2019届高三理科数学好教育单元训练金卷
2019届高三理科数学好教育第一次模拟考试卷(一)解析版附后
2019届高三理科数学好教育第一次模拟考试卷（一）解析版附后一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·陕西四校联考]已知复数312iz =-（i 是虚数单位），则z 的实部为（ ） A ．35-B ．35C ．15-D ．152．[2018·广西摸底]已知集合{}24A x x x =≤，{}340B x x =->，则A B =（ ）A ．(],0-∞B ．40,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．4,43⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．(),0-∞3．[2018·资阳一诊]空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如下表：下图是某市10月1日—20日AQI 指数变化趋势下列叙述错误的是（ ）A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B ．这20天中的中度污染及以上的天数占14C ．该市10月的前半个月的空气质量越来越好D ．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好4．[2018·长春质监]已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，45S =，920S =，则7a =（ ） A ．3-B ．5-C ．3D ．55．[2018·曲靖一中]曲线()ln 20y a x a =->在1x =处的切线与两坐标轴成的三角形的面积为4，则a 的值为（ ）AB ．2C ．4D ．86．[2018·衡水中学]如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2AE EO =，则ED =（ ）A ．1233AD AB -B ．2133AD AB +C ．2133AD AB -D ．1233AD AB +7．[2018·遵义航天中学]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．13B ．23C ．1D ．438．[2018·黑龙江模拟]已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若3FP FQ =，则QF =（ ） A ．83B ．52C ．3D ．29．[2018·玉林预测]已知函数()y f x =的周期为2，当[]0,2x ∈时，()()21f x x =-，如果()()5log 1g x f x x =--，则函数()g x 的所有零点之和为（ ） A ．8B ．6C ．4D ．1010．[2018·南宁质检]在平面区域4000y x y x ⎧⎪⎨⎪>-≤>⎩+内随机取一点(),a b ，则函数()241f x ax bx =-+在区间[)1,∞+上是增函数的概率为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．2311．[2018·娄底月考]已知双曲线22221x y a b-=的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P在双曲线的右支上，且124PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为（ ） A ．43B ．53C ．2D ．7312．[2018·四川一诊]如图，在ABC Rt △中，90ACB ∠=︒，1AC =，()0BC x x =>，D 是斜边AB 的中点，将BCD △沿直线CD 翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB AD ⊥，则x 的取值范围是（ ）A．2⎫⎪⎪⎝⎭B．C ．()0,2D．(二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·三湘名校]已知：x ，y 满足约束条件1030210x y x y y --≥+-≤+≥⎧⎪⎨⎪⎩，则2z x y =-的最小值为________．14．[2018·拉萨中学]若数列{}n a 的前n 项和2133n n S a =+，则{}n a 的通项公式____________．15．[2018·淄博期末]有4个不同的小球，全部放入4个不同的盒子内，恰好有两个盒子不放球的不同放法的总数为_______．16．[2018·三湘名校]函数()sin 22cos f x x x =+在区间[]0,π上的值域为________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2018·衡水中学]如图，在ABC △中，P 是BC 边上的一点，60APC ∠=︒，AB =4AP PB +=．（1）求BP 的长； （2）若AC =cos ACP ∠的值．18．（12分）[2018·天水一中]第23届冬季奥运会于2018年2月9日至2月25日在韩国平昌举行，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：（1）若讲每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“体育达人”，否则定义为“非体育达人”，请根据频数分布表补全22⨯列联表：并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关；（2）在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“体育达人”中选取2名作冬奥会知识讲座．记其中女职工的人数为ξ，求的ξ分布列与数学期望． 附表及公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．19．（12分）[2018·陕西四校联考]如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都是2，1AA ⊥平面ABC ，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点． （1）求证：AE ⊥平面1A BD ； （2）求二面角1D BE B --的余弦值．20．（12分）[2018·南昌期末]已知椭圆C 中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且过⎛ ⎝⎭，直线l 与椭圆交于A ，B 两点（A ，B 两点不是左右顶点），若直线l 的斜率为12时，弦AB 的中点D 在直线12y x =-上． （1）求椭圆C 的方程；（2）若以A ，B 两点为直径的圆过椭圆的右顶点，则直线l 是否经过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．21．（12分）[2018·长春实验中学]已知函数()()22ln f x ax a x x =+--，()a ∈R ． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若对任意0x >，都有()0f x ≥成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2018·齐鲁名校]在直角坐标系xoy 中，已知曲线1C 、2C的参数方程分别为()12cos n :i x C y θθθ⎧⎪⎨⎪⎩==为参数，()21cos : sin x t C t y t θθ=+=⎧⎨⎩为参数．（1）求曲线1C 、2C 的普通方程；（2）已知点()1,0P ，若曲线1C 与曲线2C 交于A 、B 两点，求PA PB +的取值范围．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2018·陕西四校联考]已知函数()2f x x a x =-++． （1）当1a =时，求不等式()3f x ≤的解集； （2）0x ∃∈R ，()03f x ≤，求a 的取值范围．2019届高三理科数学好教育第一次模拟考试卷（一）解析版一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·陕西四校联考]已知复数312iz =-（i 是虚数单位），则z 的实部为（ ） A ．35-B ．35C ．15-D ．15【答案】B 【解析】∵()()()312i 336i 12i 12i 12i 55z +===+--+，∴z 的实部为35，故应选B ． 2．[2018·广西摸底]已知集合{}24A x x x =≤，{}340B x x =->，则A B =（ ）A ．(],0-∞B ．40,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．4,43⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．(),0-∞【答案】C【解析】∵集合{}{}2404A x x x x x =≤=≤≤，{}43403B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭， ∴444,433AB x x ⎧⎫⎛⎤=<≤=⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭，故选C ．3．[2018·资阳一诊]空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如下表：下图是某市10月1日—20日AQI 指数变化趋势下列叙述错误的是（ ）A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B ．这20天中的中度污染及以上的天数占14C ．该市10月的前半个月的空气质量越来越好D ．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 【答案】C【解析】对A ，因为第10天与第11天AQI 指数值都略高100，所以中位数略高于100，正确； 对B ，中度污染及以上的有第11，13，14，15，17天，共5天占14，正确； 对C ，由图知，前半个月中，前4天的空气质量越来越好，后11天该市的空气质量越来越差，错误； 对D ，由图知，10月上旬大部分AQI 指数在100以下，10月中旬大部分AQI 指数在100以上， 所以正确，故选C ．4．[2018·长春质监]已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，45S =，920S =，则7a =（ ） A ．3- B ．5- C ．3 D ．5【答案】C【解析】等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，()42352S a a ==+，95209S a ==，5209a =，2355252a a a d +==-，联立两式得到718d =，75+23a a d ==，故答案为C ． 5．[2018·曲靖一中]曲线()ln 20y a x a =->在1x =处的切线与两坐标轴成的三角形的面积为4，则a 的值为（ ）A B ．2 C ．4 D ．8【答案】B【解析】由()ln 2y f x a x ==-，得()af x x'=，∴()1f a '=， 又()12f =-，∴曲线()ln 20y a x a =->在1x =处的切线方程为()21y a x +=-， 令0x =，得2y a =--；令0y =，得21x a=+． ∴切线与坐标轴围成的三角形面积为()()12122121422S a a a a ⎛⎫⎛⎫=--+=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2a =，故选B ．6．[2018·衡水中学]如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2AE EO =，则ED =（ ）A ．1233AD AB -B ．2133AD AB +C ．2133AD AB -D ．1233AD AB +【答案】C【解析】()11213333ED EA AD AC AD AD AB AD AD AB =+=-+=-++=-．故选C ．7．[2018·遵义航天中学]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．13B ．23C ．1D ．43【答案】B【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥，其直观图如下图所示：故其体积112122323V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，故选B ．8．[2018·黑龙江模拟]已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若3FP FQ =，则QF =（ ） A ．83B ．52C ．3D ．2【答案】A【解析】设l 与x 轴的交点为M ，过Q 向准线l 作垂线，垂足为N ，3FP FQ =，23NQ MF∴=，又4MF p ==，83NQ ∴=，NQ QF =，83QF ∴=．故选A ．9．[2018·玉林预测]已知函数()y f x =的周期为2，当[]0,2x ∈时，()()21f x x =-，如果()()5log 1g x f x x =--，则函数()g x 的所有零点之和为（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．10【答案】A【解析】函数的零点满足()5log 1f x x =-，在同一个平面直角坐标系中绘制函数()f x 和函数5log 1y x =-的图象， 观察可得4对交点的横坐标关于直线1x =对称，据此可得函数()g x 的所有零点之和为248⨯=．本题选择A 选项．10．[2018·南宁质检]在平面区域4000y x y x ⎧⎪⎨⎪>-≤>⎩+内随机取一点(),a b ，则函数()241f x ax bx =-+在区间[)1,∞+上是增函数的概率为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】B【解析】不等式组表示的平面区域为如图所示的AOB △的内部及边界AB (不包括边界OA，OB )，则14482AOB S =⨯⨯=△，函数()241f x ax bx =-+在区间[)1,+∞上是增函数，则应满足0a >且412bx a =≤，即02a a b >≥⎧⎨⎩， 可得对应的平面区域如图中阴影部分(包括边界OC ，BC ，不包括边界OB )，由240a b a b =+-=⎧⎨⎩，解得83a =，43b =，所以1484233COB S =⨯⨯=△，根据几何概型的概率计算公式，可知所求的概率81383P ==，故选B ．11．[2018·娄底月考]已知双曲线22221x y a b-=的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，且124PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为（ ） A ．43B ．53C ．2D ．73【答案】B【解析】由双曲线的定义知122PF PF a -= ①，又124PF PF = ②， 联立①②解得183PF a =，223PF a =，在12PF F △中，由余弦定理，得222212644417999cos 8288233a a c F PF e a a +-∠==-⋅⋅， 要求e 的最大值，即求12cos F PF ∠的最小值，当12cos 1F PF ∠=-时，解得53e =，即e 的最大值为53，故选B ．解法二：由双曲线的定义知122PF PF a -=①，又124PF PF =②，联立①②解得183PF a =，223PF a =，因为点P 在右支所以2PF c a ≥-，即23a c a ≥-故53a c ≥，即e 的最大值为53，故选B ．12．[2018·四川一诊]如图，在ABC Rt △中，90ACB ∠=︒，1AC =，()0BC x x =>，D 是斜边AB的中点，将BCD △沿直线CD 翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB AD ⊥，则x 的取值范围是（ ）A ．2⎫⎪⎪⎝⎭B ．C ．()0,2D ．(【答案】D【解析】由题意得，AD CD BD ===，BC x =，取BC 中点E ，翻折前，在图1中，连接DE ，CD ，则1122DE AC ==，翻折后，在图2中，此时CB AD ⊥．∵BC DE ⊥，BC AD ⊥，∴BC ⊥平面ADE ，∴BC AE ⊥，DE BC ⊥，又BC AE ⊥，E 为BC 中点，∴1AB AC ==，∴AE =AD =，在ADE △12+12<+0x >；由①②③可得0x <<．如图3，翻折后，当1B CD △与ACD △在一个平面上，AD 与1B C 交于M ，且1AD B C ⊥，1AD B D CD BD ===，1CBD BCD B CD ∠=∠=∠，又190CBD BCD B CD ∠+∠+∠=︒，∴130CBD BCD B CD ∠=∠=∠=︒，∴60A ∠=︒，tan60BC AC =︒，此时1x =综上，x的取值范围为(．故选D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·三湘名校]已知：x ，y 满足约束条件1030210x y x y y --≥+-≤+≥⎧⎪⎨⎪⎩，则2z x y =-的最小值为________．【答案】32【解析】画出约束条件1030210x y x y y --≥+-≤+≥⎧⎪⎨⎪⎩表示的可行域，如图，由10210x y y --=+≥⎧⎨⎩，可得1212x y ⎧⎪⎪⎨==-⎪⎪⎩，将2z x y =-变形为2y x z =-，平移直线2y x z =-，由图可知当直2y x z =-经过点11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭时，直线在y 轴上的截距最大，则2z x y =-有最小值，最小值为1132222z =⨯+=，故答案为32．14．[2018·拉萨中学]若数列{}n a 的前n 项和2133n n S a =+，则{}n a 的通项公式____________．【答案】()12n n a -=-【解析】由题意，当1n =时，1112133a S a ==+，解得11a =，当2n ≥时，111212122333333n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--=-，即12n n a a -=-，所以12n n aa -=-，所以数列{}n a 表示首项为11a =，公比为2q =-的等比数列， 所以数列{}n a 的通项公式为()12n n a -=-．15．[2018·淄博期末]有4个不同的小球，全部放入4个不同的盒子内，恰好有两个盒子不放球的不同放法的总数为_______． 【答案】84【解析】四个球分为两组有两种分法，()2,2，()3,1，若两组每组有两个球，不同的分法有2422C 3A =种，恰有两个盒子不放球的不同放法是243A 36⨯=种，若两组一组为3，一组为1个球，不同分法有34C 4=种恰有两个盒子不放球的不同放法是244A 48⨯=种，综上恰有两个盒子不放球的不同放法是364884+=种，即答案为84．16．[2018·三湘名校]函数()sin 22cos f x x x =+在区间[]0,π上的值域为________． 【答案】⎡⎢⎣⎦【解析】()()()()2'2cos22sin 22sin sin 122sin 1sin 1f x x x x x x x =-=-+-=--+， 当5π0,,π66πx ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭时，()'0f x >； 可得()sin 22cos f x x x =+的增区间为0,π6⎛⎫ ⎪⎝⎭，5π,π6⎛⎫⎪⎝⎭；当5π,66πx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，可得()sin 22cos f x x x =+的减区间为π5π,66⎛⎫⎪⎝⎭，π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭5π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()02f =，()2πf =-， ()fx ⎡∴∈⎢⎣⎦，故答案为⎡⎢⎣⎦．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2018·衡水中学]如图，在ABC △中，P 是BC 边上的一点，60APC ∠=︒，AB =4AP PB +=．（1）求BP 的长；（2）若AC =cos ACP ∠的值． 【答案】（1）2BP =；（2）3cos 5ACP ∠=．【解析】（1）由已知，得120APB ∠=︒，又AB =4AP BP +=， 在ABP △中，由余弦定理，得(()()222424cos120BP BP BP BP =+--⨯⨯-︒，整理得2440BP BP -+=．解得2BP =． （2）由（1）知，2AP =，所以在ACP △中，由正弦定理．得sin60sin AC APACP =︒∠，解得4sin 25ACP ∠==．因为2<，所以AP AC <，从而ACP APC ∠<∠，即ACP ∠是锐角，所以3cos 5ACP ∠==．18．（12分）[2018·天水一中]第23届冬季奥运会于2018年2月9日至2月25日在韩国平昌举行，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：（1）若讲每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“体育达人”，否则定义为“非体育达人”，请根据频数分布表补全22⨯列联表：并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关；（2）在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“体育达人”中选取2名作冬奥会知识讲座．记其中女职工的人数为ξ，求的ξ分布列与数学期望． 附表及公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．【答案】（1）见解析；（2）分布列见解析，()23E ξ=． 【解析】（1）由题意得下表：2k 的观测值为()21201200600242706705060607-=>⨯⨯⨯．． 所以有90%的把握认为该校教职工是“体育达人”与“性别”有关．（2）由题意知抽取的6名“体育达人”中有4名男职工，2名女职工，所以ξ的可能取值为0，1，2．且()2426C 620C 155P ξ====，()114226C C 81C 15P ξ===，()2226C 12C 15P ξ===， 所以ξ的分布列为()28110201251515153E ξ=⨯+⨯+⨯==．19．（12分）[2018·陕西四校联考]如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都是2，1AA ⊥平面ABC ，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点．（1）求证：AE ⊥平面1A BD ； （2）求二面角1D BE B --的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】（1）∵AB BC CA ==，D 是AC 的中点，∴BD AC ⊥，∵1AA ⊥平面ABC ，∴平面11AAC C ⊥平面ABC ，∴BD ⊥平面11AA C C ，∴BD AE ⊥． 又∵在正方形11AA C C 中，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点，易证得∴1A AD ACE △≌△， ∴1A DA AEC ∠=∠，∵90AEC CAE ∠+∠=︒，∴190A DA CAE ∠+∠=︒，即1A D AE ⊥． 又1A DBD D =，∴AE ⊥平面1A BD ．（2）取11A C 中点F ，以DF ，DA ，DB 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，()0,0,0D ，()1,1,0E -，(B，(1B，(DB =，()1,1,0DE =-，()12,0,0BB =，(1EB =，设平面DBE 的一个法向量为(),,x y z =m，则0000DB x y DE ⎧⋅==⇒-=⎪⋅⎪⎨⎪=⎩⎩m m ， 令1x =，则()1,1,0=m ，设平面1BB E 的一个法向量为(),,a b c =n，则1120000a BB a b EB ⎧=⎧⋅=⎪⇒⎨++=⎪⋅=⎩⎪⎨⎪⎩n n ，令c =，则(0,=-n ，设二面角1D BE B --的平面角为θ，观察可知θ为钝角，cos ,⋅〈〉==m n m n m n ，∴cos θ=，故二面角1D BE B --的余弦值为． 