(江苏专版)2019-2020年高考数学一轮复习 专题2.8 函数与方程(练)
高考数学一轮总复习 2.8 函数与方程课件 理 苏教版
法二 作出g(x)＝x＋ex2(x>0)的大致图象如图： 可知若使y＝g(x)－m有零点，则只需m≥2e. ∴m的取值范围是[2e，＋∞)．
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(2)若 g(x)－f(x)＝0 有两个相异的实根，即 g(x)与 f(x)的图象有两 个不同的交点， 作出 g(x)＝x＋ex2(x>0)的大致图象． ∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝ －(x－e)2＋m－1＋e2， ∴其图象的对称轴为 x＝e，开口向下，最大值为 m－1＋e2.故当 m－1＋e2>2e，即 m>－e2＋2e＋1 时，g(x)与 f(x)有两个交点，即 g(x)－f(x)＝0 有两个相异实根． ∴m 的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．
• mffff的0－12(2范＝＝ ＝1)2＝46若围mmm2＋＋ ＋方>．0125，程<<>000，，两根⇒均在区间(qū jiān)(0,1)内，求
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m<－12， m∈R， m<－12， m>－56.
即－56<m<－12.
故 m 的取值范围是－56，－12.
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由题意，知 g′(x)＝1x＋1＞0，所以函数 g(x)在(0，＋∞)上是 单调递增的，又 g(1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，g(2)＝ln 2＋2－2 ＝ln 2＞0，所以函数 g(x)的零点 b∈(1,2)． 综上，可得 0＜a＜1＜b＜2. 因为 f(x)在 R 上是单调递增的，所以 f(a)＜f(1)＜f(b)．
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•(3)零点存在性定理
•如果函f(a)数·f(by)＜＝0f(x)在区间[a，b]上的图(a，象b) 是连续
2019-2020年高考数学 函数题 专题复习教案 苏教版
2019-2020年高考数学 函数题 专题复习教案 苏教版一：考点分析：函数是高中数学的基础知识，也是每年高考必考的重点内容，而且在每年的高考试卷上所占的比重比较大，从题型上来看，围绕函数的考查既有填空题，又有解答题。
函数部分复习的重点应分两个方面：一是函数“内部”的复习：即对函数的基本概念（定义域、值域、函数关系）、函数的性质（函数的单调性、奇偶性、周期性）及应用、基本函数的图象与性质的掌握与应用等方面的复习；另一方面是从函数的“外延”方面去复习，即重视函数与其他知识点的交叉、综合方面的复习。
函数复习除了知识方面的复习要全面到位以外，还要重视思想方法的渗透，尤其是要重视分类讨论、数形结合、等价转化等思想方法的渗透。
二、典例解析：【例1】函数1()1f x n x =的定义域为________________ 分析：不能只想到22320,340,0.x x x x x ⎧-+≥⎪--+≥⎨⎪≠⎩0>。
解：22320,340,0.x x x x x ⎧-+≥⎪--+≥⎨⎪≠⎩0，解得且。
答案：【例2】若函数在（0，1）内恰有一个零点，则a 的取值范围是 .解法一：（数形结合、分类讨论）（ⅰ）时，不合题意；（ⅱ）时，由于函数的图象的对称轴是，且，作函数的图象知，此时函数在（0，1）内没有零点（ⅲ）时，由于函数的图象的对称轴是，且，作函数的图象知，要使函数在（0，1）内恰有一个零点，只须，即。
解法二：时，，令则，于是有，作函数的图象知，当时，直线与函数的图象有唯一交点，故a 的取值范围是。
答案：。
【例3】已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是_______________解：令，则0)21()21(21)21(21)21(21=⇒=-=-f f f f ；令，则，由得，所以0)0())25((0)21(212335)23(35)23(2325)25(==⇒=⋅===f f f f f f f答案：0。
推荐2019年人教版江苏省高三数学一轮复习备考试题：函数(含答案)Word版
高考一轮复习备考试题(附参考答案)函数一、填空题1、（2014年江苏高考）已知函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是▲． 2、（2014年江苏高考）已知是定义在上且周期为3的函数，当时，在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是▲．3、（2013年江苏高考）已知是定义在上的奇函数。
当时，，则不等式的解集用区间表示为。
4、（2012年江苏高考）函数的定义域为▲．5、（2012年江苏省高考）设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中．若，则的值为▲．6、（2012年江苏省5分）已知函数的值域为，若关于x 的不等式的解集为，则实数c 的值为▲．7、（2015届江苏南京高三9月调研）设f (x )＝x 2－3x ＋a ．若函数f (x )在区间(1，3)内有零点，则实数a 的取值范围为▲8、（2015届江苏南通市直中学高三9月调研）已知函数若在R 上为增函数，则实数的取值范围是▲9、（2015届江苏苏州高三9月调研）已知函数为奇函数则实数的值为▲10、（南京市2014届高三第三次模拟）已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x≥0，x2，x ＜0，，则关于x 的不等式f (x 2)＞f (3－2x )的解集是▲11、（南通市2014届高三第三次调研）已知函数对任意的满足，且当时，．若有4个零点，则实数的取值范围是▲．12、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））函数的定义域为A ，函数的定义域为B ，则AB = ▲13、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））已知奇函数是上的单调函数，若函数只有一个零点，则实数k 的值是▲．14、（徐州市2014届高三第三次模拟）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是▲15、（徐州市2014届高三第三次模拟）已知函数．若存在实数，，使得的解集恰为，则的取值范围是▲16、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））函数f(x)＝ln x＋1－x的定义域为▲17、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））已知f(x)是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，当x＞0时，f(x＋1)＝f(x)＋f(1)．若直线y＝kx与函数y＝f(x)的图象恰有5个不同的公共点，则实数k的值为▲18、（2014江苏百校联考一）函数的所有零点之和为．