高中数学选择性必修二第四章数列单元检测A尖子生同步培优题典(含答案)

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高中数学选择性必修二第四章数列单元检测B尖子生同步培优题典(含答案)

2020-2021年高二数学选择性必修二尖子生同步培优题典第四章数列单元检测B 解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注：本检测满分150分。

其中8道单选题，4道多选题，4道填空题，6道解答题一、单选题1．已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a =（） A ．-4 B ．-6 C ．-8 D ．-10【答案】B 【解析】【分析】把3a ，4a 用1a 和公差2表示，根据1a ，3a ，4a 成等比数列，得到2314a a a =解得. 【详解】解：因为等差数列{}n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，2314a a a ∴=即()()211146a a a +=+ 解得18a =- 故选：B 【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，与等比中项的性质，属于基础题.2．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，10103020102(21)0S S S -++=，则公比q 等于（）A ．12B ．13C ．14D ．2【答案】A 【解析】【分析】由条件可得302010201012S S S S -=-，即可求出q .【详解】因为10103020102(21)0S S S -++=，所以()()103020201020S S S S ---=所以302010201012S S S S -=-，即102122301011122012a a a q a a a +++==+++ 因为0n a >，所以12q = 故选：A 【点睛】本题考查的是等比数列的知识，考查了学生的转化能力，较简单. 3．已知等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且521n n S n T n +=-，则76a b =（） A ．67B ．1211C ．1825 D ．1621【答案】A 【解析】【分析】由条件可设(5)n S kn n =+，(21)n T kn n =-，然后计算出7a 和6b 即可. 【详解】因为等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且521n n S n T n +=-，所以可设(5)n S kn n =+，(21)n T kn n =-，所以77618a S S k =-=，66521b T T k =-=，所以7667a b =. 故选：A 【点睛】本题考查的是等差数列前n 项和的特点，属于基础题.4．若数列{}n a 满足：()*1119,3n n a a a n +==-∈N ，而数列{}n a 的前n 项和最大时，n 的值为（）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B 【解析】方法一： ∵n 1n a a 3+=-，∴()*n 1n a a 3n N+-=-∈，∴数列{}n a 是首项为19，公差为-3的等差数列．则()()22n n n 134********S 19n 3n n n 2222624-⎛⎫=+⨯-=-+=--+⎪⎝⎭．所以n 7=时，n S 取最大值．选B ．方法二：∵n 1n a a 3+=-， ∴()*n 1n a a 3n N+-=-∈，∴数列{}n a 是首项为19，公差为-3的等差数列． ∴193(1)322n a n n =--=-+，∴当7n ≤时，0n a >；当8n ≥时，0n a <．所以n 7=时，n S 取最大值．选B ．点睛：求等差数列前n 项和最值的常用方法： ①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项； ②利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；③将等差数列的前n 项和2n S An Bn ＝＋ (A 、B 为常数)看作关于项数n 的二次函数，根据二次函数的性质求最值．5．著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如下表所示，其中1213,,,a a a ⋯表示这些半音的频率，它们满足()1212log 11,2,,12i i a i a +⎛⎫==⋯ ⎪⎝⎭.若某一半音与#D 32，则该半音为（）频率1a2a 3a4a 5a6a7a 8a9a 10a11a 12a13a半音 C#CD#D EF#FG#GA #ABC （八度）A ．#FB ．GC ．#GD ．A【答案】B 【解析】【分析】利用对数与指数的转化，得到数列1213,,,a a a ⋯为等比数列，公比1122q =，然后求得所求半音对应的数列的项数，从而得到答案. 【详解】依题意可知()01,2,,13n a n >=⋯.由于1213,,,a a a ⋯满足()1212log 11,2,,12i i a i a +⎛⎫==⋯ ⎪⎝⎭，则12111122,2i i i i a a a a ++⎛⎫=∴= ⎪⎝⎭，所以数列1213,,,a a a ⋯为等比数列，公比1122q =，#D 对应的频率为4a ，题目所求半音与#D 的频率41131222⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以所求半音对应的频率为4112482a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即对应的半音为G . 故选：B . 【点睛】本题考查等比数列的应用，涉及对数运算，等比数列的判定，等比数列的性质，属中档题. 6．若数列{}n a 满足：对任意的()3n Nn *∈≥，总存在,i j N *∈，使(),,n i j a a a i j i n j n =+≠<<，则称{}n a 是“F 数列”．现有以下数列{}n a ：①2n a n =；②2n a n=；③3n n a =；④112n n a -⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭；其中是F 数列的有（）． A ．①③ B ．②④ C ．②③ D ．①④【答案】D 【解析】【分析】利用特殊值的方法可以否定②③,再根据通项公式的特点证明①④即可【详解】①2n a n =,则12a =,()12122n a n n -=-=-,则11n n a a a -=+()3n ≥,故①是“F 数列”；②2n a n =,则2339a ==,若(),,n i j a a a i j i n j n =+≠<<,则,i j 只能是1,2,但2111a ==,2224a ==,此时312a a a ≠+,故②不是“F 数列”；③3n n a =,则33327a ==,若(),,n i j a a a i j i n j n =+≠<<,则,i j 只能是1,2,但13a =,2239a ==,此时312a a a ≠+,故③不是“F 数列”；④1n n a -=⎝⎭,则1121n n n a ----==⎝⎭⎝⎭,2132n n n a ----==⎝⎭⎝⎭，则2312112n n n n n a a -------⎡⎤⎢⎥+=+=+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111111n n n na ------⎡⎤⎢⎥=⨯⨯+=⨯⨯==⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()3n ≥,故④是“F 数列”故选：D 【点睛】本题考查数列的通项公式的应用,考查对新定义的理解,考查分析阅读能力,考查推理论证能力 7．已知数列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、…，其中第一项是02，接下来的两项是02、12，再接下来的三项是02、12、22，以此类推，若100N >且该数列的前N 项和为2的整数幂，则N 的最小值为（） A ．440 B ．330C ．220D ．110【答案】A 【解析】【分析】把题设中的数列分成如下的组：()()()()1,1,2,1,2,4,1,2,4,8, ，记前k 组的和为k T ，算出k T 后结合前N 项和为2的整数幂可得N 的最小值. 【详解】把题设中的数列分成如下的组：()()()()1,1,2,1,2,4,1,2,4,8, ，记前k 组的和为k T 。

