计算方法 数值积分 插值型积分
数值分析-第4章 数值积分和数值微分
A0+A1=2 A0x0+A1x1=0 A0x02+A1x12=2/3 A0x03+A1x13=0
A0 A1 1 解得: 1 x 0 x1 3
求积公式为
1 1 1 f ( x)dx f ( ) f ( ) 3 3
x f(x)
数值分析
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
1
一、数值积分的基本概念 求积节点 数值积分定义如下：是离散点上的函数值的线性组合
I [ f ] f ( x)dx I n [ f ] Ai f ( xi )
b a i 0 n
称为数值积分公式
称为求积系数,与f (x)无关,与积分区间和求积节点有关
b a
Rn ( x) dx
定理：形如 Ak f ( xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度
A 该公式为插值型（即： k a l k ( x)dx ）
数值分析
b
5
例1 试确定参数A0,A1,A2,使求积公式
1 f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
证明 因为Simpson公式对不高于三次的多项式精确成立。即
b
a
p 2 ( x)dx
ba ab [ p 2 (a) 4 p 2 ( ) p 2 (b)] 6 2
构造三次多项式H3(x),使满足 H3(a)=(a) ,H3(b)=(b),
H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), 这时插值误差为
1
积分的数值方法
b b
作为平均高度 f() 的近似值而获得的一种数值 积分方法。
中矩形公式是把 [a,b] 的中点处的函数值： a b f ( ) 2 作为平均高度f()的近似值而获得的一种数值积分 方法。 Simpson公式是以函数 f(x) 在 a, b, (a+b)/2 这三点的 函数值 f(a), f(b),
Pn ( x) f ( xk )lk ( x)
k 0 n
式中 这里
( x) lk ( x ) ( x xk )( xk ) j 0 xk x j
n j k
x xj
( x) ( x x0 )(x x1 )( x xn )
的近似值，即:
多项式Pn(x)易于求积,所以可取
b
y=f(x)
图3-1 数值积分 的几何意义
a
b
建立数值积分公式的途径比较多, 其中最常用的
有两种：
（1）由积分中值定理可知，对于连续函数f(x)，在
积分区间[a,b]内存在一点ξ，使得:
因而
b
a
f ( x)dx (b a) f ( )
a, b
即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为(b-a)，高为
R( f ) f ( x) P( x)dx
b a
b
a
f ( n 1) ( ) ( x)dx (n 1)!
其中
a, b
当f(x)是次数不高于n的多项式时，有 f ( n1) ( x) 0 R ( f ) =0,求积公式(3-10)能成为准确的等式。由于 闭区间[a,b]上的连续函数可用多项式逼近，所以
x4
ex
6.40 6.389
数值积分-计算方法
(k=0,1,…,n) 作代换x=a+th带入上式，变为： 其中：
(k=0,1,…,n) （1-1） 这个积分是有理多项式积分，它与被积函数f(x)和区间[a,b]无关。
只要确定n就能计算出系数
。 于是得到称为Newton—Cotes公式的求积公式： （1-2） 其中
称为Newton—Cotes系数。如表1所示。 表1 Newton—Cotes系数
§3.1计算n阶求积公式
若有m次代数精度，对(k=0,1,…)应有
而。
§3.2 Gauss求积公式的基本原理
更一般形式： （2-1） 为权函数，设>0，且在[a,b]上可积，构造n阶求积公式：
（2-2） 积分点使得（2-2）式达到2n+1次代数精度，则积分点称为Gauss 点，（2-2）式称为Gauss求积公式。
§2Newton—Cotes公式 §2.1Newton—Cotes公式的推导
当§1.1插值求积公式的插值节点为等距节点时，就得到Newton— Cotes公式。
将区间[a,b]n等分，，n+1个节点为 xk=a+kh (k=0,1,…,n)
在节点上对f(x)的Lagrange插值多项式是：
用Pn(x)代替f(x)构造求积公式： 记
y=(1-1/2*(sin(x)).^2).^(1/2); 在Matlab工作窗口中调用函数：
y2=gauss2('gaussf',0,pi/2) 运行结果为：
y2= 1.3508
第5章 结论
通过以上变成和计算，得到所求的两组积分：
应用Newton—Cotes积分公式所求的结果分别是 y1=1.5078，y2 = 1.3506，而应用Gauss-Legendre方法所求得的结果分别是y1=1.5705 和 y2= 1.3508。单从结果上看，我们也能看出，Newton—Cotes积分公式 和Gauss-Legendre积分公式在精度上的确存在着差异（两者n的取值不 同）。而结果上的差异来源很明显是插值积分在近似替代时产生的，结 合第1章理论依据的内容，Newton-Cotes积分公式的精度最高可达n+1 次，Gauss-Legendre积分公式的精度为2n+1次，由此可知，当n相同 时， Gauss -Legendre积分公式比Newton—Cotes积分公式具有更高的 代数精度。而就本题而言Gauss -Legendre积分公式具有5次代数精度， Newton—Cotes积分公式也具有5次代数精度。因此二者所求积分只存在 微小的差异，结果都比较准确。
计算方法第7章／《数值分析》／清华大学／上海交通大学／西安交通大学
Euler-Maclaurin 公式
å ò Tn - I =
k
c2 j [ f (2 j-1) (b) - f (2 j-1) (a)]h2 j +
b a
P2k ( x) f (2k ) (x)dx
j =1
8
å c2 j
=
(-1)
j +1
1
(2p )2
j
¥ k =1
1 k2j
，|
P2k (x) |£ c2k h2k
同上
ò RS =
b f (4) (x ) (x - a)(x - c)2 (x - b)dx a 4!
