《利息理论》复习提纲
利息理论总复习
1 + i0 = (1 + i )
k
则年金的现值和终值分别为： 则年金的现值和终值分别为：
& a& n i 和 &&n i s
0
0
3、永续年金
1）期末付
lim a kn sk
n→∞
1 − v kn 1 1 = lim ⋅ = （i为每次的利率） n→∞ i sk is k
2）期初付
i ( m ) = m(e m − 1)
δ
1、期末付年金的现值与终值
( ( anm ) (∞) = anm ) = i
1− v i ( m)
n
=
1 − e − nδ m(e m − 1)
δ
。
( ( s nm ) ( ∞ ) = s n m ) i
(1 + i ) n − 1 = i (m)
2 、期初付年金的现值与终值
第一章
利息的基础知识
1、积累函数
a ( t )=
或：
a n − a n −1 an
=
i 1+ i
d = i ⋅v i=
d 1−d
贴现率与折现因子
公式一 公式二
d = 1− v
及：
vt = v = (1 − d )
t
t
及：
v = 1− d
at = (1 − d )
同理： 同理：
&&n m = &&n (1 + i ) = &&m + n − &&m s s s s
m
.
年金的当前值
0 1 1 ------m 1 1 n 1
利息知识点总结
利息知识点总结
以下是利息知识点总结：
1. 利息计算公式：I = P r n。
其中，I是利息，P是本金，r是年利率，n 是存款年限。
2. 复利计算公式：A = P (1 + r/n) ^ (nt)。
其中，A是终值，P是本金，r 是年利率，n是每年计息次数，t是存款年限。
3. 连续复利计算公式：A = P e ^ rt。
其中，A是终值，P是本金，r是年利率，t是时间（以年为单位）。
4. 贴现计算公式：V = F / (1 + r)^n。
其中，V是现值，F是未来值，r是年贴现率，n是贴现期（以年为单位）。
5. 简单利率和复利利率的区别：简单利率是指在存款期间利率不变，而复利利率则是在每个计息周期结束时将利息计入本金再计息。
6. 零存整取和整存整取的区别：零存整取是在每个计息周期结束时将利息计入本金再计息，而整存整取则是在存款期间利率不变。
7. 存款期限和利率的关系：一般来说，存款期限越长，相应的利率越高。
这是因为银行需要为长期资金提供更高的风险补偿。
8. 存款准备金和存款保险的区别：存款准备金是银行按照规定必须留存在银行的资金，而存款保险则是为了保障存款人的利益而设立的保险制度。
9. 贷款和债券的区别：贷款是银行或其他金融机构向借款人提供的直接融资方式，而债券则是借款人向投资者发行的债务证券。
10. 利率风险和信用风险的区别：利率风险是指因利率变动而导致的投资收益的不确定性，而信用风险则是指借款人违约而导致的损失。
第一章 利息理论基础
A (5 )
5000
1 5 2%
( 4 ) 2 % 复贴现计息
5556
5000 A ( 5 ) （ 1 2 % ）5 5531
3、名义（年）利率和名义（年）贴现率
（1）名义利率
名义利率
i m ，是指每
1 m
个度量期支付利息一
次，而在每 1 个度量期的实质利率为：i m
m
m
A nA n 1 In an an 1 d n A n A n an
n1,n为整数
同样有，第 1期的实质贴现率为：
d1A1 AA 111a1a 1a01a11 a111d1
（3）利率与贴现率之间的等关系
等价——相同的本金经过相同的计息周期 产生相同的累积值。
(1)d i v i(v 1 折现因子,discountfactor）
i 1 i
d m m
1
m im
m
d m
m im m im
1 d m
1 m
1 im
例1.3
1、确定500元以季度转换8%年利率投资5年 的积累值。
2、如以6%年利，按半年为期预付及转换， 到第6年末支付1000元，求其现时值。
3、确定季度转换的名义利率，使其等于月度 转换6%名义贴现率。
例1.3答案
季、月、日、小时、分钟、秒等等。利 率通常是指年利率。） 时期长度（计息周期，Measure period）
举例说明：利率的度量期与计息周期
二、积累函数与贴现函数
1、积累函数（Accumulation Function）
a(t)
