函数单调性的习题及答案
高中数学：函数的单调性练习及答案
高中数学：函数的单调性练习及答案函数的单调性的概念1.如果函数f（x）在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b]（x1≠x2），下列结论中不正确的是（）A.>0B.（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]>0C.若x1<x2，则f（a）<f（x1）<f（x2）<f（b）D.>02.在下列函数f（x）中，满足对任意x1，x2∈（0，＋∞），当x1<x2时，都有f（x1）>f（x2）的是（）A.f（x）＝x2B.f（x）＝C.f（x）＝|x|D.f（x）＝2x＋13.下列说法中正确的有（）①若x1，x2∈I，当x1<x2时，f（x1）<f（x2），则y＝f（x）在I上是增函数；②函数y＝x2在R上是增函数；③函数y＝－在定义域上是增函数；④函数y＝的单调减区间是（－∞，0）∪（0，＋∞）.A.0个B.1个C.2个D.3个4.下列有关函数单调性的说法，不正确的是（）A.若f（x）为增函数，g（x）为增函数，则f（x）＋g（x）为增函数B.若f（x）为减函数，g（x）为减函数，则f（x）＋g（x）为减函数C.若f（x）为增函数，g（x）为减函数，则f（x）＋g（x）为增函数D.若f（x）为减函数，g（x）为增函数，则f（x）－g（x）为减函数5.下图中是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f（x），则下列关于函数f（x）的说法错误的是（）A.函数在区间[－5，－3]上单调递增B.函数在区间[1,4]上单调递增C.函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减D.函数在区间[－5,5]上没有单调性函数的单调性的判定与证明6.在下面的四个选项所给的区间中，函数f（x）＝x2－1不是减函数的是（）A.（－∞，－2）B.（－2，－1）C.（－1,1）D.（－∞，0）7.已知函数f（x）在R上是增函数，则下列说法正确的是（）A.y＝－f（x）在R上是减函数B.y＝在R上是减函数C.y＝[f（x）]2在R上是增函数D.y＝af（x）（a为实数）在R上是增函数8.下列函数中在区间（－∞，0）上单调递增，且在区间（0，＋∞）上单调递减的函数为（）A.y＝B.y＝C.y＝x2D.y＝x39.若函数y＝ax与y＝－在（0，＋∞）上都是减函数，则y＝ax2＋bx在（0，＋∞）上（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增10.对于函数f（x）＝x2＋|x－a|＋1（a∈R），下列结论中正确的是（）A.当a≥0时，f（x）在（－∞，0）上单调递减B.当a≤0时，f（x）在（－∞，0）上单调递减C.当a≥时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增D.当a≤时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增11.函数y＝f（x）对于任意x，y∈R，有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）－1，当x＞0时，f（x）＞1，且f （3）＝4，则（）A.f（x）在R上是减函数，且f（1）＝3B.f（x）在R上是增函数，且f（1）＝3C.f（x）在R上是减函数，且f（1）＝2D.f（x）在R上是增函数，且f（1）＝212.已知f（x）是定义在R上的增函数，给出下列结论：①y＝[f（x）]2是增函数；②y＝是减函数；③y ＝－f（x）是减函数；④y＝|f（x）|是增函数，其中错误的结论是________.13.证明f（x）＝在其定义域上是增函数.（1）求m的值；14.已知函数f（x）的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f（m＋n）＝f（m）·f（n），且当x>0时，0<f（x）<1.求证：f（x）在R上是减函数.15.已知函数f（x）对任意的实数x、y都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）－1，且当x>0时，f（x）>1.求证：函数f（x）在R上是增函数.16.已知函数f（x）的定义域为R，且对m，n∈R，恒有f（m＋n）＝f（m）＋f（n）－1，且f（－）＝0，当x>－时，f（x）>0.（1）求证：f（x）是R上的增函数；（2）试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.求函数的单调区间17.函数y＝的单调递增区间是（）A.（－∞，－3]B.C.（－∞，1）D.18.函数y＝x2＋x＋1（x∈R）的递减区间是（）A.[－，＋∞）B.[－1，＋∞）C.（－∞，－]D.（－∞，＋∞）19.如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f（x），根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？20.求下列函数的单调区间.（1）f（x）＝（x∈[－2,4]）；（2）y＝.函数单调性的应用21.若函数f（x）＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围为（）A.[，）B.（0，）C.[，＋∞）D.（－∞，]∪[，＋∞）22.若函数f（x）＝ax2＋2（a－1）x＋2在区间（－∞，4]上为减函数，则a的取值范围为（）A.0＜a≤B.0≤a≤C.0＜a＜D.a＞23.若函数f（x）＝4x2－kx－8在[5,8]上是单调函数，则k的取值范围是（）A.（－∞，40]B.[40,64]C.（－∞，40]∪[64，＋∞）D.[64，＋∞）24.函数f（x）在（－∞，＋∞）上单调递减，且为奇函数.若f（1）＝－1，则满足－1≤f（x－2）≤1的x的取值范围是（）A.[－2,2]B.[－1,1]C.[0,4]D.[1,3]25.设奇函数f（x）在[－1,1]上是增函数，且f（－1）＝－1，若对所有的x∈[－1,1]及任意的a∈[－1,1]满足f（x）≤t2－2at＋1，则t的取值范围是（）A.－2≤t≤2B.－≤t≤C.t≥2或t≤－2或t＝0D.t≥或t≤－或t＝026.已知函数f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，若a，b∈R且a＋b>0，则有（）A.f（a）＋f（b）>－f（a）－f（b）B.f（a）＋f（b）<－f（a）－f（b）C.f（a）＋f（b）>f（－a）＋f（－b）D.f（a）＋f（b）<f（－a）＋f（－b）27.如果f（x）＝x2＋bx＋c对任意实数t都有f（3＋t）＝f（3－t），那么（）A.f（3）<f（1）<f（6）B.f（1）<f（3）<f（6）C.f（3）<f（6）<f（1）D.f（6）<f（3）<f（1）28.设函数f（x）的定义域是（0，＋∞），且对任意正实数x，y都有f（xy）＝f（x）＋f（y）恒成立，已知f（2）＝1，且x>1时，f（x）>0.（1）求f（）的值；（2）判断y＝f（x）在（0，＋∞）上的单调性并给出证明；（3）解不等式f（2x）>f（8x－6）－1.答案1.如果函数f（x）在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b]（x1≠x2），下列结论中不正确的是（）A.>0B.（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]>0C.若x1<x2，则f（a）<f（x1）<f（x2）<f（b）D.>0【答案】C【解析】因为f（x）在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b]（x1≠x2），x1－x2与f（x1）－f（x2）的符号相同，故A，B，D都正确，而C中应为若x1<x2，则f（a）≤f（x1）<f（x2）≤f（b）.2.在下列函数f（x）中，满足对任意x1，x2∈（0，＋∞），当x1<x2时，都有f（x1）>f（x2）的是（）A.f（x）＝x2B.f（x）＝C.f（x）＝|x|D.f（x）＝2x＋1【答案】B3.下列说法中正确的有（）①若x1，x2∈I，当x1<x2时，f（x1）<f（x2），则y＝f（x）在I上是增函数；②函数y＝x2在R上是增函数；③函数y＝－在定义域上是增函数；④函数y＝的单调减区间是（－∞，0）∪（0，＋∞）.A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】A【解析】函数的单调性是指定义在区间I上任意两个值x1，x2，强调的是任意，①不对；②y＝x2，当x≥0时是增函数，当x<0时是减函数，从而y＝x2在其整个定义域上不具有单调性；③y＝－在整个定义域内不是单调递增函数，如－3<5，而f（－3）>f（5）；④y＝的单调递减区间不是（－∞，0）∪（0，＋∞），而是（－∞，0）和（0，＋∞），注意写法.4.下列有关函数单调性的说法，不正确的是（）A.若f（x）为增函数，g（x）为增函数，则f（x）＋g（x）为增函数B.若f（x）为减函数，g（x）为减函数，则f（x）＋g（x）为减函数C.若f（x）为增函数，g（x）为减函数，则f（x）＋g（x）为增函数D.若f（x）为减函数，g（x）为增函数，则f（x）－g（x）为减函数【答案】C【解析】∵若f（x）为增函数，g（x）为减函数，则f（x）＋g（x）的增减性不确定.例如：f（x）＝x＋2为R上的增函数，当g（x）＝－x时，则f（x）＋g（x）＝x＋2为增函数；当g（x）＝－3x，则f（x）＋g（x）＝－2x＋2在R上为减函数，∴不能确定.5.下图中是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f（x），则下列关于函数f（x）的说法错误的是（）A.函数在区间[－5，－3]上单调递增B.函数在区间[1,4]上单调递增C.函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减D.函数在区间[－5,5]上没有单调性【答案】C【解析】若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，故选C.函数的单调性的判定与证明6.在下面的四个选项所给的区间中，函数f（x）＝x2－1不是减函数的是（）A.（－∞，－2）B.（－2，－1）C.（－1,1）D.（－∞，0）【答案】C【解析】函数f（x）＝x2－1为二次函数，单调减区间为（－∞，0]，而（－1,1）不是（－∞，0]的子集，故选C.7.已知函数f（x）在R上是增函数，则下列说法正确的是（）A.y＝－f（x）在R上是减函数B.y＝在R上是减函数C.y＝[f（x）]2在R上是增函数D.y＝af（x）（a为实数）在R上是增函数【答案】A【解析】设x1<x2，因为函数f（x）在R上是增函数，故必有f（x1）<f（x2）.所以－f（x1）>－f（x2），A选项一定成立.其余三项不一定成立，如当f（x）＝x时，B、C不成立，当a<0时，D不成立.8.下列函数中在区间（－∞，0）上单调递增，且在区间（0，＋∞）上单调递减的函数为（）A.y＝B.y＝C.y＝x2D.y＝x3【答案】A【解析】对于函数y＝，令y＝f（x）＝，任取x1，x2∈（0，＋∞），且x1<x2，则f（x1）－f（x2）＝－＝>0即f（x1）>f（x2），所以函数y＝在区间（0，＋∞）上单调递减.同理可得函数y＝在区间（－∞，0）上单调递增；易知函数y＝在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上都是单调递减；易知函数y＝x2在区间（－∞，0）上单调递减，在区间（0，＋∞）上单调递增；对于函数y＝x3，令y＝f（x）＝x3，任取x1，x2∈R，且x1<x2，则f（x1）－f（x2）＝－＝（x1－x2）（＋x1x2＋）<0，即f（x1）<f（x2），故函数y＝x3在（－∞，＋∞）上单调递增.9.若函数y＝ax与y＝－在（0，＋∞）上都是减函数，则y＝ax2＋bx在（0，＋∞）上（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增【答案】B【解析】由于函数y＝ax与y＝－在（0，＋∞）上均为减函数，故a<0，b<0，故二次函数f（x）＝ax2＋bx的图象开口向下，且对称轴为x＝－<0，故函数f（x）＝ax2＋bx在（0，＋∞）上单调递减.10.对于函数f（x）＝x2＋|x－a|＋1（a∈R），下列结论中正确的是（）A.当a≥0时，f（x）在（－∞，0）上单调递减B.当a≤0时，f（x）在（－∞，0）上单调递减C.当a≥时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增D.当a≤时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增【答案】A【解析】因为f（x）＝所以当a≥0时，则0≤a，又0<，所以f（x）在区间（－∞，0）上单调递减.11.