点差法
定比点差法及其应用解说
定比点差法及其应用解说一、定比分点若，则称点为点、的定比分点．当时，点在线段上，称为内分点；当（）时，点在线段的延长线上，称为外分点．定比分点坐标公式：若点，，，则点的坐标为二、点差法点差法其实可以看作是方程的相减，是对方程的一个巧妙的处理。
若点在有心二次曲线上，则有两式作差得此即有心二次曲线的垂径定理，可以解决与弦的中点相关的问题．1、弦的中点点差法一个妙用：例1 已知椭圆，直线交椭圆于两点，为的中点，求证：为定值。
分析用常规方法设直线也可以解决，但是计算就很繁杂，在这里使用点差法。
解设，，在椭圆上：，作差得：即：，因为所以，为定值。
以上结论与弦的中点有关，也称为垂径定理。
考虑当椭圆为圆的时候，，则，，正好也符合圆的“垂径定理”。
在双曲线中同样有类似的结论，但定值为，在这里就不再推导了。
2、弦上的定比分点当弦上的点不再是中点时，就成了定比分点：设，，，则点坐标可以表示为：，证明设，，化简可得：，同理这时候就出现了这样形式的式子。
如果再凑出，可能大家就会有点感觉了：可以将椭圆的方程乘上一个再作差，得到这样的式子。
因此我们想到了“定比点差法”这样的技巧。
例2 已知椭圆，在椭圆外，过作直线交椭圆于两点，在线段上且满足：，求证：点在定直线上。
分析按照以上思路，要出现和这样的式子，很容易想到设的坐标，再表示出的坐标。
解设，，，则，结合图形得：则，在椭圆上：①，②得：即，所以在定直线上。
下面介绍定比点差法：若点在有心二次曲线上，则有两式作差得这样就得到了例7、过异于原点的点引椭圆的割线，其中点在椭圆上，点是割线上异于的一点，且满足．求证：点在直线上．证明：直接运用定比点差法即可．设，则有，设，则有又因为点在椭圆上，所以有两式作差得两边同除以，即可得到命题得证．例8、已知椭圆，过定点的直线与椭圆交于两点（可以重合），求的取值范围．解析：设，，则．于是，于是又因为点在椭圆上，所以有两式相减得将(1)代入(2)中得到由(1)(3)解得从而解得的取值范围为，于是的取值范围为．例9、设、为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，直线分别交椭圆于异于的点、，若，，求证：．证明：设，，，则于是有又由点在椭圆上得到两式相减得从而有结合(4)式可解得同理可得结合(5)式得到于是有整理得，命题得证．例10、已知椭圆，点，过点作椭圆的割线，为关于轴的对称点．求证：直线恒过定点．解析：因为三点共线，三点也共线，且三点都在椭圆上，我们用定比点差法去解决这个问题．设，，则，设与轴的交点为，，，则于是有由点在椭圆上得两式相减得将(2)代入(3)得。
点差法公式结论
点差法公式结论点差法公式结论是由美国数学家威斯康星·格雷厄姆（Wisconsin Grayham）发明的，他在1922年的一篇论文中提出了这个结论。
根据这个结论，如果两个曲线有相同数量的点，那么它们之间的点差就可以通过使用特定的公式来表示。
换句话说，如果两个曲线有相同数量的点，那么它们之间的点差可以通过以下公式来表示：点差=（P1-P2）/（x1-x2）其中，P1和P2是两条曲线上的两个点，而x1和x2是这两个点的x坐标。
点差法公式结论的作用在于可以帮助我们找出两条曲线之间的差异。
例如，如果两条曲线有相同数量的点，但是它们之间点差却不同，那么我们就可以用点差法公式来分析这两条曲线之间的差异。
此外，点差法公式还可以帮助我们分析出曲线的斜率、弧度和曲率。
点差法公式结论也可以用来估算复杂曲线的点差。
它可以帮助我们找出曲线的最大和最小值，以及曲线的方向变化。
例如，我们可以使用点差法公式来确定一条曲线是否是抛物线，是否是双曲线，或者是否呈现出l形的特征。
点差法公式结论也可以用来计算函数的导数。
它可以帮助我们估算函数在某一点处的斜率，从而可以帮助我们找出函数的最大值和最小值。
此外，点差法公式结论还可以帮助我们确定函数在某一点处是否有极值，从而可以帮助我们更好地理解函数的性质。
点差法公式结论也可以用来估算曲线的塑性应力与变形的关系。
此外，它还可以帮助我们估算曲线的摩擦因素，以及曲线上的点之间的关系。
总的来说，点差法公式结论是一种非常有用的工具，它可以帮助我们研究曲线之间的差异，以及曲线上点之间的关系，并且可以用来估算函数的导数，以及估算曲线的塑性应力和变形之间的关系。
由于它的简单易用，点差法公式结论广泛应用于各种数学领域，可以说它已经成为一种重要的数学工具。
点差法
C、[ 1，5）∪（5，+ ∞ ）
3、过椭圆 x2+2y2=4 的左焦点作倾斜角为300的直线，
16 则弦长 |AB|= _______ , 5
练习： 已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F， (1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.
