3.1.3方程的故事
数学故事《方程之谜》
数学故事《方程之谜》1. 简介《方程之谜》是一部以数学为主题的故事，它讲述了一位年轻的数学家在探索数学世界的过程中，如何解决一系列与方程相关的谜题。
这个故事不仅揭示了数学的魅力，还向读者展示了数学在现实世界中的应用。
2. 故事梗概故事的背景设定在一个充满数学气息的城市，主人公小李是一位热爱数学的年轻人。
他一直在寻找一个机会，证明自己的数学才华。
有一天，他无意间发现了一本神秘的书——《方程之谜》。
这本书中记载了许多著名的方程，每一个方程背后都隐藏着一个谜题。
小李决定挑战这些谜题，解开方程背后的秘密。
在解题的过程中，他不仅提高了自己的数学水平，还结识了一群志同道合的朋友。
3. 方程之谜以下是故事中涉及的一些著名方程及其背后的谜题：3.1. 方程一：一元二次方程方程形式： ax^2 + bx + c = 0谜题：求解一元二次方程 x^2 - 5x + 6 = 0，找出方程的两个根。
解题过程：根据一元二次方程的求解公式，我们可以得到：x1 = (5 + √(25 - 4×1×6)) / (2×1) = 3x2 = (5 - √(25 - 4×1×6)) / (2×1) = 2所以，方程 x^2 - 5x + 6 = 0 的两个根分别为 x1 = 3 和 x2 = 2。
3.2. 方程二：勾股定理方程形式： a^2 + b^2 = c^2谜题：假设一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，求斜边的长度。
解题过程：根据勾股定理，我们可以得到：c = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5所以，直角三角形的斜边长度为5。
3.3. 方程三：指数方程方程形式： a^x = b谜题：假设2^x = 8，求解x的值。
解题过程：将8表示为2的幂，即8 = 2^3，我们可以得到：2^x = 2^3根据指数方程的性质，我们可以得到：x = 3所以，方程 2^x = 8 的解为 x = 3。
人教版高中数学选修1-1《3.1.3导数的几何意义-函数的切线方程》
2
类型二：已知斜率，求曲线的切线方程
二、典例分析
例 1．平行于直线 2 x y 4 0 且与抛物线 y x 2 相切于 P( x0 , y0 ) 的切线方程是 .
解：设 P( x0，y0 ) 为切点，则切点的斜率为 y|x x0 2 x0 2 ．
∴ x0 1 ．
1) ． 0 由此得到切点 P(1， 故切线方程为 y 1 2( x 1) ， 即 2 x y 1
8
当x0 1时，k 3, 切线方程为y 8 3 x 2 y 3x 2 综上所述：切线方程为 y 12 x 16 或 y 3x 2
类型四：过曲线外一点，求切线方程
二、典例分析
1 0) 且与曲线 y 相切的直线方程为 例 4．过点 (2， x
切点未定，从而先设再求，设切点 x0 , y0 ，切线斜率为 k ， 切线方程可设为 y k ( x 2) ① y0 f x0 ，② k f
3 2 消去 k , y0 可得：而 x0 8 x0 2 x0 2 x0 4
解：设切点 P x0 , y0 切线斜率为 k ,为则切线方程为 y 8 k x 2 , 3 切点未定，从而先设再求，设切点 x0 , y0 ，切线斜率为 k ， y0 x0
( x0 1)2 3 5
3 5 5
5
类型二：已知斜率，求曲线的切线方程
二、典例分析
例 2．已知直线 y 2 x 1 与曲线 y x ax b 在 x 1 处相切，
3
则 b 的值为_________.
