江西省九江市六校2011届高三数学第三次联考 文
2 , a 2b cos C ，求： 3
] 上的最大值及对应的 x 值． 2
17.（本题满分 12 分） 为调查本市 2011 年高三二模考试数学的成绩， 随机抽取某中学甲、 乙两班各十名同学， 获得成绩数据的茎叶图如图(单位：分)． （Ⅰ）根据茎叶图判断哪个班的平均水平较高； （Ⅱ）现从甲班这十名同学中随机抽取两名，求 至少有一名同学分数高于乙班平均分的概率．
若由资料可知 y 对 x 呈线性相关关系， 且线性回归方程为 y a bx ， 其中已知 b 1.23 ， 请估计使用年限为 20 年时，维修费用约为_________. 15.已知 P( x0 , y0 ) 是抛物线 y 2 2 px( p 0) 上的一点 ,过 P 点的切线方程的斜率可通过如 下方式求得: 在 y 2 2 px 两边同时对 x 求导,得:
则 P( A)
24 8 45 15
…………
12 分 18. 解： （Ⅰ）证明：取 AB 的中点 M ，连接 FM , CM 在 ABE 中， F , M 分别 EB, AB 的中点，∴ FM // 又∵ CD // AE , CD
1 ＝ 2 AE
E
1 AE ∴ FM 平行且等于 CD 2
A. (1, 2]
B. [ 2, )
C. (1, 2 1]
D. [ 2 1, ) ．
第 II 卷（非选择题
共 100 分）
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） 11.在某次法律知识竞赛中，将来自不同学校的学生的成绩绘制成如 图 2 所示的频率分布直方图．已知成绩在[60,70）的学生有 40 人, 则成绩在[70,90）的有_________人. 12.已知 a (1,2) ， b (2, ) ，且 a 与 b 的夹角为锐角，则实 数 的取值范围是_________ 13.如图 3 是一个空间几何体的三视图,则该几何体的体积为________.
九江市六校 2011 届高三第三次联考
数学（文科）试题
注意事项： 1．本试卷备有答题卡,把答案涂写在答题卡上． 2．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 ; 试卷满分为 150 分，考试时间 120 分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共 50 分）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）
9 交于 M 、 N 两点. 5
（Ⅰ）求双曲线的方程； （Ⅱ）求证： FM FN 为定值.
21.（本题满分 14 分） 设数列 {an } 的各项都是正数，且对任意 n N ，都有 a1 a2 a3
*
3
3
3
3 2 an Sn ，其
中 S n 为数列 {an } 的前 n 项和. （Ⅰ）求证： an 2Sn an ；
（Ⅰ）若在 x 1处有极值，求 a 的值及 f ( x) 单调区间 （Ⅱ）如果对任意 x [1, 2], f ( x) a 2 恒成立，求实数 a 的取值范围.
20.（本题满分 13 分） 已知双曲线的中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐近线方程为 y
4 x ，右焦点 3
，直线 A1 P 、 A2 P F (5,0) ，双曲线的实轴为 A1 A2 ， P 为双曲线上一点（不同于 A1 , A2 ） 分别与直线 l ： x
2 ∴要使得任意 x [1, 2], f ( x) a 恒成立
只须 ( x 3)( x a) 0 在 x [1,2] 上恒成立 令 g ( x) ( x 3)( x a) ，则 g ( x) 的图像恒过点 (3,0), (a,0) 且开口向上 要使得 g ( x) >0 的 x [1,2] 恒成立，只须－ a 2 a 2 即可。 ∴要使得任意 x [1, 2], f ( x) a ，则 a 的取值范围是
（Ⅰ）求证： DF // 平面 ABC ； （Ⅱ）求证： DF 平面 ABE ； （Ⅲ）求三棱锥 D BCE 的体积.
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E
1 3 D
F C B
A
图4
19.（本题满分 12 分） 已知函数 f ( x)
1 3 a 3 2 x x (a 2 3a) x 2a. 3 2
x甲 120 ， x乙 121.1
∴乙班的平均水平高 （Ⅱ）甲班高于乙班平均分的共有 3 个人， 从甲班 10 个人中任选 2 个人的结果总数是 45 设从甲班这 10 名同学中随机抽取两名同学,求至少有一名分数高于乙班平 均分记为事件 A ,事件 A 包含的结果是 24， ………………………4 分
2 yy ' 2 p, 则y '
p p ，所以过 P 的切线的斜率： k y0 y
试用上述方法求出双曲线 x 2
y2 1 在 P( 2, 2) 处的切线方程为___________. 2
三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.（本题满分 12 分） 设 ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ，且 A （Ⅰ）角 B 的值； （Ⅱ）函数 f ( x) sin 2 x cos(2 x B) 在区间 [0,
2
（Ⅱ）求数列 {an } 的通项公式； （Ⅲ）设 bn 3 (1)
n
*
n 1
2an （ 为非零整数， n N * ） ，试确定 的值，使得对
任意 n N ，都有 bn1 bn 成立.
九江市六校 2011 届高三第三次联考 数学（文科）试题参考答案
17．解： （Ⅰ）由茎叶图可知：
3.已知 A 是 ABC 内角,命题 p : sin A A.充分不必要条件 条件
3 1 ；命题 q ： cos A ，则 q 是 p 的（ 2 2
C.充要条件
B.必要不充分.已知正项等比数列 {an } 中, a1 1 , a3a7 4a6 ,则 S 6 （
y2 16 x2 y 2 ∵ ∴ 2 1 x 9 9 9 16 256 144 16 256 256 ∴ FM FN 0 ，即 FM FN 0 25 25 9 25 25
A
B M 图4
1 1 1 1 S BCD AC 111 …………………………12 3 3 2 6
分 另外，若用向量解，请酌情给分！ 19. 解： f ' ( x) x 2 (a 3) x a 2 3a （Ⅰ）∵在 x 1处有极值， ∴ f ' (1) (1) 2 (a 3)(1) a 2 3a 0 解得： a 2 此时 f ' ( x) x 2 x 2 ( x 1)( x 2) 令 f ' ( x) 0 ，则 x 2或x 1 ；令 f ' ( x) 0 ，则 1 x 2 ∴ f ( x) 在 (,1]和[2， 上单调递增，在 [－ 1， 2] 上单调递减。…………6 ） 分 （II）∵ f ' ( x) a 2 x 2 (a 3) x 3a ( x 3)( x a)
S S *i i i 1
输出 S 结束
7.在一球内有一边长为 1 的内接正方体, 一动点在球内运动, 则此点落在 正方体内部的概率为（ A. ）
6
B.
3 2
C.
3
D.
2 3 3
图1
2 2 8.已知 p ：存在 x R, mx 1 0 ； q ：对任意 x R, x mx 1 0
9 5
…………5 分
（Ⅱ）A1 （－3，0） 、A2 （3，0） 、F（5，0） ，设 P（ x, y ） ，M（ , y0 ） ，
A1P ( x 3, y) ， A1M (
∴ ( x 3) y0
24 , y0 ) 5
∵ A1 、P、M 三点共线，
24 24 y 9 24 y 即M( , y 0 ∴ y0 ) 5 5( x 3) 5 5( x 3) 9 6y 同理得 N ( , ) 5 5( x 3) 256 144 y 2 16 24 y 16 6y FM FN FM ( , ) ， FN ( , )， 25 25 x 2 9 5 5( x 3) 5 5( x 3)
1 2 的最小值为（ a b
）
A.1 10.已知双曲线 C ：
B. 3 2 2
2 2
C.5
D. 4 2
x y 2 1 的右支上存在一点 P ，使得点 P 到双曲线右焦点的距离等 2 a b
于它到直线 x （ ）
a2 （其中 c 2 a 2 b 2 ）的距离，则双曲线 C 离心率的取值范围是 c
若 p 或 q 为假，则实数 m 的取值范围为（ A. m 2 B. m 2
） D. －2 m 2
C. m 2或m 2
2 2
9.若直线 ax 2by 2 0(a 0, b 0) 始终平分圆 x y 4 x 2 y 8 0 的周长，则
F C
D
∴四边形 FMCD 为平行四边形 ∴ DF // CM 又∵ CM 平面ABC ， DF 平面ABC ∴ DF // 平面ABC …………………………4 分 （II）证明：∵ AC BC , M 为 AB 的中点 ∴ CM AB 又 AE 平面ABC ， CM 平面ABC ∴ CM AE 又 AE AB A ∴ CM 面ABE 由（1）得 DF // CM ∴ DF 平面ABE …………………………8 分 （III）解：∵ CD // AE ∴ V三棱锥DBCE V三棱锥E BCD V三棱锥ABCD ∴ V三棱锥D BCE
高中数学压轴题题型名校模考题汇总
专题10压轴题题型汇总压轴题型一、保值函数型“保值函数”，又称为“k 倍值函数”，“和谐函数”，“美好区间”等等。
1、现阶段主要是一元二次函数为主的。
核心思路是转化为“根的分布”。
2、函数单调性是解决问题的入口之一。
3、方程和函数思想。
特别是通过两个端点值构造对应的方程，再提炼出对应的方程的根的关系。
如第1题1.（江苏省连云港市市区三星普通高中2020-2021学年高一上学期期中联考）对于区间[,]a b 和函数()y f x =，若同时满足：①()f x 在[,]a b 上是单调函数；②函数(),[,]y f x x a b =∈的值域还是[,]a b ，则称区间[,]a b 为函数()f x 的“不变”区间.（1）求函数2(0)y x x =≥的所有“不变”区间；（2）函数2(0)y x m x =+≥是否存在“不变”区间？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由.2.（北京市昌平区2020-2021学年高一上学期期中质量抽测）已知函数2()f x x k =-.若存在实数,m n ，使得函数()f x 在区间上的值域为，则实数k 的取值范围为（）A ．(1,0]-B ．(1,)-+∞C ．2,0]D ．(2,)-+∞3.（广东省广州市第一中学2020-2021学年高一上学期11月考试）已知函数221()x f x x-=.（1）判断函数()f x 的奇偶性并证明；（2）若不等式23()1x f x kx x +-≥在1,14x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数k 的取值范围；（3）当11,(0,0)x m n m n ⎡⎤∈>>⎢⎥⎣⎦时，函数()()1(0)g x tf x t =+>的值域为[23,23]m n --，求实数t 的取值范围.4.(江苏省盐城市实验高级中学2020-2021学年高一上学期期中）一般地，若()f x 的定义域为[],a b ，值域为[],ka kb ，则称[],a b 为()f x 的“k 倍跟随区间”；特别地，若()f x 的定义域为[],a b ，值域也为[],a b ，则称[],a b 为()f x 的“跟随区间”，（1）若[]1,b 为2()22f x x x =-+的跟随区间，则b =______；（2）若函数()f x m =m的取值范围是______.压轴题型二、方程根的个数1.一元二次型“根的分布”是期中考试的一个难点和热点。
2023-2024学年江西省九江市六校高一下学期期末联考数学试题(含解析)
2023-2024学年江西省九江市六校高一下学期期末联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法正确的是( )A. 通过圆台侧面一点，有无数条母线B. 棱柱的底面一定是平行四边形C. 圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形D. 用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台2.sin 600°+tan 240°的值是( )A. − 32B. 32C. −12+3 D. 12+33.设复数z 满足|z−i|=1，z 在复平面内对应的点为(x,y)，则( )A. (x +1)2+y 2=1B. (x−1)2+y 2=1C. x 2+(y−1)2=1D. x 2+(y +1)2=14.已知|a |=|b |=2，a ⋅b =2，则|a−b |=( )A. 1B. 3C. 2D. 3或25.已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l⊄α,l⊄β,则( )A. α // β且l// αB. α⊥β且l ⊥βC. α与β相交，且交线垂直于lD. α与β相交，且交线平行于l6.已知函数y =3sin (x +π5)图象为C ，为了得到函数y =3sin (2x−π5)的图象，只要把C 上所有点( )A. 先向右平移π5个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B. 先向右平移25π个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C. 先将横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向右平移π5个单位长度D. 先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π5个单位长度7.已知A(1,2)，B(3,4)，C(−2,2)，D(−3,5)，则向量AB 在向量CD 上的投影向量的坐标为( )A. (25,65) B. (−25,65) C. (−25,−65) D. (25,−65)8.已知函数f(x)=sin (ωx−π3)(ω>0)在区间[0,π3]上的最大值为ω3，则实数ω的取值个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、多选题：本题共3小题，共18分。
