2.1代数式(2)
《2.1 代数式的概念和列代数式》 知识清单
《2.1 代数式的概念和列代数式》知识清单《21 代数式的概念和列代数式》知识清单一、代数式的概念在数学中，代数式是由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式称为代数式。
单独的一个数或者一个字母也叫做代数式。
例如：5，a，3x ＋ 2y，ab 等都是代数式。
需要注意的是，代数式中不含有关系符号（如等号、大于号、小于号）。
像 3 ＝ x ，x ＞ 5 这样的式子就不是代数式。
代数式可以分为有理式和无理式。
有理式包括整式和分式。
整式是指只包含加、减、乘运算的代数式，且除数不能为字母。
像 3x，x² 2x ＋ 1 等都是整式。
分式则是指除数中含有字母的有理式，例如 2 ／ x ，（x ＋ 1) ／（x 1) 等。
无理式是指被开方数含有字母的代数式，如√x ，³√（x ＋ y) 等。
二、列代数式列代数式就是把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来。
1、抓住关键词语在列代数式时，要认真审题，抓住题目中的关键语句，准确理解数量关系。
例如，“x 的 3 倍与 5 的差”，其中“x 的 3 倍”表示为 3x ，“差”用减法，所以代数式为 3x 5 。
2、明确运算顺序在列代数式时，要注意运算顺序。
一般先读的先写，后读的后运算。
比如，“x 与 y 的和的平方”，先算和，即 x ＋ y ，再平方，所以代数式为（x ＋ y)²。
3、正确使用括号当需要改变运算顺序时，要正确使用括号。
比如，“a 减去 b 与 c 的和”，先算 b 与 c 的和，即 b ＋ c ，所以代数式为 a （b ＋ c) 。
4、注意单位在列代数式时，如果遇到单位名称，要根据具体情况添加括号。
例如，“小明跑步的速度是 a 米/秒，他跑了 5 分钟，所跑的路程是多少？”因为 5 分钟＝ 300 秒，所以路程为 300a 米。
5、多种情况分别列式当问题中涉及到多种情况时，要分别列式。
2022七年级数学上册第2章整式加减2.1代数式第2课时代数式习题课件新版沪科版38
11．甲、乙两地间的公路全长100 km，某人从甲地到乙 地的速度为m km/h，用代数式表示：
(1)此人从甲地到乙地需要用多长时间？ 解：此人从甲地到乙地需要用1m00 h.
(2)如果每小时多行5 km，那么此人从甲地到乙地需要用 多长时间？
如果每小时多行 5 km，那么此人从甲地到乙地需要用m1＋005 h.
12．[滁州全椒期中]如图，一个3×2的长方形(即长为3，宽为 2)可以用两种不同方式分割成3个或6个边长是正整数的小 正方形，即小正方形的个数最多是6个，最少是3个．
(1)一个5×2的长方形用不同的方式分割后，小正方形的个数 最多是多少个？最少是多少个？
解：一个5×2的长方形最多可分成10个小正方形， 最少可分成4个小正方形．
第2章 整式加减
2.1 代数式
第2课时 代数式
提示：点击 进入习题
核心必知 1 2 (1)数字；字母
(2)幂 (4)假分数
1C 2A 3B 4B
5 见习题
答案显示
6
[(1－a%)m＋(1－ a%)(1＋b%)m]万亿元
7D
8 见习题
9B
10 见习题
11 见习题 12 见习题
答案显示
1．用加、减、乘、除及乘方等运算符号把数或表示数 的字母连接而成的式子，叫做代数式．单个的数或 字母也是代数式．
A．原价降价15元后再打8折
B．原价打8折后再降价15元
C．原价降价15元后再打2折
D．原价打2折后再降价15元
10．用代数式表示． (1)a的平方与b的2倍的差； 解：a2－2b.
(2)m与n的和的平方与m与n的积的和； (m＋n)2＋mn. (3)x的2倍的三分之一与y的一半的差； 23x－12y. (4)比a除以b的商的2倍小4的数． 2ba－4.
沪科版七年级数学上册 2.1 代数式(第2章 整式及其加减 自学、复习、上课课件)
(4) 一般性：用字母表示数能更准确地反映事物的规律，更具
有一般性 .
感悟新知
例1 [母题 教材 P63 练习 T2] 填空：
知1－练
(1)买单价为 6 元的钢笔 a 支，共需 __6_a___元；
(2) 一台电视机的标价为 a 元，则 打 八 折 后 的 售价 为__0_.8_a__元；
解题秘方：类比用具体数表示数量关系的方式， 用字母表示数量关系 .
( 3a－2)岁，( a－b)千克， ( 3a+5b)元等
感悟新知
知2－讲
特别提醒 1. 在一个式子中如果含有 “=”“<”“>”“≤”“≥”
或“≠”，那么这个式子就不是代数式. 2. 单个的数或字母都可以写成它们与1 的乘积，
所以它们也是代数式. 3. 代数式中可以有括号，它的作用是指明运算
顺序.
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知1－练
1-1.[期中·北京朝阳区]一种商品每件盈利a 元，售出 60 件，共盈利___6_0_a____元(用含 a的式子表示).