解析：将 x 1 代入 y 2 x 1 可得： y 3 ，又 f ' x 3x2 a ，
3人教版七年级数学上册第三章 3.1.1 一元一次方程 优秀教学PPT课件
【素养提升】 18．(12分)某通讯公司推出两种手机付费方式：甲种方式不交月租费， 每通话1分钟付费0.15元；乙种方式需交18元月租费，每通话1分钟付费 0.10元．两种方式不足1分钟均按1分钟计算． (1)如果一个月通话x分钟，那么用甲种方式付费应付话费多少元？用乙 种方式应付话费多少元？ (2)如果求一个月通话多少分钟时两种方式的费用相同，可以列出一个怎 样的方程？它是一元一次方程吗？ 解：(1)甲种方式应付话费0.15x元，乙种方式应付话费(18＋0.10x)元 (2)0.15x＝18＋0.10x，是一元一次方程
17．(10分)根据题意列出方程： (1)《文摘报》每份0.5元，《信息报》每份0.4元，小刚用7元钱买了两种 报纸共15份，他买的两种报纸各多少份？ (2)水上公园某一天共售出门票128张，收入912元，门票价格为成人每张 10元，学生可享受六折优惠．这一天出售的成人票与学生票各多少张？ (只列方程) 解：(1)设买《文摘报》x份，则买《信息报》(15－x)份，根据题意列方 程，得0.5x＋0.4(15－x)＝7 (2)设出售成人票x张，则出售学生票(128－x)张，根据题意列方程，得 10x＋60%×10×(128－x)＝912
当x = 4，5，6时呢?
1.若k是方程 2x=3 的解，则 4k+2=______.
2.若 xn2 4 0 是关于x的一元一次方程，则
n=______.
3.已知方程 x a 1 1是关于x的一元一次方程，则
a=______.
1. 一元一次方程的概念： 只含有一个未知数，未知数的次数是1，等号两 边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程.
回顾思考
1.你知道什么叫做方程吗？
方程： 含有未知数的等式叫方程.
解方程的故事
解方程的故事很久以前，人们就解决了一元一次方程与一元二次方程的求解问题。
（在初一和初二就会学习到有关内容）然而对一元三次方程的求解却使众多的数学家们陷入了困境，许多人的努力都以失败而告终。
1494年，意大利数学家帕西奥利（1445—1509年），对三次方程进行过艰辛的探索后作出极其悲观的结论，他认为在当时的数学中，求解三次方程，犹如化圆为方问题一样，是根本不可能的。
这种对以前失败的悲叹声，却成为16世纪意大利数学家迎接挑战的号角。
以此为序曲引出了我们要讲述的关于三次方程求解的故事。
故事中第一个出场的人物：大学教授，费罗（Scipione del Ferro,1465-1526）。
费罗在帕西奥利作出悲观结论不久，大约在1500 年左右，得到了x3+mx=n这样一类缺项三次方程的求解公式。
在求解三次方程的道路上，这是一个不小的成功。
但出乎我们意料的是，他并没有马上发表自己的成果以广为传播自己的成功。
相反，他对自己的解法绝对保密！这在“不发表即发霉”的今天，真是不可思议之事！在当时却有其原因。
那时一个人若想要保住自己的大学职位，必须在与他人的学术论争中不落败。
因此，一个重要的新发现就成了一件论争中处于不败之地的有力武器。
故事中第二个出场的人物：费罗的学生菲奥尔。
最后直到费罗临终前，大约1510年左右，他才将自己的这一“杀手锏”传给两个人：他的女婿和他的一个学生。
他那不学无术的女婿不久就将此抛之脑后了，这样他的学生菲奥尔以这一“杀手锏”唯一传人的角色在我们的故事中作为第二个人物露面了。
菲奥尔本人的数学才能并不突出，但他却因独得费罗秘技而以之炫耀于世。
只不过他“独此一家，别无分店”的招牌却没有挂太长的时间，一个厉害的挑战者塔塔利亚出现在他的面前。
故事中第三个出场的人物：塔塔利亚(Niccolo Tartaglia of Brescia,1499-1557）。
这是我们故事中出场的第三个人物，其原名丰塔纳。
1512年，在一次战乱中他被一法国兵用刀砍伤脸部，头部口舌多处受伤，其后虽侥幸活命，却留下了口吃的后遗症。
人教版七年级数学上第3章：3.1.1从算式到方程(教案)
-系数化为1时，学生可能会对分数的运算处理不当，导致解题失误。
举例：难点在于让学生理解为何在解方程时可以同时加减或乘除等式两边，可以通过具体示例，如3x + 5 = 14，演示如何将等式性质应用于方程求解。对于将实际问题抽象为方程的难点，可以设计一些贴近生活的题目，如“小华买了3本书和5支笔，一共花了14元，求每本书的价格”，帮助学生找到等量关系并建立方程。
3.发展学生的数据分析素养，通过分析方程的解，对数据进行比较和判断，提高数据分析和处理能力。
4.激发学生的数学抽象思维，掌握用字母表示数的代数表达方法，培养从具体到抽象的数学思维能力。
