第5章控制系统的稳定性
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控制工程基础：第五章 控制系统稳定性分析
时，系统闭环后稳定。
2
Nyquist 稳定性判据2
1、若开环传递函数在s右半平面无极点时，当从0变化
时，如果Nyquist曲线不包围临界点(-1, j0)，则系统稳定。
如果Nyquist曲线包围临界点(-1, j0)，则系统不稳定。
❖ 系统稳定性定义：
❖
控制系统处于某一平衡状态下受到扰动作用而偏离了 原来的平衡状态，在干扰消失后系统又能够回到原来的平衡 状态或者回到原平衡点附近，则称该系统是稳定的，否则， 该系统就是不稳定的。
❖
稳定性是系统的一种固有特性，它只取决于系统本身的 结构和参数，而与初始状态和外作用无关。
m
F
F
单摆系统稳定
p(s)
p(s) DK (s)
系统稳定的充要条件:特征方程的根全部具有负实部
（闭环极点均在s平面的左半平面）。
即系统稳定的充要条件为：F(s)的零点都位于s平面 的左半平面。
GB(s)
F(s)
Gk(s)
零点
极点
零点
极点
极点
零点
1、若开环极点均在s平面左半面，则根据米哈伊洛夫定理推论：
arg[
DK
两种特殊情况
1、劳斯阵列表某一行中的第一列元素等于零，但其余各项不 等于零或不全为零 处理方法：
用一个很小的正数 代替该行第一列的零，并据此计算出
阵列中的其余各项。然后令 0 ，按第一列系数进行
判别。
如果零上下两项的符号相同，则系统存在一对虚根，处于临 界稳定状态：如果零上下两项的符号不同，则表明有一个符 号变化，系统不稳定。
0
1
c1
1
b1
a1 b1
a3 110 (7)5 6.43
第五章系统的稳定性-机械工程控制基础-教案
Chp.5系统稳定性基本要求1．了解系统稳定性的定义、系统稳定的条件；2．掌握Routh判据的必要条件和充要条件，学会应用Routh判据判定系统是否稳定，对于不稳定系统，能够指出系统包含不稳定的特征根的个数；3．掌握Nyquist 判据；4．理解Nyquist 图和Bode 图之间的关系；5．掌握Bode 判据；6．理解系统相对稳定性的概念，会求相位裕度和幅值裕度，并能够在Nyquist 图和Bode 图上加以表示。
重点与难点本章重点1．Routh 判据、Nyquist 判据和Bode 判据的应用；2．系统相对稳定性；相位裕度和幅值裕度求法及其在Nyquist图和Bode 图的表示法。
本章难点Nyquist 判据及其应用。
§1 概念示例：振摆1、稳定性定义：若系统在初始条件影响下，其过渡过程随时间的推移逐渐衰减并趋于0，则系统稳定；反之，系统过渡过程随时间的推移而发散，则系统不稳定。
（图5.1.2）讨论：①线性系统稳定性只取决于系统内部结构和参数，是一种自身恢复能力。
与输入量种类、性质无关。
②系统不稳定必伴有反馈作用。
（图5.1.3）若x0(t)收敛，系统稳定；若x0(t)发散，则系统不稳定。
将X0(s)反馈到输入端，若反馈削弱E(s) →稳定若反馈加强E(s) →不稳定③稳定性是自由振荡下的定义。
即x i(t)=0时，仅存在x i(0-)或x i(0+)在x i(t)作用下的强迫运动而系统是否稳定不属于讨论范围。
2、系统稳定的条件：对[a n p n+a n-1p n-1+…a1p+a0]x0(t)=[b m p m+b m-1p m-1+…b1p+b0]x i(t)令B(s)= a n p n+a n-1p n-1+…a1p+a0 A(s)= b m p m+b m-1p m-1+…b1p+b0初始条件：B0(s) A0(s)则B(s)X0(s)- B0(s)= A(s)X i(s)- B0(s)X i(s)=0,由初始条件引起的输出：L-1变换根据稳定性定义，若系统稳定须满足，即z i为负值。
第五章 控制系统的稳定性分析
arctan
b a
2
arctan
j
b a
jw
1
s1 tan1 b
b
a
a Re
22
若上式b为负值，则角增量为
2
2
arctan
b a
如图：
j
jw
a
2
Re
tan1 b
s2
a b
23