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例2 填空：
知1－练
(1)三个连续偶数，若中间一个数为 2n，则其余两个 数分别为 _2_n__－__2_，__2_n_+_2__；
(2)若一个两位数，其个位数字为 a，十位数字为 b， 则这个两位数为 __1_0_b_+_a___. 解题秘方：紧扣各类数的特征，用字母表示这些
第二章 整式及其加减
2.1 代数式
学习目标
1 课时讲解
用字母表示数 代数式 列代数式 单项式 多项式 整式 代数式的值
学习目标
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
2.1 代数式的概念和列代数式 第2课时 教案 数学湘教版七年级上册(2024年)新版教材
第2章代数式第2课时【教学目标】1.进一步理解字母表示数的意义,能结合具体情境赋予字母实际意义;理解代数式和代数式的值的意义,能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义,在具体情境中能求出代数式的值.2.掌握列代数式的方法,会列代数式表示实际问题中的数量关系.体会用代数式表示数量和数量关系的简洁性与一般性.3.通过创设实际背景和引用符号,经历观察、体验、验算、猜想、归纳等数学过程,体会数学与现实世界的联系,增强符号感,发展运用符号解决问题的能力和数学探究意识.【重点难点】1.重点:理解具体代数式的意义,能够用代数式表示简单的数量关系.2.难点:正确列出代数式,解释代数式的实际意义.【教学过程】一、创设情境(多媒体展示:播放新中国成立70周年国庆阅兵式上女民兵和三军女兵两种方队的视频影像.)[过渡语]有一种视觉叫震撼!有一种感觉叫澎湃!相信国庆阅兵一定给同学们留下了难以磨灭的记忆,接下来请同学们完成下面的问题.在国庆阅兵式上,检阅了女民兵和三军女兵两种特殊方队,请据此回答:(1)若女民兵有a人,三军女兵有b人,两种方队共有女兵________人.(2)若三军女兵平均年龄为m岁,比女民兵平均年龄大n岁,则女民兵平均年龄为________岁.(3)若三军女兵共有m排,且每排有25人,则三军女兵的人数为________人.(4)女民兵方队用t秒走了s米,她们的平均速度可以表示为________米/秒.[处理方式]让学生独立思考理解题意,选出4名同学依次说出4个问题相应的数量关系式,其他同学纠错互评,规范答案.教师小结.这就是我们本节课所要学习的内容——列代数式.二、探究归纳探究点1:列代数式1.【说一说】出示P67“说一说”及P67例题前的内容.教师给出问题导引:围一个六边形需要6根火柴棍.(1)按教材的方式,围2个六边形需要几根火柴棍?围3个六边形需要几根火柴棍?(2)围10个这样的六边形,需要多少根火柴棍?(3)围100个这样的六边形,需要多少根火柴棍?你是怎样得到的?(4)每增加1个六边形就增加几根火柴棍?如果用m表示所围六边形的个数,那么围m个这样的六边形,需要多少根火柴棍?此过程可以使学生经历运用数学符号描述变化规律的过程,发展符号感和抽象思维.2.【典例评析】(1)出示P67例4.指定三名学生上台做题,然后学生小组内共同批改“板演”,待学生交流汇总后,请学生代表回答、评议、补充、总结.指导学生在列代数式时,列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词,比如该题中的“倍”“和”等,从而明确其中的运算关系,实际问题中要认真分析存在的数量关系,正确地列出代数式.(2)出示P68例5.分析:分段计费问题,读懂表格中的信息,判断用水量在哪个范围内,选择正确的水价,根据水费=用水量×水价进行列代数式.指导学生在列代数式时,理解实际问题中的数量关系,结果需带单位的不要忘记单位,有的还需要给代数式加上括号.【方法归纳】列代数式就是把实际问题中与数量有关的语句,用含有数、字母和运算符号的式子表示出来,也就是把文字语言转化为符号语言.①要抓住关键词语,明确它们的意义以及它们之间的关系,如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等;②厘清语句层次,明确运算顺序;③记一些概念和公式.【针对性训练】教材P69练习T1,2探究点2:代数式的意义1.【说一说】出示P68“说一说”.出示问题:25a表示什么呢?请大家编写能用此式来表达的实际问题.指导学生在独立思考的基础上,建立自己的情境框架,小组交流,随后全班交流,教师给予鼓励和引导,并作出积极的评价,共同归纳:25a可以赋予很多的实际意义.投影展示学生思考的多种结果.2.【方法指导】解这类问题的关键是:(1)认真分析代数式中含有哪些运算,它们运算顺序是什么,从而正确、简明地体现出代数式的运算顺序;(2)不会引起误解;(3)为了简明地叙述代数式的意义,也可以找出最后的运算,把它用语言表达出来,其他的运算用代数式表示.【针对性训练】教材P69练习T3三、交流反思引导学生回答如下问题:本节课学习了哪些基本内容?应注意什么问题?本节课中,我们认识了代数式,主要学习了:1.列代数式2.代数式的表示意义.四、检测反馈1.