高中数学常见题型解法归纳 空间直线、平面垂直位置关系的证明
高中数学证明几何的题的知识点总结 线面垂直线面平行点面面面的证明
高中数学证明几何的题的知识点总结线面垂直线面平行点面面面的证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：高中数学中，证明几何是一个重要的部分，特别是涉及到线面垂直、线面平行、点面面面的证明。
这些知识点是我们理解几何学的基础，掌握了这些知识点，可以更好地应用几何学的相关定理解决问题。
下面我们来总结一下关于这些知识点的证明方法。
首先是线面垂直的证明，线面垂直是指一条直线与一个平面相交成直角。
在证明线面垂直的过程中，常常使用垂直于平面的直线与这条直线的夹角为90度，并结合相关的几何定理来进行证明。
在证明直线与平面的垂直时，可以利用平行线的性质来证明。
其次是线面平行的证明，线面平行是指一条直线与一个平面平行。
在证明线面平行的过程中，常常使用有平行性质的几何图形，比如平行线、平行四边形等。
通过利用这些性质，可以简单明了地证明线面平行的关系。
在证明这些知识点的时候，我们需要注意一些技巧和方法。
首先要善于利用已知条件，根据题目中给出的条件来进行推理。
其次要善于利用几何图形的性质，结合相关定理来进行推理。
最后要善于应用代数方法，通过代数运算来证明一些几何关系。
证明几何是高中数学中非常重要的内容，能够帮助我们更好地理解几何学的相关定理和性质。
通过掌握线面垂直、线面平行、点面面面的证明方法，我们可以更好地解决各种几何问题，并提高数学解题能力。
希望以上总结对大家有所帮助，让我们共同努力，提高数学水平！第二篇示例：在高中数学中，证明几何是一个非常重要的部分，它不仅考察了学生对数学知识的掌握程度，还培养了学生的逻辑思维能力和分析问题的能力。
线面垂直、线面平行、点面、面面等几何关系的证明是学习数学证明的一个重要内容。
下面我们就来看一下关于这些几何关系的证明的知识点总结。
我们来介绍线面垂直的证明。
在线面垂直的证明中，一般需要用到的有以下几个重要的定理：1. 垂直平分线定理：在一个平面内，若一条线段垂直于一条线段的中点，那么这条线段垂直于这条线段。
高中数学必修二 专题08 空间直线与平面与平面与平面的垂直(重难点突破)(含答案)
专题08 空间直线与平面、平面与平面的垂直一、考情分析二、考点梳理考点一直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直.(2)判定定理与性质定理考点二平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理考点三知识拓展1.两个重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”.四、题型分析重难点题型突破1 线面垂直例1. （河北省石家庄二中2019届期中）已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是( )A.若m⊂α，则m⊥βB.若m⊂α，n⊂β，则m⊥nC.若m⊄α，m⊥β，则m∥αD.若α∩β＝m ，n ⊥m ，则n ⊥α 【答案】C【解析】对于A ：若m ⊂α，则m 与平面β可能平行或相交，所以A 错误；对于B ：若m ⊂α，n ⊂β，则m 与n 可能平行、相交或异面，所以B 错误；对于C ：若m ⊄α，m ⊥β，则m ∥α，C 正确；对于D ：α∩β＝m ，n ⊥m ，则n 不一定与平面α垂直，所以D 错误.【变式训练1-1】、设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A.若α⊥β，m ∥α，n ∥β，则m ⊥nB.若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥βC.若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥βD.若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n 【答案】B【解析】若α⊥β，m ∥α，n ∥β，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误； ∵m ⊥α，m ∥n ，∴n ⊥α，又∵n ∥β，∴α⊥β，故B 正确； 若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α与β的位置关系不确定，故C 错误； 若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n 或m ，n 异面，故D 错误.例2.如图所示，在四棱锥PABCD 中，AB ⊥平面PAD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点，且DF ＝12AB ，PH 为△PAD 中AD 边上的高．求证：(1) PH ⊥平面ABCD ； (2) EF ⊥平面PAB.【证明】 (1) 因为AB ⊥平面PAD ，PH ⊂平面PAD ，所以PH ⊥AB. 因为PH 为△PAD 中边AD 上的高，所以PH ⊥AD.因为AB∩AD ＝A ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PH ⊥平面ABCD. (2) 如图，取PA 的中点M ，连结MD ，ME.因为E 是PB 的中点，所以ME ＝12AB ，ME ∥AB.又因为DF ＝12AB ，DF ∥AB ，所以ME ＝DF ，ME ∥DF ，所以四边形MEFD 是平行四边形，所以EF ∥MD.因为PD＝AD，所以MD⊥PA.因为AB⊥平面PAD，所以MD⊥AB.因为PA∩AB＝A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，所以MD⊥平面PAB，所以EF⊥平面PAB.重难点题型突破2 面面垂直例3. （安徽省合肥三中2019届高三质检）如图，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是( )A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC【答案】D【解析】因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确；在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，且AE，PE⊂平面PAE，所以BC⊥平面PAE，因为DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，又DF⊂平面PDF，从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B，C均正确．【变式训练3-1】、（江西鹰潭一中2019届高三调研）如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是( )①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；②BC∥平面A′DE；③三棱锥A′FED的体积有最大值．A．①B．①②C．①②③D．②③【答案】C【解析】①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC，所以点A′在平面ABC上的射影在线段AF上．②BC∥DE，根据线面平行的判定定理可得BC∥平面A′DE.