光电子习题1

一·光电子技术1）谐振子处于n ψ态下，计算()212⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∆x x x ，()212⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∆p p p ，?=∆⋅∆p x解：()2/1222/1222/12)(]2[x x x x x x x x x -=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∆同理可得出：()2/1222/12)(p p p p p -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∆由本征函数的正交归一性可知：)(0)(1{*n m n m dx n m ≠==⎰∞+∞-ψψ由厄密（Hermite ）多项式递推关系得：)]()2)(1()()12()()1([21)()](21)(2[1)(222211x n n x n x n n x x x n x n x x n n n n n n n +-+-+++++-=++=ψψψαψψψαψ则由以上三个公式可以得出：⎰⎰∞+∞-+-∞+∞-=++==0)](21)(2[1)(11**dx x n x n x dx x x n n n n n ψψαψψψ dx x n n x n x n n x dx x x x n n n n n n⎰⎰+∞∞-+∞∞-+-+++++-==)]()2)(1()()12()()1([21)()(222*2*2ψψψαψψψ ⎰+∞∞-+=dx x n x n n )()12(21)(2*ψαψ)12(212+=n α又 ωαm =2x ∴)12(212+=n αωωm n m n )21(212+=+= 由厄密（Hermite ）多项式的求导公式可得：]212[)(11+-+-=n n n n n x dx d ψψαψ ])2)(1()12()1([2)(22222+-++++--=n n n n n n n n n x dx d ψψψαψ 则0]212[)()(11**=+--=∇-=⎰⎰+-dx n n i dx ih P n n n n n ψψαψψψwm n mw n n n dxn n n n n dx ih P n n n nn n)21(2)12(2)12()]12([2])2)(1()12()1([2)()(22222222*22*2+=+=+=+--=++++---=∇-=⎰⎰+-ααψψψαψψψ因此可以得出：()212122212])21[()(mwn x x x x x +=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∆，()212122212])21[()(w m n p p p p p +=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∆)21(.+=∆∆∴n p x2）荷电q 的谐振子，受到外电场ε的作用，x q x m x V εω-=2221)( （1）求能量本征值和本征函数。

解：222222222)(2121)(mwq mw q x mw x q x m x V εεεω--=-= 则令222'22,mw q E E mw q x X εε+=-=，哈密顿算符222222222212mw q X mw dx d m H ε-+-=∧ 因此本征函数为ψψψ'22222212E X mw dx d m =+- ，其中222'22,mwq E E mw qE x X ε+=-= 则特征解为：2202/)()(x X x Xn n n eH N X -=ψ， ,.....2,1,0,)21('=+=n w n E n 能量本征值为：,......2,1,0,2)21(2222222'=-+=-=n mw q w n mw q E E nn εε 3）设粒子在下列势阱中运动，⎪⎩⎪⎨⎧><∞=.0,21,0,)(22x x m x x V ω 求粒子能级。

解：由已知条件可知，粒子不能穿过0<x 区域，所以0<x 时，0)(=x n ψ 由函数的连续性可知：0)0(=n ψ 而当0>x 时，2221)(x m x V ω=，此时与一维线性谐振子的情况相符。

此时又有0)0(=n ψ，因此可知偶宇称情况不成立，振子只具有,..)2,1,0(12=+=k k n 的奇宇称情况。

所以,.....2,1,0,)223()21(=+=+=k w k w n E 或者,.....5,3,1,)21(=+=n w n E4)利用测不准关系估算谐振子的基态能量。

解：假设该谐振子为沿x 轴方向的一维线性谐振子，则该谐振子的能量为：22222212/2121x mw m p kx mv E +=+=由于振子在平衡位置附近振动，所以取p p x x ≈∆≈∆,，则222)(212)(x mw m p E ∆+∆=因为测不准关系为：2. ≥∆∆p x ，取等号，则xp ∆=∆2因此2222)(21)(8x mw x m E ∆+∆= 因为当位于基态时能量E 最小，因此：0)()(4)(23222=∆+∆-=∆x mw x m x d E d 此时mw x 2 =∆，则基态能量为：w E 21min = 若当谐振子处于三维状态下，同理可得：w E ox 21=，w E w E oz oy 21,21== 谐振子处于三维状态下的基态能量为：w E E E E oz oy ox 23=++=二·光电子技术1．已知厄米算符z L 有三个本征值，按序排列为 -,0,，在z L 表象中，y L 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0000022ˆi i i i L y ，（a ）求y L 的本征值和归一化本征函数，（b ）以它们为基组，可以建立y L 表象，求从z L 表象到y L 的么正矩阵，（c ）并求出z L 在y L 表象中的矩阵表示。

