2018-2019学年高三理科数学二轮复习：回扣教材纠错例析2.函数与导数-含解析
2018-2019年最新高考总复习数学(理)第二次复习效果检测试题及答案解析
2018-2019学年下期三年级第二次素质检测数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，全卷共150分。
考试时间为120分钟。
第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在下列每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
） 1.已知集合},4|{},,1|1||{Z x x x B R x x x A ∈≤=∈≤-=，则=⋂B A （ ） A.[0, 2]B.(0, 2)C.{0, 2}D.{0, 1, 2}2.已知命题P 1：平面向量b a ,共线的充要条件是a 与b 方向相同；P 2：函数x x y --=22在R上为增函数，则在命题：213212211)(:,:,:P P q P P q P P q ∨⌝∧∨和）（214:P Pq ⌝∧中，真命题是（ ） A.q 1, q 3 B.q 2, q 3 C.q 1,q 4D.q 2,q 43.已知),0(,2cos sin πααα∈=+，则)3tan(πα-=（ ）A.32-B. 32--C. 32+-D. 32+4.已知}{n a 是等差数列，a 10=10，其前10项和S 10=70，则其公差d=（ ） A.32-B.31-C. 31D. 325.某校安排四个班到三个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有（ ）A.24B.36C.48D.606.已知直线m 和平面βα,，则下列四个命题中正确的是（ ） A.若αββα⊥⊂⊥m m 则,, B. 若βαβα//,//,//m m 则 C. 若βαβα⊥⊥m m 则,,//D. 若βαβα//,//,//则m m7.曲线x e y 21=在点（4，2e ）处的切线与坐标轴围成三角形的面积为（ ） A.229e B.4 2e C.2 2e D. 2e8.某种种子每粒发芽的概率都为0.85，现播种了10000粒，对于没有发芽的种，每粒需要再补2粒，补种的种子数记为x ，则x 的数学期望为（ ） A.1000B.2000C.3000D.40009.设偶函数)(x f 满足)0(8)(3≥-=x x x f ，则=>-}0)1(|{x f x （ ） A.}32|>-<x x x 或｛ B. }20|><x x x 或｛ C. }30|><x x x 或｛ D. }31|>-<x x x 或｛10.设F 1，F 2是椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点P 为直线23ax =上一点，12PF F ∆是底角为︒30的等腰三角形，则E 的离心率（ ） A.21 B.32C.43D.5411.若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥-04001y x y x x ，则2y x的最小值为（ ） A.1B.21C.32D.9112.用max(a, b, c)表示a, b, c 三个数中的最大值，设函数)0}(10,2,2max{)(≥-+=x x x x f x ，若)(0x f 是)(x f 的最小值，则x 0在区间内（ ） A.(1,2)B.(2,3)C.(0,1)D.(3,4)第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2018届高考数学理科二轮总复习高考23题逐题特训二函数
(二)函数与导数(2)1．设函数f (x )＝2(a ＋1)x (a ∈R )，g (x )＝ln x ＋bx (b ∈R )，直线y ＝x ＋1是曲线y ＝f (x )的一条切线．(1)求a 的值；(2)若函数y ＝f (x )－g (x )有两个极值点x 1，x 2.①试求b 的取值范围；②证明：g (x 1)＋g (x 2)f (x 1)＋f (x 2)≤1e 2＋12. 解 (1)设直线y ＝x ＋1与函数y ＝f (x )的图象相切于点(x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1，y 0＝2(a ＋1)x 0，a ＋1x 0＝1，解得a ＝0. (2)记h (x )＝f (x )－g (x )，则h (x )＝2x －ln x －bx .①函数y ＝f (x )－g (x )有两个极值点的必要条件是h ′(x )有两个正零点．h ′(x )＝1x －1x－b ＝－bx ＋x －1x ， 令h ′(x )＝0，得bx －x ＋1＝0(x >0)．令x ＝t ，则t >0.问题转化为bt 2－t ＋1＝0有两个不等的正实根t 1，t 2，等价于⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝1－4b >0，t 1t 2＝1b >0，t 1＋t 2＝1b >0，解得0<b <14. 当0<b <14时，设h ′(x )＝0的两正根为x 1，x 2，且x 1<x 2， 则h ′(x )＝－bx ＋x －1x ＝－b (x －x 1)(x －x 2)x ＝－b (x －x 1)(x －x 2)x (x ＋x 1)(x ＋x 2). 当x ∈(0，x 1)时，h ′(x )<0；当x ∈(x 1，x 2)时，h ′(x )>0；当x ∈(x 2，＋∞)时，h ′(x )<0. 所以x 1，x 2是h (x )＝f (x )－g (x )的极值点，∴b 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，14. ②由①知x 1x 2＝x 1＋x 2＝1b.可得g (x 1)＋g (x 2)＝－2ln b ＋1b －2，f (x 1)＋f (x 2)＝2b， 所以g (x 1)＋g (x 2)f (x 1)＋f (x 2)＝12－b ln b －b . 记k (b )＝12－b ln b －b ⎝⎛⎭⎫0<b <14， 则k ′(b )＝－ln b －2，令k ′(b )＝0，得b ＝1e 2∈⎝⎛⎭⎫0，14， 且当b ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 2时，k ′(b )>0，k (b )单调递增； 当b ∈⎝⎛⎭⎫1e 2，14时，k ′(b )<0，k (b )单调递减，且当b ＝1e 2时，k (b )取最大值1e 2＋12， 所以g (x 1)＋g (x 2)f (x 1)＋f (x 2)≤1e 2＋12. 2．设函数f (x )＝2ax ＋b x＋c ln x . (1)当b ＝0，c ＝1时，讨论函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在x ＝1处的切线为y ＝3x ＋3a －6且函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，x 1<x 2. ①求a 的取值范围；②求f (x 2)的取值范围．解 (1)f (x )＝2ax ＋b x＋c ln x ，x >0， f ′(x )＝2a －b x 2＋c x ＝2ax 2＋cx －b x 2. 当b ＝0，c ＝1时，f ′(x )＝2ax ＋1x. 当a ≥0时，由x >0，得f ′(x )＝2ax ＋1x>0恒成立， 所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a <0时，令f ′(x )＝2ax ＋1x >0，解得x <－12a； 令f ′(x )＝2ax ＋1x <0，解得x >－12a， 所以，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞上单调递减． 综上所述，①当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a <0时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－12a上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞上单调递减． (2)①函数f (x )在x ＝1处的切线为y ＝3x ＋3a －6， 所以f (1)＝2a ＋b ＝3a －3，f ′(1)＝2a ＋c －b ＝3， 所以b ＝a －3，c ＝－a ，f ′(x )＝2a －b x 2＋c x ＝2ax 2－ax ＋3－a x 2， 函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，x 1<x 2，则方程2ax 2－ax ＋3－a ＝0有两个大于0的解， ⎩⎨⎧ Δ＝(－a )2－8a (3－a )>0，a 2a >0，3－a 2a >0，解得83<a <3. 所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫83，3.②2ax 22－ax 2＋3－a ＝0，x 2＝a ＋9a 2－24a 4a ＝14⎝⎛⎭⎫1＋ 9－24a ， 由83<a <3，得x 2∈⎝⎛⎭⎫14，12， 由2ax 22－ax 2＋3－a ＝0，得a ＝－32x 22－x 2－1. f (x 2)＝2ax 2＋a －3x 2－a ln x 2 ＝a ⎝⎛⎭⎫2x 2＋1x 2－ln x 2－3x 2＝－32x 2＋1x 2－ln x 22x 22－x 2－1－3x 2. 设φ(t )＝－32t ＋1t －ln t 2t 2－t －1－3t ，t ∈⎝⎛⎭⎫14，12， φ′(t )＝－3⎝⎛⎭⎫2－1t 2－1t (2t 2－t －1)－⎝⎛⎭⎫2t ＋1t －ln t (4t －1)(2t 2－t －1)2＋3t2 ＝－31t 2(2t 2－t －1)2＋3⎝⎛⎭⎫2t ＋1t －ln t (4t －1)(2t 2－t －1)2＋3t 2＝3⎝⎛⎭⎫2t ＋1t －ln t (4t －1)(2t 2－t －1)2. 当t ∈⎝⎛⎭⎫14，12时，2t ＋1t－ln t >0,4t －1>0，φ′(t )>0，所以φ(t )在⎝⎛⎭⎫14，12上单调递增，φ(t )∈⎝⎛⎭⎫163ln 2，3＋3ln 2， 所以f (x 2)的取值范围是⎝⎛⎭⎫163ln 2，3＋3ln 2.。
2018-2019年最新最新高考总复习数学(理)二轮复习精选《不等式、函数与导数》试题解析
高三数学二轮复习精选专题练（理科，有解析）不等式、函数与导数1、若()1f x x =+,则(3)f =( )A. 2B. 4C. 2±D. 22 【答案】A2、如果函数F （x ）=()f x )1lg(2x x ++，（∈x R ）是奇函数，那么函数()f x 是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．既不是奇函数也不是偶函数 【答案】B3、设二次函数2()32(1)2f x x a x =-+-+在区间(1,)-+∞上为减函数，则实数a 的范围为()A .2a =-B .2a =C .2a ≤-D .2a ≥ 【答案】C4、若函数2()|(21)(2)|f x mx m x m =-+++恰有四个单调区间,则实数m 的取值范围( ) A.14m <B.14m <且0m ≠C.104m <<D.14m > 【答案】B【解析】函数2()|(21)(2)|f x mx m x m =-+++恰有四个单调区间,所以，结合函数图象的特点，0m ≠时，2(21)20mx m x m -+++=应有不等实根，所以，2(21)4(2)0m m m +-+>，解得，14m <， 故选B 。
5、下列各函数中，最小值为2的是 ( ) A ．1y x x =+ B ．1sin sin y x x =+，(0,)2x π∈ C ．2232x y x +=+ D ．21y x x=+- 【答案】D【解析】对于A ：不能保证0x >，对于B ：不能保证1sin sin x x=， 对于C ：不能保证22122x x +=+，对于D ：31113112y x x x=++-≥-= 6、下列函数中，不满足：(2)2()f x f x =的是（） A.()f x x = B.()f x x x =- C.()f x x =+1D.()f x x =- 【答案】C7、已知函数2()f x x bx =+的图像在点()1,(1)A f 处切线的斜率为3，数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2009S =（ ） A ．20082007 B ．20082009 C ．20092010 D ．20102011【答案】C8、已知2()1f x x =--在区间M 上的反函数是其本身，则M 可以是（） A ．[1,1]-B ．[1,0]-C ．[0,1]D ．(1,1)-【答案】B9、下列函数中既是奇函数，又在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．x y sin = B ．2x y -= C ．21g x y = D ．3x y -= 【答案】C10、对于正实数α,记M α为满足下述条件的函数()f x 构成的集合:12,x x R ∀∈且21x x >,有212121()()()()x x f x f x x x αα--<-<-.下列结论中正确的是 （ ）A ．若12(),()f x M g x M αα∈∈,则12()()f x g x M αα++∈B ．若12(),()f x M g x M αα∈∈且12αα>,则12()()f x g x M αα--∈C ．若12(),()f x M g x M αα∈∈,则12()()f x g x M αα⋅⋅∈D ．若12(),()f x M g x M αα∈∈且()0g x ≠,则12()()f x M g x αα∈ 【答案】A11、己知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线与直线3x-y+2=0平行，若数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2014S 的值为（） A ．20142015 B ．20122013C ．20132014 D ．20152016【答案】A【解析】由已知得，'()2f x x b =+，函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线斜率为'(1)23k f b ==+=，故1b =，所以2()f x x x =+，则1111()(1)1f n n n n n ==-++，所以111111(1)())122311n S n n n =-+-+-=-++…+(，故2014S =20142015． 考点：本题考查导数的几何意义，裂项相消法求和点评：解决本题的关键是用导数求出切线方程，利用裂项相消求和12、设函数()f x （x R ∈）的导函数为()f x '，满足()()f x f x '>，则当0a >时，()f a 与(0)a e f 的大小关系为（ ）A ．()f a =(0)a e fB ．()f a >(0)a e fC ．()f a <(0)a e fD ．不能确定 【答案】B13、下图展示了一个由区间(0,4)到实数集R 的映射过程：区间(0,4)中的实数m 对应数轴上的点M （如图1），将线段AB 围成一个正方形，使两端点A B 、恰好重合（如图2），再将这个正方形放在平面直角坐标系中，使其中两个顶点在y 轴上，点A 的坐标为(0,4)（如图3），若图3中直线AM 与x 轴交于点(,0)N n ，则m 的象就是n ，记作()f m n =.现给出以下命题：(2)0f =②()f x 的图象关于点(2,0)对称； ③()f x 在区间(3,4)上为常数函数； ④()f x 为偶函数。
