矩阵论浙大研究生第8讲
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矩阵论矩阵论是线性代数的一个重要分支，它研究的是矩阵的性质、运算和应用。
在现代科学和工程领域中，矩阵论被广泛应用于各种数学模型的建立、数据处理和优化问题的求解等。
一、矩阵的定义与性质矩阵是由数个数值排列成矩形形状的数组。
在矩阵论中，通常用大写字母表示矩阵，如A、B、C等。
一个矩阵由m行n列的数值组成，可以表示为A = [aij]，其中i表示行的编号，j表示列的编号，aij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
在矩阵论中，还有一些基本的运算符号和性质。
如矩阵的转置、加法、乘法等。
矩阵转置是指将矩阵的行列互换得到的新矩阵。
矩阵加法是指将两个具有相同维数的矩阵对应元素相加得到新矩阵。
矩阵乘法是指对矩阵的每个元素进行乘积运算，最终得到的新矩阵的元素是原矩阵对应行与对应列的乘积之和。
矩阵还有一些重要的性质。
如矩阵的对称性、零矩阵、单位矩阵等。
对称矩阵是指元素关于主对角线对称的矩阵，即a[i][j] = a[j][i]。
零矩阵是每个元素都为0的矩阵。
单位矩阵是指主对角线上元素都为1，其它元素都为0的矩阵。
单位矩阵在矩阵乘法运算中起到类似于数1的作用。
二、矩阵的运算与法则1. 矩阵的转置法则：(AB)T = BTAT。
即两个矩阵的乘积的转置等于这两个矩阵分别转置后的乘积。
这个法则在矩阵运算中经常被使用，可以简化复杂矩阵乘法的计算。
2. 矩阵的加法法则：矩阵加法满足交换律和结合律。
即A + B = B + A，(A + B) + C = A + (B + C)。
这些法则使得矩阵的加法运算可以像普通的数的加法一样直观和易于计算。
3. 矩阵的乘法法则：矩阵乘法满足结合律，但一般不满足交换律。
即(AB)C = A(BC)，但一般来说，AB ≠ BA。
这是因为矩阵乘法涉及到对矩阵的行和列进行运算，行和列的次序不同会导致运算结果的差异。
4. 零矩阵的性质：对于任意矩阵A，都有A + 0 = A，0A = 0。
即任何矩阵与零矩阵相加或相乘都不改变原矩阵。
研究生矩阵论
研究生矩阵论矩阵论是数学中的一个重要分支，它研究的对象是矩阵及其性质。
研究生在学习矩阵论时，需要深入理解矩阵的基本概念和性质，并掌握一些重要的定理和推论。
本文将介绍研究生矩阵论的一些重要内容，以帮助读者更好地理解和应用矩阵论知识。
矩阵是由数个数按照一定的规律排列成的矩形数组。
矩阵的行和列分别代表其维度。
在矩阵论中，我们通常用大写字母表示矩阵，如A、B、C等。
矩阵中的每个元素用小写字母表示，如a、b、c等。
矩阵的运算包括加法、减法、数乘和矩阵乘法等。
这些运算满足一定的性质，如结合律、分配律等。
矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
转置矩阵的性质有：(A^T)^T = A，(A + B)^T = A^T + B^T，(kA)^T = kA^T，其中A、B是矩阵，k是数。
矩阵的逆是指对于一个可逆方阵A，存在一个方阵B，使得AB = BA = I，其中I是单位矩阵。
如果一个矩阵没有逆矩阵，我们称其为奇异矩阵。
逆矩阵的性质有：(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T，(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}，(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}，其中A、B是可逆矩阵，k是非零数。
矩阵的秩是指矩阵中非零行（列）的最大个数。
矩阵的秩具有一些重要的性质：如果矩阵A的秩为r，则A的任意r阶子式不等于0，而r+1阶子式等于0。
矩阵的特征值和特征向量是矩阵论中的重要概念。