20．（12分）[2018·南昌期末]已知椭圆C 中心在坐标原点，焦点在x轴上，且过⎛ ⎝⎭，直线l 与椭圆交于A ，B 两点（A ，B 两点不是左右顶点），若直线l 的斜率为12时，弦AB 的中点D 在直线12y x =-上． （1）求椭圆C 的方程；（2）若以A ，B 两点为直径的圆过椭圆的右顶点，则直线l 是否经过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．【答案】（1）椭圆C 的方程：2214x y +=；（2）见解析．【解析】（1）设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，()11,A x y ，()22,B x y ，由题意直线l 的斜率为12，弦AB 的中点D 在直线12y x =-上，得121212y y x x -=-，121212y y x x +=-+，再根据22112222222211x y a b x y a b ⎧⎪⎪⎨+=+=⎪⎪⎩，作差变形得2221222212y y b x x a -=--，所以224a b =，又因为椭圆过⎛ ⎝⎭得到2a =，1b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=． （2）由题意可得椭圆右顶点()22,0A ，220AA BA ⊥=，①当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为0x x =，此时要使以A ，B 两点为直径的圆过椭圆的右顶点02x -解得065x =或02x =（舍）此时直线l 为65x =． ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx b =+，则有()121212420x x x x y y +-++=， 化简得()()()2212121240k x x kb x x b ++-+++= ①联立直线和椭圆方程2214y kx b x y =++=⎧⎪⎨⎪⎩，得()222418440k x kbx b +++-=， 22140Δk b =+->，()122841kbx x k -+=+，21224441b x x k -=+ ② 把②代入①得()()2222244812404141b kbk kb b k k --++-++=++，即()222222222244448164164k b k b k b kb k b k b -+--+=-+++22121650k kb b ++=，得12k b =-或56k b =-此时直线l 过6,05⎛⎫⎪⎝⎭或()2,0（舍）综上所述直线l 过定点6,05⎛⎫⎪⎝⎭．21．（12分）[2018·长春实验中学]已知函数()()22ln f x ax a x x =+--，()a ∈R ． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若对任意0x >，都有()0f x ≥成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）当0a ≤时，在()0,+∞上，()f x 是减函数；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，是减函数；在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，是增函数；（2）[)1,+∞．【解析】（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，又()()()()()2221211122ax a x x ax f x ax a x x x+--+-=+--='=， 当0a ≤时，在()0,+∞上，()0f x '<，()f x 是减函数； 当0a >时，由()0f x '=得：1x a=或12x =-（舍）．所以在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，()f x 是减函数；在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0f x '>，()f x 是增函数． （2）对任意0x >，都有()0f x ≥成立，即在()0,+∞上，()min 0f x ≥． 由（1）知：当0a ≤时，在()0,+∞上()f x 是减函数， 又()1220f a =-<，不合题意， 当0a >时，当1x a=时，()f x 取得极小值也是最小值，所以()min 111ln f x f a a a ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭， 令()()111ln 0u a f a a a a ⎛⎫==-+> ⎪⎝⎭，所以()211u a a a '=+， 在()0,+∞上，()0u a '>，()u a 是增函数，又()10u =，所以要使得()min 0f x ≥，即()0u a ≥，即1a ≥，故a 的取值范围为[)1,+∞．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2018·齐鲁名校]在直角坐标系xoy 中，已知曲线1C 、2C的参数方程分别为()12cos n :i x C y θθθ⎧⎪⎨⎪⎩==为参数，()21cos : sin x t C t y t θθ=+=⎧⎨⎩为参数． （1）求曲线1C 、2C 的普通方程；（2）已知点()1,0P ，若曲线1C 与曲线2C 交于A 、B 两点，求PA PB +的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）[]3,4．【解析】（1）曲线1C 的普通方程为22143x y +=， 当π,π2k k θ≠+∈Z 时，曲线2C 的普通方程为tan tan y x θθ=-， 当π,π2k k θ=+∈Z 时，曲线2C 的普通方程为1x =（或sin cos sin 0x y θθθ--=）． （2）将()21cos : sin x t C t y t θθ=+=⎧⎨⎩为参数代入221:143x y C +=， 化简整理得：()22sin 36cos 90t t θθ++-=，设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，1226cos sin 3t t θθ-+=+，1229sin 3t t θ-=+， 则()2236cos 36sin 31440Δθθ=++=>恒成立，1212212sin 3PA PB t t t t θ∴+=+=-==+，[]2sin 0,1θ∈，[]3,4PA PB ∴+∈．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2018·陕西四校联考]已知函数()2f x x a x =-++．（1）当1a =时，求不等式()3f x ≤的解集；（2）0x ∃∈R ，()03f x ≤，求a 的取值范围．【答案】（1）{}|2 1 x x -≤≤；（2）[]5,1-．【解析】（1）当1a =时，()12f x x x =-++， ①当2x ≤-时，()21f x x =--，令()3f x ≤，即213x --≤，解得2x =-，②当21x -<<时，()3f x =，显然()3f x ≤成立，所以21x -<<， ③当1x ≥时，()21f x x =+，令()3f x ≤，即213x +≤，解得1x =，综上所述，不等式的解集为{}|2 1 x x -≤≤．（2）因为()()()222f x x a x x a x a =-++≥--+=+， 因为0x ∃∈R ，有()3f x ≤成立，所以只需23a +≤，解得51a -≤≤，所以a 的取值范围为[]5,1-．。
2019届好教育高三第二次模拟考试理科数学(三)解析附后
2019届好教育高三第二次模拟考试理科数学（三）解析附后注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·湘潭一模]设集合，，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．2．[2019·郴州质检]设，则的虚部是（ ） A ．B ．C ．D ．3．[2019·河南实验中学]如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是（ ）()(){}140A x x x =+->{}09B x x =<<A B ()1,4-()4,9()0,4()1,9-312ii 2iz +=--z 1-45-2i -2-A ．B ．C ．D ．4．[2019·潍坊期末]若（ ）A ．B ．C ．D ．5．[2019·佛山质检]展开式中的系数为（ ） A ．B ．120C ．160D ．2006．[2019·宜昌调研]已知两点，以及圆，若圆上 存在点，满足，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．7．[2019·山东外国语]若函数在上为减函数，则函数的图象可以是（ ）A ．B ．C ．D ．8．[2019·龙岩质检]已知定义在上的可导函数、满足，，，如果的最大值为，最小值为，则（ ）A ．B ．2C ．D ．39．[2019·泉州质检]已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，若球的表面积为，则三棱锥的侧面积的最大值为（ ）24π36π48π60πcos π2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos2α=23-13-1323()()522x y x y -+33x y 40-()1,0A -()1,0B ()()()222:340C x y r r -+-=>C P 0AP PB ⋅=r []3,6[]3,5[]4,5[]4,6()()01x x f x a a a a -=->≠且R ()log 1a y x =-R ()f x ()g x ()()263f x f x x +-=+()()113f g -=()()6g x f x x ''=-()g x M N M N +=2-3-A BCD -O AD ⊥ABC 90BAC ∠=︒2AD =O 29πA BCD -A ．B ．C ．D ． 10．[2019·辽宁期末]在中，角，，所对的边分别是，，，已知，且，，则的面积是（ ） ABCD11．[2019·湖北联考]如图，点为双曲线的右顶点，点为双曲线上一点，作轴，垂足为，若为线段的中点，且以为圆心，为半径的圆与双曲线恰有 三个公共点，则的离心率为（ ）ABC ．2D12．[2019·哈尔滨六中]定义域为的函数，若关于的方程，恰有5个不同的实数解，，，，，则等于（ ） A ．0 B ．2C ．8D ．10254272252ABC △A B C a b c ()()sin sin 3sin2B A B A A ++-=c =π3C =ABC △A ()222210,0x y a b a b-=>>P PB x ⊥B A OB A AP C C R ()()()2212x x f x x ⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩x ()()20f x bf x c ++=1x 2x 3x 4x 5x ()12345f x x x x x ++++二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019·揭阳毕业]若向量、不共线，且，则_______． 14．[2019·荆州质检]函数在处的切线于坐标轴围成的三角形的面积为__________．15．[2019·盐城一模]设函数，其中．若函数在上恰有2个零点，则的取值范围是________．16．[2019·湖南联考]已知直线被抛物线截得的弦长为5，直线经过的焦点，为上的一个动点，设点的坐标为，则的最小值为______．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2019·呼和浩特调研]已知数列是等差数列，且，． （1）求数列的通项公式；（2）若数列是递增的等比数列且，， 求．()1,x =a ()1,2=--b ()()+⊥-a b a b ⋅=a b ()ln f x x x =1x =()πsin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0ω>()f x []0,2πω:2l y x b =+()2:20C y px p =>l C M C N ()3,0MN {}n a 81a =1624S ={}n a n a {}n b 149b b +=238b b =()()()()1133552121n n a b a b a b a b --++++++++18．（12分）[2019·山东外国语]某公司共有10条产品生产线，不超过5条生产线正常工作时， 每条生产线每天纯利润为1100元，超过5条生产线正确工作时，超过的生产线每条纯利润为800元， 原生产线利润保持不变．未开工的生产线每条每天的保养等各种费用共100元．用表示每天正常工作的生产线条数，用表示公司每天的纯利润．（1）写出关于的函数关系式，并求出纯利润为7700元时工作的生产线条数；（2）为保证新开的生产线正常工作，需对新开的生产线进行检测，现从该生产线上随机抽取100件产品，测量产品数据，用统计方法得到样本的平均数，标准差，绘制如图所示的频率分布直方图，以频率值作为概率估计值．为检测该生产线生产状况，现从加工的产品中任意抽取一件，记其数据为，依据以下不等式评判（表示对应事件的概率）．①；②； ③，评判规则为：若至少满足以上两个不等式，则生产状况为优，无需检修；否则需检修生产线． 试判断该生产线是否需要检修．x y y x 14x =2s =XP ()0.6826P x s X x s -<<+≥()220.9544P x s X x s -<<+≥()330.9974P x s X x s -<<+≥19．（12分）[2019·牡丹江一中]在三棱柱中，，，为的中点．（1）证明：；（2）若，点在平面的射影在上，且与平面，求三棱柱的高．111ABC A B C -2AC BC ==120ACB ∠=︒D 11A B 11AC BC D ∥平面11AA AC =1A ABC AC BC 1BC D 111ABC A B C -20．（12分）[2019·丰台期末]已知椭圆的右焦点为，离心率为，直线与椭圆交于不同两点，，直线，分别交轴于，两点． （1）求椭圆的方程； （2）求证：．()2222:10x y C a b a b+=>>()1,0F 12()():40l y k x k =-≠C M N FM FN y A B C FA FB =21．（12分）[2019·河南联考]已知，函数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求实数的取值范围．a ∈R ()()2e 3e 32x x af x a x =-++()f x ()f x a请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·济南外国语]在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数，)，在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设点的坐标为，直线与曲线相交于，两点，求的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·皖南八校]已知函数． （1）解不等式：；（2）若函数的最小值为，且，求的最小值．xOy l 1cos sin x t y t αα=+=⎧⎨⎩t 0πα≤<x C 2221sin ρθ=+C M ()1,0l C A B 11MA MB+()224f x x x =-++()34f x x ≥-+()f x a ()0,0m n a m n +=>>11m n+2019届好教育云平台高三第二次模拟考试卷理科数学（三）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C【解析】由题意，集合，，根据集合的交集运算， 可得，故选C ． 2．【答案】D【解析】，∴的虚部是，故选D ． 3．【答案】C【解析】由三视图可知：该几何体为直三棱柱，并且为棱长是4的正方体的一半． 可得：该几何体的外接球的半径，故选C ．4．【答案】C【解析】，所以，故选C ．5．【答案】B【解析】展开式中的项为，{}14A x x =-<<{}09B x x =<<{}04A B x x =<<()()()()312i 2i 12i 5ii i i 2i 2i 2i 2i 5z +++=-=--=--=---+z 2-r =(24π48π=⨯=cos sin 2παα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭sin α=211cos212sin 1233αα=-=-⋅=()()522x y x y -+33x y ()()()323223333333552C 2C 216040120x x y y x y x y x y x y ⋅⋅+-⋅⋅=-=则展开式中的系数为120，故选B ． 6．【答案】D 【解析】，点在以，两点为直径的圆上，该圆方程为，又点在圆上，两圆有公共点．两圆的圆心距，， 解得，故选D ． 7．【答案】D【解析】由函数在上为减函数，故． 函数是偶函数，定义域为或，函数的图象，时是把函数的图象向右平移1个单位得到的，故选D ． 8．【答案】D 【解析】，，，则，故， ，则，，，故的图象关于对称，，，故选D ．9．【答案】A【解析】设球的半径为，，，33x y 0AP PB ⋅=∴P ()1,0A -()1,0B 221x y +=P C∴5d 151r r ∴-≤≤+46r ≤≤()()01x x f x a a a a -=->≠且R 01a <<()log 1a y x =-1x >1x <-()log 1a y x =-1x >log a y x =()()6g x f x x ''=-()()23g x f x x c =-+()()113f g -=0c =()()23g x f x x =-()()263f x f x x +-=+()()22333f x x f x x -=--++()()()22333f x x f x x ⎡⎤∴-=----+⎣⎦()()3g x g x ∴=--+()g x 30,2⎛⎫⎪⎝⎭322M N +∴=3M N +=O R AB x =AC y =由，得．又，得．三棱锥的侧面积，由，得，当且仅当时取等号，由，得时取等号， ∴，当且仅当时取等号．∴三棱锥的侧面积的最大值为．故选A． 10．【答案】D【解析】依题意有， 即或．当时，由正弦定理得①， 由余弦定理得②，解由①②组成的方程组得，，所以三角形面积为当时，，三角形为直角三角形，24π29πR =2429R =()222222x y R ++=2225x y +=A BCD -11122222ABD ACD ABC S S S S x y xy =++=⋅+⋅+△△△222x y xy +≥252xy ≤x y ==()()2222222x y x xy y x y +=++≤+x y +≤x y ==12525224S ≤⨯=x y ==A BCD -254sin cos cos sin sin cos cos sin 6sin cos B A B A B A B A A A ++-=sin 3sin B A =cos 0A =sin 3sin B A =3b a =222π2cos 3a b ab =+-1a =3b =1π1sin 13232ab =⨯⨯=cos 0A =π2A =b ==故三角形面积为D ． 11．【答案】A【解析】由题意可得，为线段的中点，可得， 令，代入双曲线的方程可得，可设，由题意结合图形可得圆经过双曲线的左顶点，即，即有，可得，A ．12．【答案】C【解析】一元二次方程最多两个解，当时，方程至多四个解，不满足题意，当是方程的一个解时，才有可能5个解， 结合图象性质，可知，即， 故答案为C ．1122bc =(),0A a A OB ()2,0B a 2x a =y =()2,P a A (),0a -2AP a =2a a b =c e a =2x ≠()()20f x bf x c ++=2x =()()20f x bf x c ++=()f x 123452222210x x x x x ++++=⨯+⨯+=()()12345108f x x x x x f ++++==二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】3【解析】由于，故，即，即，解得，当时，，两者共线，不符合题意．故．所以．14．【答案】【解析】，，则，，故曲线在点处的切线的方程为，令，得；令，得，则直线与两坐标轴的交点为和，所围成三角形的面积为，故答案为．15．【答案】【解析】取零点时满足条件，当时的零点从小到大依次为，，，所以满足，解得． 16．【答案】【解析】（1）， 则，又直线经过的焦点，则，， ()()+⊥-a b a b ()()0+⋅-=a b a b 22=a b ()()222112x +=-+-2x =±2x =()1,2==-a b 2x =-143⋅=-+=a b 12()ln f x x x =()ln 1f x x '∴=+()10f =()11f '=()f x ()1,0P l 1y x =-0x =1y =-0y =1x =l ()0,1-()1,0111122⨯⨯=1254,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭()f x x ()π3πk x k ωω=-+∈Z 0x >12π3x ω=25π3x ω=38π3x ω=5π2π38π2π3ωω⎧⎪≤⎨>⎪⎪⎪⎩54,63ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()222244202y x bx b p x b y px=+⎧⇒+-=+⎨⎩=()22222512424b p b ⎡⎤-⎛⎫+-⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎣⎦=⎥l C 22b p -=b p ∴=-由此解得，抛物线方程为，，， 则，故当时，即答案为．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知得，，，．（2）由已知得：，又是递增的等比数列，故解得，，，，∴． 18．【答案】（1），8条生产线；（2）见解析． 【解析】（1）由题意知：当时，， 当时，，，2p =24y x =()00,M x y 204y x ∴=()()()222220000033418MN x y x x x =-+=-+=-+01x =MN =7n a n =-24173n n n --+12712153a d a d +=+=⎧⎨⎩16a ∴=-1d =()6117n a n n =-+-⋅=-141498b b b b ⋅+==⎧⎨⎩{}n b 11b =48b =2q =12n n b -∴=()()()()1133552121n n a b a b a b a b --++++++++()()13211321n n a a a b b b --=+++++++()()16422814164n n -=---++-+++++()()2146284172143nn n n nn --+--=+=-+-()()12001000,5 900500,510x x x y x x x ⎧-≤∈⎪∴=⎨+<≤∈⎪⎩**N N 且且5x ≤()11001001012001000y x x x =-⨯-=-510x <≤()()11005800510010900500y x x x =⨯+⨯--⨯-=+()()12001000,5 900500,510x x x y x x x ⎧-≤∈⎪∴=⎨+<≤∈⎪⎩**N N 且且当时，，，即8条生产线正常工作． （2），，由频率分布直方图得：， ， ，不满足至少两个不等式，该生产线需重修． 19．【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）连结交于点，连结，则是的中点，又为的中点，所以，且面，面， 所以面．