人教A版高中数学必修4练习--2-4-2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 --含答案
高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角训练含解析新人教A版必修4
第二章 平面向量2．4 平面向量的数量积2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角[A 组 学业达标]1．设向量a ＝(1，0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，12，则下列结论中正确的是( )A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22C ．(a －b )⊥bD ．a ∥b 解析：∵|a |＝1，|b |＝22，∴|a |≠|b |，故A 错误；a ·b ＝(1，0)·⎝⎛⎭⎫12，12＝12≠22，故B 错误；∵a －b ＝⎝⎛⎭⎫12，－12，∴(a －b )·b ＝⎝⎛⎭⎫12，－12·⎝⎛⎭⎫12，12＝14－14＝0，∴(a －b )⊥b ，故C 正确；∵1×12－0×12＝12≠0，∴a 与b 不平行，故D 错误． 答案：C2．若向量AB →＝(3，－1)，n ＝(2，1)，且n ·AC →＝7，则n ·BC →＝( )A ．－2B ．2C ．－2或2D ．0 解析：∵AB →＋BC →＝AC →，∴n ·(AB →＋BC →)＝n ·AC →，即n ·AB →＋n ·BC →＝n ·AC →.∴n ·BC →＝n ·AC →－n ·AB →＝7－5＝2.答案：B3．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A. 5B.10 C ．2 5 D ．10解析：由a ⊥c ，得2x －4＝0，则x ＝2.由b ∥c ，得－4＝2y ，则y ＝－2，故|a ＋b |＝（2＋1）2＋（1－2）2＝10.答案：B4．若向量a ＝(1，2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( )A ．－π4B.π6C.π4D.3π4 解析：∵a ＝(1，2)，b ＝(1，－1)，∴2a ＋b ＝(3，3)，a －b ＝(0，3)，则cos 〈2a ＋b ，a －b 〉＝3×0＋932×3＝22，∴〈2a ＋b ，a －b 〉＝π4. 答案：C5．若a ＝(2，3)，b ＝(－4，7)，则a 在b 方向上的投影为( )A.655 B.65 C.135 D.13 解析：设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝2×（－4）＋3×74＋9×16＋49＝55，∴a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝13×55＝655. 答案：A6．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝ 5.若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角的大小为________． 解析：设a 与c 的夹角为θ，由a ＋b ＝(－1，－2)＝－a ，|a |＝5，cos θ＝a ·c |a ||c |＝－（a ＋b ）·c 5·5＝－525＝－12， ∴θ＝120°.答案：120°7．已知向量a ＝(1，3)，向量a ，c 的夹角是π3，a ·c ＝2，则|c |等于________． 解析：因为|a |＝2，a ·c ＝2，所以|a |·|c |cos 60°＝2，得|c |＝2.答案：28．已知△ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，S △ABC ＝3，则AB →·AC →的值为________．解析：因为S △ABC ＝12×4×1×sin A ＝3，所以sin A ＝32，得A ＝π3或A ＝2π3，AB →·AC →＝1×4×cos A ＝±2.答案：±29．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )(x ∈R )．(1)若a ⊥b ，求x 的值；(2)若a ∥b ，求|a －b |.解析：(1)由a ⊥b 得2x ＋3－x 2＝0，即(x －3)(x ＋1)＝0.解得x ＝3或x ＝－1.(2)由a ∥b ，得2x 2＋3x ＋x ＝0，即2x 2＋4x ＝0，解得x ＝0或x ＝－2.当x ＝0时，a ＝(1，0)，b ＝(3，0)，所以a －b ＝(－2，0)．此时|a －b |＝2.当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1，2)，则a －b ＝(2，－4)．故|a －b |＝22＋（－4）2＝2 5.[B 组 能力提升]10．设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，其中0<α<β<π，若|2a ＋b |＝|a －2b |，则β－α等于( )A.π2B ．－π2 C.π4 D ．－π4解析：由向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且|2a ＋b |＝|a －2b |，两边平方可得4＋1＋4cos(α－β)＝1＋4－4cos(α－β)，解得cos(α－β)＝0，又0<α<β<π，所以0<β－α<π，则β－α＝π2，故选A. 答案：A11．设A (a ，1)，B (2，b )，C (4，5)为坐标平面上的三点，O 为坐标原点．若OA →与OB →在OC →方向上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为( )A ．4a －5b ＝3B ．5a －4b ＝3C ．4a ＋5b ＝14D ．5a ＋4b ＝14解析：由图知，要使OA →与OB →在OC →方向上的投影相同，只需使AB →⊥OC →，即(2－a ，b －1)·(4，5)＝0，得4a －5b －3＝0，即4a －5b ＝3.答案：A12．已知向量a ＝(2，－4)，b ＝(－3，m )．若|a ||b |＋a ·b ＝0，则实数m ＝________．解析：由向量的数量积可知a ·b ＝|a ||b |cos θ，又|a ||b |＋a ·b ＝0，所以cos θ＝－1，所以θ＝π，即向量a ＝(2，－4)与b ＝(－3，m )的方向相反．设a ＝λb ，即(2，－4)＝λ(－3，m )可得⎩⎪⎨⎪⎧2＝－3λ，－4＝λm ，解得m ＝6. 答案：613．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EC →·EM →的取值范围是________．解析：将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E (x ，0)，0≤x ≤1.因为M ⎝⎛⎭⎫1，12，C (1，1)，所以EM →＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12，EC →＝(1－x ，1)，所以EM →·EC →＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12·(1－x ，1)＝(1－x )2＋12.因为0≤x ≤1，所以12≤(1－x )2＋12≤32，即EM →·EC →的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，32. 答案：⎣⎡⎦⎤12，3214．设向量a ＝(3，－1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32，k ，t 是两个不同时为零的实数．若向量x ＝a ＋(t －3)b 与y ＝－k a ＋t b 垂直．