向量的数量积(练习)(含解析)高一下学期数学(人教A版2019 必修第二册)
6.2.4向量的数量积
1.[2022·福建三明高一期末]在边长为2的正方形ABCD中，E为BC中点，则AB→ ·AE→ ＝( )
A．2 B．4
C．25 D．5
2．[2022·山东东营高一期末]若向量a，b满足||a ＝||b ＝2，〈a，b〉＝120°，则||a－b
＝( )
A．4 B．12
C．2 D．23
3．[2022·湖北武汉高一期末]已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为135°，则a在b方向上的投影向量为________．
4．已知|a|＝4，|b|＝2，且a与b的夹角为2π3 ，求：
(1)a·b；
(2)(a－2b)·(a＋b).
5.[2022·河北石家庄高一期末]已知在边长为6的等边三角形ABC中，BD→ ＝12 DC→ ，则AD→ ·AC→ ＝( )
A．24 B．6
C．18 D．－24
6．[2022·江苏苏州高一期中]已知平面向量a，b满足||a ＝2，||b ＝1，a·(a－b)＝5，则向量a与b的夹角为( )
A．π6
B．π3
C．2π3 D．5π6
7．[2022·福建福州高一期末]设非零向量a，b，c是满足a＋b＋c＝0，a⊥b，(2a－b)⊥c，若||a ＝2 ，则||b ＝________．
8．[2022·河北邢台高一期末]已知向量a，b满足(2a＋b)·(a－2b)＝2，且|a|＝2 ，|b|＝2.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求||a＋b .
9.[2022·广东珠海高一期末]已知||a ＝2 ，|b|＝1，且a与a－2b相互垂直．
(1)求向量a与向量b的夹角θ的大小；
(2)求||a＋b .
10．在△ABC中，AB→ ＝c，BC→ ＝a，CA→ ＝b，且a·b＝b·c＝c·a，试判断△ABC的形状．
11.(多选)[2022·山东滨州高一期末]已知a，b，c是任意的非零向量，则下列结论正确的是( )
A．||a＋b ≤||a ＋||b
B．a·b≤||a ·||b
C．若||a ＝||b ，则a＝b
D．若||a＋b ＝||a－b ，则a⊥b
12．设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角θ为钝角，求实数t的取值范围．
答案：
1．解析：由题设，AB→ ·AE→ ＝|AB→ ||AE→ |cos ∠BAE＝|AB→ |2＝4.故选B.
答案：B
2．解析：由||a ＝||b ＝2，〈a，b〉＝120°，
可得a·b＝||a ·||b cos 〈a，b〉＝2×2×cos 2π3 ＝－2，
所以||a－b ＝（a－b）2
＝a2＋b2－2a·b
＝||a2＋||b2－2a·b
＝4＋4－2×（－2）
＝23 .故选D.
答案：D
3．解析：因为a在b方向上的投影为||a cos 135°＝－2 ，与b同向的单位向量为b||b
＝13 b，所以a在b方向上的投影向量为－23 b.
答案：－23 b
4．解析：(1)由平面向量数量积的定义可得a·b＝|a|·|b|cos 2π3 ＝4×2×(－12 )＝－4；
(2)(a－2b)·(a＋b)＝a2－a·b－2b2
＝|a|2－a·b－2|b|2＝42＋4－2×22＝12.
5．解析：因为BD→ ＝12 DC→ ，
所以BD→ ＝13 BC→ ＝13 (AC→ －AB→ )，
所以AD→ ＝AB→ ＋BD→ ＝AB→ ＋13 (AC→ －AB→ )＝23 AB→ ＋13 AC→ .
因为等边三角形ABC的边长为6，
所以AC→ ·AB→ ＝6×6cos 60°＝18，
所以AD→ ·AC→ ＝(23 AB→ ＋13 AC→ )·AC→
＝23 AB→ ·AC→ ＋13 AC→ 2
＝23 ×18＋13 ×36＝24，故选A.
答案：A
6．解析：因为||a ＝2，||b ＝1，a·(a－b)＝5，
所以a·(a－b)＝a2－a·b＝||a 2－a·b＝5，所以a·b＝－1，
设向量a与b的夹角为θ，则cos θ＝a·b||a·||b ＝－11×2 ＝－12 ，
因为θ∈[]0，π ，所以θ＝2π3 .故选C.