1--------------------------------- a (t )
1、单利和复利（假设时间t内利率相 同）
《利息理论》复习提纲
《利息理论》复习提纲第一章 利息的基本概念 第一节 利息度量 一. 实际利率某一度量期的实际利率是指该度量期内得到的利息金额与此度量期开始时投资的本金金额之比，通常用字母i 来表示。
利息金额I n =A(n)-A(n-1)对于实际利率保持不变的情形，i=I 1/A(0)； 对于实际利率变动的情形，则i n =I n /A(n-1)； 例题：1.1.1二．单利和复利考虑投资一单位本金，（1） 如果其在t 时刻的积累函数为 a(t)=1+i*t ，则称这样产生的利息为单利；实际利率 )()()()(1111-+=---=n i in a n a n a i n（2） 如果其在t 时刻的积累函数为a(t)=(1+i)t ，则称这样产生的利息为复利。
实际利率 i i n =例题：1.1.3 三.. 实际贴现率一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比，通常用字母d 来表示实际贴现率。
等价的利率i 、贴现率d 和贴现因子（折现因子）v 之间关系如下：,(1),1111,,,1d ii d i i d d iv d d iv v i d idi=+==-+=-==-=+例题：1.1.6 四．名义利率与名义贴现率用()m i 表示每一度量期支付m 次利息的名义利率，这里的m 可以不是整数也可以小于1。
所谓名义利率，是指每1/m 个度量期支付利息一次，而在每1/m 个度量期的实际利率为()/m i m 。
与()m i 等价的实际利率i 之间的关系：()1(1/)m m i i m +=+。
名义贴现率()m d ，()1(1/)m m d d m -=-。
名义利率与名义贴现率之间的关系：()()()()m m m m i d i d m m m m-=⋅。
例题：1.1.9 五．利息强度定义利息强度（利息力）为()()()()t A t a t A t a t δ''==， 0()ts ds a t e δ⎰=。
利息理论知识点
利息理论知识点利息理论是金融学中非常重要的一部分，它涉及到我们日常生活中经济活动的方方面面。
在这篇文章中，我们将逐步深入探讨一些关键的利息理论知识点。
第一步：什么是利息？利息是指在借贷交易中，贷款人向借款人提供资金时产生的费用。
它代表了借款人使用贷款资金的成本，也是贷款人的回报。
第二步：利息的计算方法在实际生活中，利息的计算方法有很多种。
其中最常见的是简单利息和复利息。
简单利息是指在固定的时间段内，基于贷款的原始本金计算利息。
它的计算公式为：利息 = 本金 × 利率 × 时间。
复利息是指在每个时间段结束时，利息会被加到本金上，下一个时间段的利息将基于更新后的本金计算。
它的计算公式为：利息 = 本金 × （1 + 利率）^ 时间 - 本金。
第三步：利率和影响利率的因素利率是计算利息的重要参数，它代表了借款的成本或者投资的回报。
利率的水平由多种因素决定，包括但不限于以下几点：1.经济政策：宏观经济政策的调整可以直接影响利率水平。
例如，央行通过调整基准利率来控制货币供应量和利率水平。
2.市场需求和供应：市场上的借贷需求和供应也会对利率产生影响。
当借款需求大于供应时，利率通常会上升，反之亦然。
3.风险因素：借款人的信用状况和贷款的风险水平也会影响利率。
风险越高，借款人通常会面临更高的利息成本。
第四步：利息的作用和影响利息在经济活动中扮演着至关重要的角色，它对个人、企业和整个经济体都有重要的影响。
1.个人：对于个人来说，利息是负担债务的成本，也是储蓄和投资的回报。
了解利息理论可以帮助个人做出更明智的借贷和投资决策。
2.企业：对于企业来说，利息是融资成本的一部分。
通过掌握利息理论，企业可以更好地评估贷款和债务的风险和回报，从而制定更有效的财务战略。
3.经济体：利息的水平和变动也会对整个经济体产生影响。
低利率可以刺激经济增长和投资活动，但也可能导致通货膨胀。
高利率则可能减缓经济增长，但有助于控制通货膨胀。
利息理论 第1章 利息的基础知识
第二种方法：购买时90元，一年后按面 值返还。 10元为期初利息，是期末值的减少额。-元为期初利息， 元为期初利息 是期末值的减少额。 -贴现额。 贴现额。 贴现额
.