对于一个方阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax = \lambda x，其中\lambda是一个数，那么\lambda称为A的特征值，x称为对应于特征值\lambda的特征向量。
特征值和特征向量具有一些重要的性质：矩阵A和其转置矩阵A^T具有相同的特征值；A的特征值之和等于A 的迹，即矩阵A的所有特征值之和等于A的主对角线上元素之和。
矩阵的相似性是矩阵论中的一个重要概念。
对于两个方阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP = B，那么我们称A和B 是相似的。
矩阵论第8章
广义逆矩阵是通常逆矩阵的推广. 1920 年穆尔（Moore）首先 提出了广义逆矩阵的概念， 但其后的 30 年未引起人们的重视． 直 到 1955 年彭诺斯（Penrose）利用四个矩阵方程给出了广义逆矩 阵的新的更简便实用的定义之后，广义逆矩阵的研究才进入了一 个新的时期，其理论和应用得到了迅速发展，已成为矩阵论的一 个重要分支，广义逆矩阵在数理统计、最优化理论、控制理论、 系统识别、数字图象处理等许多领域都具有重要应用． 本章着重介绍几种常见的广义逆矩阵及其在解线性方程组中 的应用．
由定义不难看出：
A A{1,2} A{1} ； A A{1,3} A{1} ； A A{1,4} A{1} ．
1 0 1 0 0 1 0 0 例 8.1.1 设 A 1 0 ， B 0 1 0 0 0 1 ，C ，由于 1 0 ABA A ， ACA A ， 所以， B 与 C 均为 A 的减号逆．
1 2 3 4 C4 C4 C4 C4 15 ．
但应用较多的是以下 5 类： A{1} ， A{1, 2} ， A{1, 3} ， A{1, 4} ， A{1, 2, 3, 4} ． 下面将会看到，只有 A{1, 2, 3, 4} 是唯一确定的，其他各类广义 逆矩阵都不唯一.
定义 8.1.2 设 A C mn 为任意复数矩阵，则 （1）满足方程（8.1.1）的广义逆矩阵类记为 A{1} ，其中任意一 个确定的广义逆，称为减号逆，记为 A ； （2）满足方程（8.1.1）与（8.1.2）的广义逆矩阵类记为 A{1, 2} ， 其中任意一个确定的广义逆，称为自反减号逆，记为 Ar ； （3）满足方程（8.1.1）与（8.1.3）的广义逆矩阵类记为 A{1, 3} ， 其中任意一个确定的广义逆，称为最小范数广义逆，记为 Am ； （4）满足方程（8.1.1）与（8.1.4）的广义逆矩阵类记为 A{1, 4} ， 其中任意一个确定的广义逆，称为最小二乘广义逆，记为 Al ； （5） 满足全部 4 个 M-P 方程的广义逆矩阵类记为 A{1, 2, 3, 4} ， 这类广义逆对给定的 A 来说只有唯一的一个广义逆，称为加号逆， 或穆尔-彭诺斯广义逆，记为 A ．
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列和第
行， x ( x1 , x2 ,, xn ) ,则有
( 2) ( n)
Ax x1 A x2 A xn A
这就是说，矩阵乘一个列向量，其结果是将该矩 阵的列向量进行线性组合，组合系数即是该列向量 的对应系数。 若令 y ( y1 , y2 ,, ym ), 则有：
yA y1 A(1) x2 A( 2) xm A( m)
其余元素均为0的矩阵。借助这些矩阵，任意 矩阵 A aij , 均能唯一地表示成： A
m n
n ij ij
a E .
i 1 j 1
m
对矩阵乘法的表达，可以利用下述性质：
Eij Ekl jk Eil ,1 i, j, k , l n,
其中 jk 是Kronecker符号，即当
.函数与极限
5
【定义1.1.4 】 一个 一个
m p
pn
p
矩阵 B bij
m n
矩阵 C cij , 其中
矩阵 A aij
与
的乘积是一个
cij aik bkj ,1 i m,1 j n.