2018年高考数学二轮复习 第三部分 专题二 回扣溯源 查缺补漏——考前提醒2 函数与导数课件
令 t＝x2－2x－8，则 y＝ln t 为增函数．
又 t＝x2－2x－8 的单调增区间为(4，＋∞)．
所以 f(x)的增区间为(4，＋∞)． 答案：D
3．定义域必须关于原点对称是函数具有奇偶性的必 要条件，为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定 义域是否关于原点对称．函数 y＝f(x)为奇函数，但不一 定有 f(0)＝0 成立．
[回扣问题 5] 对于函数 f(x)定义域内任意的 x，都有 f(x＋2)＝－f（1x），若当 2<x≤3 时，f(x)＝x，则 f(2 017) ＝________．
解析：易知 y＝f(x)的最小正周期 T＝4， 所以 f(2 017)＝f(1)＝－f（13）＝－13. 答案：－13
6．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符 号“∪”和“或”连接，可用“和”连接，或用“，”隔 开，单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式 代替．
(4)f(x)为奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶 函数⇔f(x)的图象关于 y 轴对称．
(5)f(x)＋f(－x)＝0⇔f(x)为奇函数；f(x)－f(－x)＝0⇔ f(x)为偶函数．
2．函数图象的对称性． (1)若函数 y＝f(x)满足 f(a＋x)＝f(a－x)，即 f(x)＝f(2a －x)，则 f(x)的图象关于直线 x＝a 对称． (2)若函数 y＝f(x)满足 f(a＋x)＝－f(a－x)，即 f(x)＝ －f(2a－x)，则 f(x)的图象关于点(a，0)对称． (3)若函数 y＝f(x)满足 f(a＋x)＝f(b－x)，则函数 f(x) 的图象关于直线 x＝a＋2 b对称．
8．不能准确理解基本初等函数的定义和性质．如函 数 y＝ax(a>0，a≠1)的单调性忽视字母 a 的取值讨论，忽 视 ax>0；对数函数 y＝logax(a>0，a≠1)忽视真数与底数 的限制条件．
2018高考新课标数学理二轮专题复习课件：源源回扣二函数与导数 精品
[回扣问题 4] 若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数， 在(－∞，0]上是减函数，且 f(2)＝0，则使得 f(x)<0 的 x 的取值范围是________．
解析：∵f(x)是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
∵f(x)<0，f(2)＝0.所以 f(|x|)<f(2)．
又∵f(x)在(－∞，0]上是减函数， ∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数， ∴|x|<2，所以－2<x<2. 答案：(－ 对称
4.方程的根与函数的零点． (1)方程的根与函数零点的关系： 方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有
交点⇔函数 y＝f(x)有零点．
(2)函数零点的存在性： 如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的 一条曲线，并且 f(a)·f(b)<0，那么函数 f(x)在区间(a，b) 内至少有一个零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这 个 c 也就是方程 f(x)＝0 的实数根．
[回扣问题 5] 对于函数 f(x)定义域内任意的 x，都有 f(x＋2)＝－f（1x），若当 2<x≤3 时，f(x)＝x，则 f(2 017) ＝________．
解析：易知 y＝f(x)的最小正周期 T＝4， ∴f(2 017)＝f(1)＝－f（13）＝－13. 答案：－13
6．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符 号“∪”和“或”连接，可用“和”连接或用“，”隔开， 单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．
溯源回扣二 函数与导数
环节一：牢记概念公式，避免卡壳
1．函数的奇偶性、周期性． (1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定 义域内的任意 x(定义域关于原点对称)，都有 f(－x)＝－ f(x)成立，则 f(x)为奇函数(都有 f(－x)＝f(x)成立，则 f(x) 为偶函数)．
2018届高考数学(理)二轮复习讲义：指导2 回扣溯源,查缺补漏,考前提醒
专题研读解决“会而不对，对而不全”问题是决定高考成败的关键，高考数学考试中出现错误的原因很多，其中错解类型主要有：知识性错误，审题或忽视隐含条件错误，运算错误，数学思想、方法运用错误，逻辑性错误，忽视等价性变形错误等.下面我们分几个主要专题对易错的知识点和典型问题进行剖析，为你提个醒，力争做到“会而对，对而全”.溯源回扣一集合与常用逻辑用语1.描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素.如：{x|y ＝lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集.[回扣问题1]集合A＝{x|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B＝________.2.遇到A∩B＝∅时，你是否注意到“极端”情况：A＝∅或B＝∅；同样在应用条件A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B时，不要忽略A＝∅的情况.[回扣问题2]设集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|mx－1＝0}，若A∩B＝B，则实数m组成的集合是____________.3.注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助Venn图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值.[回扣问题3]已知全集I＝R，集合A＝{x|y＝1－x}，集合B＝{x|0≤x≤2}，则(∁I A)∪B等于()A.[1，＋∞)B.(1，＋∞)C.[0，＋∞)D.(0，＋∞)4.“否命题”是对原命题“若p，则q”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p的否定”即：非p，只是否命题p的结论.[回扣问题4]已知实数a，b，若|a|＋|b|＝0，则a＝b.该命题的否命题是________，命题的否定是________.5.要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A .[回扣问题5] (2017·天津卷)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.含有量词的命题的否定，不仅是把结论否定，而且要改写量词，全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词.[回扣问题6] 命题p ：∀x ∈R ，e x －x －1>0，则綈p 是________.7.存在性或恒成立问题求参数范围时，常与补集思想联合应用，即体现了正难则反思想.[回扣问题7] 若存在a ∈[1，3]，使得不等式ax 2＋(a －2)x －2>0成立，则实数x 的取值范围是________.溯源回扣二 函数与导数1.求函数的定义域，关键是依据含自变量x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏.[回扣问题1] 函数f (x )＝ln x x －1＋x 12的定义域为( ) A.(0，＋∞)B.(1，＋∞)C.(0，1)D.(0，1)∪(1，＋∞)2.求解与函数、不等式有关的问题(如求值域、单调区间、判断奇偶性、解不等式等)，要注意定义域优先的原则.[回扣问题2] (2017·全国Ⅱ卷改编)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调增区间是________.3.定义域必须关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称.函数y ＝f (x )为奇函数，但不一定有f (0)＝0成立.[回扣问题3] 函数f (x )＝ln （1－x 2）|x －2|－2的奇偶性是________. 4.理清函数奇偶性的性质.(1)f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；(2)f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)；(3)定义域含0的奇函数满足f(0)＝0.[回扣问题4]若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是________.5.记准函数周期性的几个结论：由周期函数的定义“函数f(x)满足f(x)＝f(a＋x)(a>0)，则f(x)是周期为a的周期函数”得：(1)函数f(x)满足－f(x)＝f(a＋x)，则f(x)是周期T＝2a的周期函数；(2)若f(x＋a)＝1f（x）(a≠0)成立，则T＝2a；(3)若f(x＋a)＝－1f（x）(a≠0)恒成立，则T＝2a；(4)若f(x＋a)＝f(x－a)(a≠0)成立，则T＝2a.[回扣问题5]对于函数f(x)定义域内任意的x，都有f(x＋2)＝－1f（x），若当2<x≤3时，f(x)＝x，则f(2 017)＝________.6.求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连接，或用“，”隔开.单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替.[回扣问题6]函数f(x)＝x3－3x的单调增区间是________.7.图象变换的几个注意点.(1)混淆平移变换的方向与单位长度.(2)区别翻折变换：f(x)→|f(x)|与f(x)→f(|x|).(3)两个函数图象的对称.①函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点成中心对称.②函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于直线x＝0(y轴)对称；函数y＝f(x)与函数y ＝－f(x)的图象关于直线y＝0(x轴)对称.[回扣问题7](2016·全国Ⅲ卷)函数y＝sin x－3cos x的图象可由函数y＝2sin x 的图象至少向右平移________个单位长度得到.8.不能准确理解基本初等函数的定义和性质.如函数y＝a x(a>0，a≠1)的单调性忽视字母a的取值讨论，忽视a x>0；对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)忽视真数与底数的限制条件.[回扣问题8]函数f(x)＝log4(7＋6x－x2)的单调增区间为________.9.分段函数的图象，一定要准确看清楚分界点的函数值.[回扣问题9]已知函数f(x)＝是R上的增函数，则实数k的取值范围是________.10.易混淆函数的零点和函数图象与x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化.[回扣问题10]函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点个数为()A.1B.2C.3D.411.混淆y＝f(x)在某点x0处的切线与y＝f(x)过某点x0的切线，导致求解失误. [回扣问题11](2017·天津卷)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________.12.利用导数判断函数的单调性：设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)>0，那么f(x)在该区间内为增函数；如果f′(x)<0，那么f(x)在该区间内为减函数；如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么f(x)在该区间内为常函数.