(1)求k 关于t 的函数关系式；(2)求函数k ＝f (t )的最小值．解析：(1)因为a ＝(3，－1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32， 所以a ·b ＝0，且|a |＝2，|b |＝1.又因为x ⊥y ，所以x ·y ＝0，即[a ＋(t －3)b ]·(－k a ＋t b )＝0，所以－k a 2－k (t －3)a ·b ＋t a ·b ＋t (t －3)b 2＝0.因为|a |＝2，|b |＝1，a ·b ＝0，所以－4k ＋t 2－3t ＝0，所以k ＝14(t 2－3t )． (2)由(1)知，k ＝14(t 2－3t )＝14⎝⎛⎭⎫t －322－916，所以函数k ＝f (t )的最小值为－916. 15．已知向量a ＝(3，－1)，|b |＝5，a ·b ＝－5，c ＝x a ＋(1－x )b .(1)若a ⊥c ，求实数x 的值；(2)当|c |取最小值时，求b 与c 的夹角的余弦值．解析：(1)设b ＝(m ，n )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n 2＝5，3m －n ＝－5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝－1.当b ＝(－1，2)时，∴c ＝x (3，－1)＋(1－x )(－1，2)＝(4x －1，2－3x )． ∵a ⊥c ，∴3(4x －1)－(2－3x )＝0，解得x ＝13. 当b ＝(－2，－1)时，∴c ＝x (3，－1)＋(1－x )(－2，－1)＝(5x －2，－1)． ∵a ⊥c ，∴3(5x －2)＋1＝0，解得x ＝13. (2)设b 与c 的夹角为θ，由(1)可知，当b ＝(－1，2)时，c ＝(4x －1，2－3x )，则|c |2＝(4x －1)2＋(2－3x )2＝25x 2－20x ＋5＝25⎝⎛⎭⎫x －252＋1. 当x ＝25时，|c |取最小值，则|c |＝1，c ＝⎝⎛⎭⎫35，45， ∴b ·c ＝－35＋85＝1. ∴cos θ＝b ·c |b |·|c |＝55. 当b ＝(－2，－1)时，c ＝(5x －2，－1)，则|c |2＝(5x －2)2＋(－1)2＝25⎝⎛⎭⎫x －252＋1，当x ＝25时，|c |取最小值，则|c |＝1，c ＝(0，－1)， ∴b ·c ＝1，∴cos θ＝b ·c |b |·|c |＝55.。
人教A版高中数学高一必修4第二章2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
量为 ( 1 , 1 )或(- 1 , - 1 )
55
55
7、RtABC 中，AB (2,3) ，AC (1,k ) ，则k的
值为 ① A = 90o时k = - 2 3
② B = 90o时k = 11
3
③C = 90o时k = 3 13
2
8、以原点和A（5，2）为两个顶点作等腰 直角三角形OAB，B=90，求点B的坐标.
a b ab = 0
设a =（x1 , y1 ), b = (x2 , y 2 ), 则 a b x1x2 + y1y2 = 0
（2）平行
若a =（x1 , y1 ), b = (x2 , y 2 ), 则 a//b x1y2 - x2y1 = 0.
4、两向量夹角公式的坐标运算
设a与b的夹角为θ（0o θ 180o），
AB AC = 1(-3) + 1 3 = 0
AB AC
∴△ABC是直角三角形.
例4:求a = ( 3 - 1, 3 + 1)与向量的夹角为45°的
单位向量．
解： 设所求向量为 b = (cosα,sinα)
∵ a 与 b 成45° ∴ a b = 2 8 = 2 2
另一方面 ( 3 1)cos ( 3 1)sin 2
(2)已知a = (2, 3),b = (-2, 4),求（a + b）（ a - b）.
解： 法一：a + b = (0, 7),a - b = (4, -1) （a + b）（ a - b）= 0 4 + 7 (-1) = -7.
法二
:
(a
+
b）（ a
-
b）=
2
人教a版高一必修4_2.4.2_平面向量数量积的坐标表示、模、夹角_作业_word版含解析
人教a 版高一必修4_2.4.2_平面向量数量积的坐标表示、模、夹角_作业_word 版含解析[A.基础达标]1．已知向量a ＝(－1，x )，b ＝(1，x )，若2b －a 与a 垂直，则|a |＝( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．4 解析：选C.由题意得，2b －a ＝2(1，x )－(－1，x )＝(3，x )，∵(2b －a )⊥a ，∴－1×3＋x 2＝0，即x 2＝3，∴|a |＝ (－1)2＋3＝2.2．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，点P 在x 轴上，且使AP →·BP →有最小值，则点P 的坐标为( ) A ．(－3,0) B ．(2,0) C ．(3,0) D ．(4,0)解析：选C.设P (x,0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)，所以AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋2＝x 2－6x＋10，当x ＝3时，AP →·BP →取最小值，故P (3,0)，故选C.3．在△ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，且满足：|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则a·b ＋b·c ＋c·a 的值为( )A ．4 B.72C ．－4D ．－72解析：选C.在△ABC 中，∵|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，∴△ABC 为直角三角形，且BC ⊥BA ，以BA ，BC 为x ，y 轴建立坐标系，则B (0,0)，A (3，0)，C (0,1)，∴a ＝BC →＝(0,1)，b ＝CA →＝(3，－1)，c ＝AB →＝(－3，0)， ∴a·b ＋b·c ＋a·c ＝－1－3＋0＝－4.4．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( ) A.322B.3152C ．－322D ．－3152解析：选A.AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，|CD →|＝52，故AB →在CD →方向上的投影为AB →·CD →|CD →|＝1552＝322.5．在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( ) A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10解析：选C.AC →·BD →＝(1,2)·(－4,2)＝0，故AC →⊥BD →.故四边形ABCD 的对角线互相垂直，面积S ＝12·|AC →|·|BD→|＝12×5×25＝5. 6．已知a ＝(0,1)，b ＝(1,1)，且(a ＋λb )⊥a ，则实数λ的值是________． 解析：由(a ＋λb )⊥a ，得(a ＋λb )·a ＝0，即(λ，1＋λ)·(0,1)＝0，∴1＋λ＝0，∴λ＝－1. 答案：－17．已知a ＝(λ，2)，b ＝(－3，5)，且a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．解析：由于a 与b 的夹角为锐角，∴a·b ＞0，且a 与b 不共线同向．由a·b ＞0⇒－3λ＋10＞0，解得λ＜103.当向量a 与b 共线时，得5λ＝－6，得λ＝－65，因此λ的取值范围是λ＜103且λ≠－65.答案：{λ|λ＜103且λ≠－65}8．