人教A版（2019）选择性必修第二册第四章数列单元测试（含参考答案）

人教A 版（2019）选择性必修第二册第四章数列单元测试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题3x 2y 21．双曲线2-2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =x ，则该双曲线的离心率为4a b （）A ．43B ．53C ．54D ．2x 2y 22．若双曲线2-2=1(m >0)的离心率为2，则实数m 的值为（）m m +2A ．1B ．13C ．2D ．33．已知双曲线的一个焦点与抛物线x 2=24y 的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为60︒，则该双曲线的标准方程为（）x 2y 2A ．-=1927y 2x 2C ．-=1279y 2x 2B ．-=1927x 2y 2D ．-=12794．已知点F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点，若过点F 的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，交抛物线的准线于点P ，且PA =λ1AF ,，PB =λ2BF ，则λ1+λ2=（）A ．2B ．1C ．0D ．125．33)，已知椭圆中心在原点，且一个焦点为F (0，直线4x +3y -13=0与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为1，则此椭圆的方程是（）y 2x 2A ．+=1325x 2y 2B ．+=1325y 2x 2C ．+=1369x 2y 2D ．+=1369y26．已知A、B分别是双曲线C:x-=1的左、右顶点，P为C上一点，且P在第22一象限．记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，当2k1+k2取得最小值时，△PAB的重心坐标为（）A．(1,1)B． 1,⎛4⎫⎪⎝3⎭C．⎛4⎫,1⎪⎝3⎭D．⎛44⎫,⎪⎝33⎭x27．若点O和点F分别为椭圆+y2=1的中心和右焦点，点P为椭圆上的任意一点，2则OP⋅FP的最小值为A．2-2B．12C．2+2D．1x2y28．已知椭圆2+2=1(a>b>0)的左，右焦点是F1，F2，P是椭圆上一点，若a bPF1=2PF2，则椭圆的离心率的取值范围是（）A． 0,⎪⎛⎝1⎫2⎭B．,⎛11⎫⎪⎝32⎭C．⎢,1⎪⎡1⎫⎣3⎭D．⎢,1⎪⎡1⎫⎣2⎭x2y29．直线过椭圆：2+2=1（a＞0，b＞0）的左焦点F和上顶点A，与圆心在原点的a b圆交于P，Q两点，若PF=3FQ，∠POQ=120°，则椭圆离心率为（）A．12B．33C．73D．217x2y2F2，10．已知双曲线2-2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，若PF2-PF1=2a，a bPF1⊥F1F2，过点F2作一条与双曲线C的渐近线垂直的直线，垂足为Q，若PF1=3QF2，则双曲线C的离心率为（）A．52B．2C．103D．10二、填空题11．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为2，过F1作直线l交C于A,B两点，且∆ABF2的周长为16，那么C的方程为2__________．12．已知双曲线C 的方程为x 2-y 2=1，则C 的右焦点到它的渐近线的距离为__________．213．抛物线y =4x 的焦点为F ，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且满足AF=4，BF点O 为原点，则∆AOF 的面积为__________．三、双空题x 2y 214．已知椭圆2+2=1(a >b >0)，其上一点P (3,t )到两个焦点的距离分别为6.5a b 和3.5，则该椭圆的离心率为_____，方程为_______．x 2y 215．已知双曲线2-2=1(b >a >0)，焦距为2c ，直线l 经过点(a ,0)和(0,b )，若a b (-a ,0)到直线l 的距离为22c ，则离心率为__________．双曲线渐近线方程为3__________．x 2y 216．F 1，F 2分别为椭圆C :+=1的左、右焦点，P 是C 上的任意一点．则95PF 1⋅PF 2的最大值为__________；若A (0,46)，则AP -PF 2的最小值为__________．x 2y 217．=1，已知双曲线-则该双曲线的渐近线方程为________，焦点坐标为________.43四、解答题18．如图，抛物线x 2=y 与直线y =1交于M 、N 两点，Q 为该抛物线上异于M 、N 的任意一点，直线MQ 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，直线与x 轴、y 轴分别交于点C 、D ．（1）求M 、N 两点的坐标；（2）证明：B 、D 两点关于原点O 对称；（3）设△QBD 、QCA 的面积分别为S 1，S 2，若点Q 在直线y =1的下方，求S 2-S1的最小值．x 2y 2519．已知椭圆C :2+2=1(a >b >0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距a b 3离为3．（1）求椭圆C 的方程；222（2）椭圆C 上是否存在点P ，使得过点P 引圆O :x +y =b 的两条切线PA 、PB 互相垂直？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．1x 2y 2F 1，F 2，20．已知椭圆2+2=1,a >0,b >0，分别为椭圆的左右焦点，离心率e =，2a b 上顶点P (0,3)．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在过点F 2且斜率不为0的直线l 交椭圆于M ，N 两点，且|MN |=4F 2N满足，若存在，求出该直线方程，若不存在，请说明理由．2221．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1:2x -y =1．（1）过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；22OP ⊥OQ ；Q 两点．（2）设斜率为1的直线C 1交于P 、若l 与圆x +y =1相切，求证：x 2y 2x 2y 2F 2，22．椭圆2+2=1(a >b >0)与双曲线2-2=1(m >0,n >0)有公共焦点F 1、a b m n P 是它们的一个公共点．（1）用b 和n 表示cos ∠F 1PF 2；（2）设S∆F1PF2=f(b,n)，求f(b,n)．参考答案1．C 【分析】由题意设出双曲线的方程，得到它的一条渐近线方程y =b b 3x 即y =x ，由此可得4a a3，4结合双曲线的平方关系可得c 与a 的比值，求出该双曲线的离心率．【详解】3x 2y 2解：双曲线2-2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =x ，4a b b 可得a解得e =故选：C 23c 2-a 29，即=，24a 16525，即e =．164【点睛】本题给出双曲线的一条渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．2．A 【分析】根据双曲线的离心率公式计算可得；【详解】x 2y 2解：因为2-2=1(m >0)m m +2所以a 2=m 2，b 2=m 2+2m 2+m 2+2由题意，得．=2，解得m =1（m =-1（舍去）m故选：A 【点睛】本题考查双曲线的几何性质的应用，属于基础题.3．C 【分析】求出抛物线的焦点坐标,利用双曲线的渐近线方程得到a ,b 关系,求解即可.【详解】抛物线x 2=24y 的焦点：(0,6),可得c =6,双曲线的渐近线的倾斜角为60︒,双曲线的焦点坐标在y 轴上.a b 21可得=3,即2=,36=a 2+b 2,解得a 2=27,b 2=9.b a 3y 2x 2所求双曲线方程为：-=1.279故选：C .【点睛】本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用,考查计算能力.4．C 【分析】⎧x =my +12设直线AB 方程为x =my +1，点P (-1,-)，联立方程⎨2，y =4xm ⎩2整理得y -4my -4=0，根据韦达定理结合向量关系，即可得解.【详解】y 2=4x 的焦点为F (1,0)，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，直线AB 方程为x =my +1，P (-1,-2)，m联立方程⎨⎧x =my +12y -4my -4=0，，整理得2⎩y =4x2则y 1+y 2=4m ，y 1y 2=-4，∆=(-4m )+16>0，由PA =λ1AF ，PB =λ2BF ，2)=λ1(1-x 1,-y 1)，m2(1+x 2,y 2+)=λ2(1-x 2,-y 2)，m 22得y 1+=-λ1y 1，y 2+=-λ2y 2，m m (1+x 1,y 1+λ1=-1-22，λ2=-1-，my 1my2∴λ1+λ2=-2-【点睛】2(y 1+y 2)2⨯4m =-2-=-2+2=0．my 1y 2m ⨯(-4)本题考查了抛物线和过焦点直线的位置关系，考查了利用韦达定理搭桥建立各个量之间的关系，同时考查了向量的运算，计算量相对较大，属于较难题.5．C 【解析】y 2x 2设椭圆方程为2+2=1(a >b >0)a b ⎧y 2x 2+=1⎪2222222联立方程：⎨a 2b 2，整理得：(16b +9a )x -104b x -169b -9a b =0,⎪4x +3y -13=0⎩x 1+x 2104b 2=1，即设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则=2，化简得：a 2=4b 2，22216b +9a 2⎧a =3622，又a -b =27，易得：⎨2b =9⎩y 2x 2∴此椭圆的方程是+=1369故选C点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB 所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB 的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.6．B 【分析】,)，设点P (x ,y ),(x >1,y >0)，则k 1k 2=2，再由双曲线的性质可得点A (-1,0)，B (10由基本不等式可得2k 1=k 2=2，进而可得点P (3,4)，即可求得重心坐标.【详解】,)，由题意点A (-1,0)，B (10设点P (x ,y ),(x >1,y >0)，y y y 22(x 2-1)则k 1>0，k 2>0，k 1k 2=⋅==2=2，x +1x -1x 2-1x -1所以2k 1+k 2≥22k 1k 2=4，当且仅当2k 1=k 2=2时取等号，⎧y=1⎪⎧x =3⎪x +1所以⎨，解得⎨，所以点P (3,4)，2⎩y =4⎪x 2-y =1⎪2⎩则△PAB 重心坐标为故选：B.【点睛】本题考查了直线斜率的求解及双曲线的应用，考查了基本不等式的应用及运算求解能力，属于中档题.7．B 【详解】试题分析：设点，所以，由此可得⎛-1+1+30+0+4⎫⎛4⎫,⎪即 1,⎪．33⎝⎭⎝3⎭OP ⋅FP =(x ,y )⋅(x -1,y )，x ∈[-2,2]，所以OP ⋅FP 的最小值为考点：向量数量积以及二次函数最值．8．C 【分析】根据椭圆定义及PF 1=2PF 2求出PF 2，由a -c ≤PF 2即可求解.【详解】由椭圆的定义知：PF 1+PF 2=2a ，1.22a ，32a又因为a -c ≤PF 2，所以a -c ≤，3a所以有：≤c ，3因为PF 1=2PF 2，即PF 2=c 1∴≥，a 3故椭圆的离心率的取值范围是[,1)．故选：C 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，属于中档题.9．D 【分析】根据圆的性质结合PF =3FQ ,∠POQ =120︒求出直线PQ 的斜率，再根据A ,F 的坐标得出直线PQ 的斜率，从而得出b ,c 的关系，进而求出椭圆的离心率.【详解】13椭圆的焦点在x 轴上，∴a >b >0,∴F (-c ,0),A (0,b )，故直线FA 的方程为x y+=1，即bx -cy +bc =0，-c bb c，直线FA （即PQ ）的斜率为过O 作的垂线OM ，则M 为PQ 的中点，∠POQ =120,∴∠OPM =30，∴OM 3，=tan 30=PM 3PF =3FQ ,∴F 是MQ 的中点，∴直线PQ 的斜率k =tan ∠MFO =OM =2⨯OM =23，MF PM 3b 23，不妨令b =23t ,c =3t ，∴=c 3则a =b 2+c 2=21t ，∴椭圆的离心率e =c =21，故选D.a 7【点睛】本题主要考查直线的斜率、圆的性质以及椭圆的离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出a ,c ，从而求出e ;②构造a ,c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解.10．D 【分析】联立直线与椭圆方程，求出PF 再用点到直线的距离公式求出QF 2，由PF 1=3QF 2，1，可得b=3，从而求出离心率；a【详解】⎧x 2y 2⎪2-2=1b 2b 2解：联立⎨a ，解得y =±，故PF 1=．b a a ⎪x =-c⎩点F 2(c ,0)到渐近线bx ±ay =0的距离d =b b 2=3，=3QF 由PF 知，故=3b 12a a|bc |a +b 22=b ，故QF 2=b ，b 2故e =1+=10，2a 故选：D ．【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质的应用，属于中档题.x 2y 211．+=1168【解析】试题分析：依题意：4a ＝16，即a ＝4，又e ＝c 2＝，∴c ＝22，∴b 2＝8.a 2x 2y 2∴椭圆C 的方程为+=1168考点：椭圆的定义及几何性质12．1【分析】求出双曲线的焦点、渐近线方程，再利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】由题得：其焦点坐标为(-2,0)，(2,0)．渐近线方程为y =±x ，所以焦点到其渐近线的距离d =故答案为：1【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，考查了基本运算能力，属于基础题.13．2.【解析】|±2|1+(±1)22=1．⎧AF=4，⎪⎪BF 1AF =5，A (4，4)，S =14=2p =2，.由题可得p =2，⎨2112⎪+==1，⎪⎩AF BF 2即答案为2.【点睛】本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查了学生的计算能力，是中档题．1x 24y 214．+=122575【分析】设椭圆的左焦点为F 1(-c ,0)，右焦点F 2(c ,0)，由椭圆定义得PF 1+PF 2=2a =10，得16139t 216a =5；由+2=1⇒t 2=b 2，得PF 1=(3+c )2+b 2=，同理得25225b 25PF 2=(3-c )2+【详解】设椭圆的左焦点为F 1(-c ,0)，右焦点F 2(c ,0)，点P (3,t )在椭圆上，由椭圆定义可得51627b =，解得c =，从而解得离心率和方程.2252PF 1+PF 2=2a =6.5+3.5=10，9t 216∴a =5，∴PF 1=(3+c )+t ，且+2=1⇒t 2=b 2，于是得到25b 2522PF 1=(3+c )2+16213b =6.5=，252同理得PF 2=(3-c )2+75，4c 151627b =3.5=，联立两式可得到c =，∴e ==，2a 2252b 2=a 2-c 2=x 24y 2∴椭圆方程为+=1．25751x 24y 2故答案为：，+=1.22575【点睛】本题考查椭圆的标准方程及定义的应用，考查椭圆的离心率的求法，考查转化思想，属于中档题．15．3y =±2x【分析】求出直线的方程，运用点到直线的距离公式，得到方程，结合a ，b ，c 的关系和离心率公式，化简整理即可得到2e 4-9e 2+9=0，解方程即可得到离心率，注意条件0<a <b ，则有e 2>2，注意取舍，最后求出双曲线的渐近线．【详解】解：直线l的方程为x y+=1，即为bx+ay-ab=0，a b22c，3c2=a2+b2，(-a,0)到直线l的距离为可得：2aba2+b2=22c，即有3ab=2c2，32即9a2b2=2c4，即9a（c2-a2）=2c4，9a2c2-9a4-2c4=0，c，则2e4-9e2+9=0，a32解得e2=3，或e=．2由于e=由于0<a<b，即a2<b2，即有c2>2a2，即有e2>2，故e2=3，∴e=3故渐近线方程为y=±bx=±2x．a故答案为：3；y=±2x【点睛】本题考查双曲线的性质：离心率的求法，同时考查直线的方程和点到直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于中档题．16．94【分析】首先根据题意得到PF1⋅PF2的最大值.根据1+PF2=6，再利用基本不等式即可得到PF题意得到PF2=6-PF1，从而得到AP-PF2=AP+PF1-6，从而得到答案.【详解】x2y2由+=1可得：a=3，c=2，95由椭圆定义可知PF1+PF2=2a=6，PF1⋅PF2≤(PF1+PF22)2=9，当PF1=PF2时取等号．PF1+PF2=2a=6⇒PF2=6-PF1.AP -PF 2=AP -(6-PF 1)=AP +PF 1-6又AP +PF ，1上时取等号）1≥AF 1（当且仅当P 在线段AF (AP -PF )2min=AF 1-6=(0+2)2+(46-0)2-6=4.故答案为：9；4【点睛】本题主要考查椭圆的定义，同时考查了基本不等式求最值，属于简单题.17．y =±【分析】利用双曲线方程求解双曲线的渐近线方程；以及焦点坐标.【详解】3x(±7,0)2x 2y 2=1，可得a =2，b =解：双曲线-43则该双曲线的渐近线方程为：y =±焦点坐标为：(±7,0).3，c =7，3x .2故答案为：y =±【点睛】3x ，(±7,0).2本题考查双曲线的简单性质的应用，焦点坐标的求法，考查计算能力.18．（1）M (-1,1)，N (1,1)；（2）证明见解析；（3）22-3．【分析】⎧y =x 2（1）由⎨得M ，N 两点的坐标为M (-1,1)，N (1,1)⎩y =12（2）设点Q 的坐标为(x 0,x 0)，得点B 坐标为(0,x 0)，点D 坐标为(0,-x 0)，可得B ，D两点关于原点O 的对称．（3）由（2）得|BD |=2|x 0|，S 1=12|BD ||x 0|=x 0．在直线MQ 的方程中令y =0，得点A2x0x 0((0)NQ 坐标为，，在直线的方程中令y =0，得点C 坐标为，0)，1-x 01+xx 041122S 2==|AC ||x 0|=t ∈(0，1]，则S 2-S 1=2t +-322-3即可．2，令t =1-x 0，21-x 0t【详解】⎧y =x 2⎧x =-1⎧x =1解：（1）由⎨得⎨或，⎨，y =1y =1y =1⎩⎩⎩∴M 、N 两点的坐标为M (-1,1)，N (1,1)．（2）设点Q 的坐标为(x 0,x 0)，直线的方程为MQ ：y =(x 0-1)(x +1)+1，令x =0，得点B 坐标为(0,x 0)，直线的方程为NQ ：y =(x 0+1)(x -1)+1，令x =0，得点D 坐标为(0,-x 0)，2∴B 、D 两点关于原点的对称．（3）由（2）得|BD |=2x 0，S 1=12BD x 0=x 0．2x0,0)，1-x在直线MQ 的方程中令y =0，得点A 坐标为(x0(,0)，NQ 在直线的方程中令y =0，得点C 坐标为1+x24x 0x 02x 0x 012∴AC =-=S =AC x 0=2，22，1+x 01-x 01-x 021-x 0442x 02x 0-x 02∴S 2-S 1=-x 0=．221-x 01-x 02令t =1-x 0，-1<x 0<1，可得t ∈(0,1]，则S 2-S 1=2t +-3≥22-3，当且仅当t =1t 22-2时取等号．时，即x 0=22综上所述，S 2-S 1的最小值为22-3．【点睛】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查了计算能力，属于中档题．⎛6525⎫⎛6525⎫⎛65-25⎫x 2y 2-,,,19．（1）+（2）存在，，，，=1；P 的坐标是 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪55555⎭94⎝⎭⎝⎭⎝5⎛6525⎫-5,-5⎪⎪．⎝⎭【分析】（1）根据离心率为5，再由短轴一个端点到右焦点的距离为3可得a =3，联立即可得解；3（2）假设存在点P ，则四边形PAOB 是边长为b 的正方形，则点P 为以O 为圆心，2b 为⎧x 2y 2=1⎪+半径的圆与椭圆C 的交点，联立即⎨9即可得解.4⎪x 2+y 2=8⎩【详解】（1）e =1-()2=b a 5，a =3，b 2=4，3x 2y 2∴+=1．94（2）假设存在点P ，过点P 引圆O 的切线，连接OA ，OB ，则四边形PAOB 是边长为b 的正方形，点P 为以O 为圆心，2b 为半径的圆与椭圆C 的交点．⎧236⎧x 2y 2x =⎪=1⎪⎪+5即⎨9，解得⎨，44⎪y 2=⎪x 2+y 2=8⎩⎪5⎩所以点P 的坐标是(-【点睛】本题考查了椭圆基本能量的计算，考查了离心率和长轴等概念，同时考查了转化思想，有一定的计算量，属于较难题.65-25652565256525,)，(-,)，(,)，(,-)．55555555x 2y 220．（1）（2）不存在，理由见解析.+=1；43【分析】⎧c 1⎪a =2⎪⎪（1）首先根据题意列出方程组⎨b =3，再解方程组即可得到答案.⎪a 2=b 2+c 2⎪⎪⎩⎧x =ky +1⎪（2）首先设直线为l :x =ky +1，M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，联立⎨x 2y 2得到=1⎪+3⎩4(3k 2+4)y 2+6ky -9=0，从而得到y 1+y 2=-6k -9y y =，，再根据123k 2+43k 2+4|MN |=4F 2N ，得到-y 1=3y 2，化简得到3k 2=3k 2+4，此方程无解，即可得到答案.【详解】⎧c 1⎪a =2⎪⎪（1）由题可得：⎨b =3，解得：a =2，b =3，c =1，⎪a 2=b 2+c 2⎪⎪⎩x 2y 2所以椭圆方程为：+=1．43（2）设直线为l :x =ky +1，设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，⎧x =ky +1⎪22由⎨x 2y 2，化简得(3k +4)y +6ky -9=0，=1⎪+3⎩4y 1+y 2=-6k -9y y =，，123k 2+43k 2+4|MN |=4F 2N 即MF 2=3F 2N ，∴MF 2=3F 2N ，MF 2=(1-x 1,-y 1)，F 2N =(x 2-1,y 2)，∴-y 1=3y 2，∴y 1+y 2=-6k，3k 2+43k -9ky =，，1223k +43k +43k -9k -9∴y 1y 2=2⋅2=2，3k +43k +43k +4∴y 2=化简得3k 2=3k 2+4，此方程无解，所以不存在满足题意的直线l ．【点睛】本题第一问考查椭圆的标准方程，第二问考查直线与椭圆的位置关系，同时考查学生的计算能力，属于中档题.21．（1）【分析】（1）根据双曲线的标准方程可得左顶点A (-过点A 与渐近线y =求解.（2）设直线PQ 的方程是y =x +b ，利用点到直线的距离公式可得b 2=2，联立方程2；（2）证明见解析.82,0)，渐近线方程：y =±2x ，从而可得22x 平行的直线方程，将此直线与另一条渐近线联立求出交点，进而⎧y =x +b，设P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2)，由OP ⋅OQ =x 1x 2+y 1y 2=0即证.⎨22⎩2x -y =1【详解】x 2C 1:-y 2=12（1）双曲线，左顶点A (-1,0)，渐近线方程：y =±2x ．22过点A 与渐近线y =2x 平行的直线方程为y =2(x +2)，即y =2x +1．2⎧2x =-⎪⎧⎪y =-2x ⎪4解方程组⎨得⎨⎪⎩y =2x +1⎪y =1⎪2⎩所以所求三角形的面积为S =12．|OA ‖y |=28（2）设直线PQ 的方程是y =x +b ，因直线PQ 与已知圆相切，故|b |=1，即b 2=2．2⎧y =x +b 由⎨2得x 2-2bx -b 2-1=0．2⎩2x -y =1⎧x 1+x 2=2b设P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2)，则⎨2x x =-1-b ⎩12又y 1y 2=(x 1+b )(x 2+b )，所以OP ⋅OQ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(x 1+b )(x 2+b )=2x 1x 2+b (x 1+x 2)+b 2=2(-1-b 2)+2b 2+b 2=b 2-2=0．故OP ⊥OQ ．【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质、直线与双曲线的位置关系，证明直线垂直可转化为向量的数量积等于零，考查了考生的基本运算能力，属于中档题.b 2-n 222．（1）2；（2）bn .2b +n 【分析】（1）先由余弦定理得到4c =(r 1+r 2)-2r 1r 2(1+cos α)和222b24c =(r 1-r 2)+2r 1r 2(1-cos α)，再由点P 在椭圆和双曲线上，得到r 1r 2=和1+cos α222n 22b 22n 2b 2-n 2，最后建立方程表示出cos α=2即可；r 1r 2==21-cos α1+cos α1-cos αb +n 2b 22bn r 1r 2==b 2+n 2222（2）由（1）整理得和sin α=1-cos α=2，最后直b -n 21+2b +n b +n 2接表示出S ∆F 1PF 2即可．【详解】∠F 1PF 2=α，（1）令PF 1=r 1，PF 2=r 2，在△F 1PF 2中，由余弦定理得：F 1F 22=r 12+r 22-2r 1⋅r 2⋅cos α，2222所以4c =(r 1+r 2)-2r 1r 2(1+cos α)和4c =(r 1-r 2)+2r 1r 2(1-cos α)，因为P 是椭圆上的点，则r 1+r 2=2a ，2b 2．r 1r 2=1+cos α因为P 是双曲线上的点，则r 1-r 2=2m ，2n 2．r 1r 2=1-cos α2b 22n 22b 22n 2b 2-n 2所以r 1r 2=，即，整理得：cos α=2==1+cos α1-cos α1+cos α1-cos αb +n 2⎧2b 2r 1r 2=2b 2⎪22⎪r 1r 2==b +n 1+cos α（2）由（1）可得⎨，整理得：，b 2-n 2221+2⎪cos α=b -n b +n 222⎪b +n ⎩2bn b 2-n 22sin α=1-cos α=由（1）可知cos α=2，所以，b 2+n 2b +n 2所以S ∆F 1PF 2=【点睛】本题考查同角三角函数关系、余弦定理、椭圆与双曲线的定义的几何意义、三角形的面积公式，是中档题.1r 1r 2sin α=bn ．2。