函数y＝f（x）对于任意x，y∈R，有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）－1，当x＞0时，f（x）＞1，且f （3）＝4，则（）A.f（x）在R上是减函数，且f（1）＝3B.f（x）在R上是增函数，且f（1）＝3C.f（x）在R上是减函数，且f（1）＝2D.f（x）在R上是增函数，且f（1）＝2【答案】D【解析】设任意x1，x2∈R，x1＜x2，f（x2）－f（x1）＝f（（x2－x1）＋x1）－f（x1）＝f（x2－x1）＋f（x1）－1－f（x1）＝f（x2－x1）－1.∵x2－x1＞0，又已知当x＞0时，f（x）＞1，∴f（x2－x1）＞1.∴f（x2）－f（x1）＞0，即f（x1）＜f（x2）.∴f（x）在R上是增函数.∵f（3）＝f（1＋2）＝f（1）＋f（2）－1＝f（1）＋[f（1）＋f（1）－1]－1＝3f（1）－2＝4，∴f（1）＝2.12.已知f（x）是定义在R上的增函数，给出下列结论：①y＝[f（x）]2是增函数；②y＝是减函数；③y ＝－f（x）是减函数；④y＝|f（x）|是增函数，其中错误的结论是________.【答案】①②④13.证明f（x）＝在其定义域上是增函数.【答案】证明f（x）＝的定义域为[0，＋∞）.设x1，x2是定义域[0，＋∞）上的任意两个实数，且x1<x2，则f（x1）－f（x2）＝－＝＝.∵0≤x1<x2，∴x1－x2<0，＋>0，∴f（x1）－f（x2）<0，即f（x1）<f（x2），∴f（x）＝在它的定义域[0，＋∞）上是增函数.14.已知函数f（x）的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f（m＋n）＝f（m）·f（n），且当x>0时，0<f（x）<1.求证：f（x）在R上是减函数.【答案】∵对于任意实数m，n，恒有f（m＋n）＝f（m）·f（n），令m＝1，n＝0，可得f（1）＝f（1）·f （0），∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，∴f（1）≠0，∴f（0）＝1.令m＝x＜0，n＝－x＞0，则f（m＋n）＝f（0）＝f（－x）·f（x）＝1，∴f（x）f（－x）＝1，又∵－x＞0时，0＜f（－x）＜1，∴f（x）＝＞1.∴对任意实数x，f（x）恒大于0.设任意x1<x2，则x2－x1>0，∴0<f（x2－x1）<1，∴f（x2）－f（x1）＝f[（x2－x1）＋x1]－f（x1）＝f（x2－x1）f（x1）－f（x1）＝f（x1）[f（x2－x1）－1]<0，∴f（x）在R上是减函数.15.已知函数f（x）对任意的实数x、y都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）－1，且当x>0时，f（x）>1.求证：函数f（x）在R上是增函数.【答案】方法一设x1，x2是实数集上的任意两个实数，且x1>x2.令x＋y＝x1，y＝x2，则x＝x1－x2>0.f（x1）－f（x2）＝f（x＋y）－f（y）＝f（x）＋f（y）－1－f（y）＝f（x）－1.∵x>0，∴f（x）>1，f （x）－1>0，∴f（x1）－f（x2）>0，即f（x1）>f（x2）.∴函数f（x）在R上是增函数.方法二设x1>x2，则x1－x2>0，从而f（x1－x2）>1，即f（x1－x2）－1>0.f（x1）＝f[x2＋（x1－x2）]＝f（x2）＋f（x1－x2）－1>f（x2），故f（x）在R上是增函数.16.已知函数f（x）的定义域为R，且对m，n∈R，恒有f（m＋n）＝f（m）＋f（n）－1，且f（－）＝0，当x>－时，f（x）>0.（1）求证：f（x）是R上的增函数；（2）试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.【答案】（1）任取x1，x2∈R，且设x1<x2，则x2－x1－>－.由题意，得f（x2－x1－）>0.∵f（x2）－f（x1）＝f[（x2－x1）＋x1]－f（x1）＝f（x2－x1）＋f（x1）－1－f（x1）＝f（x2－x1）－1＝f（x2－x1）＋f（－）－1＝f[（x2－x1）－]＝f（x2－x1－）>0，∴f（x2）>f（x1），∴f（x）是R上的增函数.（2）举例为f（x）＝2x＋1，验证过程如下：f（x）＝2x＋1，其定义域显然为R，对x1，x2∈R，f（x1＋x2）＝2（x1＋x2）＋1，f（x1）＋f（x2）－1＝2x1＋1＋2x2＋1－1＝2（x1＋x2）＋1，∴f（x1＋x2）＝f（x1）＋f（x2）－1，当x＝－时，f＝2×＋1＝－1＋1＝0.当x>－时，f（x）＝2x＋1>2×＋1＝0，即f（x）>0成立.求函数的单调区间17.函数y＝的单调递增区间是（）A.（－∞，－3]B.C.（－∞，1）D.【答案】B【解析】函数由t＝2x－3与y＝复合而成，故要利用复合函数单调性的有关规律来求.首先由2x－3≥0，得x≥.又因为t＝2x－3在（－∞，＋∞）上单调递增，y＝在定义域上是增函数，所以y＝的单调递增区间是.18.函数y＝x2＋x＋1（x∈R）的递减区间是（）A.[－，＋∞）B.[－1，＋∞）C.（－∞，－]D.（－∞，＋∞）【答案】C【解析】y＝x2＋x＋1＝（x＋）2＋，其对称轴为x＝－，在对称轴左侧函数单调递减，∴当x≤－时，函数y＝x2＋x＋1单调递减.19.如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f（x），根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？【答案】y＝f（x）的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]，其中y＝f（x）在区间[－5，－2]，[1,3]上是减函数，在区间[－2,1]，[3,5]上是增函数.20.求下列函数的单调区间.（1）f（x）＝（x∈[－2,4]）；（2）y＝.【答案】（1）已知函数的定义域为4－x≥0，即（－∞，4]，而[－2,4]为其定义域的子区间，又y＝与y＝4－x在[－2,4]上的单调性相同，且均为减函数，故[－2,4]为函数的单调递减区间.（2）函数y＝的定义域为（－∞，－1）∪（－1，＋∞），∵函数y＝在（－∞，－1）上是减函数，在（－1，＋∞）上是减函数，∴函数y＝的单调递减区间是（－∞，－1）（－1，＋∞）.函数单调性的应用21.若函数f（x）＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围为（）A.[，）B.（0，）C.[，＋∞）D.（－∞，]∪[，＋∞）【答案】A【解析】要使f（x）在R上是减函数，需满足：解得≤a＜.22.若函数f（x）＝ax2＋2（a－1）x＋2在区间（－∞，4]上为减函数，则a的取值范围为（）A.0＜a≤B.0≤a≤C.0＜a＜D.a＞【答案】B【解析】当a≠0时，函数f（x）的对称轴为x＝－，∵f（x）在（－∞，4]上为减函数，∴图象开口朝上，a＞0且－≥4，得0＜a≤.当a＝0时，f（x）＝－2x＋2，显然在（－∞，4]上为减函数.综上知，0≤a≤.23.若函数f（x）＝4x2－kx－8在[5,8]上是单调函数，则k的取值范围是（）A.（－∞，40]B.[40,64]C.（－∞，40]∪[64，＋∞）D.[64，＋∞）【答案】C【解析】只需f（x）＝4x2－kx－8的对称轴x＝相对应的值在区间[5,8]外面，即≤5或≥8，∴k≤40或k≥64.24.函数f（x）在（－∞，＋∞）上单调递减，且为奇函数.若f（1）＝－1，则满足－1≤f（x－2）≤1的x的取值范围是（）A.[－2,2]B.[－1,1]C.[0,4]D.[1,3]【答案】D【解析】∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x）.∵f（1）＝－1，∴f（－1）＝－f（1）＝1.故由－1≤f（x－2）≤1，得f（1）≤f（x－2）≤f（－1）.又f（x）在（－∞，＋∞）上单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3，故选D.25.设奇函数f（x）在[－1,1]上是增函数，且f（－1）＝－1，若对所有的x∈[－1,1]及任意的a∈[－1,1]满足f（x）≤t2－2at＋1，则t的取值范围是（）A.－2≤t≤2B.－≤t≤C.t≥2或t≤－2或t＝0D.t≥或t≤－或t＝0【答案】C【解析】由题意，得f（－1）＝－f（1）＝－1，f（1）＝1.又∵f（x）在[－1,1]上是增函数，∴当a∈[－1,1]时，有f（x）≤f（1）＝1，∴t2－2at＋1≥1在a∈[－1,1]时恒成立，得t≥2或t≤－2或t＝0.26.已知函数f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，若a，b∈R且a＋b>0，则有（）A.f（a）＋f（b）>－f（a）－f（b）B.f（a）＋f（b）<－f（a）－f（b）C.f（a）＋f（b）>f（－a）＋f（－b）D.f（a）＋f（b）<f（－a）＋f（－b）【答案】C【解析】∵a＋b>0，∴a>－b，b>－a，∵f（x）在R上是增函数，∴f（a）>f（－b），f（b）>f（－a），∴f（a）＋f（b）>f（－a）＋f（－b）.27.如果f（x）＝x2＋bx＋c对任意实数t都有f（3＋t）＝f（3－t），那么（）A.f（3）<f（1）<f（6）B.f（1）<f（3）<f（6）C.f（3）<f（6）<f（1）D.f（6）<f（3）<f（1）【答案】A【解析】由于f（x）是二次函数，其函数图象为开口向上的抛物线，f（3＋t）＝f（3－t），∴抛物线的对称轴为x＝3，且[3，＋∞）为函数的增区间，由f（1）＝f（3－2）＝f（3＋2）＝f（5），又∵3<5<6，∴f（3）<f（5）<f（6），故选A.28.设函数f（x）的定义域是（0，＋∞），且对任意正实数x，y都有f（xy）＝f（x）＋f（y）恒成立，已知f（2）＝1，且x>1时，f（x）>0.（1）求f（）的值；（2）判断y＝f（x）在（0，＋∞）上的单调性并给出证明；（3）解不等式f（2x）>f（8x－6）－1.【答案】（1）对于任意正实数x，y都有f（xy）＝f（x）＋f（y），∴当x＝y＝1时，有f（1）＝f（1）＋f（1），∴f（1）＝0.当x＝2，y＝时，有f（2×）＝f（2）＋f（），即f（2）＋f（）＝0，又f（2）＝1，∴f（）＝－1.（2）y＝f（x）在（0，＋∞）上为单调增函数，证明如下：设0<x1<x2，则f（x1）＋f（）＝f（x2），即f（x2）－f（x1）＝f（）.因为>1，故f（）>0，即f（x2）>f（x1），故f（x）在（0，＋∞）上为单调增函数.（3）由（1）知，f（）＝－1，∴f（8x－6）－1＝f（8x－6）＋f（）＝f（（8x－6））＝f（4x－3），∴f（2x）>f（4x－3），∵f（x）在定义域（0，＋∞）上为增函数，∴解得解集为{x|<x<}.。
函数单调性练习题及答案详解(拔高)
函数单调性（拔高）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知函数()()f x g x 、是定义在R 上的函数，其中()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()()22f x g x ax x +=++，若对于任意1212x x <<<，都有()()12122g x g x x x ->--，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(,][0,)2-∞-⋃+∞ B ．(0,)+∞C ．1[,)2-+∞D ．1[,0)2-2．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()2xf x =，若对任意[]0,21x t ∈+，均有()()3f x t f x ≥⎡⎤⎣⎦+，则实数t 的最大值是（ ） A ．49-B ．13-C ．0D ．163．已知定义域为R 的函数()f x 在[)2,+∞单调递减，且()()40f x f x -+=，则使得不等式()2f x x ++()20f x <成立的实数x 的取值范围是（ ）A ．41x -<<B ．1x <-或3x >C ．3x <-或1x >D ．4x <-或1x >4．已知函数()f x 的定义域为R ，图象恒过()0,1点，对任意12,x x R ∈当12x x ≠时，都有()()12121f x f x x x ->-，则不等式()()ln 11ln 1xx f e e ⎡⎤-<+-⎣⎦的解集为（ ） A ．()ln 2,+∞B ．(),ln 2-∞C ．()ln 2,1D ．()0,ln 25．已知函数()f x x x =，若对任意的[],2x t t ∈+，不等式()()3f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A ．)2,⎡+∞⎣ B ．()2,+∞C ．(0,2⎤⎦D ．(2⎤-⎦6．