第五章 分式与分式方程 复习
北师大版八年级数学下册第五章分式与分式方程
八下第 五 章 分式与分式方程专题复习【本章知识框架】一、 认识分式1、定义：A 、B 表示两个整式，且B 中含有字母，则把B A 称为分式。
例如：a b 2，-x x -+41x xy2、性质：分子和分母同时乘以或除以一个不为0的整式，分式的值不变，数学语言：a b =m a m b⋅⋅（m )0≠,a b =m a m b ÷÷（m )0≠※ 约分：（1）定义：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为约分。
（2）约分的关键：提取公因式（当分子分母为多项式时先分解因式）3、运算：（1）乘除法：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘（2）加减法：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算（通分，找最小公倍数，当分母为多项式时先分解因式）运算结果形式化成最简分数，分子一定要展开，分母不作要求4、经典题型解法：a 、有无意义：分式有意义的条件：分母不为0分式无意义的条件：分母为0分式值为0的条件：分子为0B 、平方法、换元法、整体代入法、倒数法二、分式方程1、定义：分母中含有未知数的方程2、解法：a 、转化法：将分式方程转化为整式方程。
检验：将所得的根代入最简分母，分母为0，则为增根B 、换元法：主要使方程形式简化3、题型解法：方程有增根： 增根必满足（1）满足化解后的整式方程（2）使分母为零方程无解： 无解必满足 （1）整式方程无解（2）有界但为增根4、实际问题：尽量少设元【本章经典错题再现（10~15道）】选择题1、 若分式112--X X 的值为0，则x 的值为( )A, -1 B, 0 C, 1 D, 1±2、下列分式最简分式是（ ）A 、1212+-X X B 、121-+X X C 、-XY X Y XY X -+-2222 D 、122362+-X X 3、已知311=-Y X ,则代数YXY X Y XY X ---+232的值为（ ） A 、-27 B 、-211 C 、29 D 、43 4、在正数范围内定义一种运算 ＊，其规则为a ＊b=ba 11+,根据这个规则X ＊(X+1)=23的解为（ ） A 、 X=32 B 、X=1 C 、X=-32或1 D 、X=32或-1 填空题1、 当X 为_______，分式622||-+-x x x 的值为零 2、 若分式aa ++13的值为正，则a 的取值范围______________ 3、 不论X 取何值，分式M X X +-221总有意义，则M 的取值范围 解答题1、解方程（1）22-x x =1-x -21 （2）3-x x -621-x =21（3） 42-x x +22+x =x x x 2222-- （4）x x 22+-22-+x x =xx x 2222--4、 计算题：（1） （-3)2b a ÷（2322）b a3、分式化简求值（1）122-x -X ÷12222+++X X X +11-X ,其中X=2(2) (ba b a ba bab a +---++22222)÷b a b a -+,其中a=-2,b=3(3) 若分式2521-n ，51+n 的最简公分母为11.求n 的值 4、应用题（1）某水果店搞促销活动，对某种水果打8折出售，若用60元钱买这种水果，可以比打折前多买3斤，求该种水果打折前的单价是多少？（2）某市为绿化环境计划植树2400棵，实际劳动中每天植树的数量比原计划多20%，结果提前8天完成任务，则原计划每天植树多少【本章巩固练习（10~15道）】选择题1、当x 为任意实数时，下列分式一定有意义（ ）2、A, 21XX + B, 121+-X X C, 121+-X X D, 1||1-+X X 2、若解分式方程X X m X X ++-+2112=X X 1+产生增根，则m 的值是（ ） A 、 -1或者-2 B 、 -1或者2 C 、 1或者2 D 、 1或者-23、若Y a YX 2-X 2a 22-÷aYaX Y X ++2)(的值为5，则a 的值是（A 、 5B 、 -5C 、51D 、-51 4、已知X+Y=43.X-Y=3,则（Y X XY Y X -+-4）(Y X XY Y X +-+4)的值是（ ） A 、 48 B 、23 C 、16 D 、12填空题1、 当m 为___________时，关于x 的方程234222+=-+-X X mX X 无解 2、 当K 为 时，分式方程XX X K X X 5)1(216-++=-有增根。
分式与分式方程-单元复习
解这个方程，得 x30 经检验 x3， 0是所列方程 1.的 3x 根 3， 9 采用新工艺前 别每 加 3小 工 0 个时 零分 件，采 艺后每小 3时 9 个加 零 . 工 件
解 :(1)24 人 0 ＜这个学 学生 校 3 总 八 0 人 .0 数 年
(3)2x1 1 3x 2 x3
解 :方程两边2同 (x3时 )得 , 乘以
2(2x)x32 去括号,得 42xx5
移项, 合并同类项，得 3x1 系数化为 1，得x 1
3
经检验x， 1是原方程.的根 3
5.1 ()已m 知 5,求 mm n2 的值； n 3 m nm nm 2n2
解m ： m n2
原式 1 3.
