(vec )()(vec X E B A E XB AX m T n ⊗+⊗=+ 2.2 线性矩阵方程在系统控制等工程领域，经常遇到矩阵方程（Lyapunov 型方程）F XB AX=+的求解问题，其中m m C A ⨯∈，n n C B ⨯∈，n m C F ⨯∈为已知常数矩阵，n m C X ⨯∈为未知矩阵. 利用矩阵的直积和拉直，可以给出线性矩阵方程的可解性及解法.一般的线性矩阵方程可表示为C XB A XB A XB A p p =+++ 2211， 其中n m n n i m m i C C p i C B C A ⨯⨯⨯∈=∈∈),,,2,1(, 为已知常数矩阵，n m C X ⨯∈未知矩阵.定理2.2 线性矩阵方程C XB A XB A XB A p p =+++ 2211有解的充分必要条件是)()(b A rank A rank =，其中∑=⊗=pi i T i A B A 1，)(vec C b =，n m n n i m m i C C p i C B C A ⨯⨯⨯∈=∈∈),,,2,1(, 为已知常数矩阵，n m C X ⨯∈未知矩阵.证明 ∑==pi i i C XB A 1有解，)()(1∑==⇔pi i i C vec XB A vec 有解)()(1∑==⇔p i i i C vec XB A vec 有解，)()()(1∑==⊗⇔pi i T i C vec X vec A B 有解)()(b A rank A rank =⇔定理 2.3 设m m A ⨯的特征值为m λλλ,,,21 ，n n B ⨯的特征值为n μμμ,,,21 ，则矩阵方程FXB AX =+有唯一解的充要条件是0≠+j i μλ，),,2,1,,,2,1(n j m i ==，其中m m C A ⨯∈，n n C B ⨯∈，nm C F ⨯∈为已知常数矩阵，n m C X ⨯∈为未矩阵．证明 F XB AX=+有唯一解，)(vec )(vec F XB AX =+⇔有唯一解)()()(F vec X vec E B A E m T n =⊗+⊗⇔有唯一解 m T n E B A E ⊗+⊗⇔的特征值不为零),,2,1,,,2,1(0n j m i u j i ==≠+⇔λ推论2.1 设m m A ⨯的特征值为m λλλ,,,21 ，n n B ⨯的特征值为n μμμ,,,21 ，则矩阵方程0=+XB AX 有非零解的充分必要条件是存在i 与j ，使0=+j i u λ，)1,1(n j m i ≤≤≤≤．推论 2.2 设n n C A ⨯∈，则矩阵方程F XA AX H =+有唯一解的充分必要条件是)(A λλ∈时必有)(A λλ∉-，其中)(A λ为A 的谱，λ为λ的共轭复数.定理2.4 设m m A ⨯的特征值为m λλλ,,,21 ，n n B ⨯的特征值为n μμμ,,,21 ，则矩阵方程∑==li i i F XB A 1有唯一解的充分必要条件是 0)(1≠+++l j i j i μλμλ ，),,2,1,,,2,1(n j m i ==．其中F为已知常数矩阵，X 为未知矩阵．定理2.5 若矩阵方程F XB AX=+中矩阵B A ,的所有特征值具有负实部（称这类矩阵为稳定矩阵），则该矩阵方程有唯一解 ⎰+∞-=0dt Fe e X Bt At ，其中m m C A ⨯∈，n n C B ⨯∈，n m C F ⨯∈为已知常数矩阵，n m C X ⨯∈为未知矩阵．证明 设A 的特征值为m λλλ,,,21 ，存在可逆矩阵m m C P ⨯∈，使⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=---m m m AP P λδλδλ11111 ，其中，i δ取0或1． 则11-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=P T e e P e A t t At m λλ ，这里，A T 为单位上三角矩阵，它的非零元素的形式为),0(,R a m k at k ∈≤≤.设B 的特征值为n μμμ,,,21 ，类似可得出，存在可逆矩阵Q ，11-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Q T e e Q e B t t Bt n μμ ，其中，BT 为单位上三角矩阵，它的非零元素的形式为),0(,R b n k bt k ∈≤≤．因1111--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Q T e e FQ P T e e P Fe e Bt t A t t Bt At n m μμλλ 的右端乘积矩阵的元素都是因子t jie )(μλ+的关于t 的多项式倍数的组合，且积分⎰+∞dt Fe e Bt At 存在．令Bt At Fe e t Y =)(，则B t Y t AY dtt dY )()()(+= ，F t Y t ==0|)(．两边求积分，可得 0()|()(())Y t A Y t dt Y t dt B ∞+∞+∞=+⎰⎰，即 FB dt t Y dt t Y A =-+-⎰⎰+∞+∞))(())((0．也就是FXB AX=+的解，因积分⎰+∞)(dt t Y 存在，且B A ,的所有特征值实部为负，则0lim =+∞→At t e ，0lim =+∞→Bt t e ．唯一性可由定理2.3得出.推论 2.3 设m m C A ⨯∈的特征值满足),,2,1(,0)Re(m i i =<λ，则方程FXA X A H-=+的唯一解为⎰+∞=0dtFe eX At tA H ．如果F 为Hermite 正定矩阵，则解矩阵X 也是Hermite 正定矩阵． 证明 只需证明后一结论即可. 当F F H=时，有XX H =．且对m C x ∈≠0，由于At e 可逆，则0≠x e At ，于是当F 正定时，有0)()(>x e F x e AtHAt，从而有0)()(0>=⎰+∞dt x e F x e Xx x At H At H，故X为正定矩阵．。
矩阵的直积课件
v2
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所以 AB 2 A 2 B 2 .此范数称为Frobenious范数,简称F-范数，
v2
v2
v2
常记为 A ，它有很好的性质. F
定理4：1）A Cnn,x Cn,则 Ax A x ;
2
F2
2）U ,V为酉矩阵，有
UA = AV = UAV = A =(tr(AH A))1/2.