19、（南京、盐城市2014高三第一次模拟）若函数是定义在上的偶函数，且在区间上是单调增函数.如果实数满足时，那么的取值范围是20、（苏锡常镇四市2014届高三3月调研（一））已知函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为▲21、（南通市2014届高三上学期期末考试）设函数是定义域为R，周期为2的周期函数，且当时，；已知函数则函数和的图象在区间内公共点的个数为．22、（苏州市2014届高三1月第一次调研）已知，则不等式的解集是▲23、（泰州市2014届高三上学期期末考试）设函数（都是实数）．则下列叙述中，正确的序号是▲．（请把所有叙述正确的序号都填上）①对任意实数，函数在上是单调函数；②存在实数，函数在上不是单调函数；③对任意实数，函数的图像都是中心对称图形；④存在实数，使得函数的图像不是中心对称图形．24、（江苏省扬州中学2014届高三上学期12月月考）设，，且，则▲25、、（江苏省诚贤中学2014届高三12月月考）在用二分法．．．求方程的一个近似解时,现在已经将一根锁定在区间(1,2)，则下一步可断定该根所在的区间为▲.26、（江苏省东海县第二中学2014届高三第三次学情调研）已知函数，如果关于的方。
(江苏专用)2019版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.8 函数与方程课时作业 理
（江苏专用）2019版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.8 函数与方程课时作业 理基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点为________．解析 由已知得b ＝－2a ，所以g (x )＝－2ax 2－ax ＝－a (2x 2＋x )．令g (x )＝0，得x 1＝0，x 2＝－12.答案 0，－122．(2017·苏州期末)函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,2)内的零点个数是________．解析 因为函数y ＝2x ，y ＝x 3在R 上均为增函数，故函数f (x )＝2x ＋x 3－2在R 上为增函数，又f (0)＜0，f (2)＞0，故函数f (x )＝2x＋x 3－2在区间(0,2)内只有一个零点． 答案 13．函数f (x )＝|x |－k 有两个零点，则实数k 的取值范围是________．解析 函数f (x )＝|x |－k 的零点就是方程|x |＝k 的根，在同一坐标系内作出函数y ＝|x |，y ＝k 的图象，如图所示，可得实数k 的取值范围是(0，＋∞)．答案 (0，＋∞)4．(2017·徐州月考)若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)内存在一个零点，则a 的取值范围是________．解析 当a ＝0时，f (x )＝1与x 轴无交点，不合题意，所以a ≠0；函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)内是单调函数，所以f (－1)·f (1)＜0，即(5a －1)(a ＋1)＞0，解得a ＜－1或a ＞15.答案 (－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞5．若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的取值为________．解析 当a ＝0时，函数f (x )＝－x －1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－x －1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax 2－x －1＝0有两个相等实根．∴Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14.综上，当a ＝0或a ＝－14时，函数仅有一个零点．答案 0或－146．函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________.解析 求函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f (2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e ＝1，所以f (2)＜0，f (3)＝2＋ln 3＞0，所以函数f (x )的零点位于区间(2,3)内，故n ＝2. 答案 27．(2015·湖北卷)函数f (x )＝4cos 2x2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为________．解析 f (x )＝4cos 2x2sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝2sin x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x2－1－|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|，令f (x )＝0，得sin 2x ＝|ln(x ＋1)|.在同一坐标系中作出两个函数y ＝sin 2x 与函数y ＝|ln(x ＋1)|的大致图象如图所示．观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f (x )有2个零点． 答案 28．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析 画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图．由函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得：0＜m ＜1，即m ∈(0,1)． 答案 (0,1) 二、解答题9．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e2x(x ＞0)．(1)若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． 解 (1)法一 ∵g (x )＝x ＋e2x≥2e 2＝2e ，图1等号成立的条件是x ＝e ，故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e，则y ＝g (x )－m 就有零点． 法二 作出g (x )＝x ＋e2x(x ＞0)的大致图象如图1.可知若使y ＝g (x )－m 有零点，则只需m ≥2e.图2(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异实根，即y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象有两个不同的交点，在同一坐标系中，作出g (x )＝x ＋e 2x(x ＞0)与f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1的大致图象如图2.∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝ －(x －e)2＋m －1＋e 2.