计算方法数值积分资料
数值积分-计算方法
(k=0,1,…,n) 作代换x=a+th带入上式，变为： 其中：
(k=0,1,…,n) （1-1） 这个积分是有理多项式积分，它与被积函数f(x)和区间[a,b]无关。
只要确定n就能计算出系数
。 于是得到称为Newton—Cotes公式的求积公式： （1-2） 其中
称为Newton—Cotes系数。如表1所示。 表1 Newton—Cotes系数
§3.1计算n阶求积公式
若有m次代数精度，对(k=0,1,…)应有
而。
§3.2 Gauss求积公式的基本原理
更一般形式： （2-1） 为权函数，设>0，且在[a,b]上可积，构造n阶求积公式：
（2-2） 积分点使得（2-2）式达到2n+1次代数精度，则积分点称为Gauss 点，（2-2）式称为Gauss求积公式。
§2Newton—Cotes公式 §2.1Newton—Cotes公式的推导
当§1.1插值求积公式的插值节点为等距节点时，就得到Newton— Cotes公式。
将区间[a,b]n等分，，n+1个节点为 xk=a+kh (k=0,1,…,n)
在节点上对f(x)的Lagrange插值多项式是：
用Pn(x)代替f(x)构造求积公式： 记
y=(1-1/2*(sin(x)).^2).^(1/2); 在Matlab工作窗口中调用函数：
y2=gauss2('gaussf',0,pi/2) 运行结果为：
y2= 1.3508
第5章 结论
通过以上变成和计算，得到所求的两组积分：
应用Newton—Cotes积分公式所求的结果分别是 y1=1.5078，y2 = 1.3506，而应用Gauss-Legendre方法所求得的结果分别是y1=1.5705 和 y2= 1.3508。单从结果上看，我们也能看出，Newton—Cotes积分公式 和Gauss-Legendre积分公式在精度上的确存在着差异（两者n的取值不 同）。而结果上的差异来源很明显是插值积分在近似替代时产生的，结 合第1章理论依据的内容，Newton-Cotes积分公式的精度最高可达n+1 次，Gauss-Legendre积分公式的精度为2n+1次，由此可知，当n相同 时， Gauss -Legendre积分公式比Newton—Cotes积分公式具有更高的 代数精度。而就本题而言Gauss -Legendre积分公式具有5次代数精度， Newton—Cotes积分公式也具有5次代数精度。因此二者所求积分只存在 微小的差异，结果都比较准确。
数值计算方法之数值积分
数值计算方法之数值积分数值积分是数值计算中的一个重要内容，它是对函数在其中一区间上的积分进行数值近似计算的方法。
数值积分在计算机科学、自然科学以及工程领域都有广泛的应用，如求解不定积分、概率密度函数的积分、求解微分方程初值问题等。
数值积分的基本思想是将积分区间划分为若干小区间，然后对每个小区间进行数值近似计算，再将结果相加得到近似的积分值。
常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法、辛普森法等。
首先介绍矩形法。
矩形法是将积分区间划分为若干个小区间，然后用每个小区间的函数值与该小区间的宽度相乘得到每个小矩形的面积，最后将所有小矩形的面积相加得到近似的积分值。
矩形法分为左矩形法、右矩形法和中矩形法三种。
左矩形法即用每个小区间的最左端点的函数值进行计算，右矩形法用最右端点的函数值进行计算，中矩形法用每个小区间中点的函数值进行计算。
梯形法是将积分区间划分为若干个小区间，然后用每个小区间两个端点的函数值与该小区间的宽度相乘，再将每个小梯形的面积相加得到近似的积分值。
梯形法相较于矩形法更为精确，但需要更多的计算量。
辛普森法是将积分区间划分为若干个小区间，然后用每个小区间的三个点的函数值进行插值，将插值函数进行积分得到该小区间的近似积分值，最后将所有小区间的近似积分值相加得到近似的积分值。
辛普森法相比矩形法和梯形法更为精确，但计算量更大。
除了以上几种基本的数值积分方法外，还有龙贝格积分法、高斯积分法等更为精确的数值积分方法。
这些方法的原理和步骤略有不同，但都是通过将积分区间分割为若干小区间，然后进行数值近似计算得到积分值的。
总结起来，数值积分是通过将积分区间分割为若干小区间，然后对每个小区间进行数值近似计算得到积分值的方法。
常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法、辛普森法等。
数值积分在计算机科学、自然科学以及工程领域均有广泛应用，是数值计算中的重要内容。
数值计算中的数值积分方法
数值计算中的数值积分方法数值计算是应用数学的一个分支，它主要涉及数值计算方法、算法和数值实验。
其中，数值积分作为数值计算中的一个重要环节，其作用在于将连续函数转化为离散的数据，从而方便计算机进行计算和处理。