5.增强学生的数学应用意识，将所学方程知识应用于解决实际问题，体会数学与现实生活的联系，提高数学应用能力。核心素养目标与新教材要求相符，注重培养学生的综合能力和实际应用能力。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了方程的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对方程的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
今天我们在课堂上一起探讨了《从算式到方程》这一章节的内容。回顾整个教学过程，我觉得有几个地方值得反思和总结。
人教版七年级数学上第3章：3.1.1从算式到方程（教案）
一、教学内容
人教版七年级数学上第3章：3.1.1从算式到方程。本节课主要内容包括：
1.理解等式和方程的概念，掌握等式的性质和方程的解法。
2.学习用字母表示数，掌握代数式的书写和简化。
3.掌握一元一次方程的解法，包括移项、合并同类项、系数化为1等基本步骤。
人教A版数学必修一第三章3.1.1《方程的根与函数的零点》讲解与例题
3.1.1 方程的根与函数的零点1．函数零点的概念对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．比如，由于方程f(x)＝lg x＝0的解是x＝1，所以函数f(x)＝lg x的零点是1．辨误区函数的零点不是点我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点，因此函数的零点不是点，而是函数y＝f(x)与x轴的交点的横坐标，即零点是一个实数．当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零．例如，函数f(x)＝x＋1，当f(x)＝x＋1＝0时仅有一个实根x＝－1，因此函数f(x)＝x＋1有一个零点－1，由此可见函数f(x)＝x＋1的零点是一个实数－1，而不是一个点．【例1】函数f(x)＝x2－1的零点是( )A．(±1,0) B．(1,0)C．0 D．±1解析：解方程f(x)＝x2－1＝0，得x＝±1，因此函数f(x)＝x2－1的零点是±1．答案：D2函数零点(或零点个数)正比例函数y＝kx(k≠0)一个零点0反比例函数kyx=(k≠0)无零点一次函数y＝kx＋b(k≠0)一个零点b k -二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0Δ＞0两个零点－b±Δ2aΔ＝0一个零点－b2aΔ＜0无零点指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)无零点对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)一个零点1幂函数y＝xαα＞0一个零点0α≤0无零点【例2( )A．0 B．1 C．2 D．1或2解析：∵b2＝ac，∴方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＝b2－4b2＝－3b2．又∵abc≠0，∴b≠0．因此Δ＜0．故函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点个数为0．答案：A3．函数的零点与对应方程的关系(1)方程f(x)＝0有实根⇔函数f(x)的图象与x轴有交点⇔函数f(x)有零点．【例3－1】若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，求a，b的值．解析：因为函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点就是方程x2＋ax＋b＝0的根，故方程x2＋ax ＋b＝0的根是2和－4，可由根与系数的关系求a，b的值．解：由题意，得方程x2＋ax＋b＝0的根是2和－4，由根与系数的关系，得2(4), 2(4),ab+-=-⎧⎨⨯-=⎩即2,8.a b =⎧⎨=-⎩(2)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)与二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象联 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数 f (x )＝ax 2＋ bx ＋c (a ＞0) 的图象图象与x 轴交点 (x 1,0)，(x 2,0) (x 0,0) 无交点方程f (x )＝0的根 x ＝x 1，x ＝x 2 x ＝x 0 无实数根函数y ＝f (x )的零点x 1，x 2 x 0 无零点式即可．从形的角度沟通函数零点与方程的根的关系．【例3－2】函数y ＝f (x )的图象如图所示，则方程f (x )＝0的实数根有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：观察函数y ＝f (x )的图象，知函数的图象与x 轴有3个交点，则方程f (x )＝0的实数根有3个．