第八讲 矩阵范数续,向量和矩阵的极限
矩阵分析与计算--08-矩阵极限与级数
4.矩阵序列Cauchy收敛准则
设 A1 , A1 , Ak , 0 是矩阵空间V中的元素序列，如果存在x V , 使得
k
lim Ak A0
则称序列{Ak }按 -范数收敛于A0
(k ) (0) 记Ak （aij ） , A （ a l p 0 ij ） l p
由数列Cauchy收敛准则，有
det(uE ( E A)) 0
det((u 1) E A) (1)n det((1 u) E A)
det((1 u) E A) 0
令1 u ,这说明为A的一特征值
0< μ <2 → μ ≠ 0
1 ( E A ) ( E A) 的行列式不为零,
A 称为其部分和, 称矩阵序列
k k=1
S1 , S2 ,
为矩阵级数的部分和序列
, Sk ,
若矩阵部分和序列 Sk 收敛,且有极限 S, 则称该级 数收敛,且有极限 S. 记为
A =S
k k=1
若矩阵级数
A 的所有元素 a
k k=1 k=1
(k ) ij
均
绝对收敛,则称该级数为绝对收敛
0 0 i U =
1 r r C 0 0
r-i-1
(1 i r ),U k 0 (k r )
示例
0 0 0 0
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
1i n j 1 n
行范数
3）从属于向量的2-范数的算子范数为 A 2 1
—范数
谱范数
1是方阵AH A的最大特征值
数值分析向量,矩阵范数,矩阵的条件数
§8 向量,矩阵范数，矩阵的条件数一 、 向量、矩阵范数为了讨论线性方程组近似解的误差估计与研究解方程组迭代法的收敛性，需要在)(nn nRR ⨯或中引进向量序列(或矩阵序列)极限概念。
为此，这就需要对量空间n R (或n n R ⨯矩阵空间)元素的“大小”引进某种度量即向量范数(或矩阵范数)即距离的概念。
(一)向量范数：向量范数是3R 中向量长度概念的推广。
},{1为复数i n nx x x x x C ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡== 称为n 维复向量空间。
},)({为复数ij n n ij n n a a A A C ⨯⨯==称为n n ⨯复矩阵空间。
(2)设nn nCA C x ⨯∈∈,,称T n Hx x x x=≡),,(1 为x 的共轭转置，T H A A =称为A 共轭转置矩阵。
在许多应用中，对向量的范数(对向量的“大小”的度量)都要求满足正定条件，齐次条件和三角不等式，下面给出向量范数的抽象定义。
nR x ∈(或nC x ∈)的某个实值非负函数x x N ≡)(，如果满足下述条件(1)正定性 00,0=⇒⇐=≥x x x (2)齐次性 x ax α=其中R ∈α(或C ∈α)(3)三角不等式 )(,,nn C R y x y x y x ∈∈∀+≤+或，称x x N ≡)(是n R 上(或n C )一个向量范数(或为模)。
由三角不等式可推出不等式 (4)y x y x -≤- 下面给出矩阵计算中一些常用向量范数。
设)(),,(1nn T n C x R x x x ∈∈=或(1)向量的“∞”范数 i n i x x x N ≤≤∞∞=≡1max )((2)向量的“1”范数 ∑==≡ni i x xx N 111)((3)向量的“2”范数 2/1122/122)(),()(∑===≡ni i x x x xx N(4)向量的能量范数 设n n R A ⨯∈为对称正定阵2/1),()(x Ax xx N R x AA n =≡→∈∀称为向量的能量范数。
矩阵理论及其应用(重大版第八章课件)
{������������ }和{������������ }为数列，则 lim (������������ ������������ +������������ ������������ ) = ������������ + ������������。
(运用������(������) ������−1 (������)=E，然后两边求导)