一个两位数,十位上的数字为a,个位上的数字为b,则这个两位数是()A.abB.a+bC.10a+bD.10ab2.已知三个连续偶数中间的一个为2n,则这三个数的和为________.3.某校共有学生a人,其中女生占45%,女生有________人,男生有________人.4.一件上衣x元,打八折后的售价是________元.5.一辆汽车由甲地以每小时60千米的速度驶向乙地,行驶4小时可到达乙地,则汽车朝乙地行驶t小时(t≤4)后离甲地________千米,离乙地________千米.6.今年李明m岁,前年李明________岁,8年后李明________岁.7.一个长方形的宽为a cm,长比宽的2倍少1 cm,这个长方形的长是________cm.8.举例说明下列代数式的意义.(1)4a2可以解释为________________.(2)x(1-5%)可以解释为________________.9.一台电视机成本价为a元,销售价比成本价增长25%,因库存积压,所以就按销售价的70%出售,问每台电视机的实际售价是多少元?五、布置作业基础:课本P69~70习题2.1T2,3,4,5综合:课本P70习题2.1T6,7六、板书设计七、教学反思在教学的过程中要注意积极参与到学生的小组讨论中,及时发现问题,解决问题.增强学生的自学与理解能力.优点:在实际情境中说明代数式的意义,让学生通过交流创设生活中最感兴趣的情境,学生从中能体会代数式在社会生活中的实际意义.发挥小组合作的积极作用,使每个同学都参与课堂,培养了学生善于观察、乐于探索研究的学习品质及与他人合作交流的意识.缺点:让学生小组合作解决疑惑时,仍有部分学生参与不到发现问题、探讨问题、解决问题的状态中,对于这部分学生教师关注度还不是很高.。
七年级数学上册 第2章 整式加减2.1 代数式 2代数式第2课时 代数式的意义教案 (新版)沪科版-
第2课时代数式的意义【知识与技能】能根据代数式和具体问题说出一个代数式表示的数量关系.【过程与方法】经历观察、体验、验算、猜想、归纳等数学过程，体会数学与现实世界的联系，增强符号感，发展运用符号解决问题和数学探究意识.【情感态度】在与他人交流过程中，感受数学活动的生动魅力，激发学生学习数学的兴趣.【教学重点】会求代数式的值并解释代数式值的实际意义.【教学难点】利用代数式求值推断代数式所反映的规律.一、情境导入,初步认识【情境】一位医生研究得出由父母身高预测子女成年后身高的公式：儿子身高是由父母身高的和的一半，再乘以1.08；女儿的身高是父亲身高的0.923倍加上母亲身高的和再除以2.（1）已知父亲身高a米，母亲身高b米，试用代数式表示儿子和女儿的身高；（2）女生小红父亲身高1.75米,母亲身高1.62米；男生小明的父亲身高1.70米，母亲身高1.60米.预测成年以后小红和小明谁个子高？【教学说明】利用学生十分关注的身高问题，调动起学生的兴趣，由此也告知学生数学来源于生活.二、思考探究，获取新知代数式的意义问题代数式的意义是什么？【教学说明】让学生明确代数式的意义，说出一个代数式所表示的实际意义.【归纳结论】说出代数式的意义，关键是要弄清它们所表示的数量之间的运算关系.三、运用新知，深化理解2-b2，正确的是（）A.a，b两数的平方差D.b，a两数的平方差()a+b3的意义是（）ab3.说出下列代数式的意义：(1)2a-b(2)2(a-b)(3)a-2b【教学说明】学生通过分析，与同伴交流，正确地列出代数式，让学生初步感受怎样列代数式.3.（1）a的2倍与b的差.（2）a与b的差的2倍.（3）a与b的2倍的差.四、师生互动，课堂小结1.让学生充分发表自己的感受，相互补充.2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？1.布置作业：从教材第60、62页“练习”和第67页“”中选取.2.完成同步练习册中本课时的练习.这节课学生进一步理解了代数式和代数式值的概念，锻炼学生的计算能力，激发学生的兴趣.。
2.1 代数式(第2课时 列代数式)(课件)七年级数学上册(沪科版2024)
)
A. ( m －8％)( m ＋9％)万元
C. ( m －8％＋9％)万元
B. (1－8％)(1＋9％) m 万元
D. ( m －8％＋9％) m 万元
知识点2
用代数式表示实际问题中和差关系
4. 已知某轿车的油箱容量是60 L，每公里耗油0.07 L，此轿车在加满油
元；若旅
游团人数为22人，门票费用是 3 180 元 .
(2)设旅游团人数为 x 人( x 为正整数)，试用含 x 的代数式
表示该旅游团的门票费用 y (元).
【解】当0＜ x ≤20时， y ＝150 x .
当 x ＞20时， y ＝20×150＋60％×150( x －20)＝90 x
＋1 200.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
方法.
情景导入
今年暑假，老师从深圳出发，随旅游团到北京旅游.
虽然做了充分准备，但是还遇到了许多数学难题.希望大
家能帮帮老师！
情景导入
1.深圳的气温为 x ℃，北京的气温比深圳低4℃，北京的气温为
x-4
_____℃.
2.深圳到北京的距离是 s km，高铁的速度为 300 km/h，从深圳到北
s
京需_____h.