函数的概念与性质
函数的概念与性质题组一一、选择题1．（安徽省百校论坛2011届高三第三次联合考试理）设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有(2)(2),f x f x -=+且当[2,0]x ∈-时，1()()1,(2,6]2x f x =--若在区间内关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．（1，2）B ．(2,)+∞C ．D ．答案 D.2．（山东省莱阳市2011届高三上学期期末数学模拟理）函数()(3)xf x x e =-的单调递增区间是（ ）A.(,2)-∞B.(0,3)C.(1,4)D.(2,)+∞答案：D.3.（河南省辉县市第一高级中学2011届高三12月月考理）下列命题中是假命题．．．的是 A ．,)1()(,342是幂函数使+-⋅-=∈∃m m xm x f m R ),0(+∞且在上递减B ．有零点函数a x x x f a -+=>∀ln ln )(,02C ．βαβαβαsin cos )cos(,,+=+∈∃使R ;D ．,()sin(2)f x x ϕϕ∀∈=+R 函数都不是偶函数答案 D.4.（河南省焦作市部分学校2011届高三上学期期终调研测试理）已知函数，下面结论错误．．的是 A ．函数的最小正周期为 B ．函数是奇函数C ．函数的图象关于直线对称D ．函数在区间上是减函数答案 D.5.（河南省鹿邑县五校2011届高三12月联考理）已知函数(),()f x x g x =是定义在R 上的偶函数，当0x >时，()ln g x x =，则函数()()y f x g x = 的大致图像为（ ）答案 A.6、（黑龙江省佳木斯大学附属中学2011届高三上学期期末考试理）函数xe x xf )3()(-=的单调增区间是 （ ）A ．)2,(-∞B ． )3,0(C ． )4,1(D ． ),2(+∞ 答案 D.7．（重庆市南开中学高2011级高三1月月考文）把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平称移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）A ．sin(2),3y x x π=-∈R B ．sin(),26x y x π=+∈RC ．sin(2),3y x x π=+∈RD ．答案 C.8. （江西省吉安一中2011届高三第一次周考）将函数()sin(f x x ωϕ=+）的图象向左平移2π个单位，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于A ．4B ．6C ．8D ．12答案 B.9．（浙江省诸暨中学2011届高三12月月考试题文）已知函数),0(cos sin )(R x a b a x b x a x f ∈≠-=为常数，、在4π=x 处取得最小值，则函数)43(x f y -=π是 A ．偶函数且其图象关于点()0,π对称B ．偶函数且其图象关于点)0,23(π对称C ．奇函数且其图象关于点)0,23(π对称2 s in (), 23x y x π =+∈ RD ．奇函数且其图象关于点()0,π对称 答案 D.10.（山东省济宁一中2011届高三第三次质检理）设a R ∈，函数()xxf x e a e -=+⋅的导函数'()y f x =是奇函数，若曲线()y f x =的一条切线斜率为32，则切点的横坐标为（ ）A ．ln 22B ．ln 22-C ．ln 2D ．ln 2-答案 C.11．（山东省莱阳市2011届高三上学期期末数学模拟理）设奇函数()f x 定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上，()f x 在(0,)+∞上为增函数，且(1)0f =，则不等式3()2()5f x f x x --<的解集为（ ）A.(1,0)(1,)-+∞B.(,1)(0,1)-∞-C.(,1)(1,)-∞-+∞D.(1,0)(0,1)- 答案：D.12．（浙江省诸暨中学2011届高三12月月考试题文）已知函数),0(cos sin )(R x a b a x b x a x f ∈≠-=为常数，、在4π=x 处取得最小值，则函数)43(x f y -=π是 A ．偶函数且其图象关于点()0,π对称B ．偶函数且其图象关于点)0,23(π对称C ．奇函数且其图象关于点)0,23(π对称D ．奇函数且其图象关于点()0,π对称 答案 D.13．（山东省聊城市2011届高三年级12月月考理）函数sin(2)3y x π=+的图象（ ）A ．关于点(,0)3π对称 B ．关于直线4x π=对称C ．关于点(,0)4π对称 D ．关于直线3x π=对称答案 A. 二、填空题14. （四川广安二中2011届高三数学一诊复习题综合测试题三）在ABC ∆中，已知,,a b c 是角,,A B C 的对应边，①若,a b >则()(sin sin )f x A B x =-⋅在Ｒ上是增函数；②若222(cos cos )a b a B b A -=+，则ABC ∆是Rt ∆；③cos sin CC +的最小值为；④若cos B ，则Ａ＝Ｂ；⑤若(1t a n )(1t a n )A B ++=，则34A B π+=，其中正确命题的序号是 。
2024届广东省高三第三次六校联考数学试题及答案
东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学2024届高三第三次六校联考试题数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合{}0,1,2A =，集合{}2,0,1B =-，则A B = （ ）A. {}0,1B. {}2,0- C. {}2,1,0- D. {}0,1,22. 若复数z 满足()34i 1z -=，则z =（ ）A. 1B.15C.17 D.1253. 已知非零向量a 、b 满足2b a = ，且()a a b ⊥- ，则a 与b夹角为（ ）A.π3B.π2C.2π3D.5π64. 已知π17tan tan 422θθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos 2θ=（ ）A. 12-B.12C. 45-D.455. 已知函数()sin2f x x =和直线l ：2y x a =+，那么“直线l 与曲线()y f x =相切”是“0a =”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知a ，b 为正实数，且21a b +=，则22121a b a b+++的最小值为（ ）A. 1+B. 2+C. 3+D. 4+7. 已知三棱锥S ABC -如图所示，AS 、AB 、AC两两垂直，且AS AB AC ===E 、F 分别是棱AS 、BS 的中点，点G 是棱SC 靠近点C 的四等分点，则空间几何体EFG ABC -的体积为（ ）的A.B.C.D.8. 已知数列{}k a 为有穷整数数列，具有性质p ：若对任意的{}1,2,3,4n ∈，{}k a 中存在i a ，1i a +，2i a +，…，i j a +（1i ≥，0j ≥，i ，N j *∈），使得12i i i i j a a a a n ++++++⋅⋅⋅+=，则称{}k a 为4-连续可表数列.下面数列为4-连续可表数列的是（ ）A. 1,1,1B. 1,1,2C. 1,3,1D. 2,3,6二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ）A 9,2a k ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(),8b k = ，若//a b r r，则6k =B. 若a c b c =⋅⋅ 且0c ≠，则a b= C. 若点G 是ABC 的重心，则0GA GB GC ++=D. 若向量()1,1a =- ，()2,3b = ，则向量b 在向量a 上投影向量为2a10. 已知函数22si 1()s cos co n f x x x x =+-的图象为C ，以下说法中正确的是（ ）A. 函数()f xB. 图象C 相邻两条对称轴的距离为π2C. 图象C 关于π,08⎛⎫-⎪⎝⎭中心对称D.要得到函数in y x =的图象，只需将函数()f x 的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移π4个单位.的11. 若函数()f x 的定义域为D ，若对于任意1x D ∈，都存在唯一的2x D ∈，使得()()121f x f x +=，则称()f x 为“Ⅰ型函数”，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()ln f x x =是“Ⅰ型函数”B. 函数()sin f x x =是“Ⅰ型函数”C. 若函数()f x 是“Ⅰ型函数”，则函数()1f x -也是“Ⅰ型函数”D. 已知R m ∈，若()sin f x m x =+，ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦是“Ⅰ型函数”，则12m =12. 已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AC 上一动点，则下列判断正确的是（ ）A. 存在点P ，使得11//C P AB B. 三棱锥1P BC D -C. 当P 为1AC 的中点时，过P 与平面1BC DD. 存在点P ，使得点P 到直线11B C 的距离为45三、填空题：本题共45分，共20分.13. 关于x 的不等式()220ax a b x +++>的解集为()3,1-，则a b +=______.14. 已知数列{}n a 的前n 项和，21n n S =-，则210log a =_________.15. 已知函数()()221,12,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，关于x 的方程()()20f x a f x -⋅=有六个不等的实根，则实数a 的取值范围是______.16. 如图，已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，π2≤ϕ）的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，2BC BD =，π3OCB ∠=，2OA =，AD =.则函数()f x 在[]1,6上的值域为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且11a =，()211n n nS n S n n +=+++，n *∈N .（1）证明：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求{}n S 的通项公式；（2）若11n n n b a a +=⋅，设数列{}n b 前n 项和为n T ，求n T .18. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos cos 2cos b A a B c A +=-.（1）求角A 的值；（2）已知点D 为BC 的中点，且2AD =，求a 的最大值.19. 若二次函数()f x 满足()()25152f x f x x x +=---（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()ln g x x x f x =+，解关于x 的不等式：()()22g x x g +≥.20. 如图（1）所示，在ABC 中，60ABC ∠= ，过点A 作AD BC ⊥，垂足D 在线段BC上，且AD =CD =，沿AD 将CDA 折起（如图（2）），点E 、F 分别为棱AC 、AB 的中点.的（1）证明：AD EF ⊥；（2）若二面角C DA B --所成角的正切值为2，求二面角C DF E --所成角的余弦值.21. 已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列，14a =，364a =.数列{}n b 满足：21n n nb a a =+（N n *∈）.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）证明：{}22n n b b -是等比数列；（3）证明：)N*k n k =∑<∈22. 已知函数()()ln f x x t x =-，R t ∈（1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）当1t =时，设1x ，2x 为两个不相等的正数，且()()12f x f x a ==，证明：121(2e)e ex x a +>-+-..