������ (6) 几种特殊情况： ������������ ������ − ������sin ������������ , sin ������������ ������������
������ ������������
=
������������ ������������
=
������ ������������ ������
,
������ ������������
cos ������������
=
= ������cos ������������ 。
例1 设求二次型������ ������ ������������ 的导数（其中A对称）。
的每一个元素������������������ (������)是变量������
的可微函数，则称������(������)微，其导数定义为
������������ ������������
=
������′ (������)
=
������������������������ ������������ ������������
������→∞
CQU
4
向量和矩阵序列极限的性质
向量和矩阵的范数
|| k Ax || | k ||| Ax || 2) || k A || max max | k ||| A || x0 x0 || x || || x || || Ax || 3) 由 || A || max ，则 || Ax |||| A |||| x || x R n x 0 || x || 于是 || ( A B ) x || || Ax Bx |||| A |||| (|| A || || B ||) || x ||
法则对应于一非负实数 ||
n
则称 || x || 为向量x的范数。
常见的向量范数
设向量x ( x1 , x2 ,..., xn )T || ||
x || | x |
1 i 1 i
n
x || || x ||
( | xi | ) ( x, x) ( xT x) 2
i 1
3.5 病态方程组与矩阵的条件数
例3.5.1 设线性方程组 0.99 x1 1.99 1 0.99 0.98 x 1.97 2 试分析系数矩阵和右端项有微小扰动, 解将产生 什么样的变化 ? 解 该方程组的精确解为x (1,1)T 。
||
Hale Waihona Puke x ||2 n ||
x ||
1 例如 : || n
1 n x ||1 | xi | || n i 1
x ||
max{| xi |} | xi |
1i n i 1
n
向量的收敛性
定义3.4.2 设R n中一向量序列{ x ( k ) }( k 1,2,...), 其中 (i 1,2,..., n)
向量范数与矩阵范数
kA max kAx k max Ax k A .
x 1
x 1
(3) 对任意的n×n矩阵 A 和 B, 有
A B max (A B)x max Ax Bx
x 1
x 1
max Ax Bx x 1
max Ax max Bx A B
正定性三角不等式积的范数小于等于范数的积矩阵范数与向量范数的相容性定义给定向量范数和矩阵范数如果对任和任意的nn矩阵a它们总满足则称所给的矩阵范数与向量范数是相容的
§1.3 向量范数与矩阵范数
为了研究线性方程组近似解的误差估 计和迭代法的收敛性，我们需要对 Rn 中 向量或 Rn×n 中矩阵的“大小”引进某种 度量----向量或矩阵的范数。向量范数是 三维欧氏空间中向量长度概念的推广，在 数值分析中起着重要作用。
1.3.1 向量范数
向量的范数是刻画向量大小的量, 又叫向量的模.
❖定义 Rn 上的实值函数‖·‖称为向量范数，如果 对任意的 x, y∈Rn, 它均满足下列3条性质:
(1)正定性: || x ||,且 0 x 0;|| x || 0
(2)齐次性:对 k ,有R
|| kx |;|| k | || x ||
以及
A. F
解 x | 3| | 5| |1| 9, 1
x 32 (5)2 12 35 2
x max{| 3|,| 5|,|1|} 5,
|1| | 2 | | 3 |,
A
1
max
|
5
|
|1|
|
8
|,
