6.2.4向量的数量积-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册课前检测(含解析)
3
3．
2
故选：C． 3．D 【分析】
先求 a b ，进而可求 (a b)b ，再求
ab
2
，即可求
r a
r b
，利用
cos
a b b 结合 ab b
0, ，即可求解.
【详解】
ab
a
b
cos
1 2 1
1，
3
2
ab
2
a
2
b
2
2a
b
5
2
1
2
1
3，
2
a
b
·b
D．2
3．已知向量 a ， b
满足
a
1，
b
2 ，且 a 与 b
的夹角为
3
，则向量 a
b与b
的夹
角为（ ）
A．
6
B．
3
2 C．
3
D． 5 6
4．设 a ， b
均为单位向量，且 a b
1 4
，则
a 2b
（
）
A．3
B． 6
C．6
D．9
uuur uuur 5．在正方形 ABCD 中， E 为 CD 边上一点，且 ABE 60 ， AB AC 9 ，则 uuur uur AB BE （ ）
能力. 10．D 【分析】
2 求出 BA BC 3 ，即得解.
【详解】
根据题意 BA BC 1 ， BA, BC 120 ，
∴
BA
BC
2
2 BA
2 BC
2BA BC
11
2 11
1
3，
2
∴ BA BC 3 .
故选：D. 【点睛】 本题主要考查平面向量的模和数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 11．D 【分析】
【详解】
解：（1）∵ | a
b |2
2 a
b
2
2a
b
9
16 2 3 4 cos 60
37
，
∴ | a b | 37 ．
（2）∵ |
a
b
|2
2 a
2 b
2a
b
9
16
2
3
4
cos
60
13
，
∴ | a b | 13 ．
∴ cos (a b) (a b)
a
6.
3
3
故选：D.
【点睛】
本题考查了平面向量数量积公式，属于基础题.
13．－8
【分析】
先根据数量积的分配律将所求式子展开，再由平面向量数量积的运算法则即可得解.
【详解】
解： b
3a b
3a b
2 b
3 4 4 cos120
42
8 .
故答案为： -8. 【点睛】 本题考查数量积的计算，此类问题一般利用数量积的运算律和定义来处理，本题属于基础题.
案. 【详解】
根据平面向量数量积的几何意义得：当点 E 在点 B 时， DE DC 值的最大，
此时 DE 在 DC 方向上的投影为 3，又 DC =3
所以 DE DC 的最大值为 9.
故答案为：9. 【点睛】
本题考查平面向量数量积的几何意义，涉及到向量的投影，属于常见的基础题型．
17．（1）8；（2）1. 【分析】
b ，得
rr ab
r b
0
，则
a
b
b2
0，再结数量积的公式和
a
2
b
可求
得 a 与 b 的夹角；
（2）由 a b
2
14 ，得 a b 14 ，将此式展开，把 a 2 b 代入可求得结果
【详解】
rrr
（1）∵ a b b ，∴ a b b 0 ，
∴
ab
9 16
7
481
．
| a b || a b | 37 13
481
【点睛】
本题考查了向量模的运算，重点考查了向量的数量积运算及向量夹角的运算，属基础题.
20．
m
4 3
【分析】
由 c d ，则 c d 0 ，再结合向量的数量积运算即可得解.
【详解】
解：由已知得 a b 2 1 cos 60 1 ．
A． 3 3
B． 3 3
C． 3 6
D． 3 6
6．在
A
BC
中，
AB
5
，
BC
2
，
B
60
，则
AB
BC
的值为（
）
A． 5 3
B．5
C． 5 3
D． 5
7．已知向量
a,
b
满足
a
2，
b
1
，
a
b
2
，则向量
a,
b
的夹角为（
）
3
A．
4
B． 2 3
C．
4
D． 4
8．已知两个单位向量
a
，
b
满足
由向量数量积的定义直接计算即可.
【详解】
AB 5 ， BC 2 ， B 60 ，
( )
\ AB�BC
5创2
cos 180 - 60
=
骣 10�琪 琪
桫
1 2
= -5 .
故选：D. 【点睛】
本题考查向量数量积的运算，属于基础题. 7．C 【分析】
根据平面向量的夹角公式计算即可得到结果.
【详解】
a
b
b2
1
4
3
，
设向量
a
b
与
b
的夹角为
，
cos a b b 3
3
，
ab b 2 3 2
因为 0, ，
所以 5 ， 6
所以
a
b与b
的夹角为
5 6
.
