研究生矩阵论期末试题
研究生《矩阵论》 期末考试题
武汉大学2018-2019第一学期研究生《矩阵论》期末考试题
一、（15分）设W={（x 1,x 2,x 3,x 4）|x 1-x 2+x 3-x 4=0}，其中（x 1,x 2,x 3,x 4）∈R 4
（1）证明W 是线性空间；
（2）求W 的一组基和维数；
（3）将W 的基扩充为R 4的基。
二、（15分）设V 是欧氏空间，W 是V 的任意一个子空间，令W ⊥={α∈V|α⊥W}
证明：（1）W ⊥也是V 的子空间；
（2）V=W ⊕W ⊥。
三、（15分）在R 3中定义变换σ（x 1,x 2,x 3）丅=（x 1+x 2，x 1-x 2，x 3）
丅（1）证明σ是线性变换；
（2）求σ的像lmσ和σ的核kerσ；
（3）求σ在基β1=（1.0.0）丅，β2=（1.1.0）丅，β3=（1.1.1）丅下的矩阵表示。
四、（15分）设σ是n 维线性空间，
V （F ）上的一个线性变换，关于基α1，α2，...，αn 和基β1，β2，...，βn 的矩阵分别为A 和B 。
证明：存在可逆矩阵P 使得B=P -1AP 。
五、（15分）已知A=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛0 2 21- 2 21- 1 3（1）求A 的最小多项式；
（2）求A 所有的行列式因子、不变因子和初等因子；（3）求可逆矩阵P 使得P -1AP 为对角矩阵或Jordan 矩阵。
六、（25分）设A ∈R m ×n ，B ∈R n ×p
（1）证明：秩（AB ）≤秩（A ），秩（AB ）≤秩（B ）（2）证明：秩（AB ）≥秩（A ）+秩（B ）-n。
14-15(1)-14级-矩阵论试题与答案
中国矿业大学2014～2015学年第1学期研究生《矩阵论》试卷答题时间:120分钟 考试方式:闭卷姓名_ _____学号____________院系__________任课老师____________得分______ 【一】（10分）已知矩阵a b A c d ⎛⎫=⎪⎝⎭，定义22R ⨯上的线性变换 (),T X AX X =∈22R ⨯求T 在基11122122,,,E E E E 下的矩阵。
【二】（15分） 已知矩阵313729214A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭（1）求A 的不变因子、初等因子； （2）求A 的Jordan 标准形J ； （3）求可逆矩阵P 使1P AP J -=。
【三】（15分）已知矩阵010865A ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭（1）求A 的特征多项式； （2）求A 的最小多项式；（3）把矩阵Ate 表示成关于A 的多项式。
【四】（10分）已知矩阵111032A ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求A 的QR 分解。
【五】（10分） 已知矩阵0.20.70.30.6A ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求1,A A ∞； （2）讨论矩阵幂级数0kk A∞=∑的敛散性；若收敛，求其和。
【六】（15分）已知下面矛盾方程组123131311221x x x x x x x ++=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ （1）求系数矩阵A 的满秩分解； （2）求A 的广义逆矩阵A +；（3）求该方程组的极小范数最小二乘解。
【七】（15分）()n n ij A a R ⨯=∈，证明：2,,max max ij ij i ji ja An a ≤≤⋅【八】（10分）假设A 是n 阶方阵，若A 不与任何对角阵相似，证明：存在多项式()f λ及正整数k ，使得()f A O ≠但[()]k f A O =。
参 考 答 案【一】（10分）已知矩阵a b A c d ⎛⎫=⎪⎝⎭，定义22R ⨯上的线性变换 (),T X AX X =∈22R ⨯求T 在基11122122,,,E E E E 下的矩阵。
西安邮电大学矩阵论期末真题试题2
西安邮电大学研究生课程考试试题
第1页 共3页 西安邮电大学研究生课程考试试题