注意如果已知f(x)为减函数求参数取值范围，那么不等式f′(x)≤0恒成立，但要验证f′(x)是否恒等于0，增函数亦如此.[回扣问题12]若函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上是增函数，则a的取值范围是________.13.对于可导函数y＝f(x)，错以为f′(x0)＝0是函数y＝f(x)在x＝x0处有极值的充分条件.[回扣问题13]若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极小值10，则a＋b＝________.溯源回扣三三角函数与平面向量1.三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定.[回扣问题1] 已知角α的终边经过点P (3，－4)，则sin α＋cos α的值为________.2.求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要注意ω，A 的符号.若ω<0时，应先利用诱导公式将x 的系数转化为正数后再求解；在书写单调区间时，不能弧度和角度混用，需加2k π时，不要忘掉k ∈Z ，所求区间一般为闭区间.[回扣问题2] 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的递减区间是________. 3.在三角函数求值中，忽视隐含条件的制约导致增解.[回扣问题3] 已知cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，0<α<π2，0<β<π2，则cos β＝________.4.已知三角形两边及一边对角，利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可能有一解、两解或无解.在△ABC 中，A >B ⇔sin A >sin B .[回扣问题4] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且a ＝1，c ＝ 3.若C ＝π3，则角A ＝________.5.设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，当θ为锐角时，a ·b >0，且a ，b 不同向；故a ·b >0是θ为锐角的必要不充分条件；当θ为钝角时，a ·b <0，且a ，b 不反向，故a ·b <0是θ为钝角的必要不充分条件.[回扣问题5] 已知向量a ＝(2，1)，b ＝(λ，1)，λ∈R ，设a 与b 的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是____________.6.切忌混淆三角形“四心”，注意不同的向量表示形式.[回扣问题6] 若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA→|，则△ABC 的形状为________.溯源回扣四 数列与不等式1.已知数列的前n项和S n求a n，易忽视n＝1的情形，直接用S n－S n－1表示.事实上，当n＝1时，a1＝S1；当n≥2时，a n＝S n－S n－1.[回扣问题1]已知数列{a n}对任意的n∈N*都满足a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1a n＝8－5n，则数列{a n}的通项公式为________.2.等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，并灵活整体代换进行基本运算.如等差数列{a n}与{b n}的前n项和分别为S n和T n，已知S nT n＝n＋12n＋3，求a nb n时，无法正确赋值求解.[回扣问题2]等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且S nT n＝3n－12n＋3，则a8b8＝________.3.运用等比数列的前n项和公式时，易忘记分类讨论.一定分q＝1和q≠1两种情况进行讨论.[回扣问题3]设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3＋S6＝S9，则公比q＝________.4.利用等差数列定义求解问题时，易忽视a n－a n－1＝d(常数)中，n≥2，n∈N*的限制，类似地，在等比数列中，b n＋1b n＝q(常数且q≠0)，忽视n∈N*的条件限制.[回扣问题4](2015·安徽卷改编)已知数列{a n}中，a1＝a2＝1，a n＋1＝a n＋12(n≥2)，则数列{a n}的前9项和等于________.5.解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c>0时，易忽视系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a>0，a<0进行讨论.[回扣问题5]若不等式x2＋x－1<m2x2－mx对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是________.6.容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f(x)＝x2＋2＋1x2＋2的最值，就不能利用基本不等式求解最值.[回扣问题6]已知a>0，b>0，a＋b＝1，则y＝1a＋4b的最小值是________.7.求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如y－2 x＋2是指已知区域内的点(x，y)与点(－2，2)连线的斜率，而(x－1)2＋(y－1)2是指已知区域内的点(x，y)到点(1，1)的距离的平方等.[回扣问题7](2016·江苏卷)已知实数x，y满足则x2＋y2的取值范围是________.8.对于通项公式中含有(－1)n的一类数列，在求S n时，切莫忘记讨论n的奇偶性；遇到已知a n＋1－a n－1＝d或a n＋1a n－1＝q(n≥2)，求{a n}的通项公式，要注意分n的奇偶性讨论.[回扣问题8](2015·山东卷改编)若a n＝2n－1，且b n＝(－1)n－14na n a n＋1，则数列{b n}的前n项和T n＝________.9.求解不等式、函数的定义域、值域时，其结果一定要用集合或区间表示，另外一元二次不等式的解集表示形式受到二次项系数符号的影响.溯源回扣五立体几何1.由三视图还原为空间几何体的实际形状时，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线.在还原空间几何体实际形状时一般是以正(主)视图和俯视图为主.[回扣问题1] 在如图所示的空间直角坐标系O －xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2).给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②2.易混淆几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底面面积之和，不能漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公式中的系数13. [回扣问题2] (2017·郑州质检)某几何体的三视图如图所示，其中侧视图为半圆，则该几何体的体积V ＝________.3.不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错.如由α⊥β，α∩β＝l ，m ⊥l ，易误得出m ⊥β的结论，这是因为忽视面面垂直的性质定理中m ⊂α的限制条件.[回扣问题3] 已知m ，n 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面.给出下列命题： ①若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊥m ，则n ⊥α或n ⊥β.②若α∥β，α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，则m ∥n .③若m 不垂直于α，则m 不可能垂直于α内的无数条直线.④若α∩β＝m ，n ∥m ，且n ⊄α，n ⊄β，则n ∥α，且n ∥β.⑤若m ，n 为异面直线，则存在平面α过m 且使n ⊥α.其中正确的命题序号是________.4.忽视三视图的实、虚线，导致几何体的形状结构理解错误.[回扣问题4] 如图，一个简单凸多面体的三视图的外轮廓是三个边长为1的正方形，则此多面体的体积为____________.5.空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求解二面角时，忽视法向量的方向，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错.[回扣问题5] 如图，四面体ABCD 中，AB ＝1，AD ＝23，BC ＝3，CD ＝2，∠ABC ＝∠DCB ＝π2，则二面角A －BC －D 的大小为________.6.注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系.对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数量关系.[回扣问题6] (2017·广州模拟)如图①，在平面四边形ABCD 中，已知∠A ＝45°，∠C ＝90°，∠ADC ＝105°，AB ＝BD ，现将四边形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD⊥平面BDC(如图②)，设点E，F分别为棱AC，AD的中点.(1)求证：DC⊥平面ABC；(2)设CD＝a，求三棱锥A－BFE的体积.溯源回扣六平面解析几何1.不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错.[回扣问题1]直线x cos θ＋3y－2＝0的倾斜角的范围是________.2.易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两坐标轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况.[回扣问题2]已知直线过点P(1，5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为________.3.求两条平行线之间的距离时，易忽视两直线x，y的系数相等的条件，而直接代入公式d＝|C1－C2|A2＋B2，导致错误.[回扣问题3]直线3x＋4y＋5＝0与6x＋8y－7＝0的距离为________.4.两圆的位置关系可根据圆心距与半径的关系判定，在两圆相切的关系中，误认为相切为两圆外切，忽视相内切的情形；求圆的切线方程时，易忽视斜率不存在的情形.[回扣问题4](1)若点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________.(2)双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦点为F1，顶点为A1，A2，P是双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF 1，A 1A 2为直径的两圆的位置关系为________.5.易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中a ，b ，c 三者之间的关系，导致计算错误.[回扣问题5] (2015·广东卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5，0)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 23＝1B.x 29－y 216＝1C.x 216－y 29＝1D.x 23－y 24＝16.利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件.如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a <|F 1F 2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支.[问题回扣6] 已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________.7.由圆锥曲线方程讨论几何性质时，易忽视讨论焦点所在的坐标轴导致漏解.[回扣问题7] 已知椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率等于32，则m ＝________.8. 直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式Δ≥0的限制.尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式Δ≥0”；在求交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题都应在“Δ>0”下进行.[回扣问题8] (2017·西安调研)已知椭圆W ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为－1，O 为坐标原点.(1)求椭圆W的方程；(2)设斜率为k的直线l与W相交于A，B两点，记△AOB面积的最大值为S k，证明：S1＝S2.溯源回扣七概率与统计1.混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错.[回扣问题1] 从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生检验表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示.