东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学2024届高三第三次六校联考试题数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合{}0,1,2A =，集合{}2,0,1B =-，则A B = （ ）A. {}0,1B. {}2,0- C. {}2,1,0- D. {}0,1,2【答案】A 【解析】【分析】根据交集的定义计算可得.【详解】因为{}0,1,2A =，{}2,0,1B =-，所以{}0,1A B = .故选：A2. 若复数z 满足()34i 1z -=（ ）A. 1 B.15C.17D.125【答案】B 【解析】【分析】利用复数的除法运算及模长公式计算即可.【详解】由()()()134i 34i 3434i 1i 34i 34i 34i 252525z z ++-=⇒====+-+⋅-，所以15z ==.故选：B.3. 已知非零向量a 、b 满足2b a = ，且()a ab ⊥- ，则a 与b的夹角为（ ）A.π3B.π2C.2π3D.5π6【答案】A【解析】【分析】分析可得()0a a b ⋅-= ，利用平面向量数量积的运算性质可得出cos ,a b的值，结合平面向量夹角的取值范围可得出a 与b的夹角.【详解】因为非零向量a 、b满足2b a = ，且()a ab ⊥- ，则()2222cos ,2cos ,0a a b a a b a a b a b a a a b ⋅-=-⋅=-⋅=-=，所以，1cos ,2a b = ，又因为0,πa b ≤≤ ，故π,3a b = .因此，a 与b 的夹角为π3.故选：A.4. 已知π17tan tan 422θθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos 2θ=（ ）A. 12-B.12C. 45-D.45【答案】C 【解析】【分析】利用两角和的正切公式可得出关于tan θ的方程，解出tan θ的值，再利用二倍角的余弦公式以及弦化切可求得cos 2θ的值.【详解】因为πtan tanπtan 1174tan tan π41tan 221tan tan 4θθθθθθ++⎛⎫+===- ⎪-⎝⎭-，整理可得2tan 6tan 90θθ-+=，解得tan 3θ=，所以，222222cos sin 1tan 194cos 2cos sin 1tan 195θθθθθθθ---====-+++.故选：C.5. 已知函数()sin2f x x =和直线l ：2y x a =+，那么“直线l 与曲线()y f x =相切”是“0a =”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据直线l 与曲线()y f x =相切，求出2π,a k k Z =-∈，利用充分条件与必要条件的定义即可判断出结论．【详解】设函数()sin 2f x x =和直线:2l y x a =+的切点坐标为()00,x y ，则()0000'2cos 22sin 22f x x x x a ⎧==⎨=+⎩，可得2π,a k k Z =-∈，所以0a =时，直线l 与曲线()y f x =相切；直线l 与曲线()y f x =相切不能推出0a =．因此“0a =”是“直线l 与曲线()y f x =相切”的必要不充分条件．故选：B ．6. 已知a ，b 为正实数，且21a b +=，则22121a b a b+++的最小值为（ ）A. 1+B. 2+C. 3+D. 4+【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.【详解】正实数,a b 满足21a b +=，则221211111(2)()1(2)()a b a b a b a b a b a b+++=+++=+++2444b a a b =++≥+=+2b a a b =，即1a ==-时取等号，所以当1,1a b ==时，22121a b a b +++取得最小值4+.故选：D7. 已知三棱锥S ABC -如图所示，AS 、AB 、AC两两垂直，且AS AB AC ===E 、F 分别是棱AS 、BS 的中点，点G 是棱SC 靠近点C 的四等分点，则空间几何体EFG ABC -的体积为（ ）A.B. C.D.【答案】C 【解析】【分析】过点G 作//GH AC ，交SA 于点H ，证明出GH ⊥平面SAB ，计算出三棱锥C SAB -、G SEF -的体积，可得出EFG ABC C SAB G SEF V V V ---=-，即可得解.【详解】过点G 作//GH AC ，交SA 于点H ，因为AC AB ⊥，AC SA ⊥，AB AS A ⋂=，AB 、AS ⊂平面SAB ，所以，AC ⊥平面SAB ，因为//GH AC ，则GH ⊥平面SAB ，且34GH SG AC SC ==，则34GH AC ==因为E 、F 分别为SA 、BS 的中点，则(21111442SEF ABS S S ==⨯⨯=△△，所以，11133G SEF SEF V S GH -=⋅=⨯=△(3111332C SABSAB V S AC -=⋅=⨯⨯=△，因此，EFG ABC C SAB G SEF V V V ---=-==故选：C.8. 已知数列{}k a 为有穷整数数列，具有性质p ：若对任意的{}1,2,3,4n ∈，{}k a 中存在i a ，1i a +，2i a +，…，i j a +（1i ≥，0j ≥，i ，N j *∈），使得12i i i i j a a a a n ++++++⋅⋅⋅+=，则称{}k a 为4-连续可表数列.下面数列为4-连续可表数列的是（ ）A. 1,1,1 B. 1,1,2C. 1,3,1D. 2,3,6【答案】B 【解析】【分析】根据新定义进行验证即可得．【详解】选项A 中，1233a a a ++=，和不可能为4，A 不是4-连续可表数列；选项B 中，112231231,2,3,4a a a a a a a a =+=+=++=，B 是4-连续可表数列；选项C 中，没有连续项的和为2，C 不是4-连续可表数列；选项D 中，没有连续项的和为1，D 不是4-连续可表数列．故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ）A. 9,2a k ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(),8b k = ，若//a b r r ，则6k =B. 若a c b c =⋅⋅ 且0c ≠，则a b= C. 若点G 是ABC 的重心，则0GA GB GC ++=D. 若向量()1,1a =- ，()2,3b = ，则向量b 在向量a 上的投影向量为2a【答案】CD 【解析】【分析】利用共线向量的坐标表示可判断A 选项；利用向量垂直的表示可判断B 选项；利用三角形重心的向量性质可判断C 选项；利用投影向量的定义可判断D 选项.【详解】对于A 选项，已知9,2a k ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，(),8b k = ，若//a b r r ，则298362k =⨯=，解得6k =±，A 错；对于B 选项，若a c b c =⋅⋅ 且0c ≠，则()0a c b c c a b ⋅-⋅=⋅-= ，所以，a b = 或()c a b ⊥-，B 错；对于C 选项，若点G 是ABC 的重心，则0GA GB GC ++=，C 对；对于D 选项，若向量()1,1a =- ，()2,3b =，则向量b 在向量a上的投影向量为21cos ,2a a b a a b b a b b a a a a b a a⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅=⋅，D 对.故选：CD.10. 已知函数22si 1()s cos co n f x x x x =+-的图象为C ，以下说法中正确的是（ ）A. 函数()f xB. 图象C 相邻两条对称轴的距离为π2C. 图象C 关于π,08⎛⎫-⎪⎝⎭中心对称D.要得到函数in y x =的图象，只需将函数()f x 的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移π4个单位【答案】BCD 【解析】【分析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式将函数化简，再根据正弦函数的性质一一判断即可.【详解】因为22si 1()s cos co n f x x x x =+-cos 2111sin2π222224x x x x x ⎫+⎛⎫=+-=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，所以函数()f x，故A 错误；函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==，所以图象C 相邻两条对称轴的距离为π2，故B 正确；因为πππ20884f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以图象C 关于π,08⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，故C 正确；将()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变得到π4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将π4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向右平移π4个单位得到y x =，故D 正确；故选：BCD11. 若函数()f x 的定义域为D ，若对于任意1x D ∈，都存在唯一的2x D ∈，使得()()121f x f x +=，则称()f x 为“Ⅰ型函数”，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()ln f x x =是“Ⅰ型函数”B. 函数()sin f x x =是“Ⅰ型函数”C. 若函数()f x 是“Ⅰ型函数”，则函数()1f x -也是“Ⅰ型函数”D. 已知R m ∈，若()sin f x m x =+，ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦是“Ⅰ型函数”，则12m =【答案】ACD 【解析】【分析】根据所给函数的定义求解C ，根据对数运算求解A ，根据三角函数的周期性以及单调性求解BD.【详解】对于A,由()()121f x f x +=可得121212ln ln 1ln 1e x x x x x x +=⇒=⇒=，所以21ex x =，故A 正确，对于B ，取1π2x =，则由()()121f x f x +=以及()sin f x x =可得22sin 0π,Z x x k k =⇒=∈,故这与存在唯一2x D ∈矛盾，故B 错误，对于C ，由于函数()f x 是“Ⅰ型函数”，则对于任意1x D ∈，都存在唯一的2x D ∈，使得()()121f x f x +=，故()()12111f x f x -+-=，因此对于对于任意1x D ∈，都存在唯一的2x D ∈，使得()()12111f x f x -+-=，故()1f x -是“Ⅰ型函数”，C 正确，对于D ，对于任意1x D ∈，都存在唯一的2x D ∈，使得12sin sin 1m x m x +++=，所以21sin 12sin x m x =--，由于[]11ππ,,sin 1,122x x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣∈⎦，所以[]21sin 12sin 2,22,x m x m m =--∈--，由于sin y x =在ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦单调递增，的所以21m -≥-且221m -≤，故12m =，D 正确，故选：ACD12. 已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AC 上一动点，则下列判断正确的是（ ）A. 存在点P ，使得11//C P ABB. 三棱锥1P BC D -C. 当P 为1AC 的中点时，过P 与平面1BC DD. 存在点P ，使得点P 到直线11B C 的距离为45【答案】BCD 【解析】【分析】建立空间坐标系，根据向量共线求解A ，根据正三棱锥的性质，结合外接球半径的求解即可判定B ，根据面面平行的性质，结合六边形的面积求解即可判定C ，建立空间坐标系，利用点线距离的向量求法，由二次函数的性质即可求解D.