计算方法-数值积分
数值积分方法
的值大.
二、Simpson公式
n=2时的求积公式
将 [a, b] 二 等分，等分节点 x0 = a ，x1 = (a +b)/2， x2 = b 作为积分节点，构造二次Lagrange插值多 项式 L2(x)：2 b
a
f ( x )dx Ak f ( xk ) A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 ) A2 f ( x2 )
f ( x ) 在节 a x0 x1
xn b
f ( x0 ), f ( x1 ),
, f ( xn )
作n次Lagrange插值多项式: Ln ( x )
l
k 0
n
k
( x ) f ( xk )
b a
f ( x )dx Ln ( x )dx
a
b
b a
f ( x )dx Ln ( x )dx
b]上的积分公式，这种方法称为复合求积法。
5.2.1 复化梯形积分 将[a, b]分成若干小区间，在每个区间[xi, xi+1]上用 梯形积分公式，再将这些小区间上的数值积分累加 起来，就得到区间[a, b]上的数值积分。这种方法称 为复化梯形积分。 ★ 计算公式
将[a, b] n等分, h = xi+1- xi= (b -a)/n, xi = a + ih, i = 0,1,2,…,n,
其中
4
M 4 max f
a xb
( 4)
( x)
本题
M 4 的求法： 1 sin x cos txdt f ( x) 0 x
1 1 0 0
1 M4 5
f ( x ) t sin txdt t cos( tx
数值分析-第4章 数值积分和数值微分
A0+A1=2 A0x0+A1x1=0 A0x02+A1x12=2/3 A0x03+A1x13=0
A0 A1 1 解得: 1 x 0 x1 3
求积公式为
1 1 1 f ( x)dx f ( ) f ( ) 3 3
x f(x)
数值分析
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
1
一、数值积分的基本概念 求积节点 数值积分定义如下：是离散点上的函数值的线性组合
I [ f ] f ( x)dx I n [ f ] Ai f ( xi )
b a i 0 n
称为数值积分公式
称为求积系数,与f (x)无关,与积分区间和求积节点有关
b a
Rn ( x) dx
定理：形如 Ak f ( xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度
A 该公式为插值型（即： k a l k ( x)dx ）
数值分析
b
5
例1 试确定参数A0,A1,A2,使求积公式
1 f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
证明 因为Simpson公式对不高于三次的多项式精确成立。即
b
a
p 2 ( x)dx
ba ab [ p 2 (a) 4 p 2 ( ) p 2 (b)] 6 2
构造三次多项式H3(x),使满足 H3(a)=(a) ,H3(b)=(b),
H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), 这时插值误差为
1
数值积分-计算方法
(k=0,1,…,n) 作代换x=a+th带入上式，变为： 其中：
(k=0,1,…,n) （1-1） 这个积分是有理多项式积分，它与被积函数f(x)和区间[a,b]无关。
只要确定n就能计算出系数
。 于是得到称为Newton—Cotes公式的求积公式： （1-2） 其中
称为Newton—Cotes系数。如表1所示。 表1 Newton—Cotes系数
§3.1计算n阶求积公式
若有m次代数精度，对(k=0,1,…)应有
而。
§3.2 Gauss求积公式的基本原理
更一般形式： （2-1） 为权函数，设>0，且在[a,b]上可积，构造n阶求积公式：
（2-2） 积分点使得（2-2）式达到2n+1次代数精度，则积分点称为Gauss 点，（2-2）式称为Gauss求积公式。
§2Newton—Cotes公式 §2.1Newton—Cotes公式的推导
当§1.1插值求积公式的插值节点为等距节点时，就得到Newton— Cotes公式。
将区间[a,b]n等分，，n+1个节点为 xk=a+kh (k=0,1,…,n)
在节点上对f(x)的Lagrange插值多项式是：
用Pn(x)代替f(x)构造求积公式： 记
y=(1-1/2*(sin(x)).^2).^(1/2); 在Matlab工作窗口中调用函数：