∴其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下， 最大值为m －1＋e 2.故当m －1＋e 2＞2e ，即m ＞－e 2＋2e ＋1时，y ＝g (x )与y ＝f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．10．已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围． 解由条件，抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，如图所示，得⎩⎪⎨⎪⎧f ＝2m ＋1<0，f －＝2>0，f ＝4m ＋2<0，f ＝6m ＋5>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <－12，m ∈R ，m <－12，m >－56.即－56<m <－12.故m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－56，－12.能力提升题组(建议用时：20分钟)11．(2017·苏州调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x ≥m ，x 2＋4x －3，x <m ，若函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．解析 由题意得g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4－2x ，x ≥m ，x 2＋2x －3，x <m ，又函数g (x )恰有三个不同的零点，所以方程g (x )＝0的实根2，－3和1都在相应范围上，即1<m ≤2. 答案 (1,2]12．(2017·镇江调研)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x >0，12－12＋x ，x ≤0，若关于x 的方程f (x )＝kx －k 至少有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围为________．解析 关于x 的方程f (x )＝k (x －1)至少有两个不相等的实数根，即y ＝f (x )与y ＝k (x －1)的图象至少有两个不同的交点，作出函数图象如图，函数在点(1,0)处的切线斜率为1，即当k ＝1时，方程f (x )＝k (x －1)只有一个实数根，当直线y ＝k (x －1)经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12时，k ＝－13，故实数k 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1∪(1，＋∞)．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1∪(1，＋∞)13．(2016·山东卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________． 解析在同一坐标系中，作y ＝f (x )与y ＝b 的图象．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ， 即m 2－3m >0. 又m >0，解得m >3. 答案 (3，＋∞)14．(2017·南通阶段检测)是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．解 令f (x )＝0，则Δ＝(3a －2)2－4(a －1)＝9a 2－16a ＋8＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫a －892＋89＞0恒成立，即f (x )＝0有两个不相等的实数根，∴若实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可．f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0，∴a ≤－15或a ≥1. 检验：(1)当f (－1)＝0时，a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x . 令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1. 方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠1. (2)当f (3)＝0时，a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65.令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0，解得x ＝－25或x ＝3.方程在[－1,3]上有两个实数根， 不合题意，故a ≠－15.综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－15∪(1，＋∞).。
【配套K12】(江苏专版)2019年高考数学一轮复习 专题2.8 函数与方程(讲)
专题2.8 函数与方程【考纲解读】【直击教材】1．函数f (x )＝kx ＋1在[1,2]上有零点，则k 的取值范围是________．【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 2．函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点个数是______．【答案】13．若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________．【答案】－12，－13【知识清单】1．函数零点所在区间的判定1．函数零点的定义对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使f (x )＝0成立的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点．2．二分法对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2 判断函数零点个数函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数，其步骤是：(1)令f (x )＝0；(2)构造y 1＝f 1(x )，y 2＝f 2(x )；(3)作出y 1，y 2图像；(4)由图像交点个数得出结论．3 函数零点的应用函数零点与函数交点关系【考点深度剖析】1．函数y ＝f (x )的零点即方程f (x )＝0的实根，易误认为函数图像与x 轴的交点．2．由函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上有零点不一定能推出f (a )·f (b )<0，所以f (a )·f (b )<0是y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上有零点的充分不必要条件．【重点难点突破】考点1 函数零点所在区间的判定【1-1】函数f (x )＝log 3x ＋x －2的零点所在的区间为_________．【答案】(1,2)．