(1) x12x1 x1 1x
(2) x12x1 x1 x2
解:(1)原 式 xx
1 1
2x 1 x 1
x12x1 x1
3x 2 x 1
解:(2)原 式 (x1)(x2) (2x1)(x1)
(x1)(x2) (x1)(x2)
x2 3x2 2x2 x1 (x1)(x2) (x1)(x2)
x23x22x2x1
(x1)(x2)
3x2 2x1 (x1)(x2)
(3)xx2112xx11
解:(3)原 式 x1
(x1)(x1)
(2x1)(x1) (x1)(x1)
x1 2x2 x1 (x1)(x1) (x1)(x1)
x12x2 x1 (x1)(x1)
2x2 2x2 (x1)(x1)
2x2 2x2 (x1)(x1)
经检x验 5， 是原方.程的根
解下列方程：
x2411
x1 x1
第五章 分式与分式方程【复习课件】-(北师大版)
与被除式相乘.
上述法则用式子表示为：
b ·d = bd
b÷ d = b ·c = bc
分式的乘方法则 理解要点：
( a )n b
a bn
.
（1）分式乘方时，一定要把分子、分母分别乘方，不
√ 要把
a
n
b
an bn
写成
×
a b
n
an b
.
（2)分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，
找最简公分母： 第一要看系数；第二要看字母(式子）. 分母是多项式的先因式分解，再找公分母.
异分母分式的加减法法则 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，
然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.
上述法则可用式子表示为 b d bc ad bc ad . a c ac ac ac
分式的混合运算顺序
混合运算的特点：是整式运算、因式分解、分式运 算的综合运用，综合性强.
知识点 分式方程 分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
分式方程的特征 （1）是等式； （2）含有分母； （3）分母中含有未知数.
知识要点
“去分母法”解分式方程的步骤 1.在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化 成整式方程. 2.解这个整式方程. 3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公 分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程 的解，否则须舍去. 4.写出原方程的根.
∴－a－1＞0且－a－1≠1，解得a＜－1且a≠－2， ∴a的取值范围是a＜－1且a≠－2.
方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，
例 若关于x的分式方程 求m的值．
无解，
解析：先把分式方程化为整式方程，再分 两种情况讨论求解：整式方程无解与解为分 式方程的增根．
八年级数学下册 第五章 分式与分式方程单元复习课课件
方程两边都乘x-2,得1-x=-1-2(x-2), 解这个方程,得x=2. 你认为x=2是原方程的根吗?与同伴交流.
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解:不是(bù shi). 经检验x=2是原方程的增根,
∴x=2舍去,
∴原方程无解.
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【中考这样(zhèyàng)考】 (2019·南京中考)解方程:
考的热点,形式多样,用到的数量关系有:
总价=单价×数量,售价=标价×
利润率= 利 润 ×100%等.
进价
折 扣利，润=售价-进价,
10
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2.专家支招:列分式方程解应用题的一般步骤:审、设、列、 解、验、答.必须严格按照步骤进行做题,规范解题步骤,另外 还要注意完整性:如设和答叙述要完整(wánzhěng),要写出单位等.
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【专家这样说】 1.类题说明:解分式方程(fēn shì fānɡ chénɡ)也是中考常考内容,多见 于解答题,难度不大,但得分率往往不理想,主要的原因是忘记 验根.
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2.专家支招:熟记解分式方程的一般步骤:(1)乘以最简公分母, 转化为整式方程;(2)解整式方程,得到(dé dào)未知数的值;(3) 通过验根,最终确定出分式方程的解. 切记,一定要验根!