（2）取的中点，连结，因为点在面上的射影在上，且， 所以面，可建立如图的空间直角坐标系，设， 因为，，7700y =9005007700x +=8x =14μ=2σ=()()12160.290.1120.80.6826P x ∴<<=+⨯=>()()10180.80.040.0320.940.9544P X <<=++⨯=<()()8200.940.0150.00520.980.9974P X ∴<<=++⨯=<∴1B C 1BC E DE E 1B C D 11A B 1DE AC ∥DE ⊂1BC D 1AC ⊄1BC D 1A C ∥1BC D AC O 1A O 1A ABC AC 11A A AC =1AO ⊥ABC O xyz -1A O a =2AC BC ==120ACB ∠=︒则，，，，，，， 设为面的法向量，，取，则，由与平面，即，解得所以三棱柱20．【答案】（1）；（2）见解析． 【解析】（1）由题意得，解得的方程为． （2）设，．由，得，依题意，即，则， 因为 ()B -()1,0,0C -()12,0,C a -32D a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭()1,BC =()10,BC a =112C D ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭(),,x y z =n 1BC D 1130102BC az C D x ⎧⋅⎪⎨⎪=-+=⋅==⎩n n y a =-,,a =-n BC 1BC D cos ,BC ==n a 111ABC A B C -22143x y +=222112c c a a b c===+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩2a b ⎧==⎪⎨⎪⎩C 22143x y +=()11,M x y ()()22121,1N x y x x ≠≠且()224143y k x x y ⎧=-+=⎪⎨⎪⎩()2222433264120k x k x k +-+-=()()()22223244364120Δk k k =--⋅+⋅->2104k <<212221223243641243k x x k k x x k +=+-=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩()()()()()1212121212121225844111111MF NF k x x x x k x k x y y k k x x x x x x -++⎡⎤--⎣⎦+=+=+=------．所以直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，即． 因为，所以．21．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】（1）的定义域为，． ①当时，，令，得；令，得， 所以在上单调递增，上单调递减．②当时，，（i ）当，即时，因为，所以在上单调递增； （ii ）当，即时，因为，所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增； （iii ）当，即时，因为，所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增．（2）由（1）知当时，在上单调递增，在上单调递减，要使有两个零点，只要，所以．（因为当时，，()()2222126412322584343011k k k k k x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅-⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎣⎦==--MF NF OFA OFB ∠=∠OF AB ⊥FA FB =6a <-()f x (),-∞+∞()()()()2e e 3e 3e 31x x x x f x a a a '=-++=--0a ≤e 30x a -<()0f x '<0x >()0f x '>0x <()f x (),0-∞()0,+∞0a >()()()()e e 11e 3e 3x x x x f x a a a ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭'31a=3a =()()2e 310x f x '=-≥(),-∞+∞301a <<3a >()()e e 31x x f x a a ⎛⎫=-- ⎪'⎝⎭()f x 3,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭3ln ,0a ⎛⎫⎪⎝⎭()0,+∞31a >03a <<()()e e 31x xf x a a ⎛⎫=-- ⎪'⎝⎭()f x (),0-∞30,ln a ⎛⎫ ⎪⎝⎭3ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭0a ≤()f x (),0-∞()0,+∞()f x ()0302af =-->6a <-x →+∞()f x →-∞当时，） 下面我们讨论当时的情形： ①当，即时，在上单调递增，不可能有两个零点； ②当，即时，因为，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；因为，，所以，没有两个零点；③当时，即时，因为，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，，没有两个零点．综上所述：当时，有两个零点．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．【答案】（1）；（2）【解析】（1）曲线，即， ，，曲线的直角坐标方程为，即．（2）将代入并整理得，x →-∞()f x →-∞0a >31a=3a =()f x (),-∞+∞301a <<3a >()()e e 31x xf x a a ⎛⎫=-- ⎪'⎝⎭()f x 3,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭3ln ,0a ⎛⎫⎪⎝⎭()0,+∞()0302a f =--<3ln 0a<393ln 33ln 02f a a a ⎛⎫=--+< ⎪⎝⎭()f x 31a >03a <<()()e e 31x xf x a a ⎛⎫=-- ⎪'⎝⎭()f x (),0-∞30,ln a ⎛⎫ ⎪⎝⎭3ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()0302af =--<393ln 33ln 02f a a a ⎛⎫=--+< ⎪⎝⎭()f x 6a <-()f x 2212x y +=11MA MB +=2221sin ρθ=+222sin 2ρρθ+=222x y ρ=+sin y ρθ=∴C 2222x y +=2212x y +=1cos sin x t y t αα=+=⎧⎨⎩2222x y +=()221sin 2cos 10t t αα++-=，， ， ，． 23．【答案】（1）；（2）1．【解析】（1）， 可得当时，，即，所以无解；当时，，得，可得；当时，，得，可得．∴不等式的解集为．（2）根据函数， 可知当时，函数取得最小值，可知，∵，，，∴． 当且仅当，即时，取“”，∴的最小值为1．1222cos 1sin t t αα∴+=-+12211sin t t α-=+⋅121211MA MB AB t t MA MB MA MB MA MB t t +-∴+===-⋅⋅⋅12t t -=2111sin 11sin MA MB αα+∴+==+12x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭()32,22246,2232,2x x f x x x x x x x --<-⎧⎪=-++=+-≤≤⎨⎪+>⎩2x <-3234x x --≥-+24-≥22x -≤≤634x x +≥-+12x ≥-122x -≤≤2x >3234x x +≥-+13x ≥2x >12x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭()32,26,2232,2x x f x x x x x --<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪+>⎩2x =-()24f -=4a =4m n +=0m >0n >()()111111*********n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n m m n =2m n ===11m n+。
【内供】2019届高三好教育云平台9月内部特供卷 理科数学(一)学生版
2019届高三好教育云平台9月份内部特供卷高三理科数学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{20}P x x x =|-≥，}{12Q x x =|<≤，则()R C P Q =（ ） A ．[0,1)B ．(0,2]C ．(1,2)D ．[1,2]2．已知()21i =1i z-+（i 为虚数单位），则复数z =（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -+D ．1i --3．如表是我国某城市在2017年1月份至10月份个月最低温与最高温（C ︒）的数据一览表．月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 最高温 599 1117 24 27 30 31 21 最低温12- 3- 12-71719232510已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据这一览表，则下列结论错误的是（ ） A ．最低温与最高位为正相关B ．每月最高温和最低温的平均值在前8个月逐月增加C ．月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月D ．1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ，22a ，3a 成等差数列，若11a =，则4s =（ ） A ．7B ．8C ．15D ．165．已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，()210f x x x=+>，则()1f -=（ ） A ．2-B ．0C ．1D ．26．执行如图所示的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n =（ ） A ．5B ．6C ．7D ．87．三次函数()323212f x ax x x =-++的图象在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，则()f x 在区间()1,3上的最小值是（ ）A ．83B ．116C ．113 D ．538．已知()2sin13,2sin77=︒︒a ，1-=a b ，a 与-a b 的夹角为3π，则⋅=a b （ ） A ．2B ．3C ．4D ．59．平面直角坐标系xOy 中，动点P 到圆()2221x y -+=上的点的最小距离与其到直线1x =-的距离相等，则P 点的轨迹方程是（ ） A ．28y x =B ．28x y =C ．24y x =D ．24x y =10．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（ ） A ．2B ．4C ．25+D ．425+此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号好教育云平台 内部特供卷 第3页（共8页） 好教育云平台 内部特供卷 第4页（共8页）11．已知椭圆C：22221(0)x y a b a b+=>>，点M ，N ，F 分别为椭圆C 的左顶点、上顶点、左焦点，若90MFN NMF ∠=∠+︒，则椭圆C 的离心率是（ ） A ．512- B ．312- C ．212- D ．3212．已知ABC △是由具有公共直角边的两块直角三角板（Rt ACD △与Rt BCD △）组成的三角形，如左下图所示．其中，45CAD ∠=︒，60BCD ∠=︒．现将Rt ACD △沿斜边AC 进行翻折成1D AC △（1D 不在平面ABC 上）．若M ，N 分别为BC 和1BD 的中点，则在ACD △翻折过程中，下列命题不正确的是（ ）A ．在线段BD 上存在一定点E ，使得EN 的长度是定值B ．点N 在某个球面上运动C ．对于任意位置，二面角1D AC B --始终大于二面角1D BC A -- D ．存在某个位置，使得直线1AD 与DM 所成角为60︒二、填空题：（本大题共4题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．设x ，y 满足约束条件1400x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则3z x y =-的取值范围为__________．14．某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为__________．15．在数列{}n a 中，113a =，()113,3n n n n a a a ++=∈N +，且13nnb a =+．记12n n P b b b =⨯⨯⨯，12n n S b b b =+++，则13n n n P S ++=__________．16．如图，在ABC △中，3sin23ABC ∠=，点D 在线段AC 上，且2AD DC =，433BD =，则ABC △的面积的最大值为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos cos sin A B Ca b c+=． （1）证明：sin sin sin A B C =；（2）若22265b c a bc +-=，求tan B ．18．（12分）如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABCD ，AD BC ∥，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．（1）证明MN ∥平面PAB ;（2）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．19．（12分）某商场进行有奖促销活动，顾客购物每满500元，可选择返回50元现金或参加一次抽奖，抽奖规则如下：从1个装有6个白球、4个红球的箱子中任摸一球，摸到红球就可获得100元现金奖励，假设顾客抽奖的结果相互独立．（1）若顾客选择参加一次抽奖，求他获得100元现金奖励的概率；（2）某顾客已购物1500元，作为商场经理，是希望顾客直接选择返回150元现金，还是选择参加3次抽奖？说明理由；（3）若顾客参加10次抽奖，则最有可能获得多少现金奖励？20．（12分）已知中心在原点O，左、右焦点分别为1F，2F，焦距为A，B是椭圆上两点．（1）若直线AB与以原点为圆心的圆相切，且OA OB⊥，求此圆的方程；（2）动点P满足：3OP OA OB=+，直线OA与OB的斜率的乘积为13-，求动点P的轨迹方程．好教育云平台 内部特供卷 第7页（共8页） 好教育云平台 内部特供卷 第8页（共8页）21．（12分）设函数()3f x x ax b =--，R x ∈，其中,R a b ∈．（1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 存在极值点0x ，且()()10f x f x =，其中10x x ≠，求证：1020x x +=； （3）设0a >，函数()()g x f x =，求证：()g x 在区间[]1,1-上的最大值不小于14．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】以直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为x ty at=⎧⎨=⎩（t 为参数），曲线1C 的方程为()4sin 12ρρθ-=，定点()6,0A ，点P 是曲线1C 上的动点，Q 为AP 的中点．（1）求点Q 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）直线l 与曲线2C 相交于B ，C 两点，若23BC ≥，求实数a 的取值范围．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()2f x x a x =++-．（1）当3a =时，求不等式()7f x ≥的解集；（2）若()4f x x ≤-的解集包含[]0,2，求a 的取值范围．好教育云平台 内部特供卷答案 第1页（共6页） 好教育云平台 内部特供卷答案 第2页（共6页）2019届高三好教育云平台9月份内部特供卷高三理科数学（一）答 案一、选择题． 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】A 6．【答案】C 7．【答案】D 8．【答案】B 9．【答案】A 10．【答案】C 11．【答案】A 12．【答案】D 二、填空题． 13．【答案】[]2,4- 14．【答案】1415．【答案】3 16．【答案】32 三、解答题．17．【答案】（1）见解析；（2）4． 【解析】（1）根据正弦定理，可设(0)sin sin sin a b ck k A B C===>，则sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =．代入cos cos sin A B Ca b c+=中，有cos cos sin sin sin sin A B C k A k B k C +=， 变形可得sin sin sin cos cos sin sin A B A B A B A B =+=+（）．在ABC △中，由A B C ++=π， 有sinsin sin A B C C +=π-=（）（），所以sin sin sin A B C =． （2）由已知，22265b c a bc +-=，根据余弦定理，有2223cos 25b c a A bc +-==． 所以241cos sin 5A A =-=．由（1），sin sin sin cos cos sin AB A B A B =+，所以443sin cos sin 555B B B =+，故sin 4co tan s B B B ==． 18．【答案】（1）见解析；（2）85． 【解析】（1）由已知得223AM AD ==． 取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN BC ∥，122TN BC ==．又AD BC ∥，故=TN AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN AT ∥． 因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB ．（2）取BC 的中点E ，连结AE ．由AB AC =得AE BC ⊥，从而AE AD ⊥，且222252BC AE AB BE AB ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭．以A 为坐标原点，AE 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．由题意知，()0,0,4P ，()0,2,0M ，()5,2,0C，5,1,2N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,2,4PM =-，5,1,2PN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，5,1,2AN ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭． 设(),,x y z =n 为平面PMN 的一个法向量，则00PM PN ⋅=⋅⎪⎨⎪=⎧⎩n n ，即240 520y z x y z ⎧⎪⎨=+-=⎪- 可取()0,2,1=n ，于是85cos ,AN AN AN⋅〈〉==n n n ．19．【答案】（1）25；（2）见解析；（3）400元． 【解析】（1）因为从装有10个球的箱子中任摸一球的结果共有110C 种，摸到红球的结果共有14C 种，所以顾客参加一次抽奖获得100元现金奖励的概率是14110C 42C 105==．……2分（2）设X 表示顾客在三次抽奖中中奖的次数，由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则()3 0.4X B -，，所以()30.4 1.2E X np ==⨯=．由于顾客每中奖一次可获得100元现金奖励，因此该顾客在三次抽奖中可获得的奖励金额的均值为1.2100120⨯=元．由于顾客参加三次抽奖获得现金奖好教育云平台 内部特供卷答案 第3页（共6页） 好教育云平台 内部特供卷答案 第4页（共6页）励的均值120元小于直接返现的150元， 所以商场经理希望顾客参加抽奖．……………7分 （3）设顾客参加10次抽奖摸中红球的次数为Y ．由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则()10 0.4Y B -，． 于是，恰好k 次中奖的概率为()1010C 0.40.6k k kP Y k -==⨯⨯，0 1 10k =，，…，． 从而()()()21113P Y k k P Y k k=⨯-==-， 1 2 10k =，，…，， 当 4.4k <时，()()1P Y k P Y k =-<=； 当 4.4k >时，()()1P Y k P Y k =->=，则()4P Y =最大．所以，最有可能获得的现金奖励为4100400⨯=元．于是，顾客参加10次抽奖，最有可能获得400元的现金奖励．………………12分20．【答案】（1）2234x y +=；（2）()2233033x y x +=≠．【解析】（1）设椭圆方程为()222210x ya b a b +=>>，由已知2226222c a c b a c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩，得312a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆方程为2213x y +=．①当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，代入椭圆方程得()()222136310k x kmx m +++-=．∴122613kmx x k -+=+，()21223113m x x k-⋅=+． ∵OA OB ⊥，∴0OA OB ⋅=，即()()()()221212121212121x x y y x x kx m kx m k x x km x x m +=+++=++++()()22222316101313m kmkkm m k k --⎛⎫=+⋅++= ⎪++⎝⎭，即224330m k --=． ∵AB 与以原点为圆心的圆相切，∴圆半径21m r k =+则222314m r k ==+，∴圆的方程为2234x y +=． ②当直线AB 的斜率存在时，易知AB 方程为3x =满足上述方程．综上，所求圆的方程为2234x y +=． （2）设(),P x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，由3OP OA OB =+得121233x x x y y y =+⎧⎨=+⎩ 又直线OA ，OB 的斜率积为13-，∴121213y y x x =-，即121230x x y y +=． ∵A ，B 在椭圆上，∴221113x y +=，222213xy +=联立得121212122211222233303333x x x y y y x x y y x y x y ⎧=+⎪=+⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎪+=⎩消去1x ，1y ，2x ，2y ，得22330x y +=．当OA 斜率不存在时，即10x =，得11y =±，20y =，23x =±33x =±，同理OB 斜率不存在时，33x =±P 点的轨迹方程为(2233033x y x +=≠．21．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．【解析】（1）解：由()3f x x ax b =--，可得()23f x x a ='-，下面分两种情况讨论： ①当0a ≤时，有()230f x x a '=-≥恒成立，所以()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞． ②当0a >时，令()0f x '=，解得3a x 3ax = 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：x3,3a ⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭33a- 33,33a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭33a3,3a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭()f x ' +-+()f x单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增所以()f x 的单调递减区间为33a a ⎛ ⎝⎭，单调递增区间为3,a ⎛-∞ ⎝⎭，3a ⎫+∞⎪⎪⎝⎭． （2）证明：因为()f x 存在极值点，所以由（1）知0a >且00x ≠．