故选：D
4．B
【分析】
利用向量的模的运算法则，结合向量的数量积求解即可.
【详解】
a
，
b
均为单位向量，且
a
b
1 4
，
A． 3 2
1 B．
2
C．1
11．已知向量
a
，
b
满足
|
a
|
2
，
a
b
1
，则
a
(b
a)
（
D． 3
）
A．0
B． 1
C． 2
D． 3
12．已知向量 a ， b 满足 a
3
b
，
ab
6
，
rr a, b
，则
a
3
（
）
A．2
B．3
C．4
D．6
二、填空题
13．已知向量 a 与 b 的夹角为 120°，且 a
又 c d ，则 c d 0 ．
即
c
d
(a
5b)
(ma
2b)
ma
2
(5m
2)a
b
10b
2
4m
5m
2
10
9m
12
0
．
解得： m 4 ， 3
故当
m
4 3
时，
c
与
d
垂直．
【点睛】
本题考查了平面向量的数量积运算，重点考察了向量垂直的充要条件，属基础题.
1，
2
∴7
2 b
14 ，∴
b
2.
【点睛】
此题考查平面向量的数量积的有关运算，考查计算能力，属于基础题
19．（1）
a
b
37 （2） 7
481
481
【分析】
（1）由向量的模的运算及数量积运算即可得解；
（2）由 cos (a b) (a b) ，结合向量的数量积求解即可.
| a b || a b |
9．D
【分析】
根据 a
b
与
b
垂直得到（
a
b ）· b =0，再利用向量数量积的运算法则化简即得解.
【详解】
根据 a
b
与
b
垂直得到（
a
b ）· b =0，
所以
a
b
b
2
0,1 2 cos
4
0,
2.
4
4
故答案为 D 【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积的运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算
b2
0，
2
∴ a b cos a,b b 0 ，
2
2
∵ a 2 b ，∴ 2 b cos a,b b 0 ，
∴ cos
a, b
1，
2
∵
a,b
0,
，∴
a
与
b
的夹角为
3
.
（2）∵ a b
2 14 ，∴ a b 14 ，
∵ a 2 b ，又由（1）知 cos
a, b
|
2a
3b
|
7 ，则 a 与 b 的夹角是（
）
A． 6
B．
3
2 C．
3
D． 5 6
9．已知向量
a
，b
满足 |
a
|
1
，|
b
|
2 ，且向量
a
，b
的夹角为
4
，若
a
b
与
b
垂
直，则实数 的值为（ ）
A． 1 2
B． 1 2
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6.向量的数量积-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册精品课件
1．对于向量的学习，关键是用好类比，
1．理解平面向量的数量积的定 即类比数的运算以及类比物理中矢量的
义.(数学抽象)
运算.
2．了解投影向量的概念.(直观 2．物理中功的模型有助于我们更好地理
想象)
解向量的数量积运算.
3．了解向量的数量积与实数的 3．在研究向量的数量积运算时，类似于
乘法的区别.(数学运算)
6.2.4向量的数量积-【新教材】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 二册课 件
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6.2.4向量的数量积-【新教材】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 二册课 件
第六章
平面向量及其应用
数学（必修·第二册RJA）
[知识解读] (1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它 的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值 决定，而向量的加减和实数与向量的积的结果仍是向量.
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第六章 平面向量及其应用
数学（必修·第二册RJA）
【对点练习】❶ (1)已知向量 a，b 满足|a|＝1，a·b＝－1，则 a·(2a
－b)＝
(B )
A．4
B．3
C．2
D．0
(2)在等腰直角三角形 ABC 中，AB＝BC＝4，则A→B·B→C＝__0__，B→C·C→A
＝__－__1_6__，C→A·A→B＝__－__1_6__.
___－__|_a_|_|_b_|_.特别地，a·a＝__|_a_|_2 __或|a|＝_a_·_a__.
(4)|a·b|≤__|_a_|_|b_|___. a·b
(5)cos θ＝_|_a_||_b_| .
6.2.4向量的数量积-【新教材】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 二册课 件
人教A版(2019)必修第二册 6.2.4 向量的数量积 课件(共19张PPT)
Unit 13 Section B 1a~1e
Julia and Jack want to talk about how they protect the earth's resources.
Unit 13 Section B 1a~1e
While-listening
1c Listen and check(√) the things that Julia and Jack talk about.
Unit 13 We’re trying to save the earth!
