2014年5月数学最新北京市东城区初三中考数学一模(1)
北京市东城区2014年中考一模数学试题(附答案及评分标准)
北京市房山区2013年中考数学二模试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑．1．（4分）（2012•呼和浩特）﹣2的倒数是（）A．2B．﹣2 C．D．考点：倒数．分析：根据倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．解答：解：∵﹣2×（）=1，∴﹣2的倒数是﹣．故选D．点评：主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，属于基础题．2．（4分）（2013•房山区二模）国家统计局22日公布的2012年统计公报显示，我国2012年全年研究与试验发展（RD）经费支出10240亿元，比上年增长17.9%，占国内生产总值的1.97%．将10240用科学记数法表示应为（）A．1.0240×104B．1.0240×105C．10.240×104D．0.10240×104考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将10240用科学记数法表示为1.0240×104．故选A．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（4分）（2006•宜宾）在直角坐标系中，点M（1，2）关于y轴对称的点的坐标为（）A．（1，﹣2）B．（2，﹣1）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣1，2）考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．分析：根据平面直角坐标系的性题比较容易，考查平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点．解答：解：点P（m，n）关于y轴对称点的坐标P′（﹣m，n），∴点P（1，2）关于y轴对称的点的坐标为（﹣1，2）故选D．点评：解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．4．（4分）（2013•房山区二模）如图：⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径均为1，则图中三个阴影扇形的面积之和为（）A．πB．C．2πD．考点：扇形面积的计算．分析：根据三角形的内角和是180°和扇形的面积公式进行计算．解答：解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∴阴影部分的面积==π．故选B．点评：考查了扇形面积的计算，因为三个扇形的半径相等，所以不需知道各个扇形的圆心角的度数，只需知道三个圆心角的和即可．5．（4分）（2013•房山区二模）某场射击比赛中，第一小组10人第一轮射击成绩分别为8、9、9、10、7、8、8、9、8、8（单位：环），则这组数据的众数和中位数分别为（）A．8、8 B．8、9 C．7、8 D．9、8考点：众数；中位数．分析：根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，及中位数的定义，结合所给数据即可得出答案．解答：解：将数据从小到大排列为：7，8，8，8，8，8，9，9，9，10，众数为：8；中位数为：8．故选A．点评：本题考查了众数及中位数的知识，解答本题的关键是掌握众数及中位数的定义，在求中位数的时候一定要将数据重新排列．6．（4分）（2013•房山区二模）已知两个圆的半径分别是5和3，圆心距是2，则这两个圆的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离考点：圆与圆的位置关系．分析：根据圆心距与半径之间的数量关系可知两圆的位置关系是内切．解答：解：∵两个圆的半径分别是5和3，圆心距是2，5﹣3=2，∴两圆的位置关系是内切．故选A ． 点评： 本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．设两圆的半径分别为R 和r ，且R ≥r ，圆心距为P ，则外离：P ＞R+r ；外切：P=R+r ；相交：R ﹣r ＜P ＜R+r ；内切：P=R ﹣r ；内含：P ＜R ﹣r ． 7．（4分）（2013•房山区二模）若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形的边数是（ ） A ． 5 B ． 6 C ． 7 D ． 8考点： 多边形内角与外角．专题： 压轴题． 分析： 利用多边形的内角和公式即可求解． 解答： 解：因为多边形的内角和公式为（n ﹣2）•180°，所以（n ﹣2）×180°=720°， 解得n=6，所以这个多边形的边数是6． 故选B ． 点评： 本题考查了多边形的内角和公式及利用内角和公式列方程解决相关问题．内角和公式可能部分学生会忘记，但是这并不是重点，如果我们在学习这个知识的时候能真正理解，在考试时即使忘记了公式，推导一下这个公式也不会花多少时间，所以，学习数学，理解比记忆更重要． 8．（4分）（2013•房山区二模）在正方体的表面上画有如图所示的粗线，则其展开后正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．考点： 几何体的展开图． 分析： 具体折一折，从中发挥想象力，可得正确的答案． 解答： 解：由带有各种符号的面的特点及位置，可知只有选项D 符合．故选D ． 点评： 考查了几何体的展开图，解决此类问题，要充分考虑带有各种符号的面的特点及位置．二、填空题（本大题共16分，每小题4分）：9．（4分）（2013•房山区二模）图象经过点（﹣1，2）的反比例函数的表达式是 ．考点： 待定系数法求反比例函数解析式． 专题： 待定系数法．分析：先设y=，再把已知点的坐标代入可求出k值，即得到反比例函数的解析式．解答：解：设反比例函数的表达式是y=，将点（﹣1，2）代入解析式可得k=﹣2，所以y=﹣．故答案为：y=﹣．点评：本题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点内容．10．（4分）（2013•房山区二模）分解因式：3a2﹣6ab+3b2=3（a﹣b）2．考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．解答：解：3a2﹣6ab+3b2=3（a2﹣2ab+b2）=3（a﹣b）2．故答案为：3（a﹣b）2．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．11．（4分）（2013•房山区二模）如图，△ABC中，D为AB上一点，且∠ACD=∠B，若AD=2，BD=，则AC=3．考点：相似三角形的判定与性质．分析：先判断△ACD∽△ABC，利用对应边成比例，可求出AC．解答：解：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴=，即=，解得：AC=3．故答案为：3．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是判断△ACD∽△ABC，注意掌握相似三角形的对应边成比例．12．（4分）（2013•房山区二模）观察下列等式：①；②；③；④…；则根据此规律第6个等式为，第n个等式为a+=2n+1（n为正整数）．．考点：规律型：数字的变化类．专题：规律型．分析：观察所给的几个等式得到等式左边为a加上a的倒数的倍数，这个倍数为等式的序号数与比它大1的数的积，等式的右边为等式的序号数的2倍加1，即第n个等式为a+=2n+1（n为正整数），然后把n=6代入可得到第6个等式．解答：解：第6个等式为a+=13；第n个等式为a+=2n+1（n为正整数）．故答案为a+=13；a+=2n+1（n为正整数）．点评：本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．三、解答题（本大题共30分，每小题5分）：13．（5分）（2013•房山区二模）计算：．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：分别进行二次根式的化简、零指数幂及负整数指数幂的运算，然后代入特殊角的三角函数值即可．解答：解：原式=2﹣2×+1﹣4=﹣3．点评：本题考查了实数的运算，要求熟练掌握零指数幂、负整数指数幂的运算法则，熟记一些特殊角的三角函数值．14．（5分）（2013•房山区二模）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．分析：先解不等式组中的每一个不等式，再把不等式的解集表示在数轴上即可．解答：解：由①，得x＞﹣1，由②，得x＜2，∴不等式组的解集是﹣1＜x＜2．不等式组的解集在数轴上表示为：点评：本题考查解不等式组和不等式组的解集在数轴上表示的方法．在数轴是表示不等式组的解集时，需要把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．15．（5分）（2013•房山区二模）已知a2﹣a﹣1=0，求代数式的值．考点：分式的化简求值．分析：首先对所求的式子进行化简，先计算乘法，然后进行加减运算，最后把已知的式子化成a2﹣a=1，代入求解即可．解答：解：原式=﹣•=﹣==﹣，∵a2﹣a﹣1=0，∴a2﹣a=1则原式=﹣1．点评：本题考查了分式的化简求值，正确对分式进行化简是关键．16．（5分）（2013•房山区二模）已知：如图，点C、D在线段AB上，E、F在AB同侧，DE与CF相交于点O，且AC=BD，AE=BF，∠A=∠B．求证：DE=CF．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：首先证明AD=BC，然后利用SAS即可证得△ADE≌△BCF，根据全等三角形的对应边相等即可证得．解答：证明：∵AC=BD，∴AD=BC．∵在△ADE和△BCF中，∴△ADE≌△BCF（ASA），∴DE=CF．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正确理解三角形全等的条件是关键．