高中数学选择性必修二 4 2 等差数列尖子生同步培优题典(含答案)

2020-2021年高二数学选择性必修二尖子生同步培优题典4.2 等差数列 解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：本卷共16小题，6道单选题，3道多选题，3道填空题，4道解答题。

一、单选题1．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10420S a =，则94a a =（ ） A ．13B ．3C ．133 D ．313【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式和前n 项和公式列式，即可得123a d =-，再将4a 、9a 用通项表示出来，即可求解. 【详解】因为10420S a =，所以()11109102032a d a d ⨯+=⨯+，即123a d =-， 所以91413138813223333322d d a a d a a d d d -++====+-+， 故选：C 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题. 2．数列{}n a 为非常数列，满足：39511,48a a a +==，且1223111n n n a a a a a a na a +++++=对任何的正整数n 都成立，则1250111a a a ++的值为（ ） A ．1475 B ．1425C ．1325D ．1275【答案】B 【解析】因为1223111n n n a a a a a a na a +++++=，所以122312121n n n a a a a a a n a a ++++++=+（），即1212111?n n n n a a n a a na a ++++=+-，所以()1112111n n a a n n na n a ++=-++,叠加得112211?11n a a n a n a +-=-++,112211? 11n a a n a n a +-=-++，2211n 1n n a a a ++=-,即1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭从第三项起成等差数列，设公差为()d d ≠0 ，因为39511,48a a a +==，所以111,82844d d +=-+解得1d =，即18(5)3(3)n n n n a =+-=+≥ ，所以2121122132116,74,5a a a a a a -=-=⇒== ，满足13n n a =+，1250111a a a ++15045049114252=⨯+⨯⨯⨯= ，选B. 3．设数列{}n a 满足12a =，26a =，312a =，数列{}n a 前n 项和为n S ，且211131n n n n S S S S +-+-+=-+（n *∈N 且2n ≥）.若[]x 表示不超过x 的最大整数，()21n n n b a ⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2020T =（ ） A ．2019 B ．2020 C ．2021 D ．2022【答案】C 【解析】 【分析】根据递推公式，可知{}1n n a a +-从第2项起是等差数列，可得122n n a a n +-=+，再根据累加法，可得()1n a n n =+，由此可得当2n ≥时，()211n n n b a ⎡⎤+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，又()211112b a +==，由此即可求出n T .【详解】当2n ≥时，211131n n n n S S S S +-+-+=-+， 211131n n n n a a a a ++++++∴=+，2122n n n a a a ++∴-+=，()2112n n n n a a a a +++∴---=，{}1n n a a +∴-从第2项起是等差数列.又12a =，26a =，312a =，()()32212a a a a ∴---=，()142122n n a a n n +∴-=+-=+，当2n ≥时，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()()1221222212n n n n n n +=+-++⨯+=⨯=+，()211nn n a n++∴=（2n ≥）， ∴当2n ≥时，()2111n n n n b a n ⎡⎤++⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 又()211112b a +==，2222020122020232021220192021T a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴=+++=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了数列的递推公式、等差数列的概念，以及累加法在求通项公式中的应用，属于中档题.4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，6350=-≠S S ，则93=S S （ ） A ．18 B ．13C ．