Section B 1a~1e
主题情境·低碳环保人人有责
Unit 13 Section B 1a~1e
Learning Objectives
At the end of the class, we are able to: 1. understand the ways to protect the environment that Julia and Jack are talking about in the dialogue;(Language ability) 2. use the vocabulary and expressions we have learned, and talk with partners about what we will do to protect the environment;(Learning ability) 3. be inspired to propose new ideas or solutions to improve the current problem of sharks, and develop creative thinking;(Quality of thinking) 4. understand the importance of environmental protection and stimulate(激发) their awareness of environmental protection.(Cultural awareness)
人教版高中数学新教材必修第二册课件6.2.4 向量数量积
O A1 c B1 C
| c || a | cos1 | c || b | cos2
cacb
讲
课
人 ： 邢 启
(a b) c a c b c
强
14
典型例题
例3.我们知道，对任意 a,b R ，恒有 (a b)2 a2 2ab b2, (a b)(a b) a2 b2.
对任意向量 a,b, 是否也有下面类似的结论？ (1)(a b)2 a2 2a b b 2;
求a b 。
解：a b | a || b | cos
=5 4 cos120
5 4( 1) 2
10
讲
课
人
：
邢
启 强
5
典型例题
例2.已知 | a | 12,| b | 9, a b 54 2,
求 a与b 的夹角θ。
解：由a b | a || b | cos 得
cos＝
ab
－54
=
2 ＝－
2
| a || b | 129
2
所以 =-|OM1|=-|a|cos∠MOM1
=-|a|cos( )=|a|cos,即OM1=|a|cose.
讲
课
人
：
邢
启 强
9
学习新知
当 =0时,OM1与e方向相同, =|a|所以OM1=|a|e =|a|cos0e, 当 =π时,OM1与e方向相反, =-|a|所以OM1=-|a|e =|a|cosπe,
(2)(a b)(a b) a2 b 2.
讲 课 人
(3) (a b)3 (a)3 3(a)2 b 3a (b)2 (b)3
：
邢
启 强
15
典型例题
向量的数量积(高中数学人教A版2019必修第二册 课件)
＝ 9－2×（－6）＋16
＝ 37.
解题技巧(求向量模的常见思路和方法)
(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系要灵
活应用 a2＝|a|2，勿忘记开方．
(2)a·a＝a2＝|a|2 或|a|＝ a2，此性质可用来求向量的模，可以
实现实数运算与向量运算的相互转化．
(3)一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a
－b)＝a2－b2 等．
例2
(1)设向量 a，b 满足|a|＝|b|＝1 及|3a－2b|＝ 7，
则 a，b 的夹角为
π
A.
3
π
B.
6
(
π
C.
4
A
)
2π
D.
3
(2)已知 a，b 是非零向量，当 a＋tb(t∈R)的模取最小值
时，求证：b⊥(a＋tb)．
(2)证明
∵|a＋tb|＝
a＋tb2 ＝
当为锐角时，OM1与e 方向相同， OM1 a cos ,
所以
OM1 OM1 e a cose
当为直角时， 0, 所以
OM1 0 a cos e
2
当为钝角时，OM1与e 方向相反，所以
OM1 a cosMOM1
到A1B1，我们称上述变换为向量 向向量 投影，A1B1叫做向量 在向量
上的投影向量.
a
A1
B1
如图②，我们可以在平面内任取一点O，作OM= ，ON= .过点M作直线
＝ 37.
解题技巧(求向量模的常见思路和方法)
(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系要灵
活应用 a2＝|a|2，勿忘记开方．
(2)a·a＝a2＝|a|2 或|a|＝ a2，此性质可用来求向量的模，可以
实现实数运算与向量运算的相互转化．
(3)一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a
－b)＝a2－b2 等．
例2
(1)设向量 a，b 满足|a|＝|b|＝1 及|3a－2b|＝ 7，
则 a，b 的夹角为
π
A.
3
π
B.
6
(
π
C.
4
A
)
2π
D.
3
(2)已知 a，b 是非零向量，当 a＋tb(t∈R)的模取最小值
时，求证：b⊥(a＋tb)．
(2)证明
∵|a＋tb|＝
a＋tb2 ＝
当为锐角时，OM1与e 方向相同， OM1 a cos ,
所以
OM1 OM1 e a cose
当为直角时， 0, 所以
OM1 0 a cos e
2
当为钝角时，OM1与e 方向相反，所以
OM1 a cosMOM1
到A1B1，我们称上述变换为向量 向向量 投影，A1B1叫做向量 在向量
上的投影向量.
a
A1
B1
如图②，我们可以在平面内任取一点O，作OM= ，ON= .过点M作直线
数学人教A版(2019)必修第二册6.2.4平面向量数量积(共15张ppt)
，求
∙ .