17．（5分）（2013•房山区二模）如图，直线AB过点A，且与y轴交于点B．（1）求直线AB的解析式；（2）若P是直线AB上一点，且⊙P的半径为1，请直接写出⊙P与坐标轴相切时点P的坐标．考点：一次函数综合题．专题：计算题．分析：（1）知道A、B坐标，利用待定系数法即可求出函数解析式；（2）设出P的横坐标，代入函数解析式即可求出P的纵坐标．解答：解：（1）由图可知：A（﹣3，﹣3），B（0，3）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0）则，解得．∴直线AB的解析式为y=2x+3．（2）①设P1（1，a），代入y=2x+3得，a=2+3=5，则P1（1，5）；②设P2（﹣1，b），代入y=2x+3得，b=﹣2+3=1，则P2（﹣1，1），与两个坐标轴相切；③设P3（﹣2，c），代入y=2x+3得c=﹣4+3=﹣1，则P3（﹣2，﹣1）．综上，P1（1，5），P2（﹣1，1），P3（﹣2，﹣1）．点评：本题考查了一次函数综合题，熟悉待定系数法及圆与直线的位置关系是解题的关键．18．（5分）（2013•房山区二模）据媒体报道，2010年北京市民到郊区旅游总人数约5000万人，2012年市民到郊区旅游总人数增长到约7200万人．求这两年北京市民到郊区旅游总人数的年平均增长率．考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：设这两年北京市民到郊区旅游总人数的年平均增长率为x，则2011年郊区旅游人数为5000（1+x）人，2012年郊区旅游人数为5000（1+x）（1+x）人等于2012年市民到郊区旅游总人数增长到约7200万人建立方程求出其解即可．解答：解：设这两年北京市民到郊区旅游总人数的年平均增长率为x，由题意，得5000（1+x）2=7200解得：x1=0.2，x2=﹣2.2∵增长率不能为负，∴只取x=0.2=20%．答：这两年北京市民到郊区旅游总人数的年平均增长率为20%．点评：本题考查列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，增长率问题的数量关系的运用，解答时要验根是否使实际问题有意义是解答容易忽略的过程．四、解答题（本大题共20分，每小题5分）：19．（5分）（2013•房山区二模）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB=13，CD=4，点E 在边AB上，DE∥BC．若CE=CB，且tan∠B=3，求四边形ABCD的面积．考点：平行四边形的判定与性质；解直角三角形．分析：如图，过点C作CF⊥AB于点F．根据已知条件证得四边形BCDE为平行四边形，则对边BE=CD=4．然后利用等腰△BCE的“三合一”的性质求得BF=2；再通过解Rt△BCF 得到四边形ABCD的边AB上的高CF=6．所以由梯形的面积公式来求该四边形的面积即可．解答：解：如图，过点C作CF⊥AB于点F．∵AB∥CD，DE∥BC∴四边形BCDE为平行四边形∴BE=CD=4．∵CE=CB，CF⊥BE∴BF=BE=2在Rt△BCF中，tan∠B=3，BF=2∴CF=6∴四边形ABCD的面积=×（4+9）×6=39．点评：本题考查了平行四边形的判定与性质、解直角三角形．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．20．（5分）（2013•房山区二模）如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O 分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．（1）求证：直线CP是⊙O的切线；（2）若BC=2，sin∠BCP=，求⊙O的半径及△ACP的周长．考点：切线的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质．分析：（1）欲证明直线CP是⊙O的切线，只需证得CP⊥AC；（2）利用正弦三角函数的定义求得⊙O的直径AC=5，则⊙O的半径为．如图，过点B作BD⊥AC于点D，构建相似三角形：△CAN∽△CBD，所以根据相似三角形的对应边成比例求得线段BD=4；然后在直角△BCD中，利用勾股定理可以求得CD=2，所以利用平行线分线段成比例分别求得线段PC、PB的长度．则△ACP的周长迎刃可解了．解答：（1）证明：连接AN，∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∵AC是⊙O的直径，∴AN⊥BC，∴∠CAN=∠BAN，BN=CN，∵∠CAB=2∠BCP，∴∠CAN=∠BCP．∵∠CAN+∠ACN=90°，∴∠BCP+∠ACN=90°，∴CP⊥AC∵OC是⊙O的半径∴CP是⊙O的切线；（2）解：∵∠ANC=90°，sin∠BCP=，∴=，∴AC=5，∴⊙O的半径为如图，过点B作BD⊥AC于点D．由（1）得BN=CN=BC=，在Rt△CAN中，AN==2在△CAN和△CBD中，∠ANC=∠BDC=90°，∠ACN=∠BCD，∴△CAN∽△CBD，∴=，∴BD=4．在Rt△BCD中，CD==2，∴AD=AC﹣CD=5﹣2=3，∵BD∥CP，∴=，=∴CP=，BP=∴△APC的周长是AC+PC+AP=20．点评：本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．注意，勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．21．（5分）（2013•房山区二模）某学校为了进一步丰富学生的体育活动，欲增购一些体育器材，为此对该校一部分学生进行了一次“你最喜欢的体育活动”的问卷调查（每人只选一项）．根据收集到的数据，绘制成如下统计图（不完整）：请根据图中提供的信息，完成下列问题：（1）在这次问卷调查中，一共抽查了名学生；（2）请将上面两幅统计图补充完整；（3）图①中，“踢毽”部分所对应的圆心角为度；（4）如果全校有1860名学生，请问全校学生中，最喜欢“球类”活动的学生约有多少人？考点：扇形统计图；用样本估计总体；条形统计图．专题：图表型．分析：（1）由图一和图二可知：这次问卷调查中，喜欢球类的有80人，占40%，据此即可求解；（2）其他所占的百分比为=20%，则跳绳的人数占总人数的比例为1﹣15%﹣40%﹣20%=25%，跳绳的人数为200×25%=50人；（3）图①中，利用“踢毽”部分所对应的百分比即可求出答案；（4）利用样本估计总体即可．解答：解：（1）80÷0.4=200；（2分）（2）补充图：扇形图中补充的跳绳25%；（3分）其它20%；（4分）条形图中补充的高为50；（5分）（3）360×0.15=54°；（7分）（4）1860×40%=744（人）．（9分）答：最喜欢“球类”活动的学生约有744人．（10分）点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．（5分）（2013•房山区二模）如图1，在矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在边NP，PQ，QM，MN上，当∠1=∠2=∠3=∠4时，我们称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．已知：矩形ABCD的四个顶点均为边长为1的正方形网格的格点，请解决下列问题：（1）在图2中，点E，F分别在BC，CD边上，请作出矩形ABCD的反射四边形EFGH，并求出反射四边形EFGH的周长．（2）在图3中作出矩形ABCD的所有反射四边形，并判断它们的周长之间的关系．考点：四边形综合题．分析：（1）根据反射四边形的含义和E、F点的位置画出即可；根据勾股定理求出边长，即可求出周长；（2）根据图形可以画出4个反射四边形，根据勾股定理求出四边形的边长，即可求出周长，根据求出的周长结果即可得出矩形ABCD的反射四边形的周长为定值．解答：解：（1）如图1：∴四边形EFGH即为所求，在Rt△CEF中，CF=2，EC=4，由勾股定理得：EF=2，同理HG=GF=HE=2，即四边形的周长为：4×2=8；（2）如图2，图3：根据勾股定理图2中的反射四边形的边长是：=，=4，则反射四边形的周长是2×+2×4=10；根据勾股定理形图3的反射四边形的边长是：=2，=3，则反射四边形的周长是2×2+2×3=10即矩形ABCD的反射四边形的周长为定值．点评：本题考查了矩形，勾股定理的应用，此题是一道比较好的题目，通过做此题培养了学生的阅读能力、理解能力和动手操作能力．五、解答题（本大题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．（7分）（2013•房山区二模）已知二次函数．（1）求证：不论k为任何实数，该函数的图象与x轴必有两个交点；（2）若该二次函数的图象与x轴的两个交点在点A（1，0）的两侧，且关于x的一元二次方程k2x2+（2k+3）x+1=0有两个不相等的实数根，求k的整数值；（3）在（2）的条件下，关于x的另一方程x2+2（a+k）x+2a﹣k2+6k﹣4=0 有大于0且小于3的实数根，求a的整数值．考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）表示出方程：x2+kx+k﹣=0的判别式，即可得出结论；（2）二次函数的图象与x轴的两个交点在点A（1，0）的两侧，则可得当x=1时，函数值y＜0，再由关于x的一元二次方程k2x2+（2k+3）x+1=0有两个不相等的实数根，可得出k的取值范围，从而得出k的整数值；（3）将求得的k的值代入，然后可求出方程的根，根据方程有大于0且小于3的实数根，可得出a的取值范围，继而得出a的整数值．解答：（1）证明：x2+kx+k﹣=0，△1=b2﹣4ac=k2﹣4（k﹣）=k2﹣2k+14=k2﹣2k+1+13=（k﹣1）2+13＞0，∴不论k为任何实数，该函数的图象与x轴必有两个交点；（2）解：∵二次函数y=x2+kx+k﹣的图象与x轴的两个交点在点（1，0）的两侧，且二次函数开口向上，∴当x=1时，函数值y＜0，即1+k+k﹣＜0，解得：k＜，∵关于x的一元二次方程k2x2+（2k+3）x+1=0有两个不相等的实数根，∴k≠0且△2=b2﹣4ac=（2k+3）2﹣4k2=4k2+12k+9﹣4k2=12k+9＞0，∴k＞﹣且k≠0，∴﹣＜k＜且k≠0，∴k=1；（3）解：由（2）可知：k=1，∴x2+2（a+1）x+2a+1=0，解得x1=﹣1，x2=﹣2a﹣1，根据题意，0＜﹣2a﹣1＜3，∴﹣2＜a＜﹣，∴a的整数值为﹣1．