若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为________.2.在独立性检验中，K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（a ＋c ）（b ＋d ）（c ＋d ）(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )所给出的检验随机变量K 2的观测值k ，并且k 的值越大，说明“X 与Y 有关系”成立的可能性越大，可以利用数据来确定“X 与Y 有关系”的可信程度.[回扣问题2] 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表：则至少有).附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）3.应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意确定各事件是否彼此互斥，并且注意对立事件是互斥事件的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.[回扣问题3] 抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B为出现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝16，求出现奇数点或2点的概率之和为________.4.二项式(a ＋b )n 与(b ＋a )n 的展开式相同，但通项公式不同，对应项也不相同，在遇到类似问题时，要注意区分.还要注意二项式系数与项的系数的区别与联系，同时明确二项式系数最大项与展开式系数最大项的不同.[回扣问题4] 设⎝⎛⎭⎪⎫x －2x 6的展开式中x 3的系数为A ，二项式系数为B ，则A ∶B ＝________.5.要注意概率P (A |B )与P (AB )的区别(1)在P (A |B )中，事件A ，B 发生有时间上的差异，B 先A 后；在P (AB )中，事件A ，B 同时发生.(2)样本空间不同，在P (A |B )中，事件B 成为样本空间；在P (AB )中，样本空间仍为Ω，因而有P (A |B )≥P (AB ).[回扣问题5] 设A ，B 为两个事件，若事件A 和B 同时发生的概率为310，在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为12，则事件A 发生的概率为________.6.正态密度曲线具有对称性，注意X ～N (μ，σ2)时，P (X ≥μ)＝0.5的灵活应用.[回扣问题6] 已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ<4)＝0.8，则P (0<ξ<2)等于( )A.0.6B.0.4C.0.3D.0.27.混淆直线方程y ＝ax ＋b 与回归直线y ^＝b ^x ＋a ^系数的含义，导致回归分析中致误.[回扣问题7] (2017·西安调研)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝0.76，a ＝y－b x ，据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A.11.4万元B.11.8万元C.12.0万元D.12.2万元8.几何概型的概率计算中，几何“测度”确定不准而导致计算错误.[回扣问题8] 在[－1，1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________.9.易忘判定随机变量是否服从二项分布，盲目使用二项分布的数学期望和方差公式计算致误.[回扣问题9]现有4人去旅游，旅游地点有A，B两个地方可以选择.但4人都不知道去哪里玩，于是决定通过掷一枚质地均匀的骰子去决定自己去哪里玩，掷出能被3整除的数时去A地，掷出其他的则去B地.(1)求这4个人中恰好有1个人去A地的概率；(2)用X，Y分别表示这4个人中去A，B两地的人数，记ξ＝X·Y.求随机变量ξ的分布列与数学期望E(ξ).溯源回扣八复数、程序框图、推理与证明1.复数z为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0(z＝a＋b i(a，b∈R)).还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧.[回扣问题1] 设i 是虚数单位，复数z ＝1＋a i 2＋i为纯虚数，则实数a ＝________. 2.复平面内，复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的点为Z (a ，b )，不是Z (a ，b i)；当且仅当O 为坐标原点时，向量OZ→与点Z 对应的复数相同. [回扣问题2] (2016·北京卷改编)设a ∈R ，若复数z ＝(1＋i)(a ＋i)在复平面内对应的点位于虚轴上，则a ＝________.3.类比推理易盲目机械类比，不要被表面的假象(某一点表面相似)迷惑，应从本质上类比.[回扣问题3] 图①有面积关系：S △P A ′B ′S △P AB ＝P A ′·PB ′P A ·PB，则图②有体积关系：________.4.反证法证明命题进行假设时，应将结论进行否定，特别注意“至少”“至多”的否定要全面.[回扣问题4] 用反证法证明命题：“已知a ，b ∈N ，若ab 可被5整除，则a ，b 中至少有一个能被5整除”时，反设正确的是( )A.a ，b 都不能被5整除B.a ，b 都能被5整除C.a ，b 中有一个不能被5整除D.a ，b 中有一个能被5整除5.控制循环结构的是计数变量和累加变量的变化规律以及循环结束的条件.在解答这类题目时，易混淆两变量的变化次序，且容易错误判定循环体结束的条件.[回扣问题5] (2017·全国Ⅲ卷)执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为( )A.5B.4C.3D.26.用数学归纳法证明时，易盲目认为n0的起始取值n0＝1，另外注意证明传递性时，必须用n＝k成立的归纳假设.[回扣问题6]设数列{a n}的前n项和为S n，且方程x2－a n x－a n＝0有一根为S n －1(n∈N*).(1)求a1，a2；(2)猜想数列{S n}的通项公式，并给出证明.。
2018年高考数学理二轮复习 讲学案：考前回扣2 函 数 含答案 精品
回扣2 函 数1．函数的定义域和值域(1)求函数定义域的类型和相应方法①若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围； ②若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域为不等式a ≤g (x )≤b 的解集；反之，已知f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为函数y ＝g (x )(x ∈[a ，b ])的值域． (2)常见函数的值域①一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域为R ；②二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)：当a ＞0时，值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞，当a <0时，值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a ；③反比例函数y ＝kx(k ≠0)的值域为{y ∈R |y ≠0}． 2．函数的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x (定义域关于原点对称)，都有f (－x )＝－f (x )成立，则f (x )为奇函数(都有f (－x )＝f (x )成立，则f (x )为偶函数)． (2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f (x )，如果对于定义域内的任意一个x 的值，若f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)，则f (x )是周期函数，T 是它的一个周期． 3．关于函数周期性、对称性的结论 (1)函数的周期性①若函数f (x )满足f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )为周期函数，2a 是它的一个周期； ②设f (x )是R 上的偶函数，且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )是周期函数，2a 是它的一个周期；③设f (x )是R 上的奇函数，且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )是周期函数，4a 是它的一个周期． (2)函数图象的对称性①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )， 即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称；②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )， 即f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图象关于点(a,0)对称；③若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )， 则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．4．函数的单调性函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质． ①单调性的定义的等价形式：设x 1，x 2∈[a ，b ]， 那么(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．②若函数f (x )和g (x )都是减函数，则在公共定义域内，f (x )＋g (x )是减函数；若函数f (x )和g (x )都是增函数，则在公共定义域内，f (x )＋g (x )是增函数；根据同增异减判断复合函数y ＝f (g (x ))的单调性． 5．函数图象的基本变换 (1)平移变换y ＝f (x )――→h ＞0，右移h <0，左移y ＝f (x －h )， y ＝f (x )――→k ＞0，上移k <0，下移y ＝f (x )＋k . (2)伸缩变换y ＝f (x )――→0<ω<1，伸ω＞1，缩y ＝f (ωx )， y ＝f (x )――→0<A <1，缩A ＞1，伸y ＝Af (x )． (3)对称变换y ＝f (x )――→x 轴y ＝－f (x )， y ＝f (x )――→y 轴y ＝f (－x )， y ＝f (x )――→原点y ＝－f (－x )．6．准确记忆指数函数与对数函数的基本性质 (1)定点：y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)恒过(0,1)点；y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)恒过(1,0)点．(2)单调性：当a ＞1时，y ＝a x在R 上单调递增；y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增； 当0<a <1时，y ＝a x在R 上单调递减；y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减． 7．函数与方程(1)零点定义：x 0为函数f (x )的零点⇔f (x 0)＝0⇔(x 0,0)为f (x )的图象与x 轴的交点． (2)确定函数零点的三种常用方法 ①解方程判定法：解方程f (x )＝0；②零点定理法：根据连续函数y ＝f (x )满足f (a )f (b )<0，判断函数在区间(a ，b )内存在零点． ③数形结合法：尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解．1．解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原则． 2．解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围．3．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．4．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．5．准确理解基本初等函数的定义和性质．如函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1)的单调性容易忽视字母a 的取值讨论，忽视a x ＞0；对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)容易忽视真数与底数的限制条件．6．易混淆函数的零点和函数图象与x 轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化．1．下列各图形中，是函数图象的是( )答案 D解析 函数y ＝f (x )的图象与平行于y 轴的直线最多只能有一个交点，故A ，B ，C 均不正确，故选D.2．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，f (x ＋2)，x ＜0，则f (－3)的值为( )A ．5B ．－1C ．－7D ．2答案 D解析 依题意，f (－3)＝f (－3＋2)＝f (－1)＝f (－1＋2)＝f (1)＝1＋1＝2，故选D.3．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ＞0时，f (x )＝3，则奇函数f (x )的值域是( ) A ．(－∞，－3]B ．