沪科版（2024）七年级数学上册
2.1 代数式
第二课时 列代数式
第二章整式及其加减
目录/CONTENTS
学习目标
情景导入
新知探究
分层练习
课堂反馈
课堂小结
学习目标
1.了解代数式的概念，能用代数式表示简单问题中
的数量关系；
2.在具体情境中，能求出代数式的值，并解释它的
实际意义．
《2.1代数式》作业设计方案-初中数学沪科版12七年级上册
《代数式》作业设计方案（第一课时）一、作业目标通过本次作业，使学生能够：1. 掌握代数式的基本概念和表示方法。
2. 理解代数式中变量与常量的关系。
3. 学会用代数式表示简单的数量关系。
4. 培养学生的逻辑思维能力和数学应用能力。
二、作业内容1. 基础知识巩固：- 复习代数式的基本概念，如代数式、变量、常量等。
- 练习书写简单的代数式，并正确标注变量和常量。
2. 概念应用：- 通过实例让学生理解代数式在现实生活中的应用，如速度、距离等。
- 让学生尝试用代数式表示日常生活中的一些数量关系。
3. 基础运算练习：- 练习代数式的加减法运算，包括合并同类项和去括号等。
- 通过具体问题，让学生进行代数式的加减法运算练习，如求解简单的一元一次方程。
4. 综合运用：- 设计综合性问题，要求学生运用所学知识解决实际问题，如用代数式表示并解决一个购物问题。
- 通过小组合作，让学生互相交流解题思路和方法。
三、作业要求1. 学生需独立完成作业，不得抄袭他人答案。
2. 书写要规范，步骤要清晰，答案要准确。
3. 对于不理解的题目，可以查阅教材或向老师请教。
4. 按时提交作业，并认真对待每一次作业的反馈。
四、作业评价1. 教师将根据学生完成作业的准确度、步骤的清晰度以及书写的规范性进行评价。
2. 对于表现优秀的学生，将在课堂上进行表扬，并作为学习榜样。
3. 对于存在问题的地方，教师将进行针对性的指导和纠正，并要求学生及时改正。
五、作业反馈1. 教师将对每一次作业进行详细的批改，并在课堂上进行反馈。
2. 学生需要根据教师的反馈，及时纠正错误，并加强对错题的分析和理解。
3. 教师将根据学生的作业情况，调整教学计划，以确保教学质量的提高。
4. 鼓励学生与同学交流学习心得和解题方法，形成良好的学习氛围。
通过以上的作业设计方案，旨在通过多种形式的练习，使学生能够全面掌握代数式的基本概念和表示方法，培养学生的逻辑思维能力和数学应用能力。
2.1代数式例题与讲解
2.1 代数式1．用字母表示数(1)偶数与奇数的概念及表示①像0，±2，±4，±6，…，能被2整除的整数叫做偶数．如果用k表示任意一个整数，那么任意一个偶数可以用2k表示．②像±1，±3，±5，…，不能被2整除的整数叫做奇数．如果用k表示任意一个整数，那么任意一个奇数可以用2k－1(或2k＋1)表示．③偶数与奇数可以是负整数；0是偶数．(2)用字母表示数的意义用字母表示数，可以把一些数量关系更简明地表示出来，把具体的数换成抽象的字母，使所得式子反映的规律具有普遍意义，从而为叙述和研究问题带来方便．①用字母表示数可以简明地表达数学运算律．用字母可以简明地表示加法交换律、乘法交换律、加法结合律、乘法结合律、分配律等．②用字母表示数可以简明地表达公式、法则．用字母可以表示三角形面积公式、正方形、长方形、圆及梯形的周长、面积等公式，分数运算法则等．③用字母表示数可以简明地表达问题中的数量关系．例如，有两个数，其中第二个数比第一个数小4.用字母可以清楚地表明这种数量关系，如果用字母a表示第一个数，则第二个数为a－4；如果用字母b表示第二个数，则第一个数为b＋4.④用字母表示数可以简洁、准确地表达一些数学概念．如用a与b表示互为相反数的两个数，则a＋b＝0；若a＋b＝0，则a与b互为相反数．(3)用字母表示数应注意的问题①字母的确定性：在同一个问题中，同一个字母表示同一个量，不同的量要用不同的字母来表示．如长方形的长和宽要分别用a，b两个字母表示，面积用S表示，则有S＝ab.②字母的限制性：用字母表示实际问题的某一数量时，字母的取值须使实际问题有意义，并且符合实际．如表示人的数量的字母的取值必须是非负整数．③字母具有一般性：用字母可以表示我们已经学过的和今后要学的任何一个数．④字母的不确定性：同一个式子可以表示多种实际问题中的数量关系．⑤字母的抽象性：要逐步理解和接受有些问题的结果可能就是一个用字母表示的式子．【例1－1】若n为自然数，则三个连续的自然数可表示为______，三个连续的奇数可表示为______，三个连续的偶数可表示为______．解析：(1)每两个连续自然数相差1，所以如果中间的自然数为n，则较小的自然数为n －1，较大的自然数为n＋1；(2)奇数一般用2n－1或2n＋1表示，偶数一般用2n表示，而且每两个连续奇数或偶数相差2.答案不唯一，只要符合连续自然数相差1，连续奇数或偶数相差2都正确．实际上在表示连续的几个数时，一般先表示中间的那一个数，再根据数的特点表示其他的数．如表示三个连续的偶数时，先表示中间一个为2n，则另外两个可以表示为：2n－2,2n＋2.答案：答案不唯一，如：n－1，n，n＋1；2n－3，2n－1，2n＋1；2n－2,2n,2n＋2.