若根在右半平面，其角增量如图所示，
j jw
tan1 b
3
b
a
a
Re
为
2
2
arctan
b a
24
现考虑n次多项式 Ds，且在原点有q个零点，可表示为
代入D(s)并命w从0增大到 时,复数D(s)的角连续增
大 ng
2
二 乃奎斯特稳定判据
1 反馈系统开环和闭环的特征方程式
Xi s
X0 s
27
该单位反馈系统的开环传递函数为
G
s
MK s DK S
闭环传递函数为
s
Gs 1Gs
DK
MK s s Mk
s
MK s Db s
令：F
s
1
G
s
1
MK DK
s s
arg1 G( j。w) 90o
列 系统的开环传递函数为
Go
(s)
(T1s
K 1)(T2s 1)(T3s
1)
讨论开环增益K的大小对系 统稳定性的影响
解：这是一个三阶系统，没有开环零点，且开环极点全部 位于左半s平面，因此是最小相位系统。 作极坐标草图，先计算极限值：
32
=0时，有
A(0) K
《自动控制原理》第五章：系统稳定性
5.2 稳定的条件
当σi和λi均为负数，即特征根的 σi和λi均为负数， 均为负数 实部为负数，系统是稳定的； 实部为负数，系统是稳定的； 或极点均在左平面。 或极点均在左平面。
5.3 代数稳定性判据
定常线性系统稳定的充要条件 定常线性系统稳定的充要条件是特征方程的根具有负 充要条件是特征方程的根具有负 实部。因此，判别其稳定性，要解系统特征方程的根。为 实部。因此，判别其稳定性，要解系统特征方程的根。 避开对特征方程的直接求解，可讨论特征根的分布， 避开对特征方程的直接求解，可讨论特征根的分布，看其 是否全部具有负实部，并以此来判别系统的稳定性，这样 是否全部具有负实部，并以此来判别系统的稳定性， 也就产生了一系列稳定性判据。 也就产生了一系列稳定性判据。 其中最主要是E.J.Routh(1877 )h和Hurwitz（ 其中最主要是E.J.Routh(1877年)h和Hurwitz（1895 E.J.Routh(1877年 年）分别提出的代数判据。 分别提出的代数判据 代数判据。
习题讲解： 习题讲解：
µ
G1
Q21
G1
h2
k1 k1 G1 ( s ) = , G1 ( s ) = (T1s + 1) (T1s + 1) k1k 2 G0 ( s ) = (T1s + 1)(T2 s + 1)
kp
G0 ( s ) G(s) = 1 + G0 ( s ) K p
5.4 Nyquist稳定性判据 Nyquist稳定性判据
系统稳定的条件？ 系统稳定的条件？
5.2 稳定的条件
d n y (t ) d ( n −1) y (t ) dy (t ) 线性系统微分方程： 线性系统微分方程： n a + an −1 + L + a1 + a0 y (t ) n ( n −1) dt dt dt d m x(t ) d ( m −1) x(t ) dx(t ) = bm + bm−1 + L + b1 + b0 x(t ) m ( m −1) dt dt dt d n y (t ) d ( n −1) y (t ) dy (t ) + a( n −1) + L + a1 + a0 y (t ) = 0 齐次微分方程： 齐次微分方程： an n ( n −1) dt dt dt an s n + an −1s n −1 + L + a1s + a0 = 0 设系统k 设系统k个实根
机械工程控制基础(第5章_系统的稳定性)
（5.2.3）
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比较式（5.2.2）与式（5.2.3）可看出根与系数有如下的关系：
n an1 si an i 1
n a n2 si s j an i j
i 1, j 2
an3 an
i jk
s s s
i
n
j k
（5.2.4）
i 1, j 2 , k 3
n a0 n 1 si i 1 an