③当平面A′DE⊥平面ABC时，三棱锥A′FED的体积达到最大，故选C.例4．（上海格致中学2019届高三模拟）如图1，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝6，E，F分别为CD，AB 边上的点，且DE＝3，BF＝4，将△BCE沿BE折起至△PBE的位置(如图2所示)，连接AP，PF，其中PF＝2 5.(1)求证：PF⊥平面ABED；(2)求点A到平面PBE的距离．【解析】(1)证明：在题图2中，连接EF，由题意可知，PB＝BC＝AD＝6，PE＝CE＝CD－DE＝9，在△PBF中，PF2＋BF2＝20＋16＝36＝PB2，所以PF⊥BF.在题图1中，连接EF，作EH⊥AB于点H，利用勾股定理，得EF＝62＋（12－3－4）2＝61，在△PEF中，EF2＋PF2＝61＋20＝81＝PE2，所以PF⊥EF，因为BF∩EF＝F，BF⊂平面ABED，EF⊂平面ABED，所以PF⊥平面ABED.(2)如图，连接AE，由(1)知PF⊥平面ABED，所以PF 为三棱锥P ABE 的高． 设点A 到平面PBE 的距离为h ，因为V A PBE ＝V P ABE ，即13×12×6×9×h ＝13×12×12×6×25，所以h ＝853，即点A 到平面PBE 的距离为853. 【变式训练4-1】、 (2018·北京高考)如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．(1)求证：PE ⊥BC ；(2)求证：平面PAB ⊥平面PCD ； (3)求证：EF ∥平面PCD .证明：(1)因为PA ＝PD ，E 为AD 的中点， 所以PE ⊥AD .因为底面ABCD 为矩形， 所以BC ∥AD ，所以PE ⊥BC .(2)因为底面ABCD 为矩形，所以AB ⊥AD .又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，AB ⊂平面ABCD ， 所以AB ⊥平面PAD ，因为PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥PD . 又因为PA ⊥PD ，AB ∩PA ＝A ， 所以PD ⊥平面PAB . 因为PD ⊂平面PCD ， 所以平面PAB ⊥平面PCD .(3)如图，取PC 的中点G ，连接FG ，DG . 因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点， 所以FG ∥BC ，FG ＝12BC .因为四边形ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点， 所以DE ∥BC ，DE ＝12BC .所以DE ∥FG ，DE ＝FG .所以四边形DEFG 为平行四边形． 所以EF ∥DG .又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ， 所以EF ∥平面PCD .。
【高中数学题型归纳】8.5直线、平面垂直的判定与性质
3.判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一 个平面的垂线，则 这两个平面垂直
_b
b b
4.性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言
图形语言
符号语言
性质定理
两个平面垂直，
则一个平面内垂
直于交线的直线
与另一个平面垂
直
_b
_a
b
a
点叫做斜足.
2.射影的定义
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.
3.直线与平面所成的角
平面内的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
特别地，一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们
说它们所成的角是
的一个命题________________.
变式 3：在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 F 是棱 CC1 的中点，点 P 是正方体表面上的一点，
若 D1P AF ，则线段 D1P 的长度的取值范围是_______________. 例 8.34 如图 8-127 所示，在直棱柱 ABCD A1B1C1D1 中， AC BD ，垂足为 E .求证： BD A1C .
第五节 直线、平面垂直的判定与性质
考纲解读：
1．以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理。
2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些关于空间图形位置关系的简单命题。
命题趋势探究：
在高考中，对垂直关系的考察一般有两种方式：
（1）考察垂直关系的有关定义、判定及性质，即通过有关命题的真假判定，直接考查有关的判定和性质
艺术生高考数学专题讲义考点35空间直线、平面垂直判定及其性质
考点三十五空间直线、平面垂直的判断及其性质知识梳理1．直线与平面垂直的定义假如一条直线 a 与一个平面α内的随意一条直线都垂直，我们就说直线 a 垂直于平面α，记作 a⊥ α，直线 a 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线 a 的垂面，垂线和平面的交点称为垂足．结论：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．2.直线与平面垂直的判断定理假如一条直线和一个平面内的两条订交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．3．直线与平面垂直的性质定理假如两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行．4．与线面垂直相关的重要结论(1)假如一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任何一条直线．(2)假如两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．(3)假如一条直线与两个平面都垂直，那么这两个平面平行．(4)过一点有且只有一条直线和已知平面垂直；过一点有且只有一个平面和已知直线垂直．5．两平面垂直的定义假如两个平面所成的二面角是直二面角，我们就说这两个平面相互垂直．6．两平面垂直的判断定理假如一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直．7．两平面垂直的性质定理假如两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．8.空间角(1) 直线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，∠PAO 就是斜线 AP 与平面α所成的角．当直线与平面垂直时，它们所成的角是直角；当直线在平面内或直线与平面平行时，它们所成的角是π0°的角．故线面角θ的范围：θ∈ [0， ] ．2(2)二面角从一条直线出发的两个半平面所构成的图形叫做二面角．平面叫做二面角的面．如图的二面角，可记作：二面角这条直线叫做二面角的棱．α-l -β或二面角P-AB-Q．两个半②二面角的平面角如图，过二面角α-l -β的棱l 上一点O 在两个半平面内分别作BO⊥ l， AO⊥l ，则∠AOB 就πα-l -β的平面角．