答案：D点技巧 借助图象判断方程实数根的个数 由于“方程f (x )＝0的实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标”，因此，对于不能直接求出根的方程来说，我们要判断它在某个区间内是否有实数根，只需判断它的图象在该区间内与x 轴是否有交点即可．4．判断(或求)函数的零点(1)方程法：根据函数零点的定义可知：函数f (x )的零点，就是方程f (x )＝0的根，因此，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f (x )＝0是否有实数根，有几个实数根．例如，判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f (x )＝x ＋3x；(2)f (x )＝1－log 3x ．解：(1)令x ＋3x＝0，解得x ＝－3．故函数f (x )＝x ＋3x的零点是－3； (2)令1－log 3x ＝0，即log 3x ＝1，解得x ＝3． 故函数f (x )＝1－log 3x 的零点是3．(2)图象法：对于利用方程法很难求解的函数的零点问题，可利用函数的图象求解．我们知道，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程F(x)＝0即方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象的交点的横坐标．这样，我们就将函数F(x)的零点问题转化为函数f(x)与g(x)图象的交点问题，作出两个函数的图象，就可以判断其零点个数．【例4－1】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝x2＋7x＋6；(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；(3)f(x)＝2x－1－3；(4)f(x)＝24122x xx+--．解析：分别解方程f(x)＝0得函数的零点．解：(1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或－6．故函数的零点是－1，－6．(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1．故函数的零点是－1．(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26．故函数的零点是log26．(4)解方程f(x)＝24122x xx+--＝0，得x＝－6．故函数的零点为－6．辨误区忽略验根出现错误本题(4)中解方程后容易错写成函数的零点是－6，2，其原因是没有验根，避免出现此类错误的方法是解分式方程、对数方程等要验根，保证方程有意义．【例4－2】函数f(x)＝ln x－11x-的零点的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3解析：在同一坐标系中画出函数y＝ln x与11yx=-的图象如图所示，因为函数y＝ln x与11yx=-的图象有两个交点，所以函数f(x)＝ln x－11x-的零点个数为2．答案：C,5．判断零点所在的区间零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．确定函数的零点所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．但需注意以下几点：(1)当函数y＝f(x)同时满足：①函数的图象在区间[a，b]上是连续曲线；②f(a)·f(b)＜0．则可判定函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个．(2)当函数y ＝f (x )的图象在区间[a ，b ]上是连续的曲线，但是不满足f (a )·f (b )＜0时，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可能存在零点，也可能不存在零点．例如函数f (x )＝x 2在区间[－1,1]上有f (－1)·f (1)＞0，但是它在区间(－1,1)上存在零点0．(3)函数在区间[a ，b ]上的图象是连续曲线，且在区间(a ，b )上单调，若满足f (a )·f (b )＜0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有且只有一个零点．,【例5－1】求函数f (x )＝x 2－5x ＋6在区间[1,4]上的零点个数． 错解 错解一：由题意，得f (1)＝2＞0，f (4)＝2＞0，因此函数f (x )＝x 2－5x ＋6在区间[1,4]上没有零点，即零点个数为0．