新教材人教A版选择性必修二册第四章数列单元测试(含答案)

10、答案A
详解：由有，，由等差数列的性质有，所以，又，所以，选A.
11、答案D
设当差数列的首项为，公差为
∵ ，
∴
∴
∴ ，即
∴
故选D
12、答案C
当时，。
当时，
当时单调递减，当时，单调递增
当时，
综上可得，的最小值为，故选C
13、答案
∵ ，∴ ，又
∴ ，，
故数列的周期为3，
3、已知数列，，，…，，…，下面各数中是此数列中的项的是（）
A． B． C． D．
4、在等差数列中，，，若，则 ( )．
A．38B．20C．10D．9
5、现在有这么一列数：2，，，，，，，，按照规律，横线中的数应为
A. B. C. D.
（正确答案）B
6、
已知各项均为正数的等比数列中, , ,则等于(）。
故答案为：D
9、答案D
∵等差数列{an}中，，即S17=17a9＞0，S18=9（a10+a9）＜0，∴a10+a9＜0，a9＞0，∴a10＜0，
∴等差数列{an}为递减数列，故可知a1，a2，…，a9为正，a10，a11…为负；∴S1，S2，…，S17为正，S18，S19，…为负，
∴ ,
又中最大的项为．故选D．
故括号中的数应该为．
故选：B．
由题意可得：分子为连续的质数，分母依次为首项为2、公比为2的等比数列，即可得出．
本题考查了数列通项公式的求法、观察法、归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6、答案C
详解：因为等比数列中， , ，，
由等比数列的性质成等比数列，

高中数学选择性必修二第四章数列(章末测试)(含答案)

第四章数列章末测试注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）1．（2020·山东泗水·期中（文））已知数列{}n a 中，11a =，122nn n a a a +=+，则5a 等于（） A ．25B ．13C ．23D ．12【答案】B【解析】在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a a +=+，则12122122123a a a ⨯===++，2322221322223a a a ⨯===++， 3431222212522a a a ⨯===++，4542221522325a a a ⨯===++.故选：B. 2．（2020·四川阆中中学月考（理））等比数列{}n a 的各项均为正实数，其前n 项和为S n ，若a 3＝4，a 2·a 6＝64，则S 5＝（） A ．32 B ．31C ．64D ．63【答案】B【解析】依题意3264640n a a a a =⎧⎪⋅=⎨⎪>⎩，即2151114640,0a q a q a q a q ⎧⋅=⎪⋅=⎨⎪>>⎩，解得11,2a q ==，所以()551123112S ⨯-==-.故选：B3．（2020·湖南武陵·常德市一中月考）在等比数列{}n a 中，5113133,4a a a a =+=，则122a a =（） A ．3 B ．13-C ．3或13D ．3-或13-【答案】C【解析】若{}n a 的公比为q ，∵3135113a a a a ==，又由3134a a +=，即有31313a a =⎧⎨=⎩或31331a a =⎧⎨=⎩, ∴1013q =或3，故有101223a q a ==或13故选：C 4．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校月考（理））在递减等比数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，若245a a +=，154a a ⋅=，则7S =（）．A ．1278B ．212C ．638D ．6332【答案】A【解析】则24152454a a a a a a +=⎧⎨==⎩，解得2414a a =⎧⎨=⎩或2441a a =⎧⎨=⎩，∵{}n a 是递减数列，则2441a a =⎧⎨=⎩，∴24214a q a ==，12q =（12q =-舍去）．∴218a a q ==，7717181(1)21112a q S q ⎛⎫⨯- ⎪-⎝⎭==--1278=．故选：A ．5．（2020·重庆高一期末）《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为（）A ．53B ．103C ．56D ．116【答案】A【解析】设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ，依题意可得，15535()51002a a S a +===， 33451220,7()a a a a a a ∴=++=+， 6037(403)d d ∴+=-，解得556d =， 1355522033a a d ∴=-=-=. 故选:A.6．（2020·贵州贵阳·为明国际学校其他（理））已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公比6121,24q S =-=，则数列{}n a 的前n 项积n T 的最大值为（） A ．16 B ．64C ．128D ．256【答案】B【解析】由12q =-，6214S =，得61112211412a ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=⎛⎫-- ⎪⎝⎭，解得18a =，所以数列{}n a 为8，4-，2，1-，12，14-，……，前4项乘积最大为64. 故选：B .7．（2020·吉林市第二中学月考）已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且675S S S >>，有下面4个结论： ①0d <；②110S >；③120S <；④数列{}n S 中的最大项为11S ，其中正确结论的序号为（） A ．②③ B ．①②C ．①③D ．①④【答案】B【解析】由675S S S >>得760S S -<，750S S ->，则70a <，670a a +>，所以60a >，所以0d <，①正确；111116111102a a S a +=⨯=>，故②正确； 1126712126()02a a S a a +=⨯=+>，故③错误；因为60a >，70a <，故数列{}n S 中的最大项为6S ，故④错误．故选：B.8．（2020·上海市市西中学月考）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2415a a a ++是一个确定的常数，则数列{}n S 中是常数的项是（）A ．7S ；B ．8S ；C ．11S ；D ．13S【解析】由于题目所给数列为等差数列，根据等差数列的性质，有()2415117318363a a a a d a d a ++=+=+=，故7a 为确定常数，由等差数列前n 项和公式可知()11313713132a a S a+⋅==也为确定的常数.故选:D二、多选题（每题有多个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题5分，共20分）9．（2020·鱼台县第一中学月考）设{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，且78S S <，8910S S S =>，则下列结论正确的是（） A ．0d < B ．90a =C ．117S S >D ．8S 、9S 均为n S 的最大值【答案】ABD【解析】由78S S <得12377812a a a a a a a a +++⋯+<++⋯++，即80a >，又∵89S S =，1229188a a a a a a a ∴++⋯+=++⋯++，90a ∴=，故B 正确；同理由910S S >，得100a <，1090d a a =-<，故A 正确；对C ，117S S >，即8910110a a a a +++>，可得(9102)0a a +>，由结论9100,0a a =<，显然C 是错误的；7898810,,S S S S S S <=>∴与9S 均为n S 的最大值，故D 正确；10．（2020·河北邯郸·高三月考）已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，)211n a =-，则关于数列{}n a 说法正确的是（） A ．28a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．数列{}n a 为周期数列D ．22n a n n =+【答案】ABD【解析】)211n a =-得)211n a +=，1=，即数列2=，公差为1的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+，∴22n a n n =+，得28a =，由二次函数的性质得数列{}n a 为递增数列，所以易知ABD 正确，故选：ABD.11．（2020·湖南雁峰·衡阳市八中高二月考）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（） A ．此人第三天走了二十四里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C ．此人第二天走的路程占全程的14D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍【解析】由题意，此人每天所走路程构成以12为公比的等比数列，记该等比数列为{}n a ，公比为12q =，前n 项和为n S ，则16611163237813212a S a ⎛⎫- ⎪⎝⎭===-，解得1192a =，所以此人第三天走的路程为23148a a q =⋅=，故A 错；此人第一天走的路程比后五天走的路程多()1611623843786a S a a S --=-=-=里，故B 正确；此人第二天走的路程为213789694.54a a q =⋅=≠=，故C 错；此人前三天走的路程为31231929648336S a a a =++=++=，后三天走的路程为6337833642S S -=-=，336428=⨯，即前三天路程之和是后三天路程之和的8倍，D 正确；故选：BD.12．（2019·山东省招远第一中学高二期中）已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3393n n S n T n +=+，则使得n na b 为整数的正整数n 的值为（） A ．2 B ．3C ．4D ．14【答案】ACD【解析】由题意可得()()()()()()12121121212121221212n n n n n n n nn a a n a S a n b b T n b b -----+-===-+-，则()()21213213931815321311n n n n n a S n b T n n n ---++====+-+++，由于nna b 为整数，则1n +为15的正约数，则1n +的可能取值有3、5、15，因此，正整数n 的可能取值有2、4、14. 故选：ACD.第II 卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共20分）13．（2020·山东泗水·期中（文））已知{}n a 是等比数列，14a =，412a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=______. 【答案】321134n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【解析】由题意，等比数列{}n a 中，14a =，412a =，可得34218a q a ==，解得12q =，又由2111114n n n n n n a a a q a a a ++--===，且21218a a a q ==，即数列{}1n n a a +表示首项为8，公比为14的等比数列，所以1223118[1()]3214113414n n n n a a a a a a +⨯-⎡⎤⎛⎫++⋅⋅⋅+==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-. 故答案为：321134n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.14．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校月考（理））在各项都是正数的等比数列{}n a 中，2a ，312a ，1a 成等差数列，则7856a a a a ++的值是________.【答案】32+【解析】设等比数列{}n a 的公比为()0q q >，由321a a a =+，得210q q --=，解得12q +=(负值舍)，则222278565656a a a q a q q a a a a ++====++⎝⎭.15．（2020·吉林市第二中学月考）各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 6＝30，S 9＝70，则S 3＝________. 【答案】10【解析】根据等比数列的前n 项和的性质，若S n 是等比数列的和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍是等比数列，得到(S 6－S 3)2＝S 3(S 9－S 6)，即()()233307030S S -=⋅-. 解得S 3＝10或S 3＝90(舍)．故答案为：1016．（2020·四川武侯·成都七中月考）已知等差数列{}n a 的公差2d =，前n 项之和为n S ，若对任意正整数n 恒有2n S S ≥，则1a 的取值范围是______.【答案】[]4,2--【解析】因为对任意正整数n 恒有2n S S ≥，所以2S 为n S 最小值，因此230,0a a ≤≥，即111+20,+4042a a a ≤≥∴-≤≤- 故答案为：[]4,2--四、解答题（17题10分，其余每题12分，共6题70分）17．（2020·安徽省舒城中学月考（文））已知在等差数列{}n a 中，35a =，1763a a =．（1）求数列{}n a 的通项公式：（2）设2(3)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（1）21n a n =-；（2）1n n +. 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由317653a a a =⎧⎨=⎩，可得()111251635a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩ 解得1a 1,d 2，所以等差数列{}n a 的通项公式可得21n a n =-;（2）由（1）可得211(3)22(1)1n n b n a n n n n ===-+++，所以111111 (22311)n n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 18．（2020·湖南武陵·常德市一中月考）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()()111,11,2n n a n S nS n n n N n -+=-=+-∈≥.（1）求证：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（2）记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T 【答案】（1）证明见解析；（2）21n n T n =+. 【解析】（1）当2n ≥时，因为()()111n n n S nS n n --=+-，所以()1121n n S S n n n --=≥-，即n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭首项为1，公差为1的等差数列. （2）由（1）得n S n n=，2n S n =. 当2n ≥时，()22121n a n n n =--=-.当1n =时，11a =，符合题意，所以21n a n =-. 所以()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以111111123352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 11122121n n T n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 19．（2021·黑龙江鹤岗一中月考（理））已知各项均为正数的等差数列{}n a 中，12315a a a ++=，且12a +，25a +，313a +构成等比数列{}n b 的前三项.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =+，152n n b -=⋅；（2）5(21)21n n T n ⎡⎤=-+⎣⎦【解析】（1）设等差数列的公差为d ，则由已知得：1232315a a a a ++==，即25a =，又(52)(513)100d d -+++=，解得2d =或13d =-（舍去），123a a d =-=，1(1)21n a a n d n ∴=+-⨯=+，又1125b a =+=，22510b a =+=，2q ∴=，152n n b -∴=⋅；（2）21535272(21)2n n T n -⎡⎤=+⨯+⨯+++⨯⎣⎦，2325325272(21)2n n T n ⎡⎤=⨯+⨯+⨯+++⨯⎣⎦，两式相减得2153222222(21)25(12)21n n n n T n n -⎡⎤⎡⎤-=+⨯+⨯++⨯-+⨯=--⎣⎦⎣⎦，则5(21)21n n T n ⎡⎤=-+⎣⎦.20．（2020·四川省绵阳南山中学月考（理））已知数列{}n a 为等差数列，11a =，0n a >，其前n 项和为n S ，且数列也为等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n n a b S S ++=⋅，求数列{}n b 的前n 项和.【答案】（1）21n a n =-；（2）222(1)n n n ++. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为(0)d d ≥， 11S ===1∴=+2d =，1(1)221n a n n ∴+-⨯=-=，n ==，所以数列为等差数列，21na n ∴=-. （2）2(121)2n n n S n +-==，22222111(1)(1)n nb n n n n +∴==-⋅++，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2222222221111111211223(1)(1)(1)n n n T n n n n ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 21．（2020·浙江月考）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且13542a a a ++=，39a +是1a ，5a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：3n n n n a b a =+，设{}n b 的前n 项的和为n S ，求证：2113n S <. 【答案】（1）2n n a =；（2）证明见解析.【解析】（1）由39a +是1a ，5a 的等差中项得153218a a a +=+，所以135a a a ++331842a =+=，解得38a =，由1534a a +=，得228834q q +=，解得24q =或214q =，因为1q >，所以2q. 所以2n n a =.（2）112()333()1()22n n n nb =<=+， 3412324222()()()513333n n n S b b b b ∴=++++<++++24688221()6599313n -=+-⋅≤在3n ≥成立，又有1222146215136513S S =<=<，， 2113n S ∴<. 22．（2020·黑龙江让胡路·铁人中学高二期中（理））已知数列{}n a 中，n S 是{}n a 的前n 项和且n S 是2a 与2n na -的等差中项，其中a 是不为0的常数.（1）求123,,a a a .（2）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法进行证明.【答案】（1）12a a =；26a a =；312a a =（2）猜想：()()*1n a a n N n n =∈+；证明见解析【解析】（1）由题意知：222n n S a na =-即n n S a na =-，当1n =时，111S a a a ==-，解得12a a =.当2n =时，21222S a a a a =+=-，解得26a a =. 当3n =时，312333S a a a a a =++=-，解得312a a =. （2）猜想：()()*1n a a n N n n =∈+ 证明：①当1n =时，由（1）知等式成立.②假设当()*1,n k k k N =≥∈时等式成立，即()1k a a k k =+，则当1n k =+时，又n n S a na =-则k k S a ka =-，11k k S a ka ++=-， ∴()()1111k k k k k a S S a k a a ka +++=-=-+--，即()()1211k k a a k a ka k k k k ++==⨯=++ 所以()()()()112111k aa a k k k k +==+++++⎡⎤⎣⎦，即当1n k =+时，等式成立.结合①②得()1n a a n n =+对任意*n N ∈均成立.。