设二面角的平面角为θ，则θ∈[0，π]．当θ＝时，二面角叫做2直二面角．9.垂直关系的转变判断定理转变：线线垂直线面垂直面面垂直性质定理转变：面面垂直用图形表示为：同时，在平行与垂直之间也存在相互转变，即：线线垂直线面垂直线线平行线面平行典例分析题型一例 1①②③④垂直问题相关的命题判断(2014 ·浙江高考 )设 m， n 是两条不一样的直线，α，β是两个不一样的平面________．若 m⊥ n， n∥α，则 m⊥ α若 m∥ β，β⊥ α则 m⊥ α若 m⊥ β， n⊥β， n⊥ α则 m⊥ α若 m⊥ n， n⊥β，β⊥ α，则 m⊥ α答案③分析选项①，②，④中 m 均可能与平面变式训练已知 m， n 是两条不一样的直线，α平行、垂直、斜交或在平面α内，应选③ α，β为两个不一样的平面，有以下四个命题：.①若 m⊥α， n⊥ β，m⊥ n，则α⊥ β；②若m∥ α，n∥β，m⊥ n，则α∥β；③若 m⊥α， n∥ β，m⊥ n，则α∥ β；④若m⊥ α，n∥β，α∥ β，则m⊥n.此中全部正确的命题是________．答案①④分析借助于长方体模型来解决此题，关于①，能够获得平面α，β相互垂直，如图(1)所示，故①正确；关于②，平面α、β可能垂直，如图(2)所示；关于③，平面α、β可能垂直，如图(3) 所示；关于④，由 m⊥ α，α∥ β可得 m⊥ β，由于 n∥ β，所以过 n 作平面γ，且γ∩β＝ g，如图 (4) 所示，所以 n 与交线 g 平行，由于 m⊥ g，所以 m⊥ n.解题重点 1.关于这种命题的判断问题，借助模型法是常有策略，一般地，关于线面、面面平行、垂直的地点关系的判断，可结构长方体或正方体化抽象为直观去判断.2.还能够经过绘图判断，作图时仍旧按照先作面后作线的原则，用面烘托线，进而利于判断．题型二线面垂直的判断与性质例 2如图，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD 为矩形， M，N 分别是 AB，PC 的中点．(1)求证： MN⊥CD ；(2)若∠ PDA＝ 45°，求证： MN ⊥平面 PCD.证明： (1)如下图，取PD 的中点 E，连结 AE， NE，∵N 是 PC 的中点， E 为 PD 的中点，∴ NE∥CD，且 NE＝1CD ，211AM ，∴四边形 AMNE为平行四边形，而 AM∥ CD，且 AM＝ AB＝ CD ，∴ NE22∴MN ∥ AE.又 PA⊥平面 ABCD ，∴ PA⊥CD ，又∵ ABCD 为矩形，∴ AD⊥ CD .而 AD∩ PA＝ A，∴ CD⊥平面 PAD，∴CD ⊥ AE.又 AE∥ MN ，∴ MN ⊥CD.(2)∵ PA⊥平面 ABCD ，∴ PA⊥ AD ，又∠ PDA ＝45°，∴△ PAD 为等腰直角三角形．又 E 为 PD 的中点，∴ AE⊥ PD ，又由 (1)知 CD ⊥ AE， PD ∩ CD ＝ D，∴AE ⊥平面 PCD.又 AE∥MN ，∴ MN⊥平面 PCD .解题重点利用判断定理证明线面垂直时，一定证明一条直线垂直于平面内的两条订交直线，这里订交一定要表现出来．题型三面面垂直的判断和性质1例 3如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝ 90°， AC＝ BC＝2AA1，D 是棱 AA1的中点．(1)证明：平面 BDC 1⊥平面 BDC ；(2)平面 BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．分析(1)证明：由题设知BC ⊥CC1，BC⊥ AC， CC1∩ AC＝ C，所以 BC⊥平面 ACC1A1.又 DC1 ? 平面 ACC1A1，所以 DC1⊥ BC.由题设知∠ A1DC 1＝∠ ADC ＝ 45°，所以∠ CDC 1＝ 90°，即 DC 1⊥ DC .又 DC ∩ BC＝ C，所以 DC1⊥平面 BDC .又 DC1 ? 平面 BDC 1，故平面 BDC 1⊥平面 BDC .B-DACC 1的体积为 V1， AC＝ 1.由题意得 V1＝1 1＋2×1×1＝1(2) 设棱锥3×22.又三棱柱 ABC-A1B1C1的体积 V＝1，所以 (V－ V1)∶ V1＝ 1∶1.故平面 BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.变式训练如图，在三棱柱 ABC －A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥ BC， AA1＝ AC＝ 2，BC＝ 1， E，F 分别是 A1C1， BC 的中点．(1)求证：平面 ABE⊥平面 B1 BCC1；(2)求证： C1F ∥平面 ABE；(3)求三棱锥 E－ABC 的体积．分析(1)证明在三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB.又由于 AB⊥ BC，所以 AB⊥平面 B1BCC1，又 AB 平面 ABE，所以平面 ABE⊥平面 B1BCC1.(2)证明取AB的中点G，连结EG，FG .1由于 E，F 分别是 A1C1， BC 的中点，所以FG∥ AC，且 FG ＝2AC.由于 AC∥ A1C1，且 AC＝ A1C1，所以 FG∥ EC1，且 FG＝ EC1，所以四边形 FGEC 1为平行四边形．所以 C1F∥ EG.又由于 EG平面ABE，C1F平面ABE，所以C1F∥平面ABE.(3)解由于 AA1＝AC＝ 2， BC＝ 1，AB ⊥BC，所以 AB＝ AC2－ BC2＝ 3.所以三棱锥 E－ ABC 的体积 V＝1△＝1×1×3× 1×2＝3 3S ABC·AA132 3.解题重点(1)判断面面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判断定理(a⊥ β， aα?α⊥β)．(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转变．在一个平面内作交线的垂线，转变为线面垂直，而后进一步转变为线线垂直．当堂练习1．以下命题中，正确命题个数为________．①假如一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直．②过直线l 外一点 P，有且仅有一个平面与l 垂直．③假如三条共点直线两两垂直，那么此中一条直线垂直于另两条直线确立的平面．④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面．⑤过点 A 垂直于直线 a 的全部直线都在过点 A 垂直于 a 的平面内．答案4分析②③④⑤正确，①中当这无数条直线都平行时，结论不建立．2．以下命题中正确的选项是________．①平面α和β分别过两条相互垂直的直线，则α⊥ β②若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条平行线，则α⊥ β③若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条订交直线，则α⊥ β④若平面α内的一条直线垂直于平面β内无数条直线，则α⊥ β答案③分析由两个平面垂直的定义知，③正确．3.在正四周体 P－ ABC 中， D， E， F 分别是 AB，BC， CA 的中点，则下边四个结论中不建立的是 ________．①BC ∥平面 PDF②DF⊥平面PAE③平面PDF⊥平面ABC④平面PAE⊥平面ABC 答案③分析可画出对应图形，如下图，则BC∥ DF ，又 DF ? 平面 PDF ，BC?