（ — 学年第一学期）
一、填空题（每小题4分，共20分）
1.设T 是线性空间n V )1(>n 的线性变换，若数λ不是T 的特征值，则n V 的子空间{}
n V x x Tx x V ∈==,λλ的维数是 2.已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=5221001i i A ,其中1-=i ，则=1A ,=2A , =F A
3.已知⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=613
13461A ,矩阵A 是否是收敛矩阵 ，根据是 4.已知⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=300211101A ,则A 的Jordan 标准形是 5.线性空间n V 中，设由基（Ⅰ）：n x x x ,,,21Λ到基（Ⅱ）：n y y y ,,,21Λ的过渡矩阵为C ，给定n 阶矩阵B ，线性变换T 满足B x x x Ty Ty Ty n n ),,,(),,,(2121ΛΛ=，则T 在基（Ⅱ）下的矩阵是
二、已知⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=321043211111A ，求A 的满秩分解．(10分)
三、已知⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=4021588017190A ，应用n Gerschgori 的特征值估计理论分离A 的特征值，并在复平面上画图表示．(10分)
四、设n m R A ⨯∈，证明在列向量空间m R 中，)(T A N 与)(A R 互补． (10分)。
09+10年北航研究生矩阵论 矩阵理论B期末试卷
二、设 A∈ 8×8，且 λ I − A 等价于准对角阵
diag
⎧⎪⎨⎪⎩⎡⎢⎣λ
2 −1 0
1 ⎤ ⎡λ +1 λ + 2⎥⎦ , ⎢⎣λ −1
0⎤ λ −1⎥⎦
,(λ
+
2)2
,
λ
+
2,
1,
1⎫⎪⎬⎪⎭
(1)试求 λ I − A 的初等因子，不变因子；Smith 标准形(3)写出 A 的最小多项式及 Jordan 形.
四、证明：1）、 因为 A+ = A，故 A3 = A 所以 秩A=秩A3 ≤ 秩A2 ≤ 秩A，所以 秩A2 = 秩A
2）、由 A3 − A = 0，故 λ3 − λ 将 A 零化，且 λ3 − λ = 0无重根， A 可对角化。
3）、 A 的特征根为 1、-1 和 0，而 秩A=r 。故非零特根个数为（对角线非零元素的个数为 r）
附加题证明：令 B = A( AT A)−1 AT ，则 BT = B 为实对称矩阵，且 B2 = B
从而 BT B 与 B 由相同的特征值，且 B 的正奇异值就是 B 的正特征值。λ2 −1 = λ(λ −1) 是
B 的 零 化 式 。 故 B 的 最 大 特 征 值 为 1 （ 否 则 B 为 零 矩 阵 ， 从 而 A = 0 ， 矛 盾 ）， 所 以 B = B的最大奇异值= 1 = 1
3⎤ 2⎥⎦
.（1）计算
e
At
;
（2）试求
f
∞
A=
n=0
n +1 n!
A2
+
A
n
.
八、 A∈ n×n. 证明 lim Am = 0 ⇔ ρ ( A) < 1. m→∞
研究生期末试题矩阵论a及答案
,
可得谱分解式 （10分）
六、当 时， ；当 时，存在 与 使得 ，从而有
，（4分）
对于 ，有
，（7分）
对于 ，有
所以 是 中的矩阵范数.（10分）
七、解
，
， ，
.（10分）
八、容易求出矩阵A的最小多项式为 ，所以 ，于是
由此知 的内插多项式表示为
.（6分）
将矩阵A代入上式得
.
当 时， ，故
一、(10分) 为数域，对于线性空间 中任意矩阵 ，规则 ， 分别为
，问 ， 是否为 上的变换，如果是，证明该变换为线性变换，并求该变换在基 ， ， ， 下的矩阵，判断该变换是否为可逆变换．
解：因 ， ，故 为 上的变换， 不是 上的变换。（4分）
又对于线性空间 中任意矩阵 ， ， ，故为线性变换。（6分）
七、(10分)已知函数矩阵
，
其中 ，试求 ， ， ， .
八、(10分)已知矩阵 ，写出矩阵函数 的Lagrange-Sylvester内插多项式表示，并计算 .
.