人教A版选择性必修二同步第四章数列达标测试卷(含答案)

第四章达标测试卷(时间：120分钟满分：150分)一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．数列的通项公式a n是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】依题意，数列{an}的前几项为：a1＝＝；a2＝＝；a3＝＝；……则其通项公式a n＝．2．已知数列{a n}满足．若{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．（1，2] B．（2，3）C．[2，3）D．（1，3）【答案】B【解析】若{a n}是递增数列，则即，即，即2＜a＜3，即实数a的取值范围是（2，3），故选：B3．在等差数列{a n}中，若a4，a8是方程x2﹣4x+3＝0的两根，则a6的值是（）A．B．C．2 D．﹣2【答案】C【解析】等差数列{a n}中，若a4，a8是方程x2﹣4x+3＝0的两根，∴a4+a8＝4＝2a6，∴a6＝2，故选：C4．已知数列a1，是首项为8，公比为的等比数列，则a4等于（）A．8 B．32 C．64 D．128【答案】C【解析】提示：数列a1，是首项为8，公比为的等比数列，则＝8×＝1．a4＝a1×××＝8×4×2×1＝64．故选：C5．首项为a1，公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，满足S5S6+15＝0．则d的取值范围（）A．d≤﹣2或d≥2B．﹣2≤d≤2C．d＜0D．d＞0【答案】A【解析】足S5S6+15＝0，则（5a1+10d）（6a1+15d）+15＝0，整理可得，有解，故△＝81d2﹣8（1+10d2）≥0，解可得，d或d．故选：A6．《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织六尺，今一月织十一匹三丈（1匹＝40尺，一丈＝10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织6尺，一月织了十一匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，记该女子一个月中的第n天所织布的尺数为a n，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可得：每天织布的量组成了等差数列{a n}，a1＝6（尺），S30＝11×40+30＝470（尺），设公差为d（尺），则30×6+d＝470，解得d＝．则＝＝＝．7．设数列{a n}满足a n+1﹣a n＝2（n+1），a1＝2，则数列{（﹣1）n•a n}的前200项和是（）A．20100 B．20200 C．40200 D．40400【答案】B【解析】a n+1﹣a n＝2（n+1），a1＝2，可得a n＝a1+（a2﹣a1）+…+（a n﹣a n﹣1）＝2+4+6+…+2n＝n（2+2n）＝n（n+1），（﹣1）n•a n＝（﹣1）n•n（n+1），数列{（﹣1）n•a n}的前200项和为﹣1×2+2×3﹣3×4+4×5﹣5×6+…﹣199×200+200×201＝2×（2+4+…+200）＝2××100×202＝20200，故选：B8．各项均为正数的等差数列{a n}的前n项和为S n，，S2m﹣1＝38，则m等于（）A．38 B．20 C．10 D．9【答案】C【解析】由，利用等差数列的性质可得：2a m﹣＝0，a m＞0．解得a m＝2．∴S2m﹣1＝＝（2m﹣1）a m＝38，则m＝10．故选：C二．多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9．已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，且2a1+3a3＝S6，则下列结论正确的是（）A．a10＝0 B．S10最小C．S7＝S12D．S19＝0【答案】ACD【解析】A．因为数列{a n}为等差数列，2a1+3a3＝S6，即5a1+6d＝6a1+15d，即a1+9d＝a10＝0，故A正确；B．因为a10＝0，所以S9＝S10，但是无法推出数列{a n}的单调性，故无法确定S10是最大值还是最小值．故B错误；C．因为a8+a9+a10+a11+a12＝5a10＝0，所以S12＝S7+a8+a9+a10+a11+a12＝S7+0＝S7，故C正确；D．S19＝＝19a10＝0，所以D正确．故选：ACD10．下列关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题中真命题是（）A．数列{a n}是递增数列；B．数列{na n}是递增数列；C．数列是递增数列；D．数列{a n+3nd}是递增数列；【答案】AD【解析】A∵对于公差d＞0的等差数列{a n}，a n+1﹣a n＝d＞0，∴数列{a n}是递增数列成立，A是真命题．对于数列{na n}，第n+1项与第n项的差等于（n+1）a n+1﹣na n＝（n+1）d+a n，不一定是正实数，B是假命题．对于数列，第n+1项与第n项的差等于﹣＝＝，不一定是正实数，C是假命题．对于数列{a n+3nd}，第n+1项与第n项的差等于a n+1+3（n+1）d﹣a n﹣3nd＝4d＞0，数列{a n+3nd}是递增数列成立，D 是真命题．故选：AD11．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n﹣2，若存在两项a m，a n，使得a m a n＝64，则（）A．数列{a n}为等差数列B．数列{a n}为等比数列C．a12+a22+…+a n2＝D．m+n为定值【答案】BD【解析】S n＝2a n﹣2，可得n＝1时，a1＝S1＝2a1﹣2，即a1＝2，n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2a n﹣2﹣2a n﹣1+2，化为a n＝2a n﹣1，则{a n}为首项为2，公比为2的等比数列，故A错，B对；由a n＝2n，可得a n2＝4n，则a12+a22+…+a n2＝4+16+…+4n＝＝，故C错；存在两项a m，a n，使得a m a n＝64，可得2m+n＝26，即m+n＝6，故D对．故选：BD12．若数列{a n}满足：对任意正整数n，{a n+1﹣a n}为递减数列，则称数列{a n}为“差递减数列”．给出下列数列{a n}（n∈N*），其中是“差递减数列”的有（）A．a n＝3n B．a n＝n2+1 C．a n＝D．a n＝ln【答案】CD【解析】A∵a n+1﹣a n＝3（n+1）﹣3n＝3，∴数列{a n}不为“差递减数列”．同理可得：B不为“差递减数列”．C∵a n+1﹣a n＝＝，∴数列{a n}为“差递减数列”．同理可得：D为“差递减数列”．故选：CD三.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．已知等比数列{a n}的前n项和S n满足S n＝2+a n+1，则a1＝．【答案】-2【解析】根据题意，等比数列{a n}的前n项和S n满足S n＝2+a n+1，则有S n﹣1＝2+a n，两式相减可得：S n﹣S n﹣1＝a n+1﹣a n，即a n＝a n+1﹣a n，变形可得a n+1＝2a n，即等比数列{a n}的公比为2；在S n＝2+a n+1中，令n＝1可得：a1＝2+a2，即a1＝2+2a1，解可得a1＝﹣214．已知数列{a n}满足a n＞0，且lga n，lga n+1，lga n+2成等差数列，若a3a4a6a7＝4，则a5＝．【答案】【解析】由题意可得，lga n+lga n+2＝2lga n+1，即，即数列{a n}为等比数列，由等比数列的性质可得，a3a4a6a7＝＝4，∵a n＞0，则a5＝．15．已知正项数列{a n}中，若存在正实数p，使得对数列{a n}中的任意一项a k，也是数列{a n}中的一项，称数列{a n}为“倒置数列”，p是它的“倒置系数”，若等比数列{a n}的项数是m，数列{a n}所有项之积是T，则T＝（用m和p表示）．【答案】【解析】∵数列{a n}是项数为m的有穷正项等比数列，取p＝a1•a m＞0，对数列{a n}中的任意一项a i（1≤i≤m），＝也是数列{a n}中的一项，由“倒置数列”的定义可知，数列{a n}是“倒置数列”．又∵数列{a n}所有项之积是T，∴T 2＝（a 1a 2…a m ）（a m a m ﹣1…a 1）＝，则 16．已知正项等比数列{a n }满足a 2020＝2a 2018+a 2019，若存在两项a m ，a n 使得，则的最小值是，此时m 2+n 2＝．【答案】，20 【解析】根据题意，设正项等比数列{a n }的公比为q ，若{a n }满足a 2020＝2a 2018+a 2019，则有q 2＝2+q ，解得q ＝2或q ＝﹣1（舍去），若存在两项a m ，a n 使得，即a m •a n ＝16a 12，变形可得2m +n ﹣2＝16＝24，则有m +n ＝6，则＝+＝×（m +n ）×（+）＝×（5++），又由+≥2×＝4，当且仅当n ＝2m 即n ＝2m ＝4时，等号成立，则＝×（5++）≥（5+4）＝，此时m 2+n 2＝20；三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.（本小题满分10分）等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16，(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .【解析】(1)设{a n }的公比为q ，由已知得16＝2q 3，解得q ＝2，∴a n ＝2n .(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32.设{b n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋2d ＝8， b 1＋4d ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－16，d ＝12. 从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28，所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n (－16＋12n －28)2＝6n 2－22n . 18.（本小题满分12分）（2020•邵阳一模）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n ﹣a 1，且满足a 1，a 2+，a 3成等差数列．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，求使|T n﹣2|＜成立的n的最小值．【解析】（1）由已知S n＝2a n﹣a1，有a n＝S n﹣S n﹣1＝2a n﹣2a n﹣1（n≥2），即a n＝2a n﹣1，（n≥2），从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1，又∵a1，a2+，a3成等差数列，∴a1+a3＝a2+1，∴a1+4a1＝4a1+1，解得a1＝1，∴{a n}的通项公式为：a n＝2n﹣1；（2）由（1）得＝，所以T n＝＝2﹣，由|T n﹣2|＜，即＜，∴2n﹣1＞500，即2n＞1000，∴n的最小值是10．19.（本小题满分12分）在①a4＝b4，②a2+b5＝2，③S6＝﹣24这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的正整数k存在，求k的值；若k不存在，请说明理由．设S n为等差数列{a n}的前n项和，{b n}是等比数列，，b1＝a5，b3＝﹣9，b6＝243．是否存在k，使得S k＞S k﹣1且S k+1＜S k？【解析】选择①a4＝b4，又b1＝a5，b3＝﹣9，b6＝243．则b1﹣d＝﹣9q，﹣9q3＝243，b1q2＝﹣9，a1+3d＝b1﹣d．解得q＝﹣3，b1＝﹣1，d＝﹣28．a1＝111．∴a n＝111﹣28（n﹣1）＝139﹣28n．假设存在k使得S k＞S k﹣1且S k+1＜S k．则139﹣28k＞0，139﹣28（k+1）＜0，化为：＜k＜，解得k＝4．故答案为：4．20.（本小题满分12分）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝﹣7，公差d为大于0的整数，当且仅当n＝4时，S n取得最小值．（1）求公差d及数列{a n}的通项公式；（2）求数列{|a n |}的前20项和．【解析】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，则依题意，可知：，即，即，解得．∵公差d 为大于0的整数，∴d ＝2．∴a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝﹣7+2（n ﹣1）＝2n ﹣9．（2）由题意，当n ≤4时，a n ＜0；当n ≥5时，a n ＞0．故|a 1|+|a 2|+|a 3|+|a 4|+|a 5|+…+|a 20|＝﹣（a 1+a 2+a 3+a 4）+（a 5+a 6+…+a 20）＝＝＝272． ∴数列{|a n |}的前20项和为272．21.（本小题满分12分）已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n .(1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n . 【解析】(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . 因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1， S n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n . 所以a n ＝2n ＋1，S n ＝n 2＋2n .(2)由(1)知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝1a 2n －1＝1(2n ＋1)2－1＝14·1n (n ＋1)＝14·)111(+-n n ，所以T n ＝14·(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝14·(1－1n ＋1)＝n 4(n ＋1)，即数列{b n }的前n 项和T n ＝n 4(n ＋1). 22.（本小题满分12分）数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2n ＋1a n a n ＋2n (n ∈N *)． (1)证明：数列{2na n}是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式a n ；(3)设b n ＝n (n ＋1)a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .【解析】(1)证明：由已知可得a n ＋12n ＋1＝a n a n ＋2n，即2n ＋1a n ＋1＝2n a n ＋1，即2n ＋1a n ＋1－2na n＝1. ∴数列{2na n}是公差为1的等差数列． (2)由(1)知2n a n ＝2a 1＋(n －1)×1＝n ＋1， ∴a n ＝2nn ＋1. (3)由(2)知b n ＝n ·2n .S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ， 2S n ＝1·22＋2·23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1，相减得－S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1 ＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1，∴S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.。