【例1－2】填空：(1)买一个篮球需要m元，买一个排球需要n元，则买3个篮球和5个排球共需要__________元；(2)今天，参加全省课改实验区的初中毕业考试的同学约有15万人，其中男生约有a万人，则女生约有__________万人；(3)如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，则搭n条“金鱼”需要火柴__________根．解析：(1)显然买3个篮球需要3m 元，买5个排球需要5n 元，则买3个篮球和5个排球共需要(3m ＋5n )元；(2)女生的人数等于总人数减去男生的人数，由于男女同学共15万人，而男生有a 万人，则女生有(15－a )万人；(3)观察发现：搭1条“金鱼”需要火柴8根，搭2条“金鱼”需要火柴14根，搭3条“金鱼”需要火柴20根，而8＝6×1＋2,14＝6×2＋2,20＝6×3＋2，…，所以搭n 条“金鱼”需要火柴(6n ＋2)根．注意：“(3m ＋5n )元”、“(15－a )万人”、“(6n ＋2)根”中表示和或差的式子一定要加括号．答案：(1)(3m ＋5n ) (2)(15－a ) (3)(6n ＋2)2．代数式(1)代数式的概念用加、减、乘、除及乘方等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式．如：90a ，a ＋b ,2k －1,4a ，a 2，s v ，13πr 2h 等都是代数式． 单个的数或字母也是代数式．如m ，－2 013也是代数式．(2)代数式的书写规定①代数式中如果出现乘号，可以写成“·”或不写．字母与字母相乘时“×”省略，按字母表顺序书写，如m ×n 写成mn ，相同字母写成幂的形式，如a ×a 写成a 2，(a ＋b )×(a ＋b )写成(a ＋b )2.数字与字母相乘时省略“×”，数字要写在字母的前面，若数字是带分数要化成假分数，如4×n 写成4n ,112×a 写成32a . 数字与数字相乘时乘号不能省略，也不能写成“·”，仍用“×”．②在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写，即除号不用，改用分数线．如s÷t 写成s t ，x ÷2一般写成x 2或12x . ③若是和差形式的代数式，式子后面有单位时，要在单位前把代数式括起来．如t ℃升高2 ℃后是(t ＋2) ℃，不能写成t ＋2 ℃.(3)代数式的读法代数式的读法一般有两种：一是按运算关系来读，如x ＋9读作x 加9；另一种是按运算结果来读，如x ＋9读作x 与9的和．另外，对于含有括号的代数式，应把括号里的代数式看作一个整体按运算结果来读．谈重点 如何判断一个式子是不是代数式(1)判断一个式子是不是代数式的关键是看式子中有没有运算符号，是不是数字和字母参与运算，单独的一个数或字母可以看成是它与1的积或它除以1的商，也可以看成是这个数与0的和或差． (2)代数式中只能有运算符号，不应含有“＝”或“＞”“＜”“≥”“≤”等符号，即等式或不等式都不是代数式．(4)列代数式列代数式就是把问题中的一些数量关系用代数式表示出来．列代数式的实质就是把文字语言转化为数学符号语言．列代数式应遵循下列关键点：①抓住“多”“少”“大”“小”“和”“差”“积”“商”“倍”“分”“平方”“比”“几分之几”“除”“除以”等关键词语，弄清各量之间的关系．②明确数量关系中的运算顺序，一般是先说的先算，后说的后算，如“和的积”是加在乘之前，而“积的和”是乘在加之前．③准确理解“的”和“与”划分的语句层次．“的”表示从属关系，“与”表示并列关系．解技巧 正确列代数式列代数式时，若先说低级运算，再说高级运算必须加括号，先说高级运算，再说低级运算，则不必使用括号．如x 与1的差的3倍应写成3(x －1)，必须加括号，而x 的3倍与1的差，则写成3x －1，不必加括号．【例2－1】 “比a 的32大1的数”用代数式表示是( )． A ．32a ＋1 B ．23a ＋1 C ．52a D ．32a －1 解析：根据题意可知“a 的32”可以表示为32a ，大1，用加法，所以，“比a 的32大1的数”用代数式表示为32a ＋1，故选A. 答案：A【例2－2】 判断下列式子中，哪些是代数式？0,4x ＋5y ，x ，－40,20＋5x ,3x ＝2y ,2＋1＝3,3x ＞0.分析：根据代数式的概念可判断4x ＋5y ，20＋5x 是代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式，则0，x ，－40也是代数式；而3x ＝2y ,2＋1＝3,3x ＞0不符合代数式的概念．因此它们不是代数式．解：0,4x ＋5y ，x ，－40,20＋5x 是代数式．3．整式(1)单项式①单项式的概念由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式．如4a ，a 2，13πr 2h 等都是单项式． 单个的字母或数也是单项式．如－3，a 也是单项式．②单项式的系数单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．如4a ，a 2，－a ，13πr 2h 的系数分别是4,1，－1，13π. 单项式的系数是1或－1时“1”省略不写，如a 2，－a 的系数分别是1和－1，其中“1”要省略不写．③单项式的次数一个单项式中，所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数．