矩阵理论-第八讲

A是收敛矩阵
(2)利用充分条件 A 1
A 0.9 1 1
A是收敛矩阵
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矩阵理论第8讲-20
矩阵级数
– 矩阵级数的定义
由 Cmn 中的矩阵序列{A(k)}构成的无穷和
A(0) A(1) L A(k) L
称为矩阵级数，记为
A (k )
k 0
n N ，称
S(n)
A n
A1 ( A A)1
A1 A
A1
1 A1 A
给出 A 引起的 A1 的相对误差
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矩阵理论第8讲-11
矩阵序列
– 定义
由 Cmn 中的矩阵构成的与自然数集N等势的集合{A(1) A(2) L }
一一映射 f : N {A(k)}
A(k) (ai(jk) )mn
– 矩阵序列的收敛
lim A(k) A 0
k
A(k) A A(k) A
lim A(k) A
k
: Cmn R
由此推论可得：
若
lim A(k) A
k
lim B(k) B
k
A(k) , B(k) , A, B C mn , k 0,1,L
lim( A(k) B(k) ) A B
k
A(k) B(k) AB A(k) B(k) A(k) B A(k) B AB A(k) (B(k) B) (A(k) A)B A(k) B(k) B A(k) A B
由 lim A(k) A lim B(k) B 可证
k
k
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矩阵理论第8讲-16
k
G
lim A(k) A 0
k
lim A(k) A
k
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矩阵理论第8讲-13
矩阵序列
推论：
设 {A(k) : A(k) C mn , k 0,1,L ,} lim A(k) A 0
k
A(k) A A(k) A
lim A(k) A
k
lim A(k) A
lim Ak 0
k
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矩阵理论第8讲-19
矩阵序列
– 举例 判断下列矩阵是否为收敛矩阵
(1)
:
A
1 6
1 2
8
1
(1)利用充要条件 ( A) 1
0.2 0.1 0.2
(2)
:
A
0.5
0.5
0.4
0.1 0.3 0.2
1
5 6
2
1 2
(A) 5 1
6
扰动为
x
，则（设
A
C nn n
）
(A A)(x x) b Ax b
x A1 A(x x)
A x A(x x)
x A1 A ( x x )
(1 A1 A ) x A1 A x
当 A1 A 1 时
x
A1 A
A1 A
A
x
(1 A1 A )
(1 A1
aij
所以
lim A(k) A
k
lkim(ai(jk) aij ) 0 (i, j)
lim A(k) A 0
k
G
由范数的等价性，对 Cmn 上的任一矩阵范数 g ， , C ，使得
A(k) A A(k) A A(k) A
G
G
其中 g 是 Cmn 上的任一矩阵范数
lim A(k) A 0
作为
2
2
1 1.0001
x1 x2
5 5.0001
解，则 0
r
0.0003
但上解与其准确解
x1 x2
2
1
相差甚远
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矩阵理论第8讲-7
矩阵的条件数
– 先分析方程组Ax = b中只有b有扰动 b 的情况。设由 b 引起的解x的
扰动为
x
，则（设
cond(A) A A1
>> help cond COND Condition number with respect to inversion. COND(X) returns the 2-norm condition number (the ratio of the largest singular value of X to the smallest). Large condition numbers indicate a nearly singular matrix. COND(X,P) returns the condition number of X in P-norm:
NORM(X,P) * NORM(INV(X),P). where P = 1, 2, inf, or 'fro‘
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矩阵理论第8讲-4
矩阵的奇异值
– 定义
设
A
C mn r
(r
0)
，AH A
的特征值为
则称
1 2 L r r1 L n 0 i i (i 1, 2,L , n)
矩阵的条件数
• 定义矩阵条件数的工程背景
许多工程问题，常常归结为求解矩阵方程
Ax b
由于矩阵A和向量b的元素一般是系统部件（例如电路元件）的参数值， 或系统输出的观测值，所以不可能没有微小的误差或扰动。 ？数据的误差对于问题的解会产生怎样的影响 ？怎样度量这种影响 ？怎样给出这种误差上界
2
2
1 1.0001
A
C nn n
）
A(x x) b b Ax b
A x b
x A1 b
由相容性条件：
x A1 b
b Ax A x
b x
A
x
A1
b
A1
b
A
A1
b
x
x
b
b
A
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矩阵理论第8讲-8
矩阵的条件数
– 再分析方程组Ax = b中只有A有扰动 A 的情况。设由 A 引起的解x的
A A1
A A1
A A1
1 A1 A 1 A A1 A
A
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矩阵理论第8讲-10
矩阵的条件数
x
A1 A
A1 A
A b
( )
x
(1 A1 A )
(1 A1
A
A
)
A
b
A
当 A1 A 1 时
A1
( A A)1
)
(1 A1 A )
给出 A 引起的 A1 的绝对误差
Ax A x
v
m
v
– m1
1–
– F–
2–
– m
1 –、 2 –
– 与矩阵范数相容的向量范数的存在性
– 从属于向量范数的矩阵范数
– 矩阵的谱半径及其在特征值估计中的应用
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Ax A max v
x0 x v
(A) A
(A)sup{ : (A)}
矩阵理论第8讲-2
矩阵理论-第八讲
兰州大学信息科学与工程学院 2004年
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矩阵理论第8讲-1
上节内容回顾
• Hermite矩阵正定性
AH A
• 方阵的范数
0 xCn
xH Ax 0
1. 三角不等式 A B A B
2. 绝对齐性 A A
3. 正定性 4. 相容性
• 各种矩阵范数
A 0 A 0A0 AB A B
A(k) , A C m p B(k) , B C pn , k 0,1,L
lim( A(k)B(k) ) AB
k
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矩阵理论第8讲-15
矩阵序列 上述命题可根据充要条件来证明：
( A(k) B(k) ) ( A B) (A(k) A) (B(k) B) A(k) A B(k) B
为A的奇异值
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矩阵理论第8讲-5
矩阵的条件数
用MATLAB验证
的条件数
2 1
A
2
1.0001
与下面的方程组进行比较：
1
2
2 1
x1 x2
7 1
用
1
2
2 0.999
x1 x2
7 1.001
来验证其对误差的鲁棒性（Robustness）
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其中 g 是 Cmn 上的任一矩阵范数
lim A(k) A 0
k
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矩阵理论第8讲-12
矩阵序列
证明：
先取 Cmn 上矩阵的G – 范数证明上述充要条件
a(k) ij
aij
mn
max i, j
a(k) ij
aij
A(k) A G
mn
m i 1
n j 1
a(k) ij
矩阵级数
Cmn 中的矩阵级数收敛相当于C上的 m n 个级数都收敛
A(k) (ai(jk) )mn
S (sij )mn
S A (k) k 0
a (k) k 0 ij
sij
i 1,L , m;
j 1,L , n;
– 举例
已知矩阵序列{A(k)} 的通项为
1
A(k )
2k
0
4k
1
(k 1)(k 2)
判断矩阵级数
k 0
A(k
)的敛散性