F
A C
F F
BF
D
F
2)设 =(a1, ,an )T ,则
a1
a1 B a1 (1, ,s )
B
an
an B an (1, ,s )
a1 1,a1 2
an 1,an 2,
,a1 s
,an s
a1
1,
an
,
a1
s
an
m,n
例3：设 A Cmn ,则
A
v1
=
i，j 1
aij
,
A
v
= max i, j
aij
,以及
A
vp
m,n =
i，j1
aij
1/ p
p
( p 1)均是A的范数.
类似的前面的讨论，我们有如下定理：
定理3：
1）A Cmn的任一种范数均是A的元素的连续函数；
2）Cmn的任两种范数均是等价的，即对 A ，A ，存在
)
(A
B
2
2
)
(AkBk );
范数有以下性质：
命题：1)x 时，x 是范数为一的向量（单位化）;
x 2) -x = x ; 3)x，y V,有 x y x y .
证明：只证3） 我们有 x x-y+y x-y y 和 y y-x+x x-y x , 所以 - x-y x - y x-y ，也就是
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第8讲 矩阵的直积及其应用内容：1. 矩阵直积的定义与性质2. 矩阵直积在解矩阵方程中的应用矩阵直积（Kronecker 积）在矩阵论及系统控制等工程研究领域有十分重要的应用．运用矩阵直积运算，能够将线性矩阵方程转化为线性代数方程组．§1 矩阵直积的定义与性质 1.1 矩阵直积定义1.1 设n m ij C a A ⨯∈=)(，q p ij C b B ⨯∈=)(，称如下的分块矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⊗B a B a B a B a B a B a B a B a B a B A mn m m n n212222111211为A 与B 的直积（Krionecker 积，张量积），记为B A ⊗．B A ⊗是一个n m ⨯个块的分块矩阵，简写为nq mp ij C B a B A ⨯∈=⊗)(．显然B A ⊗与A B ⊗为同阶矩阵，但一般A B B A ⊗≠⊗，即矩阵的直积不满足交换律. 对单位矩阵，有m n n m mn E E E E E ⊗=⊗=.例1.1 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1001A ，)1,1(-=B ，则 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⊗11000011B A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⊗10100101A B . 定义 1.2 若nT n T n C y y y y x x x x ∈==),,,(,),,,(2121 ，则T T y x xy ⊗=，称T xy 为向量x 与y 的外积.1.2 矩阵直积的性质定理1.1 矩阵的直积具有如下基本性质：（1）)()()(kB A B kA B A k ⊗=⊗=⊗； （2）)()(C B A C B A ⊗⊗=⊗⊗；（3）C A B A C B A ⊗+⊗=+⊗)(，A C A B A C B ⊗+⊗=⊗+)(； （4）T T T B A B A ⊗=⊗)(； （5）H H HB A B A ⊗=⊗)(；（6）若,,,,t q s n q p n m C D C C C B C A ⨯⨯⨯⨯∈∈∈∈则)()())((BD AC D C B A ⊗=⊗⊗，若g E B =，n E C =，则D A D E E A n g ⊗=⊗⊗))((； （7）若A ，B 均可逆，则B A ⊗可逆，且111)(---⊗=⊗B A B A ； （8）若A 和B 都是对角矩阵、上（下）三角矩阵、实对称矩阵、Hermite 矩阵、正交矩阵、酉矩阵，则B A ⊗也分别是这种类型的矩阵.定义 1.3二元复系数多项式为∑==lj i j i ij y x c y x f 0,),(，若矩阵mm CA ⨯∈，nn C B ⨯∈，则mn 阶矩阵∑=⊗=lj i j i ij B A c B A f 0,),(，其中m E A =0，n E B =0.定理1.2 设∑==l j i jiij y x c y x f 0,),(，∑=⊗=lj i j i ij B A c B A f 0,),(，m m A ⨯的特征值为m λλλ,,,21 ，n n B ⨯的特征值为n μμμ,,,21 ，则),(B A f 的全体特征值为),(j i f μλ，),,2,1,,,2,1(n j m i ==．证明 由Schur 定理知存在酉矩阵Q P ,使得121*A AP P m H =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλ ，121*B AQ Q n H=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=μμμ， 其中1A ，1B 为上三角矩阵，由定理1.1知，Q P ⊗ 为酉矩阵，j i B A 11⊗为上三角矩阵，则))(,()(1Q P B A f Q P ⊗⊗-)())((0,Q P B A Q Pc lj i j i H Hij⊗⊗⊗=∑=),()()(110,110,B A f B A cQ B Q P A Pc lj i j i ijlj i jH i Hij=⊗=⊗=∑∑==也是上三角矩阵. 