解：z Z L L 在∧自身表象中的矩阵表示为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1000000010000000 z L 这是一个对角阵，对角元即本征值。

z L ∴表象的基组在z L 表象中得表示为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==001 z l ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==0100z l ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-=100 z l （a ）设y L 在z L 表象中得本征矢为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡c b a ，本征值方程为： ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--c b a c b a l c b a i y λ 010******** 其中 λ=y l 为本征值，待定。

此式也可改写成：0202202=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----c b a i i ii λλλ （a ） 方程解为：022202=-----λλλi ii i 将行列式展开后得出：03=+-λλ，1,0±=λ于是y l 也有三个本征值，按从大到小的次序排列为： -=,0,y l 分别以1,0,1-=λ代入（a ）式，解出a,b,c 的关系，再归一化1),,(***=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡c b a c b a对归一化常数选取适当的不定因子（取α=0）,可有：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==212221i l y ，⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==220220y l ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=-=212221i l y（b ）以这三个本征矢作列向量，所构成的矩阵就是从z L 表象到y L 的么正变换矩阵：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=12120212121i iS （c ）y L 在自身表象中得表示为对角的，对角元即本征值，z L 在y L 表象中得表示可由S L S L z z +='求出（实际地做三个矩阵的乘法），结果为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=010*******,0000000'' z y L L ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=000002'i i i i L z2.证明：ˆˆˆˆˆˆ,cos sin ,,sin cos Ni N i φφφφ⎡⎤⎡⎤=-=⎣⎦⎣⎦证明： )(21cos ∧∧-∧+=φφφi i e e ；)(21sin ∧∧-∧-=φφφi i e e i∴],[21],[21)](21,[]cos ,[∧∧∧∧-∧∧-∧∧∧+=+=φφφφφi i i i e N e N e e N N ；],[21],[21)](21,[]sin ,[∧∧∧∧-∧∧-∧∧∧-=-=φφφφφi i i i e N ie N i e e i N N又 ∧∧+=∧a N e i 11φ；11ˆ+=∧+-∧N a e i φ；aa N ˆ],[-=∧∧；]ˆ,[+∧a N =+a ˆ ∴=∧∧],[φi e N =+-=+=+∧∧∧∧∧∧∧∧1],[11]11,[N a a N N a N N ∧-φi e=∧-∧],[φi eN =+=+=+∧++∧∧∧+∧1ˆ]ˆ,[11]11ˆ,[N aaN N N aN ∧-φi e∴],[21],[21]cos ,[∧∧-∧∧∧∧+==φφφi i e N e N N =--=+-=∧∧∧∧--)(2121)(21φφφφi i i i e e e e ∧-φsin i],[21],[21]sin ,[∧∧-∧∧∧∧-=φφφi i e N i e N i N =∧--=+=--∧∧∧∧φφφφφcos )(221)(21i e e i e i e i i i i i三·光电子技术1. 何为电光晶体半波电压？半波电压由晶体那些参数决定？解：光波在光晶体中传播时，当光波的两个垂直分量Ex’，Ey’的光程差为半个波长时（对应的相位差为180度）所需要加的电压，称为半波电压。

半波电压由晶体的折射率，波长，晶体厚度，非线性系数决定。

2. 一纵向运用的KDP 电光调制器，长为2cm ，折射率n =2.5，工作频率为1000kHz 。

试求此时光在晶体中的渡越时间及引起的相位延迟。

解：渡越时间 τ=cnL=2.5⨯0.02÷(3⨯108)≈1.67⨯10-10S 相位延时∆ϕ(t )=e e m mi m i t t i t d t E n ac τττωτωωϕ)1()(---∆=''⎰ 其中f m =τ414=nL c ωm =τπ2 3. 在电光调制器中，为了得到线性调制，在调制器中插入一个λ/4波片，波片的轴向如何设置最好？若旋转λ/4波片，它所提供的直流偏置有何变化？解：其快慢轴与晶体的主轴x 成45︒角，从而使E x ’和E y ’两个分量之间产生π/2固定相位差。

总相位差为∆ϕ=∆θ+∆ϕm 其中△ϕm = πV/V π 获得线性调制,调制器的电压偏置T ＝50％的工作点上。