[3，＋∞)C ．[－3,3]D ．{－3,0,3} 答案 D解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，f (0)＝0，设x ＜0，则－x ＞0，f (－x )＝－f (x )＝3， ∴f (x )＝－3， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ＞0，0，x ＝0，－3，x ＜0，∴奇函数f (x )的值域是{－3,0,3}．4．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x＋2(a ＞0，a ≠1)，若g (2)＝a ，则f (2)等于( ) A ．2 B.154C.174 D ．a 2答案 B解析 因为f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a ＞0，a ≠1)，若g (2)＝a ，则f (2)＋g (2)＝a 2－a －2＋2，因为f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，当x ＝－2时，f (－2)＋g (－2)＝－f (2)＋g (2)＝a －2－a 2＋2，解得g (2)＝2，又g (2)＝a ⇒a ＝2，所以f (2)＝22－2－2＝154，故选B. 5．函数f (x )＝e x＋4x －3的零点所在的区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 答案 C解析 由题意可知，f (0)＝－2＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e －1＞0， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝4e －2＜0根据函数零点的判定定理知，零点所在的区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12，故选C.6．已知函数f (x )为奇函数，且在[0,2]上单调递增，若f (log 2m )＜f (log 4(m ＋2))成立，则实数m 的取值范围是( ) A.14≤m ＜2 B.14≤m ≤2 C ．2＜m ≤4 D ．2≤m ≤4答案 A解析 因为函数f (x )是奇函数，且在[0,2]上单调递增，所以函数f (x )在[－2,2]上单调递增．故由f (log 2m )＜f (log 4(m ＋2))，可得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤log 2m ≤2，－2≤log 4(m ＋2)≤2，log 2m ＜log 4(m ＋2)，m ＞0，m ＋2＞0，故有⎩⎪⎨⎪⎧14≤m ≤4，116≤m ＋2≤16，m 2<m ＋2，m >0，m ＋2>0，解得14≤m <2.综上可知，m 的取值范围是14≤m ＜2.7．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)等于( )A ．1 B.45C ．－1D ．－45答案 C解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)⇒f (x )＝f (x ＋4)， 因为4＜log 220＜5，所以0＜log 220－4＜1， －1＜4－log 220＜0.又因为f (－x )＝－f (x )，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫log 245＝－1.8．(2016·山东)已知函数f (x )的定义域为R ，当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)等于( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2 答案 D解析 当x ＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即f (x )＝f (x ＋1)，∴T ＝1，∴f (6)＝f (1)．当x <0时，f (x )＝x 3－1且当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )，∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)＝2，故选D.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x ＞2，函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 A解析 当x ＞2时，g (x )＝x －1，f (x )＝(x －2)2； 当0≤x ≤2时，g (x )＝3－x ，f (x )＝2－x ； 当x <0时，g (x )＝3－x 2，f (x )＝2＋x .由于函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数就是方程f (x )－g (x )＝0的根的个数．当x ＞2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2－5x ＋5＝0，其根为x ＝5＋52或x ＝5－52(舍去)；当0≤x ≤2时，方程f (x )－g (x )＝0可化为2－x ＝3－x ，无解；当x <0时，方程f (x )－g (x )＝0可化为x 2＋x －1＝0，其根为x ＝－1－52或x ＝－1＋52(舍去)．所以函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为2.10．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x )－2，当x ∈(0，2]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ∈(0，1)，1x，x ∈[1，2]，若当x ∈(0,4]时，t 2－7t 2≤f (x )≤3－t 恒成立，则实数t 的取值范围是( ) A ．[1,2]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52 D ．[2，＋∞) 答案 A解析 当x ∈(0,1)时，f (x )＝x 2－x ，函数无最大值，最小值为－14；当x ∈[1,2]时，f (x )＝1x ，函数最大值为1，最小值为12；当x ∈(2,3)时，f (x )＝2f (x －2)－2＝2x 2－10x ＋10，函数值满足－52≤f (x )＜－2；当x ∈[3,4]时，f (x )＝2f (x －2)－2＝2x －2－2，函数值满足－1≤f (x )≤0.综上，当x ∈(0,4]时，函数f (x )的最小值为－52，最大值为1.由t 2－7t 2≤f (x )≤3－t 恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧t 2－7t 2≤－52，3－t ≥1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1≤t ≤52，t ≤2，∴1≤t ≤2，故选A.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，－log 2(x ＋1)＋2，x ＞0且f (a )＝－1，则f (6－a )＝________.答案 1解析 ∵f (a )＝－1，∴a ＞0， ∴－log 2(a ＋1)＋2＝－1， ∴a ＝7，f (6－a )＝f (－1)＝20＝1.12．设奇函数y ＝f (x )(x ∈R )满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32的值为__________．答案 －14解析 由于y ＝f (x )为奇函数，根据对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，可得f (－t )＝f (1＋t )，所以f (t )＝f (2＋t )，所以函数y ＝f (x )的一个周期为2， 故f (3)＝f (1)＝f (0＋1)＝－f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－14，所以f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－14.13．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤0，ln x ，x ＞0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．答案 (0,1]解析 当x ＞0时，由f (x )＝ln x ＝0，得x ＝1. 因为函数f (x )有两个不同的零点， 则当x ≤0时，函数f (x )＝2x－a 有一个零点， 令f (x )＝0，得a ＝2x，因为0＜2x ≤20＝1，所以0＜a ≤1， 所以实数a 的取值范围是0＜a ≤1.14．已知函数f (x )＝||x ＋2|x |，且满足f (a －1)＜f (2)，则实数a 的取值范围是________．答案 (－1,3)解析 因为f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x ＋2x是单调增函数，故由偶函数的性质及f (a －1)＜f (2)可得|a －1|＜2，即－2＜a －1＜2，即－1＜a ＜3.15．偶函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －x 2，若直线kx －y ＋k ＝0(k ＞0)与函数f (x )的图象有且仅有三个交点，则k 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫1515，33 解析 由f (1－x )＝f (1＋x )可知，函数关于x ＝1对称，因为f (x )是偶函数，所以f (1－x )＝f (1＋x )＝f (x －1)，即f (x ＋2)＝f (x )，所以函数的周期是2，由y ＝f (x )＝2x －x 2，得(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0，x ∈[0,1])，作出函数y ＝f (x )和直线y ＝k (x ＋1)的图象，要使直线kx －y ＋k ＝0(k ＞0)与函数f (x )的图象有且仅有三个交点，则由图象可知，1515＜k ＜33. 16．某驾驶员喝了m 升酒后，血液中的酒精含量f (x )(毫克/毫升)随时间x (小时)变化的规律近似满足表达式f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5x －2，0≤x ≤1，35·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ＞1，《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不超过0.02毫克/毫升．此驾驶员至少要过________小时后才能开车．(不足1小时部分算1小时，结果精确到1小时) 答案 4解析 因为0≤x ≤1，所以－2≤x －2≤－1， 所以5－2≤5x －2≤5－1，而5－2＞0.02，又由x ＞1，得35·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≤150，得⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≤130，所以x ≥4， 故至少要过4小时后才能开车．。
2019-2020学年度高三理科数学二轮复习：回扣教材纠错例析2.函数与导数-含解析
——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度高三理科数学二轮复习：回扣教材纠错例析2．函数与导数-含解析______年______月______日____________________部门20xx 最新高三理科数学二轮复习：回扣教材纠错例析2．函数与导数-含解析2．函数与导数 [要点回扣]1．函数的定义域求函数的定义域，关键是依据含自变量x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根、被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏．对抽象函数，只要对应关系相同，括号里整体的取值范围就完全相同．[对点专练1]函数的定义域是________．[答案] ⎝⎛⎦⎥⎤0，14 2．换元法注意问题用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题．[对点专练2] 已知f(cosx)＝sin2x ，则f(x)＝________.[答案] 1－x2(x∈[－1,1])3．分段函数分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数．[对点专练3] 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ex ，x<0，lnx ，x>0，则f ＝________. [答案]1e4．函数的奇偶性判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．[对点专练4] f(x)＝是________函数(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)．[答案] 奇5．函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．(2)若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．(3)若奇函数f(x)的定义域中含有0，则必有f(0)＝0.故“f(0)＝0”是“f(x)为奇函数”的既不充分也不必要条件．[对点专练5] 若函数f(x)＝xln(x ＋)为偶函数，则a ＝________.