《向量和矩阵的范数》PPT课件
h
1
三种常用范数 给定 x (x1, x2 , , xn )T
n
1-范数：
x 1
x1
x2
xn xi
i 1
2-范数： x 2
x12 x22
1
xn2
n
i 1
xi2
2
? 范数： x max{ x1 , x2 ,
,
xn
}
max{
1in
xi
}
h
2
一般范数 给定 x (x1, x2 , , xn )T
1
(n max 1in
xi
p)p
故有 x x n p x
p
令
p
1
, n p
1limxFra bibliotekxp
p
h
4
范数的等价性 对于任意向量 x R n ，如果存在正数
c1, c2 ，均有
x
p c1
x, q
x q c2
x
，则称范数
p
x
与
p
x 等价。 q
范数的等价关系具有传递性。如果范数 x 与 x 等价，
（5） I 1，其中 I 为单位阵。
h
14
矩阵范数的另一个等价定义
设 A R nn , x Rn ，矩阵 A 的范数 A max Ax
x 1
h
15
常用的矩阵范数
设 A[aij]nn常用的矩阵范数有行（无穷）范数和列（一）范数。
例如
A
3 0
2
4
n
A
maxaij
1in j1
n
A 1
maxaij
Rnn 上的矩阵序列 A(k) 是收敛于A 的充要条件为
矩阵的范数及相关数学含义
矩阵的范数及相关数学含义
矩阵的奇异值：
设A为复数域内m*n阶矩阵，A*表⽰A的共轭转置矩阵，A*·A的n个⾮负特征值的算术平⽅根（即A*·A的开根号值）叫作矩阵A的奇异值。
记为σi(A)。
如果把A*·A的特征值记为λi(A*·A)，则σi(A)=sqrt(λi(A*·A))。
或者说矩阵A的奇异值是A*·A 的特征值的平⽅根。
任意矩阵都有奇异值。
对于⼀般的⽅阵来说，其奇异值与是没有关系的。
奇异值的数⽬是矩阵的最⼩的维数。
当A是⽅阵时，其奇异值的⼏何意义是：若X是n维单位球⾯上的⼀点，则Ax是⼀个n维椭球⾯上的点，其中椭球的n个半轴长正好是A的n个奇异值。
简单地说，在⼆维情况下，A将单位圆变成了椭圆，A的两个奇异值是椭圆的长半轴和短半轴。
如果取维空间的单位球，⽤ × 矩阵乘其中对于每个点的向量，这将得到维空间的椭球体. 的奇异值给出椭球体主轴的长度.
矩阵的2-范数 Norm 是椭球体的最⼤的主轴，等于矩阵最⼤的奇异值. 这也是对于任何可能的单位向量，的最⼤的2-范数长度.。
向量与矩阵范数
向量与矩阵范数在欧氏空间与酉空间中，我们通过向量的内积定义了下列的长度，对于一般的线性空间，能否引入一个类似于长度而又比其更广泛的概念呢？这就是范数的概念。
向量范数与矩阵范数是应用非常广泛的重要概念，从范数可导出向量与向量，矩阵与矩阵之间的距离，进而引进向量序列和矩阵序列收敛性问题.它是矩阵分析与计算的基础.§1 向量范数定义1．1 设V 是数域()或C R 上的线性空间，如果对于任意V ∈x 按照某种法则对应于一个实数x，且满足：1） 非负性0≥x .当且仅当=x 0时，0=x ； 2） 齐次性k k =x x；3） 三角不等式 对任意,V ∈x y 总有，+≤+x y x y；则称实数x为线性空间V 上向量x 的范数.简称向量范数.定义了范数的线性空间V 称为赋范线性空间.由定义1.1可以看出，向量范数是定义在线性空间上的非负实值函数，它具有下列性质：（1） 当≠x 0时，11||||=x x ；（2） 对任意向量V ∈x ，有||||||||-=x x ；（3）||||||||||||||y -≤-x y x ； （4）||||||||||||||y -≤+x y x .性质（1）与（2）是显然成立的，下面证明性质（3） 因为||||||||||||||||=-+≤-+x x y y x y y ， 所以||||||||||||-≤-x y x y .同理可证||||||||||||||()||||||-≤-=--=-y x y x x y x y ， 即||||||||||||-≥--x y x y .综上有||||||||||||||y -≤-x y x .若用y -代替性质（3）中的y ，便得到性质（4）.n C 上最著名的范数是p 范数，也称赫尔德（hölder ）范数11()nppi pk x ==∑x，T 12(,,,)n n x x x =∈x C .这里1p ≤<∞，其中最常用的是1,2p =时的p 范数，即11nik x ==∑x ；12221()ni k x ==∑x 。