点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了抛物线与x轴的交点问题、根的判别式、不等式组的整数解，对于此类综合题往往涉及的知识点较多，同学们注意培养自己解答综合题的能力，将所学知识融会贯通．24．（7分）（2013•房山区二模）（1）如图1，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且满足BE=CF，联结AE、BF交于点H..请直接写出线段AE与BF的数量关系和位置关系；（2）如图2，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，联结BF，过点E作EG⊥BF 于点H，交AD于点G，试判断线段BF与GE的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，在（2）的条件下，联结GF、HD．求证：①FG+BE≥BF；②∠HGF=∠HDF．考点：四边形综合题．分析：（1）证△ABE≌△BCF，推出AE=BF，∠BAE=∠CBF，求出∠CBF+∠AEB=90°，求出∠BHE=90°即可；（2）过点A作AM∥GE交BC于M，证△ABM≌△BCF，推出AM=BF，根据AM∥GE 且AD∥BC推出AM=GE即可；（3）①过点B作BN∥FG，且使BN=FG，连接NG、NE，根据四边形NBFG是平行四边形的性质求出BF=NG，BF∥NG，求出△NGE为等腰直角三角形，由勾股定理得NE=NG，即NE=BF，即可求出答案；②证G、H、F、D四点共圆，根据圆周角定理得出∠HGF=∠HDF即可．解答：（1）解：AE=BF且AE⊥BF，理由是：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE=∠C=90°，AB=BC，∵在△ABE和△BCF中∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE=BF，∠BAE=∠CBF，∵∠ABE=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∴∠CBF+∠AEB=90°，∴∠BHE=180°﹣90°=90°，∴AE⊥BF．（2）BF=GE，证明：过点A作AM∥GE交BC于M，∵EG⊥BF，∴AM⊥BF，∴∠BAM+∠ABF=90°，∵正方形ABCD，∴AB=BC，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=90°，∴∠CBF+∠ABF=90°，∴∠BAM=∠CBF，∵在△ABM和△BCF中∴△ABM≌△BCF（ASA），∴AM=BF，∵AM∥GE且AD∥BC，∴AM=GE，∴BF=GE；（3）证明：①：过点B作BN∥FG，且使BN=FG，连接NG、NE，∴四边形NBFG是平行四边形，∴BF=NG，BF∥NG，由（2）可知，BF⊥GE，且BF=GE，∴NG⊥EG且NG=EG，∴△NGE为等腰直角三角形，由勾股定理得NE=NG，∴NE=BF，当点F与点D不重合，点E与点C不重合时，N、B、E三点不共线，此时，在△BEN中，NB+BE＞NE，即FG+BE＞BF，当点F与点D重合，点E与点C重合时，N、B、E三点共线，此时，NB+BE=NE，即FG+BE=BF；②证明：∵正方形ABCD∴∠ADC=90°以GF为直径作⊙P，则点D在⊙P上∵∠GHF=90°∴点H也在⊙P上∴∠HGF=∠HDF．点评：本题考查了圆周角定理，正方形性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．25．（8分）（2013•房山区二模）已知抛物线y=（3﹣m）x2+2（m﹣3）x+4m﹣m2的最低点A的纵坐标是3，直线y=mx+b经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C．（1）求抛物线与直线AB的解析式．（2）将直线AB绕点O顺时针旋转90°，与x轴交于点D，与y轴交于点E，求sin∠BDE 的值．（3）过B点作x轴的平行线BG，点M在直线BG上，且到抛物线的对称轴的距离为6，设点N在直线BG上，请你直接写出使得∠AMB+∠ANB=45°的点N的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）先由y=（3﹣m）x2+2（m﹣3）x+4m﹣m2可以求出抛物线的对称轴，就可以求出顶点坐标，代入解析式就可以求出m的值，将A的坐标及m的值代入一次函数的解析式就可以求出结论；（2）根据旋转的性质就可以求出D、E的坐标，由勾股定理就可以求出BD，DE、DF的值根据求锐角三角函数的方法就可以求出结论；（3）根据题意画出图形，分情况讨论运用相似三角形的性质就可以求出结论．解答：解：（1）∵y=（3﹣m）x2+2（m﹣3）x+4m﹣m2的，∴抛物线的对称轴x=﹣=1．∵抛物线y=（3﹣m）x2+2（m﹣3）x+4m﹣m2的最低点A的纵坐标是3 ∴抛物线的顶点为A（1，3）∴m2﹣5m+6=0，∴m=3或m=2，∵3﹣m＞0，∴m＜3∴m=2，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x+4，直线为y=2x+b．∵直线y=mx+b经过点A（1，3）∴3=2+b，∴b=1．∴直线AB为：y=2x+1；（2）令x=0，则y=1，）令y=0，则x=﹣，∴B（0，1），C（﹣，0）将直线AB绕O点顺时针旋转900，设DE与BC交于点F∴D（1，0），E（0，），∠CFD=90°，∴OB=OD=1 OC=，∴CD=在Rt△BOC中，由勾股定理，得CB=，BD=．∵CD•OB=CB•DF，∴DF=，∴由勾股定理，得BF=，∴Sin∠BDE===；（3）如图2，在BG上取一点Q，使AP=QP，∴∠AQP=45°．∴∠ANB+∠QAN=∠QAM+∠AMB=45°．∵∠AMB+∠ANB=45°，∴∠ANB=∠QAM，∴△AQN∽△MQA，∴．∵AD=3，OD=1，∴AP=QP=2，∴QM=4，AQ=2，∵MP=6，∴MQ=4．∴，∴QN=2，∴BN=5．∴N（5，1）；如图3，在BG上取一点Q，使AP=QP，∴∠AQP=45°．∴∠ANB+∠AMB=∠QAM+∠AMB=45°．∴∠ANB=∠QAM，∴△AQM∽△NAM，∴．∵AD=3，OD=1，∴AP=QP=2，∴QM=4，BM=7，AQ=2，∵MP=6，∴MQ=4．AM=2，∴，∴MN=10，∴BN=3．∴N（﹣3，1）；∴N（﹣3，1）或（5，1）．点评：本题考查了运用抛物线的顶点式求顶点坐标的运，运用待定系数法求出二次函数与一次函数的解析式的运用，旋转的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时寻找解答本题的突破口从抛物线的顶点入手，求N的坐标运用相似三角形的性质是关键．。
东城初三数学答案
东城区2013-2014学年第一学期期末统一测试 初三数学参考答案及评分标准 2014.1一、选择题（本题共32分，每小题4分）二、填空题（本题共16分，每小题4分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解方程：21090x x -+=.解：变形为 2109x x -=-. ………………..1分配方，21025925x x -+=-+. …………..……..2分 整理，得2(5)16x -=. ………………..3分 解得，121,9x x ==. ………………..5分14．解：由题意可求，∠AC A ′=60°，CA=5． ………………..2分所以60π55π1803cm AA ⨯'==． ………………..5分15．解：∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AB ∥CD ．∴ △DEF ∽△BAF ． ………………..1分 ∴ 24=25DEF ABF S DE S AB =⎛⎫⎪⎝⎭△△． ………………..2分 ∴2=5DEAB ． ………………..3分又∵ AB CD =, ………………..4分∴ DE ∶EC =2∶3 ． ………………..5分16．解：（1）由题意，有0,5,938.a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=-⎩解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==.5,4,1c b a ∴此二次函数的解析式为542--=x x y . ………………..2分 ∴9)2(2--=x y ，顶点坐标为(2，-9). ………………..4分（2）先向左平移2个单位，再向上平移9个单位，得到的抛物线的解析式为y = x 2．………………..5分17．（1）………………..3分（2）（i ）如图1，点P 就是所求作的点；（ii ）如图2，CD 为AB 边上的高.图1 图2 ………………..5分 18．解：∵ OD ⊥AB ， ∴ AC =BC 12AB =． ………………..1分设AO = x ．在Rt △ACO 中，222AO AC OC =+． ∴ 2224(2)x x =+-．解得 5x =． ………………..2分 ∴ AE =10，OC =3． ………………..3分 连结BE ． ∵ AE 是直径， ∴ ∠ABE =90°．由OC 是△ABE 的中位线可求 26BE OC ==． ………………..4分 在Rt △CBE 中，222CE BC BE =+．∴ CE === ………………..5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）||ON =||（（20．解：设金色纸边的宽为x 分米 ． ………………..1分根据题意，得 （2x ＋6）(2x ＋8)＝80.………………..3分解得：x 1＝1，x 2＝－8（不合题意，舍去）． ………………..4分 答：金色纸边的宽为1分米．