本文将介绍数值积分的概念、方法和应用。
一、数值积分的概念数值积分是利用数值方法对定积分进行估计的过程。
在数值积分中，积分被近似为离散区间的和，从而可以被计算机进行处理。
数值积分中，被积函数的精确的积分值是无法计算的，而只能通过数值方法进行估计。
数值积分的目的是通过选取合适的算法和参数来尽可能减小误差，达到精度和效率的平衡。
二、数值积分的方法1. 矩形法矩形法是数学上最简单的数值积分方法之一。
矩形法的算法是将要积分的区间分为若干个小区间，然后计算每个小区间中矩形的面积，最后将所有小矩形的面积加起来得到近似的积分值。
矩形法的精度一般较低，适用于计算不需要高精度的函数积分。
2. 梯形法梯形法是数值积分中常用的一种方法，其原理是将区间分为若干个梯形，并计算每个梯形的面积，最后将所有梯形的面积加起来得到近似的积分值。
梯形法的计算精度较高，但其计算量较大。
3. 辛普森法辛普森法是数值积分中一种高精度的方法，它是利用二次多项式去估计原函数。
辛普森法的原理是将区间分为若干等分小区间，并计算每个小区间中的二次多项式的积分值，最后将所有小区间的积分值加起来得到近似的积分值。
辛普森法的优点是其精度高，计算量相对较小。
三、数值积分的应用数值积分方法在各个领域都有广泛的应用。
例如，它可以被用于工程学、物理学和金融学中的数值计算。
在工程学中，数值积分被用于数值模拟和计算机辅助设计中。
在物理学中，数值积分则被用于数值求解微分方程和计算机模拟等领域。
在金融学中，数值积分则被应用于计算复杂的金融模型和风险分析。
总之，数值积分方法是数学和计算机科学中非常重要的一部分。
通过不同的数值积分方法来近似计算定积分，我们能够利用计算机更加高效地进行数学计算和数据分析，从而使得数学和物理等学科的研究者能够更加快速地得出准确的结果。
数值积分使用数值方法计算定积分
数值积分使用数值方法计算定积分定积分是数学中的重要概念，用于求解曲线下面的面积。
在某些情况下，定积分无法通过解析解来求解，此时可以使用数值方法来进行近似计算。
数值积分是一种广泛应用的技术，本文将介绍数值积分的基本原理以及常见的数值方法。
一、数值积分的基本原理数值积分的基本原理是将曲线下的面积近似为若干个矩形的面积之和。
假设要计算函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，首先将[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的宽度为Δx=(b-a)/n。
然后，在每个小区间上选择一个代表点xi，计算其对应的函数值f(xi)，然后将所有矩形的面积相加，即可得到近似的定积分值。
二、矩形法矩形法是数值积分中最简单的方法之一。
它将每个小区间上的函数值看作是一个常数，然后通过计算矩形的面积来近似定积分的值。
矩形法主要有两种形式：左矩形法和右矩形法。
1. 左矩形法左矩形法使用小区间左端点的函数值来代表整个小区间上的函数值。
即近似矩形的面积为f(xi) * Δx，其中xi为小区间的左端点。
然后将所有矩形的面积相加，得到近似的定积分值。
2. 右矩形法右矩形法与左矩形法相似，仅仅是使用小区间右端点的函数值来代表整个小区间上的函数值。
近似矩形的面积为f(xi + Δx) * Δx，其中xi为小区间的左端点。
同样地，将所有矩形的面积相加，得到近似的定积分值。
三、梯形法梯形法是比矩形法更精确的数值积分方法。
它通过使用每个小区间的两个端点处函数值的平均值来代表整个小区间上的函数值，并计算梯形的面积来近似定积分的值。
梯形法的计算公式为：(f(xi) + f(xi + Δx)) * Δx / 2，其中xi为小区间的左端点。
将所有梯形的面积相加，得到近似的定积分值。
四、辛普森法辛普森法是一种更加高阶的数值积分方法，它使用三个点对应的函数值来逼近曲线。
将每个小区间看作一个二次函数，可以通过拟合这个二次函数来近似定积分的值。
辛普森法的计算公式为：(f(xi) + 4 * f(xi + Δx/2) + f(xi + Δx)) * Δx / 6，其中xi为小区间的左端点。
数值积分方法比较论文素材
数值积分方法比较论文素材在数值计算领域，数值积分方法是一种常用的数值计算技术。
它通过将函数转化为离散的数值点来近似计算函数的积分值。
数值积分方法有多种不同的算法和技巧，各有优劣之处。
本文将介绍几种常见的数值积分方法，并对它们进行比较分析。
一、矩形法（Rectangle Method）矩形法是最简单的数值积分方法之一。
它的基本思想是将积分区间分为若干个小矩形，然后计算这些小矩形的面积之和作为函数积分的近似值。
具体的计算公式如下：\[ \int_a^b f(x)dx \approx \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x \]其中，n表示分割的矩形数量，x_i是每个矩形的横坐标，Δx是每个矩形的宽度。
