【2014东城二模】北京市东城区2014年高三下期综合练习(二)理科数学(含答案)(word版)
2014东城高三一模数学理科
C北京市东城区2013-2014学年度第二学期综合练习（一）高三数学 （理科） 第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≥，则A =R ð（A ）{|1x x <-，或2}x > （B ）{|1x x ≤-，或2}x ≥ （C ）{|12}x x -<< （D ）{|12}x x -≤≤ 2．复数i 1i=- （A ）11i 22+ （B ）11i 22- （C ）11i 22-+ （D ）11i 22-- 3．为了得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象（A ）向左平移3π个单位长度 （B ）向右平移3π个单位长度 （C ）向左平移6π个单位长度 （D ）向右平移6π个单位长度 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，530S =，则789a a a ++=（A ）27（B ）36 （C ）45（D ）635．在极坐标系中，点)4π到直线cos sin 10ρθρθ--=的距离等于（A）2 （B（C）2（D ）2 6．如图，在△ABC 中，1AB =，3AC =，D 是BC 的中点，则AD BC ⋅=（A ）3（B ）4（C ）5 （D ）不能确定7．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆22(2)1x y -+=相切，则双曲线的离心率为（A ）2 （B（C（DDCBA8．已知符号函数1,0,sgn()0,0,1,0,x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩则函数2()sgn(ln )ln f x x x =-的零点个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4第二部分（非选择题 共110分）二、 填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2014年北京市东城区高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2014年北京市东城区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A＝{x|（x+1）（x﹣2）≥0}，则∁R A＝（）A．{x|x＜﹣1，或x＞2}B．{x|x≤﹣1，或x≥2}C．{x|﹣1＜x＜2}D．{x|﹣1≤x≤2}2．（5分）复数＝（）A．B．C．D．3．（5分）为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度4．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S5＝30，则a7+a8+a9＝（）A．27B．36C．42D．635．（5分）在极坐标系中，点（，）到直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1＝0的距离等于（）A．B．C．D．26．（5分）如图，在△ABC中，AB＝1，AC＝3，D是BC的中点，则＝（）A．3B．4C．5D．不能确定7．（5分）若双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2＝1相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8．（5分）已知符号函数sgn（x）＝，则函数f（x）＝sgn（lnx）﹣ln2x的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（x﹣）6的二项展开式中的常数项为．（用数字作答）10．（5分）如图，AB是圆O的直径，延长AB至C，使AB＝2BC，且BC＝2，CD是圆O的切线，切点为D，连接AD，则CD＝，∠DAB＝．11．（5分）设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点P（x，y），则x+y＜3的概率为．12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数．当＜0时，f（x）＝x2﹣6，则x＞0时，f（x）的解析式为；不等式f（x）＜x的解集为．13．（5分）某写字楼将排成一排的6个车位出租给4个公司，其中有两个公司各有两辆汽车，如果这两个公司要求本公司的两个车位相邻，那么不同的分配方法共有种．（用数字作答）14．（5分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，BC＝DC＝AB＝AD＝，BD＝2，平面ABD⊥平面BCD，O为BD中点，点P，Q分别为线段AO，BC上的动点（不含端点），且AP＝CQ，则三棱锥P﹣QCO体积的最大值为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，＝．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）如果b＝2，求△ABC面积的最大值．16．（13分）某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2，4]的有8人．（1）求直方图中a的值及甲班学生每天平均学习时间在区间（10，12]的人数；（2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，AB＝P A＝1，AD＝，F是PB中点，E为BC上一点．（Ⅰ）求证：AF⊥平面PBC；（Ⅱ）当BE为何值时，二面角C﹣PE﹣D为45°．18．（13分）已知函数f（x）＝ax2﹣4ln（x﹣1），a∈R．（1）当a＝1时，求f（x）的单调区间；（2）已知点P（1，1）和函数f（x）图象上动点M（m，f（m）），对任意m∈[2，e+1]，直线PM倾斜角都是钝角，求a的取值范围．19．（13分）已知椭圆G：+＝1（a＞b＞0），过A（1，）和点B（0，﹣1）．（1）求椭圆G的方程；（2）设过点P（0，）的直线l与椭圆G交于M，N两点，且|BM|＝|BN|，求直线l的方程．20．（14分）已知集合{1，2，3，4，…，n}（n≥3），若该集合具有下列性质的子集：每个子集至少含有2个元素，且每个子集中任意两个元素之差的绝对值大于1，则称这些子集为T子集，记T子集的个数为a n．（1）当n＝5时，写出所有T子集；（2）求a10；（3）记S n＝+++…+，求证：S n＜2．2014年北京市东城区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A＝{x|（x+1）（x﹣2）≥0}，则∁R A＝（）A．{x|x＜﹣1，或x＞2}B．{x|x≤﹣1，或x≥2}C．{x|﹣1＜x＜2}D．{x|﹣1≤x≤2}【解答】解：由A中不等式解得：x≤﹣1或x≥2，∴A＝{x|x≤﹣1或x≥2}，则∁R A＝{x|﹣1＜x＜2}，故选：C．2．（5分）复数＝（）A．B．C．D．【解答】解：＝＝＝﹣．故选：C．3．（5分）为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【解答】解：把函数y＝sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y＝sin2（x﹣）＝sin（2x﹣）的图象，故选：D．4．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S5＝30，则a7+a8+a9＝（）A．27B．36C．42D．63【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则S3＝3a1+3d＝9，S5＝5a1+10d＝30，联立解得a1＝0，d＝3，∴S n＝na1+d＝，∴a7+a8+a9＝S9﹣S6＝108﹣45＝63，故选：D．5．（5分）在极坐标系中，点（，）到直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1＝0的距离等于（）A．B．C．D．2【解答】解：点A（，）的直角坐标为（1，1），直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1＝0的直角坐标方程为x﹣y﹣1＝0，利用点到直线的距离公式可得，点A（，）到直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1＝0的距离为，故选：A．6．（5分）如图，在△ABC中，AB＝1，AC＝3，D是BC的中点，则＝（）A．3B．4C．5D．不能确定【解答】解：∵D是BC边的中点，∴，由向量的运算法则可得＝，∴＝•＝＝（32﹣12）＝4．故选：B．7．（5分）若双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2＝1相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0．根据圆（x﹣2）2+y2＝1的圆心（2，0）到切线的距离等于半径1，可得，1＝，∴＝，，可得e＝．故此双曲线的离心率为：．故选：D．8．