[答案] 16．函数的单调区间求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接，或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．[对点专练6] 函数f(x)＝的减区间为____________________ ____________________________________________________．[答案] (－∞，0)，(0，＋∞)7．函数图象的几种常见变换(1)平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x而言)；上下平移——“上加下减”．(2)翻折变换：f(x)→|f(x)|；f(x)→f(|x|)．(3)对称变换：①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；②函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点成中心对称；③函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于直线x＝0(y轴)对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于直线y＝0(x轴)对称．[对点专练7] 函数y＝|log2|x－1||的递增区间是________．[答案] [0,1)，[2，＋∞)8．函数的周期性(1)f(x)＝f(x＋a)(a>0)，则f(x)的周期T＝a；(2)f(x＋a)＝(f(x)≠0)或f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)的周期T＝2a. [对点专练8] 对于函数f(x)定义域内任意的x，都有f(x＋2)＝－，若当2<x<3时，f(x)＝x，则f(20xx.5)＝________.[答案] －259．一元二次方程实根分布先观察二次项系数，Δ与0的关系，对称轴与区间关系及有穷区间端点函数值符号，再根据上述特征画出草图．尤其注意若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形．[对点专练9] 若关于x 的方程ax2－x ＋1＝0至少有一个正根，则a 的范围为________．[答案] ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1410．函数的图象可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数y ＝ax 的图象恒过定点(0,1)，对数函数y ＝logax 的图象恒过定点(1,0)．[对点专练10]函数y ＝loga|x|的增区间为__________________．[答案] 当a>1时，(0，＋∞)；当0<a<1时，(－∞，0)11．函数的零点如果函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上的图象是一条连续曲线，且有f(a)f(b)<0，那么函数y ＝f(x)在区间[a ，b]内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，此时这个c 就是方程f(x)＝0的根．反之不成立．[对点专练11]已知定义在R上的函数f(x)＝(x2－3x＋2)·g(x)＋3x－4，其中函数y＝g(x)的图象是一条连续曲线，则方程f(x)＝0在下面哪个范围内必有实数根( )A．(0,1)B．(1,2)D．(3,4)C．(2,3)[答案] B12．求导数的方法(1)基本导数公式：c′＝0(c为常数)；(xm)′＝mxm－1(m∈Q)；(sinx)′＝cosx；(cosx)′＝－sinx；(ex)′＝ex；(ax)′＝axlna；(lnx)′＝；(logax)′＝(a>0且a≠1)．(2)导数的四则运算：(u±v)′＝u′±v′；(uv)′＝u′v＋uv′；′＝(v≠0)．(3)复合函数的导数：yx′＝yu′·ux′.如求f(ax＋b)的导数，令u＝ax＋b，则(f(ax＋b))′＝f′(u)·a.[对点专练12] f(x)＝，则f′(x)＝________.[答案] 错误!13．利用导数判断函数的单调性设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)>0，那么f(x)在该区间内为增函数；如果f′(x)<0，那么f(x)在该区间内为减函数；如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么f(x)在该区间内为常函数．注意：如果已知f(x)为减函数求字母取值范围，那么不等式f′(x)≤0恒成立，但要验证f′(x)是否恒等于0.增函数亦如此．[对点专练13] 函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上是增函数，则a的取值范围是________．[答案] a≥1 314．函数的极值导数为零的点并不一定是极值点，例如：函数f(x)＝x3，有f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．[对点专练14] 函数f(x)＝x4－x3的极值点是________．[答案] x＝115．定积分运用微积分基本定理求定积分f(x)dx值的关键是用求导公式逆向求出f(x)的原函数．[对点专练15] 计算定积分(x2＋sinx)dx＝________.[答案] 2 3[易错盘点]易错点1 函数概念不清致误【例1】已知函数f(x2－3)＝lg，则f(x)的定义域为________．[错解] 由>0，得x>2或x<－2.∴函数f(x)的定义域为{x|x>2或x<－2}．[错因分析] 没有得分的原因是将f(x2－3)的定义域与f(x)的定义域等同起来了．事实上，f(x2－3)＝lg与f(x)是两个不同的函数，它们有不同的法则和定义域，造成错误的原因在于未弄清函数的概念．[正解] 由f(x2－3)＝lg ，设x2－3＝t ，则x2＝t ＋3，因此f(t)＝lg.∵>0，即x2>4，∴t ＋3>4，即t>1.∴f(x)的定义域为{x|x>1}．求函数定义域，首先应弄清函数的特征或解析式．[对点专练1](1)设函数f(x)＝若f[f(a)]＝－，则实数a ＝( )A ．4B ．－2C ．4或－D ．4或－2(2)已知g(x)＝1－2x ，f[g(x)]＝(x≠0)，则f(2)的值为________．[解析] (1)当a ＝4时， f[f(a)]＝f(1)＝－，符合题意，排除B ；当a ＝－2时， f[f(a)]＝f ＝－2，不符合题意，排除D ；当a ＝－时，f[f(a)]＝f(－2)＝－，符合题意，排除A ，故选C.(2)由g(x)＝1－2x ＝2，得x ＝－.故f(2)＝＝3.[答案] (1)C (2)3易错点2 忽视函数的定义域致误【例2】 函数y ＝log(x2－5x ＋6)的单调递增区间为________．[错解] 令U ＝x2－5x ＋6，则U ＝x2－5x ＋6在上是减函数，∴y＝log(x2－5x ＋6)的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，52[错因分析] 忽视了函数定义域，应加上条件x2－5x＋6>0.[正解] 由x2－5x＋6>0知{x|x>3或x<2}．令u＝x2－5x＋6，则u＝x2－5x＋6在(－∞，2)上是减函数，∴y＝log(x2－5x＋6)的单调递增区间为(－∞，2)．在研究函数问题时，不论什么情况，首先要考虑函数的定义域，这是研究函数的最基本原则．[对点专练2] (1)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围是( )B．[1,2]A．[1,2)D．[2，＋∞)C．[1，＋∞)(2)已知函数f(x)＝，则f(ln3)＝________. [解析] (1)令g(x)＝x2－2ax＋1＋a，由题意可知，，即，解得1≤a<2，故选A.(2)f(ln3)＝f(ln3＋1)＝eln3＋1＝e，故填e.[答案] (1)A (2)e易错点3 忽视二次项系数为0致误【例3】函数f(x)＝(k－1)x2＋2(k＋1)x－1的图象与x轴只有一个交点，则实数k的取值集合是________．[错解] 由题意知Δ＝4(k＋1)2＋4(k－1)＝0.即k2＋3k＝0，解得k＝0或k＝－3.∴k的取值集合是{－3,0}．[错因分析] 未考虑k －1＝0的情况而直接令Δ＝0求解导致失解．[正解] 当k ＝1时，f(x)＝4x －1，其图象与x 轴只有一个交点.当k≠1时，由题意得Δ＝4(k ＋1)2＋4(k －1)＝0，即k2＋3k ＝0，解得k ＝0或k ＝－3.∴k 的取值集合是{－3,0,1}．对多项式函数或方程、不等式，如果含有参数，一定首先考虑最高次项系数为0的情况．[对点专练3](1)函数f(x)＝mx2－2x ＋1有且仅有一个正实数的零点，则实数m 的取值范围是________．(2)不等式2kx2＋kx －<0，对一切实数x 恒成立，则k 的取值范围是________．[解析] (1)当m ＝0时，x ＝为函数的零点．当m≠0时，若Δ＝0，即m ＝1时，x ＝1是函数唯一的零点；若Δ≠0，显然函数x ＝0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程mx2－2x ＋1＝0有一个正根和一个负根，即<0，即m<0.综上，m∈(－∞，0]∪{1}．(2)当k ＝0时，适合题意；由即⎩⎪⎨⎪⎧k<0，k2＋3k<0，得－3<k<0.故k 的取值范围是(－3,0]． [答案] (1)(－∞，0]∪{1} (2)(－3,0]易错点4 混淆“切点”致误【例4】过曲线y＝x3－2x上的点(1，－1)的切线方程为____________________．[错解] ∵y′＝3x2－2，∴k＝y′|x＝1＝3×12－2＝1.∴切线方程为：y＋1＝x－1即x－y－2＝0. [错因分析] 过曲线上的点(1，－1)的切线与曲线的切点可能是(1，－1)，也可能不是(1，－1)．本题错误的根本原因就是把(1，－1)当成了切点．[正解] 设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为y′|x＝x0＝3x－2.∴切线方程为y－y0＝(3x－2)(x－x0)，即y－(x－2x0)＝(3x－2)(x－x0)．又知切线过点(1，－1)，把它代入上述方程，得－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)，整理，得(x0－1)2(2x0＋1)＝0，解得x0＝1，或x0＝－.故所求切线方程为y－(1－2)＝(3－2)(x－1)，或y－＝，即x－y－2＝0，或5x＋4y－1＝0.解决这类题目时，一定要注意区分“过点A的切线方程”与“在点A处的切线方程”的不同．虽只有一字之差，意义完全不同，“在”说明这点就是切点，“过”只说明切线过这个点，这个点不一定是切点．[对点专练4](1)曲线y＝x＋2cosx在点(0,2)处的切线方程是( )A ．y ＝x ＋2B ．y ＝－x ＋2C ．y ＝2x ＋2D ．y ＝－2x ＋2(2)过曲线y ＝ln(x ＋1)上的点(0,0)的切线方程为________．[解析] (1)由题意得y′＝1－2sinx ，把x ＝0代入得y′＝1，即切线方程的斜率k ＝1，所以所求的切线方程为y －2＝x －0，即y ＝x ＋2，故选A.(2)点(0,0)为切点，由y′＝，得y′|x＝0＝1，故所求切线方程为y ＝x ，即x －y ＝0.[答案] (1)A (2)x －y ＝0 易错点5 极值概念不清致误【例5】 已知f(x)＝x3＋ax2＋bx ＋a2在x ＝1处有极值为10，则a ＋b ＝________.[错解] f′(x)＝3x2＋2ax ＋b ，由x ＝1时，函数取得极值10，得即解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11，或故a ＋b ＝－7或a ＋b ＝0，故填－7或0.[错因分析] 忽视了条件的等价性，“f′(1)＝0”是“x＝1为f(x)的极值点”的必要不充分条件．[正解] f′(x)＝3x2＋2ax ＋b ，由x ＝1时，函数取得极值10，得联立①②得或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.当a＝4，b＝－11时，f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)在x＝1两侧的符号相反，符合题意．当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3(x－1)2在x＝1两侧的符号相同，所以a＝－3，b＝3不符合题意，舍去．综上可知a＝4，b＝－11，∴a＋b＝－7.对于可导函数f(x)：x0是极值点的充要条件是f′(x0)＝0且在x0点两侧导数异号，即f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0的左右的符号：“左正右负”⇔f(x)在x0处取极大值；“左负右正”⇔f(x)在x0处取极小值，而不仅是f′(x0)＝0.f′(x0)＝0是x0为极值点的必要而不充分条件．对于给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑f′(x0)＝0，又考虑检验“左正右负”或“左负右正”，防止产生增根．[对点专练5] (1)设函数f(x)的导函数为f′(x)，那么下列说法正确的是( )A．若f ′(x0)＝0，则x0是函数f(x)的极值点B．若x0是函数f(x)的极值点，且f(x)在x0处可导则f ′(x0)＝0 C．若x0是函数f(x)的极值点，则f ′(x0)可能不存在D．若f ′(x0)＝0无实根，则函数f(x)必无极值点(2)f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则常数c的值为________．[解析] (1)A项中若f(x)＝x3，f ′(0)＝0，但x＝0不是极值点，故A错误；x0是极值点，f ′(x)存在，则f ′(x0)＝0，故B正确、C错误；若f(x)＝，则 f ′(x)＝0无实根，但f(x)有极小值点，故D错误．