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从式（5.2.4）可知，要使全部特征根 s1 , s2 , , sn 均具有负实部，就必 须满足以下两个条件，即系统稳定的必要条件: (1)特征方程的各项系数 ai (i 0,1, 2,, n 1, n) 都不等于零，因为若有一 系数为零，则必出现实部为零的特征根或实部有正有负的特征根，才 能满足式（5.2.4）中各式。 (2)特征方程的各项系数 ai的符号都相同，这样才能满足式(5.2.4)中各式。 按习惯，一般取 ai 为正值，因此，上述两个条件可归结为系统稳定 的一个必要条件，即
E 来越小，系统最终趋于稳定； ( s )
若反馈的结果，加强了E(s)的作用（即正反馈），则使 Xo(s) 越来越 大，此时，此闭环系统是否稳定，则视 Xo( s ) 是收敛还是发散而定。
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第三，控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定性。
即讨论输入为零，系统仅存在有初始状态不为零时的稳定性，即
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5.2.2 系统稳定的充要条件
1. Routh表
（1）将系统的特征方程式（5.2.1）的系数按下列形式排成两行：
an
an1ห้องสมุดไป่ตู้
第5章现代控制理论之系统运动的稳定性分析
当然，对于线性系统， 从不稳定平衡状态出发的轨 迹，理论上趋于无穷远。
由稳定性定义知，球域S(δ) 限制着初始状态x0的取值，球域
S(ε)规定了系统自由运动响应 xt xt; x0的, t0边 界。
简单地说：1.如果 x t; x0, t0 有界，则称 xe 稳定；
2.如果 x t; x0, t0 不仅有界，而且当t→∞时收敛于原点，则
5.1.1 平衡状态
李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。
1. 平衡状态的定义
设系统状态方程为： x f x,t , x Rn
若对所有t ，状态 x 满足 x 0 ，则称该状态x为平衡状
态，记为xe。故有下式成立：f xe ,t 0
由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。
2.平衡状态的求法
由定义，平衡状态将包含在 f x,t 这样0 一个代数方程组
中。
对于线性定常系统 x A，x其平衡状态为 xe 应满足代数
方程 。Ax 0
只有坐标原点处是线性系统的平衡状态点。
对于非线性系统，方程 方程而定。
如：
x1 x2
x1 x1
x2
x
3 2
f x的,t 解 可0 能有多个，视系统
稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。
稳定性是指系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动 的性质。因此，系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而 言的。它描述初始条件下系统方程是否具有收敛性，而不 考虑输入作用。
1. 线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，与系统 初始条件及外作用无关； 2. 非线性系统的稳定性既取决于系统的结构和参数，也与 系统初始条件及外作用有关；
当稳定性与 t0 的选择无关时，称一致全局渐近稳定。
由稳定性定义知，球域S(δ) 限制着初始状态x0的取值，球域
S(ε)规定了系统自由运动响应 xt xt; x0的, t0边 界。
简单地说：1.如果 x t; x0, t0 有界，则称 xe 稳定；
2.如果 x t; x0, t0 不仅有界，而且当t→∞时收敛于原点，则
5.1.1 平衡状态
李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。
1. 平衡状态的定义
设系统状态方程为： x f x,t , x Rn