（5分）已知符号函数sgn（x）＝，则函数f（x）＝sgn（lnx）﹣ln2x的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：令sgn（lnx）﹣ln2x＝0得，当lnx＞0，即x＞1时，1﹣ln2x＝0，解得，x＝e；当lnx＜0，即x＜1时，﹣1﹣ln2x＝0，无解；当lnx＝0，即x＝1时，成立；故方程sgn（lnx）﹣ln2x＝0有两个根，故函数f（x）＝sgn（lnx）﹣ln2x的零点个数为2；故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（x﹣）6的二项展开式中的常数项为﹣20．（用数字作答）【解答】解：（x﹣）6的二项展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得（x﹣）6的二项展开式中的常数项为＝20，故答案为：﹣20．10．（5分）如图，AB是圆O的直径，延长AB至C，使AB＝2BC，且BC＝2，CD是圆O的切线，切点为D，连接AD，则CD＝2，∠DAB＝．【解答】解：连结OD，DB，则OD⊥CD．由切割线定理得CD2＝CB•AC＝12，∴CD＝2，∵OB＝2，BC＝2，∴OC＝4，∴cos∠OCD＝＝，∴∠OCD＝，故∠DAB＝．故答案为：2，．11．（5分）设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点P（x，y），则x+y＜3的概率为．【解答】解：由题意，本题是几何概型，区域D的面积为2×2＝4，满足x+y ＜3的P的区域如图阴影部分，其面积为2×2﹣＝，所以满足x+y＜3的概率为；故答案为：．12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数．当＜0时，f（x）＝x2﹣6，则x＞0时，f（x）的解析式为﹣x2+6；不等式f（x）＜x的解集为（﹣2，0）∪（2，+∞）．【解答】解：当x＞0时，﹣x＜0由于x＜0时，f（x）＝x2﹣6，所以：f（﹣x）＝（﹣x）2﹣6由于函数f（x）是定义在R上的奇函数．所以：﹣f（x）＝x2﹣6解得：f（x）＝﹣x2+6所以：则：①当x＜0时，x2﹣6＜x整理得：（x+2）（x﹣3）＜0，解得：﹣2＜x＜3所以：﹣2＜x＜0．②当x＞0时，﹣x2+6＜x整理得：（x+3）（x﹣2）＞0解得：x＞2或x＜﹣3所以：x＞2综合①②得：不等式的解集为：（﹣2，0）∪（2，+∞）．故答案为：①﹣x2+6②（﹣2，0）∪（2，+∞）13．（5分）某写字楼将排成一排的6个车位出租给4个公司，其中有两个公司各有两辆汽车，如果这两个公司要求本公司的两个车位相邻，那么不同的分配方法共有24种．（用数字作答）【解答】解：由题意，利用捆绑法，共有＝24种不同的分配方法．故答案为：24．14．（5分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，BC＝DC＝AB＝AD＝，BD＝2，平面ABD⊥平面BCD，O为BD中点，点P，Q分别为线段AO，BC上的动点（不含端点），且AP＝CQ，则三棱锥P﹣QCO体积的最大值为．【解答】解：设AP＝x，∵O为BD中点，AD＝AB＝，∴AO⊥BD，∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，∴AO⊥平面BCD．∴PO是三棱锥P﹣QCO的高．AO＝＝1．∴OP＝1﹣x，（0＜x＜1）．在△BCO中，BC＝，OB＝1，∴OC＝＝1，∠OCB＝45°．＝＝＝．∴S△OCQ＝＝∴V三棱锥P﹣OCQ＝＝．当且仅当x＝时取等号．∴三棱锥P﹣QCO体积的最大值为．故答案为：．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，＝．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）如果b＝2，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵＝∴由正弦定理知：＝＝∴sin B＝cos B，即有tan B＝∵0＜B＜π∴B＝．（Ⅱ）∵由（Ⅰ）知，sin B＝，a＝sin A，A＝＝ab sin C＝sin（）×2×sin C＝sin（）×sin C ∴S△ABC＝sin2C+cos2C+＝sin（2C+）+≤．∴△ABC面积的最大值为．16．（13分）某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2，4]的有8人．（1）求直方图中a的值及甲班学生每天平均学习时间在区间（10，12]的人数；（2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由直方图知，（0.150+0.125+0.100+0.0875+a）×2＝1，解得a＝0.0375，因为甲班学习时间在区间[2，4]的有8人，所以甲班的学生人数为，所以甲、乙两班人数均为40人．所以甲班学习时间在区间（10，12]的人数为40×0.0375×2＝3（人）．（2）乙班学习时间在区间（10，12]的人数为40×0.05×2＝4（人）．由（1）知甲班学习时间在区间（10，12]的人数为3人，在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，ξ的所有可能取值为0，1，2，3．，，，．所以随机变量ξ的分布列为：．17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，AB＝P A＝1，AD＝，F是PB中点，E为BC上一点．（Ⅰ）求证：AF⊥平面PBC；（Ⅱ）当BE为何值时，二面角C﹣PE﹣D为45°．【解答】解：（Ⅰ）证明：以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，∵AB＝P A＝1，AD＝，F是PB中点，∴A（0，0，0），P（0，0，1），B（0，1，0），C（，1，0），，，F（0，，），＝（0，，），∵＝0，，∴AF⊥PB，AF⊥PC，∴AF⊥平面PBC．（Ⅱ）设BE＝a，∴E（a，1，0），，，设平面PDE的法向量，则，取x＝1，得＝（1，，），平面PCE的法向量为，∵二面角C﹣PE﹣D为45°，∴cos＜＞＝＝，解得a＝，∴当BE＝时，二面角C﹣PE﹣D为45°．AF⊥平面PBC．18．（13分）已知函数f（x）＝ax2﹣4ln（x﹣1），a∈R．（1）当a＝1时，求f（x）的单调区间；（2）已知点P（1，1）和函数f（x）图象上动点M（m，f（m）），对任意m∈[2，e+1]，直线PM倾斜角都是钝角，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝x2﹣4ln（x﹣1），x∈（1，+∞），∴f（x）＝2x﹣＝＝，令f′（x）＝0，解得：x＝2，∴a＝1时，f（x）的单调递增区间为（2，+∞），单调递减区间为（1，2）．（2）∵对任意m∈[2，e+1]，直线PM的倾斜角都是钝角，∴对任意m∈[2，e+1]，直线PM的斜率小于0，即＜0，f（m）＜1，即f（x）在区间[2，e+1]上的最大值小于1，f′（x）＝，x∈（1，+∞），令g（x）＝ax2﹣ax﹣2①当a＝0时，f（x）＝﹣4ln（x﹣1）在[2，e+1]上单调递减，f（x）max＝f（2）＝0＜1，显然成立，∴a＝0．②当a＜0时，二次函数g（x）的图象开口向下，且g（0）＝﹣2，g（1）＝﹣2，∀x∈（1，+∞），g（x）＜0，故f′（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上单调递减，故f（x）在[2，e+1]上单调递减，f（x）max＝f（2）＝4a＜0，显然成立，∴a＜0．（3）当a＞0时，二次函数g（x）的图象开口向上，且g（0）＝﹣2，g（1）＝﹣2．所以∃x0∈（1，+∞），当x∈（1，x0）时，g（x）＜0．当x∈（x0，+∞）时，g （x）＞0；所以f（x）在区间（1，+∞）内先递减再递增．故f（x）在区间[2，e+1]上的最大值只能是f（2）或f（e+1）．∴，即：，∴0＜a＜．综上：a＜．19．（13分）已知椭圆G：+＝1（a＞b＞0），过A（1，）和点B（0，﹣1）．（1）求椭圆G的方程；（2）设过点P（0，）的直线l与椭圆G交于M，N两点，且|BM|＝|BN|，求直线l的方程．【解答】解：（1）∵椭圆G：+＝1（a＞b＞0），过A（1，）和点B（0，﹣1）．∴b＝1，由，得a2＝3．∴椭圆G的方程为．…（4分）（2）由题意知直线l的斜率k存在，且k≠0．设直线l的方程为y＝kx+．由，消去y并整理得（k2+）x2+3kx+＝0，…（5分）由，…（7分）设，MN中点为Q（x 0，y0），得，，…（8分）由|BM|＝|BN|，知BQ⊥MN，∴，即．化简得，满足△＞0．∴k＝，…（12分）∴直线l的方程为y＝．…（14分）20．（14分）已知集合{1，2，3，4，…，n}（n≥3），若该集合具有下列性质的子集：每个子集至少含有2个元素，且每个子集中任意两个元素之差的绝对值大于1，则称这些子集为T子集，记T子集的个数为a n．（1）当n＝5时，写出所有T子集；（2）求a10；（3）记S n＝+++…+，求证：S n＜2．【解答】解：（Ⅰ）当n＝5时，所有T子集：{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，4}，{2，5}，{3，5}，{1，3，5}．（Ⅱ）{1，2，3，4，…，k，k+1，k+2}的T子集可分为两类：第一类子集中不含有k+2，这类子集有a k+1个；第二类子集中含有k+2，这类子集成为{1，2，3，4，…，k}的T子集与{k+2}的并，或为{1，2，3，4，…，k}的单元素子集与{k+2}的并，共有a k+k个．所以a k+2＝a k+1+a k+k．因为a3＝1，a4＝3，所以a5＝7，a6＝14，a7＝26，a8＝46，a9＝79，a10＝133．（Ⅲ）∵，①＝，②①﹣②，得：﹣＝﹣＝＝﹣＝﹣﹣＜＜，∴S n＜2．。