矩形法的主要优点是计算简单、直观，适用于函数变化较平缓的情况。
然而，由于它只利用了函数在各个矩形端点的函数值来进行近似，所以精度较低，对于曲线变化剧烈的函数不适用。
二、梯形法（Trapezoid Method）梯形法是另一种常用的数值积分方法。
它的思想是将积分区间分割为若干个小梯形，计算这些梯形的面积之和作为函数积分的近似值。
具体的计算公式如下：\[ \int_a^b f(x)dx \approx \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n (f(x_{i-1})+f(x_i)) \Delta x \]梯形法相对于矩形法的优势在于，它不仅利用了函数在端点的取值，还考虑了函数在每个小梯形的中点的取值。
因此，梯形法的精度比矩形法更高，适用于更多种类的函数。
三、辛普森法（Simpson's Method）辛普森法是一种更为精确的积分方法，它通过将积分区间分割为若干个小的三角形形状，计算这些三角形的面积之和来近似函数的积分值。
具体的计算公式如下：\[ \int_a^b f(x)dx \approx \frac{1}{6} \sum_{i=1}^n (f(x_{i-1}) +4f\left(\frac{x_{i-1}+x_i}{2}\right) + f(x_i)) \Delta x \]辛普森法相比于矩形法和梯形法，在积分近似值的计算上更为准确。
数值积分方法范文
数值积分方法范文一、矩形法矩形法是最简单的数值积分方法之一，它将积分区间等分为多个小的矩形，然后计算每个矩形的面积并相加得到总面积。
具体而言，对于区间[a,b]上的函数f(x)，可以将其等分为n个小区间，每个小区间长度为h=(b-a)/n，然后计算每个小区间中点的函数值并乘以h得到矩形的面积，最后将所有矩形的面积相加得到积分近似值。
二、梯形法梯形法是另一种常用的数值积分方法，它通过将积分区间划分为多个小的梯形来近似计算积分。
与矩形法类似，梯形法也将积分区间等分为n个小区间，每个小区间长度为h=(b-a)/n，然后计算每个小区间两个端点的函数值并乘以h/2，即梯形的面积，最后将所有梯形的面积相加得到积分近似值。
三、Simpson法则Simpson法则是一种更加精确的数值积分方法，它通过使用二阶多项式来逼近函数在小区间上的积分。
具体而言，对于区间[a, b]上的函数f(x)，可以将其等分为n个小区间，每个小区间长度为h=(b-a)/n，然后使用二阶多项式来逼近每个小区间上函数的变化，根据二阶多项式的性质，可以得到每个小区间上的积分值为(h/3)(f(x0)+4f(x1)+f(x2))，其中x0、x1、x2分别为每个小区间的起始点、中点和终点。
最后将所有小区间上的积分值相加得到积分近似值。
四、高斯求积法高斯求积法是一种基于多项式插值的数值积分方法，它利用一组预先定义好的点和权重来逼近函数在给定区间上的积分。
具体而言，对于区间[a, b]上的函数f(x)，高斯求积法将其等分为n个小区间，每个小区间长度为h=(b-a)/n，然后选取一组在[-1, 1]上的预先定义好的点x0,x1, ..., xn以及对应的权重w0, w1, ..., wn，根据插值多项式的性质，可以得到积分近似值为h/2((b-a)/2)(w0f((b-a)x0/2+(b+a)/2)+w1f((b-a)x1/2+(b+a)/2)+...+wnf((b-a)xn/2+(b+a)/2))，最后将所有小区间上的积分近似值相加得到整个区间上的积分近似值。
计算方法_数值积分
复习
求定积分 I b f(x )dx a 若函数f(x)在区间［a, b］上连续且其原函数为F(x) , 则可用牛顿―莱布尼兹公式，来求定积分。
b
a
f
( x)dx
F
(b)
F
(a)
(5―1)
第5章 数值积分
被积函数f(x)的原 函数F(x)不易找到
sin x , 1 x ln x
f
(b)]
其中xk=a+kh
(k=0,1,2,…,N)，
h
ba N
2.复合Simpson公式
如果在每个子区间上使用Simpson公式，就得到复
合Simpson公式。将N等分后的每个子区间再对分一次，
于是共有2N+1个节点，xk 在每个N等分的子区间[x2k ,
ak x2k+2]
h (k=0,1,2,…,2N)， (2k=0,1,2,…,N-1)上应
n
Ln (x) f (xk )lk (x)
k 0
于是 令 则有
I
b
a
f
(x)dx
abLn
(x)dx
n
(abl
k
(x)dx)
f
(xk
)
k 0
Ak
bl
a
k
( x)dx
b( n x x j )dx a j0 xk x j
jk
b
a
f
( x)dx
n
Rn
(
f
)
(n
1 1)!