已知f （x ）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f （﹣1）＝﹣1，当a ，b ∈[﹣1，1]，且a +b ≠0时，（a +b ）（f （a ）+f （b ））＞0成立，若f （x ）＜m 2﹣2tm +1对任意的t ∈[﹣1，1]恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣2）∪{0}∪（2，+∞） B ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C ．（﹣2，2）D ．（﹣2，0）∪（0，2）7．已知定义在R 上函数()f x ，对任意的[)12,2017,x x ∈+∞且12x x ≠，都有()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦，若函数()2017y f x =+为奇函数，()()201720170a b --<且4034a b +>，则（ ）A ．()()0f a f b +>B ．()()0f a f b +<C ．()()0f a f b +=D ．以上都不对8．已知函数()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()()22f x g x ax x +=++，（0a ≠），若对于任意1212x x <<<，都有()()12121g x g x x x -<--，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1[,0)4B ．1(,]4-∞-C ．1[,0)2-D ．1(,]2-∞-9．已知()f x 是定义在()0,∞+上的单调函数，满足()()2ln 21xf f x e x e --+=-，则函数()f x 的零点所在区间为（ ） A ．210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．211,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,e10．已知函数()y f x =的定义域为R ,(1)y f x =+为偶函数，对任意12,x x ，当121x x >≥时，()f x 单调递增，则关于a 的不等式(91)(35)a a f f +<-的解集为（ ）A ．(,1)-∞B ．3(,log 2)-∞C ．3(1,log 2)D ．(1,)+∞11．已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 为增函数,且1()()1f x f f x x ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭,则(1)f 等于（ ）A B C D12．设奇函数()f x 在[]1,1-上是增函数，且()11f -=-，若对所有的[]1,1x ∈-及任意的[]1,1a ∈-都满足()221f x t at ≤-+，则t 的取值范围是（ ） A ．[]22-,B ．11,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．{},20(][2,)∞-⋃⋃+∞D ．{}11,0(][,22)∞-⋃⋃+∞13．已知函数())20192019 2019 2x xf x log x -=-+++,则关于x 不等式()() 23 4f x f x +->的解集为（ ）A ．(),0-∞B ．(),1-∞C ．(),2-∞D ．()1,+∞14．已知函数())44log 42xx f x x -=+-+，则关于x 的不等式()()314f x f x ++>的解集为( )A ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．()0,+∞D ．(),0-∞15．若定义在[]2015,2015-上的函数()f x 满足：对于任意[]12,2015,2015x x ∈-有1212()()()2014,f x x f x f x +=+-且0x >时，有()2014,()f x f x >的最大值、最小值分别为,,M N 则M N += A ．2013B ．2014C ．4026D ．402816．已知()f x 是定义在[]22-,上的奇函数，当(]0,2x ∈时，()21x f x =-，函数2()2g x x x m =-+，如果对于任意[]12,2x ∈-，存在[]22,2x ∈-，使得21()()g x f x =，则实数m 的取值范围是（ ）． A ．[]5,2m ∈-- B ．[],2m ∈-∞- C ．[]3,2m ∈- D ．[]3,m ∈+∞二、填空题17．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()()1xf x a a =>．若对任意的[]0,21x t ∈+，均有()[]3()f x t f x +≥，则实数t 的取值范围是________．18．已知函数()222131x x f x x =-++．若存在()1,4m ∈使得不等式()()2432f ma f m m -++>成立，则实数a 的取值范围是________．19．已知函数22()4f x x x ax =---在区间(,2)-∞-和(2,)+∞上均单调递增，则实数a 的取值范围是________．20．已知()f x 是定义域为R 的单调函数，且对任意实数x ，都有32()415xf f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦，则()2log 3f =________．21．已知2223,0()43,0x x x f x x x x ⎧-++≤=⎨++>⎩，若关于x 的不等式f (x ＋a )＞f (2a －x 2)在区间[a －1，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________.22．已知函数()1()lg 2xf x m -=+，m R ∈.任取12,[,2]x x t t ∈+，若不等式()()12||1f x f x -<对任意[2,1]t ∈--恒成立，则实数m 的取值范围是________.23．设()y f x =是定义在R 上的函数，对任意的x ∈R ，恒有()()2f x f x x +-=成立，()()22x g x f x =-，若()y f x =在(],0-∞上单调递增，且()()222f a f a a --≥-，则实数a 的取值范围是______.参考答案1．C 【分析】题目比较综合，先要通过()()f x g x 、的奇偶性，列出关于()()f x g x 、的方程组，用方程组的方法求出关于()g x 的解析式，()()12122g x g x x x ->--，可以变形为1122()2()2g x x g x x +<+，是单调性的定义，说明构造新函数之后，函数在1,2单调递增，最后根据新函数在区间1,2的单调性，可以分类讨论得到函数中参数的范围 【详解】由题得：()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-；()g x 是偶函数，所以()()g x g x -= 将x -代入2()()2f x g x ax x +=++得：2()()2f x g x ax x +=--+联立22()()2()()2f xg x ax x f x g x ax x +=++-+-=+⎧⎪⎨⎪⎩ 解得：()22g x ax =+1212()()2g x g x x x ->--，1212x x <<<等价于()1212()()2g x g x x x -<--， 即：1122()2()2g x x g x x +<+，令()()2222h x g x x ax x =+=++，则()h x 在1,2单增①当0a >时，函数的对称轴为2102x a a=-=-<，所以()h x 在1,2单增 ②当0a <时，函数的对称轴为2102x a a=-=->，若()h x 在1,2单增，则12a -≥，得：102a -≤< ③当0a =时，()h x 单增，满足题意 综上可得：12a ≥-故选：C 【点睛】题目考察的知识点比较综合，涉及到： ①函数奇偶性的应用②通过方程组法求解函数的解析式 ③构造新函数④已知函数在某一区间内的单调性，求解参数的范围 需要对函数整个章节的内容都掌握比较好，才能够顺利解决 2．A 【分析】根据函数为偶函数，且在[0,)+∞上单调递增，得到|||3|x t x +≥，化简解出即可. 【详解】易知，函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，∴12102t t +>⇒>-，又∵()()()33f x t f x f x ⎡⎤+≥=⎣⎦，且函数为偶函数，∴|||3|x t x +≥，两边平方化简，则22820x xt t --≤在[0,21]t +恒成立，令()2282g x x xt t =--，则()()002421039g t g t ⎧≤⎪⇒-≤≤-⎨+≤⎪⎩. 综上：t 的最大值为49-.故选：A. 3．D 【分析】由已知可得函数()f x 的对称性，然后结合函数()f x 在[)2,+∞单调递减，所以可判断()f x 在定义域上的单调性，进而利用单调性可解. 【详解】解：()()40f x f x -+=，则()f x 关于()2,0对称， 因为()f x 在[)2,+∞单调递减， ∴()f x 在R 上单调递减， 又()()242f x f x =--∴()()222042())0(f x x f x f x x f x ++<⇔+--<，∴()2()42f x x f x +<-，∴2421x x x x +>-⇔>或4x <-， 故选：D . 【点睛】结论点睛：若()f x 满足()()2f a x f b x c ++-=，则()f x 关于,2a b c +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称. 4．D 【分析】 由()()12121f x f x x x ->-，设12x x >，得到()()1122f x x f x x ->-，令()()g x f x x =-，然后将不等式()()ln 11ln 1xx f e e ⎡⎤-<+-⎣⎦，转化为()()ln 10x g e g ⎡⎤-<⎣⎦，利用()g x 的单调性求解. 【详解】 因为()()12121f x f x x x ->-，不妨设12x x >，则()()1122f x x f x x ->-， 令()()g x f x x =-，在R 上递增， 又()01f =，所以不等式()()ln 11ln 1xx f e e ⎡⎤-<+-⎣⎦， 即为()()()ln 1ln 1100xx f e e f ⎡⎤---<=-⎣⎦， 即()()ln 10xg e g ⎡⎤-<⎣⎦， 所以()ln 10xe -<，则011x e <-<， 解得 0ln 2x <<， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键是由()()12121f x f x x x ->-，构造函数()()g x f x x =-，利用其单调性得解. 5．B 【分析】显然函数()f x 在R 上单调递增，又())3f x f=，由()()3f x t f x +≥结合函数的单调性可知)1t x ≥，构造函数)()1g x x =，即)()max ()12t g x t ≥=+恒成立，解不等式即可得解. 【详解】()22,0,0x x f x x x x x ⎧≥==⎨-<⎩，∴函数()f x 在R 上单调递增，又())33x x f x f===()()()))31f x t f x f x t fx t t x ⇔∴+≥+⇔+≥⇔≥≥所以对[],2x t t ∀∈+，不等式()()3f x t f x +≥恒成立，即不等式)1t x ≥恒成立，令)()1g x x =，[],2x t t ∈+，即max ()t g x ≥又)()1g x x =在[],2t t +上单调递增，)()max ()(2)12g x g t t ∴=+=+)()()21122212t t t t ≥+⇒≥⇒≥=所以实数t 的取值范围是()2,+∞ 故选：B. 【点睛】方法点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题， 不等式恒成立问题常见方法： ①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）； ②数形结合(()y f x = 图像在()y g x = 上方即可)； ③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立. 6．