-13D ．-18【答案】D 【解析】 【分析】通过等差数列的性质，可得S 3，S 6-S 3，S 9-S 6为等差数列，设635,=-=S a S a ，即可得出结果. 【详解】由635S S =-，可设635,=-=S a S a∵{}n a 为等差数列，∴S 3，S 6-S 3，S 9-S 6为等差数列，即a ，-6a ，96-S S 成等差数列，∴96=13--S S a ，即9=18-S a∴9318=-S S 故选:D. 【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了运算求解能力，属于基础题目.5．在等差数列{}n a 中，35710133()2()24a a a a a ++++=，则此数列前13项的和是（ ）． A ．13 B ．26C ．52D ．56【答案】B 【解析】分析：利用等差数列的下标性质，结合等差数列的求和公式即可得结果. 详解：由等差数列的性质可得：3542a a a +=，713102a a a +=， 代入已知可得410322324a a ⨯+⨯=，即4104a a +=， 故数列的前13项之和()11313132a a S +=()410131342622a a +⨯===． 故选B ．点睛：等差数列的常用性质有：(1)通项公式的推广：();n m a a n m d =+- (2)若{}n a 为等差数列，且2p q m n r +=+= 2p q m n r a a a a a +=+= ；(3)若{}n a 是等差数列，公差为d ，2,,...k k m k m a a a ++，则是公差md 的等差数列；(4)数列232,,...m m m m m S S S S S --也是等差数列.6．设等差数列满足：22223535317cos cos sin sin cos 2sin()a a a a a a a ，4,2k a k Z 且公差(1,0)d ∈-. 若当且仅当8n =时，数列的前项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是（ ） A ．3[,2]2ππ B ．3(,2)2ππ C ．7[,2]4ππ D ．7(,2)4ππ 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 ∵，∴，即，即，即，即，即，∵，∴，∴．∵，∴，则．由()()1111224 nn n n nS na d naπ--⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭2188n a nππ⎛⎫=-++⎪⎝⎭，对称轴方程为，由题意当且仅当时，数列的前项和取得最大值，∴，解得：．∴首项的取值范围是，故选D．【点晴】本题考查了等差数列的通项公式，考查了三角函数的有关公式，考查了等差数列的前项和，训练了二次函数取得最值得条件，考查了计算能力．二、多选题7．已知两个等差数列{}n a和{}n b的前n项和分别为n S和n T，且3393nnS nT n+=+，则使得nnab为整数的正整数n的值为（）A．2B．3C．4D．14【答案】ACD【解析】【分析】由等差中项的性质和等比数列的求和公式得出31815311nna nb n n+==+++，进而可得出1n+为15的正约数，由此可得出正整数n的可能取值. 【详解】由题意可得()()()()()()12121121212121221212n n n n n n n nn a a n a S a n b b T n b b -----+-===-+-，则()()21213213931815321311n n n n n a S n b T n n n ---++====+-+++， 由于nna b 为整数，则1n +为15的正约数，则1n +的可能取值有3、5、15， 因此，正整数n 的可能取值有2、4、14. 故选：ACD. 【点睛】本题考查两个等差数列前n 项和比值的计算，涉及数的整除性质的应用，考查计算能力，属于中等题.8．设正项等差数列{}n a 满足()211029220a a a a +=+，则（ ）A ．29a a 的最大值为10B ．29a a +的最大值为C ．222911a a +的最大值为15D ．4429a a +的最小值为200【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，求得29,a a 的关系式，由此结合基本不等式，判断出正确选项. 【详解】因为正项等差数列{}n a 满足()211029220a a a a +=+，所以()22929220a a a a +=+，即222920a a +=.①222929201022a a a a +≤==，当且仅当29a a =A 选项正确.②由于22229291022a a a a ++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以29292a a a a +≤+≤当且仅当29a a =成立，故B 选项正确.③22292222222222292929291120202011052a a a a a a a a a a ++==≥==⋅⋅⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当且仅当29a a = 所以222911a a +的最小值为15，故C 选项错误. ④结合①的结论，有()24422222222929292924002400210200a a a aa a a a +=+-⋅=-⋅≥-⨯=，当且仅当29a a ==D 选项正确. 