………………..5分21．解：（1）直线BD 与⊙O 的位置关系是相切．证明：连结OD ，DE . ∵∠C =90°，∴∠CBD +∠CDB =90°． ∵∠A =∠CBD ， ∴∠A +∠CDB =90°． ∵OD = OA ， ∴∠A =∠ADO ． ∴∠ADO + ∠CDB =90°． ∴∠ODB = 180° - 90°=90°． ∴OD ⊥BD ． ∵OD 为半径，∴BD 是⊙O 切线． ………………..2分 （2）∵AD : AO =8 : 5，∴AD AE =810． ∴由勾股定理得AD : DE : AE = 8 : 6 : 10．∵∠C =90°，∠CBD =∠A . ∴△BCD ∽△ADE ．∴DC : BC : BD = DE : AD : AE =6 : 8 : 10． ∵BC =3，∴BD =15． ………………..5分………………..2分 图1 图2 ）32BC AB=． ………….. 5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 解：（1）证明：2()2()y a x m a x m =---22(22)2.ax am a x am am =-+++ ……………………………..1分22=(22)4(2)a am a a am am ≠∆++-当0时， 24.a = …………………………..2分∵0,a ≠∴240.a >∴不论a 与m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点．…………..3分 （2）2()2()y a x m a x m =---2=(1).a x m a --- (1,).C m a ∴+-…………………………4分 当y =0时， 解得x 1 = m ，x 2 = m + 2.∴AB =（m + 2）- m = 2. ………………………………..5分当△ABC 是等腰直角三角形时，可求出AB 边上高等于1． ∴ 1a -=．∴ 1a =±． ……………………………………………..7分24．解：（1）①线段DE 与AC 的位置关系是 平行 ． …………………..1分 ②S 1与S 2的数量关系是 相等 ．证明：如图2，过D 作DN ⊥AC 交AC 于点N ，过E 作EM ⊥AC 交AC 延长线于M ，过C 作CF ⊥AB 交AB 于点F ．由①可知 △ADC 是等边三角形，DE ∥AC ， ∴DN =CF , DN =EM ．∴CF =EM ．∵90,30ACB B ∠=︒∠=︒， ∴2AB AC =． 又∵AD AC =,∴BD AC =． 图2 ∵112S CF BD =，212S AC EM =，∴1S =2S ． …………………..3分（2）证明：如图3，作DG ⊥BC 于点G ，AH ⊥CE 交EC 延长线于点H .∵90,180DCE ACB DCG ACE ∠=∠=︒∴∠+∠=︒． 又∵180,ACH ACE ACH DCG ∠+∠=︒∴∠=∠．又∵90,CHA CGD AC CD ∠=∠=︒=,∴△AHC ≌△DGC ．∴AH =DG ．又∵CE =CB , 图3 ∴12S S =． ……………………..7分25．解：（1）由题意可知 44m =，1m =．∴ 二次函数的解析式为24y x =-+．∴ 点A 的坐标为（- 2, 0）． …………………………..2分（2）①∵ 点E （0,1），由题意可知，241x -+=．解得 x =∴ AA ′ ……………………………..3分②如图，连接EE ′．由题设知AA ′=n （0＜n ＜2），则A ′O = 2 - n ． 在Rt △A ′BO 中，由A ′B 2= A ′O 2+ BO 2， 得A ′B 2=(2–n )2+ 42= n 2 - 4n + 20． ∵△A ′E ′O ′是△AEO 沿x 轴向右平移得到的， ∴EE ′∥AA ′，且EE ′=AA ′． ∴∠BEE ′=90°，EE ′=n ． 又BE =OB - OE =3.∴在Rt △BE ′E 中，BE ′2= E ′E 2+ BE 2= n 2+ 9， ∴A ′B 2+ BE ′2= 2n 2- 4n + 29 = 2(n –1)2+ 27．当n = 1时，A ′B 2+ BE ′2可以取得最小值，此时点E ′的坐标是（1，1）．……………………………..5分③如图，过点A 作AB ′⊥x 轴，并使AB ′ = BE = 3． 易证△AB ′A ′≌△EBE ′， ∴B ′A ′ = BE ′，∴A ′B + BE ′ = A ′B + B ′A ′．当点B ，A ′，B ′在同一条直线上时，A ′B + B ′A ′最小，即此时A ′B +BE ′取得最小值． 易证△AB ′A ′∽△OBA ′，∴34AA AB A O OB ''=='， ∴AA ′=36277⨯=，∴EE ′=AA ′=67，∴点E ′的坐标是（67，1）． ………………………………………….8分。
东城区2013-2014学年度第一学期初三数学试题及答案
东城区2013—2014学年第一学期期末统一测试初三数学 2014.1学校 班级 姓名 考号一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中为中心对称图形的是2．用配方法解方程x - 2x - 1=0时，配方后得到的方程为 A ．2(1)0x +=B ．2(1)0x -=C ．2(1)2x +=D ．2(1)2x -=3．袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球．下列是必然事件的是 A ．摸出的三个球中至少有一个球是黑球 B ．摸出的三个球中至少有一个球是白球 C ．摸出的三个球中至少有两个球是黑球 D ．摸出的三个球中至少有两个球是白球4．如图，已知⊙O 是△ABD 的外接圆，AB 是⊙O 的直径， CD 是⊙O 的弦，∠ABD =58°，则∠BCD 等于 A ．116°B ．64°C ．58°D ．32°5．如图，电线杆上的路灯距离地面8米，身高1.6米的小明 (AB )站在距离电线杆的底部（点O ）20米的A 处， 则小 明的影子AM 长为 A ．4米 B ．5米C．6米 D ．8米6．二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论中正 确的是 A ．a ＞0 B ．当 -1＜x ＜3时，y ＞0C ．c ＜0D ．当x ≥1时，y 随x 的增大而增大7．如图，四边形ABCD 是菱形，∠A =60°，AB =2，扇形BEF 的半 径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是 A ．2π3B ．2π3C ．πD ．π8．如图，正方形ABCD 中，AB ＝8cm ，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F分别从B ，C 两点同时出发，以1cm/s 的速度沿BC ，CD 运动，到点C ，D 时停止运动．设运动时间为t (s)，△OEF 的面积为S (cm 2)，则S (cm 2)与t (s)的函数关系可用图象表示为A B C D二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围 是 ． 10．请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点（0，-1）的抛物线的解析式__________．11．如图，在Rt △OAB 中，∠B =90°∠AOB =30°，将△OAB 绕点O 逆时针旋转100°得到△OA 1B 1，则∠A 1OB = °. 12．射线QN 与等边△ABC 的两边AB ，BC 分别交于点M ，N ，且AC ∥QN ，AM =MB =2cm ，QM =4cm ．动点P 从点Q 出发，沿射线QN 以每秒1cm 的速度向右移动，经过t 秒，以点P为半径的圆与△ABC 的边相切，请写出t 可取的所有值 ． 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解方程：21090x x -+=.14．如图，△ABC 和△A B C '''是两个完全重合的直角三角板，30B B '∠=∠=︒，斜边长为10cm ．三角形板A B C '''绕直角顶点C 顺时针旋转，当点A '落在AB 边上时，求C A ''旋转所构成的扇形的弧长AA '． 15．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，连结AE ，BD ，且AE ，BD 交于点F ，S △DEF ∶S △ABF= 4∶25，求DE ∶EC 的值．DF16．二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点A （-1, 0），与y 轴交于点C （0，-5），且经过点D （3，-8）.（1）求此二次函数的解析式和顶点坐标；（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在原点处，并写出平移后抛物线的解析式．17．画图：（1）如右图，已知△ABC 和点O ．将△ABC 绕点O 顺时针旋转90°得到△111A B C ，在网格中画出△111A B C ；（2）如图，AB 是半圆的直径，图1中，点C 在半圆外；图2中，点C 在半圆内，请仅用无刻度．．．的直尺（只能画线）按要求画图． （i ）在图1中，画出△ABC 的三条高的交点； （ii ）在图2中，画出△ABC 中AB 边上的高．18．如图，⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连结AO 并延长交⊙O 于点E ，连结EC ．若AB =8，CD =2，求EC 的长．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，有四张背面相同的纸牌A ，B ，C ，D ，其正面分别是红桃、方块、黑桃、梅花，其中红桃、方块为红色，黑桃、梅花为黑色．小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后，摸出一张，将剩余3张洗匀后再摸出一张. 请用画树状图或列表的方法求摸出的两张牌均为黑色的概率.20．