(2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点
y12 y2 2 8( x1 x2 ) y1 y2 8 8 4 x1 x2 y1 y2 2
直线为y 1 4( x (1))
即4 x y 3 0
练习：过点Q(4,1)作抛物线y 2 8x的弦AB, 恰Q被平分， 求AB所在的直线方程.
解：（ 1 ）设交点坐标为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) 2 y12 1 x1 y1 y2 2( x1 x2 ) 2 相减得: 即k 4 2 x1 x2 y1 y2 y 2 x 2 1 2 2 直线方程为： y 4x 7
2 2.(2014·临汾模拟)椭圆 x
则这条弦所在的直线方程是______.
2
y 1
2
的一条弦被点 1 1 平分，
( ，) 2 2
【解析】设该弦与椭圆相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由 点
1 1 (， ，y ) )代入椭圆方程后作差可得 B(x 2 2 22
答案：2x+4y-3=0
椭圆的弦所在的直线方程.
解 : (2)5 12 9 12 45
5x 9 y 14 0
例5：已知椭圆方程为x 2 4 y 2 2 x 12 y 6 0 (1)求这椭圆中以A(2,1)为中点的弦所在直线方程 (2)求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程。
点差法求解中点弦问题
点差法求解中点弦问题点差法就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。
求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。
用点差法时计算量较少，解决直线与圆锥曲线的位置关系时非常有效，但有一个弊端，不能保证直线与圆锥曲线一定有两个交点，故有时要用到判别式加以检验。
【定理1】在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN -=⋅.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=-+-byy a x x.2212121212ab x x y y x x y y -=++⋅--∴又.22,21211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=.22a b x y k MN -=⋅∴ 【定理2】在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN =⋅.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-)2(.1)1(,1222222221221 b y a x by a x )2()1(-，得.02222122221=---b y y a x x .2212121212ab x x y y x x y y =++⋅--∴ 又.22,000021211212x y x y x x y y x x y y k MN==++--= .2200a b x y k MN =⋅∴ 【定理3】 在抛物线)0(22≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k MN=⋅0.证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎩⎪⎨⎧==)2(.2)1(,2222121 mx y mx y)2()1(-，得).(2212221x x m y y -=-.2)(121212m y y x x y y =+⋅--∴又01212122,y y y x x y y k MN =+--=.m y k MN =⋅∴0.注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在.一、椭圆1、过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (2,1)作一条直线交椭圆于A 、B 两点，使线段AB 被P 点平分，求此直线的方程．【解】 法一：如图，设所求直线的方程为y －1＝k (x －2)，代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0， (*)又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1、x 2是(*)方程的两个根，∴x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1.∵P 为弦AB 的中点，∴2＝x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1.解得k ＝－12，∴所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.法二：设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵P 为弦AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又∵A 、B 在椭圆上，∴x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16.