=- b - a (b - a )4 f (4) (h) 180 2
5
复化公式及误差分析
由上述误差表达式可知，区间越小，绝对误差越小，复化梯形公式：
将积分区间
n
等分，节点是
xi
=
a
+ ih, h
=
值公式
pn (xk ) = f (xk ) = yk
利用 Lagrange 插
1
å Õ pn (x) =
nn
(
k=0 j=0 j¹k
x xk
- xj - xj
)yk
¬ 做代换 x = a + th,t
=
x-a
å Õ n n t - j
=
(
k =0
j=0
k
-
j )yk
h
j¹k
以 pn (x) 代 f (x) 得
k -1
<e
停止
输出 Tk(k )
»
I
。否则 h
Ü
h 2
插值与数值积分
根据需要，各取所需。
13
用MATLAB作插值计算
1. 拉格朗日插值:自编程序,如名为 lagr.m 的M文件， 第一行为 function y=lagr(x0,y0,x) ; 输入:节点 x0, y0, 插值点 x (均为数组，长度自定义); 输出:插值 y (与 x 同长度数组）. 应用时输入 x0,y0,x 后,运行 y=lagr(x0,y0,x)
2) S ( xi ) = yi (i = 0,1,L n)
4n个待定系数
3) S ( x) ∈ C 2[ x0 , xn ]
ai , bi , ci , di
3） si ( xi ) = si +1( xi ), si′ ( xi ) = si′+1( xi ) si′′( xi ) = si′′+1( xi ) (i = 1,3n’）− 1)
•
end
• end
• s=p*y0(k)+s;
• end
• y(i)=s;
• end
15
用MATLAB作插值计算
以
g
(x)
=
1
1 + x2
,
−5≤ x≤5
为例，作三种插值的比较
用n=11个节 点，m=21 个插值1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000 3.5000 4.0000 4.5000 5.0000
=
1
1 + x2
,
−5≤ x≤5
2
取n=2,4,6,8,10,计 1 .5
1
算Ln(x), 画出图形 0 .5
0
y = 1 /(1 + x 2 ) n=4 n=2
计算方法数值积分_插值型积分
计算方法数值积分_插值型积分
一．概述
插值型积分是数值积分的一项重要方法，它是将要计算的曲面上的积分点根据插值函数或其中一种样条函数，插值成一条直线之后再求解。
插值型积分主要有牛顿-拉夫逊插值内插法、Chebyshev插值内插法、余弦和正弦插值内插法和Hermite插值内插法等，主要用来解决二元函数、多项式、函数的积分。
同时，插值型积分可以用来求解非常复杂的不可积函数，也可以用于求解紧密的积分，可以节省一定的计算时间。
二、牛顿-拉夫逊插值内插法
牛顿-拉夫逊插值内插法是插值型积分中最常用的方法，它通过在给定的多项式基函数上拟合曲线，计算曲线上积分点的函数值，然后把它们拟合到牛顿-拉夫逊插值函数中，最后将插值函数作为定积分的函数，通过求解插值函数的积分来解决问题。
牛顿-拉夫逊插值内插法一般采用牛顿-拉夫逊插值函数，它是基于多项式的函数，由节点上的函数值和其导数值建立插值函数，其积分也可以由插值函数和它的导数求解。
牛顿-拉夫逊插值函数具有以下特点：
1.多项式阶数不受限；
2.插值函数结果是一条曲线；
3.可以非常精确地表示复杂的函数；。
计算方法课程总结心得体会
计算方法课程总结心得体会一、课程简介：本课程是信息与计算科学、数学与应用数学本科专业必修的一门专业基础课.我们需在掌握数学分析、高等代数和常微分方程的基础知识之上，学习本课程•在实际中，数学与科学技术一向有着密切关系并相互影响，科学技术各领域的问题通过建立数学模型与数学产生密切的联系，并以各种形式应用于科学和工程领域.而所建立的这些数学模型，在许多情况下，要获得精确解是十分困难的，甚至是不可能的，这就使得研究各种数学问题的近似解变得非常重要了，“数值计算方法”就是专门研究各种数学问题的近似解的一门课程•通过这门课程的教学，使学生掌握用数值分析方法解决实际问题的算法原理及理论分析，提高我们应用数学知识解决实际问题的能力.