在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画（如图①）的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图②）．如果要使整个挂图的面积是80平方分米，求金色纸边的宽．图① 图②21．在Rt △ACB 中，∠C =90°，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC ，AB 分别交于点D ，E ，且∠CBD =∠A ．（1）判断直线BD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若AD ∶AO =8∶5，BC =3，求BD 的长．22．阅读理解：如图1，若在四边形ABCD 的边AB 上任取一点E （点E 与点A ，B 不重合），分别连结ED ，EC ，可以把四边形ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的强相似点．解决问题： （1）如图1，若∠A =∠B =∠DEC =55°，试判断点E 是否是四边形ABCD 的边AB 上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD 中，AB =5，BC =2，且A ，B ，C ，D 四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD 的边AB 上的一个强相似点E ；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD 沿CM 折叠，使点D 落在AB 边上的点E 处．若点E 恰好是四边形ABCM的边AB 上的一个强相似点，请直接写出BCAB的值．图1 图2 图3五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知二次函数2()2()y a x m a x m =---（a , m 为常数，且a ≠0）. （1）求证：不论a 与m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点；（2）设该函数的图象的顶点为C ，与x 轴交于A ，B 两点，当△ABC 是等腰直角三角形时，求a 的值．24．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中90,C ∠=︒30B E ∠=∠=︒.（1）操作发现如图2，固定△ABC ，使△DEC 绕点C 顺时针旋转．当点D 恰好落在AB 边上时，填空：图1 图2 ① 线段DE 与AC 的位置关系是 ；② 设△BDC 的面积为1S ，△AEC 的面积为2S ，则1S 与2S 的数量关系是 ，证明你的结论；（2）猜想论证当△DEC 绕点C 旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中1S 与2S 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中BC ，CE 边上的高，请你证明小明的猜想．图325．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2(1)4y x m x m =-+-+的图象与x 轴负半轴交于点A ，与y 轴交于点B （0，4），已知点E （0，1）． （1）求m 的值及点A 的坐标； （2）如图，将△AEO 沿x 轴向右平移得到△A ′E ′O ′，连结A ′B 、BE ′．①当点E ′落在该二次函数的图象上时，求AA ′的长；②设AA ′=n ，其中0＜n ＜2，试用含n 的式子表示A ′B 2+BE ′2，并求出使A ′B 2+BE ′2取得最小值时点E ′的坐标；③当A ′B +BE ′取得最小值时，求点E ′的坐标．东城区2013-2014学年第一学期期末统一测试 初三数学参考答案及评分标准 2014.1一、选择题（本题共32分，每小题4分）二、填空题（本题共16分，每小题4分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解方程：21090x x -+=.解：变形为 2109x x -=-. ………………..1分配方，21025925x x -+=-+. …………..……..2分 整理，得2(5)16x -=. ………………..3分 解得，121,9x x ==. ………………..5分14．解：由题意可求，∠AC A ′=60°，CA=5． ………………..2分所以 60π55π1803cm AA ⨯'==． ………………..5分15．解：∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AB ∥CD ．∴ △DEF ∽△BAF ． ………………..1分 ∴ 24=25DEF ABF S DE S AB =⎛⎫⎪⎝⎭△△． ………………..2分 ∴2=5DEAB ． ………………..3分又∵ AB CD =, ………………..4分∴ DE ∶EC =2∶3 ． ………………..5分16．解：（1）由题意，有0,5,938.a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=-⎩解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==.5,4,1c b a ∴此二次函数的解析式为542--=x x y . ………………..2分 ∴9)2(2--=x y ，顶点坐标为(2，-9). ………………..4分（2）先向左平移2个单位，再向上平移9个单位，得到的抛物线的解析式为y = x 2．………………..5分17．（1）………………..3分（2）（i）如图1，点P就是所求作的点；（ii）如图2，CD为AB边上的高.图1 图2 ………………..5分18．解：∵OD⊥AB，∴AC=BC12AB=．………………..1分设AO = x．在Rt△ACO中，222AO AC OC=+．∴2224(2)x x=+-．解得5x=．………………..2分∴AE=10，OC=3．………………..3分连结BE．∵AE是直径，∴∠ABE=90°．由OC是△ABE的中位线可求26BE OC==．………………..4分在Rt△CBE中，222CE BC BE=+．∴CE===．………………..5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）20．解：设金色纸边的宽为x分米．………………..1分根据题意，得（2x＋6）(2x＋8)＝80. ………………..3分解得：x1＝1，x2＝－8（不合题意，舍去）．………………..4分答：金色纸边的宽为1分米．………………..5分21．解：（1）直线BD与⊙O的位置关系是相切．证明：连结OD，DE.∵∠C=90°，∴∠CBD +∠CDB=90°．∵∠A=∠CBD，∴∠A+∠CDB=90°．∵OD = OA，∴∠A=∠ADO．∴∠ADO + ∠CDB=90°．∴∠ODB = 180°- 90°=90°．∴OD⊥BD．∵OD为半径，∴BD是⊙O切线．………………..2分（2）∵AD : AO=8: 5，∴ADAE=810．∴由勾股定理得AD : DE : AE = 8: 6: 10．∵∠C=90°，∠CBD=∠A.∴△BCD∽△ADE．∴DC : BC : BD= DE : AD : AE=6: 8: 10．∵BC=3，∴BD=15．………………..5分………………..2分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 解：（1）证明：2()2()y a x m a x m =---22(22)2.ax am a x am am =-+++ ……………………………..1分22=(22)4(2)a am a a am am ≠∆++-当0时， 24.a = …………………………..2分∵0,a ≠∴240.a >∴不论a 与m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点．…………..3分 （2）2()2()y a x m a x m =---2=(1).a x m a ---(1,).C m a ∴+-…………………………4分 当y =0时， 解得x 1 = m ，x 2 = m + 2.∴AB =（m + 2）- m = 2. ………………………………..5分 当△ABC 是等腰直角三角形时，可求出AB 边上高等于1． ∴ 1a -=．∴ 1a =±． ……………………………………………..7分24．解：（1）①线段DE 与AC 的位置关系是 平行 ． …………………..1分 ②S 1与S 2的数量关系是 相等 ．证明：如图2，过D 作DN ⊥AC 交AC 于点N ，过E 作EM ⊥AC 交AC 延长线于M ，过C 作CF ⊥AB 交AB 于点F ．由①可知 △ADC是等边三角形，DE ∥AC ， ∴DN =CF , DN =EM ． ∴CF =EM ．∵90,30ACB B ∠=︒∠=︒， ∴2AB AC =． 又∵AD AC =,∴BD AC =． 图2∵112S CF BD =，212S AC EM =，∴1S =2S ． …………………..3分（2）证明：如图3，作DG ⊥BC 于点G ，AH ⊥CE 交EC 延长线于点H .∵90,180DCE ACB DCG ACE ∠=∠=︒∴∠+∠=︒． 又∵180,ACH ACE ACH DCG ∠+∠=︒∴∠=∠．又∵90,CHA CGD AC CD ∠=∠=︒=,∴△AHC ≌△DGC ．∴AH =DG ．又∵CE =CB , 图3 ∴12S S =． ……………………..7分25．解：（1）由题意可知 44m =，1m =．∴ 二次函数的解析式为24y x =-+．∴ 点A 的坐标为（- 2, 0）． …………………………..2分（2）①∵ 点E （0,1），由题意可知，241x -+=．解得 x =∴ AA ……………………………..3分②如图，连接EE ′．由题设知AA ′=n （0＜n ＜2），则A ′O = 2 - n ． 在Rt △A ′BO 中，由A ′B 2= A ′O 2+ BO 2， 得A ′B 2=(2–n )2+ 42= n 2 - 4n + 20． ∵△A ′E ′O ′是△AEO 沿x 轴向右平移得到的， ∴EE ′∥AA ′，且EE ′=AA ′． ∴∠BEE ′=90°，EE ′=n ． 又BE =OB - OE =3.∴在Rt △BE ′E 中，BE ′2= E ′E 2+ BE 2= n 2+ 9， ∴A ′B 2+ BE ′2= 2n 2- 4n + 29 = 2(n –1)2+ 27．当n = 1时，A ′B 2+ BE ′2可以取得最小值，此时点E ′的坐标是（1，1）．……………………………..5分③如图，过点A 作AB ′⊥x 轴，并使AB ′ = BE = 3． 易证△AB ′A ′≌△EBE ′， ∴B ′A ′ = BE ′，∴A′B + BE′ = A′B + B′A′．当点B，A′，B′在同一条直线上时，A′B + B′A′最小，即此时A′B+BE′取得最小值．易证△AB′A′∽△OBA′，∴34 AA ABA O OB''=='，∴AA′=36277⨯=，∴EE′=AA′=67，∴点E′的坐标是（67，1）．………………………………………….8分11。