若对所有t ，状态 x 满足 x 0 ，则称该状态x为平衡状
态，记为xe。故有下式成立：f xe ,t 0
由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。
2.平衡状态的求法
由定义，平衡状态将包含在 f x,t 这样0 一个代数方程组
中。
对于线性定常系统 x A，x其平衡状态为 xe 应满足代数
方程 。Ax 0
只有坐标原点处是线性系统的平衡状态点。
对于非线性系统，方程 方程而定。
如：
x1 x2
x1 x1
x2
x
3 2
f x的,t 解 可0 能有多个，视系统
稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。
稳定性是指系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动 的性质。因此，系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而 言的。它描述初始条件下系统方程是否具有收敛性，而不 考虑输入作用。
1. 线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，与系统 初始条件及外作用无关； 2. 非线性系统的稳定性既取决于系统的结构和参数，也与 系统初始条件及外作用有关；
当稳定性与 t0 的选择无关时，称一致全局渐近稳定。
第五章 控制系统的稳定性
例 5 - 2. 设有下列特征方程 s 4 + 2s 3 + 3s 2 + 4s + 5 = 0
试用Routh判据判别该特征方程正实部根的个数。 判据判别该特征方程正实部根的个数。 试用 判据判别该特征方程正实部根的个数
解 : 列写 劳斯 阵列 : s4 s3 s2 s s
1 0
1 2
2× 3 - 4 2
s3 s2 s s0
1 0≈ε
- 3ε - 2
-3 2 0
改变一次
ε
2
改变一次
∴ 有两实部为正的根。
b.劳斯表某行全为零 说明特征方程中存在一些大小相等，但方向相反的 根。 可用全零行的前一行数值组成辅助方程 A' ( s )，并用 dA' ( s ) / ds 的系数代替全零行的各项，完成劳斯表 ，利用 的系数代替全零行的各项，完成劳斯表， 可解得那些对称根。 辅助方程 A' ( s )可解得那些对称根。
一幅 原 . 角 理 设 (S)是 变 的 项 之 ,除 S平 的 限 奇 复 量 多 式 比 在 面 有 个 F 点 ,为 值 续 则 数又 P为 (S)极 数 , Z为 (S) 外 单 连 正 函 . 设 F 点 目 F 的 点 目 其 包 重 点 重 点 目 以 F(S)的 零 数 , 中 括 极 与 零 数 , 及 全 部 点 零 均 布 S平 的 闭 线 S内 而 S不 过 极 与 点 分 在 面 封 轨 Γ , Γ 通 F(S)的 何 点 零 . 在 种 况 , 当 S以 时 方 任 极 与 点 这 情 下 点 顺 针 向 沿 S 运 , ΓS在 F(S)]平 上 映 ΓF按 时 方 包 原 Γ 动 [ 面 的 射 顺 针 向 围 点 次 的 数 N = Z- P N>0 N<0 N =0 表 ΓF顺 针 围 点 次 示 时 包 原 N 表 ΓF逆 针 围 点 次 示 时 包 原 N 表 ΓF不 围 点 示 包 原
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第五章 系统的稳定性
基本要求 1.了解系统稳定性的定义、系统稳定的条件。 2.掌握系统稳定性代数判据的必要条件和充要条件，学会应用代数判 据判定系统是否稳定。 3.掌握Nyquist判据。 4.掌握Bode判据。 5.理解系统相对稳定性概念，能够在Nyquist图和Bode图上加以应用。 本章重点 1.代数判剧、Nyquist判剧和Bode判剧的应用。 2.系统相对稳定性；相位裕度和幅值裕度在 Nyquist图和Bode图上的表 示法。 本章难点 Nyquist判剧及其应用。
劳斯阵列的计算顺序是由上两行组成新的一行。每行计算 到出现零元素为止。一般情况下可以得到一个n+1行的劳 斯阵列。而最后两行每行只有一个元素。