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角大小为________．解析：a ＋b ＝(－1，－2)，|a |＝5，设c ＝(x ，y )，而(a ＋b )·c ＝52，∴x ＋2y ＝－52.又∵a·c ＝x ＋2y ，设a 与c 的夹角为θ，则cos θ＝a·c|a |·|c |＝－525＝－12.又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.答案：120°9．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,4)． (1)求a ＋b 与a －b 的夹角；(2)若a ⊥(a ＋λb )，求实数λ的值． 解：(1)∵a ＝(1,2)，b ＝(－3,4)， ∴a ＋b ＝(－2,6)，a －b ＝(4，－2)，∴cos 〈a ＋b ，a －b 〉＝(－2，6)·(4，－2)40×20＝－2040×20＝－22.又∵〈a ＋b ，a －b 〉∈[0，π]，∴〈a ＋b ，a －b 〉＝3π4.(2)当a ⊥(a ＋λb )时，a ·(a ＋λb )＝0， ∴(1,2)·(1－3λ，2＋4λ)＝0，则1－3λ＋4＋8λ＝0，∴λ＝－1.10．平面内有向量OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，OP →＝(2,1)，点M (x ，y )为直线OP 上的一动点．(1)用只含y 的代数式表示OM →的坐标；(2)求MA →·MB →的最小值，并写出此时OM →的坐标．解：(1)设OM →＝(x ，y )，因为点M 在直线OP 上，所以向量OM →与OP →共线． 又OP →＝(2,1)，则x －2y ＝0，即x ＝2y ，所以OM →＝(2y ，y )．(2)因为MA →＝OA →－OM →＝(1－2y,7－y )，MB →＝OB →－OM →＝(5－2y,1－y )，所以MA →·MB →＝(1－2y )(5－2y )＋(7－y )(1－y ) ＝5y 2－20y ＋12 ＝5(y －2)2－8，所以当y ＝2时，MA →·MB →取最小值－8，此时OM →＝(4,2)．[B.能力提升]1．已知a ＝(5,4)，b ＝(3,2)，则与2a －3b 平行的单位向量为( )A ．(55，255) B ．(55，255)或(－55，－255)C ．(55，－255)或(－55，255)D ．(－55，－255)解析：选B.可知2a －3b ＝(1,2)，设所求的向量的坐标为(x ，y )，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝y ，x 2＋y 2＝1，解得⎩⎨⎧x ＝55，y ＝255或⎩⎨⎧x ＝－55，y ＝－255，故选B.2．如图是函数y ＝tan(π4x －π2)的部分图象，则OB →·BA →等于( )A ．4B ．－4C ．2D ．－2解析：选B.令tan(π4x －π2)＝1，结合图象可得x ＝3，即B (3,1)．令tan(π4x －π2)＝0，结合图象可得x ＝2，即A (2,0)，从而OB →＝(3,1)，BA →＝(－1，－1)，OB →·BA →＝－4，故选B.3．若a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y )，若a ∥b ，(a ＋b )⊥(b －c )，M (x ，y )，N (y ，x )，则向量MN →的模为________．解析：因为a ∥b ，所以x ＝4，所以b ＝(4，－2)，所以a ＋b ＝(6，－3)，b －c ＝(1，－2－y )． 因为(a ＋b )⊥(b －c )， 所以(a ＋b )·(b －c )＝0，即6－3(－2－y )＝0，所以y ＝－4，故向量MN →＝(－8,8)，|MN →|＝8 2. 答案：8 24．已知在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP →·CB →＋CP →·CA →＝________.解析：由题意可建立如图所示的坐标系，可得A (2,0)，B (0，2)，P (23，43)或P (43，23)，所以可得CP →＝(23，43)或CP →＝(43，23)，CA →＝(2,0)，CB →＝(0,2)， 所以CA →＋CB →＝(2,0)＋(0,2)＝(2,2)，所以CP →·CB →＋CP →·CA →＝CP →·(CB →＋CA →)＝(23，43)·(2,2)＝4或CP →·(CB →＋CA →)＝(43，23)·(2,2)＝4.答案：45．已知向量a ＝(2,0)，b ＝(1,4)． (1)求|a ＋b |的值；(2)若向量k a ＋b 与a ＋2b 平行，求k 的值；(3)若向量k a ＋b 与a ＋2b 的夹角为锐角，求k 的取值范围． 解：(1)∵a ＝(2,0)，b ＝(1,4)，∴a ＋b ＝(3,4)， 则|a ＋b |＝5.(2)∵a ＝(2,0)，b ＝(1,4)，∴k a ＋b ＝(2k ＋1,4)，a ＋2b ＝(4,8)；因为向量k a ＋b 与a ＋2b 平行，所以8(2k＋1)＝16，则k ＝12.(3)∵a ＝(2,0)，b ＝(1,4)，∴k a ＋b ＝(2k ＋1,4)，a ＋2b ＝(4,8)；因为向量k a ＋b 与a ＋2b 的夹角为锐角，所以⎩⎪⎨⎪⎧4(2k ＋1)＋32＞0k ≠12，解得k ＞－92或k ≠12.6．(选做题)已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标．解：设D 点坐标为(x ，y )， 则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)， BD →＝(x －3，y －2)．∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线， ∴－6(y －2)＋3(x －3)＝0， 即x －2y ＋1＝0.①又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0， 即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0， ∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0， 即2x ＋y －3＝0，②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴|AD →|＝(1－2)2＋(1＋1)2＝5， 即|AD →|＝5，点D 的坐标为(1,1)．。
人教版高中数学高一A版必修4同步优化训练 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.已知AB =(21,21)，=(-2,y),若AB ⊥，则y 的值为( ) A.21- B.-2 C.21 D.2 解析：∵⊥，∴21·(-2)+21·y=0,解得y=2. 答案：D2.向量｜a ｜=9,｜b ｜=12,则｜a +b ｜的最大值和最小值分别为___________________. 解析：由||a |-|b ||≤|a +b |≤|a |+|b |可得结果.答案：21和33.(2006高考天津卷，理12)设向量a 与b 的夹角为θ，且a =(3,3),2b -a =(-1,1)，则cosθ=____. 解析：设b =(x,y)，则2b -a =(2x,2y)-(3,3)=(-1,1)，∴⎩⎨⎧=--=-132132y x ⇒⎩⎨⎧==.2,1y x ∴b =(1,2).∴cosθ=101035233213||||=⨯⨯+⨯=•b a b a . 答案：10103 4.已知向量a 与b 同向，b =(1,2),a ·b =10.(1)求向量a 的坐标；(2)若c =(2,-1)，求(b ·c )a .解：(1)∵向量a 与b 同向，b =(1,2),∴a =λb =(λ,2λ).又∵a ·b =10，∴有λ+4λ=10.