且),(B A f 与)(11，B A f 有相同的特征值. 则)(11，B A f 的对角元即为),(B A f 的全部特征值. 因为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⊗j i m ji j i j i B B B B A 1121111*λλλ ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=j n i k ji k j i k j i k B μλμλμλλ 211*． 因此，),(11B A f 的对角元为),(j i f μλ，),,2,1,,,2,1(n j m i ==．推论1.1 设m m A ⨯的特征值为m λλλ,,,21 ，n n B ⨯的特征值为n μμμ,,,21 ，则（1）B A ⊗的特征值为j i μλ，),,2,1,,,2,1(n j m i ==； （2）B E E A m n ⊗+⊗的mn 个特征值为j i μλ+，m i ,,2,1 =，n j ,,2,1 =；（3）m n B A B A ))(det())(det )det(⋅=⊗； （4）))(()(trB trA B A tr =⊗.定理1.3 设q p n m C B C A ⨯⨯∈∈,，则)()()(B rank A rank B A rank ⋅=⊗． 证明 记A r A rank =)(，B r B rank =)(，有相应阶数的可逆矩阵T S Q P ,,,使得11000,000B E SBT A EPAQ BAr r =⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=， 则 )()(111111----⊗=⊗T B S Q A P B A ))()((111111----⊗⊗⊗=T Q B A S P ，由11--⊗S P ，11--⊗T Q 可逆，则)()()()(11B rank A rank r r B A rank B A rank B A ⋅==⊗=⊗．§2 矩阵直积在解矩阵方程中的应用 2.1 矩阵的拉直定义2.1 设n m ij C a A ⨯∈=)(，T ni i i i a a a ),,,(21 =α，),,2,1(n i =， 令 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n A ααα 21)(vec ，称)(vec A 为矩阵A 的列拉直．矩阵A 也可以按行拉直为行向量，记作)(rvec A ，有T T A A ))(vec ()(rvec =, T T A r A ))(vec ()(vec =．定理2.1 设q p p n n m C C C B C A ⨯⨯⨯∈∈∈,,，则)(vec )()(vec B A C ABC T ⊗=．证明 记),,,(),,,,(2121q p c c c C b b b B ==，则),,,()(vec 21q ABc ABc ABc ABC =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=q ABc ABc ABc 21，而 p pi i i i Ab c Ab c Ab c ABc ++=2211)(vec ),,,(21B A c A c A c pi i i =故 )(vec )()(vec )(vec 212221212111B A C B A c A c A c A c A c A c A c A c A c ABC Tpq q qp p ⊗=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=．推论2.1 设n m n n m m C X C B C A ⨯⨯⨯∈∈∈,,，则 （1）)(vec )()(vec X A E AX n ⊗=； （2）)(vec )()(vec X E B XB m T ⊗=； （3）).(vec )()(vec X E B A E XB AX m T n ⊗+⊗=+ 2.2 线性矩阵方程在系统控制等工程领域，经常遇到矩阵方程（Lyapunov 型方程）F XB AX =+的求解问题，其中m m C A ⨯∈，n n C B ⨯∈，n m C F ⨯∈为已知常数矩阵，n m C X ⨯∈为未知矩阵. 利用矩阵的直积和拉直，可以给出线性矩阵方程的可解性及解法.一般的线性矩阵方程可表示为C XB A XB A XB A p p =+++ 2211， 其中n m n n i m m i C C p i C B C A ⨯⨯⨯∈=∈∈),,,2,1(, 为已知常数矩阵，n m C X ⨯∈未知矩阵.