sn s n-1 s n-2 s n -3 s1 s0
an an -1 b1 c1 d1 e1
an - 2 a n -3 b2 c2
an - 4 a n -5 b3
Ck k nk Bk
dk
e k nkt sin dk t
从式可以看出，如果所有闭环极点都在s平面的左半面内， 即系统的特征方程式根的实部都为负，那么随着时间t的增 大，式中的指数项和阻尼指数项将趋近于零。即系统是稳 定的。
y (t ) A j e
j 1
q
p jt
Bk e k nkt cos dk t
k 1
r
k 1
r
Ck k nk Bk
dk
e k nkt sin dk t
系统稳定的充要条件：是特征方程的根均具有负的实 部。或者说闭环系统特征方程式的根全部位于[s]平面 的左半平面内。一旦特征方程出现右根时，系统就不 稳定。
2
基本要求 1.了解系统稳定性的定义、系统稳定的条件。 2.掌握系统稳定性代数判据的必要条件和充要条件，学会应用代数判 据判定系统是否稳定。 3.掌握Nyquist判据。 4.掌握Bode判据。 5.理解系统相对稳定性概念，能够在Nyquist图和Bode图上加以应用。 本章重点 1.代数判剧、Nyquist判剧和Bode判剧的应用。 2.系统相对稳定性；相位裕度和幅值裕度在 Nyquist图和Bode图上的表 示法。 本章难点 Nyquist判剧及其应用。
劳斯阵列的计算顺序是由上两行组成新的一行。每行计算 到出现零元素为止。一般情况下可以得到一个n+1行的劳 斯阵列。而最后两行每行只有一个元素。
sn s n-1 s n-2 s n -3 s1 s0
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an - 2 a n -3 b2 c2
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从式可以看出，如果所有闭环极点都在s平面的左半面内， 即系统的特征方程式根的实部都为负，那么随着时间t的增 大，式中的指数项和阻尼指数项将趋近于零。即系统是稳 定的。
y (t ) A j e
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r
k 1
r
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dk
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系统稳定的充要条件：是特征方程的根均具有负的实 部。或者说闭环系统特征方程式的根全部位于[s]平面 的左半平面内。一旦特征方程出现右根时，系统就不 稳定。
2
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系统稳定性的基本概念
如果系统受到扰动后，偏离了原来的平衡状态，而 当扰动取消后，系统又能够逐渐恢复到原来的状态，则 称系统是稳定的，或具有稳定性的。否则称系统是不稳 定的，或不具有稳定性。
控制系统的稳定性也可以这样定义：若控制系 统在任何足够小的初始偏差作用下，其过渡过程随 着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复原来 平衡状态的性能，则称该系统为稳定；否则，称该 系统为不稳定。
则线性系统是稳定的。
设系统闭环传递函数为： 系统闭环特征方程为: 闭环特征根为: 设特征根互不相等，系统闭环传递函数可改写如下：
则系统脉冲响应的拉氏变换为：
得系统的脉冲过渡函数为（响应）
若系统稳定 (1)若 为实数 (2)若 为复数
发散
(3)若特征根为k个实根，r个复数根，
线性系统稳定的充分必要条 件是它的所有特征根都具有 负实部或都位于S平面的左半 平面，则系统稳定。
二阶系统稳定的充要条件：
，
， 勇于开始，才能找到成
三阶系统稳定的充要条件功的：路
，
，
，
例 系统特征方程为
试用劳斯判据判别系统的稳定性。 解：(1) 特征方程的所有系数均为正实数