【详解】由于111BC C D BD BDC ===∴ 为等边三角形，且其外接圆的半径为12r ==，由于1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1AA BD ⊥，又11,,,AC BD AC AA A AC AA ⊥⋂=⊂平面11AAC C ，所以BD ⊥平面11AAC C ，1AC ⊂平面11AAC C ，故1BD AC ⊥，同理可证11BC AC ⊥,因此11,,BD BC B BD BC ⋂=⊂平面1BDC ，故1AC ⊥平面1BDC ，因此三棱锥1P BC D -为正三棱锥，设外接球半径为R ，球心到平面1BDC 的距离为h ，则R =0h =时，R r ==B 正确，取11,,ABCD AD 的中点为,M Q ,N ,连接,,NM MQ NQ ,当P 是1AC 的中点，也是QM 的中点，则该截面为与平面1BC D 平行的平面截正方体所得的截面，进而可得该截面为正六边形，边长为NM==,所以截面面积为16sin602⎛⎫⨯=⎪⎪⎝⎭，C正确，对于D,建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()10,0,0,0,1,0,1,0,1D C A()111,0,0C B DA==,设()()111,1,1,,A P a A C a a a a==--=--，(01a≤≤),()()()1111,,0,1,0,1,B P A P A B a a a a a a=-=---=---,所以点P到直线11B C的距离为d====，由于01a≤≤，所以d⎤=⎥⎦，由于45⎤∈⎥⎦,故D正确，由于()()1,1,,1,,1B P a a a P a a a=---∴--，()10,1,1C,则()11,1,C P a a a=---,()()()111,0,0,1,1,1,0,1,1A B AB=,若()10,1,1AB=与()11,1,C P a a a=---共线，则10a-=，1a=，此时()10,0,1C P=-，此时()10,1,1AB=与()10,0,1C P=-不共线，故11,C P AB不平行故A错误，故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 关于x 不等式()220ax a b x +++>的解集为()3,1-，则a b +=______.【答案】43-##113-【解析】【分析】分析可知，3-、1是关于x 的方程()220ax a b x +++=的两根，利用韦达定理可得出a b +的值.【详解】因为关于x 的不等式()220ax a b x +++>的解集为()3,1-，则a<0，且3-、1是关于x 的方程()220ax a b x +++=的两根，由韦达定理可得31a b a +-+=-，231a -⨯=，解得23a =-，所以，423a b a +==-.故答案为：43-.14. 已知数列{}n a 的前n 项和，21n n S =-，则210log a =_________.【答案】9【解析】【分析】根据10109a S S =-求出10a ，再根据对数的运算性质计算可得.【详解】因为数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，所以()10991010921212a S S =-=---=，所以92102log log 29a ==.故答案为：9的15. 已知函数()()221,12,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，关于x 的方程()()20f x a f x -⋅=有六个不等的实根，则实数a 的取值范围是______.【答案】(0,1)【解析】【分析】方程变形为()0f x =或()f x a =，其中()0f x =可解得两个根，因此()f x a =应有4个根，作出函数y =()f x 的图象与直线y a =，由图象得它们有4个交点时的参数范围．【详解】2()()0f x af x -=，则()0f x =或()f x a =，2100x x -=⇒=，2(2)02x x -=⇒=，即()0f x =有两个根，因此()f x a =应有4个根，作出函数y =()f x 的图象与直线y a =，由图象可知，当01a <<时满足题意，故答案为：(0,1)．16. 如图，已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，π2≤ϕ）的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，2BC BD =，π3OCB ∠=，2OA =，AD =.则函数()f x 在[]1,6上的值域为______.【答案】816,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】π|sin |2A ϕω=+，sin(2)0ωϕ+=，可得A ，B ，C ，D 的坐标，根据||AD =222π28(1243A sin ϕω-+=，进而解出ω，ϕ，A ，即可求出()f x ，再由三角函数的性质求解．【详解】由题意可得：||||OB OC =，2πϕω=+，sin(2)0ωϕ+=，(2,0)A ，2,0B πω⎛⎫+ ⎪⎝⎭，(0,sin )C A ，πsin 1,22A D ϕω⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭，AD = ，222πsin 281243A ϕω⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭，把πsin A ϕω=+代入上式可得：2ππ(2240ωω-⨯-=，0ω>.解得π6ω=，π6ω∴=，πsin()03ϕ∴+=，π||2ϕ≤，解得π3ϕ=-.πsin 263⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，0A >，解得163A =，所以函数16ππ()sin()363f x x =-，[]1,6x ∈时，πππ2π,6363x ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππ1sin(,1632x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，16ππ816()sin(),36333f x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦故答案为：816,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且11a =，()211n n nS n S n n +=+++，n *∈N .（1）证明：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求{}n S 的通项公式；（2）若11n n n b a a +=⋅，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .【答案】（1）证明见解析，2n S n = （2）n T =【解析】【分析】（1）利用等差数列的定义可证得数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而可得出数列{}n S 的通项公式；（2）利用n S 与n a 的关系可求出数列{}n a 的通项公式，再利用裂项相消法可求得n T .【小问1详解】解：对任意的n *∈N ，()211n n nS n S n n +=+++，则()()()21111111n n n n nS n S S S n nn n n n n n ++-++-===+++，所以，数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，且其首项为111S =，公差为1，所以，11nS n n n=+-=，故2n S n =.【小问2详解】解：当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，11a =也满足21n a n =-，故对任意的n *∈N ，21n a n =-.所以，()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅-+-+⎝⎭，故111111111111232352212122121n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .18. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos cos 2cos b A a B c A +=-.（1）求角A 的值；（2）已知点D 为BC 的中点，且2AD =，求a 的最大值.【答案】（1）2π3A = （2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求出cos A 的值，结合角A 的取值范围可求得角A 的值；（2）利用平面向量的线性运算可得出2AD AB AC =+，利用平面向量数量积的运算性质结合余弦定理、基本不等式可得出关于a a 的最大值.【小问1详解】解：因为A 、()0,πC ∈，则sin 0C >，由正弦定理可得()2cos sin sin cos sin cos sin sin A C B A A B A B C -=+=+=，所以，1cos 2A =-，故2π3A =.【小问2详解】解：因为D 为BC 中点，则()()111222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ ，所以，2AD AB AC =+，所以，22222222π422cos 163AD AC AB AC AB b c bc b c bc =++⋅=++=+-= ，由余弦定理可得222222π2cos 3a b c bc b c bc =+-=++，所以，222162a b c ++=，2216bc a =-，的由基本不等式可得222b c bc +≥，即2216162a a +≥-，解得0a <≤，当且仅当2216b cb c bc =⎧⎨+-=⎩时，即当4b c ==时，等号成立，故a的最大值为19. 若二次函数()f x 满足()()25152f x f x x x ++=---（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()ln g x x x f x =+，解关于x 的不等式：()()22g x x g +≥.【答案】（1）()2122f x x x =-- （2）[)(]2,10,1--⋃【解析】【分析】（1）()()20f x ax bx c a =++≠，根据()()25152f x f x x x ++=---可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出函数()f x 的解析式；（2）求出函数()g x 的定义域，利用导数分析函数()g x 的单调性，由()()22g x x g +≥可得出关于实数x 的不等式组，由此可解得实数x 的取值范围.【小问1详解】解：设()()20f x ax bx c a =++≠，则()()()()22111f x f x a x b x c ax bx c++=+++++++()225222252ax a b x a b c x x =+++++=---，所以，21225522a a b a b c ⎧⎪=-⎪+=-⎨⎪⎪++=-⎩，解得1220a b c ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩，故()2122f x x x =--.【小问2详解】解：函数()()2l ln 1n 22x x x x g x x x f x +-==-的定义域为()0,∞+，且()ln 12ln 1g x x x x x '=+--=--，令()ln 1h x x x =--，其中0x >，则()111x h x x x-'=-=，由()0h x '>可得01x <<，由()0h x '<可得1x >，所以，函数()h x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞，故对任意的0x >，()()()10g x h x h '=≤=，所以，函数()g x 在()0,∞+上为减函数，由()()22g x x g +≥可得202x x <+≤，解得21x -≤<-或01x <≤，因此，不等式()()22g x x g +≥的解集为[)(]2,10,1--⋃.20. 如图（1）所示，在ABC 中，60ABC ∠= ，过点A 作AD BC ⊥，垂足D 在线段BC 上，且AD =CD =，沿AD 将CDA 折起（如图（2）），点E 、F 分别为棱AC 、AB 的中点.（1）证明：AD EF ⊥；（2）若二面角C DA B --所成角的正切值为2，求二面角C DF E --所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）1319【解析】【分析】（1）证明出AD ⊥平面BCD ，可得出AD BC ⊥，利用中位线的性质可得出//EF BC ，即证得结论成立；（2）分析可知，二面角C DA B --的平面角为BDC ∠，以点D 为坐标原点，DB 、DA 所在直线分别为x 、y 轴，平面BCD 内过点D 且垂直于BD 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角C DF E --所成角的余弦值.【小问1详解】证明：翻折前，AD BC ⊥，则AD CD ⊥，AD BD ⊥，翻折后，则有AD CD ⊥，AD BD ⊥，因为BD CD D ⋂=，BD 、CD ⊂平面BCD ，所以，AD ⊥平面BCD ，因为BC ⊂平面BCD ，所以，AD BC ⊥，在四棱锥A BCD -中，因为点E 、F 分别为棱AC 、AB 的中点，则//EF BC ，因此，AD EF ⊥.