由题意，得()20030f x x a '=-=，即203a x =，进而()3000023a f x x ax b x b =--=--，又()()3000000082282233a a f x x axb x ax b x b f x -=-+-=-+-=--=，且002x x -≠，由题意及（1）知，存在唯一实数1x 满足()()10f x f x =，且10x x ≠，因此102x x =-，所以10+2=0x x ．（3）证明：设()g x 在区间[]1,1-上的最大值为M ，{}max ,x y 表示x ，y 两数的最大值，下面分三好教育云平台 内部特供卷答案 第5页（共6页） 好教育云平台 内部特供卷答案 第6页（共6页）种情况讨论：（1）当3a ≥时，11≤-<，由（1）知，()f x 在区间[]1,1-上单调递减，所以()f x 在区间[]1,1-上的取值范围为()()1,1f f ⎡⎤-⎣⎦，因此()(){}{}{}max |1|,|1|max 1,1max 1,1M f f a b a b a b a b =-=---+-=-+-- 1+010a bb a bb -≥⎧=⎨--<⎩所以12M a b =-+≥． （2）当334a ≤<时，11≤-<<< 由（1）和（2）知()1f f f ⎛-≥= ⎝⎭⎝⎭，()1f f f ⎛≤= ⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在区间[]1,1-上的取值范围为,f f ⎡⎤⎛⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因此max ,max M f f b b ⎧⎫⎛⎧⎫⎪⎪== ⎨⎬⎨⎬ ⎩⎭⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭231max ,944b b b ⎫==≥⨯=⎬⎭．（3）当304a <<时，11-<<<，由（1）和（2）知， ()1f f f ⎛-<= ⎝⎭⎝⎭，()1f f f ⎛>= ⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在区间[]1,1-上的取值范围为()()1,1f f ⎡⎤-⎣⎦，因此，()(){}{}{}1max |1|,|1|max 1,1max 1,114M f f a b a b a b a b a b =-=-+---=-+--=-+>． 综上所述，当0a >时，()g x 在区间[]1,1-上的最大值不小于14． 22．【答案】（1）()()22314x y -+-=；（2）30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】（1）由题意知，曲线1C 的直角坐标方程为22412x y y +-=．设点(),P x y ''，(),Q x y ． 由中点坐标公式得262x x y y'=-⎧⎨'=⎩，代入22412x y y +-=中，得点Q 的轨迹2C 的直角坐标方程为()()22314x y -+-=． （2）直线l 的普通方程为y ax =≤304a ≤≤， 即实数a 的取值范围是30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦．23．【答案】（1）][(),43,-∞-+∞；（2）[]2,0-． 【解析】（1）当3a =时，()213532 212x x f x x x x --≤-⎧⎪=-<<⎨⎪+≥⎩，当3x ≤-时，由()7f x ≥得217x --≥， 解得4x ≤-；当32x -<<时，()7f x ≥无解；当2x ≥时，由()7f x ≥得217x +≥，解得3x ≥，所以()7f x ≥的解集为][(),43,-∞-+∞．（2）()4f x x ≤-等价于42x a x x +≤---当[]0,2x ∈时，42x a x x +≤---等价于22a x a --≤≤-，由条件得20a --≤且22a -≥，即20a -≤≤．故满足条件的a 的取值范围为[]2,0-．。
2019届好教育高三第三次模拟考试卷理科数学(二)解析附
2019届好教育高三第三次模拟考试卷理科数学（二）解析附后一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·南昌一模]已知复数()i2ia z a +=∈R 的实部等于虚部，则a =（ ） A ．12- B ．12C ．1-D ．1 2．[2019·梅州质检]已知集合{}31,A x x n n ==-∈N ，{}6,8,10,12,14B =，则集合A B 中元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．[2019·菏泽一模]已知向量()1,1=-a ，()2,3=-b ，且()m ⊥+a a b ，则m =（ ） A ．25 B ．25- C ．0 D ．154．[2019·台州期末]已知圆C ：()()22128x y -+-=，则过点()3,0P 的圆C 的切线方程为（ ） A ．30x y +-= B ．30x y --= C ．230x y --= D ．230x y +-=5．[2019·东北三校]中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（ ） A ．30种 B ．50种 C ．60种 D ．90种6．[2019·汕尾质检]直角边长为1的等腰直角三角形，俯视图是扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．π9 B ．π3 C ．π6 D ．π187．[2019合肥质检]将函数()π2sin 16f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x 的图象关于点π,012⎛⎫-⎪⎝⎭对称 B ．函数()g x 的周期是π2C ．函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上最大值是18．[2019·临沂质检]执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）A ．0B ．12C ．1D ．1- 9．[2019·重庆一中]2sin80cos70cos20︒︒-=︒（ ）A ．．1 C ．210．[2019·揭阳一模]函数()f x 在[)0,+∞单调递减，且为偶函数．若()21f =-，则满足()31f x -≥-的x 的取值范围是（ ）A ．[]1,5B ．[]1,3C ．[]3,5D ．[]2,2-11．[2019·陕西联考]已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为2F ，若C 的左支上存在点M ，使得直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线，则C 的离心率为（ ） A．2 C ．512．[2019·临川一中]若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件：1212x x y y +0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数：①()()10f x x x x=+>；②()()ln 0e f x x x =<<；③()cos f x x =；④()21f x x =-．其中为“柯西函数”的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019·江门一模]已知a 、b 、c 是锐角ABC △内角A 、B 、C 的对边，S 是ABC △的面积，若8a =，5b =，S =c =_________．14．[2019·景山中学]已知a ，b 表示直线，α，β，γ表示不重合平面． ①若a αβ=，b α⊂，a b ⊥，则αβ⊥；②若a α⊂，a 垂直于β内任意一条直线，则αβ⊥； ③若αβ⊥，a αβ=，b αγ=，则a b ⊥；④若a α⊥，b β⊥，a b ∥，则αβ∥．上述命题中，正确命题的序号是__________．15．[2019·林芝二中]某传媒大学的甲、乙、丙、丁四位同学分别从影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持四门课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同．下面是关于他们选课的一些信息：①甲同学和丙同学均不选播音主持，也不选广播电视；②乙同学不选广播电视，也不选公共演讲；③如果甲同学不选公共演讲，那么丁同学就不选广播电视．若这些信息都是正确的，依据以上信息可推断丙同学选修的课程是_______（填影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持）16．[2019·河南联考]若一直线与曲线eln y x =和曲线2y mx =相切于同一点P ，则实数m =________． 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2019·长郡中学]设正项数列{}n a 的前n 项和为n Sn a 与1n a +的等比中项，其中*n ∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()11211n n n n n a b a a +++=-⋅，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：21n T <．18．（12分）[2019·维吾尔一模]港珠澳大桥是中国建设史上里程最长，投资最多，难度最大的跨海桥梁项目，大桥建设需要许多桥梁构件．从某企业生产的桥梁构件中抽取100件，测量这些桥梁构件的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[)55,65，[)65,75，[]75,85内的频率之比为4:2:1．（1）求这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（2）若将频率视为概率，从该企业生产的这种桥梁构件中随机抽取3件，记这3件桥梁构件中质量指标值位于区间[)45,75内的桥梁构件件数为X，求X的分布列与数学期望．19．（12分）[2019·淄博模拟]如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，1AB =，3CD =，2AP =，DP =60PAD ∠=︒，AB ⊥平面PAD ，点M 在棱PC 上．（1）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）若直线PA ∥平面MBD ，求此时直线BP 与平面MBD 所成角的正弦值．20．（12分）[2019·泰安期末]已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>，抛物线22:4C y x=-的准线被椭圆1C（1）求椭圆1C 的方程；（2）如图，点A 、F 分别是椭圆1C 的左顶点、左焦点直线l 与椭圆1C 交于不同的两点M 、N （M 、N 都在x 轴上方）．且AFM OFN ∠=∠．证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．21．（12分）[2019·衡水中学]已知函数()23ln f x x ax x =+-，a ∈R ． （1）当13a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）令函数()()2x x f x ϕ'=，若函数()x ϕ的最小值为32-，求实数a 的值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·揭阳一模]以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为22cos2a ρθ=（a ∈R ，a 为常数）），过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的参数方程满足2x =+，（t 为参数）．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点（点P 在A 、B 之间），且2PA PB ⋅=，求a 和PA PB -的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·汕尾质检]已知()221f x x x =++-的最小值为t ． （ ）求t 的值；（ ）若实数a ，b 满足2222a b t +=，求221112a b +++的最小值．2019届好教育云平台高三第三次模拟考试卷理 科 数 学（二）解析版注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2019年高考好教育云平台高三最新信息卷理科数学(三)解析附后
2019年高考好教育云平台高三最新信息卷理科数学（三）解析附后第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·江师附中]集合{}12A x x =-≤≤，{} 1B x x =<，则()AB =R（ ）A ．{}1x x >B ．{}1x x ≥C ．{}12x x <≤D ．{}12x x ≤≤2．[2019·呼和浩特调研]若复数()()2i 1i a ++（i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在虚轴上， 则实数a 为（ ）A ．2-B ．2C ．12- D ．123．[2019·蚌埠质检]某电商为某次活动设计了“和谐”、“爱国”、“敬业”三种红包，活动规定每人可以依次点击4次，每次都会获得三种红包的一种，若集全三种即可获奖，但三种红包出现的顺序不同对应的奖次也不同．员工甲按规定依次点击了4次，直到第4次才获奖．则他获得奖次的不同情形种数为（ ）A ．9B ．12C ．18D ．244．[2019·惠来一中]平面向量a 与b 的夹角为π3，()2,0=a ，1=b ，则2-=a b （ ） A ．B C ．0 D ．25．[2019·江西联考]程序框图如下图所示，若上述程序运行的结果1320S =，则判断框中应填入（ ）A ．12k ≤B ．11k ≤C ．10k ≤D ．9k ≤6．[2019·四川诊断]几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ）A ．729B ．428C ．356D ．2437．[2019·唐山一中]已知01b a <<<，则在b a ，a b ，a a ，b b 中最大值是（ ） A ．a b B ．a a C ．b a D ．b b8．[2019·宜宾诊断]已知直线1l ：360x y +-=与圆心为()0,1M 的圆相交于A ，B 两点，另一直线2l ：22330kx y k +--=与圆M 交于C ，D 两点，则四边形ACBD 面积的最大值为（ ） A ．B ．C ．)51 D ．)519．[2019·吉林实验中学]一个正三棱锥(底面积是正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形的中心)的四个顶点都在半径为1的球面上，球心在三棱锥的底面所在平面上，则该正三棱锥的体积是（ ）A B C D10．[2019·四川诊断]已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，其图象向左平移π6个单位后所得图象关于y 轴对称，则()f x 的单调递增区间为（ ） A ．5πππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z B ．πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈ZC ．5ππ2π,2π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z D ．π5ππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z11．[2019·厦门一中]已知数列{}n a 的前n 项和为n S，直线y x =-2222n x y a +=+交于n A ，()*n B n ∈N 两点，且214n n n S A B =．若2123232n n a a a na a λ++++<+对任意*n ∈N 恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）A ．()0,+∞B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．[)0,+∞D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭12．[2019·四川诊断]已知定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称，其导函数为()f x '．当0x ≥时，不等式()()1xf x f x '>-．若对x ∀∈R ，不等式()()e e e 0x x x f ax axf ax -+->恒成立，则正整数a 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2019·全国大联考]若实数x ，y 满足1223y x x y x y ≤-⎧⎪+≤⎨⎪+≥-⎩，则2z x y =+的最小值为_______．14．[2019·云师附中]在1和2之间插入2016个正数，使得这2018个数成为等比数列，则这个数列中所有项的乘积为______．15．[2019·南洋中学]已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()26f x x =-，则0x >时，不等式()f x x <的解集为_______．16．[2019·扬州中学]已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线MN 过2F ，且与双曲线右支交于M 、N 两点，若112cos cos F MN F F M ∠=∠，1112F M F N=，则双曲线的离心率等于_______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·保山统测]在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22212cos 2B C a b c +⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． （1）求角C ；（2）若c =ABC △周长的最大值．18．（12分）[2019·柳州模拟]某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：该社团将该校区在2018年11月中10天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率．（1）以这10天的空气质量指数监测数据作为估计2018年11月的空气质量情况，则2018年11月中有多少天的空气质量达到优良？（2）从这10天的空气质量指数监测数据中，随机抽取三天，求恰好有一天空气质量良的概率；（3）从这10天的数据中任取三天数据，记ξ表示抽取空气质量良的天数，求ξ的分布列和期望．19．（12分）[2019·全国大联考]如图，在四棱锥-中，已知四边形ABCDS ABCD形，点O是AC的中点，点S在底面ABCD上的射影为点O，点P在棱SD上，且四棱锥S ABCD-的体．积为23（1）若点P是SD的中点，求证：平面SCD⊥平面PAC；（2）若SP SDλ=，且二面角P AC D--，求λ的值．20．（12分）[2019·柳州模拟]如图，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 为椭圆C 上任意一点，A 关于原点O 的对称点为B ，有114AF BF +=，且12F AF ∠的最大值π3． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若A '是A 关于x 轴的对称点，设点()4,0N -，连接NA 与椭圆C 相交于点E ，直线A E '与x 轴相交于点M ，试求12NF MF ⋅的值．21．（12分）[2019·石室中学]已知函数()22224ln x a af x x x a+-=-+，a ∈R ． （1）当1a =，函数()y f x =图象上是否存在3条互相平行的切线，并说明理由？ （2）讨论函数()y f x =的零点个数．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·执信中学]极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知曲线1C 的极坐标方程为π4cos 3ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，曲线2C 的极坐标方程为πcos 3a ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，射线π6θα=-，θα=，π3θα=+，π2θα=+与曲线1C 分别交异于极点O 的四点A ，B ，C ，D ．（1）若曲线1C 关于曲线2C 对称，求a 的值，并把曲线1C 和2C 化成直角坐标方程． （2）求()f OA OC OB OD α=⋅+⋅，当ππ63α≤≤时，求()f α的值域．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·衡阳联考]已知函数()2f x x a x =++-． （1）若()f x 的最小值为3，求实数a 的值；（2）若2a =时，不等式()4f x ≤的解集为A ，当m ，n A ∈时，求证：42mn m n +≥+．2019年高考好教育云平台高三最新信息卷理 科 数 学（三）解析版第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·江师附中]集合{}12A x x =-≤≤，{} 1B x x =<，则()AB =R（ ）A ．{}1x x >B ．{}1x x ≥C ．{}12x x <≤D ．{}12x x ≤≤ 【答案】D【解析】∵{}1B x x =≥R ，∴(){}12AB x x =≤≤R，故选D ．2．[2019·呼和浩特调研]若复数()()2i 1i a ++（i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在虚轴上， 则实数a 为（ ）A ．2-B ．2C ．12- D ．12【答案】D【解析】∵()()()()2i 1i 2121i a a a ++=-++在复平面内所对应的点在虚轴上， ∴210a -=，即12a =．故选D ． 3．[2019·蚌埠质检]某电商为某次活动设计了“和谐”、“爱国”、“敬业”三种红包，活动规定每人可以依次点击4次，每次都会获得三种红包的一种，若集全三种即可获奖，但三种红包出现的顺序不同对应的奖次也不同．员工甲按规定依次点击了4次，直到第4次才获奖．则他获得奖次的不同情形种数为（ ）A ．9B ．12C ．18D ．24 【答案】C【解析】根据题意，若员工甲直到第4次才获奖， 则其第4次才集全“和谐”、“爱国”、“敬业”三种红包，则甲第4次获得的红包有3种情况，前三次获得的红包为其余的2种，有3226-=种情况， 则他获得奖次的不同情形种数为3618⨯=种；故选C ． 4．[2019·惠来一中]平面向量a 与b 的夹角为π3，()2,0=a ，1=b ，则2-=a b （ ） A ．B C ．0 D ．2 【答案】D【解析】∵()2,0=a ，∴2=a ，∴πcos 13⋅==a b a b ，∴22-==a b ．故选D ．5．[2019·江西联考]程序框图如下图所示，若上述程序运行的结果1320S =，则判断框中应填入（ ）A ．12k ≤B ．11k ≤C ．10k ≤D ．9k ≤【答案】D【解析】初始值12S=，k=，1执行框图如下：k=-=；k不能满足条件，进入循环S=⨯=≠，12111112121320k=-=；k不能满足条件，进入循环；S=⨯=≠，1111012111321320k≤．