长 春 理 工 大 学
研 究 生 期 末 考 试标准答案及评分标准
科目名称：矩阵论命题人：姜志侠
适用专业：审核人：
开课学期：2012——2013学年第 一 学期□开卷√闭卷
长 春 理 工 大 学
研 究 生 期 末 考 试试 题
科目名称：矩 阵 论命题人：姜志侠
适用专业：理 工 科审核人：
开课学期：2013 ——2014 学年第 一 学期□开卷 √闭卷
一、(10分) 为数域，对于线性空间 中任意矩阵 ，规则 ， 分别为 ，问 ， 是否为 上的变换，如果是，证明该变换为线性变换，并求该变换在基 ， ， ， 下的矩阵．
矩阵论研究生复习题
矩阵论研究生复习题矩阵理论及应用证明题复习题正规矩阵（包括Hermite 矩阵；Hermite 正定矩阵等）1. 设()ij n n A a ?=是n 阶Hermite 矩阵，12,,,n λλλ 是A 的特征值，且12n λλλ≥≥≥ ，证明：（1）1H n H x Axx xλλ≤≤ ；（2）{}11max n kk k n a λλ≤≤≤≤.2.假设n 阶Hermite 矩阵A 是正定的。
证明：(1)存在正定矩阵S 使得2A S =；（2）对任意n 维列向量,X Y ，有2HH H Y AXX AX Y AY≤，并且，等号成立当且仅当,X Y 线性相关。
3.证明：设,A B 都是Hermite 矩阵，A 的特征值都大于a ，B 的特征值都大于b ，则A B +的特征值都大于a b +。
4.设A 为n 阶正定Hermite 矩阵，证明（1）Hnn AG a ββ??=是正定的的充分必要条件为1H nn a A ββ->，（2）Hnn AG a ββ=正定时有不等式：nn G a A ≤. 5.A 是n 阶Hermite 矩阵，证明：246A A I -+是正定Hermite 矩阵6.A 、B 都为n 阶正定Hermite 矩阵，且AB BA =，则AB 亦为正定Hermite 矩阵范数1.设?为n nC ?上的矩阵范数，λ为复矩阵A 的特征值，证明：mm A λ≤（m 为正整数）2.设λ是n 阶可逆矩阵A 的特征值，A 是A 的任意一种范数证明：11A λ-≥3.设A 是n 阶可逆矩阵，A 是A 的任意一种范数.证明：A 的谱半径()11A Aρ-≥4.A 是n 阶复矩阵，证明221AA A∞≤5.假设A 是s n ?矩阵，,U V 分别是s s ?、n n ?酉矩阵。
证明：FFAUAV=，22A UAV =。
6.设()ijn nA a ?=为n 阶Hermite 矩阵,证明：（1）2()A A ρ=；（2）()ij aA ρ≤.7.设A 为n 阶方阵,A 是从属于任何向量范数的矩阵范数, 证明:1)1I =; 2) 1A <时，I A -可逆，且()11111I A A A-≤-≤+-.矩阵分解1. A 为秩为r 的半正定Hermite 矩阵，则存在列满秩矩阵P ,使得HA P P =∑,其中1(0,1,2,,),H i r r i r P P λλλ??∑=>== ?I （其中r I 为r 阶单位矩阵） 2.设A 是n 正定Hermite 矩阵，利用矩阵的QR 分解证明：存在一个上三角形矩阵T ,使得H A T T =3.设矩阵,A B 都是m n ?矩阵，利用矩阵的满秩分解证明：()rankA B ran kA rankB +≤+.4.A 为秩为r 的半正定Hermite 矩阵，则存在行满秩矩阵P ,使得HA P P =∑,其中1(0,1,2,,),H i r r i r PP I λλλ?? ?∑=>== ?. 5.A 、B 都为n 阶Hermite 矩阵，其中B 为n 阶正定矩阵，证明：存在可逆矩阵Q ，使=H Q BQ E ,H Q AQ 为对角矩阵（这里E 为n 阶单位矩阵）6.A 是n 阶可逆矩阵，则A 可以分解为一个酉矩阵与一个正定矩阵的乘积7.设m n A C ?∈，证明A 的秩为r 的充分必要条件是存在,m rr m rr F C G C ??∈∈，使得A FG =.8.设A 为n 阶可逆方阵，证明：存在酉矩阵,Q P 使得QAP 为对角线元素都是正数的对角矩阵.。
矩阵论考试题
T
任课教师
0 c c 5. 设 A c 0 c ,当 c c c 0
时,A 为收敛矩阵.