单元 复习课 (dānyuán) 第五章 分式与分式方程
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第二页，共十七页。
考点1 解分式方程(考查方式(fāngshì):解可转化为一元一次方程 的分式方程)
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【教材这样(zhèyàng)教】(P127议一议) 在解方程 1 x 1 -2时,小亮的解法如下:
北师大版数学八年级下册 第五章分式与分式方程总复习课件.ppt
x－1
x2－x
x2－4x＋4＝x（x－2）2.
复习要点
要点三：分式的化简求值 例3： 先化简再求值：(a＋1－4aa－－15)÷(a1－a21－a)，其中 a＝2＋ 3.
a2－1－4a＋5 a－1－1 解：原式＝ a－1 ÷a（a－1）
a2－4a＋4 a（a－1） ＝ a－1 · a－2
（a－2）2 a（a－1） ＝ a－1 · a－2
复习要点
要点一：分式的有关概念
x2 1
例1：当x取何值时，分式 (x 1)(x 2)
无意义？
x2 1
有意义？当x取何值时，分式 (x 1)(x 2)
解：由分母（x-1）（x-2）=0
x=1或2
∴x=1或2时，原分式无意义；
x≠1且x≠2时，原分式有意义.
易错提示:
(x
x2 1 1)(x
＝a(a－2) ＝a2－2a. 当 a＝2＋ 3时， 原式＝(2＋ 3)2－2(2＋ 3)＝3＋2 3.
举一反三
1．先化简，再求值：(a＋a＋1 2)÷(a－2＋a＋3 2)，其中，a 满足 a－2＝0. a（a＋2）＋1 a2－4＋3
解：原式＝ a＋2 ÷ a＋2
（a＋1）2
a＋2
＝ a＋2 ·（a＋1）（a－1）
解方程: x＋3 2＋x2－2 4＝x－1 2. 解：去分母，两边都乘以(x＋2)(x－2)，得 3(x－2)＋2＝x＋2，解得x＝3. 经检验x＝3是原方程的根．
随堂检测
要点五：分式方程的应用 例5．某部队将在指定山区进行军事演习，为了使道路便于部队重型车辆通过， 部队工兵连接到抢修一段长3 600米道 路的任务，按原计划完成总任务的13后，为了 让道路尽快投入使用，工兵连将工作效率提高了50%，一共用了10小时完成任务， 原计划每小时抢修道路多少米？ 解：设原计划每小时抢修道路x米，根据题意，得
八年级下册第五章《分式与分式方程》
第五章 《分式方程》一、认识分式考点一：认识分式一般地，用A,B 表示两个整式，A ÷B 可以表示成B A ，如果B 中含有字母，那么称B A 为分式，其中A 称为分式的分子，B 称为分式的分母，对于任意一个分式，分母都不能为零。
考点二：分式的基本性质分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
用式子表示为B A =M B M A ∙∙=M B M A ÷÷（A,B,M 是整式，且M ≠0）。
例1 分式x--11可变形为 （ ） A. 11--x B.11+x C.x +-11 D.11-x 考点三：分式的约分根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。
分子与分母没有公因式（除去1）的分式成为最简分式。
例2 计算12412+-a a 的结果是 。
二、分式的乘除法考点一：分式的乘除法法则1. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。
2. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。
用式子表示为：（1）ac bd c d a b =∙ （2）adbc d c a b c d a b =∙=÷ 考点二：分子和分母都是单项式的分式相除分子和分母都是单项式的分式乘除法的解题步骤是：（1）含有分式除法运算时，先用分式除法法则把分式除法运算变成分式乘法运算；（2）再用分式乘法法则得出积的分式；（3）用分式符号法则确定积的符号；（4）用分式约分法则使积化成最简分式或整式（一般为单项式）。
例1 （1）化简aa a a 112-∙- （2）计算：ab b a 63÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-考点三：分子或分母是多项式的分式乘除分子或分母是多项式的分式乘除法的解题步骤是：（1）将原分式中含同一字母的各多项式按降幂（或升幂）排列，在乘除过程中遇到整式则视其为分母为1，分子为这个整式的分式；（2）把各分式中分子或分母里的多项式分解因式；（3）应用分式乘除法法则进行运算得到积的分式；（4）应用分式约分法则使积化成最简分式或整式。
第五章 分式与分式方程
甲
乙
进价（元/双）
m
m－2
售价（元/双）
240
160
已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．