如4a ，a 2，13πr 2h 的次数分别是1,2,3. 析规律 判断单项式及其次数(1)判定一个代数式是否是单项式，关键是看式子中的数与字母或字母与字母之间是不是纯粹的乘积关系(乘方也是一种乘积形式)．如果含有加、减、除的关系，那么它就不是单项式．凡是字母出现在分母中的代数式，也一定不是单项式．(2)单项式的次数指的是所有字母的指数的和，如果字母没有写指数，那么这个字母的指数是1，特别注意，π是常数不是字母，单项式的系数是带分数时，通常写成假分数．(2)多项式①多项式的概念几个单项式的和组成的代数式叫做多项式．如：a ＋b ,2k －1，x 2＋2x －3等都是多项式． ②多项式的项在多项式里，每个单项式叫做多项式的项．多项式的每一项都包括它前面的符号． 如3x 2－2y －9的项是3x 2，－2y ，－9.③常数项 不含字母的项，叫做常数项，注意常数项也包括它前面的符号．如多项式3x 2－2y －9中的常数项是－9，而不是9.④多项式的次数在多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．如多项式3x 2－2y －9的次数是2，这个多项式是二次多项式．⑤一个多项式有几项，这个多项式叫做几项式如多项式3x 2－2y －9是三项式．于是可按多项式的次数与项数区分多项式．如4a 2b －3ab ＋2a －1是三次四项式．解技巧 对多项式及相关概念的理解(1)多项式至少是两项，多项式中一定含有加减运算；(2)一个多项式中，任意一项的次数都不大于这个多项式的次数；(3)当多项式中某项的系数是用科学记数法表示的形式时，不要把10的指数算成是该项次数的一个组成部分．(3)整式单项式与多项式统称整式．谈重点 单项式与多项式的区别(1)单项式的系数应包括前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数相加的结果，只与字母有关，而与系数无关，数字单项式的次数是0.(2)多项式没有系数，它的次数与组成的各个单项式的次数有关，用次数最高的单项式的次数代表多项式的次数．我们可以用一个多项式的次数与项数对多项式进行分类．(3)判定一个式子是单项式还是多项式，首先判定它是否是整式，若分母中含有字母，则它一定不是整式，因此也不可能是单项式或多项式；而单项式与多项式的区别在于看是否含有加减运算，含有加减运算的整式是多项式，不含加减运算的整式是单项式．【例3－1】 找出下列各代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数．23ab 2，－y ，a mn ，xy 3＋5,25x 7，－3x 2y 3z ，πr 2. 分析：代数式a mn 含有分母，并且分母中有字母，所以不是单项式；xy 3＋5含有加法运算，也不是单项式．解：单项式是23ab 2，－y ,25x 7，－3x 2y 3z ，πr 2. 23ab 2的系数是23，次数是3；－y 的系数是－1，次数是1；25x 7的系数是25，次数是7；－3x 2y 3z 的系数是－3，次数是6；πr 2的系数是π，次数是2.【例3－2】 下列代数式，哪些是多项式？说出多项式的项，并指出它是几次几项式．(1)x 4－2x 3＋x －5；(2)a 3－ab 2＋3a 2b 2－14b 3－1； (3)2a ＋x y； (4)t －s ＋9s 2.分析：第三个代数式2a ＋x y 中的第二项不是单项式，所以2a ＋x y不是多项式．多项式x 4－2x 3＋x －5的次数是4，多项式a 3－ab 2＋3a 2b 2－14b 3－1的次数是4，多项式t －s ＋9s 2的次数是2.解：x 4－2x 3＋x －5，a 3－ab 2＋3a 2b 2－14b 3－1，t －s ＋9s 2是多项式． x 4－2x 3＋x －5的项是x 4，－2x 3，x ，－5，它是四次四项式；a 3－ab 2＋3a 2b 2－14b 3－1的项是a 3，－ab 2,3a 2b 2，－14b 3，－1，它是四次五项式； t －s ＋9s 2的项是t ，－s,9s 2，它是二次三项式．4．代数式的值(1)代数式的值的概念①概念：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值．②代数式的值，一般不是一个固定的数，它是随着代数式中字母取值的变化而变化的，是根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式的运算关系计算所得的结果．(2)注意事项①代数式与代数式的值是两个不同的概念，代数式表述的是问题的一般规律，而代数式的值是这个规律下的特殊情形．②代数式的字母取值，必须使要求的代数式有意义．如在代数式s t中，当t ＝0时，代数式没有意义．③当代数式表示实际问题的数量关系时，字母的取值还要保证具有实际意义．如a 表示学生人数，则a 只能取正整数．(3)求代数式的值求代数式的值，其步骤有两步：①用数值代替代数式里的字母，简称“代入”；②按照代数式指明的运算，计算出结果，简称“计算”．谈重点 求代数式的值需注意的几点(1)代入时，按已知给定的数值，将相应的字母换成数字，其他的运算符号、原来的数字都不能改变．