平面 PDF ，∴ BC∥平面 PDF ，故①建立；由 AE⊥ BC，PE⊥BC， BC∥ DF ，知 DF ⊥AE ，DF ⊥ PE，∴ DF ⊥平面 PAE，故②建立；又 DF ? 平面 ABC，∴平面 ABC⊥平面 PAE，故④建立．4．平面α⊥平面β，直线 a∥ α，则 ________．①a⊥ β② a∥ β③ a与β订交④以上都有可能答案④分析借滋长方体，可举例说明①、②、③都有可能建立．5．设 m、 n 是两条不一样的直线，α、β是两个不一样的平面，给出以下四个命题：①若 m⊥n， m⊥ α， n?α，则 n∥ α；②若m∥ α，α⊥ β，则m⊥β；③若 m⊥β，α⊥ β，则 m∥ α或 m? α；④若m⊥ n，m⊥ α，n⊥ β，则α⊥ β.则此中正确命题的序号为________．答案①③④分析②中可能有m∥ β，故②不正确．课后作业一、填空题1．若 m、 n 表示直线，α表示平面，则以下命题中，正确命题的个数为________．① m∥ n，m⊥ α} ? n⊥ α；② m⊥ α， n⊥ α} ? M∥ n；③ m⊥ α， n∥ α} ? M⊥ n;④ m∥ α， m⊥ n} ? n⊥ α．答案3分析①②③正确，④中n 与面α可能有： n? α或 n∥ α或订交 (包含 n⊥ α)2．如图，四棱锥P— ABCD 中， PA⊥平面 ABCD ，则 PD 与平面 ABCD 所成的角为图中的________．答案∠ PDA分析∵ PA⊥平面 ABCD ，∴AD 是 PD 在平面 ABCD 上的射影，故∠PDA 是 PD 与平面 ABCD 所成的角．3．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有________．答案 1 个或无数个分析假如平面内一点与平面外一点的连线与平面垂直，则能够作无数个平面与已知平面垂直，假如两点连线与已知平面不垂直，则只好作一个平面与已知平面垂直．4．在如下图的四个正方体中，能得出AB⊥ CD 的是 ________．①②③④答案①分析①中，∵CD ⊥平面AMB，∴ CD ⊥ AB；②中，AB 与CD成 60°角；③中，AB 与CD成 45°角；④中，AB 与CD夹角的正切值为2．5．已知a，b，c 为三条不重合的直线，下边有三个结论：①若a⊥ b，a⊥ c，则b∥ c;②若a ⊥b， a⊥ c，则b⊥ c;③若a∥ b， b⊥ c，则a⊥ c．此中正确的个数为________．答案 1 个分析①不对， b， c 可能异面；②不对，b， c 可能平行或异面；③对．6．已知直线m，n 和平面α，β知足 m⊥ n，m⊥ α，α⊥ β，则 ________．①n⊥ β② n∥ β③ n⊥ α④n∥ α或n?α答案④分析如下图，图①中 n 与β订交，②中 n? β，③中 n∥ β， n∥α，∴清除选④ .7．设α，β为不重合的平面， m， n 为不重合的直线，则以下命题正确的选项是________．①若α⊥ β，α∩β＝ n， m⊥ n，则 m⊥ α②若 m? α， n? β， m⊥ n，则 n⊥ α③若 n⊥ α， n⊥β， m⊥ β，则 m⊥ α④若 m∥ α， n∥ β， m⊥ n，则α⊥β答案③分析与α、β两垂直订交平面的交线垂直的直线m，可与α平行或订交，故①错；对②，存在 n∥ α状况，故②错；对④，存在α∥β状况，故④错．由 n⊥ α， n⊥ β，可知α∥ β，又 m⊥ β，所以 m⊥ α，故③正确．8．已知平面α与平面β订交，直线 m⊥ α，则 ________．①β内必存在直线与 m 平行，且存在直线与m 垂直②β内不必定存在直线与 m 平行，不必定存在直线与m 垂直③β内不必定存在直线与 m 平行，必存在直线与m 垂直④β内必存在直线与 m 平行，不必定存在直线与m 垂直答案③分析当直线 m 与β订交时β内存在直线与 m 平行，但能够作直线与m 成 90°角．9．空间四边形 ABCD 的四条边相等，则对角线AC 与 BD 的地点关系为 ________．答案垂直分析取 AC 中点 E，连 BE、 DE ．由 AB＝BC 得 AC⊥ BE．同理 AC⊥ DE ，所以 AC⊥面 BED．所以， AC⊥ BD ．10．以下四个命题中，正确的序号有________．①α∥β，β⊥ γ，则α⊥γ；②α∥β，β∥γ，则α∥γ；③α⊥β，γ⊥ β，则α⊥γ；④α⊥ β，γ⊥ β，则α∥γ．答案①②分析③④不正确，如下图，α⊥β，γ⊥ β，但α，γ订交且不垂直．11．在三棱锥 P－ ABC 中，若 PA⊥ PB， PB⊥ PC， PC⊥PA，则在三棱锥 P－ ABC 的四个面中，相互垂直的面有 ________对．答案3分析∵ PA⊥ PB， PA⊥ PC， PB∩PC＝ P，∴ PA⊥平面 PBC，又 PA? 平面 PAC， PA? 平面 PAB，∴平面 PAC⊥平面 PBC，平面 PAB⊥平面 PB C．同理可证平面 PAB⊥平面PAC．二、解答题12．如下图，四棱锥 P－ABCD 的底面 ABCD 是菱形，∠ BCD＝ 60°，E 是 CD 的中点， PA ⊥底面 ABCD ，求证平面 PBE⊥平面 PAB．证明如下图，连结BD ，由 ABCD 是菱形且∠ BCD ＝60°知，△ BCD 是等边三角形．由于 E 是 CD 的中点，所以 BE⊥ CD ．又 AB∥CD ，所以 BE⊥AB．又由于 PA⊥平面 ABCD ， BE? 平面 ABCD ，所以 PA⊥ BE．而 PA∩AB＝ A，所以 BE⊥平面 PAB ．又 BE? 平面 PBE，所以平面 PBE⊥平面 PAB．13．如下图，已知 PA 垂直于⊙ O 所在的平面， AB 是⊙ O 的直径， C 是⊙ O 上随意一点，过点 A 作 AE ⊥PC 于点 E．求证 AE⊥平面 PBC．证明∵ PA⊥平面 ABC，∴ PA⊥BC．又∵ AB 是⊙ O 的直径，∴ BC⊥ AC．而 PA∩AC＝ A，∴ BC⊥平面PAC．又∵ AE? 平面 PAC，∴ BC⊥AE．又∵ PC⊥ AE，且 PC∩BC＝ C，∴ AE⊥平面 PBC．。
高中数学证明直线与平面垂直的方法
高中数学证明直线与平面垂直的方法高中数学中，证明直线与平面垂直是一个重要而基础的概念。
垂直关系在几何学中占有核心地位，因为它决定了物体的形状、大小和位置。
证明直线与平面垂直不仅需要运用基础的几何知识，还需要严谨的逻辑推理。
下面将详细介绍证明直线与平面垂直的几种方法。
方法一：定义法根据直线与平面垂直的定义，如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直。
在实际证明中，我们通常需要选择平面内的一条特殊直线（如平面的法线或已知与直线垂直的直线）来进行证明。
方法二：向量法向量法是证明直线与平面垂直的一种常用方法。
首先，我们需要确定直线和平面的向量表示。
如果直线的方向向量与平面的法向量平行（即它们的外积为零），则直线与平面垂直。
这种方法需要一定的向量知识和运算能力。
方法三：几何性质法通过利用几何图形的性质来证明直线与平面垂直也是一种常见方法。
例如，如果一条直线同时垂直于一个平面的两条相交直线，那么这条直线与这个平面垂直。
这种方法依赖于对几何图形的深入理解和灵活运用。
方法四：反证法反证法是一种常用的逻辑推理方法，也可以用于证明直线与平面垂直。
假设直线与平面不垂直，然后根据已知条件和几何性质推导出矛盾，从而证明原假设不成立，即直线与平面垂直。
这种方法需要较强的逻辑推理能力。
方法五：综合法综合法是将以上几种方法综合运用，根据具体情况选择合适的方法进行证明。
在实际应用中，我们可能需要结合定义法、向量法、几何性质法和反证法等多种方法来完成证明。
注意事项在证明直线与平面垂直时，需要注意以下几点：理解定义：首先要清楚直线与平面垂直的定义，这是进行证明的基础。