k=-=，此时要输出S，因此k要满足条件，∴9S=⨯=，1019132101320故选D．6．[2019·四川诊断]几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．729 B．428 C．356 D．243【答案】D【解析】由题得几何体原图是如图所示的四棱锥P ABCD-，底面是边长为9的正方形，高9PA=，∴几何体的体积为2199=2433V =⋅⋅．故选D ．7．[2019·唐山一中]已知01b a <<<，则在b a ，a b ，a a ，b b 中最大值是（ ） A ．a b B ．a a C ．b a D ．b b 【答案】C【解析】∵01b a <<<，∴x y a =和x y b =均为减函数，∴b a a a >，a b b b <，又∵b y x =在()0,+∞为增函数，∴b b a b >，即在b a ，a b ，a a ，b b 中最大值是b a ，故选C ．8．[2019·宜宾诊断]已知直线1l ：360x y +-=与圆心为()0,1M 的圆相交于A ，B 两点，另一直线2l ：22330kx y k +--=与圆M 交于C ，D 两点，则四边形ACBD 面积的最大值为（ ） A ．B ．C ．)51D ．)51【答案】A【解析】以()0,1M 的圆的方程为()2215x y +-=，联立()2236015x y x y +-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，解得()2,0A ，()1,3B ，∴AB 中点为33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭， 而直线2l ：22330kx y k +--=恒过定点33,22⎛⎫⎪⎝⎭，要使四边形的面积最大， 只需直线2l 过圆心即可，即CD 为直径，此时AB 垂直CD ，AB =，∴四边形ACBD 的面积最大值为1122S AB CD =⨯⨯=A ．9．[2019·吉林实验中学]一个正三棱锥(底面积是正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形的中心)的四个顶点都在半径为1的球面上，球心在三棱锥的底面所在平面上，则该正三棱锥的体积是（ ）A B C D【答案】C【解析】设正三棱锥底面中心为O ，连接OP ，延长CO 交AB 于D ，则32CD OC =．∵O 是三棱锥P ABC -的外接球球心，∴1OP OC ==，∴32CD =，∴BC =∴211133P ABC ABC V S OP -⋅=⨯=△．故选C ． 10．[2019·四川诊断]已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，其图象向左平移π6个单位后所得图象关于y 轴对称，则()f x 的单调递增区间为（ ） A ．5πππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z B ．πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈ZC ．5ππ2π,2π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z D ．π5ππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z【答案】B【解析】由()f x 的最小正周期为π，∴2ω=，()f x 的图象向左平移π6个单位后所得图象对应的函数为πsin 23y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因其图象关于y 轴对称，∴πππ32k ϕ+=+，k ∈Z ， ∵π2ϕ<，则π6ϕ=，∴()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由πππ2π22π262k x k -+≤+≤+，k ∈Z ，得ππππ36k x k -+≤≤+，k ∈Z ． 即()f x 的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．故选B ．11．[2019·厦门一中]已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，直线y x =-2222n x y a +=+交于n A ，()*n B n ∈N 两点，且214n n n S A B =．若2123232n n a a a na a λ++++<+对任意*n ∈N 恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）A ．()0,+∞B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．[)0,+∞D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】圆心()0,0O 到直线y x =-0x y --的距离2d ==，由22212n n d A B r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且214n n n S A B =，得2222n n S a =++，∴()1422n n n S S S -=-++，即()1222n n S S -+=+且2n ≥；∴{}2n S +是以12a +为首项，2为公比的等比数列． 由2222n n S a =++，取1n =，解得12a =，∴()11222n n S a +=+⋅﹣，则122n n S +=-； ∴()11222222n n n n n n a S S n +-=-=--+=≥，12a =适合上式，∴2nn a =；设()2311232322232122n n n n T a a a n a n n -=++++⋅=+⨯+⨯++-⋅+⋅，()2341222232122n n n T n n +=+⨯+⨯++-⋅+⋅，∴()()1231111121222222222212212n n n n n n n n T n n n +++++--=++++-=-⋅=--⋅=-⋅--；∴()1122n n T n +=-⋅+，若2123232n n a a a na a λ++++<+对任意*n ∈N 恒成立，即()()2112222n n n λ+-⋅+<+对任意*n ∈N 恒成立，即112n n λ-->对任意*n ∈N 恒成立． 设112n n n b --=，∵1112222n nn n n n n nb b +----=-=，∴12341n n b b b b b b +=>>>><>，故n b 的最大值为23b b =， ∵2312b b ==，∴1λ2>．故选B ． 12．[2019·四川诊断]已知定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称，其导函数为()f x '．当0x ≥时，不等式()()1xf x f x '>-．若对x ∀∈R ，不等式()()e e e 0x x x f ax axf ax -+->恒成立，则正整数a 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】∵()()1xf x f x '>-，∴()()10xf x f x '-+>，令()()1F x x f x =-⎡⎤⎣⎦，则()()()10F x xf x f x ''=+->， 又∵()f x 是在R 上的偶函数，∴()F x 是在R 上的奇函数， ∴()F x 是在R 上的单调递增函数，又∵()()e e e x x x f axf ax ax ->-，可化为()()e e 11x xf ax f ax ⎡⎤->-⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 即()()e x F F ax >，又∵()F x 是在R 上的单调递增函数，∴e 0x ax ->恒成立， 令()e x g x ax =-，则()e x g x a '=-，∵0a >，∴()g x 在(),ln a -∞单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增， ∴()min ln 0g x a a a =->，则1ln 0a ->， ∴0e a <<，∴正整数a 的最大值为2．故选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2019·全国大联考]若实数x ，y 满足1223y x x y x y ≤-⎧⎪+≤⎨⎪+≥-⎩，则2z x y =+的最小值为_______．【答案】11-【解析】作出不等式组1223y x x y x y ≤-⎧⎪+≤⎨⎪+≥-⎩表示的平面区域，如图中阴影部分所示．平移直线20x y +=，可知当直线过点C 时，z 有最小值，联立223x y x y +=⎧⎨+=-⎩，解得58x y =⎧⎨=-⎩，故()5,8C -，则z 的最小值为()52811+⨯-=-．故答案为11-．14．[2019·云师附中]在1和2之间插入2016个正数，使得这2018个数成为等比数列，则这个数列中所有项的乘积为______． 【答案】10092【解析】根据等比数列的性质可得120182201732016100910102a a a a a a a a ===⋯==， ∴这个数列中所有项的乘积为10092，故答案为10092．15．[2019·南洋中学]已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()26f x x =-，则0x >时，不等式()f x x <的解集为_______． 【答案】()2,+∞【解析】∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴当0x >时，0x -<， ∴()26f x x -=-，由奇函数可()26f x x =-+， ∴不等式()f x x <可化为206x x x>⎧⎨-+<⎩，解得2x >；∴0x >时，不等式()f x x <的解集为()2,+∞，故答案为()2,+∞．16．[2019·扬州中学]已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线MN 过2F ，且与双曲线右支交于M 、N 两点，若112cos cos F MN F F M ∠=∠，1112F M F N=，则双曲线的离心率等于_______． 【答案】2【解析】如图，由112cos cos F MN F F M ∠=∠可得112F MN F F M ∠=∠，∴1122F M F F c ==，1124F N F M c ==，由双曲线的定义可得222MF c a =-，242NF c a =-，∴64MN c a =-，在1F MN △中由余弦定理得()()()()()()2222212644362cos 226432c c a c c ac a F MN c c a c c a +---+∠==⨯⨯--，在12F F M △中由余弦定理得()()()()()222122222cos 22222c c a c c aF F M c c a c+---∠==⨯⨯-， ∵112cos cos F MN F F M ∠=∠，∴()22362322c ac a c ac c a c -+-=-，整理得223720c ac a -+=，∴23720e e -+=，解得2e =或13e =（舍去）．∴双曲线的离心率等于2．故答案为2．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·保山统测]在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22212cos 2B C a b c +⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． （1）求角C ；（2）若c =ABC △周长的最大值．【答案】（1）2π3C =；（2）4+ 【解析】（1）由22212cos 2B C a b c +⎛⎫+=- ⎪⎝⎭得22cos a b c A +=． 根据正弦定理，得sin 2sin 2cos sin A B A C +=，化为()sin 2sin 2cos sin A A C A C ++=，整理得到sin 2sin cos A A C =-， ∵sin 0A >，故1cos 2C =-，又0πC <<，∴2π3C =． （2）由余弦定理有2222cos c a b ab C =+-，故2212a b ab ++=，整理得到()2212122a b a b ab +⎛⎫+=+≤+ ⎪⎝⎭，故4a b +≤，当且仅当2a b ==时等号成立，∴周长的最大值为224+++．18．（12分）[2019·柳州模拟]某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：该社团将该校区在2018年11月中10天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率．（1）以这10天的空气质量指数监测数据作为估计2018年11月的空气质量情况，则2018年11月中有多少天的空气质量达到优良？（2）从这10天的空气质量指数监测数据中，随机抽取三天，求恰好有一天空气质量良的概率； （3）从这10天的数据中任取三天数据，记ξ表示抽取空气质量良的天数，求ξ的分布列和期望． 【答案】（1）11月中平均有9天的空气质量达到优良；（2）()715P A =；（3）见解析． 【解析】（1）由频率分布直方图，知这10天中1级优1天，2级良2天，3-6级共7天． ∴这10天中空气质量达到优良的概率为310P =， ∵330910⨯=，∴11月中平均有9天的空气质量达到优良． （2）记“从10天的空气质量指数监测数据中，随机抽取三天，恰有一天空气质量优良”为事件A ，则()1228310C C 7C 15P A ⋅==，即恰好有一天空气质量良的概率715．（3）由题意得ξ的所有可能取值为0，1，2，()0328310C C 70C 15P ξ⋅===；()1228310C C 71C 15P ξ⋅===；()2128310C C 12C 15P ξ⋅===． ∴ξ的分布列为：∴77130121515155E ξ=⨯+⨯+⨯=． 19．（12分）[2019·全国大联考]如图，在四棱锥S ABCD -中，已知四边形ABCD形，点O 是AC 的中点，点S 在底面ABCD 上的射影为点O ，点P 在棱SD 上，且四棱锥S ABCD -的体积为23．（1）若点P 是SD 的中点，求证：平面SCD ⊥平面PAC ；（2）若SP SD λ=，且二面角P AC D --，求λ的值． 【答案】（1）见解析；（2）14λ=． 【解析】（1）∵点S 在底面ABCD 上的射影为点O ，∴SO ⊥平面ABCD ， 又四边形ABCDS ABCD -的体积为23，∴1233SO =，即1SO =，∴SC ，又CD =P 是SD 的中点，∴CP SD ⊥，同理可得AP SD ⊥． 又AP CP P =，∴SD ⊥平面PAC ， 又SD ⊂平面SCD ，∴平面SCD ⊥平面PAC ．（2）如图，连接OB ，易得OB ，OC ，OS 互相垂直，分别以OB ，OC ，OS 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -， 则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()0,0,1S ，()1,0,0D -，∵SP SD λ=，点P 在棱SD 上，∴01λ≤≤，又()1,0,1SD =--，∴(),0,SP λλ=--，∴(),0,1P λλ--，设平面PAC 的法向量为(),,x y z =n ，则00AP AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，∵(),1,1AP λλ=--，()0,2,0AC =，∴()1020x y z y λλ⎧-++-=⎪⎨=⎪⎩，令z λ=，可得1x λ=-，∴平面PAC 的一个法向量为()1,0,λλ=-n ， 又平面ACD 的一个法向量为()0,0,1OS =，二面角P AC D --，∴,cos OS OS OS ⋅===⋅n n n，即28210λλ+-=， 解得14λ=（负值舍去）． 20．（12分）[2019·柳州模拟]如图，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 为椭圆C 上任意一点，A 关于原点O 的对称点为B ，有114AF BF +=，且12F AF ∠的最大值π3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若A '是A 关于x 轴的对称点，设点()4,0N -，连接NA 与椭圆C 相交于点E ，直线A E '与x 轴相交于点M ，试求12NF MF ⋅的值．【答案】（1）22143x y +=；（2）126NF MF ⋅=． 【解析】（1）∵点A 为椭圆上任意一点，A 关于原点O 的对称点为B ，∴12AF BF =， 又114AF BF +=，∴2124BF BF a +==，∴2a =， 又12F AF ∠的最大值为π3，知当A 为上顶点时，12F AF ∠最大， ∴2a c =，∴1c =，∴2223b a c =-=，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）由题意可知直线NA 存在斜率，设直线NA 的方程为()4y k x =+，由()224143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得()2222433264120k x k x k +++-=．∵直线与椭圆交于两点，∴()()()22223244364120k k k ∆=-+->，解得1122k -<<．设()11,A x y ，()22,E x y ，则()11,A x y '-，且21223243k x x k -+=+，2122641243k x x k -=+，①直线A E '的方程为()211121y y y y x x x x ++=--， 令0y =，得()1212211112211121212248M x x x x x y x y x y x y x x y y y y x x ++-+=+==++++，② 由①②得()()222226412128132843M k k x k k --==--++．∴点M 为左焦点()11,0F -，因此13NF =，22MF =，∴126NF MF ⋅=．21．（12分）[2019·石室中学]已知函数()22224ln x a af x x x a +-=-+，a ∈R ．（1）当1a =，函数()y f x =图象上是否存在3条互相平行的切线，并说明理由？ （2）讨论函数()y f x =的零点个数． 【答案】（1）存在；（2）见解析．【解析】（1）()()21ln 1x f x x x -=-+，()()()2211x f x x x -'=+，()()()()()24211411x x x x f x x x --+--''=+， 则函数()f x '在()0,1单调递减，(1,2上单调递增，()2+∞上单调递减，∵1229f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，()10f '=，()94100f '=，x →+∞，()0f x '→，∴存在切线斜率()0,0.09k ∈，使得()()()123f x f x f x k '''===，()10,1x ∈，()21,4x ∈，()34,x ∈+∞， ∴函数()y f x =图象上是存在3条互相平行的切线．（2）()()()2242224x a a x a f x x x a+-+'=+，当0a ≤，有()22121201a a f a +-=-<+；()4424e 20e a f a =+>+， ()f x 在()0,+∞上单调递增；∴函数()f x 存在唯一一个零点在()41,e 内；当1a ≥，有0∆<，()22121201a a f a +-=-<+；()4424e 20e a f a =+>+， ()f x 在()0,+∞上单调递增；∴函数()f x 存在唯一一个零点在()41,e 内； 当01a <<，有()()22124121610422200a a x x a a a a x x a ∆⎧=-≥⎪⎪+=-=->⎨⎪⋅=>⎪⎩，∴()f x 在()10,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，22222222424e 220e a a a f a a a a --⎛⎫=-+-<-+-< ⎪ ⎪⎝⎭+， ()2221ln 22ln 10f a a a a a ⎛⎫=+-=+-> ⎪⎝⎭， ()10f <，()4424e 20e a f a=+>+，2224e 1e a a -<<<， ∴函数()f x 一个零点在区间222e ,a a -⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭内，一个零点在区间()21,a 内，一个零点在()41,e 内．∴函数()f x 有三个不同零点． 综上所述：当(][),01,a ∈-∞+∞函数()f x 一个零点；当()0,1a ∈函数()f x 三个零点．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·执信中学]极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知曲线1C 的极坐标方程为π4cos 3ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，曲线2C 的极坐标方程为πcos 3a ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，射线π6θα=-，θα=，π3θα=+，π2θα=+与曲线1C 分别交异于极点O 的四点A ，B ，C ，D ． （1）若曲线1C 关于曲线2C 对称，求a 的值，并把曲线1C 和2C 化成直角坐标方程． （2）求()f OA OC OB OD α=⋅+⋅，当ππ63α≤≤时，求()f α的值域． 【答案】（1）2a =，()(2214x y -+=，40x +-=；（2）⎡⎣． 【解析】（1）21ππ:4cos cos sin sin 33C ρρθρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 即222x y x +=+，化为直角坐标方程为()(2214x y -+=．把2C 的方程化为直角坐标方程为20x a +-=，∵1C 曲线关于曲线2C 对称，故直线20x a +-=经过圆心(，解得2a =， 故2C 的直角坐标方程为40x +-=． （2）当ππ63α≤≤时，ππ4cos 4sin 63OA αα⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，π4cos 3OB α⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ4cos 4cos 33OC αα⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，πππ4cos 4sin 233OD αα⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()ππ16sin cos 16cos sin 33f OA OB OC OD ααααα⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π8sin 28sin 212sin 2πn 2263ααααα⎛⎛⎫=+⎫=-- ⎪⎝=+⎪⎝⎭⎭ ， 当ππ63α≤≤时，ππ5π2626α≤+≤，π26α⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭ 故()f α的值域为⎡⎣． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 [2019·衡阳联考]已知函数()2f x x a x =++-． （1）若()f x 的最小值为3，求实数a 的值；（2）若2a =时，不等式()4f x ≤的解集为A ，当m ，n A ∈时，求证：42mn m n +≥+． 【答案】（1）1a =或5-；（2）见解析．【解析】（1）∵()()()222f x x a x x a x a =++-≥+--=+， （当且仅当()()20x a x +-≤时取=号） ∴23a +=，解得1a =或5-．（2）当2a =时，()2,2224,222,2x x f x x x x x x -<-⎧⎪=++-=-≤<⎨⎪≥⎩， 当2x <-时，由()4f x ≤，得24x -≤，解得2x ≥-；又2x <-，∴不等式无实数解； 当22x -≤<时，()4f x ≤恒成立，∴22x -≤<； 当2x ≥时，由()4f x ≤，得24x ≤，解得2x =； ∴()4f x ≤的解集为[]2,2A =-．()()()()2222224481642mn m n m n mn m n mn +-+=++-++()()()()22222222221644416444m n m n m n m n m n =+--=-+-=--．∵m ，[]2,2n ∈-，∴()240m -≤，()240n -≤，∴()()22440mn m n +-+≥，即()()2244mn m n +≥+，∴42mn m n +≥+．。