(2)列写劳斯阵列表如下:
第一列的 系数都为 正数，系 统稳定
例 系统特征方程为
试用劳斯判据判别系统闭环特征方程根的分布情况。 解：(1)系统特征方程的系数不满足系统稳定的必要条件。
例 系统特征方程为 判别系统的稳定性。
解：(1)系统特征方程的系数满足系统稳定的必要条件。
(2)列写劳斯阵列表如下:
第一列 为零
系统不稳定 ，且有两个 根具有正实 部
练习 系统特征方程为
判别系统的稳定性。
系统不稳定 ，且有两个 根具有正实 部
若劳斯阵列表中某一行（设为第k行）的所有系数均 为零，则说明在根平面内存在一些大小相等，并且关于 原点对称的根。
如果函数f（Z）在Z0及Z0的邻域内处处可导 ，那么称f（Z）在Z0解析。
如果在区域D内每一点解析，那么称f（Z）在 D内解析或称f（Z）是D内的一个解析函数。
如果f（Z）在Z0不解析，那么称Z0为f（Z） 的奇点。
设F(s)在[s]平面上（除有限个奇点外）为单值的连 续正则函数。 设[s]平面上解析点s映射到[F(s)]平面上为点F(s) ，或为从原点指向此映射点的向量F(s) 。 在[s]平面上任意选定一封闭曲线Ls，只要此曲线不 经过F(s)的奇点，则在[F(s)]平面上必有一对应的映 射曲线LF，也是一封闭曲线。 当解析点s按顺时针方向沿Ls变化一周时，向量F(s) 将按顺时针方向旋转N周，即F(s)以原点为中心顺时 针旋转N周，这就等于曲线LF顺时针包围原点N次。
(2)列写劳斯阵列表如下:
有两个根位于s 平面的右半平面
练习 系统特征方程为
试用劳斯判据判别系统是否稳定，若不稳定，则确定 具有正实部根的个数。
答案：
系统不稳定,有两个 根具有正实部,即有 两个根位于s平面的 右半平面
劳斯判据的特殊情况
１、劳斯表中某一行第一列元素为零，其余不为零或不 全为零，这时可用一个很小的正数 来代替这个零， 然后继续劳斯阵列表的运算。若第一列元素不改变符号 ，则系统临界稳定，否则不稳定。
系统稳定
5.2 代数稳定性判据 1. 系统稳定性的初步判别（必要条件） 设系统的闭环特征方程式为如下标准形式：
2. 劳斯稳定判据
直至其余 项均为零。
按此规律一直计算到n -1行为止。
结论：
考察阵列表第一列系数的符号。假若劳斯阵列 表中第一列系数均为正数，则该系统是稳定的; 假若第一列系数有负数，则系统不稳定，并且 第一列系数符号的改变次数等于在右半平面上 根的个数。
不稳定的程度，因而不能提出改善系统性能的具体途径。 Nyquist判据特点：
① 图解法：由几何作图判定系统稳定性； ② 由开环特性判断闭环系统稳定性（开环特性由分析 法或实验法获得）； ③ 可判断系统相对稳定性； ④ 可指出各环节对系统稳定性的影响。
5.3 Nyquist稳定判据
一、幅角原理（Cauchy） 对于复变函数
解辅助方程得:
例 系统特征方程为
判别系统的稳定性。若不稳定，则确定具有正实部根 的个数。
练习 系统特征方程为
设一单位反馈控制系统如图所示，求使系统稳定的k的 范围
解(1)系统的传递函数为：
(2)列劳斯阵列表
特征方程为： 系数都为正实数
(2)列劳斯阵列表
若要使系统稳定，其充要条件是 劳斯阵列表的第一列均为正数，
即 K > 0，30 - K > 0
0 < K < 30,
其稳定的临界值为30。
例11 系统特征方程式为 按稳定要求确定 T 的临界值。 解 劳斯阵列表为
即必须 T > 25 系统才能稳定。
乃奎斯特稳定性判据（预备知识
）
时域判据的弱点： 工程设计中，组成系统的各种参数尚未最后确定，时域
判据不能应用； 时域判据仅能判断系统是否稳定，不能说明系统稳定或
★★ 控制系统稳定的充分必要条件为：
系统特征方程的根全部具有负实部。系统 特征方程的根就是闭环极点，所以控制系 统稳定的充分必要条件也可以表示为：闭 环传递函数的极点全部具有负实部，或者
说闭环传递函数的极点全部位于平面的S
左半面内。
例 一个单位反馈系统的开环传递函数为 试说明系统是否稳定。
解：系统的闭环传递函数为
(1)用(k-1)行元素构成辅助方程，辅助方程的最高阶 次为(n-k+2)，然后s的次数递降2。