y2=gauss2('gaussf',0,pi/2) 运行结果为：
y2= 1.3508
第5章 结论
通过以上变成和计算，得到所求的两组积分：
应用Newton—Cotes积分公式所求的结果分别是 y1=1.5078，y2 = 1.3506，而应用Gauss-Legendre方法所求得的结果分别是y1=1.5705 和 y2= 1.3508。单从结果上看，我们也能看出，Newton—Cotes积分公式 和Gauss-Legendre积分公式在精度上的确存在着差异（两者n的取值不 同）。而结果上的差异来源很明显是插值积分在近似替代时产生的，结 合第1章理论依据的内容，Newton-Cotes积分公式的精度最高可达n+1 次，Gauss-Legendre积分公式的精度为2n+1次，由此可知，当n相同 时， Gauss -Legendre积分公式比Newton—Cotes积分公式具有更高的 代数精度。而就本题而言Gauss -Legendre积分公式具有5次代数精度， Newton—Cotes积分公式也具有5次代数精度。因此二者所求积分只存在 微小的差异，结果都比较准确。
牛顿迭代法 数值积分
牛顿迭代法数值积分牛顿迭代法（Newton's method）是一种用于求解方程的迭代数值计算方法，通过不断逼近方程的根来获得精确的解。
其基本思想是利用函数在某点的切线来逼近方程的根，然后通过不断迭代计算来逼近真实的根。
具体而言，假设要求解方程f(x) = 0，首先选择一个初始近似解x_0，然后通过切线的斜率来确定下一个近似解x_1。
切线的斜率可以通过函数的导数f'(x) 来计算，即：k = f'(x_0)。
然后，利用直线的斜截式公式y = k(x - x_0) + f(x_0)，将其与x 轴相交得到新的近似解x_1，即使得f(x_1) = 0 的解。
迭代过程如下：1. 选择初始近似解x_0。
2. 计算切线斜率k = f'(x_0)。
3. 根据切线与x 轴相交的方程，求解f(x) = 0，得到新的近似解x_1。
4. 判断x_1 是否满足精度要求，若满足则停止迭代；若不满足，则令x_0 = x_1，返回步骤2。
需要注意的是，牛顿迭代法并不一定能够收敛到方程的根，可能会陷入局部最优解或者发散。
因此，在使用牛顿迭代法时，需要对初始近似解的选择和迭代过程的控制进行合理的调整。
关于数值积分（numerical integration），也称为数值求积，是通过数值计算来求解定积分的方法。
定积分表示曲线与坐标轴之间的面积，常用于求解函数在某个区间上的总体积、质量、电荷等物理量。
数值积分有多种方法，常见的包括梯形法则、辛普森法则、龙贝格法等。
这些方法的基本思想都是将定积分转化为对函数在一系列离散点上的取值进行计算。
以梯形法则为例，其基本思想是将积分区间等分成多个小区间，然后用每个小区间上的函数值构成的梯形的面积来近似表示积分的结果。
具体步骤如下：1. 将积分区间[a, b] 等分成n 个小区间，每个小区间的宽度为h = (b - a) / n。
2. 在每个小区间上计算函数的取值，得到函数在离散点上的值f(x_0), f(x_1), ..., f(x_n)。
几种常用数值积分方法的比较汇总
几种常用数值积分方法的比较汇总
一、高斯求积分法（Gauss Integral）
高斯求积分法是指求解开放空间或有界空间中函数两端点之间定积分
问题，它是一种基于特殊积分点来计算定积分值的方法，它可以更快捷的
计算数值积分。
高斯求积分法比较重要的地方就在于能够把复杂的问题转
化为可以用简单的数学工具来解决的简单问题。
优点：
1.高斯求积分法的计算精度可以达到非常高的水平；
2.具有高计算效率；
3.数值精度和积分精度可以根据具体问题的复杂性来进行控制；
4.高斯求积分法可以有效地解决复杂的定积分问题。
缺点：
1.在求解特殊函数时存在计算误差；
2.对于复杂的非线性函数，高斯求积分法的精度受到影响；
3.对于曲面积分，存在计算量大的问题。
二、拉格朗日积分法（Lagrange Integral）
拉格朗日积分法（Lagrange Integral）是指用拉格朗日插值的思想，把定积分问题转化为离散化之后更容易求解的多项式求值问题，从而求解
定积分问题的一种数值积分法。
优点：
1.拉格朗日插值可以得到准确的原函数，准确性较高；
2.具有一定的计算效率，计算速度快；
3.在求解特定函数的定积分过程中，拉格朗日积分法可以提高精度。
缺点：。
数值计算方法之数值积分
数值计算方法之数值积分数值积分是数值计算中的一个重要内容，它是对函数在其中一区间上的积分进行数值近似计算的方法。