二、试用 Househoulder 变换将向量 x (1 , 2 , 2) 化为与 e1 (1 , 0 , 0) 同方向的 向量。 （8 分）
1 8 0 0
2 1 4 0
1 1 至少有两个实特征值。(10 分) 0 1
0 1 2 3 八、求矩阵 A 0 2 1 1 的满秩分解(10 分) 2 4 2 4
九、求矩阵 A 的 Jordan 标准形及相应的相似变换矩阵。其中 1 1 A 5 21 10、设 A H A , B H B ，证明： （1） e iA 为酉矩阵； （2） e B 为酉矩阵 (10 分) （10 分）
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中国民航大学 2010－2011 学年第一学期 研究生《 矩阵论 》期末考试试卷
姓名
线――――――――――――――――――――――――――――――－
专业
学号
考试形式：闭卷
一、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 1． det e A 2. 已知 e
At
2 e t e 2 t e 2t e t e 2t e t
姓名：
2 3 0 五、已知 A 1 3 0 ，求 A 的 Doolittle 分解。 1 3 6
(8 分)
1 0 0 六、矩阵 A ，求 A (8 分) 2 0 0
班级：
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9 0 七、应用盖尔圆定理证明 1 1
矩阵分析期末试题及答案
矩阵分析期末试题及答案矩阵分析是一门重要的数学课程，在科学、工程和经济等领域都有广泛的应用。
期末试题的设置既考查学生对于矩阵分析理论的理解，也测试其应用能力和解决问题的能力。
本文将为您提供一套矩阵分析的期末试题，并附有答案解析。
1. 简答题（每小题2分，共20分）(1) 请简述矩阵的定义和基本术语。
答案：矩阵是由数个数排成m行n列的一个数表。
行数和列数分别称作矩阵的行数和列数。
矩阵的元素用a[i, j]表示，其中i表示所在的行数，j表示所在的列数。
(2) 请解释什么是方阵和对角矩阵。
答案：方阵是行数和列数相等的矩阵。
对角矩阵是除了主对角线上的元素外，其他元素都为零的矩阵。
(3) 请解释矩阵的转置和逆矩阵。
答案：矩阵的转置是指将矩阵的行和列进行互换得到的新矩阵。
逆矩阵是满足A * A^(-1) = I的矩阵A的逆矩阵，其中I是单位矩阵。
(4) 请简述特征值和特征向量的定义。
答案：特征值是方阵A满足方程A * X = λ * X的标量λ，其中X是非零的列向量。
特征向量是对应特征值的零空间上的非零向量。
(5) 请解释矩阵的秩和行列式。
答案：矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。
行列式是将矩阵的元素按照一定规则相乘并相加得到的一个标量。
(6) 请解释正交矩阵和幂等矩阵。
答案：正交矩阵是满足A * A^T = I的矩阵A。
幂等矩阵是满足A *A = A的矩阵A。
(7) 请解释矩阵的特征分解和奇异值分解。
答案：矩阵的特征分解是将一个矩阵表示为特征向量矩阵、特征值矩阵和其逆的乘积。
奇异值分解是将一个矩阵表示为三个矩阵相乘的形式，其中一个是正交矩阵，一个是对角矩阵。
(8) 请解释矩阵的迹和范数。
答案：矩阵的迹是指矩阵对角线上元素的和。
范数是用来衡量矩阵与向量的差异程度的指标。
(9) 请解释矩阵的稀疏性和块状矩阵。
答案：矩阵的稀疏性是指矩阵中大部分元素为零的特性。
块状矩阵是由多个子矩阵组成的一个矩阵。
(10) 请解释矩阵的正定性和对称性。