1mjt-东城区2013-2014学年度第一学期初三数学试题及答案
东城区2013—2014学年第一学期期末统一测试初三数学 2014.1一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 12．用配方法解方程x - 2x - 1=0时，配方后得到的方程为 A ．2(1)0x +=B ．2(1)0x -=C ．2(1)2x +=D ．2(1)2x -=3．袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球．下列是必然事件的是 A ．摸出的三个球中至少有一个球是黑球 B ．摸出的三个球中至少有一个球是白球 C ．摸出的三个球中至少有两个球是黑球 D ．摸出的三个球中至少有两个球是白球4．如图，已知⊙O 是△ABD 的外接圆，AB 是⊙O 的直径， CD 是⊙O 的弦，∠ABD =58°，则∠BCD 等于 A ．116°B ．64°C ．58°D ．32°5．如图，电线杆上的路灯距离地面8米，身高1.6米的小明 (AB )站在距离电线杆的底部（点O ）20米的A 处， 则小 明的影子AM 长为 A ．4米 B ．5米C ．6米D ．8米6．二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论中正 确的是A ．a ＞0B ．当 -1＜x ＜3时，y ＞0C ．c ＜0D ．当x ≥1时，y随x 的增大而增大7．如图，四边形ABCD 是菱形，∠A =60°，AB =2，扇形BEF 的半 径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是 A ．2π3B ．2π3C ．πD ．π 8．如图，正方形ABCD 中，AB ＝8cm ，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F D分别从B ，C 两点同时出发，以1cm/s 的速度沿BC ，CD 运动，到点C ，D 时停止运动．设运动时间为t (s)，△OEF 的面积为S (cm 2)，则S (cm 2)与t (s)的函数关系可用图象表示为A B C D二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围 是 ．10．请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点（0，-1）的抛物线的解析式__________．11．如图，在Rt △OAB 中，∠B =90°∠AOB =30°，将△OAB 绕点O 逆时针旋转100°得到△OA 1B 1，则∠A 1OB = °. 12．射线QN 与等边△ABC 的两边AB ，BC 分别交于点M ，N ，且AC ∥QN ，AM =MB =2cm ，QM =4cm ．动点P 从点Q 出发，沿射线QN 以每秒1cm 的速度向右移动，经过t 秒，以点P为半径的圆与△ABC 的边相切，请写出t 可取的所有值 ． 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解方程：21090x x -+=.14．如图，△ABC 和△A B C '''是两个完全重合的直角三角板，30B B '∠=∠=︒，斜边长为10cm ．三角形板A B C '''绕直角顶点C 顺时针旋转，当点A '落在AB 边上时，求C A ''旋转所构成的扇形的弧长AA '．15．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，连结AE ，BD ，且AE ，BD 交于点F ，S △DEF ∶S △ABF= 4∶25，求DE ∶EC 的值．16．二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点A （-1, 0），与y 轴交于点C （0，-5），且经过点D （3，-8）.（1）求此二次函数的解析式和顶点坐标；（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在原点处，并写出平移后抛物线的解析式．17．画图：（1）如右图，已知△ABC 和点O ．将△ABC 绕点O 顺时针旋转90°得到△111A B C ，在网格中画出△111A B C ；（2）如图，AB 是半圆的直径，图1中，点C 在半圆外；图2中，点C 在半圆内，请仅用无刻度．．．的直尺（只能画线）按要求画图． （i ）在图1中，画出△ABC 的三条高的交点； （ii ）在图2中，画出△ABC 中AB 边上的高．18．如图，⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连结AO 并延长交⊙O 于点E ，连结EC ．若AB =8，CD =2，求EC 的长．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，有四张背面相同的纸牌A ，B ，C ，D ，其正面分别是红桃、方块、黑桃、梅花，其中红桃、方块为红色，黑桃、梅花为黑色．小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后，摸出一张，将剩余3张洗匀后再摸出一张. 请用画树状图或列表的方法求摸出的两张牌均为黑色的概率.20．在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画（如图①）的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图②）．如果要使整个挂图的面积是80平方分米，求金色纸边的宽．图① 图②21．在Rt△ACB中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且∠CBD=∠A．（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若AD∶AO=8∶5，BC=3，求BD的长．22．阅读理解：如图1，若在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E与点A，B不重合），分别连结ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB 上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：（1）如图1，若∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，请直接写出BCAB的值．图1 图2 图3五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知二次函数2()2()y a x m a x m =---（a , m 为常数，且a ≠0）. （1）求证：不论a 与m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点；（2）设该函数的图象的顶点为C ，与x 轴交于A ，B 两点，当△ABC 是等腰直角三角形时，求a 的值．24．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中90,C ∠=︒30B E ∠=∠=︒.（1）操作发现如图2，固定△ABC ，使△DEC 绕点C 顺时针旋转．当点D 恰好落在AB 边上时，填空：图1 图2 ① 线段DE 与AC 的位置关系是 ；② 设△BDC 的面积为1S ，△AEC 的面积为2S ，则1S 与2S 的数量关系是 ，证明你的结论；（2）猜想论证当△DEC 绕点C 旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中1S 与2S 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中BC ，CE 边上的高，请你证明小明的猜想．图325．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2(1)4y x m x m =-+-+的图象与x 轴负半轴交于点A ，与y 轴交于点B （0，4），已知点E （0，1）． （1）求m 的值及点A 的坐标； （2）如图，将△AEO 沿x 轴向右平移得到△A ′E ′O ′，连结A ′B 、BE ′．①当点E ′落在该二次函数的图象上时，求AA ′的长；②设AA ′=n ，其中0＜n ＜2，试用含n 的式子表示A ′B 2+BE ′2，并求出使A ′B 2+BE ′2取得最小值时点E ′的坐标；③当A ′B +BE ′取得最小值时，求点E ′的坐标．东城区2013-2014学年第一学期期末统一测试 初三数学参考答案及评分标准 2014.1一、选择题（本题共32分，每小题4分）二、填空题（本题共16分，每小题4分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解方程：21090x x -+=.解：变形为 错误！未找到引用源。