数值积分在计算机科学、自然科学以及工程领域都有广泛的应用，如求解不定积分、概率密度函数的积分、求解微分方程初值问题等。
数值积分的基本思想是将积分区间划分为若干小区间，然后对每个小区间进行数值近似计算，再将结果相加得到近似的积分值。
常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法、辛普森法等。
首先介绍矩形法。
矩形法是将积分区间划分为若干个小区间，然后用每个小区间的函数值与该小区间的宽度相乘得到每个小矩形的面积，最后将所有小矩形的面积相加得到近似的积分值。
矩形法分为左矩形法、右矩形法和中矩形法三种。
左矩形法即用每个小区间的最左端点的函数值进行计算，右矩形法用最右端点的函数值进行计算，中矩形法用每个小区间中点的函数值进行计算。
梯形法是将积分区间划分为若干个小区间，然后用每个小区间两个端点的函数值与该小区间的宽度相乘，再将每个小梯形的面积相加得到近似的积分值。
梯形法相较于矩形法更为精确，但需要更多的计算量。
辛普森法是将积分区间划分为若干个小区间，然后用每个小区间的三个点的函数值进行插值，将插值函数进行积分得到该小区间的近似积分值，最后将所有小区间的近似积分值相加得到近似的积分值。
辛普森法相比矩形法和梯形法更为精确，但计算量更大。
除了以上几种基本的数值积分方法外，还有龙贝格积分法、高斯积分法等更为精确的数值积分方法。
这些方法的原理和步骤略有不同，但都是通过将积分区间分割为若干小区间，然后进行数值近似计算得到积分值的。
总结起来，数值积分是通过将积分区间分割为若干小区间，然后对每个小区间进行数值近似计算得到积分值的方法。
常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法、辛普森法等。
数值积分在计算机科学、自然科学以及工程领域均有广泛应用，是数值计算中的重要内容。
数值积分
W(x) W(x 0) W(x 1) W(x2 ) W' (x 1) 0, x xi, i 0,1,2.
类似于上面对插值误差的讨论，在区间内至少有一点，使
(4)
W
整理上式，得到
0
(x x 0)(x x 1) 2 (x x 2) (4) f(x) G 3(x) f ( ), x 0 x 2. 4!
于是，由式(1.8)得到
(x x 0)(x x 1) 2 (x x 2) (4) E 2 [f(x) N 3(x)] dx f (ξ ) dx x0 x0 4!
x2 x2
因子(xx0)(xx1)2(xx2)在区间[x0,x2]内不会变号，故可以应用广 义中值定理，即在[x0,x2]内存在，使
(1.11)
所以，辛卜生公式的误差项为 1 5 (4) E2 h f ( ), x0 x2 90
(1.12)
Newton-Cotes公式的代数精度
定理： 由(n+1)个相异节点x0 、x1 、…x n构造的求积公式的代
数精度至少为n。
证明：记Ln(x)为x0,x1,x2...xn的Lagrange 插值多项式,即Ln ( x ) 因为 f ( x ) L ( x ) n
x
x3
0
3h P 3(x) (f 0 3 f 1 3 f 2 f 3) 8
(1.4)
当n=2时，为抛物线公式
b
a
ba ab f ( x)dx ( f (a) 4 f ( ) f (b)) 6 2
y
y=P2(x) y=f(x)
0
x0
x1
4点高斯数值积分公式
4点高斯数值积分公式概述：高斯数值积分是一种常用的数值积分方法，通过将被积函数在积分区间内进行适当的插值，然后对插值函数进行积分来近似计算定积分的值。
其中，4点高斯数值积分公式是高斯数值积分的一种常见形式。
本文将介绍4点高斯数值积分公式的原理、计算方法以及应用。
1. 原理：高斯数值积分公式是基于插值多项式的思想，通过在积分区间内选取一组特定的插值节点，构造一个与被积函数近似的插值函数，然后对插值函数进行积分来近似计算定积分的值。
2. 4点高斯数值积分公式的计算方法：4点高斯数值积分公式是通过选取4个特定的插值节点来进行数值积分的方法。
选取节点的方法是通过对区间[-1, 1]上的Legendre 多项式进行求解，得到多项式的根，并将这些根映射到积分区间[a, b]上。
具体计算方法如下：步骤1：确定积分区间[a, b]和被积函数f(x)。
步骤2：通过求解Legendre多项式的根，得到4个插值节点x1, x2, x3, x4。
步骤3：将插值节点映射到积分区间[a, b]上，得到实际的插值节点a1, a2, a3, a4。
步骤4：计算插值节点处的权重系数w1, w2, w3, w4。
步骤5：计算数值积分的近似值I ≈ w1f(a1) + w2f(a2) + w3f(a3) + w4f(a4)。
