置换群

置换的乘积. 二.置换的乘积.
设 A = {1 , 3}的任二个置换为 , 2 的任二个置换为
2 1 3 2 1 3 π = 2 1 , τ = 3 2 ,那么由于 π 1 3
和 τ 都是
一一变换,于是 π τ 也是 A 的一一变换.且有 的一一变换. 一一变换,
计算下列置换的乘积: 例1. 计算下列置换的乘积: (1) 解:
τ
π,
(2)
π 2,
(3)
πτ 2 .
2 2 2 1 3 1 3 1 3 τπ = 3 2 2 1 = 1 3 1 3 2 2 2 2 1 3 1 3 1 3 π = 2 1 2 1 = 3 2 3 3 1
循环置换及循环置换分解. 三 循环置换及循环置换分解.
(1)循环置换(轮换) (1)循环置换(轮换) 循环置换 前面我们已经引入了置换的记法,下面, 前面我们已经引入了置换的记法,下面,再介绍 一种记法.设有 8 一种记法.
2 4 6 8 1 3 5 7 元置换 π = 4 5 1 7 , π 3 2 6 8
πτ
: 1 → 1, 2 → 2 , 3 → 3 .
1τπ = 1 , 2τπ = 2 , 3τπ = 3 .
记为: 记为:
2 2 2 1 3 1 3 1 3 换句话说: 换句话说: πτ = 2 1 3 2 = 1 3 3 1 2
8 0
= (1) = (2 ) = (3) = ⋯ 同上,习惯写成 同上,
π 0 = (1) .
定义 2
1
Sn 中的一个将 i1 变到 i2 ， i2 变到 i3 ,⋯, ik 变回
而其余文字（如果还有其他文字） 到 i 而其余文字（如果还有其他文字）不发生变化 的置换，叫做 k —循环置换（或称 k —循环）,记为 循环置换（ 循环） 的置换， ( i , i , i ⋯i )
一个置换的方便之处是显而易见的.当然, 一个置换的方便之处是显而易见的.当然,上述的置换可记为
1 1 2 3 3 2 ， 3 1 1 3 …, 2 2
但习惯上都将第一行按自然序列排写这就可以让我们都统 一在一种表示置换的方法内进行研究工作了. 一在一种表示置换的方法内进行研究工作了.习惯上称它 为三元置换. 为三元置换.
人们的方法是将群分成若干类（即附加一定条件） ；譬如有 人们的方法是将群分成若干类（即附加一定条件） 譬如有 ； 限群；无限群； 换群； 换群等等。对每个群类进行研究， 限群；无限群；交换群；非交换群等等。对每个群类进行研究， 并设法回答上述三个问题。可惜，人们能弄清的群当今只有少 设法回答上述三个问题。可惜， 数几类（后面的循环群就是完全解决了的一类群） ， 数几类（后面的循环群就是完全解决了的一类群） 大多数还在 等待人们去解决。 等待人们去解决。
发生变化的文字的变化次序为序, 发生变化的文字的变化次序为序,表达成轮换的形 式.虽然表达形式简捷,但所含置换的原有文字的 虽然表达形式简捷, 数目可能反映不出来.这要求事先予以说明.例如. 数目可能反映不出来.这要求事先予以说明.例如.
4 3 “8 元置换 π = (1 2 5) ”
循环置换. 叫作 1—循环置换.
（2）循环置换分解
2
2 2 2 1 3 1 3 1 3 πτ = (πτ )τ = 1 3 3 2 = 3 2 = τ 2 1 1
2
注意:置换乘积中,是从左到右求变换值, 注意:置换乘积中,是从左到右求变换值,这是与过去 的习惯方法不同的（也要看各书要求） 的习惯方法不同的（也要看各书要求） 。 例 2 设 A = {1 , 3},那么 A 的全部一一变换构成的三次 ,2 对称群为
2 1
A = { , 2 , 3}.故此. π : 1 ֏ 2 , 2 ֏ 3 , 3 ֏ 1 .稍做 1 故此.
2 2 1 3 1 3 .用 π = ⇒ π = 2 1 2 1 来描述 A 的 3 3 一般地, 每个循环的表达方法不唯一, ② . 一般地 , 每个循环的表达方法不唯一 , 例 如.