故选：ABD 【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查基本不等式求最值，属于中档题.9．设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，若a 3＝12，S 12＞0，S 13＜0，则下列结论正确的是（ ）A ．数列{a n }是递增数列B ．S 5＝60C ．2437d --＜＜ D ．S 1，S 2，…，S 12中最大的是S 6 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式和求和公式可得a 7＜0，a 6＞0，再结合等差数列的通项公式和求和公式依次判断即得解. 【详解】依题意，有S 12＝12a 112112⨯+•d ＞0， S 13＝13a 113122⨯+•d ＜0，化为：2a 1+11d ＞0，a 1+6d ＜0， 即a 6+a 7＞0，a 7＜0， ∴a 6＞0．由a 3＝12，得a 1＝12﹣2d ，联立解得247-＜d ＜﹣3．等差数列{a n }是单调递减的． S 1，S 2，…，S 12中最大的是S 6． S 5()1552a a +==5a 3＝60．综上可得：BCD 正确． 故选：BCD 【点睛】本题考查了等差数列综合，考查了等差数列通项、求和公式和性质，考查了学生概念理解，综合分析，数学运算的能力，属于中档题.三、填空题10．稠环芳香烃化合物中有不少是致癌物质，比如学生钟爱的快餐油炸食品中会产生苯并芘，它是由一个苯环和一个芘分子结合而成的稠环芳香烃类化合物，长期食用会致癌.下面是一组稠环芳香烃的结构简式和分子式：名称 萘蒽并四苯… 并n 苯 结构简式……分子式 108C H 1410C H 1812C H… …由此推断并十苯的分子式为________. 【答案】4224C H 【解析】 【分析】根据等差数列的定义可以判断出稠环芳香烃的分子式中C 、H 的下标分别成等差数列，结合等差数列的通项公式可以求出并n 苯的分子式，最后求出并十苯的分子式即可. 【详解】因为稠环芳香烃的分子式中C 下标分别是：10,14,18，H 的下标分别是：8,10,12所以稠环芳香烃的分子式中C 下标成等差数列，首项为10，公差为4，所以通项公式为：10(1)446n C n n =+-⋅=+，稠环芳香烃的分子式中H 下标成等差数列，首项为8，公差为2，所以通项公式为：8(1)226n H n n =+-⋅=+，所以并n 苯的分子式为：42n C +24(2,)n H n n N *+≥∈，因此当10n =时，得到并十苯的分子式为：4224C H . 故答案为：4224C H 【点睛】本题考查了等差数列的定义，考查了等差数列的通项公式的应用，考查了数学运算能力和推理论证能力.11．数列{a n }，{b n }满足b n ＝a n ＋1＋(－1)n a n (n ∈N *)，且数列{b n }的前n 项和为n 2，已知数列{a n －n }的前2018项和为1，那么数列{a n }的首项a 1＝________. 【答案】32【解析】 【分析】先根据数列{b n }的前n 项和为n 2，可求得n b ，再分n 为奇数，得22n n a a ++=，分n 为偶数，得24n n a a n ++=,将{}n a 的前2018项和化为()()()()()2018135792015201724620162018S a a a a a a a a a a a a =+++++⋯++++++⋯++代入已知条件可得值. 【详解】数列{b n }的前n 项和为n 2，所以221(1)21(2),1n b n n n n b =--=-≥=也符合，故21n b n =-，故1(1)21nn n a a n ++-=-，设{}n a 的前n 项和为21,1n S a a -=.若n 为奇数，则()1212121121n n n n a a n a a n n +++-=-⎧⎨+=+-=+⎩，解得22n n a a ++=,若n 为偶数，则()1212121121n n n n a a n a a n n ++++=-⎧⎨-=+-=+⎩，解得24n n a a n ++=,()()()()()2018135792015201724620162018S a a a a a a a a a a a a =+++++⋯++++++⋯++()1120171124(482016)4a a -=+++⨯+⨯++⋯+ 112110084(482016)210094a a =+++⨯++⋯+=++×504(42016)2⨯+12110082021a =++⨯.又20182018201912S ⨯-=，所以12110082021110092019a ++⨯=+⨯，得132a =.故答案为：32. 【点睛】本题考查数列的前n 项和与通项的关系，以及数列分项数为奇数和偶数分别反应规律的相关问题，解决的关键是根据规律构造出所需的式子，属于中档题. 12．已知等差数列{}n a 的前n 项和0n S >，且满足()()()2222323n nS S S n a t a t at ⋅=---，（2n ≥且*n N ∈），若12n n a +≤（*n N ∈），则实数t 的取值范围是______. 