3. 4点高斯数值积分公式的应用：4点高斯数值积分公式在实际问题中有广泛的应用，特别是对于无法直接求解的复杂函数定积分而言，可以通过高斯数值积分来近似计算。
例如，在物理学中，许多物理量的计算需要进行积分。
通过使用高斯数值积分公式，可以将积分转化为对被积函数在特定插值节点上取值的加权求和，从而得到近似的积分结果。
在金融学中，对于期权定价等问题，也可以利用高斯数值积分公式来进行近似计算。
通过将期权的支付函数表示为被积函数，然后使用高斯数值积分公式来计算期权的价值。
4. 总结：4点高斯数值积分公式是一种常用的数值积分方法，通过选取4个特定的插值节点和权重系数，在积分区间内对被积函数进行插值和积分，从而近似计算定积分的值。
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( n) Ak (b a)Ck
a
b
( n) f ( x)dx (b a) C k f ( x0 kh ) k 0
n
(5.9)
称为牛顿-柯特斯公式。其中Ck(n) 叫Cotes系数，Cotes系 数与被积函数及积分区间无关。
计算柯特斯系数
n=1时，有两个Cotes系数
(1) C0
x2 k 2
x2 k
h f ( x)dx [ f ( x2 k ) 4 f ( x2 k 1 ) f ( x2 k 2 )] 6
2.复合Simpson公式 再求和得：
h h I [ f (a ) 4 f ( x1 ) f ( x2 )] [ f ( x2 ) 4 f ( x3 ) f ( x4 )] 6 6 h [ f ( x2 N 2 ) 4 f ( x2 N 1 ) f (b)] 6 N N 1 h [ f (a ) 4 f ( x2 k 1 ) 2 f ( x2 k ) f (b)] 6 k 1 k 1
Ak a l k ( x)dx a (
j 0 j k
b
b
n
x xj xk x j
)dx
(5.5) (5.6)
Ak f ( xk ) a f ( x)dx k 0
b
n
公式(5.6)称为等距节点内插求积公式。
求Ak
Ak a l k ( x)dx a (
n n h(1) n k n n (1) n k Ak (t j )dt (b a) (t j )dt 0 0 k!(n k )! j 0 n k!(n k )! j 0 j k j k
记 则
(n) Ck
n n (1) n k (t j )dt 0 n k!(n k )! j 0 j k
n
例1 试分别用梯形公式和辛普森公式计算积分
1
0.5
xdx
解:利用梯形公式
1
0.5
1 0.5 xdx ( 0.5 1) 2 0.4267767
利用抛物线公式
0.5
1
1 0 .5 xdx ( 0.5 4 0.75 1) 6 0.43093 4
原积分的准确值
Newton-Cotes公式
若Ln (x)为Lagrange插值多项式，则由公式
Ln ( x )
于是
b
k 0
f ( xk )l k ( x)
b n b
n
I a f ( x)dx a Ln ( x)dx ( a l k ( x)dx) f ( x k )
k 0
令 则有
(Newton―Cotes) 公式
§5.2
复合求积公式
5.1 牛顿 ― 柯特斯(Newton―Cotes) 公式 建立数值积分公式最基本的思想是选取一个既简单又 有足够精度的函数φ(x),用φ(x)代替被积函数f(x),于是有
b b
h ba n
a
f ( x)dx ( x)dx
( 2) C0
(1) 2 2 1 ( t 1 )( t 2 ) dt 2 0!2! 0 6
C1( 2)
( 2) C2
(1) 0 2 1 t ( t 1 ) dt 2 2!0! 0 6
1 (3) C0 , 8 3 C1(3) , 8
(1)1 2 4 t ( t 2 ) dt 2 1!1! 0 6
a
现用第四章介绍的插值多项式Pn(x)来代替被积函数f(x),即有
b a
f ( x)dx Pn ( x)dx
a
b
将积分区间[a,b] n等分，则节点是等距分布的，节点 x0 ,x1 ,x2 ,…, xn可表示成xk=x0+kh (k=0,1,…,n)，其中 x0=a, xn=b, 称为步长。
j 0 j k
b
b
n
x xj xk x j
)dx
a 在等距节点前提下，做变换 t x ，由 a x b ，可得 0 t n h 而x-xj=(t-j)h (j=0,1,2,…,n) ，xk-xj=(k-j)h (j,k=0,1,2,…,n且j≠k)。 于是(5.5)式即为