错解二：∵f (1)＝2＞0，f (2.5)＝－0.25＜0，∴函数在区间(1，2.5)内有一个零点；又∵f (4)＝2＞0，f (2.5)＝－0.25＜0，∴函数在区间(2.5,4)内有一个零点．∴函数在区间[1,4]内有两个零点． 错因分析对于错解一，是错误地类比了零点存在性定理，注意当f (a )·f (b )＞0时，区间(a ，b )内的零点个数是不确定的；对于错解二，注意当f (a )·f (b )＜0时，区间(a ，b )内存在零点，但个数是不确定的．正解由x 2－5x ＋6＝0，得x ＝2或x ＝3，所以函数f (x )＝x 2－5x ＋6在区间[1,4]上的零点个数是2．【例5－2】函数f (x )＝lg x －x的零点所在的大致区间是( ) A ．(6,7) B ．(7,8) C ．(8,9) D ．(9,10)解析：∵f (6)＝lg 6－96＝lg 6－32＜0，f (7)＝lg 7－97＜0， f (8)＝lg 8－98＜0，f (9)＝lg 9－1＜0，f (10)＝lg 10－910＞0，∴f (9)·f (10)＜0． ∴函数f (x )＝lg x －9x的零点所在的大致区间为(9,10)． 答案：D6．一元二次方程的根的分布(1)一元二次方程的根的零分布所谓一元二次方程的根的零分布，是指方程的根相对于零的关系．设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实根为x 1，x 2且x 1≤x 2①x 1＞0，x 2＞0⇔2121240,0,0.b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=->⎨⎪⎪⋅=>⎪⎩②x 1＜0，x 2＜0⇔2121240,0,0.b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩③x 1＜0＜x 2⇔ca＜0．④x 1＝0，x 2＞0⇔c ＝0，且b a ＜0；x 1＜0，x 2＝0⇔c ＝0，且ba＞0．(2)一元二次方程的根的k 分布研究一元二次方程的根的k 分布，一般情况下要从以下三个方面考虑： ①一元二次方程根的判别式．②对应二次函数区间端点的函数值的正负． ③对应二次函数图象——抛物线的对称轴2bx a=-与区间端点的位置关系． 设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的两实根为x 1，x 2，且x 1≤x 2，则一元二次方程x 1，x 2中有且仅有一个在区间 (k 1，k 2)内f (k 1)·f (k 2)＜0或f (k 1)＝0，k 1＜12<22k k b a +-或f (k 2)＝0，12<22k k b a+-＜k 2．__________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________【例6－1】已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的零点至少有一个在原点右侧，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝0时，f (x )＝－3x ＋1，直线与x 轴的交点为1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，即函数的零点为13，在原点右侧，符合题意．(2)当m ≠0时，∵f (0)＝1，∴抛物线过点(0,1)． 若m ＜0，函数f (x )图象的开口向下，如图①所示．二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧，一个在原点左侧．若m ＞0，函数f (x )图象的开口向上，如图②所示，要使函数的零点在原点右侧，当且仅当2(3)40,30,20m m mm m ⎧∆=--≥⎪-⎪>⎨⎪>⎪⎩⇒21090,03,0m m m m ⎧-+≥⎪<<⎨⎪>⎩⇒19,03m m m ≤≥⎧⎨<<⎩或⇒0＜m ≤1．综上所述，所求m 的取值范围是(－∞，1]．点技巧 研究函数图象性质有技巧 对于函数图象性质的研究，一是要注意特殊点，如本题中有f (0)＝1，即图象过点(0,1)；二是要根据题意，画出示意图，再根据图象的特征解决问题．【例6－2】关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0，求a 为何值时， (1)方程有一根； (2)两根都大于1；(2)方程一根大于1，一根小于1；(3)方程一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内．解：(1)当a ＝0时，方程变为－2x －1＝0，即12x =-符合题意； 当a ≠0时，方程为二次方程，因为方程有一根，所以Δ＝12a ＋4＝0，解得13a =-． 