B 【分析】先利用函数的奇偶性将已知不等式化为：,[1,1]a b ∈-时，()(()())0a b f a f b -->，根据增函数的定义推得函数()f x 在[1,1]-上是增函数，从而求得最大值为(1)1f =，然后将已知不等式先对x 恒成立，再对t 恒成立，就可以求出m 的范围 【详解】解：因为f （x ）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，当a ，b ∈[﹣1，1]，且a +b ≠0时，（a +b ）（f（a ）+f （b ））＞0成立，所以将b 换为b -，可得()(()())0a b f a f b -->， 所以函数()f x 在[1,1]-上是增函数， 所以max ()(1)(1)1f x f f ==--=，所以f （x ）＜m 2﹣2tm +1对任意的t ∈[﹣1，1]恒成立，等价于2121m tm <-+， 即220tm m -<对任意的t ∈[﹣1，1]恒成立，令2()2g t tm m =-，则(1)0(1)0g g -<⎧⎨<⎩，即222020m m m m ⎧--<⎪⎨-<⎪⎩， 解得2m <-或2m >， 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查函数的奇偶性和单调性，含3个变量的不等式对2个变量恒成立求第三个变量取值范围的问题，解题的关键是按顺序先对一个变量恒成立，转化为求最值，再对另一个变量恒成立，转化为求最值即可，考查数学转化思想 7．B 【分析】根据题意，由于[)12,2017,x x ∈+∞且12x x ≠，()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦，利用单调性的定义得出()f x 在区间[)2017,+∞上单调递减，根据函数()2017y f x =+为奇函数，得出()20170f =，且根据奇函数的性质，得出()f x 图象关于点()2017,0对称，从而得出()f x 在R 上单调递减，最后根据()()201720170a b --<且4034a b +>，结合单调性和对称性，即可得出结论. 【详解】解：由题可知，定义在R 上函数()f x ，[)12,2017,x x ∈+∞且12x x ≠， 由于()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦，则()f x 在区间[)2017,+∞上单调递减， 因为函数()2017y f x =+为奇函数，则()()20172017f x f x -+=-+， 当0x =时，则()()20172017f f =-，即()20170f =，又因为()2017y f x =+图象关于原点()0,0对称，则()f x 图象关于点()2017,0对称， 所以，()f x 在R 上单调递减，因为()()201720170a b --< 设a b <，则2017,2017a b <>， 则有()()0,0f a f b ><，又因为4034a b +>，则()()0f a f b +<. 故选：B. 【点睛】本题考查函数的基本性质的综合应用，考查单调性、奇偶性、对称性的定义和性质，考查解题运算能力. 8．D 【分析】根据由于()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()()22f x g x ax x +=++，得到2()2g x ax =+，结合对于任意1212x x <<<，都有()()12121g x g x x x -<--，得到函数()()F x g x x =+在(1,2)单调递减，分类讨论即得解. 【详解】由于()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()()22f x g x ax x +=++，因此：()()2()()2f x g x f x g x ax x -+-=-+=-+，2()2g x ax ∴=+由于对于任意1212x x <<<，都有()()12121g x g x x x -<--()()()()()()1212121122121212+[+]100g x g x g x g x x x g x x g x x x x x x x x ---+-<-⇔<⇔<---因此2()2F x ax x =++在(1,2)单调递减， （1）当0a >时，对称轴102x a=-<，()F x 在(1,2)单调递增，不成立；（2）当0a <时，对称轴102x a=->，()F x 在(1,2)单调递减，11122a a ∴-≤∴≤- 故选：D 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性综合，考查了学生转化与划归，分类讨论，数学运算的能力，属于难题. 9．C 【分析】设()2ln 2x f x e x t --+=，即()2ln 2xf x e x t =+-+，()1f t e =-再通过函数()f x 的单调性可知，即可求出t 的值，得到()f x 函数的解析式，然后根据零点存在性定理即可判断零点所在区间． 【详解】设()2ln 2x f x e x t --+=，即()2ln 2xf x e x t =+-+，()1f t e =-，因为()f x 是定义在()0,∞+上的单调函数，所以由解析式可知，()f x 在()0,∞+上单调递增．而()12f e t =-+，()1f t e =-，故1t =，即()2ln 1xf x e x =+-． 因为()110f e =->，11112ln 13e e f e e e e ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，由于11ln ln 3ln 30e e e -=-<，即有13e e <，所以1130e f e e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭．故()110f f e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()f x 的零点所在区间为1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭．故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，零点存在性定理的应用，意在考查学生的转化能力，属于较难题． 10．B 【分析】首先根据函数()y f x =的定义域为R ，(1)y f x =+为偶函数，得到函数()y f x =关于1x =对称，根据函数()y f x =在[1,)+∞为增函数，得到函数()y f x =在(,1]-∞为减函数.从而将不等式(91)(35)a a f f +<-等价于911351a a+-<--，解不等式即可.【详解】解：因为函数()y f x =的定义域为R ，(1)y f x =+为偶函数， 所以(1)(1)-+=+f x f x ，得到函数()y f x =关于1x =对称. 因为函数()y f x =在[1,)+∞为增函数， 所以函数()y f x =在(,1]-∞为减函数.不等式(91)(35)a a f f +<-等价于911351a a+-<--即369369a a a a⇒->->或369a a -<-令3a t =，(0)t >得到：260t t -+<或260t t +-< 当260t t -+<时，无解. 当260t t +-<时，(3)(2)0t t +-<，解得：2t <，即32a <，3log 2a <. 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数的平移，函数的奇偶性和单调性，同时还考查了绝对值不等式的解法，属于难题. 11．A 【分析】设(1)f t =,当0t =时,即(1)0f =,则1(1)011f f ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭不成立,故0t ≠.令1x =,代入1()()1f x f f x x ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭,得:1(1)f t t +=.令1x t =+,代入1()()1f x f f x x ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭得:1(1)(1)11f t f f t t ⎛⎫+⋅++= ⎪+⎝⎭,结合(0,)+∞上函数()f x 为增函数,即可求得(1)f .【详解】 设(1)f t =,当0t =时,即(1)0f =∴ 1(1)011f f ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭不成立,故0t ≠.令1x =,代入1()()1f x f f x x ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭ 得:1(1)(1)11f f f ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭,即111t f t ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭,故: 1(1)f t t +=.令1x t =+,代入1()()1f x f f x x ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭ 得: 1(1)(1)11f t f f t t ⎛⎫+⋅++= ⎪+⎝⎭即: 11111f t t t ⎛⎫⋅+= ⎪+⎝⎭,故111f t t t ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭(1)111f tf tt t =⎧⎪⎨⎛⎫+= ⎪⎪+⎝⎭⎩即:1111t t +=+,整理可得:210t t --= 解得:1t =2t = 结合(0,)+∞上函数()f x 为增函数.当(1)1f t ==>时,则(1)(1)1f t f +>>,但1(1)1f t t +=<,矛盾!∴1t =.所以t =故(1)f =故选:A. 【点睛】本题考查了复合函数和抽象函数.本题解题关键是设出(1)f t =,令1x =和1x t =+代入已知条件,得到111f t t t ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭,结合单调性,讨论解是否合理.12．C 【分析】先计算函数()f x 的最大值为1，得到220t at -≥恒成立，得到不等式222020t t t t ⎧-≥⎨+≥⎩，计算得到答案. 【详解】奇函数()f x 在[]1,1-上是增函数，则()max (1)(1)1f x f f ==--=()221f x t at ≤-+恒成立，即2212120t at t at ≤-+∴-≥恒成立将22y t at =-看作a 为变量，定义域为[]1,1-的函数，则函数最值一定在端点上即222020t t t t ⎧-≥⎨+≥⎩ 解得2t ≥或2t ≤-或0t = 故选C 【点睛】本题考查了恒成立问题，将22y t at =-看作a 为变量的函数是解题的关键. 13．B 【分析】设()())201920192019 x xg x h x log x -=-=，，易知()(),g x h x 都是R 上递增的奇函数，故()2f x -为R 上递增的奇函数，()() 23 4f x f x +->可转化为()()22320f x f x -+-->，利用奇函数的性质即可求解.【详解】设()())201920192019 x xg x h x log x -=-=，.易得()(),g x h x 都是R 上递增的奇函数，设()()() m x g x h x =+，则()m x 是R 上递增的奇函数，若()() 234f x f x +->，则()()22320f x f x -+-->，即()()230m x m x +->，即()()23m x m x >--,即()() 23m x m x >-+，即23x x >-+，解得1x <, 所以(),1x ∈-∞. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，单调性，解不等式，属于中档题. 14．A 【分析】可先设())44log 4xx g x x -=+-，根据要求的不等式，可以判断()g x 的奇偶性及其单调性，容易求出()()g x g x -=-，通过解析式可判断其单调性，从而原不等式可变成，()()31g x g x +>-，而根据()g x 的单调性即可得到关于x 的一元一次不等式，解该不等式即得原不等式的解集. 【详解】设())44log (4,xx g x x -=+-则())44log 4xx g x x --=+-，可得()g x +()0g x -=， 由解析式易知()g x 在R 上单调递增；∴由()()314f x f x ++>得，()()31224g x g x ++++>；()()31g x g x ∴+>-，即为()()31g x g x +>-，得31x x +>-， 解得14x >-，∴原不等式的解集为1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．故选A ． 【点睛】本题考查对数的运算，奇函数的判断方法，函数单调性的应用，属于中档题．