公式。将积分区间[a,b]N等分后的节点记为xk，
xk=a+kh(k=0,1,2,…,N )，在每个子区间[xk ,xk+1] (k=0,1,2,…，N-1)上应用梯形公式，
xk 1
xk
1 1 f ( x)dx h[ f ( xk ) f ( xk 1 )] 2 2
1.复合梯形公式
再求和得：
1.复合梯形公式
h TN [ f (a) 2 f ( xk ) f (b)] 2 k 1
ba 其中xk=a+kh (k=0,1,2,…,N)， h N
N 1
2.复合Simpson公式 如果在每个子区间上使用Simpson公式，就得到复
合Simpson公式。将N等分后的每个子区间再对分一次， h 于是共有2N+1个节点， xk a k (k=0,1,2,…,2N)， 2 在每个N等分的子区间[x2k , x2k+2] (k=0,1,2,…,N-1)上应 用Simpson公式，
易知 , 牛顿 ― 柯特斯求积公式对任何不高于 n 次的
多项式是准确成立的。这是因为 f(n+1)(ξ)≡0 故 Rn(f)≡0
代数精度
一般说来 ,若某个求积公式对于次数不高于 m 的多项
式都准确成立 ( 即 Rn(f)≡0), 而对于某一次数为 m+1 的多项 式并不准确成立(即Rn(f) ≠0),则称这一求积公式的代数精 度为m。 牛顿 ― 柯特斯求积公式的代数精度至少为n，若n为
a
b
a
ba f ( x )dx [ f (a ) f (b)] 2
b
ba ab f ( x )dx [ f (a ) 4 f ( ) f (b)] 6 2
(5―5)
第5章 数值积分
I
§5.1
牛顿 ― 柯特斯
a f(x )dx
近似值
b
§ 5.4
龙贝格(Romberg) 积分方法
I * 4 a r c t g x | 10 3 . 1 4 1 5 9 2 6
1 1 1 1 3 1 f (0) 2 f 2 f 2 f 2 f 8 2 8 4 8 2
偶数，则至少具有n+1次代数精度。通常在基点个数相等
的情况下,代数精度愈高,求积公式愈精确。 梯形公式、辛普森公式、柯特斯公式分别具有1、3、
5次代数精度。
例5.1 分别利用梯形公式、Simpson公式、Cotes公式计 算 , 0 x
1 n
dx
n=1,2,3,4,5，并与用牛顿-莱布尼兹公式计
被积函数f(x)没有 具体的解析表达式
函数关系由表格 或图形表示,无法 求出原函数。
sin x 1 , x ln x
被积函数的原函 数不是初等函数
a e
b
x2
dx
从几何上看定积分
定积分是曲边梯形的面积
左矩形
图 5.1 (5―2)
右矩形
(5―3)
图 5.2 梯形面积
图5.3 抛物求积 (5―4)
xk f (xk) 0 4 1/8 3.93846 1/4 3.76470 3/8 3.50685 1/2 3.20000 5/8 2.87640 3/4 2.46000 7/8 2.26549 1 2
计算积分
I
*
1
0
4 dx 2 1 x
这个问题有明显的答案 取n = 8用复合梯形公式
T8
第5章 数值积分
复习
求定积分
I
a f(x )dx
(5―1)
b
若函数f(x)在区间［a, b］上连续且其原函数为F(x) , 则可用牛顿―莱布尼兹公式，来求定积分。
a f ( x)dx F (b) F (a)
b
第5章 数值积分
被积函数f(x)的原 函数F(x)不易找到
定积分计算可能 遭遇的三种情况
2.复合Simpson公式
N N 1 h S N [ f (a) 4 f ( x 2 k 1 ) 2 f ( x 2 k ) f (b)] 6 k 1 k 1
h ba h 其中 xk a k (k=0,1,2,…,2N)， 2 N
3.复合Cotes公式
N N h C N [7 f (a ) 32 f ( x 4 k 3 ) 12 f ( x 4 k 2 ) 90 k 1 k 1
32 f ( x 4 k 1 ) 14 f ( x 4 k ) 7 f (b)]
k 1 k 1
N
N 1
h b a h 其中 xk a k (k=0,1,2,…,4N)， 4 N
其中 c,d,e为[a,b]的四等分点，称为Cotes公式。
表 5―1 柯特斯系数
柯特斯系数的特点
柯特斯系数C(n)i仅与n和i有关,与被积函数f(x)无关,
且满足
i 0
n
Ci( n ) 1
(5―15)
柯特斯公式对f(x)=1是准确成立的。
a
b
( n) f ( x)dx (b a) C k f ( x0 kh ) k 0
4、复合Simpson公式算法 (1) 输入a,b,N (2) h
ba , s f ( a ), x a 2N