选择适当的方法：根据题目的具体条件和已知信息，选择最合适的方法进行证明。
逻辑推理：在证明过程中，要保持清晰的逻辑思路，每一步都要有充分的理由和依据。
严谨性：几何证明需要严谨的态度和精确的表达，不能随意跳过关键步骤或忽略重要细节。
通过以上方法的学习和实践，我们可以更好地理解和掌握直线与平面垂直的概念，提高我们的几何证明能力和逻辑推理能力。
立体几何基本知识总结和线面垂直平行六种关系的证明方法
立体几何基本知识总结I. 基础知识要点 一、 平面.1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.2. 两个平面可将平面分成3或4部分.（①两个平面平行，②两个平面相交）3. 过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面.（①三条直线在一个平面内平行，②三条直线不在一个平面内平行）[注]：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有0或1个. 4. 三个平面最多可把空间分成 8 部分.（X 、Y 、Z 三个方向） 二、 空间直线.1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（可能两条直线平行，也可能是点和直线等） ②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交③若直线a 、b 异面，a 平行于平面α，b 与α的关系是相交、平行、在平面α内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形） ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段） ⑦b a ,是夹在两平行平面间的线段，若b a =，则b a ,的位置关系为相交或平行或异面.2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）. （二面角的取值范围[]180,0∈θ）（异面直线所成角(] 90,0∈θ）（斜线与平面成角()90,0∈θ）（直线与平面所成角[]90,0∈θ）（向量与向量所成角])180,0[ ∈θ推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等. 5. 两异面直线的距离：公垂线的长度.空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.21,l l 是异面直线，则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. （1L 或2L 在这个做出的平面内不能叫1L 与2L 平行的平面） 三、 直线与平面平行、直线与平面垂直.1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）[注]：①直线a 与平面α内一条直线平行，则a ∥α. （×）（平面外一条直线） ②直线a 与平面α内一条直线相交，则a 与平面α相交. （×）（平面外一条直线）③若直线a 与平面α平行，则α内必存在无数条直线与a 平行. （√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性12方向相同12方向不相同证之）④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可能在此平面内） ⑤平行于同一直线的两个平面平行.（×）（两个平面可能相交） ⑥平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面） ⑦直线l 与平面α、β所成角相等，则α∥β.（×）（α、β可能相交）3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直. ● 若PA ⊥α，a ⊥AO ，得a ⊥PO （三垂线定理），得不出α⊥PO . 因为a ⊥PO ，但PO 不垂直OA .●三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面. 推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. [注]：①垂直于同一平面．．．．的两个平面平行.（×）（可能相交，垂直于同一条直线．．．．．的两个平面平行） ②垂直于同一直线的两个平面平行.（√）（一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面）③垂直于同一平面的两条直线平行.（√） 5. ⑴垂线段和斜线段长定理：从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短. [注]：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）]⑵射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上四、 平面平行与平面垂直.1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行. [注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系.5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.证明：如图，找O 作OA 、OB 分别垂直于21,l l ，因为ααββ⊥⊂⊥⊂OB PM OA PM ,,,则OB PM OA PM ⊥⊥,.6. 两异面直线任意两点间的距离公式：θcos 2222mn d n m l +++=（θ为锐角取加，θ为钝取减，综上，都POAaPαβθM AB O取加则必有⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πθ）7. ⑴最小角定理：21cos cos cos θθθ=（1θ为最小角，如图） ⑵最小角定理的应用（∠PBN 为最小角）简记为：成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有4条. 成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一定有2条. 成角比交线夹角一半大，又与交线夹角相等，一定有3条或者2条. 成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，一定有1条或者没有. 五、 棱锥、棱柱. 1. 棱柱.⑴①直棱柱侧面积：Ch S =（C 为底面周长，h 是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的. ②斜棱住侧面积：l C S 1=（1C 是斜棱柱直截面周长，l 是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.⑵{四棱柱}⊃{平行六面体}⊃{直平行六面体}⊃{长方体}⊃{正四棱柱}⊃{正方体}. {直四棱柱}⋂{平行六面体}={直平行六面体}.⑶棱柱具有的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形．．．．．．．．；正棱柱的各个侧面都是全．等的矩形．．．．. ②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等．．