高中数学选择性必修二第四章《数列》单元测试卷

高中数学选择性必修二第四章《数列》单元测试卷注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．数列{}n a 的通项公式为()()132nn a n =--，则{}n a 的第5项是（）A ．13B ．13-C ．15-D ．152．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．“任意正整数n ，均有0n a >”是“{}n S 为递增数列” 的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此继续下去，得图（3）…，设第n 个图形的边长为n a ，则数列{}n a 的通项公式为（）A ．13nB ．131n - C ．13nD ．113n - 4．若数列{}n a 满足12a =，111nn na a a ++=-，则2018a 的值为（）A ．2B ．3-C ．12-D ．135．数列{}n a 满足()11nn n a a n ++=-⋅，则数列{}n a 的前20项的和为（） A ．100-B ．100C ．110-D ．1106．已知数列{}n a 的前n 项和1233n n S a =+，则{}n a 的通项公式n a =（）A ．12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．112n n a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭7．在数列{}n a 中，11a =-，20a =，21n n n a a a ++=+，则5a 等于（） A ．0B ．1-C ．2-D ．3-8．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（） A ．65B ．184C ．183D ．1769．已知数列{}n a 的各项均为整数，82a =-，134a =，前12项依次成等差数列，从第11项起依次成等比数列，则15a =（） A ．8B ．16C ．64D ．12810．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2n S n n =--，则数列()21n n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前40项的和为（）A ．3940B ．3940-C ．4041D ．4041-11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n T ，34a =，627T =，数列{}n b 满足1123n n b b b b b +=+++⋅⋅⋅+，121b b ==，设n n n c a b =+，则数列{}n c 的前11项和为（）A ．1062B ．2124C ．1101D ．110012．已知数列{}n a 满足11a =，()12n n a a n +-≥∈*N ，则（） A ．21n a n ≥+B ．2n S n ≥C ．12n n a -≥D ．12n n S -≥二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____________．14．已知数列{}n a 的首项12a =，且()11122n n a a n +=+∈*N ，则数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前10项的和为_____．15．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，若22n n n S a =-，则=n S _________．16．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，10a =，若()()1112n nn n a a +⎡⎤=+-+-⎣⎦，则100S =_____．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1，n a ，n S 成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足12n n n a b na ⋅=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S ，52S ，4S 成等差数列，521322a a a =+-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12n n b -=，求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．19．（12分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项11a =，且1a ，2a ，6a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．20．（12分）设正项数列{}n a 的前n 项和n S满足1n a +，()n ∈*N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围．21．（12分）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()21n n S a n =-∈*N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若lg n n b a =，求数列{}n n a b +的前n 项和n T ．22．（12分）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n n S a λ=-（0n λ>∈*N ，）．（1）证明：数列{}n a 为等比数列，并求n a ；（2）若24,log n n n a n b a n λ⎧⎪==⎨⎪⎩，是奇，是偶，（n ∈*N ），求数列{}n b 的前n 项和n T ．高中数学选择性必修二第四章《数列》单元测试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】B【解析】求数列{}n a 的某一项，只要把n 的值代入数列的通项即得该项． 2．【答案】A【解析】∵“0n a >”⇒“数列{}n S 是递增数列”，所以“0n a >”是“数列{}n S 是递增数列”的充分条件．如数列{}n a 为1-，0，1，2，3，4，…，显然数列{}n S 是递增数列，但是n a 不一定大于零，还有可能小于等于零，所以“数列{}n S 是递增数列”不能推出“0n a >”， ∴“0n a >”是“数列{}n S 是递增数列”的不必要条件．∴“0n a >”是“数列{}n S 是递增数列”的充分不必要条件．故答案为A ． 3．【答案】D【解析】本题主要考查了等比数列的判定和等比数列的通项的求法，属于基础题． 4．【答案】B【解析】12a =由题，111n n n a a a ++=-，所以121131a a a +==--，2321112a a a +==--，3431113a a a +==-，454121a a a +==-，故数列{}n a 是以4为周期的周期数列，故20185044223a a a ⨯+===-．故选B ． 5．【答案】A【解析】由()11nn n a a n ++=-，得211a a +=-，343a a +=-，565a a +=-，…192019a a +=-， ∴n a 的前20A ． 6．【答案】B【解析】令1n =，11a =，代入选项，排除A ，D 选项．令2n =，解得212a =-，排除C 选项．故选B ． 7．【答案】C【解析】因为21n n n a a a ++=+，所以3121a a a =+=-，4321a a a =+=-，5432a a a =+=-．故选C ． 8．【答案】B【解析】由题意可得，8个孩子所得的棉花构成公差为17的等差数列，且前8项和为996，设首项为1a ，结合等差数列前n 项和公式：811878828179962S a d a ⨯=+=+⨯=，解得：165a =，则81765717184a a d =+=+⨯=．即第八个孩子分得斤数为184．本题选择B 选项． 9．【答案】B【解析】设由前12项构成的等差数列的公差为d ，从第11项起构成的等比数列的公比为q ，由()2212131124d 423d a a a -+===-+，解得1d =或34d =，又数列{}n a 的各项均为整数，故1d =，所以13122a q a ==，所以111012213n n n n a n --≤⎧=⎨≥⎩，，，故415216a ==，故选B ．10．【答案】D【解析】根据2n S n n =--，可知当2n ≥时，()()221112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-------=-⎣⎦，当1n =时，112a S ==-，上式成立，所以2n a n =-，所以()221112(+11nn a n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭），所以其前n 项和11111111234+111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=--+-++-=--=-⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以其前40项和为404041T =-．故选D ． 11．【答案】C【解析】设数列{}n a 的公差为d ，则112461527a d a d +=+=⎧⎨⎩，解得121a d ==⎧⎨⎩，数列{}n a 的通项公式为1n a n =+，当2n ≥时，1n n n b b b +-=，∴12n n b b +=，即{}n b 从第二项起为等比数列，∴()222n n b n -=≥，数列{}n b 的通项公式为：21,1 2,2n n n b n -=⎧⎪=⎨≥⎪⎩，分组求和可得数列{}n c 的前11项和为()()29101123412112227721101S =+++++++++=+=+．本题选择C 选项．12．【答案】B【解析】由题得212a a -≥，322a a -≥，432a a -≥，432a a -≥， ∴()213243121n n a a a a a a a a n --+-+-++-≥-，∴()121n a a n -≥-，21n a n ∴≥-，∵123135a a a ≥≥≥，，，，21n a n ≥-，∴12313521n a a a a n ++++≥++++-，∴()21212n nS n n ≥+-=．故选B ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】63-【解析】根据21n n S a =+，可得1121n n S a ++=+，两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=，当1n =时，11121S a a ==+，解得11a =-，所以数列{}n a 是以1-为首项，以2为公比的等比数列，所以()66126312S --==--．故答案是63-．14．【答案】1023【解析】由11122n n a a +=+，得()11112n n a a +-=-，∴{}1n a -为等比数列，()111111122n n n a a --⎛⎫⎛⎫-=-⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，1121n n a -=-，101012102312S -==-，故答案为1023． 15．【答案】2n n ⋅【解析】∵1n n n a S S -=-，故()122n n n n S S S -=--，整理得到122n n n S S -=+，也即是11122n n n n S S --=+，故2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列．又12a =，∴()11122n n S a n n =+-⨯=即·2n n S n =． 16．【答案】101223-【解析】由()()()1112n nn n a a n +⎡⎤=+-+-∈⎣⎦*N ，当n 为奇数时，有()12nn a +=-；当n 为偶数时，有122n n n a a +=+， ∴数列{}n a 的所有偶数项构成以2-为首项，以4为公比的等比数列，()()10013599246100S a a a a a a a a =+++⋯+++++⋯+()()()246982469824610022222a a a a a a a a =+++⋯+++++⋯+++++⋯+()()24698246100100322222a a a a a =+++⋯+-++++⋯+()()()5049101992144142232214143----=⨯-⨯-+=--．故答案是101223-．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）12n n a -=；（2）21122n n T n n -++-=．【解析】（1）由已知1，n a n S 成等差数列得21n n a S =+，① 当1n =时，111211a S a =+=+，∴11a =，当 2n ≥时，1121n n a S --=+，② ①-②得122n n n a a a --=，∴12nn a a -=， ∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，∴1111122n n n n a a q ---==⨯=．（2）由12n n n a b na ⋅=+得12n nb n a =+， ∴1212111242n n nT b b b n a a a =+++=++++++()12111242nn a a a ⎛⎫=+++++++ ⎪⎝⎭()21112212212212n n n n n n --+=+=++--． 18．【答案】（1）21n a n =-，()n ∈*N ；（2）12362n n n T -+=-．【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由3S ，52S ，4S 成等差数列，可知345S S S +=，由521322a a a =+-得：120a d -=，1420a d --= 解得:11a =，2d =，因此21n a n =-，()n ∈*N ．（2）令()11212n n n n a c n b -⎛⎫==- ⎪⎝⎭．则12n n T c c c =++⋯+，∴()21111113521222n n T n -⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，①()23111111352122222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，②①-②，得()2111111122122222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+++--⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()1111212122n nn -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+---⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2332n n +=-∴12362n n n T -+=-． 19．【答案】（1）32n a n =-；（2）31n nS n =+．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，∵1a ，2a ，6a 成等比数列，∴2216a a a =⋅∴()()21115a d a a d +=⋅+， ∵11a =，∴23d d =，∵0d ≠，∴3d =，∴32n a n =-．（2）由（1）知()()1111323133231bn n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，∴1211111111113447323133131n n n S b b b n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 20．【答案】（1）21n a n =-，()n ∈*N ；（2）1132n T ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，．【解析】（1）①1n =时，由11a +，得11a =，②2n ≥时，由已知，得()241n n S a =+，∴()21141n n S a --=+，两式作差，得()()1120n n n n a a a a --+--=，又∵{}n a 是正项数列，∴12n n a a --=，∴数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列．∴21n a n =-，()n ∈*N ．（2）∵()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅-+-+⎝⎭，∴12111111111111123235221212212n n T b b b n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．又因为数列{}n T 是递增数列，当1n =时n T 最小，113T =，∴1132n T ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，．21．【答案】（1）12n n a -=；（2）()1lg2212n n n n T -=+-．【解析】（1）由()21n n S a n =-∈*N ，可得1121S a =-，∴1121a a =-，∴11a =．又2221S a =-，∴12221a a a +=-，∴22a =． ∵数列{}n a 是等比数列，∴公比212a q a ==，∴数列{}n a 的通项公式为12n n a -=．（2）由（1）可知，()lg 1lg2n n b a n ==-，∴数列{}n n b a +的前n 项和()()()1122n n n T b a b a b a =++++++()()()-101lg221lg22n n ⎡⎤=+++++-+⎣⎦()()1lg22lg21lg2122n n -=+++-++++⎡⎤⎣⎦()1lg2212n n n -=+-． 22．【答案】（1）12n n a λ-=⨯；（2）()()()()()14214344211334n n n n n n T n n n +⎧-+⎪+⎪=⎨--+⎪+⎪⎩，是偶，是奇．【解析】（1）由题意可知112S a λ=-，即1a λ=；当2n ≥时，()()1112222n n n n n n n a S S a a a a λλ---=-=---=-，即12n n a a -=； ∴数列{}n a 是首项为λ，公比为2的等比数列，∴12n n a λ-=⨯．（2）由（1）可知当4λ=时12n n a +=，从而121n n n b n n +⎧⎪=⎨+⎪⎩，是奇，是偶， n 为偶数时，()2414312142n n n n T ⎛⎫- ⎪++⎝⎭=+-； n 为奇数时，()()1211141431122142n n n n n n T T b n +++⎛⎫+- ⎪+++⎝⎭=-=+-+- ()()()142115234n n n n +-++=+-- ()()()14211334n n n +--+=+，综上，()()()()()14214344211334n n n n n n T n n n +⎧-+⎪+⎪=⎨--+⎪+⎪⎩，是偶，是奇．。