定理2.2 线性矩阵方程C XB A XB A XB A p p =+++ 2211有解的充分必要条件是)()(b A rank A rank =，其中∑=⊗=pi i T i A B A 1，)(vec C b =，n m n n i m m i C C p i C B C A ⨯⨯⨯∈=∈∈),,,2,1(, 为已知常数矩阵，n m C X ⨯∈未知矩阵.证明 ∑==pi i i C XB A 1有解，)()(1∑==⇔pi i i C vec XB A vec 有解)()(1∑==⇔p i i i C vec XB A vec 有解，)()()(1∑==⊗⇔pi i T i C vec X vec A B 有解)()(b A rank A rank =⇔定理 2.3 设m m A ⨯的特征值为m λλλ,,,21 ，n n B ⨯的特征值为nμμμ,,,21 ，则矩阵方程F XB AX =+有唯一解的充要条件是0≠+j i μλ，),,2,1,,,2,1(n j m i ==，其中m m C A ⨯∈，n n C B ⨯∈，nm C F ⨯∈为已知常数矩阵，n m C X ⨯∈为未矩阵．证明 F XB AX =+有唯一解，)(vec )(vec F XB AX =+⇔有唯一解)()()(F vec X vec E B A E m T n =⊗+⊗⇔有唯一解 m T n E B A E ⊗+⊗⇔的特征值不为零),,2,1,,,2,1(0n j m i u j i ==≠+⇔λ推论2.1 设m m A ⨯的特征值为m λλλ,,,21 ，n n B ⨯的特征值为n μμμ,,,21 ，则矩阵方程0=+XB AX 有非零解的充分必要条件是存在i 与j ，使0=+j i u λ，)1,1(n j m i ≤≤≤≤．推论 2.2 设n n C A ⨯∈，则矩阵方程F XA AX H =+有唯一解的充分必要条件是)(A λλ∈时必有)(A λλ∉-，其中)(A λ为A 的谱，λ为λ的共轭复数.定理2.4 设m m A ⨯的特征值为m λλλ,,,21 ，n n B ⨯的特征值为n μμμ,,,21 ，则矩阵方程∑==li i i F XB A 1有唯一解的充分必要条件是0)(1≠+++l j i j i μλμλ ，),,2,1,,,2,1(n j m i ==．其中F为已知常数矩阵，X 为未知矩阵．定理2.5 若矩阵方程F XB AX =+中矩阵B A ,的所有特征值具有负实部（称这类矩阵为稳定矩阵），则该矩阵方程有唯一解 ⎰+∞-=0dt Fe e X Bt At ，其中m m C A ⨯∈，n n C B ⨯∈，n m C F ⨯∈为已知常数矩阵，n m C X ⨯∈为未知矩阵．证明 设A 的特征值为m λλλ,,,21 ，存在可逆矩阵m m C P ⨯∈，使⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=---m m m AP P λδλδλ11111 ，其中，i δ取0或1． 则11-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=P T e e P e A t t At m λλ ，这里，A T 为单位上三角矩阵，它的非零元素的形式为),0(,R a m k at k ∈≤≤.设B 的特征值为n μμμ,,,21 ，类似可得出，存在可逆矩阵Q ，11-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Q T e e Q e B t t Bt n μμ ，其中，BT 为单位上三角矩阵，它的非零元素的形式为),0(,R b n k bt k ∈≤≤．因1111--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Q T e e FQ P T e e P Fe e Bt t A t t Bt At n m μμλλ 的右端乘积矩阵的元素都是因子t jie )(μλ+的关于t 的多项式倍数的组合，且积分⎰+∞dt Fe e Bt At 存在．令Bt At Fe e t Y =)(，则B t Y t AY dtt dY )()()(+= ，F t Y t ==0|)(．两边求积分，可得 0()|()(())Y t A Y t dt Y t dt B ∞+∞+∞=+⎰⎰，即FB dt t Y dt t Y A =-+-⎰⎰+∞+∞))(())((0．也就是F XB AX =+的解，因积分⎰+∞)(dt t Y 存在，且B A ,的所有特征值实部为负，则0lim =+∞→At t e ，0lim =+∞→Bt t e ．唯一性可由定理2.3得出.推论 2.3 设m m C A ⨯∈的特征值满足),,2,1(,0)Re(m i i =<λ，则方程FXA X A H -=+的唯一解为⎰+∞=0dtFe e X At t A H．如果F 为Hermite 正定矩阵，则解矩阵X 也是Hermite 正定矩阵． 证明 只需证明后一结论即可. 当F F H =时，有X X H=．且对m C x ∈≠0，由于At e 可逆，则0≠x e At ，于是当F 正定时，有0)()(>x e F x e AtHAt，从而有0)()(0>=⎰+∞dt x e F x e Xx x At H At H，故X为正定矩阵．。