【小问2详解】解：因为AD CD ⊥，AD BD ⊥，则二面角C DA B --的平面角为BDC ∠，即tan 2BDC ∠=，因AD ⊥平面BCD ，以点D 为坐标原点，DB 、DA 所在直线分别为x 、y 轴，平面BCD 内过点D 且垂直于BD 的直线为z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，因为60ABD ∠=o ，AD BD ⊥，AD =2tan 60AD BD ===，又因为CD =()0,A 、()2,0,0B 、()1,0,2C 、()0,0,0D、12E ⎛⎫⎪⎝⎭、()F ，设平面CDF 的法向量为()111,,m x y z =，()1,0,2DC =，()DF = ，则1111200m DC x z m DF x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取1x =，可得(2,m =- ，设平面DEF 的法向量为()222,,x n y z = ，1,0,12EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则22220102n DF x n EF x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取2x =，可得(n =- ，为所以，13cos ,19m n m n m n ⋅===⋅，由图可知，二面角C DF E --的平面角为锐角，故二面角C DF E --的余弦值为1319.21. 已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列，14a =，364a =.数列{}n b 满足：21n n nb a a =+（N n *∈）.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）证明：{}22n n b b -是等比数列；（3）证明：)N*k n k =∑<∈.【答案】（1）2144nn n b =+（2）见解析 （3）见解析【解析】【分析】（1）由等比数列的通项公式运算可得{}n a 的通项公式，进而求出数列{}n b 的通项公式；（2）运算可得2224nn n b b -=⋅，结合等比数列的定义即可得证；（3）放缩得2222(21)(21)422n n n n n n b b -+<-⋅，进而可得112k k n n k ==-∑<∑，结合错位相减法即可得证.【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则2231464a a q q =⋅==，则4q =，所以1444n n n a -=⋅=，又221144n n n n n b a a =+=+.【小问2详解】所以22242211442444n n n n n n nb b ⎛⎫⎛⎫-=+-+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以220nn b b -≠，且211222224424n n n nn n b b b b +++-⋅==-⋅，所以数列{}22n n b b -是首项为8，公比为4的等比数列；【小问3详解】由题意知，()()2222222121(21)(21)414242222n n nn n n n n n n n b b -+-+-==<-⋅⋅⋅，12n n-<==，所以112k k n n k==-∑<∑，设10121112322222nn k n k k nT --===+++⋅⋅⋅+∑，则123112322222n n nT =+++⋅⋅⋅+，两式相减得21111111122121222222212nn n n n nn n n T -⎛⎫⋅- ⎪+⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-=-=--，所以4n T =所以1112422k k n n n k n ==--+⎫∑<∑=-<⎪⎭【点睛】关键点点睛：最后一问考查数列不等式的证明，因为k n =∑相减法即可得证.22. 已知函数()()ln f x x t x =-，R t ∈（1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）当1t =时，设1x ，2x 为两个不相等的正数，且()()12f x f x a ==，证明：121(2e)e ex x a +>-+-.【答案】22. ()10,e t -上单调递增，()1e,t -+∞上单调递减.23. 证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数研究函数的单调性；（3）利用切割线放缩证明.【小问1详解】()()ln f x x t x =-,()n 1l 1ln t x f x t x x x ⎛'⎫-⎝=-+=-- ⎪⎭,()100e t f x x ->⇔<<',()10e t x f x -<⇔>',()10,e t -上单调递增，()1e,t -+∞上单调递减.【小问2详解】()()1ln f x x x =-,()ln f x x '=-,()()1ln f x x x =-在()0,1上单调递增，()1,+∞上单调递减.()11f =()e 0f =，()()00000211ln lim lim 1ln lim lim lim 011x x x x x x x f x x x x x x +++++→→→→→⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ -⎪ ⎪⎝⎭=--⎝-==⎭，因()10f x x'⎤⎦=-<⎡⎣'，所以函数()f x 在区间()0,e 上为上凸函数，函数()f x 在区间(]0,e 的图象如图所示.不妨设12x x <，则1201e x x <<<<.连接()1,1A 和点()e,0的直线l 2的方程为：()1e 1ey x =--,当y a =时，()41e e x a =-+,由图可知24x x >,所以要证明121(2e)e e x x a +>-+-，只需证明411(2e)e ex x a +>-+-，即只需证明1411(2e)e e ex a x a >-+--=-，连接OA 的直线1l 的方程为y x =,设函数()f x 的图象的与OA 平行的切线是直线3l ，为()1ln 1e x f x x '-===⇒，11121ln e e e e f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎭=，直线3l 的方程为21e e y x -=-,即1ey x =+，令y a =,得直线y a =与直线3l 的交点横坐标为1ea -,由图可知，11ex a >-，故要证不等式成立.。
2011届高三数学月考、联考、模拟试题汇编 直线和圆
直线和圆题组一一、选择题1．（北京龙门育才学校2011届高三上学期第三次月考）直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y 2=1的位置关系是（ ） A ．相切 B ．直线过圆心 C ．直线不过圆心但与圆相交 D ．相离 答案 B.2．（北京五中2011届高三上学期期中考试试题理）若过定点)0,1(-M 且斜率为k 的直线与圆05422=-++y x x 在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是( ))(A 50<<k )(B 05<<-k )(C 130<<k )(D 50<<k答案 A.3、（福建省三明一中2011届高三上学期第三次月考理）两圆042222=-+++a ax y x 和0414222=+--+b by y x 恰有三条公切线，若R b R a ∈∈,，且0≠ab ，则2211b a +的最小值为 （ ）A ．91B ．94C ．1D ．3答案 C.3．（福建省厦门双十中学2011届高三12月月考题理）已知点P 是曲线C:321y x x =++上的一点，过点P 与此曲线相切的直线l 平行于直线23y x =-，则切线l 的方程是（ ） A ．12+=x y B ．y=121+-xC ．2y x =D ．21y x =+或2y x =答案 A.4. （福建省厦门双十中学2011届高三12月月考题理）设斜率为1的直线l 与椭圆124:22=+y x C 相交于不同的两点A 、B ，则使||AB 为整数的直线l 共有（ ） A ．4条 B ．5条 C ．6条 D ．7条 答案 C.5.（福建省厦门外国语学校2011届高三11月月考理） 已知圆22670x y x +--=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切，则p ＝ （ ▲ ）A 、1B 、2C 、3D 、4答案 B.6．（甘肃省天水一中2011届高三上学期第三次月考试题理）过点M(1,5)-作圆22(1)(2)4x y -+-=的切线,则切线方程为（ ） A ．1x =-B ．512550x y +-=C ．1512550x x y =-+-=或D ．15550x x y =-+-=或12答案 C.7．（甘肃省天水一中2011届高三上学期第三次月考试题理）已知圆222410x y x y ++-+=关于直线220ax by -+=41(0,0),a b a b>>+对称则的最小值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．9答案 D.8．（广东省惠州三中2011届高三上学期第三次考试理）已知直线x y a +=与圆224x y +=交于A 、B 两点，O 是坐标原点，向量OA 、OB满足||||OA OB OA OB +=-，则实数a 的值是（ ）（A ）2 （B ）2- （C 或 （D ）2或2- 答案 D.9. （广东省清远市清城区2011届高三第一次模拟考试理）曲线321y x x x =-=-在处的切线方程为（ A ．20x y -+= B ．20x y +-= C ． 20x y ++= D ．20x y --=答案 C.10.（贵州省遵义四中2011届高三第四次月考理）若直线02=+-c y x 按向量)1,1(-=a 平移后与圆522=+y x 相切，则c 的值为（ ）A ．8或－2B ．6或－4C ．4或－6D ．2或－8邪恶少女漫画/wuyiniao/ 奀莒哂答案 A.11.（黑龙江大庆实验中学2011届高三上学期期中考试理） 若直线y x =是曲线322y x x ax =-+的切线，则a =（ ）.1A .2B .1C - .1D 或2 答案 D.邪恶少女漫画/wuyiniao/ 奀莒哂12．（黑龙江哈九中2011届高三12月月考理）“3=a ”是“直线012=--y ax ”与“直线046=+-c y x 平行”的 （ ）A ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B.13．（湖北省南漳县一中2010年高三第四次月考文）已知α∥β，a ⊂α，B ∈β，则在β内过点B 的所有直线中A ．不一定存在与a 平行的直线B ．只有两条与a 平行的直线C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在唯一一条与a 平行的直线 答案 D.14．（重庆市南开中学2011届高三12月月考文）已知圆C 与直线040x y x y -=--=及都相切，圆心在直线0x y +=上，则圆C 的方程为（ ）A ．22(1)(1)2x y ++-=B ．22(1)(1)2x y -++=C ．22(1)(1)2x y -+-=D ．22(1)(1)2x y +++=答案 B. 二、填空题14．（湖北省南漳县一中2010年高三第四次月考文）已知两点(4,9)(2,3)P Q --,，则直线PQ 与y 轴的交点分有向线段PQ的比为 ．答案 2.15. （福建省厦门外国语学校2011届高三11月月考理）已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A 、B 两点，)1,3(-=+与共线，求椭圆的离心率▲▲.答案 36=e . 16．（甘肃省天水一中2011届高三上学期第三次月考试题理）设直线30ax y -+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为a = 答案 0.17. （广东省中山市桂山中学2011届高三第二次模拟考试文） 在极坐标中，圆4cos ρθ=的圆心C 到直线sin()4πρθ+=的距离为 .18．（河南省郑州市四十七中2011届高三第三次月考文）如下图，直线PC 与圆O 相切于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD ⊥AB 于点E ， 4PC =，8PB =，则CE = .答案12519.（黑龙江省哈尔滨市第162中学2011届高三第三次模拟理）已知函数()x f 的图象关于直线2=x 和4=x 都对称，且当10≤≤x 时，()x x f =.求()5.19f =_____________。
江西省红色六校高三数学上学期第一次联考试题 文