b a
数值计算方法复习知识点
数值计算方法复习知识点数值计算是计算机科学的一个重要分支，它研究如何使用计算机来进行数值计算和数值模拟。
在实际应用中，许多问题无法用解析表达式求解，只能通过数值计算方法来近似求解。
因此，数值计算方法的学习对于掌握计算机科学和工程中的相关问题具有重要意义。
1.插值与拟合插值是通过已知数据点构造出一个函数，使得该函数在已知数据点上的取值与给定数据点相同。
常用的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。
拟合是通过已知数据点，在一定误差范围内，用一个函数逼近这些数据点的过程。
最小二乘法是一种常用的拟合方法。
2.数值积分数值积分是通过数值计算方法对定积分进行近似求解的过程。
常用的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则和龙贝格法则。
3.数值微分数值微分是通过数值计算方法来计算函数的导数。
常用的数值微分方法有前向差分法和中心差分法。
4.常微分方程数值解常微分方程是研究自变量只有一个的微分方程。
常微分方程数值解是通过数值计算方法来求解常微分方程的近似解。
常用的常微分方程数值解方法有欧拉法、改进欧拉法和龙格-库塔法等。
5.线性方程组的数值解法线性方程组是一个包含多个线性方程的方程组。
线性方程组的数值解法主要包括直接法和迭代法。
直接法是通过一系列代数运算直接求解出方程组的解，常用的直接法有高斯消元法和LU分解法。
迭代法是通过一系列迭代运算逐步逼近方程组的解，常用的迭代法有雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法等。
6.非线性方程的数值解法非线性方程是含有未知数的函数与该未知数的组合线性关系不成立的方程。
非线性方程的数值解法包括二分法、牛顿法和割线法等。
7.特征值与特征向量特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念。
特征值是矩阵运算中的一个标量，特征向量是矩阵运算中的一个向量。
特征值和特征向量的计算可以通过幂法、反幂法和QR分解等数值计算方法来实现。
8.插值和误差分析插值方法的误差分析是指通过数值计算方法来分析插值近似值与精确值之间的误差大小。
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左矩形公式： I f f ab a
中矩形公式：
I
f
f
a
2
b
b
a
右矩形公式： I f f bb a
左矩形公式： I f f ab a
y
f x
f a
Oa
bx
中矩形公式：
y
I
f
f
ab 2
b a
90
2
四、复化求积公式
高次高插阶值N可有ew采Rt用ounn分-gCe段o现t低e象s次公，插式怎值会么来出办解现？决
可将积分区数间值不a,稳b定分。成若干小
区而间低，阶在Ne每w个to小n-区Co间te上s公用式 有低时阶又求不积能公满式足计精算度，要然求后，求怎和么。办？
➢ 复化梯形公式：
h ba, n
a 2!
1 h3 f ( ) , [a,b] , h b a
12
1
n = 2:
C(2) 0
1, 6
C(2) 1
2, 3
C(2) 2
1 6
Simpson 公式
b a
f
(x)dx
b
6
a[
f
(a)
4
f
(
) ab
2
f
(b)]
代数精度 = 3
R[ f ] 1 h5 f (4) ( ) , (a,b) , h b a
化工计算：数值积分
一、数值积分的必要性
主要讨论如下形式的一元函数积分
b
I ( f ) a f (x)dx
在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分
b
I ( f ) a f (x)dx F(b) F(a)
要求被积函数 F x
☞ 有解析表达式；
☞ f x的原函数 F x为初等函数．
k 0
称为求积公式 余项(误差).