2）贴现率的定义：单位货币在一年内的贴现额。
dn =
An An1 An
=
an an1 an
年贴现额=A 年贴现额 ndn=An-An-1 为标准的减少额。 以An为标准的减少额。 年利息=A 年利息 n-1 in=An-An-1 为标准的增加额。 以An-1为标准的增加额。
3）贴现率与利率
d=
或：
an an1 an
=
(1+i )n (1+i ) n1 (1+i ) n
=
i 1+i
d = i v i=
d 1 d
4）贴现率与折现因子
公式一 公式二
d = 1 v
及：
vt = v = (1 d )
t
t
及：
v = 1 d
at = (1 d )
t
日的积累值为1， 例：94年1月1日的积累值为 ，000元，d=10% 年 月 日的积累值为 元 日的现值为多少？ 求：1）90年1月1日的现值为多少？ ） 年 月 日的现值为多少 2）年利率为多少? ）年利率为多少 3）折现因子为多少？ ）折现因子为多少？ 解： 1）A0=1000(1-d)4 =656.1元 2) d 1d
m→∞
(m)
δ = lim m[(1 + i ) 1]
1 m
m →∞
= lim
= lim
m →∞
1 (1 + i ) m 1 m
1
m→∞
= lim
利息理论复习资料
贴现函数(discount function)
单利的贴现函数 a1(t) 1 (1 it)1 1 it
复利的贴现函数
a1(t)
1 1
i
t
(1 i)t
14
几个术语：
v 1 1i
vt
(1+ i)
(1 i)t
贴现因子： discount factor t年贴现因子： t-year discount factor 累积因子： accumulation factor
(1 dt)2 (d ) (1 dt)1
d, 1 dt
0 t 1/ d
单贴现的利息力是时间的递增函数。
32
复利在时刻 t 的利息力
因为
a(t) (1 i)t
a '(t) (1 i)t ln(1 i)
所以时刻 t 的利息力为
t
a '(t) a(t)
ln(1
i)
复利的利息力是常数！与时间无关。 ln(1 i)称为复利
m
1
d (m) m
m
（3）如果把 i (m)/m 和 d (m)/m 看作 1/m 计息期内等价的实 际利率和实际贴现率，则
i(m) d (m) i(m) d (m) m m mm
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利息力(force of ) interest
定义：利息力度量了资金在每一时点（也就是在无穷小 的时间区间内）增长的强度。
问题：三个月定期存款的年利率为1.8％ ，含义是什么？
答案：表明i (4) ＝1.8%，三个月的实际利率为1.8%÷4，存 1000元满3个月可得利息 1000 × 1.8 / 4 = 4.5 元。
21
名义利率与实际利率的关系： 名义利率与等价的实际利率有如下关系：
《利息理论》教学大纲
§6.1利息理论的应用
§6.2金融分析
本章教学要求：掌握诚实信贷、不动产抵押贷款的概念。会计算银行信贷业务的收益率、投资成本和固定资产的折旧。
第七章 利息的随即处理
§7.1随机利率
§7.2模型
本章教学要求：掌握随机利率的概念。会用资产估价模型分析不同类型投资收益率的变化规律，会用Black-Scholes模型和两项模型计算期权价值。
（2） 基本内容：利息、年金、收益率、债务偿还、偿债基金、债券与证券、随机利率。
（3） 基本要求：通过本课程的学习，使学生掌握应用数学工具对金融保险业务中与利息 有关的方面进行定量分析的一些方法，并为今后对现代金融业务作进一步研究或实务打下坚实的基础。
3．教 材：《利息理论》 刘占国编，南开大学出版社，2000年。
第四章 债务偿还
§4.1分期偿还计划
§4.2偿债基金
本章教学要求：掌握偿还贷款的两种主要方法：分期偿还方法和偿债基金方法。会计算在任何时刻的未偿还贷款余额，会划分还款对本金的偿还和利息的支付。
第五章 债券与其他证券
§5.1债券
§5.2其它类型的债券与证券
本章教学要求：掌握债券、股票的概念。会计算债券、股票的价格、收益率和其在被购买后的一给定日期的价值。
参考书：《 The Theory of Interest 》 S.G.kellison RICHARD D. IRWIN, INC. 1991.