北京市东城区九年级数学5月综合练习试题(一)(扫描版)
北京市东城区2015届九年级数学5月综合练习试题（一）ODBC东城区2014-2015学年第二学期初三综合练习（一）数学试题参考答案及评分标准 2015.5题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DBACBCADCB题号11121314 1516答案()()22m x y x y +-2+439-4m ＞9703.084(15,8)B ；1(21,2)n n n B --三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17． 证明：∵在ODC △和OBA △中，∵,,,OD OB DOC BOA OC OA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ODC OBA △≌△. …………3分 ∴C A ∠=∠. …………4分 ∴DC AB ∥． …………5分()()1118.33tan 604313334415-⎛⎫--︒+-+- ⎪⎝⎭=-⨯+-+=-L L L L 解：π分分19． ()2131,8x x x x --⎧⎪⎨-+⎪⎩①②＞解：5＜2，2x 由①得，＜， …………2分 1x -由②得，＞， …………4分所以，不等式组的解集为12x -＜＜. …………5分()()()22224421112211112221131a a a a a a a a a a a a a a a a a -+-+÷+----=+⋅++---=+++=+L L L 20.解：分当21a =- 时，2-12-12==1-22-112=+原式．…………5分 21．解：设每棵柏树苗的进价是x 元，则每棵枣树苗的进价是()25x -元. …………1分 根据题意，列方程得：200=120(25)x x -， …………3分 解得： 15x =. …………5分 答：每棵柏树苗的进价是15元. 22． 解：（1）过点C 向x 轴作垂线，垂足为E . ∵CE x ⊥轴，AB x ⊥轴，()4,2A -， ∴CE AB ∥，()4,0B -. ∴12OE OC CE OB OA AB ===. ∵4OB =，2AB =， ∴2OE =，1CE =.∴()2,1C -. …………2分 ∵双曲线ky x=经过点C ， ∴2k =-.∴反比例函数的解析式为2y x=-. …………3分 （2）∵点D 在AB 上，∴点D 的横坐标为4-. ∵点D 在双曲线2y x=-上， ∴点D 的纵坐标为12. …………4分∴BOD S △11141222OB BD =⋅⋅=⨯⨯=.…………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）23.（1）证明：∵DE BC ∥,CE AB ∥，∴四边形DBCE 是平行四边形.∴CE BD =.又∵CD 是边AB 上的中线，∴BD AD =.∴CE DA =.又∵CE DA ∥，∴四边形ADCE 是平行四边形.∵90BCA ∠=︒，CD 是斜边AB 上的中线，∴AD CD =.∴四边形ADCE 是菱形. …………3分（2）解：作CF AB ⊥于点F .由(1) 可知, .BC DE =设BC x =,则2AC x =.在Rt ABC △中,根据勾股定理可求得5AB x =.∵1122AB CF AC BC ⋅=⋅,∴255AC BCCF x AB ⋅==.∵152CD AB x ==,∴4sin 5CF CDB CD ∠==.…………5分24.解：（1）20÷10%=200（名），…………1分答：一共调查了200名学生；（2）最喜欢古筝的人数：200×25%=50（名），最喜欢琵琶的人数：200×20%=40（名）；补全条形图如图； …………3分（3）二胡部分所对应的圆心角的度数为：60200×360°=108°； …………4分（4）1500×30200=225（名）． …………5分答：1500名学生中估计最喜欢古琴的学生人数为225．25.（1）证明：连结OD ，如图.∵DE 为⊙O 的切线，OD 为半径，∴OD DE ⊥.∴90ODE ∠=︒，即290ODC ∠+∠=︒. F∵OC OD =，∴C ODC ∠=∠.∴290C ∠+∠=︒.而OC OB ⊥，∴390C ∠+∠=︒.∴23∠=∠.∵13∠=∠，∴12∠=∠. …………2分（2）解：∵:1:3OF OB =，⊙O 的半径为3，∴1OF =.∵12∠=∠，∴EF ED =.在Rt ODE △中，3OD =,设DE x =，则EF x =，1OE x =+.∵222OD DE OE +=，∴()22231x x +=+，解得4x =. ∴4DE =，5OE =.∵AG 为⊙O 的切线，OA 为半径，GD 为⊙O 的切线，∴AG AE ⊥，GA GD =.∴90GAE ∠=︒.在Rt AGE △中,设DG t =，则4GE t =+.∵222AG AE GE +=.∴()22284t t +=+，解得，6t =. ∴6AG =. -------------------5分26. 解：（1）AF =BE ； …………1分（2）3AF BE= …………2分 理由如下：∵四边形ABCD 是菱形，120ABC ∠=︒,∴AC BD ⊥,60ABO ∠=︒.∴90FAO AFO ∠+∠=︒.∵AG BE ⊥，∴90EAG BEA ∠+∠=︒．∴AFO BEA ∠=∠.又∵90AOF BOE ∠=∠=︒，∴AOF BOE △∽△. …………3分∴AF AO BE OB= . ∵60ABO ∠=︒，AC BD ⊥，∴tan 60AO OB=︒=.∴AF BE =. …………5分 五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．解：（1）∵抛物线()210y ax bx a =++≠过点()1,0A -，()1,1B ， ∴10,1 1.a b a b -+=⎧⎨++=⎩∴1,21.2a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴抛物线的函数关系式为211122y x x =-++. …………2分 （2）∵122b x a =-=，()0,1C ∴抛物线211122y x x =-++的对称轴为直线12x =. 设点E 为点A 关于直线12x =的对称点，则点E 的坐标为()2,0. 连接EC 交直线12x =于点D ，此时ACD △的周长最小. 设直线EC 的函数表达式为y kx m =+，代入,E C 的坐标，则2m 0,1.k m +=⎧⎨=⎩ 解得1,21.k m ⎧=-⎪⎨⎪=⎩所以，直线EC 的函数表达式为112y x =-+. 当12x =时，34y =. ∴ 点D 的坐标为13,24⎛⎫⎪⎝⎭. …………4分 （3）存在.①当点A 为直角顶点时，过点A 作AC 的垂线交y 轴于点M ，交对称轴于点1P . ∵AO OC ⊥，1AC AP ⊥，∴90AOM CAM ∠=∠=︒.∵()0,1C ，()1,0A -，∴1OA OC ==.∴45CAO ∠=︒.∴45OAM OMA ∠=∠=︒.∴1OA OM ==.∴点M 的坐标为()0,1-.设直线AM 对应的一次函数的表达式为11y k x b =+，代入,A M 的坐标， 则1110,1.k b b -+=⎧⎨=-⎩解得111,1.k b =-⎧⎨=-⎩ 所以，直线AM 的函数表达式为1y x =--.令12x =，则32y =-. ∴点1P 的坐标为13,22⎛⎫-⎪⎝⎭. …………5分 ②当点C 为直角顶点时，过点C 作AC 的垂线交对称轴于点2P ，交x 轴于点N . 与①同理可得Rt CON △是等腰直角三角形，∴1OC ON ==.∴点N 的坐标为()1,0.∵2CP AC ⊥，1AP AC ⊥，∴21CP AP ∥.∴直线2CP 的函数表达式为1y x =-+. 令12x =，则12y =. ∴点2P 的坐标为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. …………6分 综上，在对称轴上存在点1P 13,22⎛⎫-⎪⎝⎭，2P 11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，使ACP △成为以AC 为直角边的直角三角形．…………7分28.解:(1) 当60α=︒时, BD A A '⊥. ------------1分（2）补全图形如图1，BD A A '⊥仍然成立；------------3分（3）猜想BD A A '⊥仍然成立.证明：作AE C C '⊥，A F C C ''⊥，垂足分别为点,E F ，如图2，则90AEC A FC ''∠=∠=︒.∵BC BC '=，∴BCC BC C ''∠=∠.∵90ACB A C B ''∠=∠=︒，∴90ACE BCC '∠+∠=︒，'90A C F BC C ''∠+∠=︒. ∴ACE A C F ''∠=∠.在AEC △和A FC ''△中，90,,,AEC A FC ACE A C F AC A C ''∠=∠=︒⎧⎪''∠=∠⎨⎪''=⎩∴AEC A FC ''△≌△. 图2图1∴AE A F '=.在AED △和A FD '△中，90,,,AEC A FD ADE A DF AE A F '∠=∠=︒⎧⎪'∠=∠⎨⎪'=⎩∴AED A FD '△≌△.∴AD A D '=.∵AB A B '=，∴'ABA △为等腰三角形.∴BD A A '⊥------------7分29．解：（1）∵20x ≥，∴2x -1≥-1.∴2-x -1＞2.∴{}2min 2x =--1,-2. ┉┉2分(2) ∵()2211x x k x k -+=-+-2, ∴()2111x k k -+--≥.∵2min{2,3}3x x k -+-=-， ∴13k --≥.∴2k -≥. ┉┉5分(3) 37m -≤≤. ┉┉8分。
2014北京各区初三一模数学分类汇编-25题
