第三章 力系的简化和平衡

第三章 力系的简化和平衡引言力系分为：空间一般力系；空间汇交系；空间平行力系；平面一般力系；平面汇交力系；平面平行力系。

研究物体受力情况→作用在物体上的一组复杂力系→简化及合成→平衡条件研究。

§3.1 力线平移定理力线的平移定理：作用在刚体上O 点的力F 可平移到任意O '点，但必须附加上一个相应的力偶(称附加力偶)，这个附加力偶矩失等于原来的力F 对新作用点O '的矩。

且()dF F MM O ⋅=='(d 是力偶臂)力线平移定理不仅是力系简化的依据，也是分析力所物体效应的一个重要方法。

注：力线平移定理只能适应于静定刚体 证明：如F 图所示a. 力F 作用于刚体上O 点；b. 在刚上'O 处加上一对平衡力(F F ''',)，且F F F ''-='=。

根据加减平衡力系原理：（F F F ''',,），中（F F '',）等值反向不共线，是一对力偶, 这个力偶称为附加力偶。

附加力偶距失()F M d F M O '=⋅=c. ()[]()M F F F F F ,,','=''=b ()a c§3.2 力系的简化、主矢与主矩一、力系的简化在工程中，最常见的力系是不同一平面内，不完全相交，也不完全平行的空间的一般力系。

在对作用于物体的力系的研究过程当中，首先将力系向任意一点进行简化。

如图所示：空间力系(1F ,2F ,…n F )，O 点为任取的简化中心1) 根据力线平移定理，将力系中各力1F ,2F ,…m F 平移到O 点→作用于O 点的空间汇力系(1'F ,2'F ,…n F ')及附加力偶系(1M ,2M ,…n M )11'F F =，22'F F =,… nn F F '=()11F M M O= ()22F MMO=…()n OnF MM=2) 将以上两个力系分别合成F F F F F F F R n n ∑=+++=+++=' 2121nO MMM M+++= 21()()()()i O n O O O F M F M F M F M ∑=+++=21R ':原力系主矢，是空间一般力系中各力的矢量和，与简化中的无关。

OM:原力系的主矩，空间力系中各力对简化中心O 点的矩的矢量和。

O M 与简化中心有关。

yMy)MO总结：空间一般力系向刚体内任意一点O 简化，可得一个力与一个力偶，这个力作用于简化中心，为原力系主矢i F R ∑='，这个力偶矩失等于原力系的主矩()i O O F M M ∑=。

二、利用解析法求出R 的大小，方向以及主矩O M 的大小、方向。

以简化中心为原点，建立直角坐标系，z y x R R R '',,'和i i i Z Y X ,,表示'R 及原力系中任一意力i F 在坐标轴上的投影，以k j i ,,表示坐标轴x,y,z 的单位矢量。

kR j R i R R z y x ''''++=kZ j Y i X F R i i i ∑+∑+∑=∑='∴ i x X R ∑=' i y Y R ∑=' i z Z R ∑='结论：力系的主矢在坐标轴上的投影等于力系中力在同一坐标轴上投影的代数。

主矢的大小及方向222)()()('i i i Z Y X R ∑+∑+∑=()','cos R X x R i ∑= ()','cos R Y y R i ∑= ()','cos R Z z R i ∑=同理：z y x M M M ,,表示主矩O M 在x.y.z 轴上的投影()()()i z i y i x F M F M F M ,,表示原力中任意力对三轴的矩。

kM j M i M M z yx O ++=()()[]()[]()[]kF M j F M i F M F MM z i O yi O x i O i OO ∑+∑+∑=∑=()()()k F M j F M i F Mi z i y i x∑+∑+∑=∴ ()()∑-=∑=i i ii i xxY z Z y F MM()()∑-=∑=i i i ii y y Z x X zF M M()()∑-=∑=i i ii i z z X y Yx F M Mi i i z y x ,,表示力i F 作用点的坐标。

结论：主矩O M 在坐标轴上的投影等于各力对同一轴之矩的代数和。

()()()222zyx OMMM M∑+∑+∑=()OxM M x M ∑=,cos ()Oy MMy M ∑=,cos ()OzM Mz M ∑=,cos举例：利用力系向一点简化的方法，分析固定端约束反力。

§3.3 简化结果分析空间一般力系向任意一点简化→主矢'R 及主矩→Mo 根据主矢'R 及主矩Mo 不同的方向，简化的结果有以下四种情况出现：一、0'=R 0≠Mo这种情况说明作用于简化中心的'1F ，'2F …'n F 的合力为零，而各力的附加力偶不等于零，简化结果为一力偶矩失，且这个力偶矩失的矩矢等于原力系对简化中心的主矩，即()i O O F M M ∑=。