多边形. ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. （×） （直棱柱不能保证底面是钜形可如图） ②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直.⑷平行六面体：定理一：平行六面体的对角线交于一点．．．．．．．．．．．．．，并且在交点处互相平分. [注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点.定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为γβα,,，则1cos cos cos 222=++γβα. 推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为γβα,,，则2cos cos cos 222=++γβα. [注]：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四面体的两个平行的平面可以为矩形） ②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（应是各侧面都是正方形的直．棱柱才行） ③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（×）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形）④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. （两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）2. 棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形. [注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以棱柱棱柱3V Sh V ==.图1θθ1θ2图2⑴①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心. [注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形） ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形. ②正棱锥的侧面积：'Ch 21S =（底面周长为C ，斜高为'h ） ③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：αcos 底侧S S =（侧面与底面成的二面角为α）附： 以知c ⊥l ，b a =⋅αcos ，α为二面角b l a --.则l a S ⋅=211①，b l S ⋅=212②，b a =⋅αcos ③ ⇒①②③得αcos 底侧S S =. 注：S 为任意多边形的面积（可分别多个三角形的方法）. ⑵棱锥具有的性质：①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）. ②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心. ⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径； ⑧每个四面体都有内切球，球心I 是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.[注]：i. 各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（×）（各个侧面的等腰三角形不知是否全等）ii. 若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直. 简证：A B ⊥CD ，AC ⊥BD ⇒ BC ⊥AD. 令b AC c AD a AB ===,,得c a c b AD BC c AD a b AB AC BC -=⋅⇒=-=-=,，已知()()0,0=-⋅=-⋅c a b b c a0=-⇒c b c a 则0=⋅AD BC .iii. 空间四边形OABC 且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形. iv. 若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形. 简证：取AC 中点'O ，则⊥⇒⊥'⊥'AC AC O B AC o o ,平面=∠⇒⊥⇒'FGH BO AC B O O 90°易知EFGH 为平行四边形⇒EFGH 为长方形.若对角线等，则EFGH FG EF ⇒=为正方形. 3. 球：⑴球的截面是一个圆面. ①球的表面积公式：24R S π=. ②球的体积公式：334R V π=. l ab c FEH GBCDAO'⑵纬度、经度：①纬度：地球上一点P 的纬度是指经过P 点的球半径与赤道面所成的角的度数.②经度：地球上B A ,两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点A 的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是B 点的经度. 附：①圆柱体积：h r V 2π=（r 为半径，h 为高） ②圆锥体积：h r V 231π=（r 为半径，h 为高） ③锥形体积：Sh V 31=（S 为底面积，h 为高） 4. ①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a ，a h 36=，243a S =底，243a S =侧 得a a a R R a R a a a 46342334/424331433643222=⋅==⇒⋅⋅+⋅=⋅. 注：球内切于四面体：h S R S 313R S 31V 底底侧ACD B ⋅=⋅+⋅⋅⋅=- ②外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式.构造以半径为斜边的直角三角形线面垂直平行六种关系的证明方法总结一、线线平行的证明方法：1、利用平行四边形。
高中数学证明几何的题的知识点总结 线面垂直线面平行点面面面的证明
高中数学证明几何的题的知识点总结线面垂直线面平行点面面面的证明几何证明是高中数学中的重要组成部分，它不仅锻炼了学生的逻辑思维能力，还培养了严密的数学推理能力。
本文针对高中数学中常见的线面垂直、线面平行以及点面、面面关系证明的知识点进行总结，以帮助学生更好地掌握几何证明的技巧和方法。
一、线面垂直的证明1.定义：如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与该平面垂直。
2.判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直。
3.证明方法：（1）利用垂直的定义，找出直线与平面内任意一条直线垂直的关系。
（2）利用判定定理，找出直线与平面内两条相交直线垂直的关系。
二、线面平行的证明1.定义：如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都没有公共点，则这条直线与该平面平行。
2.判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条平行直线都平行，则这条直线与该平面平行。