2019届高三理科数学高三好教育云平台8月份特供卷(二)(解析版)
2019届高三理科数学高三好教育云平台8月份特供卷（二）（解析版）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}|24,x A x x =≤∈N ，6=|1,Z 1B x x x ⎧⎫>∈⎨⎬+⎩⎭，则满足A C B ⊆⊆集合C 的个数为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】A2．已知p ：“R x ∀∈，233x +≥”，则p ⌝是（ ）A ．R x ∀∈，233x +<B ．R x ∃∈，233x +≤C ．R x ∃∈，233x +<D ．R x ∃∈，233x +≥ 【答案】C3．下列命题中正确命题的个数是（ ）（1）对分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握越大； （2）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变； （3）在残差图，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高； （4）设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=，则()1102P p ξ-<<=-； A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】B 4．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？（ ） A ．18 B ．20 C ．21 D ．25 【答案】C5．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体最长的一条棱长为（ ）A．B．C ．4 D．【答案】A6．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则10S =（ ） A ．110B ．110-C ．10D ．10-【答案】B7．设0sin d a x x π=⎰，则()622x ⎛⋅+ ⎝的展开式中常数项是（ ） A ．332B ．332-C ． 320D ．320-【答案】B8．设sin 390a =︒，函数()0log 0x a a x f x x x ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，则211log 108f f ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值等于（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】C9．现有一个不透明的口袋中装有标号为1，2，2，3的四个小球，他们除数字外完全相同，现从中随机取出一球记下号码后放回，均匀搅拌后再随机取出一球，则两次取出小球所标号码不同的概率为（ ）A ．16B ．56 C ．38D ．58【答案】D10．已知定义在区间,2π⎡⎤-π⎢⎥⎣⎦上的函数()y f x =的图像关于直线4x π=对称，当4x π≥时，()sin f x x =，如果关于x 的方程()f x a =有解，记所有解的和为S ，则S 不可能为（ ）A ．34πB ．2π C ．π D ．2π【答案】D11．已知直线l 与双曲线2214x y -=相切于点P ，l 与双曲线两条渐近线交于M ，N 两点，则OM ON ⋅ 的值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．与P 的位置有关 【答案】B12．设()()210n n f x x x x x =++++> ，其中n ∈N ，2n ≥，则函数()()2n n G x f x =-在1,12n ⎛⎫⎪⎝⎭内的零点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．与n 有关 【答案】B第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知复数1i z =+，则221z zz -=-__________．【答案】2i14．从抛物线214y x =上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且5PM =．设抛物线的焦点为F ，则MPF △的面积为__________． 【答案】1015．过平面区域202020x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩内一点P 作圆22:1O x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，记APB α∠=，当α最大时，点P 坐标为__________． 【答案】()1,1--16．设()3f x x x =-，过下列点()0,0A ，()0,2B ，()2,1C -，D ⎝⎭，()2,0E -分别作曲线()f x 的切线，其中存在三条直线与曲线()y f x =相切的点是__________． 【答案】C ，E三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在平面直角坐标系xoy 中，已知向量sin ,cos 4x x ⎛π⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭m ，cos ,sin 4x x ⎛π⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n ，设()f x =⋅m n（1）求()f x 的最小正周期；（2）在锐角三角形ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若02C f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1c =，求ABC △面积的最大值．【答案】（1）T =π；（2【解析】（1）()sin cos sin cos 44f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭m n ，sin cos sin cos 442x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=⋅+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin cos sin sin 44x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=⋅--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1cos 2sin 212sin 2222x x x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭=-=-，故()f x 的最小正周期T =π； （2）1sin 022C f C ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，又三角形为锐角三角形，故6C π=，11sin 264S ab ab π==，(22212cos 226c a b ab ab ab π==+-≥=，∴2ab ≤∴11sin 264S ab ab π==≤．18．（12分）郑州一中社团为调查学生学习围棋的情况，随机抽取了100名学生进行调查．根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图：将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”． （1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“围棋迷”与性别有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量学生中，采用随机抽样方法每次抽取1名学生，抽取3次，记被抽取的3名学生中的“围棋迷”人数为X ．若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列与期望．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，【答案】（1）见解析；（2）()34E X =，见解析． 【解析】解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“围棋迷”有25人，从而2×2列联表如下：()()221112122121212100301045151003.0307525455533n n n n n n n n n χ++++-⨯⨯-⨯===≈⨯⨯⨯， 因为3.030 3.841<，所以没有理由认为“围棋迷”与性别有关；（2）由频率分布直方图知抽到“围棋迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“围棋迷”的概率为1．由题意13,3X B ⎛⎫⎪ ，从而X 的分布列为()13344E X np ==⨯=．19．（12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，90ADC ∠=︒，CD AB ∥，2AB =，1AD CD ==，M 为线段AB 的中点．将ADC △沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D ABC -，如图2所示． （1）求证：平面DBC ⊥平面ACD ； （2）求二面角B CD M --的余弦值．【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）在图1中，可得AC BC ==222AC BC AB +=，故AC BC ⊥， 取AC 中点O 连结DO ，则DO AC ⊥，又面ADE ⊥面ABC ，面ADE 面ABC AC =，DO ⊂面ACD ，从而OD ⊥平面ABC ，∴OD BC ⊥， 又AC BC ⊥，AC OD O = ，∴BC ⊥平面ACD ，故平面DBC ⊥平面ACD ；（2）建立空间直角坐标系O xyz -如图所示，则M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，C ⎫⎪⎪⎝⎭，D ⎛ ⎝⎭，,CM ⎫=⎪⎪⎝⎭，CD =⎝⎭， 设()1,,x y z =n 为面CDM 的法向量，则1100CM CD ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n即00==，解得y x z x =-⎧⎨=-⎩， 令1x =-，可得()11,1,1=-n ，又()20,1,0=n 为面ACD 的一个法向量，∴121212cos ,⋅==n n n n n n B CD M --的余弦值为20．（12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=的离心率为12，1F ，2F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上任意一点，且12PF F △的周长是6．（1）求椭圆C 的方程； （2）设圆：()224:9T x t y -+=，过椭圆的上顶点作圆T 的两条切线交椭圆于E ，F 两点，当圆心在x 轴上移动且()0,1t ∈时，求EF 的斜率的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）⎛ ⎝⎭． 【解析】（1）由12e =，可知2a c =，因为12PF F △的周长是6，所以226a c +=， 所以2a =，1c =，所求椭圆方程为22143x y +=；（2）椭圆的上顶点为(M ，设过点M 与圆T相切的直线方程为y kx =由直线1y kx =+与T23=，()2294230t k -++=，∴12k k +=，1222394k k t =-，由122143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得()2211340k x x ++=，∴1E x =，同理2F x =，((1212E F E F EFEFE F E F E Fk x k x y y k x k x k x x x x x x ---===---，()1212334k k k k +- 当01t <<时，()f t =EF的斜率的范围为⎛ ⎝⎭． 21．（12分）已知函数()ln f x x x =-．（1）证明：()ln x f x x>； （2）设0m n >>，比较()()()f m m f n n m n+-+-与22mm n+的大小，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）()()()22f m m f n n mm nm n +-+>-+，见解析．【解析】（1）因为()1xf x x-'=，故()f x 在()0,1上是增加的，在()1,+∞上是减少的， ()()max 1ln111f x f ==-=-，()min 1f x =，设()ln x G x x =，则()21ln xG x x -'=，故()G x 在()0,e 上是增加的，在()e,+∞上是减少的，故()()max 1e 1eG x G ==<，()()max min G x f x <， 所以()ln xf x x>对任意()0,x ∈+∞恒成立； （2）()()lnln ln 11mf m f n m n m n n m m n m n n n -+--==⨯---，2211m n mm n n m n =⨯++， ∵0m n >>，∴10m n ->，故只需比较ln m n 与1mn n m m n-+的大小令()1m t t n =>，设()()211ln ln 11t t t G t t t t t t--=-=-++，()()()()()3243222222111211111t t t t t t t t G t t t t t t t -+++--++'=-==+++， 因为1t >，所以()0G t '>，所以函数()G t 在()1,+∞上是增加的， 故()()10G t G >=，所以()0G t >对任意1t >恒成立， 即1ln m m n n mn m n->+，从而有()()()22f m m f n n m m n m n +-+>-+． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知直线l 的参数方程：1cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线C的参数方程：sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），且直线交曲线C 于A ，B 两点．（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程，并求3θπ=时，AB 的长度； （2）已知点()1,0P ，求当直线倾斜角θ变化时，PA PB ⋅的范围．【答案】（1）2213x y +=，3；（2）1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】（1）曲线C 的普通方程为2213x y +=；当3θπ=时，直线l的参数方程：112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将l 的参数方程代入2213x y +=，得220t t +-=，解得12t =-，21t =，所以123AB t t =-=． （2）直线l 参数方程代入得()222cos 3sin 2cos 20t t θθθ++-=，1222221cos 3sin 12sin PA PB t t θθθ⋅=-==++，20sin 1θ≤≤，113PA PB ≤⋅≤， 所以PA PB ⋅的范围是1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知实数0a >，0b >，且228a b +=，若a b m +≤恒成立． （1）求实数m 的最小值； （2）若21x x a b -+≥+对任意的a ，b 恒成立，求实数x 的取值范围． 【答案】（1）4；（2）2|23x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或．【解析】（1）∵222a b ab +≥，∴()22222a b a b +≥+，∴()216a b +≤， ∴()4a b +≤，故4m ≥；（2）由21x x a b -+≥+恒成立，故只需214x x -+≥，则x 的取值范围是2|23x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或．【河南省郑州市第一中学2019届高三上学期入学摸底测试理数试题用稿】。
2019年高考好教育云平台高三最新信息卷理科数学(一)解析附后
【答案】B
【解析】根据三视图知，该几何体是三棱柱，截去两个三棱锥，如图所示：
结合图中数据，计算该几何体的体积为
（立方丈）．
8．[2019·哈六中]实数 ， 满足不等式组 ，若 的最大值为5，则正数 的值为（）
A．2B． C．10D．
【答案】A
【解析】先由 画可行域，
发现 ，所以 可得到 ，且 为正数．
A． B．5C．6D．
8．[2019·哈六中]实数 ， 满足不等式组 ，若 的最大值为5，则正数 的值为（）
A．2B． C．10D．
9．[2019·镇海中学]已知正项等比数列 满足 ，若存在两项 ， ，使得 ，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
10．[2019·聊城一模]如图，圆柱的轴截面为正方形 ， 为弧 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（）
对于选项B，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5，
所以乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模能力指标值，所以该命题是假命题；
对于选项C，甲的六维能力指标值的平均值为 ，乙的六维能力指标值的平均值为 ，因为 ，所以选项C正确；
对于选项D，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】解 得到 ，假设 ，一定有 ，反之不一定，
故 是 成立的充分不必要条件．故答案为A．
3．[2019·衡阳联考]比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分，分值高者为优），绘制了如图1所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是（）
则其前2019项的和 的最小值为（）
2019届高三理科数学好教育单元训练金卷(B)不等式(解析版附后)
2019届高三理科数学好教育单元训练金卷（B ）不等式（解析版附后）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如果b a >，则下列各式正确的是（ ） A ．x b x a lg lg > B ．22bx ax >C ．22b a >D ．xx b a 22⋅>⋅2．若110a b<<，则下列不等式中，正确的不等式有（ ） ①a b ab +<；②22a b >；③a b <；④2b a a b +>；⑤33a b >；⑥1ba<； A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．若函数()f x =[1,2]，则a b +的值为（ ） A ．1B ．2C ．1-D ．2-4．已知0a >，0b >，a ，b 的等差中项是12，设1x a a=+，1y b b =+，则x y +的最小值是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．65．在R 上定义运算⊗：2xx y y⊗=-，若关于x 的不等式()()10x a x a -⊗+-≥的解集是集合}{22x x-<≤的子集，则实数a 的取值范围为（ ） A ．21a -<< B ．21a -≤< C ．21a -<≤ D ．21a -≤≤6．以原点为圆心的圆全部都在平面区域36020x y x y -+≥⎧⎨-+≥⎩内，则圆的面积的最大值为（ ）A ．18π5B ．9π5C ．2πD ．π7．已知函数2log ,0()3,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则满足1()3f x >的x 的取值范围（ ）A．)+∞ B ．(,1)-∞- C ．3(1,0](2,)-+∞ D ．(1,)-+∞8．已知平面直角坐标系xoy上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定，若(,)M x y 为D 上动点，点A的坐标为，则z OM OA =⋅的最大值为（ ） A．B．C ．4D ．39．若2()f x x -=，2m f a b ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，n f =，2a b r f ab +⎛⎫= ⎪⎝⎭，（a ，b 为正数）， 则m ，n ，r 的大小关系是（ ） A ．m n r ≥≥B ．m r n ≥≥C ．r n m ≥≥D ．n r m ≥≥10．若正数a ，b ，c 满足42=+++bc ac ab a ，则c b a ++2的最小值为（ ）． A ．3B ．4C ．9D ．1611．设x ，y 满足约束条件10100x y y x --≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为4，则ab 的最大值为（ ） A ．4B ．2C ．6D ．812．若1>a ，设函数()4x f x a x =+-的零点为m ，()log 4a g x x x =+-的零点为n ，则nm 11+的取值范围是（ ） A ．7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．[)1,+∞C ．),4(+∞D ．9,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．若关于x 的不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有1、2、3，则b 的取值范围 是_________． 14．已知1(3)3m a a a =+>-，214x n -=，则m ，n 之间大小关系是_________． 15．对于任意的实数2x >-，不等式2452x x a x ++≥+恒成立，a 的取值范围是_________．16．已知x ，y 满足354e xx y x y y ⎧+≥⎪+≤⎨⎪≥⎩，则x y 的取值范围为是_________．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）解关于x 的不等式()110x x a ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，0a a ∈≠R 且．18．（12分）已知2()3(6)f x x a a x b =-+-+；（1）当不等式()0f x >的解集为(1,3)-时，求实数a ，b 的值； （2）解关于a 的不等式(1)0f >．19．（12分）已知函数3)(2++=ax x x f ．（1）当x ∈R 时，a x f ≥)(恒成立，求a 的取值范围； （2）当]2,2[-∈x 时，a x f ≥)(恒成立，求a 的取值范围．20．(12分)已知函数c bx ax x x f +++=23)(的一个零点为1=x ，另外两个零点可分别作为一个椭圆和一个双曲线的离心率．（1）求c b a ++的值； （2）求ab的取值范围．21．