(2)将辅助方程对s求导，其系数作为全零行的元素， 继续完成劳斯表。
(3)解辅助方程，得到所有数值相同、符号相异的根。
例 系统特征方程为 判别系统的稳定性。
解：(1) 特征方程的所有系数均为正实数 (2)列写劳斯阵列表如下:
必须指出：稳定性是系统的固有特性，它取决 于系统本身的结构和参数，而与输入无关。
控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振 荡下的稳定性，即讨论输入为零，系统仅存在非零 初始偏差时的稳定性，或者讨论自由振荡是收敛的 还是发散的。
5.2 系统稳定性的充要条件 若系统初始条件为零，对系统加上理想单位脉冲信号 ，系统的输出就是线性系统的脉冲过渡函数 ， 就相当于扰动信号作用下输出偏离原平衡状态的情 况。如果当 时，脉冲过渡函数 收敛于系统原平 衡工作点，即下式成立：
第5章控制系统的稳定性
2020年4月22日星期三
稳定性是控制系统最重要的问题，是系统 正常工作的首要条件。控制系统在实际运行中 ，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如 负载或能源的波动、环境条件的改变、系统参 数的变化等。如果系统不稳定，当它受到扰动 时，系统中各物理量就会偏离其平衡工作点， 并且越偏越远，即使扰动消失了，也不可
如果系统受到扰动后，偏离了原来的平衡状态，而 当扰动取消后，系统又能够逐渐恢复到原来的状态，则 称系统是稳定的，或具有稳定性的。否则称系统是不稳 定的，或不具有稳定性。
控制系统的稳定性也可以这样定义：若控制系 统在任何足够小的初始偏差作用下，其过渡过程随 着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复原来 平衡状态的性能，则称该系统为稳定；否则，称该 系统为不稳定。
则线性系统是稳定的。
设系统闭环传递函数为： 系统闭环特征方程为: 闭环特征根为: 设特征根互不相等，系统闭环传递函数可改写如下：
则系统脉冲响应的拉氏变换为：
得系统的脉冲过渡函数为（响应）
若系统稳定 (1)若 为实数 (2)若 为复数
发散
(3)若特征根为k个实根，r个复数根，
线性系统稳定的充分必要条 件是它的所有特征根都具有 负实部或都位于S平面的左半 平面，则系统稳定。
二阶系统稳定的充要条件：
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， 勇于开始，才能找到成
三阶系统稳定的充要条件功的：路
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例 系统特征方程为
试用劳斯判据判别系统的稳定性。 解：(1) 特征方程的所有系数均为正实数
(2)列写劳斯阵列表如下:
第一列的 系数都为 正数，系 统稳定
例 系统特征方程为
试用劳斯判据判别系统闭环特征方程根的分布情况。 解：(1)系统特征方程的系数不满足系统稳定的必要条件。
例 系统特征方程为 判别系统的稳定性。
解：(1)系统特征方程的系数满足系统稳定的必要条件。
(2)列写劳斯阵列表如下:
第一列 为零
系统不稳定 ，且有两个 根具有正实 部
练习 系统特征方程为
判别系统的稳定性。
系统不稳定 ，且有两个 根具有正实 部
若劳斯阵列表中某一行（设为第k行）的所有系数均 为零，则说明在根平面内存在一些大小相等，并且关于 原点对称的根。
如果函数f（Z）在Z0及Z0的邻域内处处可导 ，那么称f（Z）在Z0解析。
如果在区域D内每一点解析，那么称f（Z）在 D内解析或称f（Z）是D内的一个解析函数。
如果f（Z）在Z0不解析，那么称Z0为f（Z） 的奇点。
设F(s)在[s]平面上（除有限个奇点外）为单值的连 续正则函数。 设[s]平面上解析点s映射到[F(s)]平面上为点F(s) ，或为从原点指向此映射点的向量F(s) 。 在[s]平面上任意选定一封闭曲线Ls，只要此曲线不 经过F(s)的奇点，则在[F(s)]平面上必有一对应的映 射曲线LF，也是一封闭曲线。 当解析点s按顺时针方向沿Ls变化一周时，向量F(s) 将按顺时针方向旋转N周，即F(s)以原点为中心顺时 针旋转N周，这就等于曲线LF顺时针包围原点N次。