江西省红色六校2015届高三第一次联考数学文科试题（分宜中学、莲花中学、任弼时中学、瑞金一中、南城一中、遂川中学）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、121ii +=+ （ ） A ．31i 22-- B ．31i 22-+ C ．31i 22+ D ． 31i 22-2、已知集合2{||1|2},{|40}M x x N x x x =-≥=-≥，则M N = （ ） A ．{|03}x x x ≤≥或 B ．{|04}x x x ≤≥或 C ．{|13}x x x ≤-≥或 D ． {|14}x x x ≤-≥或3．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过4的概率记为1p ，点数之和大于8的概率记为2 p ，点数之和为奇数的概率记为3p ，则 （ ）A ．123p p p <<B ．213p p p <<C ．132p p p <<D ．312p p p <<4.已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩，则不等式1()2f x ≤的解集为（ ）A ．3223[,][,]4334-- B ．3113[,][,]4334-- C ．7117[,][,]4334-- D ．1247[,][,]43345. 若样本a 1,a 2,a 3的方差是a ，则样本13,13,13321+++a a a 的方差为 （ ）A. 3a +1B. 9a +1C. 9a +3D. 9a6.执行如图1所示的程序框图，如果输入的[]3,3-∈t ，则输出的S 属于（ ）A.[]6,2--B.[]16,3-C.[]4,5-D.[]0,6-7．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形， 则该几何体的体积为 （ ）A ．169π B ．29πC ．23πD ． 3π8. ABC △的三个内角为A ，B ，C 5πtan6=，则sin sin B C ⋅的最大值为（ ） A ．34 B ．1 C ．12D ．2 9．设1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF FF =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为 ( )A.45B. 2C.2D. 3510. 在平面直角坐标系中，两点),(),(222111y x P y x P 间的“L-距离”定义为||||||||212121y y x x P P -+-=，则平面内与x 轴上两个不同的定点21,F F 的“L-距离”之和等于定值（大于||||21F F ）的点的轨迹可以是 （ ）二、填空题：本大题共5小题，第小题5分，共25分．11、曲线53xy e x =--在点(0,5)-处的切线方程为 12.已知数列{}n a 满足 331log 1log ()n n a a n N *++=∈，且 2469a a a ++=，则3579log ()a a a ++的值是13. 已知向量()()3s i n ,c o s 2,12s i n ,1,,22ππαααα⎛⎫==--∈ ⎪⎝⎭，a b 若85⋅=-，a b 则αtan 的值为 .14. 已知椭圆C ：2212516x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .15. 给出下列四个命题：A ．ABC ∆中，AB >是sin sin A B >成立的充要条件；B ．当01x x >≠且时，有1ln 2ln x x+≥； C ．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若75S S >，则93S S >；D ．若函数)23(-=x f y 为R 上的奇函数，则函数)(x f y =的图象一定关于点)0,23(F 成中心对称.其中所有正确命题的序号为 ．三、解答题：本大题共6题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）对某校高一年级学生参加社区服务次数统计，随机抽去了M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表如下： （Ⅰ）求出表中,,,M r m n 的值；（Ⅱ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至少一人参加社区服务次数在区间[)25,30内的概率．17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且16a b c ++= （1）若4,5a b ==，求C cos 的值; （2）若22sin cos sin cos 2sin 22B AA B C +=，且ABC ∆的面积18sin S C =，求a 和b 的值.18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且113n n S a +=)(*∈N n ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设41log (1)n n b S +=-)(*∈N n ，12231111n n n T bb b b b b +=+++，求使10072016n T >成立的最小的正整数n 的值．19. （本小题满分12分）如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ，2AD AC DE AB ====2，且F 是CD 的中点．AF = （Ⅰ）求证：AF ∥平面BCE ； （Ⅱ）求证：平面BCE ⊥平面CDE ；(III)求此多面体的体积．20.（本小题满分13分）设椭圆222:1(0)2x y C a a +=>的左右焦点分别为1F 、2F ，A 是椭圆C 上的一点，2120AF F F ⋅=，坐标原点O 到直线1AF 的距离为113OF ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设Q 是椭圆C 上的一点，)0,1(-N ,连接QN 的直线交y 轴于点M ，若=，求直线l 的斜率．21．（本小题满分14分） 设函数()ln ,mf x x m R x=+∈. （1）当m e =（e 为自然对数的底数）时，求()f x 的最小值；（2）讨论函数'()()3xg x f x =-零点的个数； （3）若对任意()()0,1f b f a b a b a->><-恒成立，求m 的取值范围.江西省红色六校2015届高三第一次联考文数试题参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1-5 C D A B D 6-10 B A C D A二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11、058=++y x 12、5 13、3414、20 15、 A 、C 三、解答题：本大题共6题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解析：(Ⅰ)因为90.45M=，所以20M = …… 2分 又因为95220m +++=，所以4m = …… 3分所以50.2520n ==， …… 4分 40.220r == …… 5分(Ⅱ)设参加社区服务的次数在[)25,30内的学生为12,A A ，参加社区服务的次数在[)20,25内的学生为3456,,,A A A A ； …… 6分任选2名学生的结果为：()12,,A A ()13,,A A ()14,,A A ()15,,A A ()16,,A A()23,,A A ()24,,A A ()25,,A A ()26,,A A ()34,,A A ()35,,A A ()36,,A A ()45,,A A ()46,,A A ()56,A A 共15种情况 ； …… 8分其中至少一人参加社区服务次数在区间[)25,30内的情况有()12,,A A ()13,,A A()14,,A A ()15,,A A ()16,,A A ()23,,A A ()24,,A A ()25,,A A ()26,A A ，共9种情况 …… 10分每种情况都是等可能出现的，所以其中至少一人参加社区服务次数在区间[)25,30内的概率为93155p == . …… 12分 17、（1）由题意可知7)(16=+-=b a C ………………（2分）由余弦定理得515427542ab c cos 222222-=⨯⨯-+=-+=b a C ……（5分） （2）由22sin cossin cos 2sin 22B AA B C +=可得 C A B B A sin 22cos 1sin 2cos 1sin =+⋅++⋅ ……7分化简得C A B B B A A sin 4cos sin sin cos sin sin =⋅+++ 即：∴C B A B A sin 4)sin(sin sin =+++ ……8分C B A sin 3sin sin =+ ……9分 即c b a 3=+ ……10分 又16=++c b a ∴12=+b a由于C C ab S sin 18sin 21== ……11分∴⎩⎨⎧=+=1236b a ab 即6==b a … …12分18.（1） 当1n =时，11a s =，由， 11113134S a a +=⇒=……1分 当2n ≥时，11111113()01313n nn n n n n n S a S S a a S a ----⎧+=⎪⎪⇒-+-=⎨⎪+=⎪⎩…… 2分 114n n a a -⇒= ……3分∴{}n a 是以34为首项，14为公比的等比数列． ……………4分故1311()3()444n n n a -== )(*∈N n ………………6分（2）由（1）知111111()34n n n S a +++-==， ……7分14141log (1)log ()(1)4n n n b S n ++=-==-+ ………………8分11111(1)(2)12n n b b n n n n +==-++++ ……9分1223111111111111()()()23341222n n b b b b b b n n n +++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-+++ ……10分1110072014222016n n ->⇒>+， …… 11分 故使10072016n T >成立的最小的正整数n 的值2015n = .…12分19．解：（Ⅰ）取CE 中点P ，连结FP 、BP ，∵F 为CD 的中点，∴FP ∥DE ，且FP =.21DE …… 1分 又AB ∥DE ，且AB =.21DE ∴AB ∥FP ，且AB =FP ， …… 2分∴ABPF 为平行四边形，∴AF ∥BP ． …… 3分又∵AF ⊄平面BCE ，BP ⊂平面BCE ， ∴AF ∥平面BCE …… 4分（Ⅱ）∵2AF CD ==，所以△ACD 为正三角形，∴AF ⊥CD ……5分 ∵AB ⊥平面ACD ，DE //AB ∴DE ⊥平面ACD ……6分 又AF ⊂平面ACD ∴DE ⊥AF ……7分又AF ⊥CD ，CD ∩DE=D ∴AF ⊥平面CDE ……8分 又BP ∥AF ∴BP ⊥平面CDE 又∵BP ⊂平面BCE∴平面BCE ⊥平面CDE 9分 (III)此多面体是一个以C 为定点，以四边形ABED 为底边的四棱锥，(12)232ABED S +⨯==， …… 10分 ABDE ADC ⊥∴面面等边三角形AD 边上的高就是四棱锥的高 ……11分133C ABDE V -=⨯= ……12分20.解：（1）由题设知12(F F a >其中由于2120AF F F ⋅=，则有212AF F F ⊥， ……1分所以点A 的坐标为2)a± …… 2分故1AF 所在直线方程为1)y a=± ……3分所以坐标原点O 到直线1AF 的距离为21a -……4分又1OF =21a =-解得：2a = ……5分 所求椭圆的方程为22142x y += …… 6分 （2）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线斜率为k 直线l 的方程为(1)y k x =+，则有(0,)M k 设11(,)Q x y ，由于Q 、N 、M 三点共线，且= … … 8分根据题意得1111(,)2(1,)x y k x y -=±+, ……9分解得112x y k =-⎧⎨=-⎩或11233x ky ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩……11分又Q 在椭圆C 上，故22(2)()142k --+=或222()()33142k-+=……12分 解得0,4k k ==±,综上，直线l 的斜率为0或4±. …… 13分21. 解：（1）由题设，当e m =时，x e x x f +=ln )(，则2')(xe x xf -=，…… 1分 ∴当)(,0)('),,0(x f x f e x <∈在),0(e 上单调递减，当0)(),,('>+∞∈x f e x ，)(x f 在（+∞,e ）上单调递增，…… 2分 ∴e x =时，)(x f 取得极小值2ln )(=+=eee ef ∴)(x f 的极小值为2. …… 3分 （Ⅱ）由题设),0(313)(')(2>--=-=x x x m x x x f x g 令0)(=x g ，得).0(213>+-=x x x m …… 4分 设),0(31)(3≥+-=x x x x φ 则),1)(1(1)('2+--=+-=x x x x φ…… 5分 当)1,0(∈x 时，)(,0)('x x φφ>在)1,0(上单调递增；当),1(+∞∈x 时，)(,0)('x x φφ<在),1(+∞上单调递减。
江西省赣州市六校2014届高三上学期期末联考数学(文)试题 含答案