解得λ=2＞0.符合向量a 与b 同向的条件.∴a =(2,4).(2)∵b ·c =1×2+2×(-1)=0,∴(b ·c )a =0.10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知平面上直线l 的方向向量e=(53,54-)，点O(0,0)和A(1,-2)在l 上的射影分别是O 1、A 1，则11A O =λe ，其中λ等于( ) A.511 B.511- C.2 D.-2 解析：方法一：由向量在已知向量上的射影的定义知 λ=||cos 〈e ，〉==5·5)2,1()53,54(-•-=54--56=-2.方法二：利用数形结合的思想，作图可得.令向量e 过原点,故11A O 与e 方向相反.排除A 、C ，检验B 、D 可知D 正确.答案：D2.(2006高考江苏卷，理6)已知两点M(-2,0)、N(2,0)，点P 为坐标平面内的动点，满足｜｜·｜｜+·=0，则动点P(x,y)的轨迹方程为( ) A.y 2=8x B.y 2=-8x C.y 2=4x D.y 2=-4x 解析：=(4,0),=(x-2,y)⇒·=4(x-2). 由已知有22)2(4y x +++4(x+2)=0，整理得y 2=-8x.答案：B3.A 、B 、C 、D 四点的坐标依次是(-1，0)、(0，2)、(4，3)、(3，1)，则四边形ABCD 为( )A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四边形 解析：∵=(1,2),=(1,2),∴=.又线段AB 与线段DC 无公共点，∴AB ∥DC 且|AB|=|DC|.∴四边形ABCD 为平行四边形.又|AB|=5，|BC|=17，∴|AB|≠|DC|.∴平行四边形ABCD 不是菱形也不是正方形. 又·BC =4+2=6≠0，∴AB 与BC 不垂直.∴平行四边形ABCD 不是矩形. 答案：D4.已知｜a ｜=132,b =(-2,3)且a ⊥b ，则a 的坐标为_______________________.解析：设a =(x,y)，则x 2+y 2=52.由a ⊥b 得-2x+3y=0.由以上两个条件得⎩⎨⎧==,4,6y x ⎩⎨⎧-=-=.4,6y x 答案：(6，4)或(-6，-4)5.已知A 、B 、C 、D 四点的坐标分别为A(1,0)、B(4,3)、C(2,4)、D(m,n).当m 、n 满足什么条件时，四边形ABCD 分别是平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形(A 、B 、C 、D 按逆时针方向排列)?解：由条件知=(3,3),=(-2,1),AD=(m-1,n),=(2-m,4-n).(1)若四边形ABCD 为平行四边形，则DC AB =，∴(3,3)=(2-m,4-n),解得m=-1,n=1. ∴当m=-1,n=1时,四边形ABCD 为平行四边形.(2)当m=-1,n=1时，=(3,3),=(-2,1).则||=23,||=5,||≠||.因此，使四边形ABCD 为菱形的m 、n 不存在.(3)当m=-1,n=1时，AB ·AD =(3,3)·(-2,1)=-3≠0，即AB 、CD 不垂直.因此使四边形ABCD为距形的m 、n 不存在.(4)由(2)、(3)知，使四边形ABCD 为正方形的m 、n 不存在.(5)若四边形ABCD 为梯形，则=λ或=λ，其中λ为实数，且λ＞0,λ≠1. 所以⎩⎨⎧=-=-λλ34,32n m (λ＞0,λ≠1)或⎩⎨⎧=-=-λλn m ,21(λ＞0,λ≠1). 整理得m 、n 的取值条件为n=m+2(m ＜2,m≠-1)或n=221m -(m ＜1,m≠-1). 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.若向量b 与向量a =(1,-2)的夹角是180°，且｜b ｜=53，则b 等于( )A.(-3，6)B.(3，-6)C.(6，-3)D.(-6，3)解析：方法一：设b =λ(-1,2)，且λ＞0，有(-λ)2+(2λ)2=(53)2⇒b =(-3，6).方法二：由题意可知，向量a ,b 共线且方向相反.故可由方向相反排除B ，C ；由共线可知b =-3a . 答案：A2.已知平面向量a =(3，1)，b =(x ，-3)，且a ⊥b ，则x 等于( )A.3B.1C.-1D.-3解析：由3x+1×(-3)=0,得x=1.答案：B3.已知m =(1，0)，n =(1，1)，且m +k n 恰好与m 垂直，则实数k 的值为( )A.1B.-1C.1或-1D.以上都不对解析：m +k n =(1，0)+k(1，1)=(1+k ，k)，∵m +k n 与m 垂直，∴(m +k n )·m =0，即(1+k ，k)·(1，0)=0.∴(1+k)×1+k×0=0，得k=-1.答案：B4.设m 、n 是两个非零向量，且m =(x 1，y 1)，n =(x 2，y 2)，则以下等式中与m ⊥n 等价的个数有( )①m ·n =0 ②x 1x 2=-y 1y 2 ③｜m +n ｜=｜m -n ｜ ④｜m +B ｜=22n m +A.1B.2C.3D.4解析：由两非零向量垂直的条件可知①②正确，由模的计算公式与向量垂直的条件可知③④也正确.答案：D5.(2006高考湖南卷，理5)已知｜a ｜=2｜b ｜≠0,且关于x 的方程x 2+｜a ｜x+a ·b =0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )A.［0,6π］B.［3π,π］C.［3π,32π］D.［6π,π］ 解析：方程x 2+|a |x+a ·b =0有实根可推出|a |2-4a ·b ≥0.设a 与b 的夹角为θ，则cosθ=2||21||||a b a b a b a •=•≤21，∴θ∈［3π,π］. 答案：B6.已知向量a 和b 的夹角为120°，且｜a ｜=2，｜b ｜=5，则(2a -b )·a =________________. 解析：(2a -b )·a =2a 2-b ·a =2×22-5×2×cos120°=8+5×2×21=13.答案：137.在△ABC 中，∠A=90°，=(k,1),=(2,3)，则k 的值是___________________. 解析：∵∠A=90°，∴⊥.∴·=2k+3=0.∴k=-23. 答案：-23 8.设两向量e 1、e 2满足｜e 1｜=2，｜e 2｜=1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1+7e 2与向量e 1+t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.解：∵21e =4，22e =1，e 1·e 2=2×1×cos60°，∴(2t e 1+7e 2)·(e 1+t e 2)=2t 21e +(2t 2+7)e 1·e 2+7t 22e =2t 2+15t+7.∴2t 2+15t+7＜0.∴-7＜t ＜21-. 设2t e 1+7e 2=λ(e 1+t e 2)(λ＜0)，则2t=λ，且7=tλ，∴2t 2=7.∴t=214-，λ=14-.∴t=214-时， 2t e 1+7e 2与e 1+t e 2的夹角为π，故t 的取值范围是(-7，214-)∪(214-，21-). 9.平面内有向量=(1,7),=(5,1),=(2,1)，点X 为直线OP 上的一动点.(1)当·取最小值时，求OX 的坐标；(2)当点X 满足(1)的条件和结论时，求cos ∠AXB 的值.解：(1)设OX =(x,y)，因为点X 在直线OP 上，所以向量OX 与共线. 又=(2,1)，所以x·1-y·2=0,x=2y.所以OX =(2y,y). 又OX OA XA -=且OA =(1,7)，所以=(1-2y,7-y). 同理，OX OB XB -==(5-2y,1-y).于是有XA ·XB =(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)=5(y-2)2-8. 