j 1
★矩阵的乘法有下述性质： （M1)结合律：( AB)C A( BC);
并将其分块成
P Q1P2 ,
P 11 P P 21
.函数与极限
P 12 P22
26
其中
P 11 , P 12 , P 21 , P 22
分别为
r1 r2 ,
r1 ( p r2 ), ( p r1 ) r2 , ( p r1 ) ( p r2 )
A( E pq Eqp ) (aii Eii E pq aii Eii Eqp ) a pp E pq aqq Eqp ;
矩阵论8稿第6章
( (
( −1 ⋅ X Y HY O
)
XHX = H Y Y ⋅XH
( (
) )
XH −1 YH
−1
XH H =X⋅ X X H Y
(
)
−1
例3
1 0 向量空间 R 中： α = 2 , β = 1 , L = L(α , β ) ，求 PL ． 0 1 1 0 , X T X = 5 2 , X T X X = 2 1 2 2 0 1
Y)
−1
−1
= ( XC
O ⋅ (X D −1
= (X
O)⋅ (X
Y)
−1
四、正交投影变换
矩阵论 8 稿（张凯院）
第六章
广义逆矩阵
6-4
欧氏空间 C n 中，子空间 L 给定，取 M = L⊥ , 则 C n = L ⊕ M ． 正交投影变换 TL = TL , M ；正交投影矩阵 PL = PL , M ． Th2 证 方阵 P = PL ⇔ P 2 = P , P H = P . 必要性．已知 P = PL : Th1 ⇒ P 2 = P ∀x1 ∈ C n ⇒ x1 = y1 + z 1 , y1 = Px1 ∈ L, z 1 ∈ L⊥ ∀x 2 ∈ C n ⇒ x 2 = y 2 + z 2 , y 2 = Px 2 ∈ L, z 2 ∈ L⊥
因为投影变换 TR ( P ), N ( P ) 满足
TR ( P ), N ( P ) ( x ) = y ⇒ PR ( P ), N ( P ) x = y ( ∀x ∈ C n )
所以
P x = PR ( P ), N ( P ) x ( ∀x ∈ C n ) ⇒ P = PR ( P ), N ( P )
矩阵论简明教程8
证毕
推论 对任意 x R n 且 x 与 e1 不共线，则初等反射阵 H In 2uuT 使得
Hx e1，其中 u
x e1 ， x
x e1 2
2
Hale Waihona Puke 初等反射阵的应用主要基于上述的定理和推论。推论的结果称为用
Householder 变换化 x 与 e1 同方向（共线）。
，
(1 ,2 )
(1 ,2 )
称T
cos sin
sin cos
为平面旋转阵,它是一个正交矩阵，推广到
R
n
上，即得
1．定义 称如下的 n 阶矩阵
1
1
cos
sin
p
1
Tpq
=
1
sin
cos
又取 c
12
2 2
，s
12
2 2
2 3
12
3
2 2
2 3
，构造T13 使
106
T13 (T12 x) = (
12
2 2
2 3
,0,0, 4 ,, n )T
依次进行下去，最后得
n
T1n T13T12 x = (
2 k
,0,,0)
T
=
x
2 e1
In
O 2uuT
=
Ir O
矩阵理论-第八讲.ppt
逆命题不成立
A(k )
(1)k
1
1
k
1 2
: Cmn R
k A(k) ?