两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0，即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∴y 1－y 2x 1－x 2＝－(x 1＋x 2)4(y 1＋y 2)＝－12，即k AB ＝－12.∴所求直线方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.2、已知椭圆+=1，求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程．【解答】解：设P （x ，y ），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． ∵P 为弦AB 的中点，∴x 1+x 2=2x ，y 1+y 2=2y ．则+=1，①+=1，②②﹣①得，=﹣．∴﹣=3，整理得：x+y=0．由，解得x=所求轨迹方程为：x+y=0．（﹣＜x ＜）∴点P 的轨迹方程为：x+y=0（﹣＜x ＜）；3、（2013秋•启东市校级月考）中心在原点，焦点坐标为（0，±5）的椭圆被直线3x ﹣y ﹣2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为=1 ．【解答】解：设椭圆=1（a ＞b ＞0），则a 2﹣b 2=50①又设直线3x ﹣y ﹣2=0与椭圆交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），弦AB 中点（x 0，y 0） ∵x 0=，∴代入直线方程得y 0=﹣2=﹣，由 ，得，∴AB 的斜率k==﹣•=﹣•=3∵=﹣1，∴a 2=3b 2②联解①②，可得a 2=75，b 2=25，∴椭圆的方程为：=1故答案为：=1．4、例1（09年四川）已知椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率22=e ，右准线方程为2=x .(Ⅰ) 求椭圆的标准方程；(Ⅱ) 过点1F 的直线l 与该椭圆相交于M 、N 两点，且3262||22=+N F M F ，求直线l 的方程. 解：（Ⅰ）根据题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====.2,222c a x a c e ∴1,1,2===c b a .∴所求的椭圆方程为1222=+y x . （Ⅱ）椭圆的焦点为)0,1(1-F 、)0,1(2F . 设直线l 被椭圆所截的弦MN 的中点为),(y x P .由平行四边形法则知：P F N F M F 2222=+.由3262||22=+N F M F 得：326||2=P F .∴.926)1(22=+-y x ①y D若直线l 的斜率不存在，则x l ⊥轴，这时点P 与)0,1(1-F 重合，4|2|||1222==+F F N F M F ，与题设相矛盾，故直线l 的斜率存在.由22a b x y k MN -=⋅得：.211-=⋅+x y x y ∴).(2122x x y +-=② ②代入①，得.926)(21)1(22=+--x x x 整理，得：0174592=--x x . 解之得：317=x ，或32-=x .由②可知，317=x 不合题意. ∴32-=x ，从而31±=y .∴.11±=+=x yk∴所求的直线l 方程为1+=x y ，或1--=x y .6、（2009秋•工农区校级期末）已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点M ，则点M 的坐标为．【解答】解：设直线与椭圆的交点分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则，两式相减，得=0，（y 1﹣y 2）（y 1+y 2）=﹣3（x 1﹣x 2）（x 1+x 2），=﹣3×，因为直线斜率为3，∴=3，∵两交点中点在直线x=，x 1+x 2=1，∴3=﹣3×1÷（y 1+y 2），∴=﹣．所以中点M 坐标为（，﹣）．故答案为：（，﹣）．7、如图，在DEF R t ∆中，25||,2||,90=+=︒=∠ED EF EF DEF ，椭圆C ：12222=+by a x ，以E 、F为焦点且过点D ，点O 为坐标原点。
点差法
点差就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。
求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。
利用点差法可以减少很多的计算，所以在解有关的问题时用这种方法比较好。
点差法：适应的常见问题：弦的斜率与弦的中点问题；①注意：点差法的不等价性；（考虑⊿>0）②“点差法”常见题型有：求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、垂直平分线问题。
在解答平面解析几何中的某些问题时，如果能适时运用点差法，可以达到“设而不求”的目的，同时，还可以降低解题的运算量，优化解题过程. 这类问题通常与直线斜率和弦的中点有关或借助曲线方程中变量的取值范围求出其他变量的范围。