三、几种常用的低阶求积公式
n = 1:
C (1) 0
1, 2
C (1) 1
1 2
b f (x)dx b a[ f (a) f (b)]
a
2
梯形公式
代数精度 = 1
/* 令 x = a+th, h = ba, 用中 值定理 */
R[ f ] b f (x )(x a)(x b) dx
并令
f
f
a
4
f
c
f
b
6
则可得Simpson公式(三点求积公式)
I f b a f a 4 f c f b
6
➢ 一般地 ，取区间 a,b 内 n 1 个点xi,i 0,1, 2,..., n
处的高度 f xi ,i 0,1,...,n
通过加权平均的方法近似地得出平均高度 f
实际问题
1. f x的原函数 F x不能用初等函数表示
例如函数:
sin x2 ,cos x2 , sin x , 1 , 1 x3 , e x2 x ln x
2. 有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表示成有限 形式,但表达式相当复杂,计算极不方便. 例如函数:
x2 2x2 3
并不复杂,但它的原函数却十分复杂:
1、定积分的几何意义 y
f x
b
I ( f ) f (x)dx
a
oa
b
x
2、数值积分的理论依据
依据积分中值定理, 对于连续函数 f x,
在a,b内存在一点 ,使得
f ?
b
I ( f ) a f (x)dx (b a) f ( )
称 f 为区间a,b 的平均高度.
3、求积公式的构造
4
2 3.93846 3.76470 3.50685 3.20000 2.87640 2.46000 2.26549
计算积分
I*
14 0 1 x2 dx
解： 这个问题有明显的答案
I * 4arctgx |10 3.1415926...
取n = 8用复化梯形公式
f (xk )
f (b)
=
Tn
n1
R[ f ]
h n1
3
[
i0 12
f
(i
)]
h2 12
(b
a)
i0
f (i )
n
/*中值定理*/
h2 (b a) f (), (a,b)
12
复化梯形公式积分法
➢ 复化 Simpson 公式：
ba h n , xk a k h (k 0, ... , n)
➢ 收敛速度与误差估计：
定义：
若一个积分公式的误差满足
lim
h0
R[ f hp
]
C
，
且 C 0 ，则称该公式是 p 阶收敛的。
~ ~ ~ Tn O(h2 ) , Sn O(h4 ) , Cn O(h6 )
例:
利用数据表
xk 0 1/8 1/4 3/8 1/2 5/8 3/4 7/8 1
f xk
xi
aih
在每个 [xi , xi1] 上用梯形公式：
(i 0, ... , n)
xi1 xi
f
(x)dx
xi1 2
xi [ f
(xi )
f
(xi1)] ,
i 0, ... , n 1
b a
f (x)dx
n1 i0
h 2 [ f (xi )
f (xi1)]
h 2
f
(a)
2
n1 i1
这类求积方法称为机械求积:
b
n
f (x)dx (b a)
a
i f (xi )
i0
或写成:
求积节点
b
n
f (x)dx
a
Ak f (xk )
k 0
数值积分公式
求积系数
记
n
In ( f ) Ak f (xk ) k 0
称为数值 求积公式
b
n
R( f ) I ( f ) In ( f ) a f (x)dx Ak f (xk ),
xk1 xk
f
(x) dx
h[ f 6
(xk ) 4 f
(
xk
1 2
)
f
( xk 1 )]
xk
xk
1 2
x k 1
b
f
a
(x)dx
h[ f 6
n1
(a) 4
k 0
f
n1
(
xk
1 2
)
2
k 0
f
(xk1)
f
(b)]
= Sn
R[
f
]
b
a
h
4
f
(4) ( )
180 2
复化Simpson公式积分法
f xfBiblioteka ab 2O
a
ab b x
2
右矩形公式： I f f bb a
y
f x
f b
O
a
bx
➢ 若取 a, b 两点，并令 f f a f b ，则可得梯形公
2
式（两点求积公式）
I f f a f bba
2
y
f b
f a
Oa
f x
bx
➢
若取三点，a,b, c
a
b 2
1 x2 2x2 3 3 x 2 x2 3 9 ln( 2 x 2 x2 3 )
4
16
16 2
3. f x没有解析表达式，只有数表形式:
x 12 3
f x 4 4.5 6
45 8 8.5
原来通呵过呵原…函这数就来需计要积 算积分分有的它数的值局方限法性来。帮
那…忙…啦。
怎么办呢？
二、数值积分的基本思想