(12分)某宾馆有一房间，室内面积共计2180m ，拟分割出两类房间作为旅游客间，大房间面积为218m ，可住游客5人，每人每天住宿费40元；小房间每间面积为215m ，可以住游客3人，每人每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果宾馆只有8000元用于装修，且游客能住满客房，该宾馆应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？(不记隔墙面积)．22．（12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知3=AB 米，2=AD 米．（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长度应在什么范围内？（2）当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小?并求出最小值．2019届高三理科数学好教育单元训练金卷（B）不等式（解析版）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．如果b a >，则下列各式正确的是（ ） A ．x b x a lg lg > B ．22bx ax > C ．22b a > D ．xx b a 22⋅>⋅【答案】D【解析】∵02>x，b a >，x x b a 22⋅>⋅，∴x x b a 22⋅>⋅，故选D ．2．若110a b<<，则下列不等式中，正确的不等式有（ ） ①a b ab +<；②22a b >；③a b <；④2b a a b +>；⑤33a b >；⑥1ba<； A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】∵110a b <<，∴0b a <<，∴0a b +<，0ab >，22a b <，33a b >，1ba>， 又b a 与a b 为正且不等，∴2b aa b+>，∴①④⑤正确，②③⑥错误，故选C ．3．若函数()f x =[1,2]，则a b +的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．1- D ．2-【答案】A【解析】依题意，20x ax b -++≥的解集为[]1,2，∴1212a b +=⎧⎨⨯=-⎩，即3a =，2b =-，∴1a b +=，故选A ．4．已知0a >，0b >，a ，b 的等差中项是12，设1x a a=+，1y b b =+，则x y +的最小值是（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】由题意知，1a b +=，∴1a b +=，故14ab≥，∴11x y a b a b +=+++111145a b ab ab +=+=+≥+=，当且仅当12a b ==是取等号，故选C ． 5．在R 上定义运算⊗：2xx y y ⊗=-，若关于x 的不等式()()10x a x a -⊗+-≥的解集是集合}{22x x-<≤的子集，则实数a 的取值范围为（ ）A ．21a -<<B ．21a -≤<C ．21a -<≤D ．21a -≤≤【答案】C【解析】由()()()1021x a x a x a x a --⊗+-=≥-+-得1x ax a -≤--0，解得1a x a ≤<+，由题设知212aa -⎧⎨+≤⎩，解得21a -<≤，故选C ．6．以原点为圆心的圆全部都在平面区域36020x y x y -+≥⎧⎨-+≥⎩内，则圆的面积的最大值为（ ）A ．18π5B ．9π5C ．2πD ．π【答案】C【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图所示，可知当圆的面积最大时，它与直线20x y -+=相切，此时圆的半径r∴圆的面积为2π，故选C ．7．已知函数2log ,0()3,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则满足1()3f x >的x 的取值范围（ ）A．)+∞ B ．(,1)-∞- C ．3(1,0](2,)-+∞ D ．(1,)-+∞【答案】C【解析】当0x >时，由1()3f x >得，21log 3x >，∴x 当0x ≤时，由1()3f x >得133x >， ∴10x -<≤，综上知，x 的取值范围是3(1,0](2,)-+∞，故选C ．8．已知平面直角坐标系xoy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定，若(,)M x y 为D 上动点，点A 的坐标为，则z OM OA =⋅的最大值为（） A．B ．C ．4D ．3【答案】C【解析】作出不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩所表示的区域D ，如图所示，由题设知，(,)OM x y =，(2,1)OA =，∴2z OM OA x y=⋅=+，由图形可得，目标函数z y +过点A 时，取得最大值为4，故选C ．9．若2()f x x -=，2m f a b ⎛⎫=⎪+⎝⎭，n f =，2a b r f ab +⎛⎫= ⎪⎝⎭，（a ，b 为正数）， 则m ，n ，r 的大小关系是（ ） A ．m n r ≥≥ B ．m r n ≥≥ C ．r n m ≥≥ D ．n r m ≥≥【答案】A【解析】∵0a>，0b >，a b+≥∴2a b ≤+，又由a b+≥得，2a b ab +≥， 即2a b ab+≥，∴有202a ba b ab+<≤≤+，∵2()f x x -=在0x >时为减函数， ∴22a b f f f a b ab +⎛⎫⎛⎫≥≥ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭，即m n r ≥≥，故选A ． 10．若正数a ，b ，c 满足42=+++bc ac ab a ，则c b a ++2的最小值为（ ）． A ．3 B ．4 C ．9 D ．16【答案】B【解析】∵4))((2=++=+++c a b abc ac ab a ， ∴2()()4a b c a b a c ++=+++≥，故选B ．11．设x ，y 满足约束条件10100x y y x --≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为4，则ab 的最大值为（ ） A ．4B ．2C ．6D ．8【答案】B【解析】作出可行域，如图所示，当直线z a x b y =+过直线10x y --=与直线1y =的交点(2,1)A 时，目标函数z ax by =+(0,0)a b >>取得最大值4，∴24a b +=，∵0a >，0b >，∴24a b +=，则2ab ≤，当且仅当1a =，2b =时取等号，故选B ．12．若1>a ，设函数()4x f x a x =+-的零点为m ，()log 4a g x x x =+-的零点为n ，则nm 11+的取值范围是（ ） A ．7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．[)1,+∞C ．),4(+∞D ．9,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】函数4)(-+=x a x f x的零点m 为xa y =与x y -=4图象交点的横坐标，4log )(-+=x x x g a 的零点n 为x y a log =与x y -=4图象交点的横坐标，因为函数xa y =与函数x y a log =互为反函数，其图像关于直线x y =对称，所以4=+n m ，111111111()(2)()1442424m n m n m n m n m n n m n m ++=+=++=+++⨯=≥， 故选B ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．若关于x 的不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有1、2、3，则b 的取值范围 是_________． 【答案】(5,7)【解析】由题意得，443443433b b x b x b x -+-<⇒-<-<⇒<<，若不等式的整数解只有1、2、3，则b 应满足：40134343b b -⎧≤<⎪⎪⎨+⎪<≤⎪⎩，即4758b b ≤<⎧⎨<≤⎩，解得57b <<．14．已知1(3)3m a a a =+>-，214x n -=，则m ，n 之间大小关系是_________． 【答案】m n >【解析】∵3a >，∴30a ->，∴113323533m a a a a =+=-++≥+=--， 又211x -≤，∴由指数函数的性质知，2144x n -=≤，故m n >．15．对于任意的实数2x >-，不等式2452x x a x ++≥+恒成立，a 的取值范围是_________．【答案】(,2]-∞【解析】∵2x >-，∴20x +>，故2245(2)11(2)2222x x x x x x x ++++==++≥+++， 即2452x x x +++的最小值为2，当且仅当1x =-时取等号，∵不等式2452x x a x ++≥+恒成立，∴2a ≤． 16．已知x ，y 满足354e xx y x y y ⎧+≥⎪+≤⎨⎪≥⎩，则x y 的取值范围为是_________．【答案】[e,7]【解析】作出),(y x 所在平面区域，如图所示，求出e x y =的切线的斜率e ，设过切点),(00y x P 的切线为()e 0y x m m =+≥， 则00000e e y x m m x x x +==+，要使它最小须0=m ，∴yx的最小值在00(,)P x y 处为e ； 此时，点00(,)P x y 在e x y =上A ，B 之间，当),(y x 对应点C 时，由45205775342012y x y x y y y x y xx =-=-⎧⎧⇒⇒=⇒=⎨⎨=-=-⎩⎩，∴y x 的最大值在C 处为7，∴y x 的取值范围为[]e,7，即ba的取值范围是[]e,7．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）解关于x 的不等式()110x x a ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，0a a ∈≠R 且． 【答案】见解析．【解析】当10a -<<时，不等式的解集为11|x a x ⎧⎫⎨⎬⎭⎩＜＜－；当1a =-时，不等式的解集为∅； 当0a >或1a <-时，不等式的解集为11|x x a ⎧⎫⎨⎬⎭⎩－＜＜． 18．（12分）已知2()3(6)f x x a a x b =-+-+；（1）当不等式()0f x >的解集为(1,3)-时，求实数a ，b 的值；（2）解关于a 的不等式(1)0f >．【答案】（1）39a b ⎧=+⎨=⎩39a b ⎧=-⎨=⎩（2）(3． 【解析】（1）不等式()0f x >，即为：23(6)0x a a x b -+-+>，∵不等式()0f x >的解集为(1,3)-，∴不等式23(6)0x a a x b -+-+>与(1)(3)0x x +-<同解， 即23(6)0x a a x b ---<的解集为(1,3)-； ∴(6)133133a ab -⎧=-+⎪⎪⎨⎪-=-⨯⎪⎩，即26609a a b ⎧-+=⎨=⎩，解得39a b ⎧=+⎨=⎩39a b ⎧=-⎨=⎩（2）∵2()3(6)f x x a a x b =-+-+，∴(1)3(6)f a a b =-+-+，故(1)0f >，即为3(6)0a a b -+-+>，即2630a a b -+-<；则364(3)244b b ∆=--=+；当6b ≤-时，0∆≤，此时不等式(1)0f >解集为∅； 当6b >-时，2630a a b -+-<的解集为(3．19．（12分）已知函数3)(2++=ax x x f ．（1）当x ∈R 时，a x f ≥)(恒成立，求a 的取值范围；（2）当]2,2[-∈x 时，a x f ≥)(恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）26≤≤-a ；（2）27≤≤-a ．【解析】（1）当x ∈R 时，a x f ≥)(恒成立，即a ax x ≥++32，对x ∈R 恒成立， ∴032≥-++a ax x ，∴24(3)0a a ∆=--≤，解得26≤≤-a ．（2）当]2,2[-∈x 时，a x f ≥)(恒成立，即]2,2[-∈x ，a x f ≥min )(．函数3)(2++=ax x x f 的对称轴为2a x -=． 当22-<-a ，即4>a 时，函数3)(2++=ax x x f 在]2,2[-∈x 单调递增， ∴min ()(2)423f x f a =-=-+，由a a ≥+-324，解得37≤a ，此时无解； 当222≤-≤-a ，即44≤≤-a 时，函数2min 12()()24a a f x f -=-=，由a a ≥-4122， 解得26≤≤-a ，此时24≤≤-a ； 当22>-a ，即4-<a 时，函数3)(2++=ax x x f 在]2,2[-∈x 单调递减， 函数min ()(2)423f x f a ==++，由a a ≥++324，解得7-≥a ，此时47-<≤-a ． 综上所述，a 的取值范围为27≤≤-a ．20．(12分)已知函数c bx ax x x f +++=23)(的一个零点为1=x ，另外两个零点可分别作为一个椭圆和一个双曲线的离心率．（1）求c b a ++的值；（2）求ab 的取值范围． 【答案】（1）1-；（2）12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 【解析】（1）由0)1(=f 得10a b c +++=，得1a b c ++=-．（2）由1c a b =---，∴()3221(1)[(1)1]f x x ax bx a b x x a x a b =++---=-+++++， 从而另外两个零点是方程01)1(2=+++++b a x a x 的两个根，且一个根大于1，一个根小于1大于零．设1)1()(2+++++=b a x a x x g ，由零点的分布可得(0)0(1)0g g >⎧⎨<⎩，即10230a b a b ++>⎧⎨++<⎩， 作出可行域如图所示，因为0--=a b a b 表示可行域内的点),(b a 与原点)0,0(连线的斜率k ， 直线OA 的斜率为211-=k ，直线032=++b a 的斜率为22-=k ， 所以12,2k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，即12,2b a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭． 21．(12分)某宾馆有一房间，室内面积共计2180m ，拟分割出两类房间作为旅游客间，大房间面积为218m ，可住游客5人，每人每天住宿费40元；小房间每间面积为215m ，可以住游客3人，每人每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果宾馆只有8000元用于装修，且游客能住满客房，该宾馆应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？(不记隔墙面积)．【答案】应隔出小房间12间；或大房间3间，小房间8间，可以获得最大利润．【解析】设隔出大房间x 房间，小房间y 间，收益为z 元，则有18151801000600800000.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，设目标函数为：200150z x y =+， 作可行域656053400x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，如图所示，作直线:430l x y +=，由图可以看出，l 过B 点时，目标函数200150z x y =+时取得最大值，B 点坐标是直线1l ：1815180x y +=与直线2l ：10006008000x y +=的交点， 解得2060,77B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，但是它不是整点，可以验证取得最大值时，经过的整点是()0,12和(3,8)，此时可取得最大值为1800元，即应隔出小房间12间；或大房间3间，小房间8间，可以获得最大利润．22．（12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知3=AB 米，2=AD 米．（1）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长度应在什么范围内？（2）当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小?并求出最小值．【答案】（1）82,(8,)3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）当AN 的长度是4米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为24平方米．【解析】（1）设AN 的长为x 米（2>x ）， 由题意知：AMDC AN DN =，2-=x DN ，3==AB DC ． 所以23-=x x AM ，∴232AMPN x S AN AM x =⋅=-矩形． 由32>AMPN S 矩形，得32232>-x x ，又2>x ，于是0643232>+-x x ， 解得382<<x 或8>x ，即AN 长度的取值为82,(8,)3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（2）2233(2)12(2)12123(2)121224222x x x y x x x x -+-+===-++≥=---， 当且仅当212)2(3-=-x x ，即4=x 时，232-=x x y 取得最小值是24 ∴当AN 的长度是4米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为24平方米．。
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2019届高三理科数学好教育单元训练金卷▪点、线、面的位置关系（B ）解析版附后一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在四面体P ABC -中，PA ，PB ，PC 两两垂直，M 是面ABC 内一点，M 到三个面PAB PBC ，PCA 的距离分别是2，3，6，则M 到P 的距离是（ ） A ．7B ．8C ．9D ．102．平面α∥平面β的一个充分条件是（ ） A ．存在一条直线a ，a α∥，a β∥ B ．存在一条直线a ，a α⊂，a β∥C ．存在两条平行直线a ，b ，a α⊂，b β⊂，a β∥，b α∥D ．存在两条异面直线a ，b ，a α⊂，b β⊂，a β∥，b α∥3．“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ）条件 A ．充要B ．充分非必要C ．必要非充分D ．既非充分又非必要4．下列命题中错误的是（ ）A ．如果平面⊥α平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面⊥α平面γ，平面⊥β平面γ，l αβ=，那么⊥l 平面γD ．如果平面⊥α平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β5．已知α，β，γ为互不重合的平面，命题p ：若βα⊥，γβ⊥，则αγ∥；命题q ：若α上不共线的三点到平面β的距离相等，则αβ∥．则下列命题正确的是（ ） A ．p q ∧B ．q p ∨C ．q p ∧⌝)(D ．)(q p ⌝∨6．设α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ） A ．若l α⊥，αβ⊥，则l β⊂ B ．若l α∥，αβ∥，则l β⊂ C ．若l α⊥，αβ∥，则l β⊥D ．若l α∥，αβ⊥，则l β⊥7．右图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中有以下结论：①BM ED ∥；②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60︒角；④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④8．如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB 、BC 的中点，沿DE 、DF 及EF 把ADE △、CDF △和BEF △折起，使A 、B 、C 三点重合，设重合后的点为P ，则四面体DEF P -中必有（ ）A ．DP ⊥平面PEFB ．DF ⊥平面PEFC ．PE ⊥平面DEFD ．PF ⊥平面DEF9．设α，β为两个不重合的平面，l ，m ，n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ①若αβ∥，l α⊂，则l β∥ ②若m α⊂，n α⊂，m β∥，n β∥，则αβ∥ ③若l α∥，l β⊥，则αβ⊥ ④若m α⊂，n α⊂，且l m ⊥，l n ⊥，则l α⊥其中真命题的序号是（ ） A ．①③④B ．①②③C ．①③D ．②④10．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，E ，F 分别为线段1AA ，1B C 上的点， 则三棱锥EDF D -1的体积为（ ）A ．31B ．41 C ．61 D ．12111．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，线段11B D 有两个动点E ，F ，且EF ， 则下列结论中错误的是（ ）A ．AC BE ⊥B ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A BEF -的体积为定值D ．异面直线AE ，BF 所成的角为定值12．如图所示，在正方体1111D C B A ABCD -的侧面1AB 内有一动点P 到直线11A B 、BC 的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过P 点的两条直线AC ，BD 分别交α于A ，B ，交β于C ，D ，且6=PA ，9=AC ，8=AB ，则CD 的长为________．14．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 、N 分别是棱1CC 、11D C 、D D 1、DC 、BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则满足条件_____时，有MN ∥平面11BDD B ．15．如图是一体积为31的正四面体，连结两个面的重心E 、F ，则线段EF 的长为_____．16．已知正三棱柱111C B A ABC -的棱长都相等，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB 和BM 所成的角的大小是 ．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）如图，三棱柱111C B A ABC -，1A A ⊥底面ABC ，且ABC △为正三角形，D 为AC 中点． （1）求证：直线1AB ∥平面1BC D ， （2）求证：平面1BC D ⊥平面11ACC A ；18．（12分）如图，四边形ABCD 为矩形，⊥BC 平面ABE ，F 为CE 上的点， 且⊥BF 平面ACE ． （1）求证：BE AE ⊥；（2）设点M 为线段AB 的中点，点N 为线段CE 的中点，求证：MN ∥平面DAE ．19．（12分）如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，⊥BE 平面ABCD ． （1）证明：平面⊥AEC 平面BED ；（2）若120ABC ∠=︒，EC AE ⊥，三棱锥ACD E -的体积为36，求该三棱锥的侧面积．20．（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，3cm PD DC ==，E 为PC 的中点；（1）证明：PA ∥平面BDE ；（2）在棱PC 上是否存在点F ，使三棱锥C BDF -的体积为33cm ？并说明理由．21．（12分）已知ABCD是边长为a，60∠=︒的菱形，点P为ABCD所在平面外一点，BAD△为正三角形，其所在平面垂直于平面ABCD．PADBG平面PAD；（1）若G为AD边的中点，求证:⊥AD⊥；（2）求证：PBDEF平面ABCD．（3）若E为BC的中点，能否在PC上，找到一点F使平面⊥22．（12分）如图所示，一个棱柱的直观图和三视图，主视图和俯视图是边长为a的正方形，左视图是等腰直角三角形，直角边为a．M，N分别是AB，AC的中点，G是DF上的一动点．