3.证明方法：（1）利用平行的定义，找出直线与平面内任意一条直线没有公共点的关系。
（2）利用判定定理，找出直线与平面内两条平行直线都平行的关系。
三、点面关系的证明1.定义：如果一点在一个平面内，则这个点与该平面有公共点。
2.判定定理：如果一点与一个平面内的任意一条直线都有且只有一个公共点，则这个点在该平面内。
3.证明方法：（1）利用定义，找出点与平面内任意一条直线有公共点的关系。
（2）利用判定定理，找出点与平面内任意一条直线有且只有一个公共点的关系。
四、面面关系的证明1.定义：如果两个平面有公共点，则这两个平面相交。
2.判定定理：如果两个平面内分别有两条相交直线互相平行，则这两个平面平行。
3.证明方法：（1）利用定义，找出两个平面有公共点的关系。
（2）利用判定定理，找出两个平面内分别有两条相交直线互相平行的关系。
通过以上对高中数学几何证明知识点的总结，相信同学们在解决相关问题时会更加得心应手。
高中数学必修2立体几何常考题型：空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系【知识梳理】1．直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点符号暗示a⊂αa∩α＝A a∥α图形暗示2．两个平面的位置关系位置关系图示暗示法公共点个数两平面平行α∥β没有公共点两平面相交α∩β＝l 有无数个公共点(在一条直线上)【常考题型】题型一、直线与平面的位置关系【例1】下列说法：①若直线a在平面α外，则a∥α；②若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；③若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．其中说法正确的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个[解析]对于①，直线a在平面α外包孕两种情况：a∥α或a与α相交，∴a和α纷歧定平行，∴①说法错误．对于②，∵直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a纷歧定平行于α.∴②说法错误．对于③，∵a∥b，b⊂α，∴a⊂α或a∥α，∴a与平面α内的无数条直线平行．∴③说法正确．[答案] B【类题通法】空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行．在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．【对点训练】1．下列说法中，正确的个数是()①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；②一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面都平行；③经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行；④两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条必然与这个平面平行．A．0 B．1C．2 D．3解析：选C①正确；②错误，如图1所示，l1∥m，而m⊂α，l1⊂α；③正确，如图2所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线A1C1与直线BD异面，A1C1⊂平面A1B1C1D1，且BD∥平面A1B1C1D1，故③正确；④错误，直线还可能与平面相交．由此可知，①③正确，故选C.题型二、平面与平面的位置关系【例2】(1)平面α内有无数条直线与平面β平行，问α∥β是否正确，为什么？(2)平面α内的所有直线与平面β都平行，问α∥β是否正确，为什么？[解](1)不正确．如图所示，设α∩β＝l，则在平面α内与l平行的直线可以有无数条：a1，a2，…，a n，…，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，a n，…与平面β都平行(因为a1，a2，…，a n，…与平面β无交点)，但此时α与β不平行，α∩β＝l.(2)正确．平面α内所有直线与平面β平行，则平面α与平面β无交点，符合平面与平面平行的定义．【类题通法】两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系类似，可以从有无公共点区分：如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知，这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面互相平行．这样我们可以得出两个平面的位置关系：①平行——没有公共点；②相交——有且只有一条公共直线．若平面α与β平行，记作α∥β；若平面α与β相交，且交线为l，记作α∩β＝l.【对点训练】2．在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有________组互相平行的面．与其中一个侧面相交的面共有________个．解析：六棱柱的两个底面互相平行，每个侧面与其直接相对的侧面平行，故共有4组互相平行的面．六棱柱共有8个面围成，在其余的7个面中，与某个侧面平行的面有1个，其余6个面与该侧面均为相交的关系．答案：4 63．如图所示，平面ABC与三棱柱ABC－A1B1C1的其他面之间有什么位置关系？解：∵平面ABC与平面A1B1C1无公共点，∴平面ABC与平面A1B1C1平行．∵平面ABC与平面ABB1A1有公共直线AB，∴平面ABC与平面ABB1A1相交．同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交．【练习反馈】1．M∈l，N∈l，N∉α，M∈α，则有()A．l∥αB．l⊂αC．l与α相交D．以上都有可能解析：选C由符号语言知，直线l上有一点在平面α内，另一点在α外，故l与α相交．2.如图所示，用符号语言可暗示为()A．α∩β＝lB．α∥β，l∈αC．l∥β，l⊄αD．α∥β，l⊂α解析：选D显然图中α∥β，且l⊂α.3．平面α∥平面β，直线a⊂α，则a与β的位置关系是________．答案：平行4．经过平面外两点可作该平面的平行平面的个数是________．解析：若平面外两点所在直线与该平面相交，则过这两个点不存在平面与已知平面平行；若平面外两点所在直线与该平面平行，则过这两个点存在独一的平面与已知平面平行．答案：0或15．三个平面α、β、γ，如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c⊂β，c∥b.(1)判断c与α的位置关系，并说明理由；(2)判断c与a的位置关系，并说明理由．解：(1)c∥α.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又c⊂β，所以c与α无公共点，则c∥α.(2)c∥a.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则a⊂α，b⊂β，且a，b⊂γ，所以a，b没有公共点．由于a、b都在平面γ内，因此a∥b，又c∥b，所以c∥a.。
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高中数学常见题型解法归纳 空间直线、平面垂直位置关系的证明
【知识要点】
一、空间直线、平面垂直位置关系的判定和证明
空间直线、平面垂直位置关系的判定和证明一般有两种方法.