【1-2】函数f (x )＝2x －2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是_________． 【答案】(0,3)【解析】由条件可知f (1)f (2)<0，即(2－2－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，解得0<a <3.【思想方法】 函数零点个数的判断方法．(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图像交点的个数：画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【温馨提醒】函数y ＝f (x )的零点即方程f (x )＝0的实根，不要误为函数上的点．考点2 判断函数零点个数【2-1】函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为______个．【答案】2【2-2】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数是_____【答案】4【解析】由f (f (x ))＋1＝0可得f (f (x ))＝－1，又由f (－2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1. 可得f (x )＝－2或f (x )＝12. 若f (x )＝－2，则x ＝－3或x ＝14； 若f (x )＝12，则x ＝－12或x ＝2， 综上可得函数y ＝f (f (x ))＋1有4个零点．【思想方法】(1)等价转化思想．(2)数形结合思想 【温馨提醒】正确作出函数图像，揭示零点性质考点3 函数零点的应用【3-1】若函数f (x )＝x ln x －a 有两个零点，则实数a 的取值范围为________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，0【3-2】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －a ，x ≤0x 2－3ax ＋a ，x >0有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________． 【答案】⎝ ⎛⎦⎥⎤49，1 【解析】依题意，要使函数f (x )有三个不同的零点，则当x ≤0时，方程2x －a ＝0即2x ＝a 必有一个根，此时0<a ≤1；当x >0时，方程x 2－3ax ＋a ＝0有两个不等的实根，即方程x 2－3ax ＋a ＝0有两个不等的正实根，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝9a 2－4a >0，3a >0，a >0，由此解得a >49.因此，满足题意的实数a 需满足⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a ≤1，a >49，即49<a ≤1. 【思想方法】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解． 【温馨提醒】正确作出函数图像，揭示零点性质【易错试题常警惕】函数在区间上有零点求参数问题，一定要注意变量或参数的取值范围． 如：已知集合(){}2,20x y x mx y A =+-+=和(){},10,02x y x y x B =-+=≤≤，若 A B ≠∅，则实数m 的取值范围是 ． 【分析】A B ≠∅，∴方程组212y x y x mx =+⎧⎨=++⎩，[]0,2x ∈，即函数 ()()211f x x m x =+-+在[]0,2有零点．()010f =>，当()20f ≤，即32m ≤-时，显然A B ≠∅成立．∴实数m 的取值范围是3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦． 【易错点】忽略变量或参数的取值范围，导致条件不是等价变换．【练一练】函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内存在一个零点，则a 的取值范围是________.【答案】(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞。
(江苏专版)2019版高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第八节函数与方程实用课件文
[解析]
(1)法一： 由 f(x)＝0
x≤0， x＞0， 得 2 或 x ＋x－2＝0 －1＋ln
x＝0，
解得 x＝－2 或 x＝e. 因此函数 f(x)共有 2 个零点． 法二：函数 f(x)的图象如图所示，由图象知函数 f(x)共有 2 个 零点．
(2)因为函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数， 所以 f(0)＝0，即 0 是函数 f(x)的一个零点， 当 x＞0 时，令 f(x)＝ex＋x－3＝0，则 ex＝－x＋3， 分别画出函数 y＝ex 和 y＝－x＋3 的图象， 如图所示， 两函数图象有一个交点， 所以函数 f(x)有一个零点， 根据奇函数的对称性知， 当 x＜0 时函数 f(x)也有一个零点． 综上所述，f(x)的零点个数为 3.
即利用图象交点的个数，画出函数f(x)的图象，函 数f(x)的图象与x轴交点的个数就是函数f(x)的零点 图象法 个数；将函数f(x)拆成两个函数h(x)和g(x)的差，根 据f(x)＝0⇔h(x)＝g(x)，则函数f(x)的零点个数就是 函数y＝h(x)和y＝g(x)的图象的交点个数
即利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零 性质法 点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则 只需解决在一个周期内的零点的个数
在判断一个函数在某个区间上不存在零点时，不能完
全依赖函数的零点存在性定理，要综合函数性质进行分析判断 .
函数零点个数的判断
2 x ＋x－2，x≤0， －1＋ln x，x＞0
[例2] ________．
(1)函数f(x)＝
的零点个数为
(2)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝ ex＋x－3，则f(x)的零点个数为________．
(江苏专用)高考数学一轮复习加练半小时专题2函数第8练函数性质的应用理(含解析)