2013-2014学年度第一学期期末联考高三数学试题（文科）选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知复数满足i Z i 213+=，则Z 等于( )A ．i --2B ．i +-2C ．i +2D ．i -22、定义集合A 、B 的一种运算：{}B x A x x x x x B A ∈∈⋅==*2121,,其中，若{}2,1=A ，{1,2}B =，则A B *中的所有元素数字之和为A ．7B ．9C ．5D ． 63、甲、乙两名同学在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图所示，1x ，2x 分别表示甲乙两名同学这项测试成绩的平均数，12,s s 分别表示甲乙两名同学这项测试成绩的标准差，则有( )A ．1212,x x s s ><B ．1212,x x s s =<C ．1212,x x s s ==D ．1212,x x s s =>4、已知函数2()f x x bx c =++，其中04b ≤≤，04c ≤≤，记函数()f x 满足条件：12)2(≤f 为事件A ，则事件A 发生的概率为（ ） A.14 B.21 C. 38D. 43 5、在ABC ∆中，D 是BC 的中点，AD=3，点P 在AD 上且满足,3=则=+⋅)(（ ）A ．6B ．6-C ．-12D ． 126、某几何体的三视图如右图所示，则它的表面积是（ ）A. π524+B.π-24C.()π1524-+D. ()π1520-+7、已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛∈3,0πα则⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα125sin 的是（ ）A． BC ．1027 D ．1527 8、阅读右侧程序框图，输出的结果s 的值为（ ）A.0B.23C.3D.23-9、已知双曲线C 的方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ，它的左、右焦点分别21,F F ，左右顶点为21,A A ，过焦点2F 先作其渐近线的垂线，垂足为P ，再作与x 轴垂直的直线与曲线C 交于点R Q ,，若1212,,QF A A PF 依次成等差数列，则离心率e=（ ）A 、2B 、5C 、2或5D 、215+ 10、如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴正方向滚动.设顶点(),P x y 的轨迹方程是()x f y =，设()y f x =在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域为S,则直线t x =从40==tt到所匀速移动扫过区域S 的面积D 与t 的函数图象大致为（ ）．A B C D 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
江西省九江市六校2023-2024学年高二上学期期末联考数学试题
B． 6
C． 889
D． 7
uuur uuur uuur uuur 7．对于空间任一点 O 和不共线的三点 A ， B ， C ，有 OP xOA yOB zOC ，则
x y z 1是 P ， A ， B ， C 四点共面的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
(
用
ar
，
r b
，
cr
表示 )
．
14．从集合0,1, 2,3,5,7,11中任取 3 个元素分别作为直线方程 Ax By C 0 中的 A 、B 、
C ，所得的经过坐标原点的直线有条 ( 用数值表示 ) 15．如图，已知圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0)，与 y 轴正半轴交于两点 A，B(B 在 A 的上 方)，且|AB|＝2.圆 C 的标准方程为；
(1)证明：平面VAB 平面VCD ； (2)若 AC 1，且棱 AB 上有一点 E 满足 BE 1 BA ，求二面角 C VE A的正弦值．
4 21．在过去三年防疫攻坚战中，我国的中医中药起到了举世瞩目的作用．某公司收到国 家药品监督管理局签发的散寒化湿颗粒《药品注册证书》，散寒化湿颗粒是依据第六版
16．过点
A0,1 作斜率为
k 的直线
l 交双曲线 x2
y2 2
1于 P1 ， P2 两点，线段 P1P2 的中
点在直线 x 1 上，则实数 k 的值为． 2
四、解答题 17．直线 2x y 3 0 与圆 C 交于 E 、F 两点，E 、F 两点的坐标分别为 (x1, y1) ，(x2, y2 ) ， 且 x1, x2 是方程 5x2 4x 5 0 的两根． (1)求弦 EF 的长； (2)若圆 C 的圆心为 (2, 3) ，求圆 C 的一般方程． 18．如图，已知四边形 ABCD 是边长为1的正方形，SA 底面 ABCD ，SA 2 ，设 G 是 VABC 的重心， E 是 SD 上的一点，且 SE 3ED ．
高三理科数学六校联考试题 及答案
主视图左视图22高三理科数学六校联考试题本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 参考公式：锥体体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．第 Ⅰ 卷一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知,A B 是非空集合，命题甲：A B B = ，命题乙：A B ⊂≠，那么 （ ）A.甲是乙的充分不必要条件B. 甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 2.复数21i i =- （ ）A . 1i - B. 1i -+ C. 1i + D. 1i --3.已知点(,)N x y 在由不等式组002x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩确定的平面区域内，则(,)N x y 所在平面区域的面积是（ ） A ．1B ．2C ．4D ．84.等差数列{a n }中，已知35a =，2512a a +=，29n a =，则n 为 （ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 165. 函数21lo g 1x y x+=-的图像 （ ）A ． 关于原点对称 B. 关于主线y x =-对称 C. 关于y 轴对称 D. 关于直线y x =对称6.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 （）A.B.C.3D.37.已知平面,,αβγ，直线,m l ，点A ，有下面四个命题： A . 若l α⊂，m A α= 则l 与m 必为异面直线；B. 若,l l m α 则m α ；C. 若 , , ,l m l m αββα⊂⊂ 则 αβ ；D. 若 ,,,m l l m αγγαγβ⊥==⊥ ，则l α⊥.其中正确的命题是 （ ）8.某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱和为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A 出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”，黑“电子狗”爬行的路线是AA 1→A 1D 1→…，黄“电子狗”爬行的路线是AB →BB 1→…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i +2段与第i 段所在直线必须异面直线(其中i 是正整数).设黑“电子狗”爬完2012段、黄“电子狗”爬完2011段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是 （ ） A. 0B. 1C.2D. 3第 Ⅱ 卷二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题：第9、10、11、12、13题是必做题，每道试题考生都必须做答．9. 0-=⎰.10.函数2()sin cos 2f x x x =+,x R ∈的最小正周期为 11.在直角ABC ∆中， 90=∠C ，30=∠A ， 1=BC ，D 为斜边AB 的中点，则 CD AB ⋅= .12.若双曲线22219x ya-=(0)a >的一条渐近线方程为320x y -=，则以双曲线的顶点和焦点分别为焦点和顶点的椭圆的离心率为__________.13.将“杨辉三角”中的数从左到右、从上到下排 成一数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…， 右图所示程序框图用来输出此数列的前若干项并求其和，若输入m=4则相应最后的输出S 的值是__________.（二）选做题：第14、15题是选做题，考生只能从中选做一题．ONMBA14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线1C 、2C 的极坐标方程分别为2cos()2πρθ=-+，cos()104πθ-+=，则曲线1C 上的点与曲线2C 上的点的最远距离为________.15．（几何证明选讲选做题）如图，点M 为O 的弦A B 上的一点，连接M O .M N O M ⊥，M N 交圆于N ，若2M A =，4M B =，则M N = .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）在A B C ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，S 是该三角形的面积，（1）若(2sin cos ,sin cos )2B a B B B =- ，(sin cos ,2sin )2Bb B B =+ ，//a b ，求角B 的度数；（2）若8a =，23B π=，S =b 的值.17 （本小题满分12分）甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是32和43假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响⑴求甲射击3次，至少1次未击中．．．目标的概率； ⑵假设某人连续2次未击中．．．目标，则停止射击，问：乙恰好射击4次后，被中止射击的概率是多少？⑶设甲连续射击3次，用ξ表示甲击中目标时射击的次数，求ξ的数学期望E ξ. （结果可以用分数表示）18. （本小题满分14分）如图，四边形A B C D 中（图1），E 是B C 的中点，2D B =，1,DC=BC =，AB AD ==将（图1）沿直线B D 折起，使二面角A B D C --为60（如图2）（1）求证：A E ⊥平面B D C ；（2）求异面直线A B 与C D 所成角的余弦值； （3）求点B 到平面A C D 的距离.19（本小题满分14分）已知函数()241(12)ln(21)22xa f x a x x +=-+++ .（1）设1a =时，求函数()f x 极大值和极小值; （2）a R ∈时讨论函数()f x 的单调区间.20.（本小题满分l4分）如图，P 是抛物线C ：212y x =上横坐标大于零的一点，直线l 过点P 并与抛物线C 在点P 与抛物线C 相交于另一点Q .（1）当点P 的横坐标为2时，求直线l 的方程；（2）若0O P O Q ⋅=，求过点,,P Q O 的圆的方程.21. （本小题满分l4分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，正数数列{}n b 中 ,2e b =(e 为自然对数的底718.2≈)且*N n ∈∀总有12-n 是n S 与n a 的等差中项，1 1++n n n b b b 与是的等比中项.(1) 求证: *N n ∈∀有nn n a a 21<<+；(2) 求证：*N n ∈∀有13ln ln ln )1(2321-<+++<-n n n a b b b a .2012届第三次六校联考试题答案一．选择题：1、B ；2、A ；3、C ；4、C ；5、A ；6、B ；7、D ；8、D二、填空题：9. 4π； 10.π； 11. -1 ； 12.13； 13. 15；选做题：14. 1+ 15.三、解答题：16.解：（1）//a b24c o s s i n c o s 202BBB ∴⋅+= 21cos 4cos 2cos 102BB B -∴⋅+-= 1cos 2B ∴=(0,180)B ∠∈ 60B ∴∠=……………………6分（2）S = 1sin 2ac B ∴=7分得 4c =……………………8分2222cos b a c ac B =+-2284284cos120=+-⋅⋅……………………10分b ∴=12分17.解：（1）记“甲连续射击3次，至少1次未击中目标”为事件A 1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故P （A 1）=1- P （1A ）=1-32()3=1927答：甲射击3次，至少1次未击中目标的概率为1927；……………………4分(2) 记“乙恰好射击4次后，被中止射击”为事件A 2，由于各事件相互独立，故P （A 2）=41×41×43×41+41×41×43×43 =364，答：乙恰好射击4……………………8分（3）根据题意ξ服从二项分布，2323E ξ=⨯=……………………12分（3）方法二：03311(0)()327p C ξ==⋅=123216(1)()()3327p C ξ==⋅⋅=22132112(2)()()3327p C ξ==⋅⋅=333218(1)()()3327p C ξ==⋅⋅=161280123227272727E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=……………………12分说明：（1），（2）两问没有文字说明分别扣1分，没有答，分别扣1分。
数列(文科)解答题30题--高考数学复习提分复习资料 学生版