判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， ()()f x f x -=±(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法， ()()0f x f x -±=（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法， ()()1f x f x -=±（1 为偶函数，1- 为奇函数） . 15．D 【分析】由题对于任意[]12,2015,2015x x ∈-有()()()12122014f x x f x f x +=+- ∴令120x x == ，得()02014f = ，再令120x x += ，将()02014f = 代入可得()()4028f x f x +-= ． 设1212[20152015]x x x x ∈-＜，，，， 则()()()21212102014x x f x x f x f x ->-=+--， ，()()2120142014f x f x ∴+--> ． 又()()114028f x f x -=- ，()()21f x f x ∴>，即函数()f x 是递增的，()()()()20152015max min f x f f x f ∴==-， ． 又()()201520154028f f +-= ，M N ∴+ 的值为4028．故选D ．【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性，以及函数求值等知识.其中利用赋值法，证明函数的单调性是解题的关键． 16．A 【解析】∵()f x 是定义在[]22-,的奇函数， ∴(0)0f =，当(]0,2x ∈时，(]()210,3xf x =-∈，∴当[]2,2x ∈-时，()f x 的值域为：[]3,3-； ∵2()2g x x x m =-+，对称轴为：1x =， ∴min ()(1)1g x g m ==-，max ()(2)8g x g m =-=+， 即()g x 的值域为[]1,8m m -+．∵对于任意的[]12,2x ∈-，存在[]22,2x ∈-，便得21()()g x f x =， 则max ()3g x ≥且min ()3g x -≤， 即83m +≥且13m --≤， 解得：52m --≤≤，所以实数m 的取值范围是：[]5,2--， 故选A ．点睛：对于方程任意或存在性问题，一般转化为对应函数值域包含关系，即1212,,()()()x x f x g x y f x ∀∃=⇒=的值域包含于()y g x =的值域；1212,,()()()x x f x g x y f x ∃∃=⇒=的值域与()y g x =的值域交集非空． 17．14,29⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【分析】根据函数()f x 为偶函数，且在[)0,+∞单调递增，转化为3x t x +≥对任意[]0,21x t ∈+恒成立，进而可得结果. 【详解】∵()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()()1xf x a a =>，∴()()1xf x aa =>，则[]()()333()3x xf x a af x ===，则()[]3()f x t f x +≥等价于()()3f x t f x +≥，当0x ≥时()f x 为增函数，则3x t x +≥，即22820x tx t --≤对任意[]0,21x t ∈+恒成立， 设()2282g x x tx t =--，则()()22000210273080g t g t t t ⎧≤⎧-≤⎪⇔⎨⎨+≤++≤⎪⎩⎩，解得2439t -≤≤-，又210t +≥，所以1429t -≤≤-.故答案为：14,29⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：依题意将问题转化为3x t x +≥对任意[]0,21x t ∈+恒成立. 18．(),8-∞ 【分析】令()()1F x f x =-，判断函数()F x 的奇偶性与单调性，从而将不等式转化为234m m ma +>-，分离参数可得43a m m<++，令4()3g m m m =++，(1,4)m ∈，利用对勾函数的单调性可得()8g m <，结合题意即可求解a 的取值范围．【详解】函数222()()131x x f x f x x ==-++，若存在(1,4)m ∈使得不等式2(4)(3)2f ma f m m -++>成立，令2222()()1(31)3131x x x x x F x f x x =-=-=-++，22(31)(13)()()3113x x x xx x F x F x -----===-++，所以，()F x 为奇函数．不等式2(4)(3)2f ma f m m -++>，即2(4)1(3)10f ma f m m --++->， 即2(4)(3)0F ma F m m -++>，所以2(3)(4)(4)F m m F ma F ma +>--=-，因为20y x=>在(0,)+∞上为增函数，21031x y =->+在(0,)+∞上为增函数，所以22()(1)31xF x x =-+在(0,)+∞上为增函数， 由奇函数的性质可得()F x 在R 上为增函数，所以不等式等价于234m m ma +>-，分离参数可得43a m m<++， 令4()3g m m m=++，(1,4)m ∈， 由对勾函数的性质可知()g m 在(1,2)上单调递减，在(2,4)上单调递增， g （1）8=，g （4）8=，所以，()8g m <，所以由题意可得8a <， 即实数a 的取值范围是(,8)-∞． 故答案为：(,8)-∞． 【点睛】方法点睛：数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性 19．08a <≤ 【分析】设2()4g x x ax =--，求出函数()g x 的两个零点12,x x ，且12x x <，将函数()f x 化为分段函数，分类讨论a ，当0a ≤时，可知函数()f x 在区间(,2)-∞-上不可能单调递增；当0a >时，根据1x 的范围可知恒满足函数()f x 在区间(,2)-∞-上单调递增，根据解析式可知()f x 在[,)4a +∞上单调递增，再由24a≤可解得结果. 【详解】设2()4g x x ax =--，其判别式2160a ∆=+>，所以函数()g x 一定有两个零点， 设函数()g x 的两个零点为12,x x ，且12x x <，由240x ax --=得1x =2x =，所以函数2()|()|f x x g x =-=121224,,24,4,ax x x x ax x x x ax x x+<⎧⎪--≤≤⎨⎪+>⎩，①当0a ≤时，()f x 在1(,)x -∞上单调递减或为常函数，从而()f x 在(,2)-∞-不可能单调递增，故0a >，②当0a >时，1x=0<=，122x +=0==>，所以12x >-，所以120x -<<，因为()f x 在1(,)x -∞上单调递增，所以()f x 在(,2)-∞-上也单调递增，因为()f x 在2[,]4ax 和2(,)x +∞上都单调递增，且函数的图象是连续的，所以()f x 在[,)4a +∞上单调递增，欲使()f x 在(2,)+∞上单调递增，只需24a≤，得8a ≤， 综上所述：实数a 的取值范围是08a <≤. 故答案为：08a <≤ 【点睛】关键点点睛：求解关键有2个：①利用2()4g x x ax =--的零点将函数()f x 化为分段函数；②分类讨论a ，利用分段函数的单调性求解. 20．710【分析】令02()5f x =，由题意知0001()41x x f x =++，可求出0x ，又22log 332[(log 3)]415f f +=+，即有023(log 3)10x f =+，进而可求()2log 3f . 【详解】若02()5f x =，则0032[()]415x f f x +=+，又()f x 是定义域为R 的单调函数， ∴0032415x x -=+，得01x =， 又222log 3332[(log 3)][(log 3)]41105f f f f +=+=+，∴023(log 3)110x f =+=，则()27log 310f =. 故答案为：710. 【点睛】关键点点睛：利用函数的单调性，以及恒等式成立，求02()5f x =时的0x 值，再利用恒等式求目标函数值.21．1,(2,)4⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】先确定函数()f x 单调性，再根据单调性化简不等式f (x ＋a )＞f (2a －x 2)，然后利用恒成立问题，根据二次函数最值分类求解. 【详解】223y x x =-++在(,0]-∞上单调递增，243y x x =++在(0,)+∞上单调递增，2202030403-+⨯+=+⨯+，所以2223,0()43,0x x x f x x x x ⎧-++≤=⎨++>⎩，在(,)-∞+∞上单调递增，因为不等式f (x ＋a )＞f (2a －x 2)在区间[a －1，a ＋1]上恒成立， 所以22x a a x +>-，2a x x ∴<+在区间[a －1，a ＋1]上恒成立，当131,22a a +≤-≤-时，()22min(1)1xxa a +=+++，2(1)1a a a ∴+++>，a R ∴∈， 32a ∴≤-当13111,222a a a -<-<+-<<时，()22min1122xx⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，21122a ⎛⎫∴--> ⎪⎝⎭， 14a ∴<-， 3124a ∴-<<- 当111,22a a -≥-≥时， ()22min (1)1x x a a +=-+-，2(1)1a a a ∴-+->，2a ∴>或0a <，2a ∴>， 综上：14a <-或2a > 故答案为：1,(2,)4⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查分段函数单调性、不等式恒成立、二次函数最值，还考查了分类讨论思想和运算求解能力，属较难题.22．23m >- 【分析】先将问题转化为()()12max ||1f x f x -<对任意[2,1]t ∈--恒成立，再结合不等式恒成立问题，可将问题转化为392tm ->对任意[2,1]t ∈--恒成立，然后求最值即可得解. 【详解】解：由不等式()()12||1f x f x -<对任意[2,1]t ∈--恒成立，即()()12max ||1f x f x -<对任意[2,1]t ∈--恒成立，又()()12max max min ||()()f x f x f x f x -=-，又函数()1()lg 2x f x m -=+在[,2]x t t ∈+为减函数， 即()()1112max ||lg(2)lg(2)t t f x f x m m ----=+-+，即11lg(2)lg(2)1t t m m ---+-+<对任意[2,1]t ∈--恒成立， 即392tm ->对任意[2,1]t ∈--恒成立， 即max 39(),2tm ->[2,1]t ∈--， 即23m >-， 故答案为：23m >-. 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，重点考查了函数的单调性的应用，属中档题.23．1a ≤【分析】由题可求，()()0g x g x +-=，又由()y f x =在(],0-∞上单调递增可知()()22x g x f x =-在(],0-∞也单增，结合()g x 为奇函数，可判断()g x 在R 上单增，再由()()222f a f a a --≥-通过拼凑法得()()22(2)2022a a f a f a ----+≥，可转化为()()2g a g a -≥，即可求解【详解】由()()()()2222x x g x f x g x f x =-⇒-=--，()()0g x g x +-=，故()g x 在R 上为奇函数， 由()y f x =在(],0-∞上单调递增⇒()()22x g x f x =-在(],0-∞也单增，故()g x 在R 上单增， ()()()()22(2)2222022a a f a f a a f a f a ---≥-⇔---+≥， 即()()2g a g a -≥，2a a -≥，解得1a ≤故答案为：1a ≤【点睛】本题考查由奇偶性和增减性解不等式，能够通过()f x 对应表达式推导出()g x 为奇函数，并能判断()g x 为增函数是解题关键，解题过程不易考虑到这两步转化，属于难题。
完整版)函数的单调性练习题及答案
完整版)函数的单调性练习题及答案1.函数的单调性练题一选择题：1.函数f(x)=x^2+2x-3的递增区间为(D。
[-1,+∞))2.如果函数f(x)=x^2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数，则实数a的取值范围是(A。
[－3，＋∞))3.函数y=1-(1/(x-1))在(-1,+∞)内是单调递增。
4.如果函数f(x)=kx+b在R上单调递减，则(C。
b>0)5.在区间(-∞,0)上为增函数的是(B。
y=x^2)6.函数f(x)=2x-x^2的最大值是(B。