答案：C
7．解析：因为a＋b＋c＝0，可得c＝－(a＋b)，
又因为a⊥b，(2a－b)⊥c，且||a ＝2 ，
可得(2a－b)·c＝(2a－b)·[]－（a＋b） ＝－2a2－a·b＋b2＝－2×(2 )2－0＋||b 2＝0，
解得||b 2＝4，所以||b ＝2.
答案：2
8．解析：(1)由(2a＋b)·(a－2b)＝2a2－3a·b－2b2＝4－3×2 ×2cos θ－8＝2，
得cos θ＝－22 ，因为θ∈[0，π]，所以θ＝3π4 .
(2)由题意得|a＋b|＝a2＋2a·b＋b2 ＝2－42×22＋4 ＝2 .
9．解析：(1)由题意，a·(a－2b)＝a2－2a·b＝0，
所以2－22 cos θ＝0，可得cos θ＝22 ，而0≤θ≤π，
所以θ＝π4 .
(2)由||a＋b 2＝a2＋2a·b＋b2＝2＋2＋1＝5，
所以||a＋b ＝5 .
10．解析：在△ABC中，易知AB→ ＋BC→ ＋CA→ ＝0，
即a＋b＋c＝0，
因此a＋c＝－b，a＋b＝－c，
从而（a＋b）2＝（－c）2，（a＋c）2＝（－b）2，
两式相减可得b2＋2a·b－c2－2a·c＝c2－b2，
则2b2＋2(a·b－a·c)＝2c2，
因为a·b＝c·a＝a·c，
所以2b2＝2c2，即|b|＝|c|.
同理可得|a|＝|b|，故|AB→ |＝|BC→ |＝|CA→ |，
即△ABC是等边三角形．
11．解析：对A，||a＋b 2＝a2＋b2＋2a·b＝||a 2＋||b 2＋2||a ·||b ·cos 〈a，b〉≤||a 2＋||b 2＋2||a ·||b ＝(||a ＋||b )2，当且仅当a，b同向时等号成立，所以||a＋b ≤||a ＋||b ，故A正确；
对B，因为cos 〈a，b〉≤1，所以a·b＝||a ·||b ·cos 〈a，b〉≤||a ·||b ，当且仅当a，b同向时等号成立，故B正确；
对C，若||a ＝||b ，因为a，b方向不一定相同，所以a，b不一定相等，故C错误；
对D，若||a＋b ＝||a－b ，两边平方可得a·b＝0，所以a⊥b，故D正确．故选ABD.
答案：ABD
12．解析：由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角θ为钝角，得
cos θ＝（2te1＋7e2）·（e1＋te2）|2te1＋7e2|·|e1＋te2| ＜0，
∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0，化简得2t2＋15t＋7＜0.
解得－7＜t＜－12 .
当向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为180°时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0，但此时夹角不是钝角．
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ＜0，则
2t＝λ，7＝λt，λ＜0， 解得λ＝－14，t＝－142．
∴所求实数t的取值范围是(－7，－142 )∪(－142 ，－12 ).
2019年人教版高中数学必修四考点练习：平面向量的数量积2(含答案解析)
平面向量的数量积2
一、非坐标的求模
1. 已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为，则|a＋2b|＝________.2π
3
2. 已知向量a与b的夹角为30°，且|a|
＝，|b|＝2，则|a－b|的值为( )3
A．1 B.13
C．13 D.7－23
3. 已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
4．设向量e
1，e
2是两个互相垂直的单位向量，且a＝2e
1－e
2，b＝e2，则|a＋2b|＝( )
A．2 B.25
C．2 D．4
5. 已知非零向量a，b满足a·b＝0，|a|＝
3，且a与a＋b的夹角为，则|b|＝( )π4
A．6 B．32
C．2 D．32
6.
设
a，b均为单位向量，则“”是“a⊥b”的（ ）33abab
A充分而不必要条件B必要而不充分条件
C充分必要条件
D既不充分也不必要条件
7.
设,ab
是向量，则“ab
”是“a+bab
”的（ ）.
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
8.
已知a，b，
e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+π
33=0，则|a−b|的最小值是（ ）
A
．−1B
．+1C．233
D．2−3
9.
已知向量α，β是平面内两个互相垂直的单位向量，若(5α－2γ)·(12β－2γ)＝0，则|γ|的最大值
是________．
10.