（江苏专用）高考数学一轮复习加练半小时专题2函数第8练函数性质的应用理（含解析）[基础保分练]1．(2019·南京模拟)已知函数f (x )＝x 3－ax ＋2，a ∈R ，若f (m )＝1，则f (－m )＝________. 2．已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝1f x，若f (x )在[－1,0]上是减函数，记a ＝f (log 0.52)，b ＝f (log 24)，c ＝f (20.5)，则a ，b ，c 的大小关系为________． 3．函数y ＝f (x )满足对任意x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (－x )成立，且函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，f (1)＝4，则f (2017)＋f (2018)＋f (2019)＝________.4．已知函数f (x )在R 上是单调函数，且满足对任意x ∈R ，都有f [f (x )－3x]＝4，则f (2)的值是________．5．(2018·盐城模拟)下列说法正确的是________．(填序号) ①任意x ∈R ，都有3x >2x； ②函数f (x )＝2x－x 2有三个零点；③y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的最大值为1；④函数f (x )＝1－x2|x ＋2|－2为偶函数；⑤函数y ＝f (x )的定义域为[1,2]，则函数y ＝f (2x)的定义域为[2,4]．6．(2018·苏州模拟)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )．若f (2)>1，f (7)＝a ，则实数a 的取值范围为________．7．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，给出下列结论： ①y ＝f (x )·f (|x |)也是R 上的奇函数； ②若g (x )＝f (x )－9，g (－2)＝3，则g (2)＝15；③若x <0时，f (x )＝2x 2＋1x －x ，则x >0时，f (x )＝－2x 2＋1x－x ；④若任取x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，都有f x 2－f x 1x 2－x 1<0，则f (a 2)<f (a －1)成立．其中所有正确的结论的序号为________．8．关于函数图象的对称性与周期性，有下列说法：①若函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (3＋x )，则f (x )的一个周期为T ＝2； ②若函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (3－x )，则f (x )的图象关于直线x ＝2对称； ③函数y ＝f (x ＋1)与函数y ＝f (3－x )的图象关于直线x ＝2对称； ④若函数y ＝1x ＋1与函数f (x )的图象关于原点对称，则f (x )＝1x －1.其中正确的个数是________．9．(2018·连云港检测)对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．10．已知定义在R 上的偶函数f (x )，满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝e x－1，则f (－2018)＋f (2019)＝________.[能力提升练]1．若函数y ＝f (x )对定义域D 内的每一个x 1，都存在唯一的x 2∈D ，使得f (x 1)f (x 2)＝1成立，则称f (x )为“自倒函数”，给出下列命题：①f (x )＝sin x ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2是自倒函数；②自倒函数f (x )可以是奇函数；③自倒函数f (x )的值域可以是R ；④若y ＝f (x )，y ＝g (x )都是自倒函数且定义域相同，则y ＝f (x )g (x )也是自倒函数；则以上命题正确的是________．(写出所有正确的命题的序号)2．(2019·镇江模拟)设函数f (x )＝x 3(e x －e －x)，则不等式f (1－x )>f (2x )的解集为________． 3．已知函数f (x )的定义域为R ，且满足下列三个条件： ①对任意的x 1，x 2∈[4,8]，当x 1<x 2时，都有f x 1－f x 2x 1－x 2>0；②f (x ＋4)＝－f (x )； ③y ＝f (x ＋4)是偶函数．若a ＝f (6)，b ＝f (11)，c ＝f (2017)，则a ，b ，c 的大小关系是________．4．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝ln(x 2－x ＋1)时，则函数f (x )在区间[0,6]上的零点个数是________． 5．已知函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x2，命题p ：实数x 满足不等式f (x ＋1)>f (2x －1)；命题q ：实数x 满足不等式x 2－(m ＋1)x ＋m ≤0，若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________．6．(2019·徐州模拟)给出下列四个命题：①在同一坐标系中，y ＝log 2x 与y ＝12log x 的图象关于x 轴对称；②y ＝log 21－x1＋x 是奇函数；③y ＝x ＋1x ＋2的图象关于(－2,1)成中心对称；④y 的最大值为12.其中正确的是__________．(写上序号)答案精析基础保分练1．3 2.a >c >b 3.0 4.10 5.②③ 6．(1，＋∞) 7.①③④ 8．3解析 在f (x ＋1)＝f (3＋x )中，以x －1代换x ，得f (x )＝f (2＋x )，所以①正确；设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是y ＝f (x )上的两点，且x 1＝x ＋1，x 2＝3－x ，有x 1＋x 22＝2，由f (x 1)＝f (x 2)，得y 1＝y 2，即P ，Q 关于直线x ＝2对称，所以②正确；函数y ＝f (x ＋1)的图象由y ＝f (x )的图象向左平移1个单位得到，而y ＝f (3－x )的图象由y ＝f (x )的图象关于y 轴对称得y ＝f (－x )，再向右平移3个单位得到，即y ＝f (－(x －3))＝f (3－x )，于是y ＝f (x ＋1)与函数y ＝f (3－x )的图象关于直线x ＝－1＋32＝1对称，所以③错误；设P (x ，y )是函数f (x )图象上的任意一点，点P 关于原点的对称点P ′(－x ，－y )必在y ＝1x ＋1的图象上，有－y ＝1－x ＋1，即y ＝1x －1，于是f (x )＝1x －1， 所以④正确． 9．1 10．e －1解析 ∵f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (－2018)＝f (2018)，f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )的周期为2.又当x ∈[0,1]时，f (x )＝e x－1， ∴f (2019)＝f (1＋2×1009) ＝f (1)＝e －1，f (2018)＝f (0＋2×1009)＝f (0)＝1－1＝0. ∴f (－2018)＋f (2019) ＝f (2018)＋f (2019)＝e －1. 能力提升练1．①② 2.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，13 3.b <a <c 4．9解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋x ＋32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＋32，可得f (x ＋3)＝f (x )，函数f (x )的周期为3，∵当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时， f (x )＝ln(x 2－x ＋1)，令f (x )＝0，则x 2－x ＋1＝1， 解得x ＝0(舍)或1，又∵函数f (x )是定义域为R 的奇函数， ∴f (0)＝0，∴在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32上， 有f (－1)＝－f (1)＝0，f (0)＝0.