π = (1 2 5 ) = (2 5 4 ) = (5 4 3) = ⋯ 4 3 3 1 1 2
因为, 这是 因为,每个循环置换都可视为一 个首尾相接的圆环: 个首尾相接的圆环:
由于置换群也是变换群,故必蕴含 着变换群的一切特征.譬如,不可 交换性和结合律:
，
2 2 2 1 3 1 3 1 3 1 2 2 3 = 2 1 3 1 3 2 2 2 1 3 1 3 1 3 ≠ 3 2 = 2 3 1 2 1 1 3
本讲的重点与难点： 本讲的重点与难点：对于置换以及置换群
需要特别注意的是： 需要特别注意的是： 对称群和交错群的结构和置 特别注意的是 换的分解定理。 换的分解定理。
定理可知： 注意：由有限群的 cayley 定理可知：如把所有置 换群研究清楚了。 换群研究清楚了。就等于把所有有限群都研究清楚 了，但经验告诉我们，研究置换群并不比研究抽象群 但经验告诉我们， 容易。所以，一般研究抽象群用的还是直接的方法。 容易。所以，一般研究抽象群用的还是直接的方法。 并且也不能一下子把所有群都找出来。 并且也不能一下子把所有群都找出来。因为问题太复 杂了。 杂了。
的变换过程为1 → 4 → 2 → 3 → 5 → 1,即其他元素都不改 变,若将不发生改变的文字都删掉,那么上述置换 若将不发生改变的文字都删掉, 可写成循环置换的形式: 4 3 可写成循环置换的形式: π = (1 2 5)
注意: 循环置换是置换的另一种表达形式, 注意:①循环置换是置换的另一种表达形式,它以
S 3 = {π 0 1 , π 2 , π 3 , π 4 , π 5 }.其中 ,π
2 2 2 1 3 1 3 1 3 π0 = 1 3 , π 1 = 1 2 , π 2 = 2 3 2 3 1 2 2 2 1 3 1 3 1 3 π3 = 2 1 , π 4 = 1 , π 5 = 3 1 3 2 3 2
所以 S3
= 3!= 6 .其中 π 0 是恒等变换.即 π 0 是 S 3 的单位元. 是恒等变换. 的单位元.
定理 1
证明
n 次对称群 S n 的阶是 n! .
1 2 ⋯ n 种取法,当 任意 σ = ∈ Sn , i1 有 n种取法 当 i1 i1 i2 ⋯ in
取定后, i2 只有 n-1 种取法 如此继续下去 in 只有 1 种取法,如此继续下去 如此继续下去, 取定后 种取法.因此共有 个不同的置换,所 种取法 因此共有 n( n-1)…2•1= n!个不同的置换 所 … • 个不同的置换 以 Sn = n!.
1 2 3
k
例 3 在 S 中.
5
2 4 1 3 5 2 2 1 5 = (1 3) 3 4
循环置换. 叫作 3—循环置换. 循环置换. 叫作 5—循环置换.
2 4 1 3 5 2 4 2 4 1 = (1 3 5) 3 5 2 4 1 3 5 1 3 5 = (1) 2 4
π
a1 ֏ a2 , a2 ֏ a3 , a3 ֏ a1 ,利用本
教材中特定的表示方法有： 教材中特定的表示方法有：
a1 = a2 ， a2 = a3 ， a3 = a1 .
π π
由于映射中只关心元素之间的对称关系. 由于映射中只关心元素之间的对称关系.而不在乎元素的 具体内容.故可设 具体内容.故可设 修改: 修改: π ： ↓
第 9 讲
第二章 群 论
课时) §6 置 换 群 (2课时 课时
(pormutation group)
本讲的教学目的和要求: 本讲的教学目的和要求
置换群是一种特殊的变换群。换句话说， 置换群是一种特殊的变换群。换句话说，置换群 就是有限集上的变换群。由于是定义在有限集上， 就是有限集上的变换群。由于是定义在有限集上，故 每个置换的表现形式，固有特点都是可揣测的。 每个置换的表现形式，固有特点都是可揣测的。这一 讲主要要求： 讲主要要求： 弄清置换与双射的等同关系。 1º 弄清置换与双射的等同关系。 掌握置换—轮换—对换之间的联系和置换的奇偶性。 2º 掌握置换—轮换—对换之间的联系和置换的奇偶性。 3º掌握置换的分解和将轮换表成对换之积的基本方法。 掌握置换的分解和将轮换表成对换之积的基本方法。 置换的分解 理解对称群与交错群的结构以及有限群的 4º理解对称群与交错群的结构以及有限群的 cayley 定 理。
变换群是一类应用非常广泛的群， 变换群是一类应用非常广泛的群，它的具有代表性 的特征 置换群， 的特征—置换群，是现今所研究的一切抽象群的来源 ， E.Galais(1811-1832)在证明次数大 是抽象代数创始人 E.Galais(1811-1832)在证明次数大 于四的一元代数方程不可能用根号求解时引进的。 于四的一元代数方程不可能用根号求解时引进的。
知道， 说明：由定义 1 知道，置换群就是一种特殊 的变换群（即有限集合上的变换群） 的变换群（即有限集合上的变换群）而 n 次对 的完全变换群。 称群 S 也就是有限集合 A 的完全变换群。
n
现以 A = {a , a
1
2
, a3 } 为例，设 π 为例，
： A → A 是 A 的一
一变换。 一变换。即 π :
一． 置换群的基本概念
定义 1
任一集合 A 到自身的映射都叫做 A 的一个
变换， 是有限集且变换是一一变换（双射） 变换，如果 A 是有限集且变换是一一变换（双射） ， 那么这个变换为 A 的一个置换。有限集合 A 的若干 的一个置换。 个置换若作成群，就叫做置换群。 个置换若作成群，就叫做置换群。含有 n 个元素的 的全体置换作成的群， 次对称群。 有限群 A 的全体置换作成的群，叫做 n 次对称群。 通常记为 Sn .