2014东城区高三二模数学(理科)
2014东城区高三二模数学（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合S={x∈R|x+1≥2}，T={﹣2，﹣1，0，1，2}，则S∩T=（）A．{2}B．{1，2}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2}2．（5分）在复平面内，复数﹣i3对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x值为（）A．2或﹣2 B．﹣1或﹣2 C．2或﹣1 D．1或﹣24．（5分）如果实数x，y满足条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．15．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S n+2﹣S n=36，则n=（）A．5 B．6 C．7 D．86．（5分）6个人站成一排，其中甲、乙必须站在两端，且丙、丁相邻，则不同站法的种数为（）A．12 B．18 C．24 D．367．（5分）若直线（t为参数）被圆（α为参数）所截的弦长为2，则a的值为（）A．1或5 B．﹣1或5 C．1或﹣5 D．﹣1或﹣58．（5分）对任意实数a，b定义运算“⊗”：，设f（x）=（x2﹣1）⊗（4+x），若函数y=f（x）+k的图象与x轴恰有三个不同交点，则k的取值范围是（）A．（﹣2，1）B．[0，1]C．[﹣2，0）D．[﹣2，1）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知tanx=2，求cos2x=．10．（5分）已知平面向量，，若||=3，|﹣|=，•=，则||=；向量，夹角的大小为．11．（5分）在区间[0，6]上随机取两个实数x，y，则事件“2x+y≤6”的概率为．12．（5分）如图所示，PA与圆O相切于A，直线PO交圆O于B，C两点，AD⊥BC，垂足为D，且D 是OC的中点，若PA=6，则PC=．13．（5分）若直线y=k（x+1）（k＞0）与抛物线y2=4x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线的准线上的射影分别是M，N，若|BN|=2|AM|，则k的值是．14．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是正方体棱上一点（不包括棱的端点），|PA|+|PC1|=m，①若m=2，则满足条件的点P的个数为．②若满足|PA|+|PC1|=m的点P的个数为6，则m的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=sin2x+sinxsin（x+）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的最大值和最小值．16．（13分）“你低碳了吗？”这是某市为倡导建设资源节约型社会而发布的公益广告里的一句话．活动组织者为了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄段在[10，20），[20，30），…，[50，60）的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数；（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，求[50，60）年龄段抽取的人数；（Ⅲ）从按（Ⅱ）中方式得到的8人中再抽取3人作为本次活动的获奖者，记X为年龄在[50，60）年龄段的人数，求X的分布列及数学期望．17．（14分）如图，四棱锥E﹣ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，且AB=4，BC=CD=EA=ED=2．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ADE；（Ⅱ）求BE和平面CDE所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段CE上是否存在一点F使得平面BDF⊥平面CDE，请说明理由．18．（13分）已知a＞0，函数f（x）=+2a，g（x）=alnx﹣x+a．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：对于任意的x1，x2∈（0，e），都有f（x1）＞g（x2）．19．（13分）已知椭圆=1的一个焦点为F（2，0），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）斜率为k的直线l过点F，且与椭圆交于A，B两点，P为直线x=3上的一点，若△ABP为等边三角形，求直线l的方程．20．（14分）设a是一个自然数，f（a）是a的各位数字的平方和，定义数列{a n}：a1是自然数，a n=f ）（n∈N*，n≥2）．（a n﹣1（Ⅰ）求f（99），f（2014）；（Ⅱ）若a1≥100，求证：a1＞a2；（Ⅲ）当a1＜1000时，求证：存在m∈N*，使得a3m=a2m．参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】S={x∈R|x+1≥2}，则∴S={x∈R|x≥1}，又∵T={﹣2，﹣1，0，1，2}，故S∩T={1，2}．故选B．2．【解答】复数﹣i3=+i=1+2i，复数的在复平面内的对应点（1，2）．在复平面内，复数﹣i3对应的点位于第一象限．故选：A．3．【解答】由题意，或∴x=1或﹣2故选D．4．【解答】由约束条件作可行域如图，由z=2x﹣y，得y=2x﹣z，要使z最大，则直线y=2x﹣z在y轴上的截距最小，由图可知，当直线y=2x﹣z过可行域内的点C（0，﹣1）时直线y=2x﹣z在y轴上的截距最小．∴z=2x﹣y的最大值为2×0﹣（﹣1）=1．故选：D．5．【解答】由S n+2﹣S n=36，得：a n+1+a n+2=36，即a1+nd+a1+（n+1）d=36，又a1=1，d=2，∴2+2n+2（n+1）=36．解得：n=8．故选：D．6．【解答】甲、乙必须站在两端有=2，剩下4个位置，4个人排列，丙、丁相邻，把丙和丁看成一个元素有=2，同另外2个人排列有=6，根据乘法原理知共有2×2×6=24种结果，故答案为：C．7．【解答】直线（t为参数）即x+y﹣a﹣1=0，圆（α为参数），即（x﹣2）2+（y﹣2）2=4，表示以（2，2）为圆心、半径等于2的圆．圆心到直线的距离为d==，再根据弦长公式可得+=4=r2，求得a=1，或a=5，故选：A．8．【解答】当（x2﹣1）﹣（x+4）＜1时，f（x）=x2﹣1，（﹣2＜x＜3），当（x2﹣1）﹣（x+4）≥1时，f（x）=x+4，（x≥3或x≤﹣2），函数y=f（x）=的图象如图所示：由图象得：﹣2≤k＜1，函数y=f（x）与y=﹣k的图象有3个交点，即函数y=f（x）+k的图象与x轴恰有三个公共点；故答案选：D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】∵tanx=2，∴cos2x===；所以cos2x=2cos2x﹣1=2×﹣1=﹣故答案为﹣10．【解答】∵||=3，|﹣|=，•=，∴=13，∴=13，解得=7则||=．∴=，解得=．∴=．故答案为：，．11．【解答】由题意，在区间[0，6]上随机取两个实数x，y，在平面直角坐标系中做出对应的区域，事件“2x+y≤6”对应的区域，如图所示：所以事件“2x+y≤6”的概率为=故答案为：12．【解答】连接OA，则OA⊥PA，∴PA2=PD•PO，∵PA=6，D是OC的中点，∴（PC+OC）•（PC+OC）=36，①∵PA2=PC•PB，∴PC•（PC+2•OC）=36，②由①②可得PC=2．故答案为：PC=2．13．【解答】设抛物线C：y2=4x的准线为l：x=﹣1直线y=k（x+1）（k＞0）恒过定点P（﹣1，0），过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|BN|=2|AM|，则|BF|=2|AF|，∴点A为BP的中点．连接OA，则|OA|=|BF|，∴|OA|=|AF|，∴点A的横坐标为，∴点A的坐标为（，），把（，）代入直线l：y=k（x+1）（k＞0），解得k=．故答案为：．14．【解答】∵正方体的棱长为1，∴AC1=，∵|PA|+|PC1|=2，∴点P是以2c=为焦距，以a=1为长半轴，以为短半轴的椭圆，∵P在正方体的棱上，∴P应是椭圆与正方体与棱的交点，结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在棱B1C1，C1D1，CC1，AA1，AB，AD上各有一点满足条件．故满足条件的点P的个数为6个．（2）∵|PA|+|PC1|=m＞|AC1|=，∴m＞，∵正方体的棱长为1∴正方体的面的对角线的长为，∵点P的个数为6，∴b＜∵短半轴长b=，∴，∴m，∴m的取值范围是（，）故答案为：6，（，）．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．