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ，取x ＝0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32， 得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝0， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f (－1)＝f (0)＝f (1) ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝0， 又∵函数f (x )是周期为3的周期函数，∴方程f (x )＝0在区间[0,6]上的解有0,1，32，2,3,4，92，5,6，共9个．5．(0,2)解析 f (－x )＝ln(1＋|－x |)－11＋－x2＝ln(1＋|x |)－11＋x2＝f (x )，则f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x2，为增函数，不等式f (x ＋1)>f (2x －1)等价于不等式f (|x ＋1|)>f (|2x －1|)， 即|x ＋1|>|2x －1|， 即(x ＋1)2>(2x －1)2， 得x 2－2x <0，得0<x <2， 即p ：0<x <2，不等式x 2－(m ＋1)x ＋m ≤0，则(x －1)(x －m )≤0， ∵綈p 是綈q 的充分不必要条件， ∴q 是p 的充分不必要条件， 若m ＝1，则不等式的解为x ＝1， 此时q ：x ＝1，满足条件， 若m >1，则不等式的解为1≤x ≤m ， 若满足条件，则1<m <2，若m <1，则不等式的解为m ≤x ≤1， 若满足条件，则0<m <1， 综上0<m <2，即实数m 的取值范围是(0,2)． 6．①②③解析 对于①，由于ylog 2x ，则在同一坐标系中，y ＝log 2x 与y象关于x 轴对称，故①正确；对于②，y ＝log 21－x1＋x ，函数的定义域为{x |－1<x <1}，因为f (－x )＝－log 21－x1＋x＝－f (x )，所以函数是奇函数，②正确；对于③，因为y ＝－1x 的对称中心为(0,0)，函数y ＝－1x向左平移2单位，向上平移1单位，得到y ＝x ＋1x ＋2＝1－1x ＋2，其图象的对称中心为(－2,1)， 所以函数的图象关于(－2,1)成中心对称，所以③正确； 对于④，yx 2＋1≤1，函数是偶函数，当x <0时，函数是减函数，当x >0时，函数是增函数，所以当x ＝0时函数取得最小值12，④不正确；故答案为：①②③.。
2019版高考数学(理)一轮复习课时分层作业： 十一 2.8函数与方程
课时分层作业十一函数与方程一、选择题(每小题5分,共25分)1.若函数f(x)=ax+b有一个零点是2,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是( )A.0,2B.0,C.0,-D.2,-【解析】选C.因为2a+b=0,所以g(x)=-2ax2-ax=-ax(2x+1).所以零点为0和-.2.(2018·唐山模拟)f(x)=2sin πx-x+1的零点个数为( )A.4B.5C.6D.7【解析】选 B.令2sin πx-x+1=0,则2sin πx=x-1,令h(x)=2sin πx,g(x)=x-1,则f(x)=2sin πx-x+1的零点个数问题转化为两个函数h(x)与g(x)图象的交点个数问题.h(x)=2sin πx的最小正周期为T==2,画出两个函数的图象,如图所示.因为h(1)=g(1),h>g,g(3)=2>h(3)=0,g(-1)=-2,所以两个函数图象的交点一共有5个,所以f(x)=2sin πx-x+1的零点个数为5.3.若函数f(x)=a x-x-a(a>0且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是( )A.(2,+∞)B.C.(1,+∞)D.(0,1)【解析】选C.函数f(x)=a x-x-a(a>0且a≠1)有两个零点,就是函数y=a x(a>0且a≠1)与函数y=x+a(a>0且a≠1)的图象有两个交点,由图1知,当0<a<1时,两函数的图象只有一个交点,不符合题意;由图2知,当a>1时,因为函数y=a x(a>1)的图象与y轴交于点(0,1),而直线y=x+a与y轴的交点一定在点(0,1)的上方,所以两函数的图象一定有两个交点,所以实数a的取值范围是a>1.4.已知函数f(x)=-log2x,在下列区间中,包含f(x)的零点的区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+∞)【解析】选C.对于函数f(x)=-log2x,因为f(2)=2>0,f(4)=-0.5<0,根据零点的存在性定理知选C.【一题多解】选C.在同一坐标系中作出函数h(x)=与g(x)=log2x的大致图象,如图所示,可得f(x)的零点所在的区间为(2,4).【变式备选】(2018·烟台模拟)函数f(x)=ln(x+1)-的零点所在的大致区间是 ( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,e)D.(3,4)【解析】选 B.因为f(x)在(0,+∞)上为单调增函数,且f(1)=ln 2-2<0,f(2)=ln 3-1>0,所以函数的零点所在的大致区间是(1,2). 5.设函数f(x)=e x+2x-4,g(x)=ln x+2x2-5,若实数a,b分别是f(x),g(x)的零点,则( )A.g(a)<0<f(b)B.f(b)<0<g(a)C.0<g(a)<f(b)D.f(b)<g(a)<0【解析】选A.依题意,f(0)=-3<0,f(1)=e-2>0,且函数f(x)是增函数,因此函数f(x)的零点在区间(0,1)内,即0<a<1.g(1)=-3<0,g(2)=ln 2+3>0,函数g(x)的零点在区间(1,2)内,即1<b<2,于是有f(b)>f(1)>0.又函数g(x)在(0,1)内是增函数,因此有g(a)<g(1)<0,g(a)<0<f(b).二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2018·安庆模拟)若函数f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零点,则实数a 的取值范围是________.【解析】因为函数f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零点,所以方程4x-2x-a=0在[-1,1]上有解,即方程a=4x-2x在[-1,1]上有解.方程a=4x-2x可变形为a=-,因为x∈[-1,1],所以2x∈,所以-∈.所以实数a的取值范围是.答案:7.(2018·嘉兴模拟)设函数y=x3与y=的图象的交点为(x0,y0),若x0∈(n,n+1),n∈N,则x0所在的区间是________.【解析】设f(x)=x3-,则x0是函数f(x)的零点,在同一坐标系下画出函数y=x3与y= 的图象如图所示.