所以当y=2时，XA·XB =5(y-2)2-8有最小值-8，此时OX =(4,2).(2)当OX =(4,2)，即y=2时，有XA =(-3,5),XB =(1,-1),|XA |=34,|XB |=2,XA ·XB =-3×1+5×(-1)=-8.所以cos ∠AXB=||||XB XA XBXA =171742348-=⨯-. 10.如图2-4-3所示，以原点和A(5，2)为顶点作等腰直角三角形ABC ，使∠B=90°，求点B 和向量AB 的坐标.图2-4-3解：设B 点坐标(x ，y)，则=(x ，y)，=(x-5，y-2), ∵⊥,∴x(x-5)+y(y-2)=0,即x 2+y 2-5x-2y=0.又∵|OB |=||，∴x 2+y 2=(x-5)2+(y-2)2，即10x+4y=29.由⎩⎨⎧=+=--+2941002522y x y x y x ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==23,2711y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.27,2322y x∴B 点坐标为(27，-23)或(23，27)，=(-23，-27)或(-27，23). 11.平面内三点A 、B 、C 在一条直线上，=(-2,m)，=(n,1),=(5,-1),且⊥，求实数m 、n 的值.解析：因为A 、B 、C 三点共线，所以=λ.因为-==(7,-1-m)，-==(n+2,1-m),所以(7,-1-m)=λ(n+2,1-m),即⎩⎨⎧-=++=).1(1),2(7m m n λλ 所以mn-5m+n+9=0. ① 由OA ·OB =0，得m-2n=0. ② 由①②得m=6,n=3或m=3,n=23. 快乐时光偶像与起床小明总是睡懒觉，有一天，小明妈妈批评他说：“你看隔壁小华每天天还没亮就起床了，你就不能早起一点？”小明理直气壮地回答：“妈妈！我跟他不一样，人家小华崇拜的偶像是黎明！我崇拜的偶像是作家卧龙生.”。
人教A版高中数学必修四2-4-2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角牛老师
已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b的值是( )
A．23
B．7
C．－23
D．－7
[答案] D
设a＝(2,1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角θ为锐角．求λ的取 值集合．
[答案] {λ|λ>－12，且λ≠2}
[解析]
Байду номын сангаас
cosθ＝|aa|··b|b|＝
2λ＋1 5· λ2＋1
∵θ为锐角，有0<cosθ<1，
∴0<
2λ＋1 5· λ2＋1<1.
∴22λλ＋ ＋11<>0，5· λ2＋1，
解得λ>－12， λ≠2.
解法二：∵a＝(2，－1)，b＝(3，－2)， ∴3a－b＝(6，－3)－(3，－2)＝(3，－1)， a－2b＝(2，－1)－(6，－4)＝(－4,3)． ∴(3a－b)·(a－2b)＝3×(－4)＋(－1)×3 ＝－15.
命题方向2 求向量的夹角
(1)已知a＝(1， 3)，b＝( 3＋1， 3－1)，求a与b 的夹角；
►Suffering is the most powerful teacher of life. 苦难是人生最伟大的老师。 ►For man is man and master of his fate. 人就是人，是自己命运的主人。 ►A man can't ride your back unless it is bent. 你的腰不弯，别人就不能骑在你的背上。
人教A版高中数学必修四课后训练{2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角}.docx
课后训练1．已知向量a ＝(1，k )，b ＝(2,2)，且a ＋b 与a 共线，那么a·b 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．已知向量a ＝(2,4),3a ＋2b ＝(4,8)，则a ·b ＝( )A ．－10B ．10C ．－20D ．203．向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A ．5B ．10C ．25D ．104．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则222||||||PA PB PC +＝( ) A ．2 B ．4 C ．5 D ．105．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3),2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( )A ．865B ．865-C ．1665D ．1665- 6．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝__________．7．已知a ＝(1,0)，|b |＝1，c ＝(0，－1)满足3a ＋k b ＋7c ＝0，则实数k 的值为__________．8．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，则(1)与2a ＋b 同向的单位向量的坐标表示为________；(2)向量b －3a 与向量a 夹角的余弦值为________．9．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，－3)．(1)若λa －2b 与a 垂直，求λ的值；(2)若a －2k b 与a ＋b 平行，求k 的值．10．已知点A (2,0)，B (0,2)，C (cos α，sin α)(其中0＜α＜π)，O 为坐标原点，若|OA ＋OC |＝7，求OB 与OC 的夹角．参考答案1答案：D 解析：∵a ＋b 与a 共线，∴a ＋b ＝λa ，即(1＋2，k ＋2)＝λ(1，k )．由3,2,k k λλ=⎧⎨+=⎩解得3,1.k λ=⎧⎨=⎩故a ＝(1,1)，则a ·b ＝1×2＋1×2＝4． 2答案：A 解析：由已知a 2＝|a |2＝20，∴a ·(3a ＋2b )＝3a 2＋2a ·b ＝60＋2a ·b ＝40，∴a ·b ＝－10．3答案：B 解析：由a ⊥c ，b ∥c 得240,24,x y -=⎧⎨=-⎩解得2,2,x y =⎧⎨=-⎩ ∴a ＋b ＝(3，－1)，∴|a ＋b |＝10．4答案：D 解析：由已知以C 为坐标原点，CA ，CB 所在直线分别为x 轴，y 轴建立直角坐标系，不妨设点A 坐标为(4,0)，点B 坐标为(0,4)，则点D 的坐标为(2,2)，点P 坐标为(1,1)．∴PA ＝(3，－1)，PB ＝(－1,3)，PC ＝(－1，－1)， ∴222||||1010||2PA PB PC ++=＝10． 5答案：C 解析：由题可知，设b ＝(x ，y )，则2a ＋b ＝(8＋x,6＋y )＝(3,18)，所以可以解得x ＝－5，y ＝12，故b ＝(－5,12)，从而cos 〈a ，b 〉＝16||||65⋅=a b a b ． 6答案：82 解析：∵a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，∴a ·b ＝6，∴c ＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)，∴|c |＝82．7答案：58± 解析：k b ＝－3a －7c ＝－3(1,0)－7(0，－1)＝(－3,7)．∴|k b |＝|k |·|b |＝2(3)4958-+=．∵|b |＝1， ∴58k =±． 