【解答】（Ⅰ）====．∴f（x）=．∴．（Ⅱ）当时，．∴当时，即x=0时，函数f（x）取得最小值0；当时，即时，函数f（x）取得最大值．16．【解答】（Ⅰ）1﹣10×（0.020+0.025+0.015+0.005）=0.35，100×0.35=35，即随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数为35．…（4分）（Ⅱ）100×0.15=15，100×0.05=5，所以，即抽取的8人中[50，60）年龄段抽取的人数为2．…（7分）（Ⅲ）X的所有可能取值为0，1，2．；；．所以X的分布列为PX的数学期望为．…（13分）17．【解答】（I）证明：由BC⊥CD，BC=CD=2，可得．由EA⊥ED，且EA=ED=2，可得．又AB=4，所以BD⊥AD．又平面EAD⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面ADE．…（5分）（II）解：建立空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），，，，，，．设=（x，y，z）是平面CDE的一个法向量，则令x=1，则=（1，1，﹣1）．设直线BE与平面CDE所成的角为α，则sinα=所以BE和平面CDE所成的角的正弦值．…（10分）（III）解：设，λ∈[0，1]．，，．则．设=（x'，y'，z'）是平面BDF一个法向量，则令x'=1，则=（1，0，﹣）．若平面BDF⊥平面CDE，则•=0，即，．所以，在线段CE上存在一点F使得平面BDF⊥平面CDE．…（14分）18．【解答】（Ⅰ）解：函数f（x）的定义域为R，，∵a＞0，∴当x＜﹣1，或x＞1时，f′（x）＜0；当﹣1＜x＜1时，f′（x）＞0．∴f（x）的单调递增区间为（﹣1，1），单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞）．（Ⅱ）证明：f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，e）上单调递减，又f（0）=2a，，∴当x∈（0，e）时，f（x）＞2a．由g（x）=alnx﹣x+a，可得．∴当a≥e时，函数g（x）在区间（0，e）上是增函数，∴当x∈（0，e）时，g（x）＜g（e）=2a﹣e＜2a．∴当x∈（0，e）时，对于任意的x1，x2∈（0，e），都有f（x1）＞2a，g（x2）＜2a，∴f（x1）＞g（x2）．当0＜a＜e时，函数g（x）在区间（0，a）上是增函数，在区间（a，e）上是减函数，∴当x∈（0，e）时，g（x）≤g（a）=alna＜2a．∴当x∈（0，e）时，对于任意的x1，x2∈（0，e），都有f（x1）＞2a，g（x2）＜2a，所以f（x1）＞g（x2）．综上，对于任意的x1，x2∈（0，e），都有f（x1）＞g（x2）．…（13分）19．【解答】（Ⅰ）∵椭圆=1的一个焦点为F（2，0），且离心率为．∴c=2，，a2=b2+c2，解得a2=6，b2=2．∴椭圆方程为．（Ⅱ）直线l的方程为y=k（x﹣2）．联立方程组，消去y并整理，得（3k2+1）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．故，．则|AB|=||==．设AB的中点为M（x0，y0）．可得，．直线MP的斜率为，又x P=3，所以．当△ABP为正三角形时，|MP|=，∴，解得k=±1．∴直线l的方程为x﹣y﹣2=0，或x+y﹣2=0．20．【解答】（Ⅰ）解：f（99）=92+92=162；f（2014）=22+02+12+42=21．…（5分）（Ⅱ）证明：假设a1是一个n位数（n≥3），那么可以设，其中0≤b i≤9且b i∈N（1≤i≤n），且b n≠0．由a2=f（a1）可得，．，所以．因为b n≠0，所以（10n﹣1﹣b n）b n≥99．而（b1﹣1）b1≤72，所以a1﹣a2＞0，即a1＞a2．…（9分）（Ⅲ）证明：由a1＜1000，即a1≤999，可知．同理a n≤999，可知．由数学归纳法知，对任意n∈N*，有a n≤999．即对任意n∈N*，有a n∈{1，2，3，…，999}．因此，存在p，q∈N*（p＜q），有a p=a q．=a q+1，a p+2=a q+2，…，a q﹣1=a q+q﹣p﹣1，则a p+1=a n．可得对任意n∈N*，n≥p，有a n+q﹣p=a n．设q﹣p=T，即对任意n≥p，有a n+T若T≥p，取m=T，n=2m，则有a3m=a2m．=a n，可得a n+pT=a n，若T＜p，由a n+T取m=pT，n=2m，则有a3m=a2m．…（14分）。
2014北京东城高考一模数学理科带答案
北京市东城区2013—2014学年度第二学期高三综合练习（一）数学（理科）2014．4第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题3分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1． 已知集合()(){|120}A x x x =+-≥，则R A =ð（ ）．A ．{}|12x x x <->，或B ．{|1x x -≤或}2x ≥C ．{}|12x x -<<D ．{}|12x x -≤≤2． 复数i1i=-（ ）． A ．11i 22+ B ．11i 22-C ．11i 22-+D ．11i 22--3． 为了得到函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 2y x =的图象（ ）．A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度4． 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，530S =，则789a a a ++=（ ）．A ．27B ．36C ．42D ．635．在极坐标系中，点π4⎫⎪⎭，到直线cos sin 10ρθρθ--=的距离等于（ ）．ABCD ．26． 如图，在ABC △中，1AB =，3AC =，D 是BC 的中点，则AD BC ⋅=（ ）．A ．3B ．4C ．5D ．不能确定7． 若双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的渐近线与圆()2221x y -+=相切，则双曲线的离心率为（ ）．A ．2 BCD8． 已知符号函数()10sgn 0010x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，，，，，则函数()()2sgn ln ln f x x x =-的零点个数为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4第二部分（非选择题 共110分）D CB AQOD C P A 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9． 412x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中常数项为________．（用数字作答）10． 如图，AB 是圆O 的直径，延长AB 至C ，使2AB BC =，且2BC =，CD 是圆O 的切线，切点为D ，连接AD ，则CD =________，DAB ∠=________．11． 设不等式组02,02x y <<⎧⎨<<⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点(),P x y ，则3x y +<的概率为________．12． 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()26f x x =-，则0x >时，()f x 的解析式为______，不等式()f x x <的解集为________．13． 某写字楼将排成一排的6个车位出租给4个公司，其中有两个公司各有两辆汽车，如果这两个公司要求本公司的两个车位相邻，那么不同的分配方法共有________种．（用数字作答）14． 如图，在三棱锥A BCD -中，BC DC AB AD ====2BD =，平面ABD ⊥平面BCD ，O 为BD 中点，点,P Q 分别为线段,AO BC 上的动点（不含端点），且AP CQ =，则三棱锥P QCO -体积的最大值为________．三、解答题共6小题，共80分． 15． （本小题共13分）在ABC △中，sin A a = （1）求角B 的值；（2）如果2b =，求ABC △面积的最大值．16． （本小题共13分）某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[]2,4的有8人．乙甲0 2 4 6 8 10 12 小时（1）求直方图中a 的值及甲班学生每天平均学习时间在区间(10,12]的人数；（2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．17． （本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，1AB PA ==，AD =F 是PBO CB AD中点，E 为BC 上一点．（1）求证：AF ⊥平面PBC ；（2）当BE 为何值时，二面角C PE D --为45︒．18． （本小题共13分）已知函数()()24ln 1f x ax x =--，a ∈R ．