因为f(1)=1-=-1<0,f(2)=8-=7>0,所以f(1)f(2)<0,所以x0∈(1,2).答案:(1,2)【变式备选】已知函数f(x)=x2+x+a (a<0)在区间(0,1)上有零点,则a的范围为________.【解析】由题意f(1)·f(0)<0,所以a(2+a)<0.所以-2<a<0.答案:(-2,0)8.(2018·北京模拟)函数f(x)是定义在R上的偶函数,且满足f(x+2)=f(x).当x∈[0,1]时,f(x)=2x.若在区间[-2,3]上方程ax+2a-f(x)=0恰有四个不相等的实数根,则实数a的取值范围是________.【解析】由f(x+2)=f(x)知函数f(x)是以2为周期的周期函数,又f(x)为偶函数,故函数在[-2,3]上的图象如图所示.直线y=ax+2a过定点(-2,0),在区间[-2,3]上方程ax+2a-f(x)=0恰有四个不相等的实数根,等价于直线y=ax+2a与函数y=f(x)的图象有四个不同的公共点,结合图形可得实数a满足不等式3a+2a>2,且a+2a<2,即<a<.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.判断函数f(x)=4x+x2-x3在区间[-1,1]上零点的个数,并说明理由.【解析】因为f(-1)=-4+1+=-<0,f(1)=4+1-=>0,所以f(x)在区间[-1,1]上有零点.又f′(x)=4+2x-2x2=-2,当-1≤x≤1时,0≤f′(x)≤,所以f(x)在[-1,1]上是单调递增函数.所以f(x)在[-1,1]上有且只有一个零点.10.已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,(1)求m的值.(2)求函数的零点.【解析】 (1)因为f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,即方程(2x)2+m·2x+1=0仅有一个实根.设2x=t(t>0),则t2+mt+1=0.当Δ=0时,即m2-4=0,所以m=±2,当m=-2时,t=1;当m=2时,t=-1(不合题意,舍去).所以2x=1,x=0符合题意.当Δ>0时,即m>2或m<-2,t2+mt+1=0有两正或两负根,即f(x)有两个零点或没有零点.所以这种情况不符合题意.综上可知:当m=-2时,f(x)有唯一零点.(2)由(1)可知,该函数的零点为0.1.(5分)已知实数a,b满足2a=3,3b=2,则函数f(x)=a x+x-b的零点所在的区间是 ( )A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)【解析】选B.因为2a=3,3b=2,所以a>1,0<b<1,又f(x)=a x+x-b,所以f(-1)=-1-b<0,f(0)=1-b>0,从而由零点存在性定理可知f(x)在区间(-1,0)上存在零点.2.(5分)(2018·台州模拟)已知函数y=f(x)是周期为2的周期函数,且当x∈[-1,1]时,f(x)=2|x|-1,则函数F(x)=f(x)-|lg x|的零点个数是 ( )A.9B.10C.11D.18【解题指南】函数F(x)的零点个数就是函数y=f(x)与y=|lg x|图象交点的个数,作出函数图象,结合图象确定零点的个数.【解析】选B.由F(x)=0得f(x)=|lg x|,所以函数F(x)=f(x)-|lg x|的零点个数就是函数y=f(x)与y=|lg x|图象交点的个数.作出函数图象,如图所示:当0<x≤10时,有10个交点;当x>10时,|lg x|>1,所以此时函数y=f(x)与y=|lg x|图象无交点.故函数F(x)=f(x)-|lg x|的零点个数是10.3.(5分)已知以T=4为周期的函数f(x)=若方程f(x)=mx恰有5个实数解,则正实数m的取值范围为________.【解题指南】作出函数f(x)在一个周期[-1,3]上的图象,根据周期性拓展函数图象,再作出函数y=mx的图象,数形结合找出两个函数图象有5个公共点时实数m满足的不等式解之即可.【解析】因为当x∈[-1,1]时,将函数y=化为方程x2+y2=1(y ≥0),其图象为半圆如图所示,同时在坐标系中作出当x∈(1,3]的图象,再根据周期性作出函数其他部分的图象如图,由图易知直线y=mx与第二个半圆(x-4)2+y2=1(y≥0)相交,而与第二段折线无公共点时,方程恰有5个实数解, 将y=mx代入(x-4)2+y2=1得(1+m2)x2-8x+15=0, 令Δ=64-60(1+m2)>0,得m2<.又当x=6时,6m>1,m>,所以m∈.答案:【方法技巧】数形结合思想在函数零点问题中的应用(1)数形结合思想的本质是转化,即把数的问题转化为形的问题直观解决,或者把形的问题转化为数的问题加以解决.(2)在函数与方程问题中利用数形结合思想可以把函数的零点、方程的根等问题转化为两个函数图象的交点问题加以解决.4.(12分)设函数f(x)=ax2+bx+b-1(a≠0).(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的零点.(2)若对任意b∈R,函数f(x)恒有两个不同零点,求实数a的取值范围.【解析】(1)当a=1,b=-2时,f(x)=x2-2x-3,令f(x)=0,得x=3或x=-1.所以函数f(x)的零点为3或-1.(2)依题意,f(x)=ax2+bx+b-1=0有两个不同实根,所以b2-4a(b-1)>0恒成立,即对于任意b∈R,b2-4ab+4a>0恒成立,所以有(-4a)2-4×(4a)<0⇒a2-a<0,解得0<a<1,因此实数a的取值范围是(0,1).5.(13分)已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)为偶函数.(1)求k的值.(2)若方程f(x)=log4(a·2x-a)有且只有一个根,求实数a的取值范围. 【解析】(1)因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),即log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx,即(2k+1)x=0,所以k=-.(2)依题意有log4(4x+1)-x=log4(a·2x-a),即令t=2x,则(1-a)t2+at+1=0(),只需其有一正根即可满足题意.①当a=1,t=-1时,不合题意.②()式有一正一负根t 1,t2,即得a>1,经验证正根满足at-a>0,所以a>1.③()式有相等两根,即Δ=0⇒a=±2-2,此时t=,若a=2(-1),则有t=<0,此时方程(1-a)t2+at+1=0无正根,故a=2(-1)舍去;若a=-2(+1),则有t=>0,且a·2x-a=a(t-1)=a=>0,因此a=-2(+1).综上所述,a>1或a=-2-2.关闭Word文档返回原板块。
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专题2.8 函数与方程
基础巩固题组
一、填空题
1．已知函数y ＝f (x )的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：
则函数y ＝f (x )在区间[1,6]上的零点至少有________个． 【答案】3
2．已知函数f (x )＝2
3x
＋1
＋a 的零点为1，则实数a 的值为______． 【答案】－1
2
【解析】由已知得f (1)＝0，即231＋1＋a ＝0，解得a ＝－1
2
.
