Ch12：数值计算方法之数值积分

• 微积分学中我们曾研究过，定积分保持函数的线性
关系不变，它的含义是，若f(x),g(x)都是[a,b]上的可 积函数，则对任意实数u,v,我们有u·f(x)+v·g(x)也是 [a,b]上的可积函数，而且
b
b
b
a [u f ( x) v g( x)]dx u a f ( x)dx v a g( x)dx
• 假如x0,x1,…,xn为[a,b]的一个等份分划那么求积公式
(1)中的w0,w1,…,wn的选取仅仅只与n有关，从而可以 简化对求积公式的研究。
• 结论，只要给出了一个如何确定（1）式中的诸
w0,w1,…,wn的机制，我们就可以得到相应的对任何 被积函数都有效的计算定积分方法。
2.求积公式的性质
b
kn
f ( x)dx
a
wk f (xk )
k0
（1）
其中w0,w1,…,wn仅与x0,x1,…,xn有关而与被积函数f(x) 无关。我们把这样的公式称为求积公式，也称为机
械求积公式。
1．术语和记号
• 为了计算f(x) 在区间[a,b]上的定积分近似值，我们通
常的做法是，把积分区间[a,b]划分为n等分，记 h=(b-a)/n,x0=a,xk=a+kh,k=0,1,2,…,n,称x0,x1,…,xn为 [a,b]的一个等份分划。
4．截断误差
• 在求积公式中，我们使用的是近似等号，这是因为，对于一 般的被积函数来说，利用这些公式计算所得的结果除了舍入 误差外，还有截断误差，因为定积分是用极限来定义的。
• 有时为了进行误差分析，我们可以把上面的（1）式写成
b
kn
f ( x)dx
a
wk
f (x k
)
R[
f
]
k 0
（1’）
等函数，在这种情况下并不能利用牛顿-来布尼兹公 式进行计算。
• 本章的主要任务是寻找求数值积分的最有效的计算
方法，最后建议的方法是变步长复化辛卜生加速算 法，为此，需要经过一个曲折的分析过程。
12.1 求积公式与代数精度的概念
• 由定积分的定义可知，连续函数f(x) 在区间[a,b]上的
定积分近似值可以表示为[a,b]内的一些点x0,x1,…,xn 处的函数值f(x0),f(x1),…,f(xn)的加权和或线性组合， 即
• 设f(x)为被积函数，[a,b]为积分区间，x0,x1,…,xn为
[a,b]内的n+1个互异的点，记Ln(x)为相应的拉格朗 日插值多项式，那么我们有
f(x)=Ln(x)+Rn(x)
两
边
同
时
积
分
得
： b a
f
( x)dx
b
a
Ln ( x)dx
b
a
Rn ( x)dx
如果我们取
b
b
a f ( x)dx a Ln ( x)dx
• 不难验证，求积公式也保持函数的线性关系不变，
即
kn
wk [u f ( xk ) v g( xk )]
k0
kn
kn
u wk f ( xk ) v wk g( xk )
k0
k0
3.几种常见的求积公式
• 在后面的讨论中，我们将经常用到下面一些非常简单的求积 公式，他们是中点公式、梯形公式和辛卜生公式。
其中R[f]表示的就是截断误差。
• 考察前面给出的三个求积公式，如果被积函数是线性函数， 那么利用中点公式或梯形公式所得到的结果就是准确值，否 则一般不是。对于一般的非线性函数，感觉上辛卜生公式更 好一些。
• 为了刻划求积公式对一般的被积函数的精确度，我们引进代 数精度的概念。
5.代数精度的概念
• 定义：一个求积公式
(1) 中点公式
b
a
f
( x)dx
（b
a）
f
(a
2
b)
(2) 梯形公式
b
a
f ( x)dx
（b a）[ 1 2
f (a)
1 2
f (b)]
辛卜生公式
b
a
f ( x)dx
（b a）[ 1 6
f (a)
4 6
f (a b) 2
1 6
f (b)]
• 中点公式我是我们课程中强调的一个名词，与求积公式（1） 对比分析，可以认为它是这样一种机制：把积分区间分为2 等分，取w0=w2=0，w1=1所形成的求积公式。从几何上看， 它实际上是取区间中点的函数值与区间长的积作为定积分值， 类似于用中位线乘以高来计算梯形的面积。
b
kn
f ( x)dx
a
wk f (xk )
k0
如果对所有的次数不超过m的多项式严格相等，而对某些 m+1次多项式不相等，则称该公式具有代数精度m，或该公 式的代数精度为m。
• 利用求积公式的线性性，我们不难证明下面的结论。
定理：如果求积公式对1，x,…,xm严格相等，而对xm+1不相 等，则该公式的代数精度为m。
• 作为课外练习，鼓励大家给出完整证明。
6.基本结论
• 我们可以利用上面的定理所给出的方法证明辛卜生
公式的代数精度是3，而中点公式和梯形公式的代数 精度是1。
• 现在我们可以对这三个公式作一个简单的评价：
• 中点公式和梯形公式的代数精度虽然都是1，但中点公式
只计算一个点的函数值，而梯形公式却要计算两个点处 的函数值，所以中点公式优于梯形公式。
那
么
截
段
误
差
为
： b a
Rn
(
x
)dx
2.利用插值多项式导出求积公式
பைடு நூலகம்
利用 以及 可得 亦即 记 则有
b
a
f ( x)dx
b
a
L n
(
x
)dx
kn
L (x) n
[lk ( x)
f
( x )] k
k0
b
a
f ( x)dx
b
a
kn
[l
k
(
x
)
f ( x )]dx k
k0
b
a
f ( x)dx
kn
[
b
a
l
• 与梯形公式相比，辛卜生公式只多计算一个点的函数值，
但代数精度却增加到3，显然辛卜生公式更为优越。
10．2 牛顿-柯特斯求积公式
• 牛顿-柯特斯求积公式就是利用Lagrange插值多项式
导出的求积公式。
• 把一般的函数的积分转化为相应的插值多项式函数
的积分也是我们学习插值法的基本目的之一。
1.利用插值多项式近似替代被积函数
k
(
x
)dx
]
f (x ) k
k0
w k
b
a
l
k
(
x
)dx
k 0,1,..., n
第12章：数值积分与数值微分
• 设f(x)是[a,b]上连续可积的实函数，求f(x)在[a,b]上
的数值积分也就是求f(x)在[a,b]上的定积分的数值解。
• 即使我们能找到f(x)的一个原函数F(x)的解析形式,并
利用牛顿-来布尼兹公式进行计算，在许多情况下这 也是非常麻烦的。
• 问题的关键在于，初等函数的原函数不一定还是初