（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）已知点()1,1P 和函数()f x 图象上动点()(),M m f m ，对任意[]2,1m e ∈+，直线PM 倾斜角都是钝角，求a 的取值范围．19． （本小题共13分）已知椭圆()2222:10x y G a b a b +=>>过点1,A ⎛ ⎝⎭和点()0,1B -． （1）求椭圆G 的方程；（2）设过点30,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线l 与椭圆G 交于,M N 两点，且||||BM BN =，求直线l 的方程．20． （本小题共14分）已知集合{}1,2,3,4,,n ()3n ≥，若该集合具有下列性质的子集：每个子集至少含有2个元素，且每个子集中任意两个元素之差的绝对值大于1，则称这些子集为T 子集，记T 子集的个数为n a ． （1）当5n =时，写出所有T 子集； （2）求10a ；（3）记3543452222nn na a a a S =++++，求证：2n S <北京市东城区2013-2014学年度第二学期高三综合练习（一）数学参考答案（理科）一、选择题PFEDBA1．C 2．C 3．D 4．D 5．A 6．B 7．C 8．B二、填空题9．11610．；30︒11．7812．2()6=-+f x x ；(20)(2)-+∞，，13．2414三、解答题 15．（共13分）解：⑴ 因为sin sin =a b A B，sin =A a ，所以sin B B，tan B 因为(0π)B ∈，．所以π=3B ．⑵ 因为π=3B ，所以2221cos 22a cb B ac +-==，因为2b =，所以22=42a c ac ac ++≥，所以4ac ≤（当且仅当a c =时，等号成立），所以12ABC S ac =△，sin B所以ABC △16． （共13分）解：⑴ 由直方图知，(0.1500.1250.1000.0875)21++++⨯=a ，解得0.0375a =，因为甲班学习时间在区间[24]，的有8人，所以甲班的学生人数为8400.2=， 所以甲、乙两班人数均为40人．所以甲班学习时间在区间(]1012，的人数为 400.037523⨯⨯=（人）．⑵ 乙班学习时间在区间(]1012，的人数为400.0524⨯⨯=（人）．由⑴知甲班学习时间在区间(]1012，的人数为3人， 在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，ξ的所有可能取值为0，1，2，3．043447C C 1(0)C 35===P ξ， 133447C C 12(1)C 35===P ξ，223447C C 18(2)C 35===P ξ，313447C C 4(3)C 35===P ξ． 所以随机变量ξ的分布列为：10123353535357=⨯+⨯+⨯+⨯=E ξ．17．（共14分）证明⑴ 因为⊥PA 平面ABCD ，⊂BC 平面ABCD ，所以⊥PA BC ，因为ABCD 是矩形，所以⊥BC AB ．因为=PA AB A ，所以⊥BC 平面PAB ，因为⊂AF 平面PAB ，所以⊥BC AF ，因为=AB PA ，F 是PB 中点，所以⊥AF PB ，因为=PB BC B 所以⊥AF 平面PBC ．⑵ 解：因为⊥PA 平面ABCD ，⊥AB AD ，所以以A 为坐标原点，AD 、AB 、AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设=BE a ，则(001)P ，，，)00D ，，()10E a ，，，11022F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，．所以()10=DE a ，，()301=-PD ，．设平面PDE 的法向量为()=m x y z ，，，则00.⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m DE mPD ， 所以(030.⎧+=⎪⎪-=⎩a x y x z ，令1=x ，得y a ，=z ，所以(1=m a ，．平面PCE 的法向量为11022⎛⎫== ⎪⎝⎭n AF ，，．所以1cos 2⋅===am nm n m n，． 所以=a ．所以当=BE 时，二面角--P DE A 为45︒．17． （共13分）解：⑴ 当1=a 时，2()4ln(1)=--f x x x ，定义域为(1)+∞，，242242(1)(2)()211--+-'=-==--x x x x f x x x 所以当1=a ． ⑵ 因为对任意[2e 1]∈+m ，，直线PM 的倾斜角都是钝角，所以对任意[2e 1]∈+m ，，直线PM 的斜率小于0，即()101-<-f m m ，()1<f m ， 即()f x 在区间[21]+c ，上的最大值小于1，242(2)()211--'=-=--ax ax f x ax x x ，(1)∈+∞x ，． 令2()2=--g x ax ax①当0=a 时，()4ln(1)=--f x x 在[2e 1]+，上单调递减，max ()(2)01==<f x f ，显然成立，所以0=a ．②当0<a 时，二次函数()g x 的图象开口向下， 且(0)2=-g ，(1)2=-g ，(1)∀∈+∞x ，，()0<g x ， 故()0'<f x ，()f x 在(1)+∞，上单调递减，故()f x 在[2e 1]+，上单调递减，max ()(2)41==<f x f a ，显然成立，所以0<a ．⑶ 当0>a 时，二次函数()g x 的图象开口向上，且()02g =-，()12g =-．所以()01x ∃∈+∞，，当()01x x ∈，时，()0g x <．当()0x x ∈+∞，时，()0g x >． 所以()f x 在区间()1+∞，内先递减再递增．故()f x 在区间[]2e 1+，上的最大值只能是()2f 或()e 1f+． 所以()()21e 11f f .⎧<⎪⎨+<⎪⎩，即()241e 141a a .<⎧⎪⎨+-<⎪⎩，所以104a <<． 综上14a <．19．(共13分)解：（Ⅰ）因为椭圆()2222:10x y G a b a b +=>>过点1A ⎛ ⎝⎭和点()01B -，．所以1b =，由22111a ⎝⎭+=，得23a =．所以椭圆G 的方程为2213x y +=．（Ⅱ）显然直线l 的斜率k 存在，且0k ≠． 设直线l 的方程为32y kx =+．由22133.2x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并整理得22153034k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭， 由2219503k k ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭△，2512k >．设()11M x y ，，()22N x y ，，MN 中点为()22Q x y ，，得12229262x x k x k +==-+，12623262y y y k +==+．由BM BN =，知BQ MN ⊥， 所以6611y x k +=-，即223116296k k k ++=--．化简得223k =，满足0>△．所以k =． 因此直线l 的方程为32y =+． （20）(共14分)解：（Ⅰ）当5n =时，所以T 子集：{}13，，{}14，，{}15，，{}24，，{}25，，{}35，，{}135，，． （Ⅱ）{}123412k k k ++，，，，…，，，的T 子集可分为两类： 第一类子集中不含有2k +，这类子集有1k a +个；第二类子集中含有2k +，这类子集成为{}1234k ，，，，…，的T 子集与{}2k +的并，或为{}1234k ，，，，…，的单元素子集与{}2k +的并，共有k a k +个．所以21k k k a a a k ++=++． 因为31a =，43a =，所以57a =，614a =，726a =，846a =，979a =，10133a =．（Ⅲ）因为3431372222n n na S =++++…， ①所以143111322222n n n n n a a S -+=++++… ②①-②得2343612112472222222n n n n n a n a S -++-⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭ (2243)434121234222222n n n n a n a a a -++-++⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭ (22434234112121342222222)n n n n a n a a a --++-++⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭... 123411213422222222n n n n n n a n S ---⎛⎫++-+++- ⎪⎝⎭ (1)2111112444222n nn n n n a S --+-⎛⎫=++--- ⎪⎝⎭2111444n S -<++ 1124n S <+所以2n S <．。
北京市东城区普通校2014届高三12月联考数学(理)试题-含答案
东城区普通校2013-2014学年第一学期联考试卷高三 数学（理科）命题校：65中 2013年12月本试卷共 10 页， 150 分，考试用长 120 分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