已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是_______
_．
11．已知向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，设向量c满足(2a－c)·(3b－c)＝0，则|c|的最大值为
________．
12. 已知向量a，b，c共面，且均为单位向量，a·b＝0，则|a＋b－c|的取值范围是( )
A．
[－1
，＋1] B．[1，]222
C．
[，] D．[－1,1]232
2021-2022学年新教材人教A版必修第二册 向量的数量积的概念 作业
6.2.4 向量的数量积
第1课时 向量的数量积的概念
课后·训练提升
1.已知在▱ABCD中,∠DAB=60°,则𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ 与𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
解析如图,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ 与𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为∠ABC=120°.
答案C
2.已知|a|=1,|b|=1,|c|=√2,a与b的夹角为90°,b与c的夹角为45°,则a·(b·c)的化简结果是( )
A.0 B.a C.b D.c
解析由题意可知b·c=|b||c|cos45°=1.
∴a·(b·c)=a.
答案B
3.若|m|=4,|n|=6,m与n的夹角θ为45°,则m·n= ( )
A.12 B.12√2 C.-12√2 D.-12
解析由已知条件得m·n=|m||n|cosθ=4×6×√22=12√2.
答案B
4.已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则向量a在向量b方向上的投影是( )
A.-4 B.4 C.-2 D.2
解析根据投影的定义,设a,b的夹角为θ,可得向量a在b方向上的投影是|a|cosθ=𝑎·𝑏|𝑏|=-4.故选A.
答案A
5.已知|a|=10,|b|=12,且(3a)·(15𝑏)=-36,则a与b的夹角为( )
A.60° B.120° C.135° D.150°
解析设a与b的夹角为θ.由(3a)·(15𝑏)=-36,
即a·b=-60,即|a||b|cosθ=-60,已知|a|=10,|b|=12,解得cosθ=-12,
又0≤θ≤180°,故夹角θ为120°.
答案B
6.已知平面上三点A,B,C,满足|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ |=4,|𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ |=5,则𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ 的值等于(
6.3.5平面向量数量积的坐标表示教学设计-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
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§6.3.5平面向量数量积的坐标表示
一、内容和内容解析
本节是高中数学人教A版必修2第六章第3节第五课时的内容．由于平面向量数量积涉及了向量的模向量的夹角，因此在实现向量的数量积的坐标表示后，向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来.
通过对平面向量数量积的坐标表示的学习，培养学生数学运算的数学素养；能根据向量的坐标计算向量的模、夹角及判定两个向量垂直，培养学生数学运算、逻辑推理的数学素养.
二、目标和目标解析
目标：
（1）掌握平面向量数量积坐标表示及模、夹角的公式.
（2）能用公式求向量的数量积、模、夹角．
（3）掌握两个向量垂直的坐标判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.
目标解析：
（1）利用平面向量正交分解将向量用基底表示，利用数量积的运算律计算，注意到单位向量的数量积为1，推导出向量数量积的坐标表示．
（2）利用数量积的坐标公式，将数量积的性质用坐标表示出来，得到模、夹角、垂直的坐标表示.
（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在平面向量数量积的坐标表示的教学中，从已知向量的坐标推导平面向量数量积的坐标是进行数学推理教学的很好机会．
基于上述分析，本节课的教学重点定为：平面向量数量积坐标表示及模、夹角公式．
三、教学问题诊断分析
1．教学问题一：研究向量数量积运算的坐标表示是本节课的第一个教学问题．解决方案：利用正交分解表示向量，结合数乘向量的运算律推导出结论．
2. 教学问题二：用公式求向量的数量积、模、夹角及垂直问题的证明是本节课的第二个教学问题．解决方案：公式变形推导，通过数量积性质的复习，结合数量积的坐标运算推导出结论．
基于上述情况，本节课的教学难点定为：平面向量数量积的应用．
四、教学策略分析
本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到平面向量数量积的坐标表示，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中以问题串的形式引导学生探究，可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．
(2019新教材)人教A版高中数学必修第二册全册同步练习
- 1 - （2019新教材）人教A版高中数学必修第二册全册同步练习
6．1 平面向量的概念
[A 基础达标]
1．下列命题中，正确命题的个数是( )
①单位向量都共线；
②长度相等的向量都相等；
③共线的单位向量必相等；
④与非零向量a共线的单位向量是a|a|.