二、本课程主要内容包括：误差分析，插值法与拟合，数值积分，数值微分，线性方程组的直接解法和迭代解法，非线性方程求根，矩阵特征值问题计算、常微分方程初值问题数值解法.三、本课程重点难点：1、绝对误差限、相对误差限、有效数字2、基函数、拉格朗日插值多项式、差商、牛顿插值多项式、截断误差3、曲线拟合的最小二乘法（最小二乘法则、法方程组）4、插值型数值积分（公式、积分系数）a） N-C求积公式（梯形公式、Simpson公式、Cotes公式-系数、代数精度、截断误差）b）复合N-C公式（复合梯形公式、复合Simpson公式、收敛阶、截断误差）c）龙贝格算法的计算公式5、非线性方程求根的迭代法收敛性定理牛顿切线法、下山法、正割法（迭代公式、收敛阶）6 高斯消去法、列主元素高斯消去法、LU分解法解线性方程组Jacobi迭代法、S-R迭代法（迭代公式、迭代矩阵、收敛的充要条件、充分条件）矩阵的范数、谱半径、条件数、病态方程组7、欧拉方法（欧拉公式、向后欧拉公式、改进的欧拉公式）四、实际应用我们本学期的计算方法这门学科中，主要介绍了两种数值计算方法即：数值逼近与数值代数。
前面几章讲的关于插值和拟合是属于数值逼近，而后面几章则介绍了非线性方程、解线性方程组、以及最后一章的常微分方程则属于数值代数的部分。
数值分析简述及求解应用
数值分析简述及求解应用摘要：数值分析是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科，本文主要介绍了数值分析的一些求解方法的原理和过程，并应用在电流回路和单晶硅提拉过程中的，进一步体现数值分析的实际应用。
关键字：解方程组插值法牛顿法一、引言随着科学技术的发展，提出了大量复杂的数值计算问题，在建立电子计算机成为数值计算的主要工具以后，它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。
有可靠的理论分析，要有数值实验，并对计算的结果进行误差分析。
数值分析的主要内容包括插值法，函数逼近，曲线拟和，数值积分，数值微分，解线性方程组的直接方法，解线性方程组的迭代法，非线性方程求根，常微分方程的数值解法。
运用数值分析解决问题的过程包括：实际问题→数学建模→数值计算方法→程序设计→上机计算求出结果。
在自然科学研究和工程技术中有许多问题可归结为求解方程组的问题,方程组求解是科学计算中最常遇到的问题。
如在应力分析、电路分析、分子结构、测量学中都会遇到解方程组问题。
在很多广泛应用的数学问题的数值方法中，如三次样条、最小二乘法、微分方程边值问题的差分法与有限元法也都涉及到求解方程组。
在工程中常会遇到求解线性方程组的问题，解线性方程组的方法有直接法和迭代法，直接法就是经过有限步算术运算，可求的线性方程组精确解的方法（若计算过程没有舍入误差），但实际犹如舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得近似解，这类方法是解低阶稠密矩阵方程组级某些大型稀疏矩阵方程组的有效方法。
直接法包括高斯消元法，矩阵三角分解法、追赶法、平方根法。
迭代法就是利用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法。
将方程组的解看作是某极限过程的极限值，且计算这一极限值的每一步是利用前一步所得结果施行相同的演算步骤而进行。
迭代法具有需要计算机的存储单元少，程序设计简单，原始系数矩阵在计算过程始终不变等优点，但存在收敛性级收敛速度问题。
迭代法是解大型稀疏矩阵方程组（尤其是微分方程离散后得到的大型方程组）的重要方法。
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f( a 0 x a 1 x ) a 2 x 2 … a m x m
是准确的，而对于次数为m+1的多项式是不准确的， 则称该求积公式具有m次代数精度。
若求积公式（4.1）的代数精度为n，则其系数A k 应满足:
A 0 A 1 … A n b a A 0 x 0A 1 x 1 …A n x nb 22 a 2