选出符合题目要求的一项填在机读卡上。
1. 已知集合{}30R <<∈=x x A ，{}4R 2≥∈=x x B ，则=B A ( ) （A ）{}32<<x x （B ）{}32<≤x x （C ）{}322<≤-≤x x x 或 （D ） R 2. 在复平面内，复数i(i 1)-对应的点在( )（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 3. 等差数列}{n a 中，42a =，则7S 等于( ) （A ）28（B ）14（C ）3.5（D ）74. 已知α，β为不重合的两个平面，直线α⊂m ，那么“β⊥m ”是“βα⊥”的( ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件5. 若向量a ，b 满足1=a ，b ，且()⊥a a +b ，则a 与b 的夹角为( )（A ）2π （B ）23π （C ）34π （D ）56π 6. 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ） （A ）8（B ）83 （C ）4（D ）437. 与直线40x y --=和圆22220x y x y ++-=都相切的半径最小的圆的方程是 ( )（A ） 22(1)(1)2x y +++= （B ）22(1)(1)4x y +++=（C ）22(1)(1)2x y -++= （D ）22(1)(1)4x y -++= 8. 已知函数)(x f 的定义域为R ，若存在常数0>m ，对任意x ∈R ，有|()|||f x m x <，则称)(x f 为F 函数．给出下列函数：①2)(x x f =；②x x x f cos sin )(+=；③1)(2++=x x xx f ；④)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足对一切实数21,x x 均有 21212)()(x x x f x f -≤-．其中是F 函数的序号为 ( )（A ）①② （B ）①③ （C ）②④ （D ）③④第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2014北京市东城区高三(一模)数 学(理)
2014北京市东城区高三（一模）数学（理）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x|（x+1）（x﹣2）≥0}，则∁R A=（）A．{x|x＜﹣1，或x＞2} B．{x|x≤﹣1，或x≥2} C．{x|﹣1＜x＜2} D．{x|﹣1≤x≤2}2．（5分）复数=（）A．B．C． D．3．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度4．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=9，S5=30，则a7+a8+a9=（）A．27 B．36 C．42 D．635．（5分）在极坐标系中，点（，）到直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0的距离等于（）A．B．C．D．26．（5分）如图，在△ABC中，AB=1，AC=3，D是BC的中点，则=（）A．3 B．4 C．5 D．不能确定7．（5分）若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=1相切，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．8．（5分）已知符号函数sgn（x）=，则函数f（x）=sgn（lnx）﹣ln2x的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（x﹣）6的二项展开式中的常数项为．（用数字作答）10．（5分）如图，AB是圆O的直径，延长AB至C，使AB=2BC，且BC=2，CD是圆O的切线，切点为D，连接AD，则CD= ，∠DAB= ．11．（5分）设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点P（x，y），则x+y＜3的概率为．12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数．当＜0时，f（x）=x2﹣6，则x＞0时，f（x）的解析式为；不等式f（x）＜x的解集为．13．（5分）某写字楼将排成一排的6个车位出租给4个公司，其中有两个公司各有两辆汽车，如果这两个公司要求本公司的两个车位相邻，那么不同的分配方法共有种．（用数字作答）14．（5分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，BC=DC=AB=AD=，BD=2，平面ABD⊥平面BCD，O为BD中点，点P，Q分别为线段AO，BC上的动点（不含端点），且AP=CQ，则三棱锥P﹣QCO体积的最大值为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，=．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）如果b=2，求△ABC面积的最大值．16．（13分）某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2，4]的有8人．（1）求直方图中a的值及甲班学生每天平均学习时间在区间（10，12]的人数；（2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AB=PA=1，AD=，F是PB中点，E 为BC上一点．（Ⅰ）求证：AF⊥平面PBC；（Ⅱ）当BE为何值时，二面角C﹣PE﹣D为45°．18．（13分）已知函数f（x）=ax2﹣4ln（x﹣1），a∈R．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）已知点P（1，1）和函数f（x）图象上动点M（m，f（m）），对任意m∈[2，e+1]，直线PM倾斜角都是钝角，求a的取值范围．19．（13分）已知椭圆G：+=1（a＞b＞0），过A（1，）和点B（0，﹣1）．（1）求椭圆G的方程；（2）设过点P（0，）的直线l与椭圆G交于M，N两点，且|BM|=|BN|，求直线l的方程．20．（14分）已知集合{1，2，3，4，…，n}（n≥3），若该集合具有下列性质的子集：每个子集至少含有2个元素，且每个子集中任意两个元素之差的绝对值大于1，则称这些子集为T子集，记T子集的个数为a n．（1）当n=5时，写出所有T子集；（2）求a10；（3）记S n=+++…+，求证：S n＜2．数学试题答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】由A中不等式解得：x≤﹣1或x≥2，∴A={x|x≤﹣1或x≥2}，则∁R A={x|﹣1＜x＜2}，故选：C．2．【解答】===﹣．故选：C．3．【解答】把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣）的图象，故选：D．4．【解答】设等差数列{a n}的公差为d，则S3=3a1+3d=9，S5=5a1+10d=30，联立解得a1=0，d=3，∴S n=na1+d=，∴a7+a8+a9=S9﹣S6=108﹣45=63，故选：D．5．【解答】点A（，）的直角坐标为（1，1），直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0的直角坐标方程为 x﹣y﹣1=0，利用点到直线的距离公式可得，点A（，）到直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0的距离为，故选：A．6．【解答】∵D是BC边的中点，∴，由向量的运算法则可得=，∴=•==（32﹣12）=4．故选：B．7．【解答】双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=x，圆（x﹣2）2+y2=1的圆心为（2，0），半径为1，则由圆心到直线的距离为1，可得=1，解得a=b，c===a，则有e==．故选C．8．【解答】令sgn（lnx）﹣ln2x=0得，当lnx＞0，即x＞1时，1﹣ln2x=0，解得，x=e；当lnx＜0，即x＜1时，﹣1﹣ln2x=0，无解；当lnx=0，即x=1时，成立；故方程sgn（lnx）﹣ln2x=0有两个根，故函数f（x）=sgn（lnx）﹣ln2x的零点个数为2；故选B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】（x﹣）6的二项展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•x6﹣2r，令6﹣2r=0，求得r=3，可得（x﹣）6的二项展开式中的常数项为=20，故答案为：﹣20．10．【解答】连结OD，DB，则OD⊥CD．由切割线定理得CD2=CB•AC=12，∴CD=2，∵OB=2，BC=2，∴OC=4，∴cos∠OCD==，∴∠OCD=，故∠DAB=．故答案为：2，．11．【解答】由题意，本题是几何概型，区域D 的面积为2×2=4，满足x+y＜3的P的区域如图阴影部分，其面积为2×2﹣=，所以满足x+y＜3的概率为；故答案为：．12．【解答】当x＞0时，﹣x＜0由于x＜0时，f（x）=x2﹣6，所以：f（﹣x）=（﹣x）2﹣6由于函数f（x）是定义在R上的奇函数．