新教材适用高中数学第四章数列测评新人教A版选择性必修第二册

第四章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若x+1与y-1的等差中项为5,则x+y等于()A.5B.10C.20D.不确定解析:∵x+1与y-1的等差中项为5,∴x+1+y-1=2×5,则x+y=10.答案:B2.若数列{a n}的前n项和S n=2n2-3n(n∈N*),则a4等于()A.11B.15C.17D.20解析:a4=S4-S3=20-9=11.答案:A3.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a2+a8=15-a5,则S9等于()A.18B.36C.45D.60解析:∵a2+a8=15-a5,∴a5=5,∴S9=×2a5=45.答案:C4.在等差数列{a n}中,S n为它的前n项和,若a1>0,S20>0,S21<0,则当n=()时,S n最大.A.8B.9C.10D.11解析:等差数列{a n}中,前n项和为S n,且S20>0,S21<0,即a10+a11>0,并且a11<0,故a10>0,数列{a n}的前10项和最大.答案:C5.用数学归纳法证明+…+(n≥2,n∈N*)的过程中,设f(k)=+…+(k≥2,k∈N*),从n=k到n=k+1推理时,不等式的左边为()A.f(k)+B.f(k)+C.f(k)++…+D.f(k)+解析:当n=k(k≥2,k∈N*)时,左边=+…+,当n=k+1时,左边=+…++…+,故由n=k到n=k+1时不等式左边的改变是增加了+…+.答案:C6.已知数列{a n}是正项等比数列,且=1,则a5的值不行能是()A.3B.4C.5D.6解析:依据题意,数列{a n}是正项等比数列,设其公比为q,则q>0,则,当且仅当q=1时,等号成立,又由=1,则有1≥,变形可得a5≥4,分析选项可知A不符合.故选A.答案:A7.已知等差数列{a n}的首项为1,公差d≠0,若a2,a3,a6成等比数列,则数列{a n}的前10项和为()A.-80B.80C.-24D.24解析:∵等差数列{a n}的首项为1,公差不为0,a2,a3,a6成等比数列,∴=a2a6,∴(1+2d)2=(1+d)(1+5d),解得d=-2,∴数列{a n}的前10项的和S10=10×1+×(-2)=-80.故选A.答案:A8.已知正项等比数列{a n}满意a685=a684+2a683,若存在两项a m,a n,使得=2a1,则的最小值为()A.9B.C. D.解析:依题意,正项等比数列{a n}满意a685=a684+2a683,所以a1q684=a1q683+2a1q682,即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1.因为数列{a n}是正项等比数列,所以q=2,所以a n=a1·2n-1.因为=2a1,所以m+n=4,即=1,所以+2,当且仅当n=2m=时等号成立,故等号不成立.当m=1,n=3时,,当m=n=2时,,当m=3,n=1时,,故选B.答案:B二、选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.已知数列{a n}的前n项、前2n项、前3n项的和分别为a,b,c,则下列说法正确的是()A.若{a n}是等差数列,则3b-3a=cB.若{a n}是等差数列,则a,b-a,c-b也为等差数列C.若{a n}是等比数列,且公比q≠-1,则a2+b2=ab+bcD.若{a n}是等比数列,且公比q≠-1,则a,b-a,c-b也为等比数列解析:依据题意,数列{a n}的前n项、前2n项、前3n项的和分别为a,b,c,由等差数列的前n项和的性质,可得a,b-a,c-b也成等差数列,则有2(b-a)=a+c-b,即3b-3a=c,故A,B正确;当公比q≠-1时,由等比数列的前n项和的性质,可得a,b-a,c-b也成等比数列,则(b-a)2=a(c-b),即a2+b2=ab+ac,故C错误,D正确.故选ABD.答案:ABD10.在数列{a n}中,若=k(k为常数),则称{a n}为“等差比数列”,下列对“等差比数列”的推断正确的为()A.k不行能为0B.等差数列肯定是“等差比数列”C.等比数列肯定是“等差比数列”D.“等差比数列”中可以有多数项为0解析:对于A,k不行能为0,正确;对于B,a n=1时,{a n}为等差数列,但不是“等差比数列”,错误;对于C,a n=2时,{a n}为等比数列,但不是“等差比数列”,错误;对于D,数列0,1,0,1,0,1,…,0,1是“等差比数列”,且有多数项为0,正确.故选AD.答案:AD11.已知数列{a n}是公差不为0的等差数列,其前n项和为S n,满意a1+5a3=S8,则下列选项正确的有()A.a10=0B.S10最小C.S7=S12D.S20=0解析:依据题意,数列{a n}是等差数列,设公差为d.若a1+5a3=S8,即a1+5a1+10d=8a1+28d,变形可得a1=-9d.由a n=a1+(n-1)d=(n-10)d,则有a10=0,故A肯定正确,不能确定a1和d的符号,不能确定S10最小,故B 不正确;由S n=na1+=-9nd+(n2-19n),则有S7=S12,故C肯定正确,则S20=20a1+d=-180d+190d=10d,S20≠0,则D不正确,故选AC.答案:AC12.已知S n是等差数列{a n}(n∈N*)的前n项和,且S8>S9>S7,有下列说法,其中正确的是()A.公差d<0B.在全部S n<0中,S17最大C.a8>a9D.满意S n>0的n的个数为15解析:∵S8>S9,且S9=S8+a9,∴S8>S8+a9,即a9<0.又S8>S7,S8=S7+a8,∴S7+a8>S7,即a8>0,∴d=a9-a8<0,故选项A,C正确.∵S9>S7,S9=S7+a8+a9,∴S7+a8+a9>S7,即a8+a9>0.∵a1+a15=2a8,∴S15==15a8>0.又a1+a16=a8+a9,∴S16==8(a8+a9)>0.又a1+a17=2a9,∴S17==17a9<0.故选项B正确,选项D错误.答案:ABC三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)13.已知中位数为1 012的一组数构成等差数列,其末项为2 020,则该数列的首项为. 解析:由题意知,1012为数列首项a1与2024的等差中项,故=1012,解得a1=4.答案:414.已知等比数列{a n}的各项均为正数,其前n项和为S n,若a2a4=1,S3=7,则S5=.解析:设等比数列{a n}的公比为q(q>0),∵a2a4=1,S3=7,∴q4=1,即a1q2=1,a1(1+q+q2)=7,解得a1=4,q=.则S5=.答案:15.如图所示,由若干个点组成形如三角形的图形,每条边(包括两个端点)有n(n>1,n∈N)个点,每个图形总的点数记为a n,则a6=;+…+=.(本题第一空2分,其次空3分)解析:每条边有n(n>1,n∈N)个点,把每条边的点数相加得3n,这样角上的点数被重复计算了一次,故a n=3n-3,a6=15;+…++…+=3×=3×.答案:1516.在数列{a n}中,已知a1=1,a2=5,且a n+2=a n+1-a n(n∈N*),则a2 022=.解析:(方法一)令n=1,则a3=a2-a1=5-1=4;令n=2,则a4=a3-a2=4-5=-1;令n=3,则a5=a4-a3=-1-4=-5;令n=4,则a6=a5-a4=-5-(-1)=-4;令n=5,则a7=a6-a5=-4-(-5)=1;令n=6,则a8=a7-a6=1-(-4)=5.故数列{a n}是周期为6的周期数列,a2024=a337×6=a6=-4.(方法二)∵a n+2=a n+1-a n(n∈N*),①∴a n+3=a n+2-a n+1.②①+②,得a n+3+a n+2=a n+1-a n+a n+2-a n+1,∴a n+3=-a n,∴a n+6=-a n+3=a n,数列{a n}的周期为6,∴a2024=a337×6=a6.又a1=1,a2=5,a n+2=a n+1-a n,∴a3=4,a4=-1,a5=-5,a6=-4.∴a2024=-4.答案:-4四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)在等差数列{a n}中,已知a1+a3=8,且a4为a2和a9的等比中项,求数列{a n}的首项、公差及前n项和.解:设该数列的公差为d,前n项和为S n.由已知,可得2a1+2d=8,(a1+3d)2=(a1+d)(a1+8d),所以a1+d=4,d(d-3a1)=0,解得a1=4,d=0或a1=1,d=3,即数列{a n}的首项为4,公差为0或首项为1,公差为3.故当a1=4,d=0时,数列{a n}的前n项和S n=4n;当a1=1,d=3时,数列{a n}的前n项和S n=.18.(12分)已知等差数列{a n}满意a1=1,a5=a2+6.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若{a n}的前n项和为S n,求数列与数列{a n}的前100项中的全部相同项的和.解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,∵a1=1,a5=a2+6,∴a1+4d=a1+d+6,解得d=2.∴a n=1+2(n-1)=2n-1.(2)∵S n=1+3+5+…+(2n-1)==n2,∴=n.∴数列与数列{a n}的前100项中的全部相同的项为1,3,5,7, (99)故所要求的和T=1+3+…+99==2500.19.(12分)已知{a n}是各项均为正数的等比数列,a1=16,2a3+3a2=32.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=3log2a n,求数列{b n}的前n项和S n,并求S n的最大值.解:(1)设{a n}的公比为q,因为a1=16,2a3+3a2=32,所以2q2+3q-2=0.解得q=-2(舍去)或q=.因此{a n}的通项公式为a n=16×=25-n.(2)由(1)得b n=3(5-n)log22=15-3n.当n≥2时,b n-b n-1=-3,故{b n}是首项b1=12,公差为-3的单调递减的等差数列.则S n=12n+n(n-1)(-3)=-(n2-9n).因为b5=0,所以数列{b n}的前4项为正数,所以当n=4或5时,S n取得最大值,且最大值为S4=S5=30.20.(12分)已知等比数列{a n}满意a n+1=λS n+1,其中λ≠-1,S n为数列{a n}的前n项和,n∈N*.(1)求a1;(2)设λ=4,∀n∈N*,+…+<m恒成立,求m的最小值.解:(1)由a n+1=λS n+1知a n=λS n-1+1(n≥2),两式相减,得a n+1=(λ+1)a n,于是公比q=λ+1,故a2=λa1+1=(λ+1)a1,解得a1=1.(2)由(1)可得q=5,a n+1=5a n,所以a n=5n-1.所以,所以+…+=1++…+.因为∀n∈N*,+…+<m恒成立,所以m的最小值为.21.(12分)已知函数f(x)满意f(x+y)=f(x)·f(y),且f(1)=.(1)当n∈N*时,求f(n)的表达式;(2)设a n=n·f(n),n∈N*,求证:a1+a2+a3+…+a n<2.(1)解:已知函数f(x)满意f(x+y)=f(x)·f(y),且f(1)=,令x=n,y=1,得f(n+1)=f(n)·f(1)=f(n), ∴数列{f(n)}是以f(1)=为首项,为公比的等比数列,∴f(n)=.(2)证明:设T n=a1+a2+…+a n.∵a n=n·f(n)=n·(n∈N*),∴T n=+2×+3×+…+n·,①T n=+2×+3×+…+n·,②①②两式相减,得T n=+…+-n·-n·=1--n·=1-,∴T n=2-<2.22.(12分)已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n-2a n+2=0,函数f(x)对随意的x∈R都有f(x)+f(1-x)=1,数列{b n}满意b n=f(0)+f+f+…+f+f(1).(1)求数列{a n},{b n}的通项公式.(2)若数列{c n}满意c n=a n·b n,T n是数列{c n}的前n项和,是否存在正实数k,对于随意n∈N*,不等式k(n2-9n+26)T n>4nc n恒成立?若存在,恳求出k的取值范围;若不存在,请说明理由.解:(1)∵S n-2a n+2=0,即S n=2a n-2,当n=1时,a1=S1=2a1-2,∴a1=2.当n≥2时,S n-1=2a n-1-2,∴a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1,即a n=2a n-1,∴{a n}是等比数列,首项为a1=2,公比为2,∴a n=2n.∵f(x)+f(1-x)=1,b n=f(0)+f+f+…+f+f(1),b n=f(1)+f+f+…+f+f(0),∴2b n=n+1,∴b n=.(2)∵c n=a n·b n=(n+1)·2n-1,∴T n=2·20+3·21+4·22+…+(n+1)·2n-1,①2T n=2·21+3·22+4·23+…+n·2n-1+(n+1)·2n,②①-②,得-T n=2+21+22+…+2n-1-(n+1)·2n=1+-(n+1)·2n,即T n=n·2n.∵(n2-9n+26)T n>0恒成立,∴要使得不等式k(n2-9n+26)T n>4nc n恒成立,则k>对于一切的n∈N*恒成立,即k>对于一切的n∈N*恒成立,令g(n)=(n∈N*),则g(n)===2,当且仅当n=5时,等号成立,故g(n)max=2.故k的取值范围为(2,+∞).11。

人教版高中数学选择性必修第二册第四章-数列-章末测试卷A(含答案)