结论：原力系与一个力偶等效，力系→合力偶，其力偶矩失等于主矩，此时，主矩与简化中心无关。

二、0'≠R 0≠O M这说明原力系与一个力等效，R '就是原力系的合力，且合力作用线通过简化中心。

三、0'≠R 0≠O M（1） Mo R ⊥'力系可进一步简化为一个合力R (简化中心'O )（Ⅰ）b 图中O M 用()R R ,''来表示，且R R R ''='=（Ⅱ）R R '','是一对平衡力，根据加减平衡力系公理减去这对平衡力得c 图。

（2）'R ∥O M 简化结果为:力螺旋实例：螺钉，钻孔时领头所需的切割阻力等（3) 'R 与O M 相交，简化结果必然为一个力螺旋（Ⅰ）图b 将O M 分解成平行于'R 的o M '及垂直于'R 的o M " αcos 'O M o M = αsin "O M o M =（Ⅱ）o M "与'R 互相垂直，根据情况（1），o M "与'R 可简化为一个作用于'O 点的力R。

（Ⅲ) 矩失为o M '的力偶可在平面任意转移(力偶性质)，将o M '平移至'O 点得图c 。

o M '∥'R ，根据情况（2），力系简化为一个力螺旋。

()b ()c()a()a ()b ()c（4) 0'=R 0=O M这说明原力系平衡。

作用于简化中心O 的力系'1F ，'2F …'n F 的合力为零，附加力偶系1M ,2M …n M 的合力偶也为零。

总结：根据力系的'R 与Mo 不同，力系具有以下四种简化结果：（1） 力系简化为一个合力，0'≠R , 0=O M ,O M R ⊥'（2） 力系简化为一个合力偶，其矩等于O M , 0'=R , 0≠O M （3）力系简化为一个力螺旋，0'≠R ,0≠O M , 'R ∥Mo 或'R 与Mo 相交 （4） 力系为平衡力系，0'=R ,0=O M 四、空间一般力系合力矩定理当空间一般力系简化一个合力时，其合力对任意一点的矩等于力系中各力对同一点之矩的矢量和，合力对某一轴的矩等于力系中各力对同一轴之矩的代数和。

()()Oi O OMF M R M=∑=证明：力系简化为一合力R 则：()OO M R r R M =⨯= ()i O O F M M ∑=∴ ()()i O O F M R M ∑=在Z 轴上投影： ()()i Z Z F M R M ∑=§3.4 力系的平衡、平衡方程与应用空间一般力系，平衡的充分与必要条件是0'=R ，0=Mo 一、平衡方程1. 空间一般力系平衡方程ZkYj Xi R ∑+∑+∑='()()()k F M j F M i F MM i z i y i xO∑+∑+∑=∵0'=R 0=OM∴ 0=∑X0=∑Y 0=∑Z0=∑xM=∑yM0=∑zM（六个未知量，六个独立方程）2.空间汇交力系：∵0=O M ∴0=∑X 0=∑Y 0=∑Z（三个未知量，三个独立方程）3. 平面一般力系∵0≡∑Z 0≡∑xM≡∑y M∴平衡方程为0=∑X 0=∑Y 0=∑Mo(∵()()[]O zi O i z M F M F M ∑=∑=∑)（三个未知数，三个独立方程）4. 平面汇交力系∵0≡∑Z ∴0=∑X 0=∑Y （两个未知量，两个独立方程） 5. 空间平行力系 (设力系平行于Z 轴)∵0≡∑X 0≡∑Y 0≡∑z M∴0=∑Z 0=∑xM0=∑yM（三个未知量，三个独立方程）6. 平面平行力系 (设力系平行于Y 轴)∵0≡∑X0≡∑Y 个 ∴0=∑Y 0=∑O M（两个未知量，两个独立方程） 总结：力系 平衡方程数 能解未知数 空间一般力系 6 6 空间汇交力系 3 3 空间平行力系 3 3平面一般力系 3 3 平面汇交力系 2 2 平面平行力系 2 2 二、静定与静不定问题静定：指未知的约束反力，数目等于独立的平衡方程数目。

静不定：指未知的约束反力数目多于独立的平衡方程数目。

三、平衡方程应用 （一）单个物体平衡例1：如图所示，起重机水平梁AB ，A 、B 、C 三处用铰链固定，梁AB 自重KN P 10=,重物kN Q 10=，梁AB 长6米，重物距B 端2米。

求：拉杆BC 的拉力和铰链A 的约束反力。

解：1) 选取AB 梁与重物一起为研究对象 2) 画受力图 3) 列平衡方程此题为平面一般力系，有三个平衡方程， 解三个未知量。

0=∑X030cos =︒-T XA0=∑Y030cos =--︒+Q P T Y A 0=∑AM 02330sin 6=--︒⋅⋅Q P TkNT33.17= kNX A01.15= kNY A33.5=分析：1)此处也可用 0=∑B M 0236=++⨯-Q P Y A kN Y A 31.5=0=∑A M 0236=++⨯-Q P Y A kNT 33.17= 0=∑X0236=++⨯-Q P Y A kNXA21.15=以上平衡方程中，有二个力矩方程和一个投影方程，称为二矩式条件：AB 两点连成不能与投影轴垂直，即另一方程不能用0=∑Y 。