综上可知，当a ＝0或13a =-时，关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0有一根．(2)方程两根都大于1，图象大致如下图，所以必须满足：0,0,11,(1)0,a a a f >⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪>⎪⎩或0,0,11,(1)0,a a a f <⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪<⎪⎩解得a ∈∅．因此不存在实数a ，使方程两根都大于1． (3)因为方程有一根大于1，一根小于1，图象大致如下图，所以必须满足0,(1)0,a f >⎧⎨<⎩或0,(1)0,a f <⎧⎨>⎩解得a ＞0．(4)因为方程有一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，图象大致如下图，所以必须满足(1)0,(0)0,(1)0,(2)0,f f f f ->⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或(1)0,(0)0,(1)0,(2)0,f f f f -<⎧⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩解得a ∈∅．因此不存在实数a ，使方程有一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内．。
沪科版七年级数学上册3.1.3 一元一次方程的解法(2)课件
3
（2）5（m+8）– 6（2m – 7 ）= 1
解 去括号，得 5m+40 – 12m+42=1
移项，得 5m – 12m=1 – 40 – 42
系数化为1，得 m= 81
7
（3）5（x+2）=2（2x+7） 解 去括号，得
5x+10=4x+14 移项，得
5x – 4x=14 – 10 系数化为1，得
课堂小结
利用去括 号解一元 一次方程
去括号注意 事项
解含有括号 的一元一次 方程步骤
去括号 移项 合并同类项 ④系数化1
解一元一次方程的一般步骤
步骤 去分母
根据 等式性质2
注意事项 ①漏乘不含分母的项； ②注意给分子添括号.
去括号
分配律、去括号 ①不漏乘括号里的项；
法则
②括号前是“-”号，要变号.
3x 1 2 3x 2 2x .
2
10 5
去分母（方程两边同乘 各分母的最小公倍数）
5(3x 1) 10 2 (3x 2) 2(2x 3)
去括号
15x 5 20 3x 2 4x 6
移项
15x 3x 4x 2 6 5 20
合并同类项
16x 7
系数化为1
x 7 16
1 3
(m－1)＝2，
2－
1 3
m＋
1 3
＝2，
∴m＝1，
把m＝1代入，
得(x－3)－2＝(2x－5)，
x－3－2＝2x－5，
∴x＝0.
探究新知
利用去分母解方程
解方程：3x 1 2 3x 2 2x .
2
10 5
3.1.3缺陷反应方程式的写法
Al2O3 溶于
√
MgO的缺陷
反应式
缺陷反应方程式书写要点
找 找准掺杂物与基质物 写 写出阳离子置换缺陷 定 确定缺陷带电性质及数量
萤石结构的晶体可产生间隙离子。
必须遵循位置、质量、电荷平衡的规则。
位置关系
化合物MaXb中M 位置数和X位置数
总是保持a ∶b
质量平衡
缺陷方程的两边 必须保持质量平衡
电荷守恒
晶体即使出现了 各种缺陷也应 保持电中性
举例
CaO 中肖特基缺陷形成反应式 CaO中弗兰克尔缺陷形成反应式 Al2O3中肖特基缺陷形成反应式
举例
CaO掺入 ZrO2 的缺陷
材料科学基础西安建筑科技大学西安建筑科技大学313缺陷反应方程式的写法主体符号上标上标下标下标缺陷种类离子缺陷相对理想晶格的有效电荷缺陷所占的位置正常位实际的带电离子相对理想晶格位置的有效电荷克罗格明克符号位置关系化合物m位置数和x位置数总是保持a质量平衡缺陷方程的两边必须保持质量平衡电荷守恒晶体即使出现了各种缺陷也应保持电中性必须遵循位置质量电荷平衡的规则
材料科学基础
第3 章
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3.1.3缺陷反应方程式的写法
缺陷的符号（克罗格-明克符号）
缺陷种类 离 V
上标
主体
符号
下标
缺陷相对理想 晶格的有效电荷
• ′X
缺陷所占的位置
正常位 i s
2+ 实际的带电离子
相对理想晶格位置的有效电荷
缺陷反应方程式
七年级数学上册第三章一元一次方程3.1.1一元一次方程(图文详解)
为x元，则依题意可列出下列哪一个一元一次方程式（ ）
(A)15(2x20)=900
(B)15x202=900
(C)15(x202)=900 (D)15x220=900
【解析】选C.每份礼物的价格是（x＋202）元，15份礼
物的价格是15(x202)元.