1)7.函数y=x+x^-2的最小值是(A。
0)2.填空题：8.函数f(x)=2x^2-mx+3，在(-∞,1)上是减函数，在[1,+∞)上是增函数，则m=4.9.已知f(x)是定义在(-2,2)上的减函数，并且f(m-1)-f(1-2m)>0，则实数m的取值范围为(-∞,-1/2)U(1/2,+∞)。
3.解答题：10.利用单调函数的定义证明：函数f(x)=x+2/x在区间(0,2)上是减函数。
证明：对于任意的x1,x2∈(0,2)，且x1<x2，有：f(x2)-f(x1)=(x2+2/x2)-(x1+2/x1)x2-x1+2/x2-2/x1x2-x1+2(x1-x2)/(x1x2)x2-x1)(1-2/(x1x2))因为x1,x2∈(0,2)，所以x1x2>0，而1-2/(x1x2)<1，所以f(x2)-f(x1)<0，即f(x)在区间(0,2)上是减函数。
11.已知定义在区间(1,+∞)上的函数f(x)满足f(x)=f(x/2)-f(x/4)，且当x>1时f(x)<0.1）求f(1)的值；因为f(x)=f(x/2)-f(x/4)，所以f(2)=f(1)-f(1/2)，又因为f(2)=f(1)-f(1/2)=f(1/2)-f(1/4)，所以f(1/2)=f(1)-f(1/4)，继续类似地推导，得到：f(1)=f(1)-f(1/2)+f(1/2)-f(1/4)+f(1/4)-f(1/8)+。
函数的单调性含答案
函数的单调性1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ） A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x 2D ．y =2x 2＋x ＋1 2．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于 （ ）A ．－7B ．1C ．17D ．253．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≤-3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥34．函数 的递增区间_ ．5、函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ．6、已知函数是R 上的减函数，那么a 的取值范围是 ．7．f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (y x ) = f (x )－f (y ) （1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．8．已知函数f (x )=xa x x ++22，x ∈［1，＋∞］ （1）当a =21时，求函数f (x )的最小值； （2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．32)(2--=x x x f ⎪⎩⎪⎨⎧>≤+-=1,2,1,5)3()(x xa x x a x f一、选择题： CDA二、填空题：，4.[1,+&)5 ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,6（0，,2】7.解析：①在等式中0≠=y x 令，则f (1)=0．②在等式中令x=36，y=6则.2)6(2)36(),6()36()636(==∴-=f f f f f 故原不等式为：),36()1()3(f xf x f <-+即f [x (x ＋3)]＜f (36)，又f (x )在(0，＋∞)上为增函数， 故不等式等价于：.23153036)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<>>+x x x x x8.解析： (1)当a =21时，f (x )=x ＋x21＋2，x ∈1，＋∞) 设x 2＞x 1≥1，则f (x 2)－f (x 1)=x 2＋1122121x x x --=(x 2－x 1)＋21212x x x x -=(x 2－x 1)(1－2121x x ) ∵x 2＞x 1≥1，∴x 2－x 1＞0，1－2121x x ＞0，则f (x 2)＞f (x 1) 可知f (x )在［1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间［1，＋∞)上的最小值为f (1)=27． (2)在区间［1，＋∞)上，f (x )=xa x x ++22＞0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成立 设y =x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)，由y =(x ＋1)2＋a －1可知其在[1，＋∞)上是增函数， 当x =1时，y min =3＋a ，于是当且仅当y min =3＋a ＞0时函数f (x )＞0恒成立．故a ＞－3．。
函数单调性经典题目含解析及答案
答案： (3,)或[3,)
3、已知 f (x) x2 2x 3, g(x) f (5 x2 ) ，试求 g(x) 的单调区间
解析：复合函数的单调性，当复合函数内外层单调区间不同时，以外
层函数为界限。
答案：单调减区间为 (,2), (0,2) ，单调增区间 (2,0), (2,) 4、函数 y 2 在区间[2,4] 上的最大值和最小值
答案：[0, 1]
5
8、已知 f (x) | x a |在 (,1) 上是单调函数，则 a 的取值范围 解析： f (x) | x |是偶函数，可以画图像利用图像平移的特点来判断 答案： (,1] 9、若 y (2k 1)x b 是 R 上的减函数，则 K 的取值范围。 解析：利用一元一次函数的图像 答案： (, 1)
x2 2x 1, x [0,)
解析：利用函数图像法求单调区间及最小值
答案：函数的单调增区间为 (,0), (0,) ，最小值为 f (0) 1
7、函数 f (x) ax2 2(a 1)x 2 在区间 (,4] 为减函数，则 a 的取值范围
解析：利用一元两次函数的开口方向及对称轴或一元一次函数
x
解析：利用函数单调性
答案：20。 20、函数 f (x) 2x2 mx 1在区间[1,4]上是单调函数，则实数 m 的取值
范围
解析：二次函数对称轴与区间关系
答案： m 4或m 16
21、若 f (x) x2 bx c ， f (1) 0, f (3) 0
（1）求 b,c 的值
ax 5, a,x 1 x
x
1
是
R
上的增函数，则
a
的取值范围
函数的单调性练习题(含标准答案)
函数的单调性练习题(含答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2- - 3函数的单调性练习一、选择题：1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ）A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2D ．y =2x 2＋x ＋12．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于 （ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．253．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （ ） A ．(3，8) B ．(－7，－2) C ．(－2，3) D ．(0，5) 4．函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(0，21)B ．( 21，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根 6．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x ) （ ） A ．在区间(－1，0)上是减函数 B ．在区间(0，1)上是减函数 C ．在区间(－2，0)上是增函数 D ．在区间(0，2)上是增函数7．已知函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式|f (x ＋1)|＜1的解集的补集是 （ ） A ．(－1，2) B ．(1，4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞）D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞）8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是 （ ） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1) C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（ ）A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞- -4C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤3 B ．a ≥－3 C ．a ≤5 D ．a ≥3 11．已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（ ） A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )］ B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )］ D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )12．定义在R 上的函数y =f (x )在(－∞，2)上是增函数，且y =f (x ＋2)图象的对称轴是x =0，则 （ ） A ．f (－1)＜f (3) B ．f (0)＞f (3) C ．f (－1)=f (－3) D ．f (2)＜f (3) 二、填空题：13．函数y =(x －1)-2的减区间是___ _． 14．函数y =x －2x -1＋2的值域为__ ___． 15、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为 .16、函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ． 三、解答题：17．f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (yx) = f (x )－f (y ) （1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．18．函数f (x )=－x 3＋1在R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R 上是增函数还是减函数？试证明你的结论．19．试讨论函数f (x )=21x -在区间［－1，1］上的单调性．- -520．设函数f (x )=12+x －ax ，(a ＞0)，试确定：当a 取什么值时，函数f (x )在0，＋∞)上为 单调函数．21．已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取值范围．22．已知函数f (x )=xax x ++22，x ∈［1，＋∞］（1）当a =21时，求函数f (x )的最小值；（2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．- - 6参考答案一、选择题： CDBBD ADCCA BA二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.[)3,+∞， ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,三、解答题：17.解析：①在等式中0≠=y x 令，则f (1)=0．②在等式中令x=36，y=6则.2)6(2)36(),6()36()636(==∴-=f f f f f 故原不等式为：),36()1()3(f xf x f <-+即f [x (x ＋3)]＜f (36)， 又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，故不等式等价于：.23153036)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<>>+x x x xx18.解析： f (x )在R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)， x 1＜x 2 ，则f (x 1)=－x 13＋1， f (x 2)=－x 23＋1．f (x 1)－f (x 2)=x 23－x 13=(x 2－x 1)(x 12＋x 1x 2＋x 22)=(x 2－x 1)［(x 1＋22x )2＋43x 22］．∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0而(x 1＋22x )2＋43x 22＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)．∴函数f (x )=－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．19.解析： 设x 1、x 2∈－1，1］且x 1＜x 2，即－1≤x 1＜x 2≤1．f (x 1)－f (x 2)=211x -－221x -=2221222111)1()1(x x x x -+----=2221121211))((x x x x x x -+-+-∵x 2－x 1＞0，222111x x -+-＞0，∴当x 1＞0，x 2＞0时，x 1＋x 2＞0，那么f (x 1)＞f (x 2)． 当x 1＜0，x 2＜0时，x 1＋x 2＜0，那么f (x 1)＜f (x 2)．故f (x )=21x -在区间［－1，0］上是增函数，f (x )=21x -在区间［0，1］上是减函数． 20.解析：任取x 1、x 2∈0，＋)∞且x 1＜x 2，则- -7f (x 1)－f (x 2)=121+x －122+x －a (x 1－x 2)=1122212221+++-x x x x －a (x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a )(1)当a ≥1时，∵11222121++++x x x x ＜1，又∵x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)∴a ≥1时，函数f (x )在区间［0，＋∞)上为减函数． (2)当0＜a ＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x 1=0，x 2=212a a-，满足f (x 1)=f (x 2)=1 ∴0＜a ＜1时，f (x )在［０，＋)∞上不是单调函数 注： ①判断单调性常规思路为定义法； ②变形过程中11222121++++x x x x ＜1利用了121+x ＞|x 1|≥x 1;122+x ＞x 2；③从a 的范围看还须讨论0＜a ＜1时f (x )的单调性，这也是数学严谨性的体现．21.解析： ∵f (x )在(－2，2)上是减函数∴由f (m －1)－f (1－2m )＞0，得f (m －1)＞f (1－2m )∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<-<<-⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-32232131211,2212212m m m m m m m 即 解得3221<<-m ，∴m 的取值范围是(－32,21)22.解析： (1)当a =21时，f (x )=x ＋x21＋2，x ∈1，＋∞) 设x 2＞x 1≥1，则f (x 2)－f (x 1)=x 2＋1122121x x x --=(x 2－x 1)＋21212x x x x -=(x 2－x 1)(1－2121x x ) ∵x 2＞x 1≥1，∴x 2－x 1＞0，1－2121x x ＞0，则f (x 2)＞f (x 1) 可知f (x )在［1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间［1，＋∞)上的最小值为f (1)=27．- - 8(2)在区间［1，＋∞)上，f (x )=xax x ++22＞0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成立设y =x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)，由y =(x ＋1)2＋a －1可知其在[1，＋∞)上是增函数， 当x =1时，y min =3＋a ，于是当且仅当y min =3＋a ＞0时函数f (x )＞0恒成立．故a ＞－3．。
函数单调性的习题及答案
函数的单调性〔一〕一、选择题：1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是〔 〕A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2D ．y =2x 2＋x ＋12．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于 〔 〕 A ．－7 B ．1 C ．17 D ．25 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是〔 〕A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是〔 〕A ．a ≤3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥310．已知函数()()2212f x x a x =+-+的单调递减区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是〔 〕 A ．a ≤3 B ．a ≥－3 C ．a ≤5 D ．a ≥3二、填空题：13．函数y =(x －1)-2的减区间是___ _．14．函数y =x －2x -1＋2的值域为__ ___． 15、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为 .16、函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ． 三、解答题：17．f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (yx) = f (x )－f (y ) 〔1〕求f (1)的值．〔2〕假设f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．18．函数f (x )=－x 3＋1在R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R 上是增函数还是减函数？试证明你的结论．19．试讨论函数f (x )=21x -在区间［－1，1］上的单调性．20．设函数f (x )=12+x －ax ，(a ＞0)，试确定：当a 取什么值时，函数f (x )在0，＋∞)上为单调函数．21．已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取值范围．22．已知函数f (x )=xax x ++22，x ∈［1，＋∞］〔1〕当a =21时，求函数f (x )的最小值；〔2〕假设对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题： CDBBD ADCCA BA二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.[)3,+∞， ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,三、解答题：17.解析：①在等式中0≠=y x 令，则f (1)=0．②在等式中令x=36，y=6则.2)6(2)36(),6()36()636(==∴-=f f f f f 故原不等式为：),36()1()3(f xf x f <-+即f [x (x ＋3)]＜f (36)，又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，故不等式等价于：.23153036)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<>>+x x x xx18.解析： f (x )在R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)， x 1＜x 2 ，则f (x 1)=－x 13＋1， f (x 2)=－x 23＋1．f (x 1)－f (x 2)=x 23－x 13=(x 2－x 1)(x 12＋x 1x 2＋x 22)=(x 2－x 1)［(x 1＋22x )2＋43x 22］．∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0而(x 1＋22x )2＋43x 22＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)．∴函数f (x )=－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．19.解析： 设x 1、x 2∈－1，1］且x 1＜x 2，即－1≤x 1＜x 2≤1．f (x 1)－f (x 2)=211x -－221x -=2221222111)1()1(x x x x -+----=2221121211))((x x x x x x -+-+-∵x 2－x 1＞0，222111x x -+-＞0，∴当x 1＞0，x 2＞0时，x 1＋x 2＞0，那么f (x 1)＞f (x 2)． 当x 1＜0，x 2＜0时，x 1＋x 2＜0，那么f (x 1)＜f (x 2)．故f (x )=21x -在区间［－1，0］上是增函数，f (x )=21x -在区间［0，1］上是减函数．20.解析：任取x 1、x 2∈0，＋)∞且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)=121+x －122+x －a (x 1－x 2)=1122212221+++-x x x x －a (x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a )(1)当a ≥1时，∵11222121++++x x x x ＜1，又∵x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)∴a ≥1时，函数f (x )在区间［0，＋∞)上为减函数． (2)当0＜a ＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x 1=0，x 2=212a a-，满足f (x 1)=f (x 2)=1 ∴0＜a ＜1时，f (x )在［０，＋)∞上不是单调函数 注： ①判断单调性常规思路为定义法； ②变形过程中11222121++++x x x x ＜1利用了121+x ＞|x 1|≥x 1;122+x ＞x 2；③从a 的范围看还须讨论0＜a ＜1时f (x )的单调性，这也是数学严谨性的表达．21.解析： ∵f (x )在(－2，2)上是减函数∴由f (m －1)－f (1－2m )＞0，得f (m －1)＞f (1－2m )∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<-<<-⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-32232131211,2212212m m m m m m m 即 解得3221<<-m ，∴m 的取值范围是(－32,21)22.解析： (1)当a =21时，f (x )=x ＋x21＋2，x ∈1，＋∞) 设x 2＞x 1≥1，则f (x 2)－f (x 1)=x 2＋1122121x x x --=(x 2－x 1)＋21212x x x x -=(x 2－x 1)(1－2121x x ) ∵x 2＞x 1≥1，∴x 2－x 1＞0，1－2121x x ＞0，则f (x 2)＞f (x 1) 可知f (x )在［1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间［1，＋∞)上的最小值为f (1)=27． (2)在区间［1，＋∞)上，f (x )=xax x ++22＞0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成立设y =x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)，由y =(x ＋1)2＋a －1可知其在[1，＋∞)上是增函数， 当x =1时，y min =3＋a ，于是当且仅当y min =3＋a ＞0时函数f (x )＞0恒成立．故a ＞－3．。
函数的单调性练习题(含答案)