第四章数列章末测试卷(A)【原卷版】[时间：120分钟满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等差数列{a n}：－2，0，2，…的第15项为()A．112B．122C．132D．1422．公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝()A．1B．2C．4D．83．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝2，S4＝10，则S6＝()A．12B．18C．24D．424．若等差数列{a n}满足a n>0，且a3＋a4＋a5＋a6＝8，则a2a7的最大值为()A．4B．6C．8D．105．《九章算术》是我国古代的一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节、第3节、第8节竹子的容积之和为()A.176升 B.72升C.11366升 D.109 33升6．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2n＝4(a1＋a3＋…＋a2n－1)，a1·a2·a3＝27，则a6＝()A．27B．81C．243D．7297．数列{a n}中，a1＝1，对所有n≥2，都有a1a2a3…a n＝n2，则a3＋a5＝()A.61 16B.25 9C.25 16D.31 158．小李年初向银行贷款M 万元用于购房，购房贷款的年利率为p ，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，则每年应还()A.M10万元 B.Mp （1＋p ）10（1＋p ）10－1万元C.p （1＋p ）1010万元D.Mp （1＋p ）9（1＋p ）9－1万元二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列命题不正确的是()A ．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋2n －1，则数列{a n }是等差数列B ．若等差数列{a n }的公差d >0，则{a n }是递增数列C ．常数列{a n }既是等差数列，又是等比数列D ．若等比数列{a n }是递增数列，则{a n }的公比q <110．将等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 1>0，S 10＝S 20，则()A ．d <0B ．a 16<0C ．S n ≤S 15D ．当且仅当n ≥32时，S n <011．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝2a n －1，则下列结论正确的是()A ．S 2＝2B ．数列{a n }为等比数列C ．a n ＝2nD ．若b n ＝1log 2a n ＋1log 2a n ＋2，则数列{b n }的前10项和为101112．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则()A ．a n ＝－12n －1B ．a n n ＝1，－1n，n ≥2，n ∈N *C D.1S 1＋1S 2＋…＋1S 100＝－5050三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知数列{a n }为等比数列，若a 1＋a 3＝5，a 2＋a 4＝10，则公比q ＝________．14．(2019·江苏)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________．15．已知数列{a n }，若点(n ，a n )(n ∈N *)在直线y －3＝k (x －6)上，则数列{a n }的前11项和S 11＝________．16．已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则an n的最小值为________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)在等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .18．(12分)在新城大道一侧A 处，运来20棵新树苗．一名工人从A 处起沿大道一侧路边每隔10m 栽一棵树苗，这名工人每次只能运一棵．要栽完这20棵树苗，并返回A 处，植树工人共走了多少路程？19．(12分)已知{a n }是公比为q 的无穷等比数列，其前n 项和为S n ，满足a 3＝12，________．是否存在正整数k ，使得S k >2020？若存在，求k 的最小值；若不存在，说明理由．从①q ＝2；②q ＝12；③q ＝－2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．20．(12分)设正项等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0.(1)求{a n }的通项公式；(2)求{nS n }的前n 项和T n .21．(12分)已知数列{a n }的首项a 1＝53，且3a n ＋1＝a n ＋2，n ∈N *.(1)求证：数列{a n －1}为等比数列；(2)若a 1＋a 2＋…＋a n <100，求最大的正整数n .22．(12分)由整数构成的等差数列{a n }满足a 3＝5，a 1a 2＝2a 4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，将数列{a n }，{b n }的所有项按照“当n 为奇数时，b n 放在前面；当n 为偶数时，a n 放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列{c n }：b 1，a 1，a 2，b 2，b 3，a 3，a 4，b 4，…，求数列{c n }的前4n ＋3项和T 4n ＋3.第四章数列章末测试卷(A)【解析版】[时间：120分钟满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等差数列{a n}：－2，0，2，…的第15项为()A．112B．122C．132D．142答案C解析∵a1＝－2，d＝2，∴a n＝－2＋(n－1)×2＝2n－22.∴a15＝152－22＝132.2．公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝()A．1B．2C．4D．8答案A解析因为a3a11＝a72＝16，又数列{a n}的各项都是正数，所以解得a7＝4，由a7＝a5·22＝4a5，得a5＝1.故选A.3．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝2，S4＝10，则S6＝()A．12B．18C．24D．42答案C解析方法一：设数列{a n}的公差为d a1＋d＝2，a1＋6d＝10，解得a1＝14，d＝32.则S6＝6a1＋15d＝24.方法二：S2，S4－S2，S6－S4也成等差数列，则2(S4－S2)＝S6－S4＋S2，所以S6＝3S4－3S2＝24.故选C.4．若等差数列{a n}满足a n>0，且a3＋a4＋a5＋a6＝8，则a2a7的最大值为()A．4B．6C．8D．10答案A解析已知等差数列{a n}满足a n>0，且a3＋a4＋a5＋a6＝2(a2＋a7)＝8，所以a2＋a7＝4.又因为a2＋a7≥2a2a7，所以a2a7≤4，当且仅当a2＝a7＝2时，等号成立．故选A.5．《九章算术》是我国古代的一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节、第3节、第8节竹子的容积之和为()A.176升 B.72升C.11366升 D.10933升答案A解析设自上而下各节竹子的容积依次为a 1，a 2，…，a 91＋a 2＋a 3＋a 4＝3，7＋a 8＋a 9＝4，因为a 2＋a 3＝a 1＋a 4，a 7＋a 9＝2a 8，所以a 2＋a 3＋a 8＝32＋43＝176.故选A.6．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2n ＝4(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)，a 1·a 2·a 3＝27，则a 6＝()A ．27B ．81C ．243D ．729答案C解析∵数列{a n }为等比数列，∴a 1a 2a 3＝a 23＝27，∴a 2＝3.又∵S 2＝4a 1，∴a 1＋a 2＝4a 1，∴3a 1＝a 2，∴a 1＝1，即公比q ＝3，首项a 1＝1，∴a 6＝a 1·q 6－1＝1×35＝35＝243.故选C.7．数列{a n }中，a 1＝1，对所有n ≥2，都有a 1a 2a 3…a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝()A.6116B.259C.2516D.3115答案A解析a 1a 2a 3…a n ＝n 2，则a 1a 2a 3…a n －1＝(n －1)2，n ≥3，∴a n ＝n 2（n －1）2，n ≥3，∴a 3＝94，a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝6116.故选A.8．小李年初向银行贷款M 万元用于购房，购房贷款的年利率为p ，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，则每年应还()A.M10万元 B.Mp （1＋p ）10（1＋p ）10－1万元C.p （1＋p ）1010万元D.Mp （1＋p ）9（1＋p ）9－1万元答案B二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列命题不正确的是()A ．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋2n －1，则数列{a n }是等差数列B ．若等差数列{a n }的公差d >0，则{a n }是递增数列C ．常数列{a n }既是等差数列，又是等比数列D ．若等比数列{a n }是递增数列，则{a n }的公比q <1答案ACD解析对于A ，等差数列{a n }的前n 项和S n ＝An 2＋Bn ，故错误；对于B ，若d >0，则a n ＋1>a n ，故正确；对于C ，当a n ＝0时，该常数列不是等比数列，故错误；对于D ，若等比数列{a n }是递增数列，则当a 1>0时，q >1，故错误．故选ACD.10．将等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 1>0，S 10＝S 20，则()A ．d <0B ．a 16<0C ．S n ≤S 15D ．当且仅当n ≥32时，S n <0答案ABC解析由题意得，S 10＝S 20，则a 11＋a 12＋…＋a 20＝0，即a 15＋a 16＝0，也即2a 1＋29d ＝0(d为公差)，因为a 1>0，所以d <0，所以a 16<0，S n ≤S 15.所以A 、B 、C 正确．由于S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，S 2n －1＝(2n －1)a n ，故S 30＝15(a 15＋a 16)＝0，S 31＝31a 16<0，所以D 不正确．11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝2a n －1，则下列结论正确的是()A ．S 2＝2B ．数列{a n }为等比数列C ．a n ＝2nD ．若b n ＝1log 2a n ＋1log 2a n ＋2，则数列{b n }的前10项和为1011答案BD解析因为S n ＝2a n －1，①所以当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－1，得a 1＝1；当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1，②①②两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，所以a na n －1＝2(n ≥2)，所以数列{a n }是以a 1＝1为首项，q ＝2为公比的等比数列．所以a n ＝a 1q n －1＝1×2n －1＝2n －1，a 2＝2，所以S 2＝3，所以A 、C 错误，B 正确；因为b n ＝1log 2a n ＋1log 2a n ＋2＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，设T n 为{b n }的前n 项和，则T 10…＝1011，故D 正确．故选BD.12．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则()A ．a n ＝－12n－1B ．a n n ＝1，－1n，n ≥2，n ∈N *C D.1S 1＋1S 2＋…＋1S 100＝－5050答案BCD解析由S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，得S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，又a 1＝－1，∴S 1＝a 1＝－1，从而S 2－S 1＝S 1S 2，即S 2＋1＝－S 2，得S 2＝－12，∴S 1S 2≠0，从而S n S n ＋1≠0，∴S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1，整理得1S n ＋1－1S n ＝－1(常数)，所以数是以1S 1＝－1为首项，－1为公差的等差数列，故C 正确；所以1S n ＝－1－(n －1)＝－n ，所以1S 1＋1S 2＋…＋1S 100＝－(1＋2＋3＋…＋100)＝－5050，故D正确；由1S n ＝－n 得S n ＝－1n .所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝1n －1－1n(首项不符合此式)，故a n n ＝1，－1n，n ≥2，n ∈N *，故B 正确，A 错误．故选BCD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知数列{a n }为等比数列，若a 1＋a 3＝5，a 2＋a 4＝10，则公比q ＝________．答案2解析因为数列{a n }为等比数列，且a 1＋a 3＝5，a 2＋a 4＝10，所以由等比数列的通项公式可得a 2＋a 4＝(a 1＋a 3)q ，即10＝5q ，∴q ＝2.14．(2019·江苏)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________．答案16解析方法一：设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2a 5＋a 8＝(a 1＋d )(a 1＋4d )＋a 1＋7d ＝a 12＋4d 2＋5a 1d ＋a 1＋7d ＝0，S 9＝9a 1＋36d ＝27，将以上两式联立，解得a 1＝－5，d ＝2，则S 8＝8a 1＋28d ＝－40＋56＝16.方法二：设等差数列{a n }的公差为d .由S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5＝27，得a 5＝3，又a 2a 5＋a 8＝0，则3(3－3d )＋3＋3d ＝0，得d ＝2，a 4＝1，则S 8＝8（a 1＋a 8）2＝4(a 4＋a 5)＝4×(1＋3)＝16.15．已知数列{a n }，若点(n ，a n )(n ∈N *)在直线y －3＝k (x －6)上，则数列{a n }的前11项和S 11＝________．答案33解析∵点(n ，a n )在直线y －3＝k (x －6)上，∴a n ＝3＋k (n －6)．∴a n ＋a 12－n ＝[3＋k (n －6)]＋[3＋k (6－n )]＝6，n ＝1，2，3，…，6，∴S 11＝a 1＋a 2＋…＋a 11＝5(a 1＋a 11)＋a 6＝5×6＋3＝33.16．已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a nn 的最小值为________．答案212解析在a n ＋1－a n ＝2n 中，令n ＝1，得a 2－a 1＝2；令n ＝2，得a 3－a 2＝4，…，a n －a n －1＝2(n －1)．把上面n －1个式子相加，得a n －a 1＝2＋4＋6＋…＋2(n －1)＝（2＋2n －2）（n －1）2＝n 2－n ，∴a n ＝n 2－n ＋33.∴a n n ＝n 2－n ＋33n ＝n ＋33n －1≥233－1，当且仅当n ＝33n ，即n ＝33时取等号，而n ∈N *，∴“＝”取不到．∵5＜33＜6，∴当n ＝5时，a n n ＝5－1＋335＝535，当n＝6时，a n n ＝6－1＋336＝636＝212，∵535＞212，∴a n n 的最小值是212.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)在等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .解析(1)设数列{a n }的公比为q ，由已知得16＝2q 3，解得q ＝2，所以a n ＝2×2n －1＝2n ，n ∈N *.(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32.设数列{b n }的公差为d ，1＋2d ＝8，1＋4d ＝32，1＝－16，＝12，所以b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28，n ∈N *.所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n （－16＋12n －28）2＝6n 2－22n ，n ∈N *.18．(12分)在新城大道一侧A 处，运来20棵新树苗．一名工人从A 处起沿大道一侧路边每隔10m 栽一棵树苗，这名工人每次只能运一棵．要栽完这20棵树苗，并返回A 处，植树工人共走了多少路程？解析植树工人每种一棵树并返回A 处所要走的路程(单位：m)组成了一个数列0，20，40，60， (380)这是首项a 1＝0，公差d ＝20，项数n ＝20的等差数列，其和S 20＝20a 1＋20×（20－1）2d ＝0＋20×（20－1）2×20＝3800(m)．因此，植树工人共走了3800m 的路程．19．(12分)已知{a n }是公比为q 的无穷等比数列，其前n 项和为S n ，满足a 3＝12，________．是否存在正整数k ，使得S k >2020？若存在，求k 的最小值；若不存在，说明理由．从①q ＝2；②q ＝12；③q ＝－2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答评分．解析若选①，因为a 3＝12，q ＝2，所以a 1＝3.所以S n ＝3（1－2n ）1－2＝3(2n －1)．S k >2020，即3(2k －1)>2020，即2k >20233.当k ＝9时，29＝512＜20233，当k ＝10时，210＝1024＞20233，所以存在正整数k ，使得S k >2020，k 的最小值为10.若选②，因为a 3＝12，q ＝12，所以a 1＝48.所以S n1－12因为S n <96<2020，所以不存在满足条件的正整数k .若选③，因为a 3＝12，q ＝－2，所以a 1＝3.所以S n ＝3×[1－（－2）n ]1－（－2）＝1－(－2)n .S k >2020，即1－(－2)k >2020，整理得(－2)k <－2019.当k 为偶数时，原不等式无解；当k 为奇数时，原不等式等价于2k >2019，当k ＝9时，29＝512＜2019，当k ＝11时，211＝2048＞2019，所以存在正整数k ，使得S k >2020，k 的最小值为11.20．(12分)设正项等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0.(1)求{a n }的通项公式；(2)求{nS n }的前n 项和T n .解析(1)设数列{a n }的公比为q .由210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0，得210(S 30－S 20)＝S 20－S 10.∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等比数列，∴S 30－S 20S 20－S 10＝q 10.∵a n ＞0，∴q ＝12，∴a n ＝a 1q n －1＝12n (n ∈N *)．(2)∵{a n }是首项a 1＝12，公比q ＝12的等比数列，∴S n ＝12×1－12＝1－12n ，nS n ＝n －n 2n .则数列{nS n }的前n 项和为T n ＝(1＋2＋…＋n )＋222＋…①则T n 2＝12(1＋2＋…＋n )＋223＋…＋n －12n ＋①－②，得T n 2＝12(1＋2＋…＋n )＋122＋…＋n 2n ＋1＝n （n ＋1）4－21－12＋n 2n ＋1，即T n ＝n （n ＋1）2＋12n －1＋n 2n －2.21．(12分)已知数列{a n }的首项a 1＝53，且3a n ＋1＝a n ＋2，n ∈N *.(1)求证：数列{a n －1}为等比数列；(2)若a 1＋a 2＋…＋a n <100，求最大的正整数n .解析(1)证明：∵3a n ＋1＝a n ＋2，∴a n ＋1－1＝13(a n －1)，又a 1－1＝23，∴数列{a n －1}是以23为首项，13为公比的等比数列．(2)由(1)可得a n －1＝23×－1，∴a n ＝2＋1.则a 1＋a 2＋…＋a n ＝n ＋＋132＋…n ＋2×13－13n ＋11－13＝n ＋1－13n ，若n ＋1－13n <100，n ∈N *，则n max ＝99.22．(12分)由整数构成的等差数列{a n }满足a 3＝5，a 1a 2＝2a 4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，将数列{a n }，{b n }的所有项按照“当n 为奇数时，b n 放在前面；当n 为偶数时，a n 放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列{c n }：b 1，a 1，a 2，b 2，b 3，a 3，a 4，b 4，…，求数列{c n }的前4n ＋3项和T 4n ＋3.解析(1)由题意，设数列{a n }的公差为d ，由a 3＝5，a 1a 2＝2a 4，1＋2d ＝5，1·（a 1＋d ）＝2（a 1＋3d ），整理得(5－2d )(5－d )＝2(5＋d )，即2d 2－17d ＋15＝0，解得d ＝152或d ＝1，因为{a n }为整数数列，所以d ＝1，又a 1＋2d ＝5，所以a 1＝3，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋2.(2)由(1)知，数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋2，又数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，根据题意，新数列{c n }：b 1，a 1，a 2，b 2，b 3，a 3，a 4，b 4，…，则T 4n ＋3＝b 1＋a 1＋a 2＋b 2＋b 3＋a 3＋a 4＋b 4＋…＋b 2n －1＋a 2n －1＋a 2n ＋b 2n ＋b 2n ＋1＋a 2n ＋1＋a 2n ＋2＝(b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n ＋1)＋(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 2n ＋2)＝2×（1－22n ＋1）1－2＋（a 1＋a 2n ＋2）（2n ＋2）2＝4n ＋1＋2n 2＋9n ＋5.。

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2020-2021年高二数学选择性必修二尖子生同步培优题典第四章数列单元检测A 解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注：本检测满分150分。