综上，故选B.(2)f(x)＝x3－2cx2＋c2x，f′(x)＝3x2－4cx＋c2，f′(2)＝0⇒c＝2或c＝6.若c＝2，f′(x)＝3x2－8x＋4，令f′(x)>0⇒x<或x>2，f′(x)<0⇒<x<2，故函数在及(2，＋∞)上单调递增，在上单调递减，∴x＝2是极小值点，故c＝2不合题意，同样验证可知c＝6符合题意．[答案] (1)B (2)6易错点6 导数与函数单调性关系不清致误【例6】函数f(x)＝x3－ax2－3x在[2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．[错解] f′(x)＝3x2－2ax－3，由题意可知，f′(x)>0，即a<(x≥2)恒成立，又≥，故a<，所以a的取值范围是. [错因分析] 求函数的单调递增区间就是解导数大于零的不等式，受此影响，容易认为函数f(x)的导数在区间[2，＋∞)上大于零，忽视了函数的导数在[2，＋∞)上个别的点处可以等于零，这样的点不影响函数的单调性．[正解] 由题意，知f′(x)＝3x2－2ax－3，令f′(x)≥0(x≥2)恒成立，得a≤(x≥2)恒成立．记t(x)＝，当x≥2时，t(x)是增函数，所以t(x)min＝×＝，所以a∈.经检验，当a＝时，函数f(x)在[2，＋∞)上是增函数．由单调性求参数范围时，要用f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，否则易漏解．[对点专练6] (1)若函数f(x)＝alnx－x在区间(0,2)上单调递增，则有( )B．a≤2A．a＝2D．a≥2C．0<a≤2 (2)设函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈R都有f(x)>f′(x)成立，则( )A．3f(ln2)>2f(ln3)B．3f(ln2)＝2f(ln3)C．3f(ln2)<2f(ln3)D．3f(ln2)与2f(ln3)的大小不确定[解析](1)由于f′(x)＝－1，故据题意可得x∈(0,2)时f′(x)＝－1≥0恒成立，即a≥x恒成立，故只需a≥2，选D.(2)令g(x)＝，则g′(x)＝<0，所以函数g(x)在R上单调递减，又ln2<ln3，所以g(ln2)>g(ln3)，即>，即3f(ln2)>2f(ln3)，故选A.[答案] (1)D (2)A易错点7 定积分与面积转化不清致误【例7】曲线y＝sinx与x轴在区间[0,2π]上所围部分的面积为________．[错解] 分两部分，在[0，π]上有sinxdx＝2，在[π，2π]上有sinxdx＝－2，因此所求面积S＝2＋(－2)＝0.[错因分析] 面积应为各部分的绝对值的代数和，也就是第二部分的积分不是阴影部分的面积，而是面积的相反数．所以，不应该将两部分直接相加．[正解] S＝sinxdx＋＝2＋2＝4.在x轴上方曲边梯形的面积等于函数的积分，在x轴下方曲边梯形的面积等于函数积分的相反数．[对点专练7] (1)函数f(x)＝的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为________．(2)直线y＝x与抛物线y＝x－x2所围图形的面积等于________．[解析][答案] (1)4 (2)4 81。
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一、回扣教材，纠错例析2．函数与导数 [要点回扣]1．函数的定义域求函数的定义域，关键是依据含自变量x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根、被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏．对抽象函数，只要对应关系相同，括号里整体的取值范围就完全相同．[对点专练1] 函数的定义域是________．[答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，142．换元法注意问题用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题．[对点专练2] 已知f (cos x )＝sin 2x ，则f (x )＝________. [答案] 1－x 2(x ∈[－1,1]) 3．分段函数分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数．[对点专练3] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x <0，ln x ，x >0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝________.[答案] 1e4．函数的奇偶性判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．[对点专练4] f (x )＝lg (1－x 2)|x －2|－2是________函数(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)．[答案] 奇5．函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．(2)若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．(3)若奇函数f (x )的定义域中含有0，则必有f (0)＝0.故“f (0)＝0”是“f (x )为奇函数”的既不充分也不必要条件．[对点专练5] 若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________.[答案] 16．函数的单调区间求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接，或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．[对点专练6]函数f(x)＝1x的减区间为____________________ ____________________________________________________．[答案](－∞，0)，(0，＋∞)7．函数图象的几种常见变换(1)平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x而言)；上下平移——“上加下减”．(2)翻折变换：f(x)→|f(x)|；f(x)→f(|x|)．(3)对称变换：①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；②函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点成中心对称；③函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于直线x＝0(y轴)对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于直线y＝0(x轴)对称．[对点专练7]函数y＝|log2|x－1||的递增区间是________．[答案][0,1)，[2，＋∞)8．函数的周期性(1)f(x)＝f(x＋a)(a>0)，则f(x)的周期T＝a；(2)f(x＋a)＝1f(x)(f(x)≠0)或f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)的周期T＝2a.[对点专练8]对于函数f(x)定义域内任意的x，都有f(x＋2)＝－1f(x)，若当2<x<3时，f(x)＝x，则f (2012.5)＝________. [答案] －259．一元二次方程实根分布先观察二次项系数，Δ与0的关系，对称轴与区间关系及有穷区间端点函数值符号，再根据上述特征画出草图．尤其注意若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形．[对点专练9] 若关于x 的方程ax 2－x ＋1＝0至少有一个正根，则a 的范围为________．[答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14 10．函数的图象可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数y ＝a x 的图象恒过定点(0,1)，对数函数y ＝log a x 的图象恒过定点(1,0)．[对点专练10]函数y ＝log a |x |的增区间为__________________．[答案] 当a >1时，(0，＋∞)；当0<a <1时，(－∞，0) 11．函数的零点如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条连续曲线，且有f (a )f (b )<0，那么函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，此时这个c 就是方程f (x )＝0的根．反之不成立．[对点专练11] 已知定义在R 上的函数f (x )＝(x 2－3x ＋2)·g (x )＋3x －4，其中函数y ＝g (x )的图象是一条连续曲线，则方程f (x )＝0在下面哪个范围内必有实数根( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)[答案] B 12．求导数的方法(1)基本导数公式：c ′＝0(c 为常数)；(x m )′＝mx m －1(m ∈Q)；(sin x )′＝cos x ；(cos x )′＝－sin x ；(e x )′＝e x ；(a x )′＝a x ln a ；(ln x )′＝1x ；(log a x )′＝1x ln a(a >0且a ≠1)．(2)导数的四则运算：(u ±v )′＝u ′±v ′；(u v )′＝u ′v ＋u v ′；⎝ ⎛⎭⎪⎫u v ′＝u ′v －u v ′v 2(v ≠0)．(3)复合函数的导数：y x ′＝y u ′·u x ′. 如求f (ax ＋b )的导数，令u ＝ax ＋b ，则 (f (ax ＋b ))′＝f ′(u )·a .[对点专练12] f (x )＝e xx ，则f ′(x )＝________. [答案] e x (x －1)x 213．利用导数判断函数的单调性设函数y ＝f (x )在某个区间内可导，如果f ′(x )>0，那么f (x )在该区间内为增函数；如果f ′(x )<0，那么f (x )在该区间内为减函数；如果在某个区间内恒有f ′(x )＝0，那么f (x )在该区间内为常函数．注意：如果已知f (x )为减函数求字母取值范围，那么不等式f ′(x )≤0恒成立，但要验证f ′(x )是否恒等于0.增函数亦如此．[对点专练13] 函数f (x )＝ax 3－x 2＋x －5在R 上是增函数，则a的取值范围是________．[答案]a≥1314．函数的极值导数为零的点并不一定是极值点，例如：函数f(x)＝x3，有f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．[对点专练14]函数f(x)＝14x4－13x3的极值点是________．[答案]x＝115．定积分运用微积分基本定理求定积分∫b a f(x)d x值的关键是用求导公式逆向求出f(x)的原函数．[对点专练15]计算定积分∫1－1(x2＋sin x)d x＝________.[答案]23[易错盘点]易错点1函数概念不清致误【例1】已知函数f(x2－3)＝lgx2x2－4，则f(x)的定义域为________．[错解]由x2x2－4>0，得x>2或x<－2.∴函数f(x)的定义域为{x|x>2或x<－2}．[错因分析]没有得分的原因是将f(x2－3)的定义域与f(x)的定义域等同起来了．事实上，f(x2－3)＝lg x2x2－4与f(x)是两个不同的函数，它们有不同的法则和定义域，造成错误的原因在于未弄清函数的概念．[正解] 由f (x 2－3)＝lg x 2x 2－4，设x 2－3＝t ，则x 2＝t ＋3，因此f (t )＝lg t ＋3t －1.∵x 2x 2－4>0，即x 2>4，∴t ＋3>4，即t >1. ∴f (x )的定义域为{x |x >1}．求函数定义域，首先应弄清函数的特征或解析式． [对点专练1](1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －1，x ≥0，1x ，x <0，若f [f (a )]＝－12，则实数a＝( )A ．4B ．－2C ．4或－12D ．4或－2(2)已知g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x 2x 2(x ≠0)，则f (2)的值为________．[解析] (1)当a ＝4时， f [f (a )]＝f (1)＝－12，符合题意，排除B ；当a ＝－2时， f [f (a )]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2，不符合题意，排除D ；当a ＝－12时，f [f (a )]＝f (－2)＝－12，符合题意，排除A ，故选C. (2)由g (x )＝1－2x ＝2，得x ＝－12.故f (2)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝3.[答案] (1)C (2)3易错点2 忽视函数的定义域致误【例2】 函数y ＝log 12(x 2－5x ＋6)的单调递增区间为________．[错解] 令U ＝x 2－5x ＋6，则U ＝x 2－5x ＋6在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，52上是减函数，∴y ＝log 12(x 2－5x ＋6)的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，52 [错因分析] 忽视了函数定义域，应加上条件x 2－5x ＋6>0. [正解] 由x 2－5x ＋6>0知{x |x >3或x <2}． 