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选D.根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的；对于④，与非零向量a共线的单位向量是a|a|或－a|a|，故④也是错误的．
2．下列说法正确的是( )
A．若a与b平行，b与c平行，则a与c一定平行
B．终点相同的两个向量不共线
C．若|a|>|b|，则a>b
D．单位向量的长度为1
解析：选D.A中，因为零向量与任意向量平行，若b＝0，则a与c不一定平行．B中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．
3．如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断错误的是( )
A.AB→＝OC→ B.AB→∥DE→
C．|AD→|＝|BE→| D.AD→＝FC→
解析：选D.由题图可知，|AD→|＝|FC→|，但AD→、FC→的方向不同，故AD→≠FC→，故选D.
4．设O是△ABC的外心，则AO→，BO→，CO→是( )
A．相等向量 B．模相等的向量
C．平行向量 D．起点相同的向量
解析：选B.因为三角形的外心是三角形外接圆的圆心，所以点O到三个顶点A，B，C的
- 2 - 距离相等，所以AO→，BO→，CO→是模相等的向量．
5．若a是任一非零向量，b是单位向量，下列各式：①|a|>|b|；②a∥b；③|a|>0；④|b|＝±1；⑤a|a|＝b，其中正确的有( )
A．①④⑤ B．③
C．①②③⑤ D．②③⑤
解析：选B.①|a|>|b|不正确，a是任一非零向量，模长是任意的，故不正确；②不一定有a∥b，故不正确；③向量的模长是非负数，而向量a是非零向量，故|a|>0正确；④|b|＝1，故④不正确；⑤a|a|是与a同向的单位向量，不一定与b同向，故不正确．
6.3.5平面向量数量积的坐标表示讲义- 高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
(教师独具内容)
课程标准：1.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角.2.能用坐标表示平面向量垂直的条件．
教学重点：平面向量数量积的坐标表示以及模、角度、垂直关系的坐标表示．
教学难点：用坐标法处理模、角度、垂直问题．
核心素养：1.通过平面向量数量积的坐标表示的推导过程培养逻辑推理和数学运算素养.2.通过运用平面向量数量积的坐标表示来解决模、角度、垂直等问题进一步提升数学运算素养．
1．平面向量数量积的坐标表示主要解决的问题
向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完全代数化，并将数与形紧密结合起来．本节主要应用有：
(1)求两点间的距离(求向量的模)．
(2)求两向量的夹角．
(3)证明两向量垂直．
2．解决向量夹角问题的方法及注意事项
(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a·b以及|a||b|，再由cosθ＝a·b|a||b|求出cosθ，也可由坐标表示cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21 x22＋y22直接求出cosθ.由三角函数值cosθ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.
(2)由于0≤θ≤π，利用cosθ＝a·b|a||b|来判断角θ时，要注意cosθ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cosθ>0也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ＝0.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量的模等于向量坐标的平方和．( ) (2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.( )
(3)若两个非零向量的夹角θ满足cosθ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角．( )
2．做一做
(1)已知a，b为平面向量，a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b的夹角θ的余弦值等于( )
A.865
B．－865
C．1665 D．－1665
(2)若向量a＝(3，m)，b＝(2,1)，a·b＝0，则实数m的值为____.
6.2.4向量的数量积教学设计-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
教学设计
课题名称 向量的数量积（一）
课时计划： 课时 第 课时 授课日期：
教学目标 1．通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积．
2．通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．
3．理解向量数量积的运算律，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，并会表示向量的夹角与模．
重点难点 重点：平面向量的数量积．
难点：投影向量的概念.
教学方法 教师讲授、师生互动、学生主导
科组模式
板书设计
作业布置
课后反思
教 学 设 计
教学环节 教师活动(可附带学生活动)
一、两向量的夹角
例1 已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？
跟踪训练1 在△ABC中，∠C＝90°，BC＝12AB，则AB→与BC→的夹角是( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
二、两向量的数量积
知识梳理
1．已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
2．向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0.
(3)当a∥b时，a·b＝ |a||b|，a与b同向，－|a||b|，a与b反向.
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝a·a.
(4)|a·b|≤|a|·|b|. (5)cos θ＝a·b|a||b|.
注意点：
(1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写．
(2)向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0.