所以：﹣f（x）=x2﹣6解得：f（x）=﹣x2+6所以：则：①当x＜0时，x2﹣6＜x整理得：（x+2）（x﹣3）＜0，解得：﹣2＜x＜3所以：﹣2＜x＜0．②当x＞0时，﹣x2+6＜x整理得：（x+3）（x﹣2）＞0解得：x＞2或x＜﹣3所以：x＞2综合①②得：不等式的解集为：（﹣2，0）∪（2，+∞）．故答案为：①﹣x2+6②（﹣2，0）∪（2，+∞）13．【解答】由题意，利用捆绑法，共有=24种不同的分配方法．故答案为：24．14．【解答】设AP=x，∵O为BD中点，AD=AB=，∴AO⊥BD，∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，∴AO⊥平面BCD．∴PO是三棱锥P﹣QCO的高．AO==1．∴OP=1﹣x，（0＜x＜1）．在△BCO中，BC=，OB=1，∴OC==1，∠OCB=45°．∴S△OCQ===．∴V三棱锥P﹣OCQ====．当且仅当x=时取等号．∴三棱锥P﹣QCO体积的最大值为．故答案为：．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．【解答】（Ⅰ）∵=∴由正弦定理知：==∴sinB=cosB，即有 tanB=∵0＜B＜π∴B=．（Ⅱ）∵由（Ⅰ）知，sinB=，a=sinA，A=∴S△ABC=absinC=sin（）×2×sinC=sin（）×sinC=sin2C+cos2C+=sin（2C+）+≤．∴△ABC面积的最大值为．16．【解答】（1）由直方图知，（0.150+0.125+0.100+0.0875+a）×2=1，解得a=0.0375，因为甲班学习时间在区间[2，4]的有8人，所以甲班的学生人数为，所以甲、乙两班人数均为40人．所以甲班学习时间在区间（10，12]的人数为40×0.0375×2=3（人）．（2）乙班学习时间在区间（10，12]的人数为40×0.05×2=4（人）．由（1）知甲班学习时间在区间（10，12]的人数为3人，在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，ξ的所有可能取值为0，1，2，3．，，，．所以随机变量ξ的分布列为：ξ0 1 2 3P．17．【解答】（Ⅰ）证明：以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，∵AB=PA=1，AD=，F是PB中点，∴A（0，0，0），P（0，0，1），B（0，1，0），C（，1，0），，，F（0，，），=（0，，），∵=0，，∴AF⊥PB，AF⊥PC，∴AF⊥平面PBC．（Ⅱ）设BE=a，∴E（a，1，0），，，设平面PDE的法向量，则，取x=1，得=（1，，），平面PCE的法向量为，∵二面角C﹣PE﹣D为45°，∴cos＜＞==，解得a=，∴当BE=时，二面角C﹣PE﹣D为45°．AF⊥平面PBC．18．【解答】（1）当a=1时，f（x）=x2﹣4ln（x﹣1），x∈（1，+∞），∴f（x）=2x﹣==，令f′（x）=0，解得：x=2，∴a=1时，f（x）的单调递增区间为（2，+∞），单调递减区间为（1，2）．（2）∵对任意m∈[2，e+1]，直线PM的倾斜角都是钝角，∴对任意m∈[2，e+1]，直线PM的斜率小于0，即＜0，f（m）＜1，即f（x）在区间[2，e+1]上的最大值小于1，f′（x）=，x∈（1，+∞），令g（x）=ax2﹣ax﹣2①当a=0时，f（x）=﹣4ln（x﹣1）在[2，e+1]上单调递减，f（x）max=f（2）=0＜1，显然成立，∴a=0．②当a＜0时，二次函数g（x）的图象开口向下，且g（0）=﹣2，g（1）=﹣2，∀x∈（1，+∞），g（x）＜0，故f′（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上单调递减，故f（x）在[2，e+1]上单调递减，f（x）max=f（2）=4a＜0，显然成立，∴a＜0．（3）当a＞0时，二次函数g（x）的图象开口向上，且g（0）=﹣2，g（1）=﹣2．所以∃x0∈（1，+∞），当x∈（1，x0）时，g（x）＜0．当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0；所以f（x）在区间（1，+∞）内先递减再递增．故f（x）在区间[2，e+1]上的最大值只能是f（2）或f（e+1）．∴，即：，∴0＜a＜．综上：a＜．19．【解答】（1）∵椭圆G：+=1（a＞b＞0），过A（1，）和点B（0，﹣1）．∴b=1，由，得a2=3．∴椭圆G的方程为．…（4分）（2）由题意知直线l的斜率k存在，且k≠0．设直线l的方程为y=kx+．由，消去y并整理得（k2+）x2+3kx+=0，…（5分）由，…（7分）设，MN中点为Q（x0，y0），得，，…（8分）由|BM|=|BN|，知BQ⊥MN，∴，即．化简得，满足△＞0．∴k=，…（12分）∴直线l的方程为y=．…（14分）20．【解答】（Ⅰ）当n=5时，所有T子集：{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，4}，{2，5}，{3，5}，{1，3，5}．（Ⅱ）{1，2，3，4，…，k，k+1，k+2}的T子集可分为两类：第一类子集中不含有k+2，这类子集有a k+1个；第二类子集中含有k+2，这类子集成为{1，2，3，4，…，k}的T子集与{k+2}的并，或为{1，2，3，4，…，k}的单元素子集与{k+2}的并，共有a k+k个．所以a k+2=a k+1+a k+k．因为a3=1，a4=3，所以a5=7，a6=14，a7=26，a8=46，a9=79，a10=133．（Ⅲ）∵，①=，②①﹣②，得：﹣=﹣==﹣=﹣﹣＜＜，∴S n＜2．。
2014东城高三检测数学理科3月
东城区2013-2014学年度第二学期教学检测高三数学 （理科）学校______________班级_________姓名____________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |1621x <<}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(C R B )＝A ．(1，4)B ．(3，4)C ．(1，3)D ．(1，2) 2．已知i 是虚数单位， 若),i 1(z i 3-=+则z=A ．1－2iB ．2－iC ．2＋iD ．1＋2i 3．设a ∈R ，则“a ＝-2”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与 直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为A. 34πB. 2πC. 4πD.4π-5．设a ，b 是两个非零向量．则下列命题为真命题的是A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥bB ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得a ＝λbD ．若存在实数λ，使得a ＝λb ，则|a ＋b |＝|a |－|b |6．在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最大值为A.B.C.4D. 7 已知抛物线1C ：212y x p =(0)p >的焦点与双曲线2C ：2213x y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M ,若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则p =8．设a ＞0，b ＞0．[A ．若2223a b a b +=+，则a ＞bB ．若2223a b a b +=+，则a ＜bC ．若2223a b a b -=-，则a ＞bD ．若2223a b a b -=-，则a ＜b非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2446,10a a S +==.则_______a 10=．10．如图，PA 与圆O 相切于A ，不过圆心O 的割线PCB 与直径AE 相交于D 点.已知∠BPA =030，2=AD ，1=PC ,则圆O 的半径等于 ．11. 若函数()xf x kx e =-有零点，则k 的取值范围为_______.12．已知圆的方程为08622=--+y x y x ,设该圆过点（3，5）的最长弦和最短 弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为_______________.13．已知231(1)n x x x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的展开式中没有．．常数项，n ∈*N ，且2 ≤ n ≤ 7，则n =______．14．设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1]( x 2－ax －1)≥0， 则a ＝______________．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分13分)设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a Bb Ac -=．（Ⅰ）求tanB tanA的值；（Ⅱ）求tan()A B -的最大值． 16．