设 =12， =9， ∙ =-54 ，求与的夹角
向量的数量积的几何意义是什么？
B
a
A
b
C A1
B2
D
两个非零向量、，他们的夹角为，
探究向量在上的投影向量的情况.
两个非零向量、，他们的夹角为，是与方向相同的单位
向量.
（1） ∙ = , = .（求向量长度的工具）
如何规定向量的乘法.
向量的乘法的结果是什么量？这个值由那些量决定？符号
由什，我们把数量
cos量叫做、的数量积，记作 ∙
即 ∙ = cos
规定零向量与任一非零向量的数量积为0.
已知 = , = , 与的夹角 =
6.2.4向量的数量积
学习目标
1、向量数量积的运算.
2、向量投影及投影向量的概念
重点、难点 向量数量积的概念与运算律.
向量的概念源自哪一门学科？我们已经研究了向量的哪些
运算？这些向量的运算表运算结果是什么？
前面学习了向量的加，减，数乘（线性运算）.
其运算结果是向量.
向量能否相乘？如何规定向量的乘法？我们该怎样研究？
（2） ⊥ ⟺ ∙ =0.（直线垂直的重要条件）
（3） ∙ = ∙ = cos.
已知 = , = , 与的夹角 = °，求 ∙ ，
（ + ）2 ， + .
1、本节课学习了哪些知识和内容.
2、结合实例说明向量数量积的几何意义.
感谢聆听！
高一下学期数学人教A版必修第二册6.2.4向量的数量积课件
4
例9 已知||=5, ||=4, 与的夹角θ= , 求· .
解： ·=||||cosθ
1. 已知||=8, ||=6, 与的夹角是60o, 求· .
=5×4cos
=.
=5×4×()
解： ·=||||cosθ
=8×6cos
= .
=8×6×
例10已知||=12, ||=9, ·=-54, 求与的夹角θ.
在上的投影向量是什么？
13
3. 已知|=6, 单位向量, 当向量, 夹角θ分别等于45o, 90o, 135o时, 求向量在向量上的投影向量。
解：当θ = 45o时, 在向量上的投影向量为
= 6× = ;
当θ = 90o时, 在向量上的投影向量为
= 6× =;
当θ = 135o时, 在向量上的投影向量为
3. 向量的投影
如图6.2-20(1),设与是两个非零向量, , ,
过的起点A和终点B, 分别作所在直线的垂线, 垂足分别为A1, B1, 得到,
我们称上述变换为向量向向量投影, 叫做向量在向量上的投影向量.
A
B
C
D
图6.2-20(1)
A1
B1
过起点和终点，分别作所在直线的垂线，则以的起点垂足为起点，终点垂足为终点的向量为在上的投影向量
已知两个非零向量与, 它们的夹角为θ, 我们把数量cosθ叫做向量与数量积(或内积),
.
注意：1. ·不能写成或× .
记作·, 即
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
2.两个向量的数量积是一个数量, 这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关.
·0
3.两个向量的夹角范围[0，π]
θ
O
例9 已知||=5, ||=4, 与的夹角θ= , 求· .
解： ·=||||cosθ
1. 已知||=8, ||=6, 与的夹角是60o, 求· .
=5×4cos
=.
=5×4×()
解： ·=||||cosθ
=8×6cos
= .
=8×6×
例10已知||=12, ||=9, ·=-54, 求与的夹角θ.
在上的投影向量是什么？
13
3. 已知|=6, 单位向量, 当向量, 夹角θ分别等于45o, 90o, 135o时, 求向量在向量上的投影向量。
解：当θ = 45o时, 在向量上的投影向量为
= 6× = ;
当θ = 90o时, 在向量上的投影向量为
= 6× =;
当θ = 135o时, 在向量上的投影向量为
3. 向量的投影
如图6.2-20(1),设与是两个非零向量, , ,
过的起点A和终点B, 分别作所在直线的垂线, 垂足分别为A1, B1, 得到,
我们称上述变换为向量向向量投影, 叫做向量在向量上的投影向量.
A
B
C
D
图6.2-20(1)
A1
B1
过起点和终点，分别作所在直线的垂线，则以的起点垂足为起点，终点垂足为终点的向量为在上的投影向量
已知两个非零向量与, 它们的夹角为θ, 我们把数量cosθ叫做向量与数量积(或内积),
.