(3)a·b＝0不能推出a和b中至少有一个零向量．
6.2.4向量的数量积教学设计-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册 2
6.2.4向量的数量积教学设计-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册
主备人
备课成员
教材分析 《6.2.4向量的数量积教学设计》选自人教A版（2019）必修第二册，本节内容是向量知识的重点和难点，旨在帮助学生理解向量数量积的概念、性质及其应用。通过本节课的学习，学生将掌握向量数量积的定义、计算方法，了解其几何意义，并能够运用向量数量积解决实际问题。此外，本节内容与之前学习的向量基本运算、平面几何知识紧密相连，为之后学习线性方程组、空间向量等知识打下坚实基础。教学设计注重引导学生通过实例探究、合作交流，培养其逻辑思维能力和数学应用能力。
核心素养目标
学情分析 本节课面向的是高一下学期的学生，他们在经过前一阶段的学习后，已经具备了向量基本概念、向量加减法和向量坐标表示等基础知识。在知识层面，学生们能够进行简单的向量运算，但对于向量数量积这一较为抽象的概念，可能还缺乏深入的理解。在能力方面，学生们的逻辑思维能力、空间想象能力和问题解决能力正处于快速发展阶段，但个体差异明显，部分学生可能还在依赖于直观图形，对抽象公式的运用不够熟练。
在素质方面，学生普遍具有一定的合作交流意识，但在数学表达和推理阐述方面仍需加强。此外，学生在学习习惯上存在差异，部分学生可能缺乏自主学习的能力和习惯，对教师的依赖性较强，这对理解并掌握向量数量积这一难度较大的知识点产生影响。
针对以上情况，教学过程中应注重以下方面：
1. 通过实际案例分析，帮助学生构建向量数量积的直观认识，逐步引导学生从形象思维向抽象思维过渡。
2. 利用小组合作和讨论，鼓励学生主动探索、交流思想，提高数学表达和推理能力。
3. 设计不同难度的练习题，进行分层教学，使学生在各自基础上得到最大限度的提升。
4. 注重培养学生自主学习的能力，通过问题驱动的教学方法，激发学生的学习兴趣和探究欲望。
学具准备 多媒体
【教案】向量的数量积教学设计-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
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§6.2.4向量的数量积
一、内容和内容解析
内容：向量的数量积．
内容解析：本节是高中数学人教A版必修2第六章第2节的第四课时内容．教材以物理中力作功为背景引入向量的数量积，与向量的加法、减法、数乘运算一样有明显的几何意义，用途广泛，但与向量的线性运算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量.
会计算两个向量的数量积，提升数学抽象的核心素养.通过探究投影向量的表达式，进而得到数量积的几何意义，提升直观想象，逻辑推理的核心素养.
二、目标和目标解析
目标：
（1）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积．
（2）通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．
（3）会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
目标解析：
（1）能从物理中“功”的具体实例中，引出向量的数量积的概念，能依据数量积的概念计算平面向量的数量积，并能像了解实数的运算律一样，通过具体实例了解向量数量积的性质．
（2）能从图形中判断向量投影与投影向量，知道向量投影是一种正交变换，并能表示投影向量与原向量之间的关系，能借助向量投影与投影向量体会向量数量积的几何意义．
（3）知道两个平面向量的垂直等价于其数量积为零，并能用这一结论进行向量运算．
基于上述分析，本节课的教学重点定为：平面向量数量积的定义，平面向量数量积的运算．
三、教学问题诊断分析
1．教学问题一：两个向量夹角的定义是指同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因此向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些常见的误区．同时利用向量的数量积，可以解决两向量垂直问题，要深刻理解两向量垂直的充要条件，应用的时候才能得心应手．解决方案：数形结合让学生体验夹角的概念，强调夹角一定是共起点的最小角.
2．教学问题二：向量的数量积是一种新的向量运算，与向量的加法、减法、数乘运算一样，它也有明显的物理意义、几何意义，用途广泛．但与向量的线性运算不同的是，它的运算结果不是向量而是数量，正是这个不同点沟通了向量运算与数量之间的关系．解决方案：强调两个非零向量的数量积是数量，而不是向量，它的值是两个向量的长度与两个向量夹角的余弦的乘积.