(2)代数式中原来省略的乘号，代入数字后出现数字与数字相乘时，必须添上乘号．(3)代数式的值是由所含字母取值确定的，是随着代数式中字母的取值的变化而变化的，所以求代数式的值时，在代入前，必须写出“当……时”，表示代数式的值是在这种情况下求得的．(4)如果字母给出的数值是负数，代入时必须加括号．(5)如果字母给出的数值是分数，作乘方运算时也必须添上括号．【例4】 已知a ＝23，b ＝－4，求代数式a 2－b 2＋3a －b 的值． 分析：把a ，b 的值代入到代数式中，可得a 2－b 2＋3a －b ＝⎝⎛⎭⎫232－(－4)2＋3×23－(－4)，再按有理数的运算法则计算．解：当a ＝23，b ＝－4时， a 2－b 2＋3a －b＝⎝⎛⎭⎫232－(－4)2＋3×23－(－4) ＝49－16＋2＋4＝－959.5．列代数式的方法(1)正确列代数式的关键在于：①正确理清数量关系；②善于抓住关键词语；③能正确判断数量关系中的运算顺序．(2)两种常用的列代数式的方法方法一：“翻译法”．列代数式的关键之一在于分清数量关系中的运算层次和运算顺序，一般地叙述数量关系的顺序与代数式的书写顺序基本上是一致的，即可按照“先读的先写”这种类似英语中的“翻译”的方法来列代数式．方法二：“方程法”．列代数式的关键之一在于正确地理清各数量之间的关系．一般问题中数量间的关系是容易找到的，但当题目中所涉及的各数量之间的关系不容易理清时，可借助方程的思想来帮助分析．【例5－1】 用代数式表示：(1)a ，b 两数和的2倍与a ，b 两数积的差；(2)a ，b 两数和的平方与a ，b 两数平方差的商；(3)a ，b 两数和的倒数与它们的积的差的平方．解：(1)2(a ＋b )－ab ；(2)(a ＋b )2a 2－b 2；(3)⎝⎛⎭⎫1a ＋b －ab 2. 【例5－2】 汛期来临时，某地区决定实施“海堤加固”工程．某工程队承包了该项目，计划每天加固60米．在施工前，得到气象部门的预报，近期有“台风”袭击该地区，于是工程队改变计划，每天加固的海堤长度是原计划的1.5倍，这样赶在“台风”来临前完成加固任务．设该地区要加固的海堤长为a 米，则完成整个任务的实际时间比原计划时间少用了多少天．(用含a 的代数式表示)解：完成整个任务原计划用的时间－完成整个任务的实际时间＝完成整个任务的实际时间比原计划时间少用的天数．原计划用a 60天，实际上用了a 60×1.5天，所以少用了a 60－a 90＝a 180(天)．6.用字母表示数学规律(1)数字规律一组数字或等式有一定的规律，可以用字母来表示．常见的有两类：①数字：如偶数、奇数、比某一个数的几倍多(少)多少．②等式：具有一定规律的计算等式．(2)图形规律图形中的数学规律用具体数字表示有些困难，而用字母表示非常简洁．用字母表示图形中的规律的方法及步骤：①根据题目中提供的图形分析其中蕴含的规律；②用字母列出式子．释疑点 用字母表示数学规律(1)用字母表示图形中的规律与用数字表示规律本质是一致的．(2)规律探索是一种观察、归纳、猜想验证的过程，对于这样的题目要数形结合，从特殊到一般，用字母表示最终的结果，更能反映图形的变化规律．【例6－1】 观察下列算式：①1×3－22＝3－4＝－1；②2×4－32＝8－9＝－1；③3×5－42＝15－16＝－1；④____________________；……(1)请你按以上规律写出第4个算式；(2)把这个规律用含字母的式子表示出来．解：(1)4×6－52＝24－25＝－1.(2)答案不唯一．如n(n＋2)－(n＋1)2＝－1(n∈正整数)．【例6－2】用火柴棒按如下方式搭图：(1)填写下表：(2)分析：(1)可采用数的办法填空；(2)有两种方法：一是观察图形，确定每增加一个三角形需要增加的火柴棒的根数；二是通过观察上表中数的关系，从而找到规律．解：(1)357911(2)照题中规律搭下去，搭n个这样的三角形需要火柴棒的根数为3＋2(n－1)．7.代数式求值的方法求代数式的值常用的方法有：直接代入计算、整体代入计算、按指定的程序代入计算．(1)直接代入计算当已知一个代数式中各字母的取值时，可以用直接代入计算的方法．(2)整体代入计算已知含有两个字母或多个字母的代数式的值，求另一个代数式的值时，可以选用整体代入的方法．整体代入步骤：①对已知代数式或所求代数式进行适当变形；②整体代入求值．(3)按指定的程序代入计算按指定的程序代入计算，即数值转换机．给出一个代数式，或提供运算程序，给出字母的取值，代入求值即可．【例7】下图是一组数值转换机，(1)当x＝－3时，写出图a的输出结果；(2)找出图b 的转换步骤，并求出当x＝2.5时输出的结果．分析：(1)先根据题图提供的程序写出代数式，代数式是3x－2，再将x＝－3代入求值；(2)根据代数式中指明的运算顺序，先算加法再算除法，所以其步骤分别是＋4和÷5.解：(1)由转换机程序可知代数式是3x－2，当x＝－3时，原式＝(－3)×3－2＝－11.(2)观察可知转换机的步骤是：＋4和÷5.当x＝2.5时，原式＝(2.5＋4)÷5＝1.3.8．代数式的应用(1)列代数式求阴影部分的面积一般有三种方法：①和差法：就是不改变图形的位置，将阴影部分的面积用规则图形的和或差来表示，经过计算后可以求出阴影部分的面积．②移动法：就是将图形的位置进行移动，以便利用和差法所提供的条件，具体的做法是平移、旋转、割补、等积变换等．