注意：1. ·不能写成或× .
记作·, 即
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
2.两个向量的数量积是一个数量, 这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关.
·0
3.两个向量的夹角范围[0，π]
θ
O
高一下学期数学人教A版必修第二册6.2.4向量的数量积课件
6.2.4 向量的数量积（1）
思考 前面我们学习了向量的加法、减法运算. 类比数的运算，出现了一个 自然的问题：向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？
一个物体在力F的作用下产生位移s，那么F所做的功为
F
W=|F||s|cosθ (其中θ是F与s的夹角)
s
功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定. 这给我们一种启示，能 否把“功”看成是两个向量“相乘”的结果呢？受此启示，我们引入向量“数 量积”的概念.
3. 投影向量
如图示,设a, b是两个非零向量，AB a，CD b，过 AB 的起点A和终点B 分别
作CD 所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量a向
向量b投影, A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量.
B
a
A
M
a
C A1
b
B1 D
O
b M1 N
若在平面内任取一点O,作OM a,ON b.过点M 作直线ON 的垂线,垂足为 M1,则 OM1就是向量a 在向量b上的投影向量.
探究如图,设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为 ,
那么OM1与e ,a , 之间有何关系？
O
显然，OM1与e共线,于是OM1 e.
M
a
b M1 N
如图(1),当为锐角时 如图(2),当为直角时
如图(3),当为钝角时
M
a
O
b M1
N
பைடு நூலகம்
图(1)
M
a
O
M1
b
N
图(2)
M
a
b
M1
O
N
图(3)
| OM1 || a | cos ∴ OM1 | a | cos e
思考 前面我们学习了向量的加法、减法运算. 类比数的运算，出现了一个 自然的问题：向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？
一个物体在力F的作用下产生位移s，那么F所做的功为
F
W=|F||s|cosθ (其中θ是F与s的夹角)
s
功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定. 这给我们一种启示，能 否把“功”看成是两个向量“相乘”的结果呢？受此启示，我们引入向量“数 量积”的概念.
3. 投影向量
如图示,设a, b是两个非零向量，AB a，CD b，过 AB 的起点A和终点B 分别
作CD 所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量a向
向量b投影, A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量.
B
a
A
M
a
C A1
b
B1 D
O
b M1 N
若在平面内任取一点O,作OM a,ON b.过点M 作直线ON 的垂线,垂足为 M1,则 OM1就是向量a 在向量b上的投影向量.
探究如图,设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为 ,
那么OM1与e ,a , 之间有何关系？
O
显然，OM1与e共线,于是OM1 e.
M
a
b M1 N
如图(1),当为锐角时 如图(2),当为直角时
如图(3),当为钝角时
M
a
O
b M1
N
பைடு நூலகம்
图(1)
M
a
O
M1
b
N
图(2)
M
a
b
M1
O
N
图(3)
| OM1 || a | cos ∴ OM1 | a | cos e
6.2.4向量的数量积第1课时向量的数量积的物理背景和数量积课件-人教A版高中数学必修第二册
课堂小结：
1、向量的数量积的定义 已知两个非零向量 a 与 b ，它们的夹角为θ，我们 把数量 a b cos 叫做 a与 b 的数量（或内积,点 乘），即 a • b a b cos
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即
0．
课堂小结：
4、向量数量积的性质 设a,b都是非零向量,则 1)a b a b 0 2）当a, b同向时a b | a || b |；
说明：
（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹 角决定.