【答案】(]0,1 【解析】 【分析】先利用已知条件解得nS n，再利用等差数列公式构建关系，得到1,,a d t 之间的关系，解得参数，再计算t 的取值范围即可. 【详解】 当2n ≥时，()()()2222323n nS S S n a t a t at ⋅=---①()()()222231231(1)n n S S S n a t a t at --⋅=----②设1(1)n a a n d =+-，因为0n S >，所以①÷②得 []221(1)11n n a n d t S a t n n n +---==-- 2221121a t d n a d d n -=+-+-，又因为111(1)1222n na n n d S d dn a n n +-==+-， 故22211112221a t d dn a d n a d d n -+-=+-+-， 2112212212d a a d d d d a t ⎧-=-⎪⎪⎪∴=⎨⎪⎪-=⎪⎩112a d ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩或210a t d ⎧=⎨=⎩，若0d =时，由()2222S a t =-知 ()211220a a t =-=，则 10a =，0n S =，与已知矛盾，因此0d =不符合题意，舍去，111(1)22n n n a a n d -+∴=+-=≤，得1t ≤，又10a >01t ∴<≤. 故答案为：(]0,1. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前前n 项和公式的综合应用，属于难题.四、解答题13．在①414S =-，②515=-S ，③615S =-三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足： ，*N n ∈. （1）求n S 的最小值； （2）设数列671{}n n a a ++的前n 项和n T ，证明：1n T <.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）选择②③、①②、①③条件中的一组，利用等差数列的性质及条件，求得{}n a 的通项公式，利用通项公式的单调性，结合题意，即可求得n S 的最小值；（2）由（1）可得数列{}n a 的通项公式，利用裂项相消求和法，化简整理，即可得证. 【详解】（1）若选择②③； 由题知：6650a S S =-=， 又因为()155355152a a S a +===-，解得33a =-所以6333d a a =-=，解得1d =，所以16(1)(6)6n a a n d a n d n =+-=+-=-， 所以125670a a a a a <<<<=<<，所以6515n S S S ≥==-； 若选择①②；由题知：5541a S S =-=-， 又因为15535()5152a a S a +===-，解得33a =-， 所以5322d a a =-=，解得1d =，所以13(1)(3)6n a a n d a n d n =+-=+-=-，所以125670a a a a a <<<<=<<，所以6515n S S S ≥==- ； 若选择①③；由题知：1666()152a a S +==-，所以161255a a a d +=+=- ， 由题知：1444()142a a S +==-，所以141237a a a d +=+=- 联立解得：15,1a d =-=， 所以6n a n =-， 所以125670a a a a a <<<<=<<，所以6515n S S S ≥==-. （2）由（1）可得6n a n =-，所以671111(1)1n n a a n n n n ++==-++，所以111111111122311n T n n n =-+-++-=-<++. 【点睛】本题考查等差数列通项公式基本量的求法、数列单调性的应用、裂项相消法求数列的和，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足44a =，525S =. （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； （2）求数列{}n a 的前n 项和n T ； （3）若242nn n a a b -=()1,2,3...n =，如果对任意*n N ∈，都有2122n b t t +≤，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）8n a n =-，2152n n n S -+= （2）2215,821556>82n n nn T n n n ⎧-+≤⎪⎪=⎨-⎪+⎪⎩， （3）11,,42⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ,由已知建立方程组113451025a d a d +=⎧⎨+=⎩,解之可得首项和公差，从而得出数列的通项和前n 项和；（2）分当8n ≤时和当8n >时，分别求和可得数列{}n a 的前n 项和n T ；（3）由（1）得81222n n n b --=，作差得18822n n nnb b +---=，讨论n 可得出n b 的最大值，再由恒等式思想，建立关于t 的不等式，可求得实数t 的取值范围. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由已知可得113451025a d a d +=⎧⎨+=⎩得171a d =⎧⎨=-⎩, 所以，()118n a a n d n =+-=-，2152n n nS -+=；（2）当8n ≤时，0n a ≥，∴2152n n n nT S -+==，当8n >时，0n a <，∴()()21289815 (2562)n n n n nT a a a a a S S -=+++-++=-=+；（3）82412222n n n a n a n b ---==，则由18822n n nnb b +---=， ①当14n ≤<时，10n n b b +->， ②当4n =时，1n n b b +=. ③当4n >时，10nnb b ，所以123456...n b b b b b b b <<<=>>>，所以数列{}n b 的最大值为4514b b ==， 又因为2122n b t t +≤恒成立，所以211242t t ≤-，所以14t ≤-或12t ≥. 所以实数t 的取值范围是11,,42⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 【点睛】本题考查等差数列的基本量的求解，绝对值项的求和，以及不等式的恒成立问题，关键在于得出数列的单调性，得出数列的最大项，属于难度题.15．已知公差大于零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且34117a a =，2522a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 是等差数列，且nn S b n c=+，求非零常数c 的值． （3）设11n n n C a a +=，n T 为数列{}n C 的前n 项和，是否存在正整数M ，使得8n M T >对任意的*n N ∈均成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）43n a n =-；（2）12-；（3）存在，M 的最小值为2． 【解析】 【分析】（1）由2221170x x -+=解得19x =，213x =，得到数列{}n a 满足39a =，413a =，列出方程组，求得11,4a d ==，即可求解数列的通项公式；（2）由（1）可得22n S n n =-，所以22n n S n nb nc n c-==++，求得123,,b b b 的值，又由数列{}n b 是等差数列，所以2132b b b =+，求得12c =-，即可得到结论； （3）由题可得111()44341n C n n =--+，利用裂项相消法可得111(1)4414n T n =-<+，即82n T <，即可得到答案．【详解】（1）因为数列{}n a 为等差数列，2522a a +=，所以342522a a a a +=+=， 又34117a a =，所以3a ，4a 是方程2221170x x -+=的两个根， 由2221170x x -+=解得19x =，213x =，设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可得0d >，所以34a a <， 所以39a =，413a =，所以1129313a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得114a d =⎧⎨=⎩， 所以()14143n a n n =+-=-，故数列{}n a 的通项公式为43n a n =-． （2）由（1）知，()214322n n n S n n +-==-，所以22n n S n nb nc n c-==++， 所以111b c =+，262b c =+，3153b c=+， 因为数列{}n b 是等差数列，所以2132b b b =+，即12115213c c c=++++，即220c c +=，解得12c =-（0c =舍去）， 当12c =-时，2n b n =，易知数列{}n b 是等差数列，满足题意． 故非零常数c 的值为12-．（3）由题可得()()111111434144341n n n C a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭， 利用裂项相消法可得11114414n T n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭，故82n T <， 所以存在正整数2M ≥，使得8n M T >对任意的*n N ∈均成立，M 的最小值为2． 【点睛】（1）常见的求数列通项的方法：①公式法：当已知数列{}n a 为等差或等比数列时；②叠加法：当已知数列{}n a 满足()+1n n a a f n -=，且()()()12f f f n ++⋅⋅⋅+可求时； ③累乘法：当已知数列{}n a 满足()+1n na f n a =，且()()()12f f f n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅可求时； ④由11,1=,2n nn S n a S S n -=⎧⎨-≥⎩求数列通项，当已知条件给出n S 关于n 的代数式时．