二、讲授纲要
第一章 利息的基本概念
§1.1利息度量
§1.2利息问题求解
本章教学要求：掌握实际利率、实际贴现率、名义利率、名义贴现率、利息效力、贴现效力的概念，知道利息度量中所涉及的基本原则与基本假设。会用时间图建立价值方程，从而求出原始投资的本金、投资时期的长度、利率或本金在投资期末的积累值。
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《利息理论》复习提纲第一章 利息的基本概念 第一节 利息度量 一. 实际利率某一度量期的实际利率是指该度量期内得到的利息金额与此度量期开始时投资的本金金额之比，通常用字母i 来表示。
利息金额I n =A(n)-A(n-1)对于实际利率保持不变的情形，i=I 1/A(0)； 对于实际利率变动的情形，则i n =I n /A(n-1)； 例题：1.1.1二．单利和复利考虑投资一单位本金，（1） 如果其在t 时刻的积累函数为 a(t)=1+i*t ，则称这样产生的利息为单利；实际利率 )()()()(1111-+=---=n i in a n a n a i n（2） 如果其在t 时刻的积累函数为a(t)=(1+i)t ，则称这样产生的利息为复利。
实际利率 i i n =例题：1.1.3 三.. 实际贴现率一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比，通常用字母d 来表示实际贴现率。
等价的利率i 、贴现率d 和贴现因子（折现因子）v 之间关系如下：,(1),1111,,,1d ii d i i d d iv d d iv v i d idi=+==-+=-==-=+例题：1.1.6 四．名义利率与名义贴现率用()m i 表示每一度量期支付m 次利息的名义利率，这里的m 可以不是整数也可以小于1。
所谓名义利率，是指每1/m 个度量期支付利息一次，而在每1/m 个度量期的实际利率为()/m i m 。
与()m i 等价的实际利率i 之间的关系：()1(1/)m m i i m +=+。
名义贴现率()m d ，()1(1/)m m d d m -=-。
名义利率与名义贴现率之间的关系：()()()()m m m m i d i d m m m m-=⋅。
例题：1.1.9 五．利息强度定义利息强度（利息力）为()()()()t A t a t A t a t δ''==， 0()ts ds a t e δ⎰=。
一个常用的关系式如下：()()11[1]1(1)[1]m p m p i d i v d e m pδ---+=+==-=-=。
例题：1.1.12要求：δ,,,,)()(p m d i d i ，之间的计算。
习题：1、2、3、4、15、16、19、24。
第二节 利息问题求解一. 价值等式 例题：1.2.1 二. 投资期的确定计算利息的基本公式是：利息＝金额×利率×年数，其中年数＝投资期天数/基础天数。
三. 未知时间问题72律：利率为i 时，使得积累值是本金的2倍所需的时间大致是72/i 。
例题：1.2.4 四. 未知利率问题 1．线性插值法2．迭代法 例题：1.2.7重点：价值等式；利用线性插值法求利率。
习题：37、40、46。
第二章 年金第一节 年金的标准型 一. 期末付年金 现值为 211nn n n v a v v vv i--=++++=终值为 221(1)11(1)(1)(1)(1)n n n n i s i i i i i--+-=+++++++++=n a 与n s 的关系：（1） (1)n n n i a s +=（2）11n ni a s =+ 例题：2.1.2、2.13 二. 期初付年金 现值为 ..22111n n n n v a v v vvd---=+++++=终值为 ..21(1)1(1)(1)(1)(1)n n nn i s i i i i d-+-=++++++++=..n a 与..n s 的关系： （1） ....(1)n n n i a s += （2）....11nnd a s =+期初付与期末付年金现值与终值之间的关系：..(1)n n a i a =+，..(1)n n s i s =+..11n n a a -=+，..11n n s s +=-例题：2.1.5 三. 永续年金（1） 期末付永续年金的现值21111lim n n n nn n a v v v v v v i i -∞∞→∞==+++++-===∑（2） 期初付永续年金..211111lim n n n nn n a v v v v v v d d ∞-∞→∞==++++++-===∑例题：2.1.6四. 年金的未知时间问题还款方式：（1） 标准式付款：按照规则的付款期进行支付（2） 上浮式还款：最后一期规则付款的额度上外加一个根据等价原则计算出来的零头 （3） 扣减式付款：最后一期规则付款的下一期支付一个根据等价原则计算出来的零头 这三种方式付款的最后零头一般都不一致。
五. 年金的未知利率问题有关年金时间的计算方法：（1） 对于n 较小的情形，求解一元n 次方程，其有效根即为利率（2） 对于n 较大的情形，可用已知的年金值以及其倒数进行展开，再利用线性插值法求未知利率的有效数值解（3） 对于n 较大的情形，利用迭代法获得任意精度的数值解，此方法最为常用 只要求（1），迭代法不要求。
例题：2.1.10习题：4、5、7、8、22。