人教版七年级数学上册第三章一元一次方程
人教版七年级数学上册第三章一元一次方程
七年级上册数学
第三章一元一次方程
人教版七年级数学上册第三章一元一次方程
第三章 一元一次方程
3.1 从算式到方程
3.1.1 一元一次方程
人教版七年级数学上册第三章一元一次方程
1.了解什么是方程、一元一次方程、方程的解. 2.体会字母表示数的好处、画示意图有利于分析问题、找 相等关系是列方程的重要一步、从算式到方程（从算式到 代数）是数学的一大进步. 3.会将实际问题抽象为数学问题，通过列方程解决问题.
4．已知数x-5与2x-4的值互为相反数，列出关于x的方程. 解：由题意得：（x-5）＋（2x-4）＝０.
人教版七年级数学上册第三章一元一次方程
1.方程、方程的解、一元一次方程的概念. 2.根据实际问题中的等量关系，用一元一次方程表示问 题中的数量关系. 注:分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系 列出方程,是用数学解决实际问题的一种方法.
人教版七年级数学上册第三章一元一次方程
一般地，要检验某个值是不是方程的解，可以用这个 值代替未知数代入方程，看方程左右两边的值是否相等．
任取x的值 代入 不成立
1 700+150x=2 450 成立
得方程的解
求方程的解的过程，叫做解方程．
人教版七年级数学上册第三章一元一次方程
3.1解方程的故事
随堂练习
求方程 x3 15x2 + 81x 175 = 0的根
解 令 x = y + 5代入方程
即得：( y + 5)3 15( y + 5)2 + 81( y + 5) 175 = 0
整理得：y 3 + 6 y 20 = 0
塔尔塔利亚解决的问题：
x3 + 3x2 = 5 x3 + 6x2 + 8x = 1000
他未公布答案，引来波罗拉学派的愤怒
塔尔塔利亚与菲奥尔决定举行竞赛，塔 尔塔利亚胜出，这是有史记载的第一次数 学竞赛.
菲奥尔
塔尔塔利亚
数学竞赛时间:1535年2月13日 数学竞赛地点:意大利---米兰
规则:双方各出三十个三次方程的问题给对方.
即：y3 + 6 y = 20
y = 3 10 + 108 3 10 + 108
即得一个根是x = y + 5 = 7
知识拓展
阿基米德（Archimedes，公元前287-212） 出生于西西里岛的叙拉古，曾在亚历山大跟 欧几里得的学生学习过，离开亚历山大后仍 与那里的师友保持联系，他的许多成果都是 通过与亚历山大学者的通信而保存下来的. 因 此，阿基米德通常被看成是亚历山大学派的 成员 .
卡尔达诺
1545年卡尔达诺出版《大术》一书，将 三次方程解的解法公诸于众，从而使自己在 数学界声名鹊起.
数学史上称三次方程的求根公式为：
“卡尔达诺”公式
x
解 x3 + mx = n 的法则：
用 x系数三分之一的三次方加上方程常数一半的平方；求这
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3.1.3方程的故事
【目标导引】
1. 理解等式的基本性质，并能初步运用它们来解方程.
2. 培养文字语言、符号语言这两种语言的转换的能力，提高应用数学的意识.