(2)列写劳斯阵列表如下:
有两个根位于s 平面的右半平面
练习 系统特征方程为
试用劳斯判据判别系统是否稳定，若不稳定，则确定 具有正实部根的个数。
答案：
系统不稳定,有两个 根具有正实部,即有 两个根位于s平面的 右半平面
劳斯判据的特殊情况
１、劳斯表中某一行第一列元素为零，其余不为零或不 全为零，这时可用一个很小的正数 来代替这个零， 然后继续劳斯阵列表的运算。若第一列元素不改变符号 ，则系统临界稳定，否则不稳定。
系统稳定
5.2 代数稳定性判据 1. 系统稳定性的初步判别（必要条件） 设系统的闭环特征方程式为如下标准形式：
2. 劳斯稳定判据
直至其余 项均为零。
按此规律一直计算到n -1行为止。
结论：
考察阵列表第一列系数的符号。假若劳斯阵列 表中第一列系数均为正数，则该系统是稳定的; 假若第一列系数有负数，则系统不稳定，并且 第一列系数符号的改变次数等于在右半平面上 根的个数。
不稳定的程度，因而不能提出改善系统性能的具体途径。 Nyquist判据特点：
① 图解法：由几何作图判定系统稳定性； ② 由开环特性判断闭环系统稳定性（开环特性由分析 法或实验法获得）； ③ 可判断系统相对稳定性； ④ 可指出各环节对系统稳定性的影响。
5.3 Nyquist稳定判据
一、幅角原理（Cauchy） 对于复变函数
解辅助方程得:
例 系统特征方程为
判别系统的稳定性。若不稳定，则确定具有正实部根 的个数。
练习 系统特征方程为
设一单位反馈控制系统如图所示，求使系统稳定的k的 范围
解(1)系统的传递函数为：
(2)列劳斯阵列表
特征方程为： 系数都为正实数
(2)列劳斯阵列表
若要使系统稳定，其充要条件是 劳斯阵列表的第一列均为正数，
即 K > 0，30 - K > 0
0 < K < 30,
其稳定的临界值为30。
例11 系统特征方程式为 按稳定要求确定 T 的临界值。 解 劳斯阵列表为
即必须 T > 25 系统才能稳定。
乃奎斯特稳定性判据（预备知识
）
时域判据的弱点： 工程设计中，组成系统的各种参数尚未最后确定，时域
判据不能应用； 时域判据仅能判断系统是否稳定，不能说明系统稳定或
★★ 控制系统稳定的充分必要条件为：
系统特征方程的根全部具有负实部。系统 特征方程的根就是闭环极点，所以控制系 统稳定的充分必要条件也可以表示为：闭 环传递函数的极点全部具有负实部，或者
说闭环传递函数的极点全部位于平面的S
左半面内。
例 一个单位反馈系统的开环传递函数为 试说明系统是否稳定。
解：系统的闭环传递函数为
(1)用(k-1)行元素构成辅助方程，辅助方程的最高阶 次为(n-k+2)，然后s的次数递降2。
(2)将辅助方程对s求导，其系数作为全零行的元素， 继续完成劳斯表。
(3)解辅助方程，得到所有数值相同、符号相异的根。
例 系统特征方程为 判别系统的稳定性。
解：(1) 特征方程的所有系数均为正实数 (2)列写劳斯阵列表如下:
必须指出：稳定性是系统的固有特性，它取决 于系统本身的结构和参数，而与输入无关。
控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振 荡下的稳定性，即讨论输入为零，系统仅存在非零 初始偏差时的稳定性，或者讨论自由振荡是收敛的 还是发散的。
5.2 系统稳定性的充要条件 若系统初始条件为零，对系统加上理想单位脉冲信号 ，系统的输出就是线性系统的脉冲过渡函数 ， 就相当于扰动信号作用下输出偏离原平衡状态的情 况。如果当 时，脉冲过渡函数 收敛于系统原平 衡工作点，即下式成立：
第5章控制系统的稳定性
2020年4月22日星期三
稳定性是控制系统最重要的问题，是系统 正常工作的首要条件。控制系统在实际运行中 ，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如 负载或能源的波动、环境条件的改变、系统参 数的变化等。如果系统不稳定，当它受到扰动 时，系统中各物理量就会偏离其平衡工作点， 并且越偏越远，即使扰动消失了，也不可