与圆锥曲线的弦的中点有关的问题,我们称之为圆锥曲线的中点弦问题. 解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是:联立直线和圆锥曲线的方程,借助于一元二次方程的根的判别式,根与系数的关系,中点坐标公式及参数法求解.若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为,,将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为"点差法".求直线方程或求点的轨迹方程例1 抛物线X^2=3y上的两点A、B的横坐标恰是关于x的方程x^2+px+q=0，(常数p、q∈R)的两个实根，求直线AB的方程.解：设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则x1^2=3y1 ①；x1^2 +px1+q=0 ②；由①、②两式相减，整理得px1+3y1+q=0 ③；同理px2 +3y2+q=0 ④.∵③、④分别表示经过点A(x1,y1)、B(x2,y2)的直线，因为不共线的两点确定一条直线.∴px+3y+q=0，即为所求的直线AB的方程待定系数法例、分解因式x －x －5x －6x－4分析：已知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。
点差法公式焦点在y轴
点差法公式焦点在y轴
点差法是求抛物线焦点的一种方法，当抛物线的焦点在y轴上时，我们可以利用点差法来求解。
首先，我们知道抛物线的一般方
程是y = ax^2 + bx + c，其中a不等于0。
如果焦点在y轴上，那
么抛物线必然是开口向上或者向下的，也就是a的符号为正或者负。
首先，我们需要计算抛物线的顶点坐标，顶点的横坐标可以通
过-b/2a来求得。
然后，我们可以利用顶点坐标和抛物线的一般方
程来求得焦点的坐标。
如果抛物线开口向上，那么焦点的坐标为(Vx, 1/(4a) + Vy)，如果抛物线开口向下，那么焦点的坐标为(Vx, -
1/(4a) + Vy)，其中(Vx, Vy)为顶点的坐标。
另一种方法是直接利用抛物线的焦点公式来求解。
对于焦点在
y轴上的抛物线，焦点的坐标可以表示为(0, 1/(4a))或者(0, -
1/(4a))，具体取决于抛物线开口的方向。
这个公式可以直接用来求
解焦点的坐标，而不需要先求出顶点的坐标。
综上所述，当抛物线的焦点在y轴上时，我们可以通过点差法
或者直接利用焦点公式来求解焦点的坐标。
这样就能够全面地回答
这个问题了。
点差法八个公式
点差法八个公式
点差法通常用于计算外汇价格的波动范围。
以下是点差法的八个公式：
1. 交易成本 = 合约单位×点差×开仓价
2. 总手续费 = （开仓成本 + 平仓成本）×手续费比例
3. 每笔交易的净收益 = 成交金额×（买入价 - 卖出价）- 总手续费
4. 初始保证金 = 合约大小×开仓价÷杠杆
5. 可用保证金 = 账户余额 - 持仓所需保证金
6. 警戒线 = 账户余额×警戒线比例÷合约单位×开仓价
7. 强制平仓线 = 账户余额×强制平仓线比例÷合约单位×开仓价
8. 每个点的价值 = 合约大小÷报价货币兑基础货币的汇率
其中，合约单位是指每手的交易量，点差是指买价和卖价之间的价差，开仓价是指投资者开
仓时所支付的价钱，平仓成本是指投资者在平仓时所支付的价钱，手续费比例是指每次交易时需
要支付给券商的费用比例，杠杆是指投资者所能借取的最高资金比例，账户余额是指交易者在交
易帐户中的可用资金，持仓所需保证金是指用于维持未平仓头寸所需的保证金，警戒线比例是指
账户余额低于该比例时系统会强制关闭仓位，强制平仓线比例是指账户余额低于该比例后系统强
制平仓。
通过这些公式，投资者可以更准确地计算交易成本和收益率，调整仓位大小和资金管理策略，以提高投资效益。
椭圆点差法
椭圆点差法
点差法是处理椭圆和直线之间的关系中常常会使用到的一
种方法，在平时解题的时候，多运用点差法可以大大提高解题效率，省掉许多繁杂的计算过程，减少出错概率。
同时，点差法在解决椭圆中点弦长问题中用到的场合也比较多，该专题是高考的高频考点之一。
当然不管任何解题方法，都是需要去不断通过练习，加深对其的理解，只有彻底理解透彻，甚至能够倒推公式了。
这样做题才能够达到熟练运用的状态。
附上点差法公式图片：。
圆锥曲线专题点差法
点差法的应用技巧
定义：点差法是一种通过将两点坐标代入方程，然后相减来消元，简化计算的方法
应用场景：适用于求圆锥曲线中点坐标的问题
步骤：设两点坐标，代入圆锥曲线方程并相减，整理得到中点坐标的表达式
注意事项：需确保两点确实在圆锥曲线上，否则计算结果可能不准确
设两个点$P_1(x_1,y_1)$和 $P_2(x_2,y_2)$在圆锥曲线上
将两点代入圆锥曲线方程，得到两个等 式
将两个等式相减，消除$x_1, y_1, x_2, y_2$中的任意三个
整理得到一个关于$x_1, y_1, x_2, y_2$的二次方程
利用二次方程的性质，求出所求点的坐 标
点差法在圆锥曲线 中的应用
适用范围：点差法适 用于求两条平行直线 间的距离
解题步骤：利用点差法 求出两条平行直线间的 中点坐标，然后利用距 离公式求出距离
注意事项：在应用点差 法求距离时，需要注意 平行直线的斜率相等， 并且中点坐标的求解要 准确
实例解析：通过具体实 例解析点差法在求距离 中的应用，并给出相应 的解题步骤和答案
圆锥曲线专题点差法
汇报人：XX
目录
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点差法的基本原理