8答案：(1)31010,1010⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭(2)255- 解析：(1)因为2a ＋b ＝(3,1)，所以与2a ＋b 同向的单位向量的坐标为31,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭，即31010,1010⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． (2)b －3a ＝(－2,1)，设向量b －3a 与向量a 的夹角为θ，则cos θ＝(3)(2,1)(1,0)25|3|||551-⋅-⋅==--⨯b a a b a a ． 9答案：解：(1)∵a ＝(1,1)，b ＝(2，－3)，∴λa －2b ＝(λ，λ)－(4，－6)＝(λ－4，λ＋6)．∵(λa －2b )⊥a ，∴(λa －2b )·a ＝0，∴λ－4＋λ＋6＝0，∴λ＝－1．(2)∵a －2k b ＝(1,1)－(4k ，－6k )＝(1－4k,1＋6k )，a ＋b ＝(3，－2)，且(a －2k b )∥(a ＋b )，∴－2(1－4k )－3(1＋6k )＝0，∴12k =-． 10答案：解：由已知得OA ＋OC ＝(2＋cos α，sin α)． ∵|OA ＋OC |＝7，∴(2＋cos α)2＋sin 2α＝7．即4＋4cos α＋cos 2α＋sin 2α＝7．∴cos α＝12，又α∈(0，π)，∴sin α＝32． ∴OC ＝13,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，又OB ＝(0,2)．∴cos ∠BOC ＝||||OB OC OB OC ⋅＝32， ∴∠BOC ＝π6．故OB 与OC 的夹角为π6．。
人教版高中数学必修4课后强化作业 2-4-2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
基 础 巩 固一、选择题1．已知a ＝(0,1)，b ＝(2，－1)，则a ·b 等于( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2[答案] B[解析] ∵a ＝(0,1)，b ＝(2，－1)，∴a ·b ＝(0,1)·(2，－1)＝0×2＋1×(－1)＝－1.2．已知A (1,2)，B (2,3)，C (－2,5)，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形[答案] A[解析] AC →＝(－3,3)，AB →＝(1,1)，AC →·AB →＝0. 3．已知向量a ＝(－5,6)，b ＝(6,5)，则a 与b ( ) A ．垂直 B ．不垂直也不平行 C ．平行且同向 D ．平行且反向[答案] A[解析] ∵－5×6＋6×5＝0，∴a ⊥b .4．(2013聊城模拟)已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |等于( )A. 5B.10 C ．5 D ．25[答案] C[解析] ∵a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，∴(a ＋b )2＝50＝a 2＋2a ·b ＋b 2，可得|b |＝5.5．(2013·全国大纲理)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1[答案] B[解析] 本题考查数量积的运算，向量垂直的条件． m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1) ∵(m ＋n )⊥(m －n )∴(m ＋n )·(m －n )＝－2λ－3－3＝0 ∴λ＝－3.6．已知向量a ＝(3,4)，b ＝(2，－1)，如果向量a ＋x b 与b 垂直，则实数x 的值为( )A.233B.323 C ．2 D ．－25[答案] D[解析] 由于向量a ＋x b 与b 垂直，则(a ＋x b )·b ＝0， 所以a ·b ＋x b 2＝0，则6－4＋5x ＝0，解得x ＝－25.二、填空题7．已知a ＝(1，3)，b ＝(－2,0)，则|a ＋b |＝________. [答案] 2[解析] 因为a ＋b ＝(－1，3)， 所以|a ＋b |＝(－1)2＋(3)2＝2.8．a＝(－4,3)，b＝(1,2)，则2|a|2－3a·b＝________.[答案]44[解析]∵a＝(－4,3)，∴2|a|2＝2×((－4)2＋32)2＝50.a·b＝－4×1＋3×2＝2.∴2|a|2－3a·b＝50－3×2＝44.三、解答题9．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若k a＋b与a－3b垂直，求k的值．[解析]k a＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．又k a＋b与a－3b垂直，故(k a＋b)·(a－3b)＝0.即(k－3)·10＋(2k＋2)·(－4)＝0得k＝19.10．已知a＝(3，1)，b＝(2,23)．(1)求a·b；(2)求a与b的夹角θ.[解析](1)a·b＝23＋23＝4 3.(2)cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22＝433＋1·4＋12＝32，又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝30°.。
人教版高中数学高一A版必修4课后训练 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角练习1．已知a＝(1，－2)，b＝(3,4)，则a在b方向上的投影是()A．1 B．－1 CD．2．已知向量a＝(3,4)，b＝(2，－1)，如果向量a＋x b与b垂直，则实数x的值为()A．233B．323C．2 D．25-3．已知向量a＝(1,2)，a·b＝5，|a－b|＝|b|等于()A B．C．5 D．254．(2011·上海春季高考)若向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论正确的是()A．a·b＝1 B．|a|＝|b| C．(a－b)⊥b D．a∥b5．(能力拔高题)把一枚六个面分别标有1,2,3,4,5,6的正方体骰子投掷两次，观察其出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，设向量p＝(m，n)，向量q ＝(－2,1)，则满足p⊥q的向量p的个数是()A．6 B．5 C．4 D．36．已知向量a＝(1,1)，向量b＝(2，x)，若a－b与a垂直，则实数x的值为__________．7．设a＝(1,2)，b＝(1，m)，若a与b的夹角为钝角，则m的取值范围是__________．8．在平行四边形ABCD中，AC＝(1,2)，BD＝(－3,2)，则AD AC⋅＝__________.9．已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(b·c)a.10．已知AB＝(6,1)，BC＝(4，k)，CD＝(2,1)．(1)若A，C，D三点共线，求k的值；(2)在(1)的条件下，求向量BC与CD的夹角的余弦值．解：(1)AC AB BC =+＝(10，k ＋1)， 又A ，C ，D 三点共线，∴AC ∥CD . ∴10×1－2(k ＋1)＝0，解得k ＝4.(2)设向量BC 与CD 的夹角为θ，由(1)得BC ＝(4,4)，则BC ·CD ＝2×4＋1×4＝12，又|BC |=|CD |=则cos θ＝104BC CDBC CD ⋅==⋅.即向量BC 与CD 的夹角的余弦值为10.。
人教新课标A版高一数学《必修4》2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
②
cos 联立解之：
1 3 sin ， 2 2 1 3 sin 或 cos 2 ， 2
3 1 1 3 b1 , 或b2 , 2 2 2 2
课堂练习
（1）已知 a 3 ， b 1,2 且 a // b ，求 a .