【学习探究】
【知识引导】
常见的等量关系：
①
标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)；
实际售价＝标价×打折率；
利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率；
②球赛总得分＝胜场得分＋平场得分＋负场得分
③路程=速度×时间相遇路程=速度和×相遇时间追及路程=速度差×追及时间
顺流速度=静水速度+水流速度逆流速度=静水速度－水流速度
顺水速度－逆水速度＝2×水速
④长方体体积＝长×宽×高圆柱体体积＝底面积×高
长方形面积＝长×宽；长方形周长＝2×(长＋宽) 圆的面积＝π×半径2；
圆的周长＝直径×π
⑤形状发生了变化，而体积没变
形状、面积发生了变化，而周长没变
⑥如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：
（1）总工作量=工作效率×工作时间；
（2）总工作量=各单位工作量之和．
⑦银行贷款问题
（1）利息=本金×利率×期数
（2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数)
（3）实得利息=利息-利息税
（4）利息税=利息×利息税率
（5）年利率＝月利率×12
（6）月利率＝年利率×1
12
⑧浓度问题
溶液质量=溶质质量+溶剂质量
浓度= 溶质
溶液
*100%
溶质质量=溶液质量×浓度．一．有关方程的概念
1．引言——一个猜数的游戏
问题1、请你想好一个数，按照下面的步骤进行以下运算，把最后的验算结果告诉我，我就能猜出你心中想的数。
现在我们做这个游戏：“想好一个数，加2，然后乘以3，再减去5，再减去你原来想的数，再乘以2，最后再减去1，把结果告诉我，我可以猜出你当初心里想的数。
”
2．请说明上面猜数的道理。
二．列方程的技巧——语言的翻译
1．代数的语言就是方程。
牛顿在《普遍的算术》一书里写道：“要解答一个含有数量间的抽象关系的问题时，只要把题目中的日常语言翻译成代数的语言就行了”。
列方程的诀窍就是这里的翻译技巧。
2．小试你的翻译能力
问题1、计算一个商人的钱
一个商人有一笔钱，第一年投资花去了100磅，年底赚了余额的三分之一；第二年又投入了100磅，年底又赚了余额的三分之一；第三年又投入了100磅，年底又赚了余额的三分之一；结果他的钱数恰好是原来的二倍。
问这个商人原来有多少钱？
问题2、马和骡子的故事
马和骡子并排走着，背上都驮着重重的包裹。
马埋怨说它的负担过重了。
“你抱怨什么？”骡子回答它：“你瞧，如果我从你的背上拿过一个包裹，我的负担就是你的两倍；如果你从我的背上拿走一个包裹，你驮的也不过和我的一样多。
”现在问：到底马与骡子谁驮的包裹多呢？
问题3、四兄弟
四兄弟共有45元。
如果老大的钱增加2元，老二的钱减少2元，老三的钱增加到原来的二倍，老四的钱减少到原来的一半，那么大家的钱就一样多了。
问个人有多少钱？
三．列方程的技巧——挖掘隐含条件
问题5、两罐咖啡
两个罐头，装满了咖啡，它们的形状相同而且是同样铁皮做成的。
第一个重2公斤，高是12厘米；第二个重一公斤，高是9.5厘米。
问每罐咖啡净重多少？
问题6、绿化队有几名工人
一个绿化队铺两片草坪，大的一片面积是小的二倍。
上午，全队都铺大片，下午调出一半的工人铺小片，另外一半在大片继续工作。
收工时，大片铺草坪的任务完成了，而小片还剩一小块，这块地还需要一个工人一天就能铺完。
你知道这个绿化队有几名工人吗？（假设所有工人的工作效率自始至终都相同）
问题7、理发馆里的溶液配制
理发馆里有两种过氧化氢溶液，它们的浓度分别为百分之30的和百分之3。
用这两种溶液怎样才能配制出浓度为百分之12的溶液？
问题8、你会求平均速度吗？
一辆汽车以每小时60公里的速度从甲城市开往乙城市，随后用每小时40公里的速度返回。
问它在整个行程中的平均速度是多少？。