方法一（几何法）：线线垂直⇔线面垂直⇔面面垂直，它体现的主要是一个转化的思想.
方法二（向量法）：它体现的是数学的转化的思想和向量的工具性. 其中向量,a b 是直线,a b 的方向向量，且111222(,,),
(,,)a x y z b x y z ==
向量,m n 是平面,αβ的法向量，且333444(,,),(,,)m x y z n x y z ==
1200(,1212z z a b a b a b x x y y a b a b +⊥⇔⊥⇔=⇔+=直线直线其中分别为直线，的方向向量）,,31313(1x y y z z a a m x a a m λλλαα===⊥⇔⇔直线平面其中为直线的方向向量,为平面的法向量）
3400(3434z z m n m n x x y y m αβαβ+⊥⇔⊥⇔=⇔+=平面平面其中,n 分别为平面，的法向量） 二、空间的几何元素的位置关系从低到高有三个层次：线线关系、线面关系和面面关系.
三、空间垂直位置关系的证明，总是把要证明的垂直关系首先转化成最靠近它的位置关系去证明.如果要证明线线垂直，只能首先转化成证明线面垂直；如果要证明线面垂直，可以首先转化成证明线线垂直或者面面垂直；如果要证明面面垂直，只能首先转化成证明线面垂直. 【方法讲评】
【例1】【2017北京，文18】如图，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA =AB =BC =2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．
（Ⅰ）求证：PA ⊥BD ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ； （Ⅲ）当PA ∥平面BD E 时，求三棱锥E –BCD 的体积．
（III ）因为PA ∥平面BDE ，平面PAC
平面BDE DE =，
所以PA DE ∥.因为D 为AC 的中点，所以1
12
DE PA =
=，BD DC ==由（I ）知，PA ⊥平面ABC ，所以DE ⊥平面PAC .
所以三棱锥E BCD -的体积1163
V BD DC DE =
⋅⋅=. 【点评】（1）本题的第1问证明PA ⊥BD ，转化成证明PA ⊥平面ABC ，第2问证明平面BDE ⊥平面
PAC 转化成证明BD ⊥平面PAC .（2）空间垂直位置关系的证明，总是把要证明的垂直关系首先转化成
最靠近它的位置关系去证明.转化成哪一条线垂直哪一条线，哪一条线垂直哪一个平面，哪一个平面垂直哪一个平面，这取决于你的观察和分析，主要关注已知条件中的有垂直关系的线和面.
【例2】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，60AB AD
AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．
（Ⅰ）证明CD AE ⊥； （Ⅱ）证明PD ⊥平面ABE ；（Ⅲ）求二面角A PD C --的大小．
（Ⅲ）
A
B
C
D
P
E
A
B
C
D
P
E
M
⊥的关键是证明CD垂直AE所在的平面PCD.(2)证明PD⊥平面ABE的【点评】（1）证明CD AE
PC CD
关键是证明PD垂直平面ABE内的两条相交直线,.
【反馈检测1】【2017课标3，理19】如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C 的余弦值.
【例3】如图，已知正方体1AC 棱长为2，E 、F 、G 分别是1CC 、BC 和CD 的中点. （1）证明：1A G ⊥面EFD ；（2）求二面角E DF C --的余弦值.
(2)由(1)知1(2,1,2)AG =--为面EFD 的法向量 ∵CE ⊥面CFD ，(0,0,1)CE =为面CFD 的法向量 设1
AG 与CE 夹角为θ，则11cos A G CE A G CE
θ⋅==
⋅231-⋅2
3
=- 由图可知二面角E DF C --的平面角为πθ- ∴二面角E DF C --的余弦值为
2
3
. 【点评】本题由于是正方体，所以方便建立空间直角坐标系，所以选择向量的方法比较直接. 当然，也可以选择几何法.
【反馈检测2】如图，已知多面体ABCDEF 中，ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，AE ⊥平面ABCD ，
,1,AE CF AB AE AF BE ==⊥．
（1）求证：AF ⊥平面BDE ；（2）求二面角F BE D --的余弦值．
高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第60讲： 空间直线、平面垂直位置关系的证明参考答案
【反馈检测1答案】(1)证明略；.
（2）由题设及（1）知，,,OA OB OD 两两垂直，以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴正方向，OA 为单位
长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.则()()
()()1,0,0,,1,0,0,0,0,1A B C D -.
由题设知，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的
1
2
，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距
离的
1
2，即E 为DB 的中点，得12E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
.
故()()11,0,1,2,0,0,2AD AC AE ⎛⎫
=-=-=- ⎪
⎪⎝
⎭
.
【反馈检测2答案】（1）见解析;(2）所求二面角得余弦值为
5
． 【反馈检测2详细解析】（1）设AC BD O ⋂=以O 为空间直角坐标系原点，以OB 为x +轴，以OC 为y +
轴，以过O 点平行于AE 的射线为z +轴建立空间直角坐标系xOy ∵1AB AE ==，且菱形ABCD 中60ABC ∠=︒
∴1110,,0,,0,,0,,0,,122222A B C D E ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭ ∵AE
CF 且()0,0,1AE =，∴设()()0,0,0CF λλ=> ∴1
0,,2
F λ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
又∵AF BE ⊥
∴102AF BE λ⋅=-
+=，∴12λ=，∴110,,22F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
又∵()
10,1,
02AF BD ⎛⎫
⋅=⋅= ⎪⎝
⎭
∴AF BD ⊥，又AF BE ⊥且BD BE B = ∴AF ⊥平面BDE
（2）设⊥m 平面BEF ，(),,x y z =m
∴()11,,,1022
BE x y z x y z ⎛⎫⋅=⋅-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭m
设所求二面角为θ，则有cosθ=.。