（2） a ·b中间的“ · ”在向量的运算中不能省略，也不能写
成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算（外积）．
（3） 在运用数量积公式解题时，一定要注意两向 量夹角的范围是 [ 0°，180°]．
思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？
M
a
O
b M1 N
OM1叫做向量a 在向量 b 上的投影向量
探究：如图，设与 b 方向相同的单位向量为 e ， a 与 b 的夹角为 ， 那么OM1 与 e, a, 之间有怎样的关系？
M
a
设OM1 e
O
当 为锐角时， | OM1 || a | cos
b M1
N
所以，OM1 | OM1 | e | a | cose
人教202XA版必修 第二册
第六章 平面向量及其应用 6.2.4 向量的数量积
第1课时 向量的数量积的物 理背景和数量积
复习回顾
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长 度和方向规定如下： (1) |λa|=|λ| |a| (2) 当λ>0时,λa 的方向与a方向相同；
当λ<0时,λa 的方向与a方向相反；
高一下学期数学人教A版必修第二册6.2.4平面向量的数量积课件
M
显然，OM1 与e 共线，于是 OM1 e M1 N
当θ为锐角时， OM1 与e方向相同， OA1 a cos所以
OM1 OM1 e a cos e
当θ为直角时，λ=0，所以
OM1
0
a
cos
2
；e
二、向量的投影
当θ为钝角时，OM1 与e方向相反，所以 OM1 a cosMOM1 a cosπ MOM1 = a cos
规定：零向量与任一向量的数量积为0．
一、向量数量积的概念
注意： （1）两个非零向量的数量积是个数量，而不是向量。 （2）符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省 略，也不能用“×”代替。
向量数量积的取值情况：
当0≤θ＜π2 时，cosθ＞0，从而a·b>0； 当 π2＜θ≤π时，cosθ<0，从而a·b<0．
一、向量数量积的概念
例1
已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=
2π 3
，求a·b．
解：a·b=|a||b|cosθ=5×4×
cos
2π 3
=5×4×(-
1 2
)=-10．
例2 设|a|=12，|b|=9，a·b=-54 2 ，求a与 b的夹 角．
解：由a·b=|a||b|cosθ，得cosθ=
ab ab
54 2 = 12 9
2 2
．
2π
因为θ∈[0，π] ，所以θ= 3 ．
二、向量的投影
向量的投影：设a，b是两个非零向量，如图，在平面内任取
一点O，作 OA a ，OB b，过点B作直线OA的垂线，垂足为
B1.我们把 OB1 叫做向量a在b上的投影向量（projection）．
量a与b的夹角．记作<a,b>
显然，OM1 与e 共线，于是 OM1 e M1 N
当θ为锐角时， OM1 与e方向相同， OA1 a cos所以
OM1 OM1 e a cos e
当θ为直角时，λ=0，所以
OM1
0
a
cos
2
；e
二、向量的投影
当θ为钝角时，OM1 与e方向相反，所以 OM1 a cosMOM1 a cosπ MOM1 = a cos
规定：零向量与任一向量的数量积为0．
一、向量数量积的概念
注意： （1）两个非零向量的数量积是个数量，而不是向量。 （2）符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省 略，也不能用“×”代替。
向量数量积的取值情况：
当0≤θ＜π2 时，cosθ＞0，从而a·b>0； 当 π2＜θ≤π时，cosθ<0，从而a·b<0．
一、向量数量积的概念
例1
已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=
2π 3
，求a·b．
解：a·b=|a||b|cosθ=5×4×
cos
2π 3
=5×4×(-
1 2
)=-10．
例2 设|a|=12，|b|=9，a·b=-54 2 ，求a与 b的夹 角．
解：由a·b=|a||b|cosθ，得cosθ=
ab ab
54 2 = 12 9
2 2
．
2π
因为θ∈[0，π] ，所以θ= 3 ．
二、向量的投影
向量的投影：设a，b是两个非零向量，如图，在平面内任取
一点O，作 OA a ，OB b，过点B作直线OA的垂线，垂足为
B1.我们把 OB1 叫做向量a在b上的投影向量（projection）．
量a与b的夹角．记作<a,b>
向量的数量积 课件——高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
3.平面向量数量积的运算性质
a b a b cos
设 a 与 b 都是非零向量，他们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则：
e=
1、a·e=e·a= |a|cosθ
||
2、a b a b 0
3、当a与b同向时， |a·
b|=|a||b|
当a与b反向时， |a·
b|= -|a||b|
练习（第22页）
1. 已知 a 1, b 2, c 3, 向量a与b的夹角为 , 向量b与c的夹角为 ,
6
4
计算： (1) (a b)c;
(2) a(b c )
3
(1) a b a b cos 1 2
3, (a b )c 3 c;
6
→ →
(3)BC·AC.
→ →
∵BC与AC的夹角为 60°，
1 1
→ → → →
∴BC·AC＝|BC||AC|cos 60°＝1×1×2＝2.
步步高P11
跟踪训练2
→ →
→ →
(1)在等腰 Rt△ABC 中，AB＝BC＝4，则AB·BC＝_____，BC
·CA＝
0
→ →
－16
______，CA
2
a a b cos 60 6b
2
1
6 6 4 6 42 72
2
2
2
(2) | a b | (a b) (a b)
2
a 2a b b
2
2
2
a 2 | a || b | cos 60 b 2 19