GN⊥；（1）求证：ACF-的体积；（2）求三棱锥MCEFG=时，证明AG∥平面FMC．（3）当GD好教育单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（B）第十五单元点、线、面的位置关系一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】A【解析】由题目的条件可知，M 到P 的距离即为以2、3、6为长、宽、高的长方体的对角线，∴M 到P 7，故选A ． 2．【答案】D【解析】对于A ，B ，C 选项均有可能出现平面α与平面β相交的情况，故选D ． 3．【答案】C【解析】“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”不能推出“直线l 与平面α垂直”；反之，能推出．故条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的必要非充分条件，选C ． 4．【答案】D【解析】平面α与平面β垂直时，平面α内所有与交线不垂直的直线都与平面β不垂直， 故D 错误，答案为D ． 5．【答案】D【解析】易知p 、q 均为假命题，从而p ⌝、q ⌝均为真命题，所以)(q p ⌝∨为真命题，故选D ． 6．【答案】C【解析】对于A 、B 、D 均可能出现l β∥，根据面面平行的性质可知选项C 是正确的． 7．【答案】D 【解析】展开图可以折成如图所示的正方体，由此可知①②不正确；③④正确．故选D ． 8．【答案】A【解析】折叠前，AE DA ⊥，CF DC ⊥，FB EB ⊥，折叠后这些垂直关系都未发生变化，因此，DP ⊥平面PEF ，故选A ． 9．【答案】C【解析】②是假命题，∵m ，n 不一定相交，∴α，β不一定平行；④是假命题， ∵m ，n 不一定相交，∴l 与α不一定垂直，故选C ． 10．【答案】C【解析】=-EDF D V 11F D ED V -，又112D ED S =△，点F 到面ED D 1的距离为1， ∴111111326D EDF F D ED V V --==⨯⨯=．故选C ．11．【答案】D【解析】∵AC ⊥平面11B BDD ，⊂BE 平面11B BDD ，∴AC BE ⊥，A 正确； 易知EF ∥平面ABCD ，B 正确；设点A 到平面11B BDD 的距离为d ，d 2=，112BEF S EF BB =⨯⨯△， ∴11d 312A BEF BEF V S -=⋅=．所以三棱锥A BEF -的体积为定值．C 正确；故结论中错误的是D ．12．【答案】C 【解析】如图，在平面1AB 内过P 点作PE 垂直于11A B 于E ，连接PB ，∵BC 垂直于侧面1AB ，∴PB BC ⊥， 由题意PE PB =，故P 点在以1BB 的中点O 为顶点，以B 为焦点的抛物线上， 并且该抛物线过A 点，故选C ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】4或20【解析】若P 在平面α，β的同侧，由于平面α∥平面β，故AB CD ∥，则CDABPC PA =， 可求得20=CD ；若P 在平面α，β之间，同理可求得4=CD ． 14．【答案】M ∈线段FH【解析】∵HN BD ∥，1HF DD ∥，∴平面NHF ∥平面11BDD B ，又平面NHF平面EFGH FH =，故线段FH 上任意点M 与N 相连，有MN ∥平面11BDD B ，故填M ∈线段FH ．15．【答案】32【解析】设正四面体的棱长为a ，则正四面体的高为a h 36=，体积231133V ===，∴223=a ，∴2=a ，∴2132EF =⨯．16．【答案】90︒【解析】取BC 的中点N ，连结AN ，则AN ⊥平面11B BCC ，∴AN BM ⊥．∵正三棱柱111C B A ABC -的棱长都相等，∴11B BCC 是正方形．连结N B 1则易证1B N BM ⊥， ∴BM ⊥平面N AB 1，∴1BM AB ⊥，异面直线1AB 和BM 所成的角的大小是90︒．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】（1）连结1B C 交1BC 于O ，连结OD ，在1B AC △中，D AC 为中点，O 为1B C 中点，所以1OD AB ∥，又OD ⊂平面1BC D ，∴直线1AB ∥平面1BC D ．（2）∵1A A ⊥底面ABC ，∴1A A BD ⊥． 又BD AC ⊥，∴BD ⊥平面11ACC A又BD ⊂平面1BC D ，∴平面1BC D ⊥平面11ACC A ．18．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）证明：∵⊥BC 平面ABE ，⊂AE 平面ABE ，∴BC AE ⊥， 又⊥BF 平面ACE ，⊂AE 平面ACE ，∴BF AE ⊥． 又B BC BF = ，∴⊥AE 平面BCE ， 又⊂BE 平面BCE ，∴BE AE ⊥．（2）取DE 的中点P ，连结PA ，PN ，∵点N 为线段CE 的中点，∴PN DC ∥，且DC PN 21=， 又四边形ABCD 是矩形，点M 为线段AB 的中点，∴AM DC ∥，且DC AM 21=， ∴PN AM ∥，且AM PN =，∴四边形AMNP 是平行四边形，∴MN AP ∥，而⊂AP 平面DAE ，⊄MN 平面DAE ，∴MN ∥平面DAE ．19．【答案】（1）见解析；（2）3+【解析】（1）证明：∵⊥BE 平面ABCD ，⊂AC 平面ABCD ，∴AC BE ⊥． 又∵四边形ABCD 为菱形，∴BD AC ⊥．∵B BE BD = ， ∴⊥AC 平面BED ，∵⊂AC 平面AEC ，∴平面⊥AEC 平面BED ． （2）∵⊥BE 平面ABCD ，∴AB BE ⊥，BC BE ⊥， ∵BC AB =，∴Rt Rt ABE CBE ≅△△，∴CE AE =． 在Rt ACE △中，22222AE CE AE AC =+=， 又∵22222cos 3AC AB BC AB BC ABC AB =+-⋅∠=，∴2232AB AE =，∴AB AE 26=，∴AB BE 22=，∴111sin 332E ACD ACD V BE S BE AB BC ABC -=⋅=⋅⋅⋅∠△311sin12032AB AB AB =⋅⋅⋅︒=，3AB =，解得2=AB ．∴12ABE CBE S S AB BE ==⨯=△△∵EC ED AE ===2CD AD ==，∴3ACE S =△，DAE CDE S S ==△△所以该三棱锥的侧面积为3ACE DAE CDE S S S ++=+△△△．20．【答案】（1）见解析；（2）存在且F 是线段PC 的靠近P 点的一个三等分点，见解析． 【解析】（1）连接AC 交BD 于O 点，连接OE ，在APC △中，O 、E 分别为AC ，PC 的中点，∴OE ∥PA ； ∵OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，∴PA ∥平面BDE ； （2）∵侧棱PD ⊥⊥底面ABCD ，∴PD CD ⊥，设F 为PC 上一点，过F 作FG CD ⊥于G ，则FG PD ∥，∴FG ⊥平面ABCD ．若11133333322C BDF F BDC BDC V V S FG FG FG --==⋅=⨯⨯⨯⨯==△，则2FG =，∴在棱PC 上存在点F 使三棱锥C BDF -的体积为33cm ． 且F 是线段PC 的靠近P 点的一个三等分点．21．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）能，见解析． 【解析】（1）连结BD ，则在正三角形ABD 中，AD BG ⊥， 又平面⊥PAD 平面ABCD 于AD ，所以⊥BG 平面PAD ．（2）连结PG ，在正三角形PAD 中，AD PG ⊥，又AD BG ⊥，∴⊥AD 平面PBG ． ∵⊂PB 平面PBG ，∴PB AD ⊥．（3）能在PC 上，找到一点F 使平面⊥DEF 平面ABCD ，且F 为PC 中点． 证明如下：连结ED ，GC 交于点O ，易知O 为GC 的中点，在平面PGC 内，作OF GP ∥，交PC 于点F ，则F 为PC 中点，⊥FO 平面ABCD ， ∴平面⊥DEF 平面ABCD ．22．（12分）如图所示，一个棱柱的直观图和三视图，主视图和俯视图是边长为a 的正方形，左视图是等腰直角三角形，直角边为a ．M ，N 分别是AB ，AC 的中点，G 是DF 上的一动点． 【答案】（1）见解析；（2）316a ；（3）见解析．【解析】（1）由三视图可知，多面体是直三棱柱， 且底面是直角边为a 的等腰直角三角形， ∴侧面ABCD ，CDEF 是边长为a 的正方形．连结DN ，因为CD FD ⊥，AD FD ⊥，所以⊥FD 平面ABCD ， ∴AC FD ⊥，又∵DN AC ⊥，∴⊥AC 平面GND ， ∵⊂GN 平面GND ，∴AC GN ⊥．（2）∵⊥AD 平面CEF ，∴2311113326F MCE M CEF CEF V V AD S a a a --==⋅=⨯⨯=△．（3）连结DE 交FC 于Q ，连结QG ，∵Q ，G 分别是FD ，FC 的中点，∴GQ CD ∥，且12GQ CD =，∵M 是AB 的中点，∴AM CD ∥，且CD AM 21=， ∴AM GQ ∥＝，∴AMQC 是平行四边形，∴AG QM ∥，∵⊄AG 平面FMC ．⊂MQ 平面FMC ，∴AG ∥平面FMC ．2019届高三理科数学好教育单元训练金卷▪点、线、面的位置关系（B ）解析版一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在四面体P ABC -中，PA ，PB ，PC 两两垂直，M 是面ABC 内一点，M 到三个面PAB PBC ，PCA 的距离分别是2，3，6，则M 到P 的距离是（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】A【解析】由题目的条件可知，M 到P 的距离即为以2、3、6为长、宽、高的长方体的对角线，∴M 到P 7，故选A ． 2．平面α∥平面β的一个充分条件是（ ） A ．存在一条直线a ，a α∥，a β∥ B ．存在一条直线a ，a α⊂，a β∥C ．存在两条平行直线a ，b ，a α⊂，b β⊂，a β∥，b α∥D ．存在两条异面直线a ，b ，a α⊂，b β⊂，a β∥，b α∥ 【答案】D【解析】对于A ，B ，C 选项均有可能出现平面α与平面β相交的情况，故选D ． 3．“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ）条件 A ．充要 B ．充分非必要C ．必要非充分D ．既非充分又非必要【答案】C【解析】“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”不能推出“直线l 与平面α垂直”；反之，能推出．故条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的必要非充分条件，选C ．4．下列命题中错误的是（ ）A ．如果平面⊥α平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面⊥α平面γ，平面⊥β平面γ，l αβ=，那么⊥l 平面γD ．如果平面⊥α平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 【答案】D【解析】平面α与平面β垂直时，平面α内所有与交线不垂直的直线都与平面β不垂直， 故D 错误，答案为D ．5．已知α，β，γ为互不重合的平面，命题p ：若βα⊥，γβ⊥，则αγ∥；命题q ：若α上不共线的三点到平面β的距离相等，则αβ∥．则下列命题正确的是（ ） A ．p q ∧ B ．q p ∨C ．q p ∧⌝)(D ．)(q p ⌝∨【答案】D【解析】易知p 、q 均为假命题，从而p ⌝、q ⌝均为真命题，所以)(q p ⌝∨为真命题，故选D ． 6．设α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ） A ．若l α⊥，αβ⊥，则l β⊂ B ．若l α∥，αβ∥，则l β⊂ C ．若l α⊥，αβ∥，则l β⊥D ．若l α∥，αβ⊥，则l β⊥【答案】C【解析】对于A 、B 、D 均可能出现l β∥，根据面面平行的性质可知选项C 是正确的． 7．右图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中有以下结论： ①BM ED ∥；②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60︒角；④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④【答案】D 【解析】展开图可以折成如图所示的正方体，由此可知①②不正确；③④正确．故选D ．8．如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB 、BC 的中点，沿DE 、DF 及EF 把ADE △、CDF △和BEF △折起，使A 、B 、C 三点重合，设重合后的点为P ，则四面体DEF P -中必有（ ）A ．DP ⊥平面PEFB ．DF ⊥平面PEFC ．PE ⊥平面DEFD ．PF ⊥平面DEF【答案】A【解析】折叠前，AE DA ⊥，CF DC ⊥，FB EB ⊥，折叠后这些垂直关系都未发生变化，因此，DP ⊥平面PEF ，故选A ．9．设α，β为两个不重合的平面，l ，m ，n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ①若αβ∥，l α⊂，则l β∥ ②若m α⊂，n α⊂，m β∥，n β∥，则αβ∥③若l α∥，l β⊥，则αβ⊥ ④若m α⊂，n α⊂，且l m ⊥，l n ⊥，则l α⊥其中真命题的序号是（ ） A ．①③④ B ．①②③C ．①③D ．②④【答案】C【解析】②是假命题，∵m ，n 不一定相交，∴α，β不一定平行；④是假命题， ∵m ，n 不一定相交，∴l 与α不一定垂直，故选C ．10．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，E ，F 分别为线段1AA ，1B C 上的点， 则三棱锥EDF D -1的体积为（ ）A ．31B ．41 C ．61 D ．121 【答案】C【解析】=-EDF D V 11F D ED V -，又112D ED S =△，点F 到面ED D 1的距离为1， ∴111111326D EDF F D ED V V --==⨯⨯=．故选C ．11．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，线段11B D 有两个动点E ，F ，且EF ， 则下列结论中错误的是（ ）A ．AC BE ⊥B ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A BEF -的体积为定值D ．异面直线AE ，BF 所成的角为定值【答案】D【解析】∵AC ⊥平面11B BDD ，⊂BE 平面11B BDD ，∴AC BE ⊥，A 正确； 易知EF ∥平面ABCD ，B 正确；设点A 到平面11B BDD 的距离为d ，d ，1124BEF S EF BB =⨯⨯=△， ∴11d 312A BEF BEF V S -=⋅=．所以三棱锥A BEF -的体积为定值．C 正确；故结论中错误的是D ．12．如图所示，在正方体1111D C B A ABCD -的侧面1AB 内有一动点P 到直线11A B 、BC 的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】如图，在平面1AB 内过P 点作PE 垂直于11A B 于E ，连接PB ，∵BC 垂直于侧面1AB ，∴PB BC ⊥，由题意PE PB =，故P 点在以1BB 的中点O 为顶点，以B 为焦点的抛物线上，并且该抛物线过A 点，故选C ．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过P 点的两条直线AC ，BD 分别交α于A ，B ，交β于C ，D ，且6=PA ，9=AC ，8=AB ，则CD 的长为________． 【答案】4或20【解析】若P 在平面α，β的同侧，由于平面α∥平面β，故AB CD ∥，则CDABPC PA =， 可求得20=CD ；若P 在平面α，β之间，同理可求得4=CD ．14．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 、N 分别是棱1CC 、11D C 、D D 1、DC 、BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则满足条件_____时，有MN ∥平面11BDD B ．【答案】M ∈线段FH【解析】∵HN BD ∥，1HF DD ∥，∴平面NHF ∥平面11BDD B ，又平面NHF 平面EFGH FH =，故线段FH 上任意点M 与N 相连，有MN ∥平面11BDD B ，故填M ∈线段FH ． 15．如图是一体积为31的正四面体，连结两个面的重心E 、F ，则线段EF 的长为_____．【答案】32 【解析】设正四面体的棱长为a ，则正四面体的高为a h 36=，体积23113123V ===，∴223=a ，∴2=a ，∴2132EF =⨯． 16．已知正三棱柱111C B A ABC -的棱长都相等，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB 和BM 所成的角的大小是 ．【答案】90︒ 【解析】取BC 的中点N ，连结AN ，则AN ⊥平面11B BCC ，∴AN BM ⊥．∵正三棱柱111C B A ABC -的棱长都相等，∴11B BCC 是正方形．连结N B 1则易证1B N BM ⊥， ∴BM ⊥平面N AB 1，∴1BM AB ⊥，异面直线1AB 和BM 所成的角的大小是90︒．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）如图，三棱柱111C B A ABC -，1A A ⊥底面ABC ，且ABC △为正三角形，D 为AC 中点． （1）求证：直线1AB ∥平面1BC D ， （2）求证：平面1BC D ⊥平面11ACC A ；【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）连结1B C 交1BC 于O ，连结OD ，在1B AC △中，D AC 为中点，O 为1B C 中点，所以1OD AB ∥，又OD ⊂平面1BC D ，∴直线1AB ∥平面1BC D ． （2）∵1A A ⊥底面ABC ，∴1A A BD ⊥． 又BD AC ⊥，∴BD ⊥平面11ACC A又BD ⊂平面1BC D ，∴平面1BC D ⊥平面11ACC A ．18．（12分）如图，四边形ABCD 为矩形，⊥BC 平面ABE ，F 为CE 上的点， 且⊥BF 平面ACE ． （1）求证：BE AE ⊥；（2）设点M 为线段AB 的中点，点N 为线段CE 的中点，求证：MN ∥平面DAE ．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）证明：∵⊥BC 平面ABE ，⊂AE 平面ABE ，∴BC AE ⊥， 又⊥BF 平面ACE ，⊂AE 平面ACE ，∴BF AE ⊥． 又B BC BF = ，∴⊥AE 平面BCE ， 又⊂BE 平面BCE ，∴BE AE ⊥．（2）取DE 的中点P ，连结PA ，PN ，∵点N 为线段CE 的中点，∴PN DC ∥，且DC PN 21=， 又四边形ABCD 是矩形，点M 为线段AB 的中点，∴AM DC ∥，且DC AM 21=， ∴PN AM ∥，且AM PN =，∴四边形AMNP 是平行四边形，∴MN AP ∥，而⊂AP 平面DAE ，⊄MN 平面DAE ，∴MN ∥平面DAE ．19．（12分）如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，⊥BE 平面ABCD ． （1）证明：平面⊥AEC 平面BED ；（2）若120ABC ∠=︒，EC AE ⊥，三棱锥ACD E -的体积为36，求该三棱锥的侧面积．【答案】（1）见解析；（2）3+．【解析】（1）证明：∵⊥BE 平面ABCD ，⊂AC 平面ABCD ，∴AC BE ⊥． 又∵四边形ABCD 为菱形，∴BD AC ⊥．∵B BE BD = ， ∴⊥AC 平面BED ，∵⊂AC 平面AEC ，∴平面⊥AEC 平面BED ． （2）∵⊥BE 平面ABCD ，∴AB BE ⊥，BC BE ⊥， ∵BC AB =，∴Rt Rt ABE CBE ≅△△，∴CE AE =． 在Rt ACE △中，22222AE CE AE AC =+=， 又∵22222cos 3AC AB BC AB BC ABC AB =+-⋅∠=，∴2232AB AE =，∴AB AE 26=，∴AB BE 22=， ∴111sin 332E ACD ACD V BE S BE AB BC ABC -=⋅=⋅⋅⋅∠△311sin12032AB AB AB =⋅⋅⋅︒=，3AB =，解得2=AB ．∴12ABE CBE S S AB BE ==⨯=△△∵EC ED AE ===2CD AD ==，∴3ACE S =△，DAE CDE S S ==△△所以该三棱锥的侧面积为3ACE DAE CDE S S S ++=+△△△．20．（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，3cm PD DC ==，E 为PC 的中点；（1）证明：PA ∥平面BDE ；（2）在棱PC 上是否存在点F ，使三棱锥C BDF -的体积为33cm ？并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）存在且F 是线段PC 的靠近P 点的一个三等分点，见解析． 【解析】（1）连接AC 交BD 于O 点，连接OE ，在APC △中，O 、E 分别为AC ，PC 的中点，∴OE ∥PA ； ∵OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，∴PA ∥平面BDE ； （2）∵侧棱PD ⊥⊥底面ABCD ，∴PD CD ⊥，设F 为PC 上一点，过F 作FG CD ⊥于G ，则FG PD ∥，∴FG ⊥平面ABCD ．若11133333322C BDF F BDC BDC V V S FG FG FG --==⋅=⨯⨯⨯⨯==△，则2FG =，∴在棱PC 上存在点F 使三棱锥C BDF -的体积为33cm ． 且F 是线段PC 的靠近P 点的一个三等分点．21．（12分）已知ABCD 是边长为a ，60BAD ∠=︒的菱形，点P 为ABCD 所在平面外一点，PAD △为正三角形，其所在平面垂直于平面ABCD ． （1）若G 为AD 边的中点，求证：⊥BG 平面PAD ；（2）求证：PB AD ⊥；（3）若E 为BC 的中点，能否在PC 上，找到一点F 使平面⊥DEF 平面ABCD ．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）能，见解析． 【解析】（1）连结BD ，则在正三角形ABD 中，AD BG ⊥， 又平面⊥PAD 平面ABCD 于AD ，所以⊥BG 平面PAD ．（2）连结PG ，在正三角形PAD 中，AD PG ⊥，又AD BG ⊥，∴⊥AD 平面PBG ． ∵⊂PB 平面PBG ，∴PB AD ⊥．（3）能在PC 上，找到一点F 使平面⊥DEF 平面ABCD ，且F 为PC 中点． 证明如下：连结ED ，GC 交于点O ，易知O 为GC 的中点，在平面PGC 内，作OF GP ∥，交PC 于点F ，则F 为PC 中点，⊥FO 平面ABCD ， ∴平面⊥DEF 平面ABCD ．22．（12分）如图所示，一个棱柱的直观图和三视图，主视图和俯视图是边长为a 的正方形，左视图是等腰直角三角形，直角边为a ．M ，N 分别是AB ，AC 的中点，G 是DF 上的一动点．（1）求证：AC GN ⊥； （2）求三棱锥MCE F -的体积；（3）当GD FG =时，证明AG ∥平面FMC ．【答案】（1）见解析；（2）316a ；（3）见解析．【解析】（1）由三视图可知，多面体是直三棱柱， 且底面是直角边为a 的等腰直角三角形， ∴侧面ABCD ，CDEF 是边长为a 的正方形．连结DN ，因为CD FD ⊥，AD FD ⊥，所以⊥FD 平面ABCD ， ∴AC FD ⊥，又∵DN AC ⊥，∴⊥AC 平面GND ， ∵⊂GN 平面GND ，∴AC GN ⊥．（2）∵⊥AD 平面CEF ，∴2311113326F MCE M CEF CEF V V AD S a a a --==⋅=⨯⨯=△．（3）连结DE 交FC 于Q ，连结QG ，∵Q ，G 分别是FD ，FC 的中点，∴GQ CD ∥，且12GQ CD =，∵M 是AB 的中点，∴AM CD ∥，且CD AM 21=， ∴AM GQ ∥＝，∴AMQC 是平行四边形，∴AG QM ∥，∵⊄AG 平面FMC ．⊂MQ 平面FMC ，∴AG ∥平面FMC ．。