（1）求m的值；（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价﹣进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
5.2分式的乘除法
一、知识点
1、分式的乘法、乘方法则、除法法则：
2、分式乘除法的实际应用
2、知识巩固与拓展
1、计算
4、已知 ，求：
5.3分式的加减法
1、基本知识点：
1、同分母分式的加减法；
2、通分的定义:根据分式的性质，异分母分式化成同分母分式，这个过程叫做通分
3、通分的方法：（1）分母分解因式；（2）确定最简公分母——各分母的所有因式的最高次幂的积；（3）分子分母同乘以一个因式，使分母成为最简公分母。
13、某车队要把4000吨货物运到雅安地震灾区（方案定后，每天的运量不变）．（1）从运输开始，每天运输的货物吨数n（单位：吨）与运输时间t（单位：天）之间有怎样的函数关系式？（2）因地震，到灾区的道路受阻，实际每天比原计划少运20%，则推迟1天完成任务，求原计划完成任务的天数．
14、一项工程，甲队单独做需40天完成，若乙队先做30天后，甲、乙两队一起合做20天恰好完成任务，请问：
4、异分母分式相加减：
5、分式加减法的最后结果要化成最简分式或整式。
6、分式的加减乘除混合运算。
北师大版初中数学八年级下册第五章分式与分式方程单元复习课件
a a2
1 1
a 1
1 a
的值.
解： a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 2 a2 3a 2 a 2
a2 1 1 a a2 1 a 1
a2 1
a2 1
a1
当a
1 5
时，原式=
1
5 1
2 1
11; 4
5
先化到最简，再代入求值.注意顺序！
四、分式方程
例8.下列关于x的方程是是分式方程的是（ D）.
x 2 2x 3 1 解这个方程得：
3 y1 y 4 解这个方程得：
x3
y3
当x 3时，x 3 0,所以x 3是原方程的增根. 经检验，y 3是原方程的解.
解分式方程的一般步骤：转化、求解、检验.
四、分式方程
例10.甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任
务比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单
(2) n 1 n 1 m1
x3
x3
n1 n1 m1
x3 x3 x3 x3
m1
m1
x3 x3
n1 n1 m1
x3 x3
m1
6 x2 9
m mn m1
异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同
分母分式的加减法法则进行计算. b d bc ad bc ad .
a c ac ac ac
三、分式的运算
x2
同分母的分式相加减， 分母不变，把分子相加减．
(2) m 2n 4m n . mn mn
(2) m 2n 4m n mn mn
m 2n 4m n mn
3m 3n mn 3
b c b c. aa a
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第五章 分式与分式方程
【学习目标】
1、掌握分式的定义、基本性质，会进行分式的运算。
2、会解可化为一元一次方程的分式方程
3、会解已知方程有增根时方程中有待定字母的值
【学习重难点】重点：分式的运算，解分式方程；
难点：分式的通分，分式方程的增根产生的原因。
【学习过程】
一、典型问题分析： 问题一：
1、下列各式1132x y +，1xy
，15a +，4xy -，2x x ，2
x x 中，分式的个数是（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
2、在4.5x ， 12
x +，21
x π+-，732x y -，12233x y z +-，211x x -+中，是分式的有（ ）
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
问题二：
（1）当x 时，分式
1
21
x x -+有意义； （2）当x 时，分式29
3
x x -+的值为零；
（3）若分式
3
2
x x +-无意义，则x = ； （4）当x 时，分式5
32
x +的值为正数。
问题三：
计算：⑴y
x x
x y x y x +⋅+÷+2
22
)(
⑵2
22
24421y xy x y x y x y x ++-÷
+-- ⑶224)2222(x x x x x x -⋅-+-+-
问题四：
解下列分式方程： （1）23=x 3x - （2）12
=
2x x+3
； （3）x 3
1=
x 1(x 1)(x+2)--- （4）224=x 1x 1
--
问题五：
.
2
1
322.
3
1
32912的值。
有增根，试求的方程、若关于有增根，增根可能是、若分式方程
K x x x k x x x x m --=+--=++-
二、归纳总结 三、课后作业 四、课后反思。