于它们对应坐标的乘积之和；
（2） 要学会运用平面向量数量积的坐标表示解决有关长度、角
度、方程、及垂直问题.
谢谢大家！
S
θ
那么力F所做的功W为： W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角. 从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念.
探究点1
平面向量的数量积
ab cos | a || b |
a b a b cos
a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据)
a b ba 1 ． 运算律： a b a b a b 2．
证明：∵ AB 2 1,3 2 1,1
AC 2 1,5 2 3,2
∴
AB AC 1 3 1 3 0
ABC 是直角三角形.
拓展提升：
例3．求 a 3 1, 3 1 与向量的夹角为 45 的单位向量．
第二章 平面向量 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
学习目标
1．了解平面向量数量积的运算
2．学会平面向量数量积的坐标表示
复习回顾
夹角的范围
数量积 性质
0
a b a b cos
a· a=|a|2
或 a aa
（简写 a2 = |a|2）
(1) a · b= b ·a 运算律
3 6 3 6 a , 或a , 5 5 5 5
2020-2021学年数学人教A版必修4学案：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2．4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角[目标] 1.会用坐标表示平面向量的数量积． 2.能够用向量坐标求数量积、模及两个向量的夹角． 3.能够利用坐标判断向量的垂直关系．[重点] 用坐标表示平面向量的数量积．[难点] 用坐标求向量的模及两向量的夹角．知识点一平面向量数量积的坐标表示[填一填]设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．[答一答]1．公式a·b＝|a||b|cos a，b与a·b＝x1x2＋y1y2有什么区别与联系？提示：两个公式都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式的差异，可以相互推导；若题目给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用a·b＝|a||b|·cos a，b求解，若已知两向量的坐标，则可选用a·b＝x1x2＋y1y2求解．知识点二平面向量长度(模)的坐标表示[填一填]1．平面向量长度(模)的坐标公式已知向量a＝(x，y)，由于|a|＝a2，所以|a|＝x2＋y2.其含义是：向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根．2．平面内两点间的距离公式已知原点O (0,0)，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，于是|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.其含义是：向量AB →的长度(模)等于A ，B 两点之间的距离．[答一答]2．对于任意的非零向量a ＝(x ，y )，如何用坐标表示与向量a 同向的单位向量？提示：记向量a 的单位向量为a 0，则a 0＝a|a |，且|a |＝x 2＋y 2，所以a 0＝a|a |＝1x 2＋y 2(x ，y )＝(x x 2＋y 2，y x 2＋y 2)，此为与向量a ＝(x ，y )同向的单位向量．知识点三 两向量垂直的坐标表示[填一填]设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.[答一答]3．已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 与a ⊥b 的坐标表示有何区别？提示：若a ∥b ⇔x 1y 2＝x 2y 1，即x 1y 2－x 2y 1＝0. 若a ⊥b ⇔x 1x 2＝－y 1y 2，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．知识点四平面向量夹角的坐标表示[填一填]已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其夹角为θ，则cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22(0≤θ≤π)．[答一答]4．两向量a与b满足a·b<0，a与b的夹角一定是钝角吗？提示：不一定，a与b夹角可能是180°.类型一平面向量数量积的坐标运算[例1]已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，求a·b，|3a－b|，(a＋b)·(2a －b)．[分析]运用向量数量积坐标运算的法则及相关性质求解．[解]a·b＝1×2＋3×5＝17.∵3a＝3(1,3)＝(3,9)，b＝(2,5)，∴3a－b＝(1,4)，∴|3a－b|＝12＋42＝17.∵a＋b＝(3,8)，2a＝(2,6)，∴2a－b＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)，∴(a＋b)·(2a－b)＝3×0＋8×1＝8.进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.[变式训练1] (1)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )．若a ·b ＝1，则x ＝( D )A ．－1B ．－12 C.12 D ．1(2)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，－3)，若λa －2b 与a 垂直，则实数λ等于－1.解析：(1)a ·b ＝2－x ＝1，解得x ＝1.故选D.(2)方法1：λa －2b ＝(λ，λ)－2(2，－3)＝(λ－4，λ＋6)，由于(λa －2b )⊥a ⇔(λa －2b )·a ＝0，∴(λ－4)＋(λ＋6)＝0，∴λ＝－1.方法2：由于(λa －2b )⊥a ⇔(λa －2b )·a ＝0，即λa 2＝2a ·b ， 从而λ(1＋1)＝2(1,1)·(2，－3)， 即2λ＝－2，∴λ＝－1. 类型二 向量的模的问题[例2] (1)向量AB →与向量a ＝(－3,4)的夹角为π，|AB →|＝10，若点A 的坐标是(1,2)，则点B 的坐标为( )A ．(－7,8)B ．(9，－4)C ．(－5,10)D ．(7，－6)(2)已知向量a 在向量b ＝(1，3)方向上的投影为2，且|a －b |＝5，则|a |＝________.[解析] (1)∵向量AB →与向量a ＝(－3,4)的夹角为π， ∴设AB →＝k a ＝k (－3,4)＝(－3k,4k )，(k <0)． 由此可得|AB →|＝(－3k )2＋(4k )2＝10，解之得k ＝－2(k ＝2舍去)． ∴AB →＝(6，－8)设B (m ，n )，得AB →＝(m －1，n －2)＝(6，－8)，则有⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝6n －2＝－8，解得m ＝7，n ＝－6， ∴B (7，－6)，故选D. (2)由已知得：|b |＝2，a ·b|b |＝2， 所以a ·b ＝4，所以由|a －b |＝5，得a 2－2a ·b ＋b 2＝5， 所以a 2－8＋4＝5，所以|a |＝3. [★★答案★★] (1)D (2)3(1)要求向量的模需先由条件求出向量的坐标，再求模.(2)已知向量的模求坐标，要设出坐标列方程(组)求解.[变式训练2] 已知点A (1，－2)，若向量AB →与a ＝(2,3)同向，且|AB →|＝213，则点B 的坐标为( D )A ．(5，－4)B ．(4,5)C ．(－5，－4)D ．(5,4)解析：设B (x ，y )，则AB →＝(x －1，y ＋2)，由AB →与a ＝(2,3)同向，所以3(x －1)＝2(y ＋2)>0，① 又|AB →|＝213，所以(x －1)2＋(y ＋2)2＝213，②联立①②解得x －1＝4且y ＋2＝6. 所以x ＝5且y ＝4，故B (5,4)，选D. 