(本小题满分13分)某绿化队甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技能考核.（I ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（II ）求从甲组抽取的工人中至少1名女工人的概率；（III ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望. 17．(本小题满分14分)在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =. 以AC 的中点O 为球心、AC 为直径的球面交PD 于点M ，交PC 于点N .（Ⅰ）求证：平面ABM ⊥平面PCD ； （Ⅱ）求直线CD 与平面ACM 所成的角的正弦值； （Ⅲ）求点N 到平面ACM 的距离.18.（本小题满分14分）已知函数1()ln(1),01xf x ax x x-=++≥+，其中0a > ()I 若()f x 在x=1处取得极值，求a 的值； ()II 求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围 .19．(本小题满分14分)椭圆C ：2222+1x y a b=(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2，1)（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证：直线l 过定点，并求出该定 点的坐标．20.（本题满分12分）在数列}b {},a {n n 中，a 1=2，b 1=4，且1n n n a b a +，，成等差数列，11n n n b a b ++，， 成等比数列（n ∈*N ）（Ⅰ）求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此归纳出}b {},a {n n 的通项公式，并证明你的结论； （Ⅱ）证明：.125b a 1b a 1b a 1b a 122n n 332211<++++++++参考答案东城区2013-2014学年度第二学期教学检测高三数学答案 （理科）一、选择题：1．B ；2．D ；3．A ；4．C ； 5．C ；6．C ；7．D ；8．A ．（第8题的提示：若2223a b a b +=+，必有2222a b a b +>+．构造函数：()22x f x x =+，则()2l n 220x f x '=⋅+>恒成立，故有函数()22xf x x =+在x ＞0上单调递增，即a ＞b 成立．其余选项用同样方法排除．）二、填空题：9．10； 10．7； 11. 0.k e k ><或； 12 . 206；13．5； 14． 23=a （第14题的提示: 函数y 1＝(a －1)x －1，y 2＝x 2－ax －1都过定点P (0，-1)．函数y 1＝(a －1)x －1：过M (11a -，0)，可得：a ＞1；函数y 2＝x 2－ax －1：显然过点M (11a -，0)，得：23a 0==或者a ，舍去0=a ，）三、解答题： 15．(本小题满分13分)（Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理及3cos cos 5a Bb Ac -=可得3333sin cos sin cos sin sin()sin cos cos sin 5555A B B A C A B A B A B -==+=+ 即sin cos 4cos sin A B A B =，则tanBtanA=4. --------6分（Ⅱ）由(Ⅰ)得tan 4tan 0A B =>,434tanB tanB13B4tan 13tanBtanAtanB 1tanB tanA )B A (tan 2≤+=+=+-=-当且仅当,2tanB ,4tanB tanB1==时，等号成立， 故当1tan 2,tan 2A B ==时，tan()A B -的最大值为34. --------13分16．(本小题满分13分)（I ）从甲组抽取2人, 从乙组抽取1人. --------2分（II ）.从甲组抽取的工人中至少1名女工人的概率.32311C C 1P 21026=-=-= --------5分（III ）ξ的可能取值为0，1，2，31234211056(0)75C C P C C ξ==⋅=,1112146342212110510528(1)75C C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅=，21622110510(3)75C C P C C ξ==⋅=, 31(2)1(0)(1)(3)75P P P P ξξξξ==-=-=-==5E =ξ. --------13分17．(本小题满分14分)（Ⅰ）依题设知，AC 是所作球面的直径，则AM ⊥MC。
北京市东城区示范校2014届高三12月教学质量调研数学(理)试题Word版含答案
北京市东城区普通高中示范校2014届高三年12月教学质量调研数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 设全集R U =，集合{}0322<--=x x x A ，{}1>=x x B ，则⋂A B C U 等于（A ）{}11<<-x x （B ）{}11≤<-x x（C ）{}21<<-x x（D ）{}1≤x x2. 设向量()x a -=1,1，()x b +=1,3，则“2=x ”是“b a ⊥”的（A ）充分但不必要条件 （B ）必要但不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件3. 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （A ）ππ32+（B ）π38（C ）ππ332+（D ）ππ3324+4. 执行如图所示的程序框图，输出的结果S 等于（A ）3（B ）7（C ）11（D ）135. 动点A （x ，y ）在圆x 2+y 2=l 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。
已知时间t=0时，点A 的坐标是（2321，），则当0≤t ≤12时，动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数的单调递增区间是（A ）[0，1]（B ）[1，7]（C ）[7，12]（D ）[0，1]和[7，12]6. 某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品。
甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元。
甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为（A ）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 （B ）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 （C ）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱 （D ）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱7. 设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若0=++，则的值为（A ）3（B ）4（C ）6（D ）98. 对于具有相同定义域D 的函数f （x ）和g （x ），若存在函数h （x ）=kx+b （k ，b 为常数），对任给的正数学科网m ，存在相应的x 0，使得当x ∈D 且x >x 0时，总有()()()()⎩⎨⎧<-<<-<mx g x h mx h x f 00，则称直线l ：y =kx +b 为曲线y =f （x ）和y =g （x ）的“分渐近线”。
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北京市东城区2013-2014学年度第二学期高三综合练习（二） 高三数学 （理科） 2014.5 学校_____________班级_______________姓名______________考号___________
本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
（1）设集合{12}A x x =∈+≥R ，集合{2,1,0,1,2}--，则A B =
（A ）{2} （B ）{1,2}
（C ）{0,1,2} （D ）{1,0,1,2}-
（2）在复平面内，复数32i 1i
--对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限
（C ）第三象限 （D ）第四象限
（3）已知一个算法的程序框图如图所示，当输
出的结果为0时，输入的x 值为
（A ）2或2-
（B ）1-或2-
（C ）1或2-
（D ）2或1-
(4) 如果实数x ，y 满足条件10,10,10,x y x y y -+≥⎧⎪++≤⎨⎪+≥⎩
则2z x y =-的最大值为
（A ）3- （B ）1-
（C ）0 （D ）1
（5）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，236n n S S +-=，则n =。