3．已知关于x 的方程x 2
＋mx －6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m 的取值范围是______． 【答案】(－∞，1)
【解析】设函数f (x )＝x 2＋mx －6，则根据条件有f (2) <0，即4＋2m －6<0，解得m <1.
4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－2，x ＞0，
－x 2
＋bx ＋c ，x ≤0，
若f (0)＝－2， f (－1)＝1，则函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为
______． 【答案】3
【解析】依题意得⎩⎪⎨
⎪
⎧
c ＝－2，－1－b ＋c ＝1，
由此解得b ＝－4，c ＝－2.由g (x )＝0得f (x )＋x ＝0，
该方程等价于⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＞0，
－2＋x ＝0，①
或⎩
⎪⎨⎪⎧
x ≤0，
－x 2
－4x －2＋x ＝0.②
解①得x ＝2，解②得x ＝－1或x ＝－2. 因此，函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为3.
5．函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x >0的零点个数为________．
【答案】2
6．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
－cos x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数为________．
【答案】3 【解析】
作出g (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
与h (x )＝cos x 的图象如图所示，可以看到其在[0,2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0,2π]
上的零点个数为3.
7．函数f (x )＝4cos 2x 2cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为________． 【答案】2
8．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x
－1，x ＞0，
－x 2
－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．
【答案】(0,1)
【解析】画出f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x
－1，x ＞0，
－x 2
－2x ，x ≤0的图象，如图．
由函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得：0＜m ＜1，即m ∈(0,1)． 二、解答题
9．已知函数f (x )＝－x 2
＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e
2
x
(x ＞0)．
(1)若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；
(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． 解 (1)法一 ∵g (x )＝x ＋e 2
x
≥2e 2
＝2e ，
图1
等号成立的条件是x ＝e ，
故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e，则y ＝g (x )－m 就有零点． 法二 作出g (x )＝x ＋e
2
x
(x ＞0)的大致图象如图1.
可知若使y ＝g (x )－m 有零点，则只需m ≥2e.
图2
10．已知关于x 的二次方程x 2
＋2mx ＋2m ＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围． 解
由条件，抛物线f (x )＝x 2
＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，如图所示，得⎩⎪⎨⎪⎧
f ＝2m ＋1<0，f －＝2>0，f ＝4m ＋2<0，f ＝6m ＋5>0
⇒
⎩⎪⎨⎪⎧
m <－12
，
m ∈R ，m <－12
，
m >－56
.即－56<m <－12
.
故m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－5
6
，－12.
能力提升题组
11．(2017·苏州调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
4，x ≥m ，
x 2
＋4x －3，x <m ，
若函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实
数m 的取值范围是________． 【答案】(1,2]
【解析】由题意得g (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
4－2x ，x ≥m ，
x 2
＋2x －3，x <m ，
又函数g (x )恰有三个不同的零点，所以方程g (x )＝0的实根2，－3和1都在相应范围上，即1<m ≤2.
12．(2017·镇江调研)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2
－x ，x >0，12－1
2
＋x ，x ≤0，若关于x 的方程f (x )＝kx －k 至少有两个不相等的实数
根，则实数k 的取值范围为________．
【答案】⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－13，1∪(1，＋∞)
13．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
|x |，x ≤m ，
x 2
－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，
则m 的取值范围是________． 【答案】(3，＋∞) 【解析】
在同一坐标系中，作y ＝f (x )与y ＝b 的图象．当x >m 时，x 2
－2mx ＋4m ＝(x －m )2
＋4m －m 2
， ∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2
<m ， 即m 2
－3m >0. 又m >0，解得m >3.
14．(2017·南通阶段检测)是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2
＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．。