lim A(k) lim
k
F k
6
(k
1 1)2
6
{a1(1k )} 不收敛
兰州大学信息科学与工程学院
矩阵理论第8讲-13
矩阵序列
推论：
设 {A(k) : A(k) C mn , k 0,1, lim A(k) A 0
A)
A
A
兰州大学信息科学与工程学院
矩阵理论第8讲-8
矩阵的条件数
– 当A与b二者均有扰动时，由于Ax = b的线性特性，其扰动结果为二者 扰动之和
x A1 b A1 b A A1 b
x
x
b
b
A
x
A1 A
A1 A
A
x
(1 A1 A )
(1 A1
A
A)
A
A
注意到当 A1 A 1 时
为A的奇异值
兰州大学信息科学与工程学院
矩阵理论第8讲-4
矩阵的条件数
用MATLAB验证
的条件数
2 1
A
2
1.0001
与下面的方程组进行比较：
1
2
2 1
x1 x2
7 1
用
1
2
2 0.999
x1 x2
7 1.001
来验证其对误差的鲁棒性（Robustness）
兰州大学信息科学与工程学院
A A1
A A1
A A1
1 A1 A 1 A A1 A
A
兰州大学信息科学与工程学院
矩阵理论第8讲-9
研究生矩阵分析课程课件
矩阵分析
02
矩阵的三角分解
三角分解是一种将一个矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵之和的方法，这种方法在解决线性方程组、计算行列式和求逆矩阵等问题中有着广泛的应用。
矩阵的QR分解
QR分解是一种将一个矩阵分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵之积的方法，这种方法在解决最小二乘问题、求解线性方程组和计算矩阵的范数等问题中有着重要的应用。
神经网络是一种模拟人脑神经元结构的计算模型，由多个神经元组成，用于处理复杂的数据模式。参数矩阵在神经网络中起到传递信息的作用，通过调整参数矩阵的值，可以训练神经网络以适应不同的任务和数据集。参数矩阵的学习和优化是神经网络训练过程中的核心步骤。
课程总结与展望
06
矩阵基本概念：矩阵作为线性代数中的基本概念，是解决实际问题的有力工具。课程中详细介绍了矩阵的定义、性质以及矩阵的运算规则，如矩阵加法、数乘、乘法等。
矩阵的范数
线性方程组与矩阵
03
高斯消元法是一种求解线性方程组的直接方法，通过消元和回代步骤求解方程组。
高斯消元法的基本思想是将增广矩阵通过行变换化为阶梯形矩阵，然后回代求解未知数。在每一步消元过程中，通过将某一行的倍数加到其他行上，使得当前未知数的系数变为0，从而简化方程组。
总结词
详细描述
总结词
大数据与矩阵分析
在大数据时代，如何有效地处理和分析大规模数据成为亟需解决的问题。矩阵分析作为处理线性代数问题的有力工具，未来可以进一步研究如何将其应用于大数据处理和分析中。
数值计算与矩阵分析
数值计算是解决各种数学问题的重要手段，而矩阵分析作为数值计算的基础，其重要性不言而喻。未来可以进一步研究如何提高矩阵分析的数值计算精度和效率，以满足各种复杂数学问题的求解需求。
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矩阵论
2015年秋学期第八讲2015年10月14日
第4章梯度分析与最优化
矩阵论－梯度分析与最优化实变量函数无约束优化的梯度分析
2
矩阵论－梯度分析与最优化复变函数的平稳点和极值点条件3矩阵论－梯度分析与最优化无约束最小化问题的梯度分析——极值点的辨识
或
或
则z 0为严格局部最小点
4
矩阵论－梯度分析与最优化无约束最小化问题的梯度分析——闭式解梯度向量
5极大值/极小值？矩阵论－梯度分析与最优化无约束最小化问题的梯度分析——闭式解
与最小二乘解具有等效性
6
极大值/极小值？
矩阵论－梯度分析与最优化无约束最小化问题的梯度分析无约束最小化问题的梯度分析
7矩阵论－梯度分析与最优化无约束最小化问题的梯度分析—实值目标函数的最速下降方向以复矩阵为变元的实值目标函数的平稳点存在两种选择
在设计优化迭代算法时，应该选哪一种梯度？曲率定义
8
矩阵论－梯度分析与最优化无约束最小化问题的梯度分析—实值目标函数的最速下降方向9矩阵论－梯度分析与最优化无约束最小化问题的梯度分析—凸优化理论10
标准的约束优化问题
约束优化问题很难求解，决策变量x 很大，有很多局部解，收敛速度差，收敛的停止准则失败等。
矩阵论－梯度分析与最优化
无约束最小化问题的梯度分析—凸优化理论11
凸函数
强凸函数
Eq.4.3.20-4.3.23
矩阵论－梯度分析与最优化
12
矩阵论－梯度分析与最优化矩阵论－梯度分析与最优化14矩阵论－梯度分析与最优化15矩阵论－梯度分析与最优化16矩阵论－梯度分析与最优化17矩阵论－梯度分析与最优化18
矩阵论－梯度分析与最优化19矩阵论－梯度分析与最优化矩阵论－梯度分析与最优化矩阵论－梯度分析与最优化矩阵论－梯度分析与最优化矩阵论－梯度分析与最优化
矩阵论－梯度分析与最优化矩阵论－梯度分析与最优化26矩阵论－梯度分析与最优化27。