专题4数列（文科）解答题30题1．（江西省南昌市金太阳大联考2023届高三上学期10月联考数学（文）试题）在等比数列{n a }中，122554a a a +==．(1)求{n a }的通项公式；(2)求数列{3214n a n +-}的前n 项和Sn ．2．（2022·贵州·校联考模拟预测）已知()()2221121216n n n n ++⋅⋅⋅+=++，数列{}n a 满足2121n n a a n n +-=++，11a =.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设21n n a b n =+，求数列1n b ⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和n S .3．（河南省许昌济源平顶山2022届高三第三次质量检测文科数学试题）已知等差数列{}n a 的前n 项和为16,3,12n S a S =-=，数列{}n b 满足()*112,2n n b b b n +==∈N ．(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．4．（青海省海东市第一中学2022届高考模拟（二）数学（文）试题）已知正项数列{}n a 满足2123232n a a a na n n ++++=+ ，且()()211n n n n a b n n+-=++．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n b 的前n 项和n S ．5．（陕西省汉中市2023届高三上学期教学质量第一次检测文科数学试题）已知数列{}n a 是公差为12的等差数列，数列{}n b 是首项为1的等差数列，已知2344a b a b -=-.(1)求n b ；(2)求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .6．（陕西省汉中市2022届高三上学期教学质量第一次检测文科数学试题）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足39a =，___________.在①36S a =，②430S =，③25845a a a ++=这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答.（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）(1)求{}n a 的通项公式；(2)设2na n nb a =+，求{}n b 的前n 项和n T .7．（山西省太原市2022届高三二模数学（文）试题）已知数列{}n a 为公差大于0的等差数列，2512a a +=，且1a ，3a ，13a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设11n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若2041m S =，求m 的值.8．（江西省宜春市八校2022届高三下学期联合考试数学（文）试题）已知公差不为0的等差数列{}n a 中，23a =且125,,a a a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}3n n a 的前n 项和为n T .9．（广西柳州市2023届高三第二次模拟数学（文）试题）在数列{}n a 中，()11N ,R,029n a n a a n *=+∈∈≠-，它的最大项和最小项的值分别是等比数列{}n b 中的21b -和39b -的值.(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)已知数列{}()3,log n n n n c c b b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n M .10．（江西省部分学校2023届高三上学期1月联考数学（文科）试题）公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足310a =，2a 、4a 、7a 成等比数列．(1)求{}n a 的前n 项和n S ；(2)记26n n b S =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．11．（2022·陕西西安·西安中学校考一模）已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且2n S n =，数列{}n b 的前n 项和是n T ，且323n n b T =+．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)设n n na cb =，证明：1231nc c c c ++++< ．12．（2022·陕西渭南·统考一模）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，不等式21280a x S x --<的解集为()1,4-.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若2111n n nb a S =+-，求数列{}n b 的前n 项和n T .13．（2022·贵州贵阳·校联考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为21,n n n S T =-为等差数列{}n b 的前n 项和，且满足23b a =，527T T =．(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)求数列{}n n a b +的前n 项和n H ．14．（河南省多校联盟2022届高考终极押题（A 卷）数学（文）试题）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n Sn a 与1的等差中项.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列11n n a a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：1132n T ≤<.15．（河南省郑州市2022届高三第三次质量预测文科数学试题）已知数列{}n a 满足111,1n n a a S +==+，其中n S 为{}n a 的前n 项和，n *∈N ．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n n b a -是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{}n b 的前n 项和．16．（第四章数列（选拔卷）-【单元测试】2021-2022学年高二数学尖子生选拔卷（苏教版2019选择性必修第一册））已知各项都为正数的数列{an }满足an ＋2＝2an ＋1＋3an .(1)证明：数列{an ＋an ＋1}为等比数列；(2)若a 1＝12，a 2＝32，求{an }的通项公式.17．（辽宁省铁岭市六校2021-2022学年高三上学期12月月考数学试题）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足332n n a S =+（n *∈N ）．(1)证明：数列{}n a 是等比数列；(2)令()31log n n na c n a *+=∈N ，求数列{}n c 的前n 项和n T .18．（陕西省榆林市2023届高三上学期一模文科数学试题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()1113,1n n n a S S n a ++=+=+.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．（陕西省西安中学2022届高三下学期八模文科数学试题）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且公比1q >，已知24a =，314S =．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设()1n n b a n λ=+-，若{}n b 是递增数列，求实数λ的取值范围．20．（山西省吕梁市2022届高三三模文科数学试题）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且131,7a S ==．(1)求{}n a 的通项公式；(2)记()()2211log 1log 1n n n b S S +=+⋅+，求{}n b 的前n 项和n T ．21．（山西省际名校2022届高三联考二（冲刺卷）文科数学试题）已知数列{}n a 的前n项和为n S ，且31,n n S a n n *+=-∈N ．(1)证明{}3n a -是等比数列；(2)求{}n na 的前n 项和n T ．22．（内蒙古赤峰市2023届高三下学期1月模拟考试文科数学试题）已知单调递增的等差数列{}n a ，且12a =，2a ，32a +，64a +成等比数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)保持数列{}n a 中各项先后顺序不变，在k a 与1(1,2,)k a k +=⋅⋅⋅之间插入2k ，使它们和原数列的项构成一个新的数列{}n b ，记{}n b 的前n 项和为n T ，求20T 的值．23．（内蒙古呼伦贝尔市满洲里市2022届高三三模数学（文）试题）已知数列{}n a ，{}n b ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，214,22,n n a b S a ==-()()1*21N +-+=+∈n n nb n b n n n .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)证明n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列(){}1n n b -的前2n 项和.24．（内蒙古呼伦贝尔市部分校2022届高考模拟数学（文）试题）已知在等差数列{}n a 中，25a =，1033a a =．(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设()21n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．25．（宁夏银川一中2022届高三第四次模拟考试数学（文）试题）已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且22b =，34b =，11a b =，851a b +=．(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)设11n n n a c b ++=，数列{}n c 的前n 项和为n S ，求n S ．26．（新疆乌鲁木齐地区2022届高三第二次质量监测数学（文）试题（问卷））设数列{}n a 是由正数组成的等比数列.其中24a =，416a =.(1)求数列{}n a 的通顶公式；(2)若数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列，其中12b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .27．（江西省南昌市2022届高三第三次模拟测试数学（文）试题）{}n a 是各项均为正数的等差数列，其前n 项和为n S ，已知12a =，14n n n S a a +=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设1n n n b S a =+，若{}n b 的前n 项和为n T ，求证：1118n T <.28．（江西省九江市2022届第三次高考模拟统一考试数学（文）试题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，()1222n n S S n -=+≥．(1)求n a ；(2)求数列()21n n n n a ⎧⎫+⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和．29．（广西梧州市2023届高三第一次模拟测试数学（文）试题）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，22n n S a +=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记2,log ,n n na nb a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求{}n b 前12项的和.30．（贵州省2023届高三333高考备考诊断性联考（一）数学（文）试题）已知数列{}n a 是递增的等比数列．设其公比为q ，前n 项和为n S ，并且满足1534a a +=，8是2a 与4a 的等比中项．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若n n b n a =⋅，n T 是n b 的前n 项和，求使12100n n T n +-⋅>-成立的最大正整数n 的值．。