第二节 年金的一般型一. 付款频率与计息频率不同的年金1． 付款频率低于计息频率（1） 期末付年金 年金现值为：2(1)1111(1)1(1)1n k kkkn k k kk n k kkn n kk n kv v vv v v v v v v v i i i i a s ++++--==----==⋅+-+-=年金积累值为：2(1)(1)(1)11(1)1(1)1(1)1(1)n k n k k n n k k n ki i i i i i i i i s s --+++++++-+-+==⋅-+-+=例题：2.2.3、2.2.4（2） 期初付年金年金现值为：(1)2....1111111n k kkkn k n k k k n k n n kkv v vv v v v v i i v a a a a -++++--==---=⋅-==年金积累值为：....(1)(1)(1)(1)(1(1))(1(1)1(1)1(1)11n n k kk n n k k n k n n kki i i i i i i v i i i v s s a a -+++++++-+-+==-+-+-=⋅-==（3）永续年金 其现值为211(1)11k k nk k k k kv v v v v i is ++++==-+-=2． 付款频率低于计息频率设m 为每个计息期内的付款次数，n 为计息期数，i 为每个计息期的利率，m 、n 为正整数，总付款次数为mn 次。
（1） 期末付年金假设每个付款期期末付款额为1/m ，每个计息期付款为m*(1/m)=1，这种情形下的年金现值记为()m n a ，类似这种情形的期初付/期末付的年金现值/积累值的年金符号类似。
()1/2/(1)/1/1/1/1/()1()1111(1)11m m mmn m n n m n m m nm n m a v v v v mv v m v vm i v i-+=++++⎛⎫-= ⎪-⎝⎭⎛⎫-=⎪+-⎝⎭-=n 时刻的年金积累值为()()()()(1)1(1)(1)1m m nn n nn m n m s a i v i ii i =+-=⋅++-=显然()()()()11n n m m m m nn v v i i aa i i i i--==⋅= ()()()()(1)(1)m n m n m m n n n n i i s i a a i s i i =+⋅=⋅+=例题：2.2.7（2） 期初付年金假设每个付款期期初付款额为1/m ，每个计息期付款为m*(1/m)=1，这种情形下的年金现值记为()..m n a ，类似这种情形的期初付/期末付的年金现值/积累值的年金符号类似。
()..1/2/(1)/1/1/1(1)1111m n m m mn m n m n ma v v v mv m v v d-=++++⎛⎫-= ⎪-⎝⎭-=n 时刻的年金积累值为()()....()()1(1)(1)(1)1m m n n nnnm nm vs a i i di d -=+=⋅++-=显然()....()()()11m n nn n m m m v v d d aa d d d d--==⋅= ()()........()()(1)(1)m m n n nnn nm m d d si ai a s d d=+=+⋅=例题：2.2.8永续年金的现值分别为()()1m m a i ∞=，()..()1m n m a d =二. 连续年金连续付款（付款频率无限大）的年金叫做永续年金。
连续付款n 个计息期，每个计息期的付款额之和为1的年金现值为001ln ntnntn t v v a v dt v δ=-===⎰其中t v 为时刻t 到时刻0 的折现因子。
连续年金的积累值为000(1)(1)1(1)(1)ln(1)ns n nnn t sn n s i i s a i dt i ds i δ-=++-==+=+==+⎰⎰三. 基本变化年金1. 各年付款额成等差数列关系1....11()1(1)(1)n n n n nn n n n nnn n a nv v a nvv Ia i i ia n va n v iia nv i+--+--=+=+-+-+==-=....()()(1)(1)n n nnnn n a nv Is Ia i i is n i -=+=+-=同理可得, ()nn nn n nn n a nv n nv a nv n a Da na iii---+-=-==(1)()()(1)n n nn n n i s Ds Da i i+-=+=要求计算它们的值。
2. 各年付款额成等比数列关系假设期末付款，第一次付款额为1，并且每次付款额都是前一次付款额的1+k 倍，共支付n 次，每个付款期的利率为i ，则该年金的现值为23212211(0)(1)(1)(1)[1(1)(1)(1)]1[(1)]()1(1)11()1n n n n n n V v v k v k v k v v k v k v k v k vi k v k k i i k---=+++++++=+++++++-+=≠-++-+=-四. 更一般变化年金1. 付款频率小于计息频率的情形(0)n nkka mv a V is -=2. 付款频率大于计息频率的情形（1） 每个计息期内的m 次付款额保持不变11()()()()()11()n n n n m m m m nnn m v niv v niv Ia ivi di ivia nv i++---==--= （2） 每个计息期内的m 次付款额按等差数列递增()()()()()n m nm m m n a nv I a i-=五. 连续变化年金(0)()n t V f t v dt =⎰注：四、五、部分不要求。