（2）常见的数列求和方法：①公式法：当已知数列{}n a 为等差或等比数列时；②错位相减法：当已知数列{}n c 满足n n n c a b =⋅，且{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列； ③分组求和法：当已知数列{}n c 满足+n n n c a b =，且{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列； ④裂项相消法：当已知数列{}n a 满足()()1n a f n f n =--时. （3）数列与函数的综合问题主要有以下两类：①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．16．设等差数列{}n a 的首项为0，公差为a ，N a *∈；等差数列{}n b 的首项为0，公差为b ，b *∈N .由数列{}n a 和{}n b 构造数表M ，与数表M *；记数表M 中位于第i 行第j 列的元素为ij c ，其中ij i j c a b =+，（i ，j =1，2，3，…）.记数表M *中位于第i 行第j 列的元素为ij d ，其中1ij i j d a b +=-（1i b ≤≤，i *∈N ，j *∈N ）.如：1,212c a b =+，1,213d a b =-.（1）设5a =，9b =，请计算2,6c ，396,6c ，2,6d ；（2）设6a =，7b =，试求ij c ，ij d 的表达式（用i ，j 表示），并证明：对于整数t ，若t 不属于数表M ，则t 属于数表M *；（3）设6a =，7b =，对于整数t ，t 不属于数表M ，求t 的最大值. 【答案】（1）50,2020,49-（2）详见解析（3）29 【解析】 【分析】（1）将5a =，9b =代入，可求出n a ，n b ，可代入求,i j c ，,i j d ，可求结果． （2）可求,i j c ，,i j d ，通过反证法证明，（3）可推出t M ∉，*t M ∈，t 的最大值，就是集合*M 中元素的最大值，求出． 【详解】（1）由题意知等差数列{}n a 的通项公式为：55n a n =-； 等差数列{}n b 的通项公式为：99n b n =-， 得,(55)(99)5914i j i j c a b i i i j =+=-+-=+-， 则2,650c =，396,62020c =，得,1(55)[9(1)9]595i j i j d a b i j i j +=-=--+-=--， 故2,649d =-．（2）证明：已知6a =．7b =，由题意知等差数列{}n a 的通项公式为：66n a n =-； 等差数列{}n b 的通项公式为：77n b n =-，得,(66)(77)6713i j i j c a b i i i j =+=-+-=+-，(*i N ∈，*)j N ∈．得,1(66)[7(1)7]676i j i j d a b i j i j +=-=--+-=--，17i ，*i ∈N ，*)j N ∈． 所以若t M ∈，则存在u N ∈，v N ∈，使67t u v =+， 若*t M ∈，则存在u N ∈，6u ，*v N ∈，使67t u v =-，因此，对于正整数t ，考虑集合0{|6M x x t u ==-，u N ∈，6}u ，即{t ，6t -，12t -，18t -，24t -，30t -，36}t -． 下面证明：集合0M 中至少有一元素是7的倍数．反证法：假设集合0M 中任何一个元素，都不是7的倍数，则集合0M 中每一元素关于7的余数可以为1，2，3，4，5，6，又因为集合0M 中共有7个元素，所以集合0M 中至少存在两个元素关于7的余数相同， 不妨设为16t u -，2t u -，其中1u ，2u N ∈，126u u <．则这两个元素的差为7的倍数，即2112()(6)6()t u t u u u ---=-，所以120u u -=，与12u u <矛盾，所以假设不成立，即原命题成立．即集合0M 中至少有一元素是7的倍数，不妨设该元素为06t u -，06u ，0u N ∈， 则存在s Z ∈，使067t u s -=，0u N ∈，06u ，即067t u s =+，0u N ∈，s Z ∈，由已证可知，若t M ∈，则存在u N ∈，v N ∈，使67t u v =+，而t M ∉，所以S 为负整数， 设V s =-，则*v N ∈，且067t u v =-，0u N ∈，06u ，*v N ∈， 所以，当6a =，7b =时，对于整数t ，若t M ∉，则*t M ∈成立．（3）下面用反证法证明：若对于整数t ，*t M ∈，则t M ∉，假设命题不成立，即*t M ∈，且t M ∈． 则对于整数t ，存在n N ∈，m N ∈，u N ∈，6u ，*v N ∈，使6767t u v n m =-=+成立， 整理，得6()7()u n m v -=+， 又因为m N ∈，*v N ∈，所以7()06u n m v -=+>且u n -是7的倍数，因为u N ∈，6u ，所以6u n -，所以矛盾，即假设不成立． 所以对于整数t ，若*t M ∈，则t M ∉， 又由第二问，对于整数t M ∉，则*t M ∈， 所以t 的最大值，就是集合*M 中元素的最大值， 又因为67t u v =-，u N ∈，*v N ∈，6u ， 所以(*)667129max max t M ==⨯-⨯=． 【点睛】本题考查数列的综合应用，以及反证法，求最值，属于难题．。