类型三 向量的夹角与垂直问题[例3] (1)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(c －b )·a ＝152，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°(2)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m＝________.[解析] (1)由a ·b ＝－10得(c －b )·a ＝c ·a －b ·a ＝c ·a ＋10＝152，∴c ·a ＝－52.设a 与c 的夹角为θ， 则cos θ＝a ·c |a |·|c |＝－525×5＝－12.∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.(2)因为a ＋b ＝(m －1,3)，a ＋b 与a 垂直，所以(m －1)×(－1)＋3×2＝0，解得m ＝7.[★★答案★★] (1)C (2)7根据向量的坐标表示求a 与b 的夹角时，需要先求出a ·b 及|a |，|b |，再求夹角的余弦值，从而确定θ.[变式训练3] 平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝2.解析：方法1：由已知得c ＝(m ＋4,2m ＋2)，因为cos 〈c ，a 〉＝c ·a|c |·|a |，cos 〈c ，b 〉＝c ·b |c |·|b |，所以c ·a |c |·| a |＝c ·b|c |·|b |，又由已知得|b |＝2|a |，所以2c ·a ＝c ·b ，即2[(m ＋4)＋2(2m ＋2)]＝4(m ＋4)＋2(2m ＋2)，解得m ＝2.方法2：易知c 是以ma ，b 为邻边的平行四边形的对角线对应的向量，因为c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，所以该平行四边形为菱形，又由已知得|b |＝2|a |，故m ＝2.1．若a ＝(2，－3)，b ＝(x,2x )，且3a ·b ＝4，则x 等于( C ) A ．3 B ．13 C ．－13D ．－3解析：3a ·b ＝3(2x －6x )＝－12x ＝4，∴x ＝－13.3a ·b ＝3(2x －6x )＝－12x ＝4，∴x ＝－13.2．若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为( C ) A.13 B ．135 C.655D ．65解析：|a |cos θ＝a ·b |b |＝2×(－4)＋3×7(－4)2＋72＝655，故选C. 3．若a ＝(5，－7)，b ＝(－1,2)，且(a ＋λb )⊥b ，则实数λ的值为195. 解析：由题意，得a ＋λb ＝(5－λ，－7＋2λ)，由(a ＋λb )⊥b ，得－1×(5－λ)＋2×(－7＋2λ)＝0，则λ＝195.4．设向量a 与b 的夹角为θ，且a ＝(3,3)，2b －a ＝(－1，－1)，则cos θ＝1.解析：b ＝12a ＋12(－1，－1)＝(1,1)，则a ·b ＝6.又|a |＝32，|b |＝2，∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝66＝1.5．已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c .(1)求b 和c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m 与向量n 的夹角的大小． 解：(1)∵a ∥b ， ∴3x －36＝0.∴x ＝12. ∵a ⊥c ， ∴3×4＋4y ＝0. ∴y ＝－3.∴b ＝(9,12)，c ＝(4，－3)．(2)m ＝2a －b ＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)， n ＝a ＋c ＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)， 设m ，n 的夹角为θ， 则cos θ＝m ·n |m ||n |＝－3×7＋(－4)×1(－3)2＋(－4)2×72＋12＝－25252＝－22. ∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4，即m ，n 的夹角为3π4.——本课须掌握的三大问题1．向量的坐标表示简化了向量数量积的运算．为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．3．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.学科素养培优精品微课堂 平面向量数量积与三角函数的交汇问题开讲啦 用含有三角函数的坐标表示向量，就使得向量与三角函数建立了密切的内在联系．通过向量的坐标运算，将向量条件转化为三角函数关系是解题的第一步，根据题目要求，求解余下的三角函数问题是解题的第二步，利用这两步求解的策略，可将向量与三角函数的综合问题转化为两个基本问题解决．[典例] 已知点A (2,0)，B (0,2)，C (cos α，sin α)(其中0<α<π)，O 为坐标原点．(1)若|OA →＋OC →|＝7，求OB →与OC →的夹角； (2)若AC →⊥BC →，求tan α的值．[解] (1)由已知OA →＋OC →＝(2＋cos α，sin α)． ∵|OA →＋OC →|＝7，∴(2＋cos α)2＋sin 2α＝7. 即4＋4cos α＋cos 2α＋sin 2α＝7. ∴cos α＝12，又α∈(0，π)，∴sin α＝32. 从而OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.又OB →＝(0,2)，∴cos ∠BOC ＝OB →·OC →|OB →||OC →|＝32，∴∠BOC ＝π6.故OB →与OC →的夹角为π6.(2)由已知得，AC →＝(cos α－2，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－2)， ∵AC →⊥BC →，∴AC →·BC →＝0， ∴cos α(cos α－2)＋sin α(sin α－2)＝0. ∴sin α＋cos α＝12.两边平方得，(sin α＋cos α)2＝14，∴2sin αcos α＋34＝0.∴2sin αcos α＋34(sin 2α＋cos 2α)＝0. 即3sin 2α＋8sin αcos α＋3cos 2α＝0.两边同除以cos 2α，得3tan 2α＋8tan α＋3＝0. ∴tan α＝－8±286＝－4±73. ∵2sin αcos α＝－34<0，α∈(0，π)． ∴sin α>0，cos α<0.又sin α＋cos α＝12>0，∴sin α>－cos α，∴sin αcos α<－1， 即tan α<－1，而tan α＝－4＋73>－1，故舍去． 故tan α＝－4＋73为所求．[针对训练] 已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，c ＝(－1,0)．(1)求向量(b ＋c )的长度的最大值；(2)设α＝π4，且a ⊥(b ＋c )，求cos β的值． 解：(1)∵b ＝(cos β，sin β)，c ＝(－1,0)， ∴b ＋c ＝(cos β－1，sin β)，∴|b ＋c |2＝(cos β－1)2＋sin 2β＝2(1－cos β)． ∵－1≤cos β≤1，∴0≤|b ＋c |2≤4. ∴0≤|b ＋c |≤2.当cos β＝－1时，|b ＋c |＝2.∴(b ＋c )的长度的最大值为2.(2)∵α＝π4，∴a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22. 又b ＝(cos β，sin β)，c ＝(－1,0)，∴a ·(b ＋c )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22·(cos β－1，sin β)＝22cos β＋22sin β－22. ∵a ⊥(b ＋c )，∴a ·(b ＋c )＝0，即cos β＋sin β＝1. ∴sin β＝1－cos β.∴sin 2β＝1－2cos β＋cos 2β.∴cos β(cos β－1)＝0.解之得cos β＝0或cos β＝1.经检验cos β＝0或cos β＝1即为所求．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。