三个求积分公式
构造出一些求积分值的近似公式。
例如分别取：
f(ξ)
f(a) f(b) 2
梯形公y式中的
f(ξ)
f(ξ) f(ab) 2
中矩形y公式中的 f(ξ)
则分别得到如下的梯形公式和中矩形公式。
① 梯形公式
bf(x )d 1(b x a)[ ff((ab ))
a
2
y=f(x)
aa
b bx
用梯形面积代表积分值
➢ 因而需要研究一种新的积分方法：数值解法来建立
积分的近似计算方法。
将积分区间细分,在每一个小区间内用简单函数代替 复杂函数进行积分，这就是数值积分的思想，
用代数插值多项式去代替被积函数f(x)进行积分是本
章讨论数值积分的主要内容。
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机械求积方法
4.1 数值积分概述
4.1.1 数值积分的基本思想
bf(x) d b x af(a f)(b)
a
2
取f(x)=1，显然上式两端相等。
取f(x)=x, 左 b x d 1 (2 x b a 2 ) b a ( a b 右 )
a
2
2
取f(x)=x2 , 左 b x 2 d 1 x (3 b a 3 ) b a (2 a b 2 ) 右
式。
例1
给定插值节点
x01 4,x1
1 2,x2
3 4
为定积分
1
f(x)dx
0
构造插值求积公式。
解：以这三点为插值节点的Lagrange插值基函数为
l0 ( x x ) 1 2 x 3 4 / 1 4 1 2 1 4 3 4 8 x 1 2 x 3 4 l 1 ( x x ) 1 4 x 3 4 / 1 2 1 4 1 2 3 4 1 x 6 1 4 x 3 4 l 2 ( x x ) 1 4 x 1 2 / 3 4 1 4 3 4 1 2 8 x 1 4 x 1 2
函数值的加权平均值作为平均高度f(). Home
以简单函数近似逼近被积函数方法 插值型求积公式
第2种：使用简单函数近似代替被积函数的方法
先用某个简单函数 (x)近似逼近f(x), 用(x) 代替
原被积函数f(x)，即
bf(x)dxb(x)dx
a
a
以此构造数值算法。
要求：
• 函数(x) 应该对f(x)有充分的逼近程度,并且容
1 0l0 (x)d 1 08 x1 2 x3 4 d x3 2 1 0l1 (x )1 0 d ( 1 x 6 x) 1 4 x3 4 d x -1 3 1 0l2 (x)d 1 08 x x1 4 x1 2 d x3 2
易计算其积分。
• 通常，将(x) 选取为f(x)的插值多项式, 这样
f(x)的积分就可以用其插值多项式的积分来近 似代替。
4.1.2 插值求积公式
设已知f(x)在节点 x k (k 0,… 1 ,n ,有) 函数值
f(xk ) ,作n次拉格朗日插值多项式 n P(x) f(xk)lk(x) k0
系数的值与 1）积分区间[a,b]有关， 2）节点的选取有关； 3）和具体的f(x)无关
解之得： A 4/B 9 4 , ,/3 C 20/9
所求公式为： 4f(x )1 d 4xf (1 02 ) f2 (1 0)f
0
9
插值型求积公式
例4 试确定求积系数A, B, C，使得
1f(x )A d x f 1( )Bf (C 0f )(1 1
0
2 f(x )1 d fx ( 04)f (f1()2)
0
3
计算其积分结果并与准确值进行比较。
解: 梯形公式和辛卜生的计算结果与准确值比 较如下表所示
f(x) 1 x
x2
x3
x4
ex
定积分 准确值
2 2 2.67 4 6.40 6.389
梯形公式 计算值
2
2
4
8
16 8.389
辛卜生公 式计算值
② 中矩形公式
bf(x )(d b a x)af(b)
a
2
y
y=f(x)
aa (a+b)/2b xb
用区间中点的函数值为高的矩形面积代表积分值
③ Simpson公式
bf(x 1 )(d b a x)[4 fa (f a b ()) f(b)
a
6
2
y y=f(x)
a
(a+b)/2
b
Simpson公式是以函数f(x)在a, b, (a+b)/2这三点的