函数的单调性练习一、选择题：1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ）A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2D ．y =2x 2＋x ＋12．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于 （ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．253．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （ ） A ．(3，8) B ．(－7，－2) C ．(－2，3) D ．(0，5) 4．函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(0，21)B ．( 21，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根 6．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x ) （ ） A ．在区间(－1，0)上是减函数 B ．在区间(0，1)上是减函数 C ．在区间(－2，0)上是增函数 D ．在区间(0，2)上是增函数7．已知函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式|f (x ＋1)|＜1的解集的补集是 （ ） A ．(－1，2) B ．(1，4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞）D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞）8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是 （ ） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1) C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（ ）A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤3 B ．a ≥－3 C ．a ≤5 D ．a ≥3 11．已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（ ） A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )］ B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )］ D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )12．定义在R 上的函数y =f (x )在(－∞，2)上是增函数，且y =f (x ＋2)图象的对称轴是x =0，则 （ ） A ．f (－1)＜f (3) B ．f (0)＞f (3) C ．f (－1)=f (－3) D ．f (2)＜f (3) 二、填空题：13．函数y =(x －1)-2的减区间是___ _． 14．函数y =x －2x -1＋2的值域为__ ___． 15、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为 .16、函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ． 三、解答题：17．f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (yx) = f (x )－f (y ) （1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．18．函数f (x )=－x 3＋1在R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R 上是增函数还是减函数？试证明你的结论．19．试讨论函数f (x )=21x -在区间［－1，1］上的单调性．20．设函数f (x )=12+x －ax ，(a ＞0)，试确定：当a 取什么值时，函数f (x )在0，＋∞)上为 单调函数．21．已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取值范围．22．已知函数f (x )=xax x ++22，x ∈［1，＋∞］（1）当a =21时，求函数f (x )的最小值；（2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．。
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函数的单调性（一）
一、选择题：
1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是
（ ）
A ．y =2x ＋1
B ．y =3x 2
＋1
C ．y =
x
2
D ．y =2x 2
＋x ＋1
2．函数f (x )=4x 2
－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函
数，则f (1)等于 （ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．25 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是
（ ）
A ．]1,(],0,(-∞-∞
B ．),1[],0,(+∞-∞
C ．]1,(),,0[-∞+∞
D ),1[),,0[+∞+∞
10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．a ≤3
B ．a ≥－3
C ．a ≤5
D ．a ≥3
10．已知函数()()2212f x x a x =+-+的单调递减区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤3 B ．a ≥－3 C ．a ≤5 D ．a ≥3
二、填空题：
13．函数y =(x －1)-2
的减区间是___ _． 14．函数y =x －2x -1＋2的值域为__ ___． 15、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y f
x =-的单调递减区间为 .
16、函数f (x ) = ax 2
＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ． 三、解答题：
17．f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (y
x
) = f (x )－f (y ) （1）求f (1)的值．
（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x
1
) ＜2 ．
18．函数f (x )=－x 3
＋1在R 上是否具有单调性如果具有单调性，它在R 上是增函数还是减
函数试证明你的结论．
19．试讨论函数f (x )=21x -在区间［－1，1］上的单调性．
20．设函数f (x )=12+x －ax ，(a ＞0)，试确定：当a 取什么值时，函数f (x )在0，＋∞)上为单调函数．
21．已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取
值范围．
22．已知函数f (x )=x
a
x x ++22，x ∈［1，＋∞］
（1）当a =2
1
时，求函数f (x )的最小值；
（2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．
参考答案
一、选择题： CDBBD ADCCA BA
二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.[)3,+∞， ⎥⎦
⎤ ⎝
⎛-∞-2
1,
三、解答题：17.解析：①在等式中0≠=y x 令，则f (1)=0．
②在等式中令x=36，y=6则.2)6(2)36(),6()36()6
36
(
==∴-=f f f f f 故原不等式为：),36()1()3(f x
f x f <-+即f [x (x ＋3)]＜f (36)，又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，
故不等式等价于：.23153036
)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧<+<>>+x x x x x
18.解析： f (x )在R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：
设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)， x 1＜x 2 ，则f (x 1)=－x 13＋1， f (x 2)=－x 23
＋1．
f (x 1)－f (x 2)=x 23－x 13=(x 2－x 1)(x 12＋x 1x 2＋x 22)=(x 2－x 1)［(x 1＋
2
2x )2＋43x 22
］．
∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0而(x 1＋
2
2x )2＋43x 22
＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)．
∴函数f (x )=－x 3
＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．
19.解析： 设x 1、x 2∈－1，1］且x 1＜x 2，即－1≤x 1＜x 2≤1．
f (x 1)－f (x 2)=211x -－2
21x -=
2
2
2
12
22111)1()1(x x x x -+----=
2
2
2
1121211))((x x x x x x -+-+-
∵x 2－x 1＞0，2
22
111x x -+-＞0，∴当x 1＞0，x 2＞0时，x 1＋x 2＞0，那么f (x 1)＞
f (x 2)．
当x 1＜0，x 2＜0时，x 1＋x 2＜0，那么f (x 1)＜f (x 2)．
故f (x )=21x -在区间［－1，0］上是增函数，f (x )=21x -在区间［0，1］上是减函数．
20.解析：任取x 1、x 2∈0，＋)∞且x 1＜x 2，则
f (x 1)－f (x 2)=121+x －12
2+x －a (x 1－x 2)=
1
12
22
122
21+++-x x x x －a (x 1－x 2)
=(x 1－x 2)(1
12
22
12
1++++x x x x －a )
(1)当a ≥1时，∵
1
12
22
12
1++++x x x x ＜1，
又∵x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2) ∴a ≥1时，函数f (x )在区间［0，＋∞)上为减函数． (2)当0＜a ＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x 1=0，x 2=2
12a
a
-，满足f (x 1)=f (x 2)=1 ∴0＜a ＜1时，f (x )在［０，＋)∞上不是单调函数 注： ①判断单调性常规思路为定义法； ②变形过程中
1
12
22
12
1++++x x x x ＜1利用了121+x ＞|x 1|≥x 1;12
2+x ＞x 2；
③从a 的范围看还须讨论0＜a ＜1时f (x )的单调性，这也是数学严谨性的体现．
21.解析： ∵f (x )在(－2，2)上是减函数
∴由f (m －1)－f (1－2m )＞0，得f (m －1)＞f (1－2m )
∴⎪⎪
⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧
<<<-<<-⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-32232
1
3
1211,2212212m m m m m m m 即 解得3221<<-m ，∴m 的取值范围是(－32,21)
22.解析： (1)当a =
21时，f (x )=x ＋x
21＋2，x ∈1，＋∞) 设x 2＞x 1≥1，则f (x 2)－f (x 1)=x 2＋
11221
21x x x -
-=(x 2－x 1)＋2
1212x x x x -=(x 2－x 1)(1－2
121
x x ) ∵x 2＞x 1≥1，∴x 2－x 1＞0，1－
2
121
x x ＞0，则f (x 2)＞f (x 1) 可知f (x )在［1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间［1，＋∞)上的最小值为f (1)=
2
7． (2)在区间［1，＋∞)上，f (x )=x
a x x ++22＞0恒成立⇔x 2
＋2x ＋a ＞0恒成立
设y =x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)，由y =(x ＋1)2
＋a －1可知其在[1，＋∞)上是增函数， 当x =1时，y min =3＋a ，于是当且仅当y min =3＋a ＞0时函数f (x )＞0恒成立．故a ＞－3．。