点差法在圆锥曲线 中的应用
点差法的应用技巧
点差法的注意事项
添加章节标题
点差法的基本原理
点差法是一种通 过将两个相交曲 线的交点坐标代 入方程，然后相 减来消去变量， 简化计算的方法。
点差法适用于解 决与中点、斜率 等有关的圆锥曲 线问题ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ尤其在 处理弦的斜率和 中点问题时非常 方便。
点差法的核心思想 是利用点差法公式 将两个交点的坐标 代入方程后相减， 得到一个关于斜率 的等式，从而解决 问题。
点差法计算方法
点差法计算方法解决圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是联立直线和圆锥曲线的方程，利用一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法来求解。
点差法是一种代点作差的方法，可以将直线和圆锥曲线的方程中的点代入并作差，从而得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以减少运算量。
对于以定点为中点的弦所在直线的方程，可以通过点差法来解决。
例如，在过椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分的问题中，设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)、B(x2,y2)，利用中点坐标公式可得到$x_1+x_2=4$和$y_1+y_2=2$。
由于A、B两点在椭圆上，因此$x_1+4y_1=16$和$x_2+4y_2=16$。
将这两个式子相减得到$(x_1-x_2)^2+4(y_1-y_2)^2=4$，因此$k_{AB}=-\frac{1}{2}$，所求直线的方程为$y-1=-(x-2)$，即$x+2y-4=0$。
对于探索性问题，如已知双曲线$x^2-y^2=1$，点M(1,1)能否作一条直线l，使l与双曲线交于A、B，且点M是线段AB的中点，可以假设存在这样的直线，然后验证它是否满足题设的条件。
由于这是一道中点弦问题，可以考虑点差法或韦达定理。
假设存在被点M平分的弦AB，且A(x1,y1)、B(x2,y2)，则$x_1+x_2=2$，$y_1+y_2=2$，$y_2=\frac{x_1-1}{x_2}$，$y_2=\frac{x_2+2}{x_1}$。
将这两个式子相减得到$2x^2-4x+3=0$，根据双曲线的方程$x^2-y^2=1$可知，直线AB与双曲线不相交，因此被点M平分的弦不存在，即不存在这样的直线l。
设弦端点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，弦PQ的中点M(x,y)，则有：x = (x1 + x2)/2.y = (y1 + y2)/2又根据椭圆的性质可知，有：x1 - x2)^2/a^2 + (y1 - y2)^2/b^2 = 1又因为直线y = 3x - 2过点M，所以有：y = 3x - 2将y带入椭圆方程，得到：x1 - x2)^2/a^2 + (9x1 - 9x2 + 4)^2/b^2 = 1将x带入直线方程，得到：y = 3x - 2将y带入椭圆方程，得到：x^2/25 + (3x - 2)^2/75 = 1化简得到：4x^2 - 12x + 7 = 0解得x = 1/2或x = 7/4当x = 1/2时，y = 3x - 2 = -3/2，此时P在椭圆上，Q不在椭圆上，不符合题意。
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点差法（选做）
对点差法掌握不太熟练的同学建议阅读例题及变式，选做练习题，注意知二得一。
例题：过点M （1，1）作斜率为﹣1
2
的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于A ，B
两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于 ． 分析：利用点差法，结合M 是线段AB 的中点，斜率为﹣
1
2
，即可求出椭圆C 的离心率． 解析：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则221122 1.x y a b +=，22
2222 1.x y a b
+=，
∵过点M （1，1）作斜率为﹣1
2
的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于A ，B 两点，
M 是线段AB 的中点，∴两式相减可得
22212().02a b
+-=
，a ∴=
∴c b ==，
∴2c e a =
=
．故答案为：2
． 点评：若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
一般用于已知斜率与中点坐标两者之一或两者都已知或未知，进而求解求解其它参数（离心率）的情况．
结论：在椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>中，若直线l 与椭圆相交于M,N 两点，点P （x 0，y 0）
是弦MN 中点，弦MN 所在的直线l 的斜率是MN K ,则有：MN K .2
020y b x a
=-.