在实际计算中经常遇到以下三种情况：
(1) 被积函数f(x)没有用初等函数的有限 形式表示的原
函数F(x)，例如：
1sin dxx 和1ex2dx
0x
0
则无法应用Newton-Leibnitz公式。
(2) 被积函数f(x)的原函数能用初等函数表示， 但表
达式太复杂，例如 f(x)x2 22 x3的原函数：
A 0 x n 0A 1 x 1 n … A n x n nb n n 1 1 a n 1
在公式4.1中， 令f(x)=1, x, x2, x3,…,xn
1
其系数
x
0
矩阵
x
2 0
x
n 0
1 …
x 1 …
x
2 1
…
…
x
n 1
…
1
x
n
x
2 n
当
xk(k 0, …1 ,n,)
互异时，有唯一
注k( 意 k x ) l1而 , 当 k的 j 时 k(x j)候 0，l
从而
n
Ajlk(xj) Ak
(**)
j0
所以由（*）和(**)知：Ak
插值型求积公式 。
b a
lk(x)dx,即求积公式为
重要结论： ➢ 梯形公式具有1次代数精度； ➢ 辛卜生公式有3次代数精度（同学们自己验证）。
下面以梯形公式为例进行验证
而对x4 不成立。因此，该求积公式有3次代数精度。
问题：n+1个节点的插值型求积公式的代数精度 究竟有多高？ 回答：n+1个节点的插值求积公式保证了至少有 n次代数精度。
结论：n+1个节点的插值型求积公式的代数精度 至少为n，但是有可能比n还大？
又f(x)P(x R ) (，x当)f(x)为不高于n次的多项式
时, f(x)=P(x), 其余项R(f)=0。因而这时求积公式至少
具有n次代数精度。
充分性： 若求积公式至少具有n次代数精度, 则对n次多项式
lk(x)
n j0
x xj xk xj
(k 0 , 1 ,n,)
精确成立，即
jk
其中
F ( 1 x 2 x 2 2 ) 3 x 3 x 2 2 3 x 9 ln 2 x x 2 (2 2 3 x )
4
16 1 2 6
(3) 被积函数f(x)没有具体的解析表达式, 其函数 关系由表格或图形表示。
➢ 对于以上情况，通过Newton-Leibniz公式求原函
数计算积分的准确值都是十分困难的。
具有最高的代数精度。
解:分别取f(x)=1, x, x2 ，使求积公式准确成立,得:
A B C 2
A C 0
A
C 2
A=1/3, B=4/3, C=1/3
3
1 1f(x )3 1 f d ( 1 x )3 4f( 0 3 1 f)(1 S求im积)p公so式n
可验证，该公式对于f(x)= x3 也成立(意外收获)，
4.0 引言 若函数f(x)在区间[a, b]上连续且其原函数为F(x), 则可用Newton-Leibnitz公式:
b
af ( x) dxF( b)F( a)
求定积分的值。
➢ 评论：Newton-Leibnitz公式 无论在理论上还 是在解决实际问题上都起了很大作用，但它并不 能完全解决定积分的计算问题。
a
3
2
所以梯形公式只有1次代数精度。
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插值型求积公式的例子
例3 试确定一个至少具有2次代数精度的公式
4
f(x) dA xf(0B)f( 1C)f(3)
0
解: 要使公式具有2次代数精度，则对f(x)=1, x, x2 ，
求积公式准确成立，即得如下方程组。
A B C 4 B 3C 8 B 9C 64/3
式为插值（型）求积公式。
记(4.1)的余项为 R(f)，由插值余项定理得
R( f)bf(x P ) (d xx ) bf(n 1() ξω ) (x)
a
a(n 1)!
其中 ξ [a,b]
注意：当f(x)是次数不高于n的多项式时， f(n1)(x) 0
R(f) 0 因此，求积公式(4.1)成为准确的等
2
2
2.67
4
6.67 6.421
梯形公式 辛卜生公式
2f(x)d fx(0)f(2)
0
2 f(x )1 d fx ( 04)f (f1()2)
0
3
可以看出，当f(x)是 x2 , x3 , x4 时,辛卜生公式比
梯形公式更精确。
同学们，自己验证