令u ＝x 2－5x ＋6，则u ＝x 2－5x ＋6在(－∞，2)上是减函数， ∴y ＝log 12(x 2－5x ＋6)的单调递增区间为(－∞，2)．在研究函数问题时，不论什么情况，首先要考虑函数的定义域，这是研究函数的最基本原则．[对点专练2](1)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围是( )A ．[1,2)B ．[1,2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧13e x ，x ≥2f (x ＋1)，x <2，则f (ln3)＝________.[解析] (1)令g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ，由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1g (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1－a ＋2>0，解得1≤a <2，故选A. (2)f (ln3)＝f (ln3＋1)＝13e ln3＋1＝e ，故填e.[答案] (1)A (2)e易错点3 忽视二次项系数为0致误【例3】 函数f (x )＝(k －1)x 2＋2(k ＋1)x －1的图象与x 轴只有一个交点，则实数k 的取值集合是________．[错解] 由题意知Δ＝4(k ＋1)2＋4(k －1)＝0. 即k 2＋3k ＝0，解得k ＝0或k ＝－3. ∴k 的取值集合是{－3,0}．[错因分析] 未考虑k －1＝0的情况而直接令Δ＝0求解导致失解．[正解] 当k ＝1时，f (x )＝4x －1，其图象与x 轴只有一个交点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0. 当k ≠1时，由题意得Δ＝4(k ＋1)2＋4(k －1)＝0， 即k 2＋3k ＝0，解得k ＝0或k ＝－3. ∴k 的取值集合是{－3,0,1}．对多项式函数或方程、不等式，如果含有参数，一定首先考虑最高次项系数为0的情况．[对点专练3](1)函数f (x )＝mx 2－2x ＋1有且仅有一个正实数的零点，则实数m 的取值范围是________．(2)不等式2kx 2＋kx －38<0，对一切实数x 恒成立，则k 的取值范围是________．[解析] (1)当m ＝0时，x ＝12为函数的零点．当m ≠0时，若Δ＝0，即m ＝1时，x ＝1是函数唯一的零点；若Δ≠0，显然函数x ＝0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程mx 2－2x ＋1＝0有一个正根和一个负根，即1m <0，即m <0.综上，m ∈(－∞，0]∪{1}．(2)当k ＝0时，适合题意；由⎩⎨⎧ k <0，Δ<0，即⎩⎨⎧ k <0，k 2＋3k <0，得－3<k <0.故k 的取值范围是(－3,0]．[答案] (1)(－∞，0]∪{1} (2)(－3,0]易错点4 混淆“切点”致误【例4】 过曲线y ＝x 3－2x 上的点(1，－1)的切线方程为____________________．[错解] ∵y ′＝3x 2－2，∴k ＝y ′|x ＝1＝3×12－2＝1.∴切线方程为：y ＋1＝x －1即x －y －2＝0.[错因分析] 过曲线上的点(1，－1)的切线与曲线的切点可能是(1，－1)，也可能不是(1，－1)．本题错误的根本原因就是把(1，－1)当成了切点．[正解] 设P (x 0，y 0)为切点，则切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝3x 20－2.∴切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)，即y －(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(x －x 0)．又知切线过点(1，－1)，把它代入上述方程，得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)，整理，得(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，解得x 0＝1，或x 0＝－12. 故所求切线方程为y －(1－2)＝(3－2)(x －1)，或y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－18＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12， 即x －y －2＝0，或5x ＋4y －1＝0.解决这类题目时，一定要注意区分“过点A 的切线方程”与“在点A 处的切线方程”的不同．虽只有一字之差，意义完全不同，“在”说明这点就是切点，“过”只说明切线过这个点，这个点不一定是切点．[对点专练4](1)曲线y ＝x ＋2cos x 在点(0,2)处的切线方程是( )A ．y ＝x ＋2B ．y ＝－x ＋2C ．y ＝2x ＋2D ．y ＝－2x ＋2(2)过曲线y ＝ln(x ＋1)上的点(0,0)的切线方程为________．[解析] (1)由题意得y ′＝1－2sin x ，把x ＝0代入得y ′＝1，即切线方程的斜率k ＝1，所以所求的切线方程为y －2＝x －0，即y ＝x ＋2，故选A.(2)点(0,0)为切点，由y ′＝1x ＋1，得y ′|x ＝0＝1，故所求切线方程为y ＝x ，即x －y ＝0.[答案] (1)A (2)x －y ＝0易错点5 极值概念不清致误【例5】 已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值为10，则a ＋b ＝________.[错解] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由x ＝1时，函数取得极值10，得⎩⎨⎧ f ′(1)＝0f (1)＝10，即⎩⎨⎧ 3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b ＋a 2＝10.解得⎩⎨⎧ a ＝4，b ＝－11，或⎩⎨⎧ a ＝－3，b ＝3.故a ＋b ＝－7或a ＋b ＝0，故填－7或0.[错因分析] 忽视了条件的等价性，“f ′(1)＝0”是“x ＝1为f (x )的极值点”的必要不充分条件．[正解] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由x ＝1时，函数取得极值10，得⎩⎨⎧ f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0， ①f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10， ②联立①②得⎩⎨⎧ a ＝4，b ＝－11，或⎩⎨⎧ a ＝－3，b ＝3.当a ＝4，b ＝－11时，f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1)在x ＝1两侧的符号相反，符合题意．当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)2在x ＝1两侧的符号相同，所以a ＝－3，b ＝3不符合题意，舍去．综上可知a ＝4，b ＝－11，∴a ＋b ＝－7.对于可导函数f (x )：x 0是极值点的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x 0点两侧导数异号，即f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根x 0的左右的符号：“左正右负”⇔f (x )在x 0处取极大值；“左负右正”⇔f (x )在x 0处取极小值，而不仅是f ′(x 0)＝0.f ′(x 0)＝0是x 0为极值点的必要而不充分条件．对于给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑f ′(x 0)＝0，又考虑检验“左正右负”或“左负右正”，防止产生增根．[对点专练5](1)设函数f (x )的导函数为f ′(x )，那么下列说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)＝0，则x 0是函数f (x )的极值点B ．若x 0是函数f (x )的极值点，且f (x )在x 0处可导则f ′(x 0)＝0C ．若x 0是函数f (x )的极值点，则f ′(x 0)可能不存在D ．若f ′(x 0)＝0无实根，则函数f (x )必无极值点(2)f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为________．[解析] (1)A 项中若f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点，故A 错误；x 0是极值点，f ′(x )存在，则f ′(x 0)＝0，故B 正确、C错误；若f (x )＝⎩⎨⎧ x ，x ≥0－x ，x <0，则f ′(x )＝0无实根，但f (x )有极小值点，故D 错误．综上，故选B.(2)f (x )＝x 3－2cx 2＋c 2x ，f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2，f ′(2)＝0⇒c ＝2或c ＝6.若c ＝2，f ′(x )＝3x 2－8x ＋4，令f ′(x )>0⇒x <23或x >2，f ′(x )<0⇒23<x <2，故函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23及(2，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2上单调递减， ∴x ＝2是极小值点，故c ＝2不合题意，同样验证可知c ＝6符合题意．[答案] (1)B (2)6易错点6 导数与函数单调性关系不清致误【例6】 函数f (x )＝x 3－ax 2－3x 在[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．[错解] f ′(x )＝3x 2－2ax －3，由题意可知，f ′(x )>0，即a <32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x (x ≥2)恒成立， 又32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ≥94，故a <94，所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，94. [错因分析] 求函数的单调递增区间就是解导数大于零的不等式，受此影响，容易认为函数f (x )的导数在区间[2，＋∞)上大于零，忽视了函数的导数在[2，＋∞)上个别的点处可以等于零，这样的点不影响函数的单调性．[正解] 由题意，知f ′(x )＝3x 2－2ax －3，令f ′(x )≥0(x ≥2)恒成立，得a ≤32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x (x ≥2)恒成立． 记t (x )＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ，当x ≥2时，t (x )是增函数， 所以t (x )min ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝94，所以a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，94. 经检验，当a ＝94时，函数f (x )在[2，＋∞)上是增函数．由单调性求参数范围时，要用f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，否则易漏解．[对点专练6](1)若函数f (x )＝a ln x －x 在区间(0,2)上单调递增，则有( )A ．a ＝2B ．a ≤2C ．0<a ≤2D ．a ≥2(2)设函数f (x )的导函数为f ′(x )，对任意x ∈R 都有f (x )>f ′(x )成立，则( )A ．3f (ln2)>2f (ln3)B ．3f (ln2)＝2f (ln3)C ．3f (ln2)<2f (ln3)D ．3f (ln2)与2f (ln3)的大小不确定[解析] (1)由于f ′(x )＝a x －1，故据题意可得x ∈(0,2)时f ′(x )＝a x －1≥0恒成立，即a ≥x 恒成立，故只需a ≥2，选D.(2)令g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x<0，所以函数g (x )在R 上单调递减，又ln2<ln3，所以g (ln2)>g (ln3)，即f (ln2)2>f (ln3)3，即3f (ln2)>2f (ln3)，故选A. [答案] (1)D (2)A易错点7 定积分与面积转化不清致误【例7】 曲线y ＝sin x 与x 轴在区间[0,2π]上所围部分的面积为________．[错解] 分两部分，在[0，π]上有∫π0sin x d x ＝2，在[π，2π]上有∫2ππsin x d x ＝－2，因此所求面积S ＝2＋(－2)＝0.[错因分析] 面积应为各部分的绝对值的代数和，也就是第二部分的积分不是阴影部分的面积，而是面积的相反数．所以，不应该将两部分直接相加．[正解] S ＝∫π0sin x d x ＋||∫2ππsin x d x ＝2＋2＝4.在x 轴上方曲边梯形的面积等于函数的积分，在x 轴下方曲边梯形的面积等于函数积分的相反数．[对点专练7](1)函数f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋2，－2≤x <0，2cos x ，0≤x ≤π2，的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为________．(2)直线y ＝13x 与抛物线y ＝x －x 2所围图形的面积等于________． [解析][答案] (1)4 (2)481。