人教A版高一数学必修第二册全册复习测试题卷含答案解析(26)
高一数学必修第二册全册复习测试题卷3
（共22题）
一、选择题（共10题）
1. 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 12，甲获胜的概率是 13，则甲不输的概率为 ( )
A． 56 B． 25 C． 16 D． 13
2. 已知 𝑎⃗，𝑏⃗⃗ 的夹角为 120∘，且 ∣𝑎⃗∣=2，∣∣𝑏⃗⃗∣∣=1，则 𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗= ( )
A． −32 B． −1 C． 1 D． 32
3. 已知向量 𝑎⃗=(1,2)，𝐴(6,4)，𝐵(4,3)，𝑏⃗⃗ 为向量 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在向量 𝑎⃗ 上的投影向量，则 ∣𝑏⃗⃗∣= ( )
A． 4√55 B． 1 C． √5 D． 4
4. 经检验，某厂的产品合格率为 98%，估算该厂 8000 件产品中次品的件数为 ( )
A． 7840 B． 160 C． 16 D． 784
5. 若圆台下底面半径为 4，上底面半径为 1，母线长为 3√2，则其体积为 ( )
A． 15π B． 21π C． 25π D． 63π
6. 如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取 𝐴，𝐵 两点，从 𝐴，𝐵 两点测得建筑物顶端的仰角分别为 30∘，45∘，且 𝐴，𝐵 两点间的距离为 60 m，则该建筑物的高度为 ( )
A． (30+30√3) m B． (30+15√3) m
C． (15+30√3) m D． (15+15√3) m
7. 若某群体中的成员只用现金支付的概率为 0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为 0.15，则不用现金支付的概率为 ( )
A． 0.3 B． 0.4 C． 0.6 D． 0.7
8. 惠州市某学校一位班主任需要更换手机语音月卡套餐，该教师统计自己 1 至 8 月的月平均通话时间，其中有 6 个月的月平均通话时间分别为 520，530，550，610，650，660（单位：分钟），
人教A版(2019)必修第二册《平面向量的概念》同步练习
人教A版（2019）必修第二册《6.1 平面向量的概念》同步练习
一 、单选题（本大题共12小题，共60分）
1.（5分）已知平面向量𝑎→=(−2,1)，𝑏→=(1,2)，则|𝑎→−2𝑏→|的值是( )
A. 1 B. 5 C. √3 D. √5
2.（5分）已知向量𝑎→=(2,4),𝑏→=(−2,𝑚)，且|𝑎→+𝑏→|=|𝑎→−𝑏→|，则𝑚=()
A. √3 B. 1 C. 2√33 D. 2
3.（5分）已知四边形𝐴𝐵𝐶𝐷满足𝐴𝐷→=14𝐵𝐶→，点𝑀满足𝐷𝑀→=𝑀𝐶→，若𝐵𝑀→=𝑥𝐴𝐵→+𝑦𝐴𝐷→，则𝑥+𝑦=()
A. 3 B. 52 C. 2 D. −12
4.（5分）已知四棱锥𝑃−ABCD底面为平行四边形，点𝑀为BC中点，设AB→=𝑎→，AD→=𝑏→，AP→=𝑐→，则下列向量中与PM→相等的向量是( )
A. 12𝑎→+𝑏→−𝑐→ B. 𝑎→+12𝑏→−𝑐→
C. −𝑎→−12𝑏→+𝑐→ D. 𝑎→+12𝑏→+𝑐→
5.（5分）已知直线上OA→，OB→的坐标分别为−1，2，则下列结论不正确的是( )
A. OA→
C. |AB→|=3 D. AB的中点坐标为12
6.（5分）在△𝐴𝐵𝐶中，已知𝐵𝐶→=3𝐵𝐷→，则𝐴𝐷→=()
A. 13(𝐴𝐶→+2𝐴𝐵→) B. 13(𝐴𝐵→+2𝐴𝐶→)
C. 14(𝐴𝐶→+3𝐴𝐵→) D. 14(𝐴𝐶→+2𝐴𝐵→)
7.（5分）下列说法中错误的是()
A. 零向量与任一向量平行 B. 方向相反的两个非零向量不一定共线
C. 单位向量的长度为1 D. 相等向量一定是共线向量
8.（5分）下列说法正确的是( )
A. 单位向量均相等
B. 单位向量𝑒→=1
C. 零向量与任意向量平行
D. 若向量𝑎→,𝑏→满足|𝑎→|=|𝑏→|，则𝑎→=±𝑏→