变式一：已知直线与椭圆22
194
x y +=交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为P ，若直线的斜率为k 1，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2等于
分析：利用“平方差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．
解析：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x 0，y 0）．则
1202x x x +=，12
02
y y y +=，
21121y y k x x -=-，0
20y k x =，∴2211 1.94x y +=2222 1.94
x y +=两式作差并化简得
∴121212129
()()()()04
x x x x y y y y +-+
+-= ∴001922.04x y k +
⨯=，∴12904k k +=，∴k 1k 2=﹣94．故答案为：94
- 点评：本题考查了“平方差法”、设而不求，以及线段中点坐标公式、斜率计算公式的应用，属于中档题．如果知道上面的结论可以直接求解即可。
变式二：已知直线y=﹣x+1与椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>相交于A ，B 两点，且线段AB 的
中点在直线x ﹣2y=0上，则此椭圆的离心率为 __。
分析：利用两直线方程得到线段AB 的中点坐标，再利用点差法求出椭圆的离心率．
解析：联立120
y x x y =-+⎧⎨
-=⎩，得x=21,33y =，∴直线y=﹣x+1与x ﹣2y=0的交点为21
(,)33M ，
∴线段AB 的中点为21
(,)33
，设y=﹣x+1与22221x y a b +=的交点分别为A （x 1，y 1），B （x 2，
y 2），则1243x x +=
，122
3
y y +=，分别把A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）代入椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，得：22
1122
222222
1.1.
x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,两式相减，得2
121221212().()1()()2y y y y b x x x x a
+-=-=--+，
a 2
=2b 2
，
∴a ∴=
=，
∴2
c e a =
=． 点评：本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．关键是求出中点坐标，这样就转化为高考题相似的思路进行求解。
变式三：椭圆ax 2+by 2
=1与直线y=1﹣2x 相交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线
的斜率为
2，则a
b
的值为-____。
分析：设出A ，B 两点的坐标，把直线方程和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到A ，B 两点的横纵坐标的和，则A ，B 中点坐标可求，由斜率公式列式可得a
b
的值． 解析：设：点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
把y=1﹣2x 代入椭圆ax 2+by 2=1得：（a+4b ）x 2
﹣4bx+b ﹣1=0
△=（﹣4b ）2
﹣4（a+4b ）（b ﹣1）=4a+16b ﹣4ab ①．
1244b x x a b +=
+，121.4b x x a b -=+，12224x x b
a b
+=+， 12121212121222()41()122244y y x x x x b a
x x a b a b
+-+--+===-+=-=
++ 设M 是线段AB 的中点，∴M （24b a b +，4a
a b
+）．
∴直线OM
的斜率为4224a
a a
b b b a b +==
+
．则a
b =．代入①满足△＞0（a ＞0，b ＞0）． 点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了一元二次方程的根与系数关系，训练了斜率公式的应用，是中档题．
练习：
1、椭圆14162
2=+y x 的弦被点)1,2(P 所平分，求此弦所在直线的方程.
2、已知椭圆C 的方程x y 22
43
1+=，试确定m 的取值范围，使得对于直线4y x m =+，椭圆C 上有不同两点关于该直线对称.
3 已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线
21
=
x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。
4 椭圆122
=+by ax
与直线x y -=1交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中
点的直线的斜率为
23，b
a
的值为
5 过椭圆14
92
2=+
y x 内一点M （2,0）引椭圆的动弦AB ，则弦AB 的中点N 的轨迹方程是
6 已知椭圆2222=+y x 及椭圆外一点（0,2），过这点任意引直线与椭圆交于点A 、B ，求弦AB 的中点P 的轨迹方程。
7 已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的横坐标为2
1
，求椭圆的方程。
8。