其中8道单选题，4道多选题，4道填空题，6道解答题。

一、单选题1，2，，4，…，则是这个数列的（）A．第8项B．第9项C．第10项D．第11项【答案】B【解析】【分析】将数列中的每一项都写成n，即可判断.【详解】，2，3，4，... ，由此可归纳该数列的通项公式为nna=，又9=，则其为该数列的第9项.故选：B.【点睛】本题考查了由数列的前几项归纳出其通项公式，属于基础题.2．记等差数列{}n a的前n项和为n S，若52a=，25468a a a a-=，则20S=（）A．180B．180-C．162D．162-【答案】B【解析】【分析】先利用等差数列的通项公式，求出等差数列的首项和公差，再根据前n项和公式即可求出20S. 【详解】52a =，24628a a a-=，11114226840a da d a d a d+=⎧∴⎨+--=+⎩,解得11114226840a d a d a d a d +=⎧⎨+--=+⎩，2d ∴=-，110a =，201019228a ，()12020201802a a S +⋅∴==-.故选：B. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质和前n 项和公式，考查学生的运算求解能力，属于基础题. 3．在数列{}n a 中，112a =，111n n a a -=-（2n ≥，n ∈+N ），则2020a =（）A ．12B ．1C ．1-D ．2【答案】A 【解析】【分析】通过递推式求出数列前几项可得数列为周期数列，利用数列的周期性可得答案. 【详解】2111121a a =-=-=-，3211112a a =-=+=，431111122a a =-=-=，可得数列{}n a 是以3为周期的周期数列，202036731112a a a ⨯+∴===. 故选：A. 【点睛】本题考查数列的周期性，关键是通过递推式求出前几项观察出周期，是基础题.4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0n a >，1q >，352620,64a a a a +==，则5S =（） A ．B ．C ．42D ．【答案】D 【解析】【分析】根据2664a a =，利用等比数列的性质得到3564a a =,结合3520a a +=，利用根与系数的关系构造二次方程求解得到35,a a 的值，进而得到等比数列的首项和公比，然后利用求和公式计算即得所求. 【详解】由于在等比数列{}n a 中，由2664a a =可得：352664a a a a ==，又因为3520a a +=，所以有：35,a a 是方程220640x x -+=的二实根，又0,1n a q >>，所以35a a <，故解得：354,16a a ==，从而公比3122,1,a q a q ==== 那么55213121S -==-，故选：D ．【点睛】本题考查等比数列的通项公式，等比数列的性质，等比数列的求和，属中档题. 5．两等差数列{}n a 和{}n b ，前n 项和分别为n S ，n T ，且723n n S n T n +=+，则220715a ab b ++的值为（） A ．14924B ．7914C ．165 D ．5110【答案】A 【解析】【分析】在{}n a 为等差数列中，当(m n p q m +=+，n ，p ，)q N +∈时，m n p q a a a a +=+．所以结合此性质可得：2202171521a a Sb b T +=+，再根据题意得到答案．【详解】解：在{}n a 为等差数列中，当(m n p q m +=+，n ，p ，)q N +∈时，m n p q a a a a +=+．所以1212202171521121121()2121()2a a a a Sb b T b b ⨯+⨯+==+⨯+⨯，又因为723n n S n T n +=+，所以22071514924a ab b +=+．故选：A ．【点睛】本题主要考查等差数列的下标和性质，属于中档题． 6．等比数列{}n a 中（） A ．若12a a <，则45a a < B ．若12a a <，则34a a < C ．若32S S >，则12a a < D ．若32S S >，则12a a >【答案】B 【解析】【分析】根据等比数列的通项公式及求和公式，等比数列的公比分析即可求出答案. 【详解】等比数列{}n a 中，20q >，∴当12a a <时，可得2212a q a q <，及34a a <，故B 正确；但341a a q =和352a a q =不能判断大小（3q 正负不确定），故A 错误；当32S S >时，则12312+++a a a a a >，可得30a >，即210a q >，可得10a >，由于q 不确定，不能确定12,a a 的大小，故CD 错误. 故选：B. 【点睛】本题考查等比数列通项公式和求和公式的应用，属于基础题.7．函数()2cos 2f x x x =--{}n a ，则3a =（） A ．1312πB ．54π C ．1712πD ．76π 【答案】B 【解析】【分析】先将函数化简为()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭再解函数零点得4x k ππ=+或512x k ππ=+，k Z ∈，再求3a 即可.【详解】解：∵()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭∴ 令()0f x =得：2263x k πππ-=+或22263x k πππ-=+，k Z ∈， ∴4x k ππ=+或512x k ππ=+，k Z ∈，∴ 正数零点从小到大构成数列为：12355,,,4124a a a πππ===故选：B. 【点睛】本题考查三角函数的性质，数列的概念，考查数学运算求解能力，是中档题. 8．已知函数()cos lnxf x x x ππ=+-，若22018201920192019f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1009ln 0,0)a b a b π+>>（，则11a b+的最小值为（）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】A 【解析】【分析】根据()()2ln f x fx ππ+-=，采用倒序相加的方法可得2018ln S π=，从而得到2a b +=，根据基本不等式求得最小值. 【详解】由题可知：()()()()2cos lncos ln ln 2ln x xf x f x x x x xππππππππ-+-=++-+==- 令22018201920192019S f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又20182017201920192019S f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭于是有22ln 2ln 2ln 22018ln S ππππ=++⋅⋅⋅+=⨯ 2018ln S π⇒= 因此2a b += 所以()()11111112222222a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当1a b ==时取等号本题正确选项：A 【点睛】本题考查倒序相加法求和、利用基本不等式求解和的最小值问题.关键是能够通过函数的规律求得a 与b 的和，从而能够构造出基本不等式的形式.二、多选题9．无穷数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（）A ．{}n a 可能为等差数列B ．{}n a 可能为等比数列C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列【答案】AC 【解析】【分析】由2n S an bn c =++可求得n a 的表达式，利用定义判定得出答案．【详解】当1n =时，11a S a b c ==++．当2n ≥时，()()221112n n n a S S an bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+．当1n =时，上式＝+a b ．所以若{}n a 是等差数列，则0.a b a b c c +=++∴= 所以当0c 时，{}n a 是等差数列，不可能是等比数列；当0c ≠时，{}n a 从第二项开始是等差数列．故选：AC 【点睛】本题只要考查等差数列前n 项和n S 与通项公式n a 的关系，利用n S 求通项公式，属于基础题．10．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，()*12n n a S n N +=∈，则有（） A ．13n n S -=B ．{}n S 为等比数列C ．123n n a -=⋅D ．21,1,23,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩【分析】根据,n n a S 的关系，求得n a ，结合等比数列的定义，以及已知条件，即可对每个选项进行逐一分析，即可判断选择. 【详解】由题意，数列{}n a 的前n 项和满足()*12n n a S n N +=∈，当2n ≥时，12n n a S -=，两式相减，可得112()2n n n n n a a S S a +-=-=-，可得13n n a a +=，即13,(2)n na a n +=≥，又由11a =，当1n =时，211222a S a ===，所以212a a =，所以数列的通项公式为21,1232n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩；当2n ≥时，11123322n n n n a S --+⋅===，又由1n =时，111S a ==，适合上式，所以数列的{}n a 的前n 项和为13n n S -=；又由11333nn n n S S +-==，所以数列{}n S 为公比为3的等比数列，综上可得选项,,A B D 是正确的. 故选：ABD. 【点睛】本题考查利用,n n a S 关系求数列的通项公式，以及等比数例的证明和判断，属综合基础题. 11．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（） A ．0d > B ．70a =C ．95S S >D ．6S 与7S 均为n S 的最大值【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项即可求解. 【详解】根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项：{}n a 是等差数列，若67S S =，则7670S S a -==，故B 正确；又由56S S <得6560S S a -=>，则有760d a a =-<，故A 错误；而C 选项，95S S >，即67890a a a a +++>，可得()7820a a +>，又由70a =且0d <，则80a <，必有780a a +<，显然C 选项是错误的. ∵56S S <，678S S S =>，∴6S 与7S 均为n S 的最大值，故D 正确；故选：BD. 【点睛】本题考查了等差数列以及前n 项和的性质，需熟记公式，属于基础题.12．将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中m ＞0）.已知a 11＝2，a 13＝a 61+1，记这n 2个数的和为S .下列结论正确的有（）A ．m ＝3B ．767173a =⨯C ．()1313j ij a i -=-⨯D ．()()131314n S n n =+- 【答案】ACD 【解析】【分析】根据第一列成等差，第一行成等比可求出1361,a a ，列式即可求出m ，从而求出通项ij a ，再按照分组求和法，每一行求和可得S ，由此可以判断各选项的真假．【详解】∵a 11＝2，a 13＝a 61+1，∴2m 2＝2+5m +1，解得m ＝3或m 12=-（舍去）， ∴a ij ＝a i 1•3j ﹣1＝[2+（i ﹣1）×m ]•3j ﹣1＝（3i ﹣1）•3j ﹣1，∴a 67＝17×36，∴S ＝(a 11+a 12+a 13+……+a 1n )+(a 21+a 22+a 23+……+a 2n )+……+(a n 1＋a n2＋a n 3＋……＋a nn )11121131313131313nn n n a a a ---=+++---（）（）（） 12=（3n ﹣1）•2312n n +-（） 14=n （3n +1）（3n ﹣1）故选：ACD. 【点睛】本题主要考查等差数列，等比数列的通项公式的求法，分组求和法，等差数列，等比数列前n 项和公式的应用，属于中档题．三、填空题13．已知数列{}n a 的通项公式是246n a n =-，那么n S 达到最小值时n 为________. 【答案】22或23. 【解析】【分析】利用数列的单调性求得满足题意的n 即可. 【详解】246n a n =-，∴数列{}n a 是递增数列.令()1246021460n n a n a n +=-≤⎧⎨=+-≥⎩，解得：2223n ≤≤，∴22n =或23n =，则可知n S 达到最小值时n 为22或23. 故答案为：22或23. 【点睛】本题考查等差数列前n 项和最值的求法，属于基础题.14．我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的底面由扇环形的石板铺成（如图），最高一层是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，则前9圈的石板总数是__________．【答案】405 【解析】【详解】【分析】前9圈的石板数依次组成一个首项为9，公差为9的等差数列，9989994052S ⨯=⨯+⨯= 15．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”.将数列1，4进行“扩展”，第一次得到数列1，4，4；第二次得到数列1，4，4，16，4；……；第n 次得到数列1，1x ，2x ，…，i x ，4，并记()212log 14n i a x x x =⋅⋅⋅⋅⋅，其中21n t =-，*n ∈N .则{}n a 的通项n a =___________. 【答案】31n + 【解析】【分析】先由()212log 14n t a x x x =⋅⋅⋅⋅，结合题意得到132n n a a +=-，再设13()n n a t a t ++=+求出1t =-，得到数列{}1n a -是首项为3，公比为3的等比数列，进而可求出结果.【详解】由题意，根据()212log 14n t a x x x =⋅⋅⋅⋅，可得()1211122log 1(1)((4)4)t t n a x x x x x x x +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3333312214log 324n t x x x a ⎛⎫⋅⋅⋅⋅==-⎪⎝⎭，设13()n n a t a t ++=+，即132n n a a t +=+，可得1t =-，则数列{}1n a -是首项为2121log 413a -=-=，公比为3的等比数列，故13n n a -=，所以31,n n a n N +=+∈.故答案为：31n +.【点睛】本题主要考查数列的应用，熟记等比数列的性质以及通项公式即可，属于常考题型.16．如图，互不相同的点12,,,n A A A 和12,,,,n B B B 分别在角O 的两条边上，所有n n A B 相互平行，且所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等.设n n OA a =.若11a =，22a =，则数列{}n a 的通项公式是________.【答案】32n a n =-【解析】【分析】根据三角形相似和所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等，找到与n a 相关的递推公式，再由递推公式求得通项公式.【详解】由于11//,n n n n A B A B ++ 所以11,n n n n OA B OA B ++梯形11n n n n A B B A ++ 的面积为11n n OA B ++∆的面积減去n n OA B △的面积，2222i i j j OA B i i OA B j jSOA a S OA a == 则可得 222211,n n n n a a a a +--=- 即递推公式为222112,n n n a a a +-=+故2{}n a 为等差数列，且公差d =2221a a -3=，故21(1)332n a n n =+-⨯=-，得32n a n =-故答案为: 32n a n =-【点睛】本题主要考查数列在平面几何中的应用，根据几何关系寻找递推有关系是解决问题的关键，属于中档题.四、解答题17．在①112n n a a +=-，②116n n a a +-=-，③18n n a a n +=+-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的n S 存在最大值，则求出最大值；若问题中的n S 不存在最大值，请说明理由.问题：设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且14a =，__________，求{}n a 的通项公式，并判断n S 是否存在最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】答案见解析【解析】【分析】若选①，求出数列{}n a 是首项为4，公比为12-的等比数列，求出通项公式和前n 项和，通过讨论n 的奇偶性，求出其最大值即可；若选②，求出数列{}n a 是首项为4，公差为16-的等差数列，求出通项公式和前n 项和，求出其最大值即可；若选③，求出217242n n n a -+=，当16n ≥时，0n a >，故n S 不存在最大值. 【详解】解：选① 因为112n n a a +=-，14a =，所以{}n a 是首项为4.公比为12-的等比数列，所1211422n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当n 为奇数时，141281113212n n n S ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==+ ⎪⎝⎭+，因为81132n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭随着n 的增加而减少，所以此时n S 的最大值为14S =. 当n 为偶数时，81132n n S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且81814323n n S ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭ 综上，n S 存在最大值，且最大值为4.选② 因为116n n a a +-=-，14a =.所以{}n a 是首项为4，公差为16-的等差数列，所以11254(1)666n a n n ⎛⎫=+--=-+ ⎪⎝⎭. 由125066n -+≥得25n ≤，所以n S 存在最大值.且最大值为25S （或24S ），因为25252412545026S ⨯⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭，所以n S 的最大值为50. 选③因为18n n a a n +=+-，所以18n n a a n +-=-，所以217a a -=-，326a a -=-，…19n n a a n --=-，则2121321(79)(1)171622n n n n n n n a a a a a a a a --+---+=-+-+=-+-=，又14a =，所以217242n n n a -+=. 当16n ≥时，0n a >，故n S 不存在最大值.【点睛】此题考查数列的通项公式和求和公式，考查等差数列和等比数列的性质，属于基础题 18．数列{}n a 的前n 项和()2=1003n S n n n N *-+∈.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1) ()()102110122n n a nn ⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩ (2) ()()22100350100500351n n n n T n n n ⎧-++≤⎪=⎨-+≥⎪⎩【解析】【分析】(1) 当1n =时，1102a =，利用1n n n a S S -=-得到通项公式，验证1a 得到答案.(2)根据{}n a 的正负将和分为两种情况，50n ≤和51n ≥，分别计算得到答案.【详解】(1)当1n =时，11=10013=102a s =-+，当2n ≥时，()()221=10010011=1012n n n a S S n n n n n -=-------. 综上所述()()102110122n n a n n ⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩. (2)当50n ≤时，n n b a =，所以123n n T a a a a =+++⋅⋅⋅+39997951012n =++++⋅⋅⋅+-()()991012331002n n n n +-=+=+-，当51n ≥时，n n b a =-，123505152n n T a a a a a a a =+++⋅⋅⋅+---⋅⋅⋅-()5012312n n T a a a a a -=-+++⋅⋅⋅++()50063100n n =---21005003n n =-+.综上所述()()22100350100500351n n n n T n n n ⎧-++≤⎪=⎨-+≥⎪⎩. 【点睛】本题考查了利用1n n n a S S -=-求通项公式，数列的绝对值和，忽略1n =时的情况是容易犯的错误.19．已知数列{}n a 满足12a =，1122n n n a a ++=+.（1）证明：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（2）设2n n na b =，证明：122311111n n b b b b b b +++⋅⋅⋅+<. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由1122n n n a a ++=+变形得：11122n n n na a ++=+，可得证明. （2）由（1）知：2n n n ab n ==,∴()1111111n n b b n n n n +==-++,用裂项相消可求和,从而可证明. 【详解】（1）由1122n n n a a ++=+变形得：11122n n n na a ++=+ 又12a =，故112a = ∴数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项1为公差的等差数列. （2）由（1）知：2n n n a b n == ∴()1111111n n b b n n n n +==-++ ∴122311111111112231n n b b b b b b n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111n =-<+ ∴122311111n n b b b b b b +++⋅⋅⋅+< 【点睛】本题考查根据数列的递推公式证明数列为等差数列，考查用裂项相消法求和，属于基础题. 20．设{}n a 是公比大于1的等比数列，12314++=a a a ，且21a +是1a ，3a 的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若21log 2n n n b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）2n n a =；（2）()1122n n T n +=-⋅-.【解析】【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为()1q q >，根据题中条件列出方程组，求出首项和公比，即可得出通项公式；（2）先由（1）得到2nn b n =-⋅，再由错位相减法，即可得出结果.【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为()1q q >.依题意，有()21321a a a +=+，将()13221a a a +=+代入12314++=a a a 得()222114a a ++=，得24a =.联立1232144a a a a ++=⎧⎨=⎩得21111144a a q a q a q ⎧++=⎨=⎩ 两式两边相除消去1a 得22520q q -+=，解得2q 或12q =（舍去），所以1422a ==，所以，111222n n n n a a q --==⨯=，（2）因为21log 22n n n n b a n ⎛⎫==-⋅ ⎪⎝⎭所以，231222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯①23412122232(1)22n n n T n n +-=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯② ①-②，得23122222n n n T n +=++++-⨯()111212222212n n n n n n +++-=-⨯=-⋅--.所以，数列{}n b 的前n 项和11222n n n T n ++=-⋅-.【点睛】本题主要考查求等比数列的通项公式，考查错位相减法求数列的和，涉及等差中项的应用，属于常考题型.21．已知数列{}n a 的前n 项和为23122n S n n =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列[]lg n n b a =，[]x 表示不超过x 的最大整数，求{}n b 的前1000项和1000T .【答案】（1）32n a n =-；（2）10002631T =.【解析】【分析】（1）利用1n n n a S S -=-可求出；（2）根据数列特点采用分组求和法求解.【详解】（1）当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()()221313111322222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎢⎥⎣⎦，将1n =代入上式验证显然适合，所以32n a n =-.（2）因为410a =，34100a =，3341000a =，333410000a =，所以0,131,4332,343333,3341000n n n b n n ≤≤⎧⎪≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩，所以100003130230036672631T =⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题考查n a 和n S 的关系，考查分组求和法，属于基础题.22．已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N ；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n n n n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．【答案】（Ⅰ）n a n =，12n nb -=；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）465421949n n n n +--+⨯. 【解析】【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列{}n a 前n 项和，然后利用作差法证明即可；(Ⅲ)分类讨论n 为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算211n k k c-=∑和21n k k c =∑的值，据此进一步计算数列{}n c 的前2n 项和即可.【详解】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .由11a =，()5435a a a =-，可得d =1.从而{}n a 的通项公式为n a n =.由()15431,4b b b b ==-，又q ≠0，可得2440q q -+=，解得q =2，从而{}n b 的通项公式为12n nb -=. (Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得(1)2n n n S +=，故21(1)(2)(3)4n n S S n n n n +=+++，()()22211124n S n n +=++，从而2211(1)(2)02n n n S S S n n ++-=-++<，所以221n n n S S S ++<. (Ⅲ)当n 为奇数时，()111232(32)222(2)2n n n n n n n n a b n c a a n n n n-+-+--===-++，当n 为偶数时，1112n n n n a n c b -+-==，对任意的正整数n ，有222221112221212121k k nn n k k k c k k n --==⎛⎫=-=- ⎪+-+⎝⎭∑∑，和223111211352321444444n n k k n n k k k n n c-==---==+++++∑∑ ① 由①得22314111352321444444n k n n k n n c +=--=+++++∑ ②由①②得22111211312221121441444444414n n k n n n k n n c ++=⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+++-=---∑，由于11211121221121156544144334444123414nn n n n n n n ++⎛⎫- ⎪--+⎝⎭--=-⨯--⨯=-⨯-，从而得：21565994n k n k n c =+=-⨯∑. 因此，2212111465421949n nn n k k k n k k k n c c c n -===+=+=--+⨯∑∑∑. 所以，数列{}n c 的前2n 项和为465421949n n n n +--+⨯. 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.。

高中数学选择性必修二 第四章 数列单元检测A尖子生同步培优题典(含答案)

高中数学选择性必修二 第四章 数列单元检测B尖子生同步培优题典(含答案)