③覆盖法：就是几个图形覆盖在一起，重叠的部分的面积就是阴影部分的面积．(2)探究图形排列的规律，利用代数式表示所需图形的个数．主要考查学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点．找规律的题目，要通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决此类题目的难点在于找出能够代表一般规律的代数式．很多题目考查对于数字变化规律的运算猜想能力，需要有一定的数学思想．【例8－1】如图所示，求图中阴影部分的面积：分析：阴影部分的面积等于长方形的面积减去空白部分的面积，即：(1)长方形的面积减去长方形的面积；(2)长方形的面积减去四个正方形的面积；(3)长方形的面积减去两个长方形的面积再加上一个长方形的面积；(4)长方形的面积减去两个小扇形的面积，即a (a ＋b )－π4a 2－π4b 2. 解：(1)mn －pq ；(2)ab －4x 2；(3)ab －an －bm ＋mn ；(4)⎝⎛⎭⎫1－π4a 2－π4b 2＋ab . 【例8－2】 下面是由一些火柴棒拼出的一系列图形，第n 个图形由n 个正方形组成，通过观察图形：(1)用n 表示火柴棒根数s 的公式；(2)当n ＝20时，计算s 的值．解：(1)s ＝3n ＋1.(2)当n ＝20时，s ＝3×20＋1＝61(根)．9.用单项式、多项式的概念求字母的值数学中的概念是通过事物的特征下的定义，因此还具有判定特征的作用，即，在知道是某种事物的前提下，我们又可以知道这种事物必备的特点，因此在整式的应用中，我们可以通过概念规定的条件，在知道是某种式子的前提下，推理认识它所具备的性质，从而通过列式，求出某些未知数的值．如：由单项式－2x 4可知它的系数是－2，次数是4，反过来若知道－ax m 的系数是－2、次数是4，就可以知道－a ＝－2，m ＝4，从而求出a ＝2，多项式的运用也是如此．【例9－1】 若m 3x 2y n ＋1是关于x ，y 的五次单项式，且系数为18，则m ＝______；n ＝______. 解析：因为单项式是关于x ，y 的五次单项式，所以m 是常数，因为系数为18，因此有m 3＝18，m ＝12；2＋n ＋1＝5，n ＝2. 答案：122 【例9－2】 已知多项式5x m y 2＋(m －2)xy －3x ，如果它的次数为4次，则m 应为多少？如果多项式只有两项，则m 为多少？分析：①次数最高项的次数是多项式的次数，在已知的多项式中只有5x m y 2次数能成为多项式的次数，所以m ＋2应该等于4；②如果多项式是二项式，只有(m －2)xy 这项不存在才可以，所以这项的系数只能是0.解：如果多项式的次数为4次，则m ＋2＝4，即m ＝2；如果多项式只有两项，则m －2＝0，即m ＝2.。
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探究
归纳总结：
表示数与字母的积的代数式, 叫做单项式. 单独的一个数或一个字母也是单项式。
抢答:
正
1、x是单项式。
（
）
2、
确
与 错
a 2
不是单项式。（ × ）
3、π不是单项式。 （ × ） 4、
2 a
误
是单项式。 （ × ）
探究：单项式的系数
单项式 4x
系数
单项式中的数字因数叫做这个 单项式的系数
的指数的和才叫做单项式的 7 2yz x 次数。 2 -n vt
2πR
单项式 4x
次数
6a2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a3
5 0
1
2
3
1
2
1
在研究单项式的次数问题时，要注意以下两点：
1、在一个单项式中，所有字母的指数的和才叫做 单项式的次数 2、单独一个数的次数记为0。
探究：多项式及多项式的系数与次数
几个单项式的和叫做多项式。 在多项式中，每个单项式叫做多项式的 项，其中不含字母的项叫做常数项。 多项式里次数最高的项的次数,就是这个多项 式的次数。一个多项式含有几项，就叫做几项式。 单项式与多项式统称为整式。
6a2
a3
-n
vt
2πR
7 2 x yz 2 7 2
4
6
1
-1
1
2π
在研究单项式的系数问题时，要注意以下几点： 1.当单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写。 2.圆周率π是常数。 3.当单项式的系数是带分数时，通常写成假分数。 4.单项式的系数应包括它前面的性质符号。
探究：单项式的次数 在一个单项式中，所有字母
知识回顾
4x ； 1、边长为x的正方形的周长是____
2 6a 2、正方体的棱长为a,表面积为 ， 3 a 体积 .
-n ； 3、设n表示一个数,则它的相反数是_____ 4、一辆汽车的速度是v千米/时,行驶t小时 vt 千米。 所走过的路程为____ 2πR . 5、圆的周长为_______
观察式子：4x,6a2,a3,-n,vt, 2πR 你认为它们之间有什么共同特点？
指出下列多项式是几次几项式？
t-5
1 ab- πr2 2
（一次二项式）
3x+5y+2z （一次三项式）
（二次二项式） x3y+2x+1 （四次三项式）
（一次二项式）
（四次三项式）
课堂小结：
本节学了那些定义？
布置作业：