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P. 居 里 发 现居里点 和居里定 律; 伦琴发现 X 射线;
首先，若
，则存在
使得
，从而
。
两边同时乘 得
，即
，所以
。同理可得
，
，则
。由
，故
从而
(3) 又由
得
(4) 由
就得(2)。
所以
。从而 。
/// 第五章 矩阵分析
5.1 向量和矩阵的极限
定义 1 设 则称向量列
设
，若 按范数 ，或者
，若
收敛到
， ，记为 。
，
则称矩阵列 按范数 收敛到 ，记为
，或者
。
注：上述收敛性与范数的选取无关，且等
价于按分量（元素）收敛。
性质：
1若 有界。
，则对任何向量范数 ，
若
，则对任何矩阵范数 ，
有界。
2若
，
，
，
，则
。
若
，
，
，
，则
。
3若
，
。
，则
4若
且 。
存在，则
5若
，且
所用矩阵范数与向量范数相容，则
证明 1、2 是线性运算关于范数连续的体 现。3 是矩阵乘法运算对范数连续的结果（矩 阵 范 数 相 容 性 ）。 4
1821‐29
1830‐39
1840‐49 42 年 大 学毕 业 ,42‐45 研究数 学 ,46‐49 学法律
1850‐59
49-63 律师和 研究数 学,引进 矩阵的 基本概 念与运 算
1860‐69 863 年被 任为剑桥 大学纯粹 数学教 授，直至 逝世
1870‐79
1880‐89
1890‐95
契比雪夫 (1894), 陀思妥耶 夫斯基 ( 1881) 福楼拜 (1880)
皮科克著 《代数通 论》，首创 以演绎方 式建立代 数学，为 代数中更 抽象的思 想铺平了 道路； 英国宪章 运动
雅可比建 立了行列 式的系统 理论； 哈密顿发 现四元 数； 雅克比提 出求实对 称矩阵特 征值的雅 可比方 法；
。
，
所以
。
(2) (3) 由 定 理 1 立 得 。 (3) (1)
。
Fun Note
凯莱（1821～1895）Cayley，Arthur 英国纯 粹数学的近代学派带头人。 凯莱最主要的贡献是与 J.J.西尔维斯特一起 ， 创立了代数型的理论，共同奠定了关于代数不 变量理论的基础。他是矩阵论的创立者。他对 几何学的统一研究也作了重要的贡献。凯莱在 劝说剑桥大学接受女学生中起了很大的作用。 他曾任剑桥哲学会、伦敦数学会、皇家天文学 会的会长。 凯莱是极丰产的数学家，在数学、理论力学、 天文学方面发表了近千篇论文，他的数学论文 几乎涉及纯粹数学的所有领域，收集在共有 14 卷的《凯莱数学论文集》中，并著有《椭圆函 数专论》一书。
容的结果。
。5 矩阵范数与向量范数相
命题 1 设矩阵范数
相容,则
。
证明
是与向量范数
。
定理 1 范数 ,使得
，对任意 ,存在算子 .
证明 取可逆阵 将 化成若当标准型
令
,则
对
,定义
,
则可直接验证 是一个方阵范数，且
定理 2 设
(1)
；
在范数 ，使得
证明 (1) (2)
，则以下三条等价
(2)
； (3) 存
黎曼给出 了“黎曼 积分”的 定义; 傅科摆实 验，证明 地球自 转; 爱晖条约 俄占我国 领 土 60 多万平方 公里;
外尔斯特 拉斯在柏 林讲演中 给出连续 但处处不 可微函数 的例子; 美国内战
普法战 争； 挪威的李 发现李 群，并用 以讨论微 分方程的 求积问题
庞加莱关 于微分方 程确定的 曲线的论 文，创立 微分方程 定性理论
第八讲
主要内容: 矩阵范数续，向量和矩阵的极限
上有多个矩阵范数，有的矩阵范数
有一些特殊性质。
定理 4.2.1 设 均为酉矩阵，即
， ，则
(1)
即 Furobenius 范数在酉矩阵的作用下不变。 证明
。
定理 4.2.6 设
，则
均为 阶酉矩阵，则 证明 由定理 2.4.2 知道，
所以只要证明
(2)
即可。