1（昌平）. 无论k 取任何实数，对于直线y kx =都会经过一个固定的点(0,0)，我们就称直线y kx =恒过定点(0,0).（1）无论m 取任何实数，抛物线2(13)2y mx m x =-++恒过定点()00A x y ，，直接写出定点A 的坐标；（2）已知△ABC 的一个顶点是（1）中的定点()00A x >，且B ∠，C ∠的角平分线分别是y 轴和直线y x =，求边BC 所在直线的表达式； （3）求△ABC 内切圆的半径.2（大兴）．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“匀称三角形”（1）已知：如图1，在△ABC 中，∠C=90°，BC =AB =求证：△ABC 是“匀称三角形”；图1（2）在平面直角坐标系xoy 中，如果三角形的一边在x 轴上，且这边的中线恰好等于这边的长，我们又称这个三角形为“水平匀称三角形”.如图2，现有10个边长是1的小正方形组成的长方形区域记为G , 每个小正方形的顶点称为格点，A （3，0），B （4，0），若C 、D （C 、D 两点与O 不重合）是x 轴上的格点，且点C 在点A 的左侧. 在G 内使△PAC 与△PBD 都是“水平匀称三角形”的点P 共有几个？其中是否存在横坐标为整数的点P ，如果存在请求出这个点P 的坐标，如果不存在请说明理由.3（房山）．我们规定：形如ax ky x b+=+（a 、b 、k 为常数，且k ab ≠）的函数叫做“奇特函数”．当0a b ==时，“奇特函数”ax k y x b +=+就是反比例函数()0ky k x=≠． （1）若矩形的两边长分别是2和3，当这两边长分别增加x 和y 后，得到的新矩形的面积为8，求y 与x 之间的函数关系式，并判断这个函数是否为“奇特函数”；（2）如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为(9,0)、(0,3)．点D 是OA 的中点，连结OB ，CD 交于点E ，“奇特函数”6ax ky x +=-的图象经过B ，E 两点．①求这个“奇特函数”的解析式；②把反比例函数3y x=的图象向右平移6个单位，再向上平移 个单位就可得到①中所得“奇特函数”的图象．线段BE 中点M 的一条直线l 与这个“奇特函数”的图象交于P ，Q 两点，若以B 、E 、P 、Q 为顶点组成的四边形面积为16，请直接写出点P 的坐标．4（海淀）、对于平面直角坐标系 x Oy 中的点(),P a b ，若点P '的坐标为,b a ka b k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，其中k 为常数，且0k ≠），则称点P '为点P 的“k 属派生点”．例如：()1,4P 的“2属派生点”为41,2142P ⎛⎫'+⨯+ ⎪⎝⎭，即()'36P ，． （1）①点()12P --，的“2属派生点”P '的坐标为____________； ②若点P 的“k 属派生点” P '的坐标为()33，，请写出一个符合条件的点P 的坐标____________；（2）若点P 在x 轴的正半轴上，点P 的“k 属派生点”为P '点，且△OPP '为等腰直角三角形，则k 的值为____________； （3）如图，点Q的坐标为(0,，点A在函数y =0x <）的图象上，且点A是点B 的“，当线段BQ 最短时，求B 点坐标．5（怀柔）.在平面直角坐标系xOy 中，已知 A(-2，0)，B(2，0)，AC ⊥AB 于点A ，AC=2，BD ⊥AB 于点B ，BD=6，以AB 为直径的半圆O 上有一动点P （不与A 、B 两点重合），连接PD 、PC ，我们把由五条线段AB 、BD 、DP 、PC 、CA 所组成的封闭图形ABDPC 叫做点P 的关联图形，如图1所示.（1）如图2，当P 运动到半圆O 与y 轴的交点位置时，求点P 的关联图形的面积. （2）如图3，连接CD 、OC 、OD,判断△OCD 的形状，并加以证明.（3）当点P 运动到什么位置时，点P 的关联图形的面积最大，简要说明理由，并求面积的最大值.6（门头沟）．概念：点P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的“理想距离”．已知O（0，0），A1），B（m，n），C（m，n+2）是平面直角坐标系中四点．（1）根据上述概念，根据上述概念，完成下面的问题（直接写答案）①当m=n=1时，如图13-1，线段BC与线段OA的理想距离是；②当m=n=2时，如图13-2，线段BC与线段OA的理想距离为；③当m=若线段BC与线段OA则n的取值范围是 .（2）如图13-3，若点B落在圆心为A，半径为1的圆上，当n≥1时，线段BC与线段OA 的理想距离记为d，则d的最小值为(说明理由)（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为1，线段BC的中点为G，求点G随线段BC运动所走过的路径长是多少？备用图7（密云）．对于平面直角坐标系中的任意两点111222P (,)x y （x ,y ）,P ， 我们把1212x x y y -+- 叫做12P P 、 两点间的直角距离，记作12d P （P，） . (1) 已知O 为坐标原点，动点(,)p x y 满足(,)d O P =1，请写出x 与y 之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P 所组成的图形；(2) 设000P （x ,y ） 是一定点，(,)Q x y 是直线y=ax+b 上的动点，我们把0(,)d P Q 的最小值叫做0P 到直线y=ax+b 的直角距离．试求点(2,1)M 到直线y=x+2的直角距离．8（石景山）．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A ，B ，C 的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a ：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h ：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”=S ah .例如：三点坐标分别为)2,1(A ，)1,3(-B ，)2,2(-C ，则“水平底”5=a ，“铅垂高”4=h ，“矩面积”20==S ah ．（1）已知点)2,1(A ，)1,3(-B ，),0(t P ．①若A ，B ，P 三点的“矩面积”为12，求点P 的坐标； ②直接写出A ，B ，P 三点的“矩面积”的最小值． （2）已知点)0,4(E ，)2,0(F ，)4,(m m M ，)16,(nn N ，其中0>m ，0>n . ①若E ，F ，M 三点的“矩面积”为8，求m 的取值范围；②直接写出E ，F ，N 三点的“矩面积”的最小值及对应n 的取值范围．(0,-1)(0,1)(1.0)(-1,0)Oxy9（顺义）．设p q ，都是实数，且p q <．我们规定：满足不等式p x q ≤≤的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[]p q ，．对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当p x q ≤≤时，有p y q ≤≤，我们就称此函数是闭区间[]p q ，上的“闭函数”．（1）反比例函数2014y x=是闭区间[]12014，上的“闭函数”吗？请判断并说明理由； （2）若一次函数()0y kx b k =+≠是闭区间[]m n ，上的“闭函数”，求此函数的解析式； （3）若实数c ，d 满足c d <，且2d >，当二次函数2122y x x =-是闭区间[]c d ，上的“闭函数”时，求c d ，的值．10（西城）．定义1：在ABC △中，若顶点A 、B 、C 按逆时针方向排列，则规定它的面积为ABC △的“有向面积”；若顶点A 、B 、C 按顺时针方向排列，则规定它的面积的相反数为ABC △的“有向面积”，“有向面积”用S 表示，例如图1中，ABC ABC S S =△△，图2中，ABC ABC S S =-△△．图3DABC图2图1CBAC BA定义2：在平面内任意取一个ABC △和点P (点P 不在ABC △的三边所在直线上)，称有序数组（,,PBC PCA PAB S S S △△△）为点P 关于ABC △的“面积坐标”，记作P (,,PBC PCA PAB S S S △△△)．例如图3中，菱形ABCD 的边长为2，60 ABC ∠=，则ABCS△，点D 关于ABC △的“面积坐标”D (,,DBC DCA DAB S S S △△△)为D ．在图3中，我们知道ABC DBC DAB DCA S S S S =+-△△△△，利用“有向面积”我们可以把上式表示为+ABC DBC DAB DCA S S S S =+△△△△．应用新知：（1）如图4，正方形ABCD 的边长为1，则ABC S =△ ． 点D 关于ABC △的“面积坐标”是 ： 探究发现：（2）在平面直角坐标系xOy 中，点()0,2A ，()1,0B -．①若点P 是第二象限内任意一点（不在直线AB 上），设点P 关于ABO △的“面积坐标”为(),,P m n k ，试探究++m n k 与ABO S △之间有怎样的数量关系，并说明理由；②若点(),P x y 是第四象限内任意一点，请直接写出点P 关于ABO △的“面积坐标”（用x ，y 表示）； 解决问题：（3）在（2）的条件下，点()1,0C ，()0,1D ，点Q 在抛物线224y x x =++上，求当QAB QCD S S +△△的值最小时，求Q 的横坐标．备用图备用图DCBA11（延庆）. 已知：在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：线段AB及点P，任取AB 上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段AB的距离，记作d（P→AB）．（1）如图1，已知C点的坐标为（1，0），D点的坐标为（3，0），求点P（2，1）到线段CD的距离d（P→CD）为；（2）已知：线段EF：y=x（0≤x≤3），点G到线段EF的距离d（P→EF，且点G的横坐标为1，在图2中画出图，试求点G的纵坐标．图1 图212（燕山）. 定义：如果一个y与x的函数图象经过平移后能与某反比例函数的图象重合，那么称这个函数是y与x的“反比例平移函数”．例如:121+-=xy的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到xy1=的图象，则121+-=xy是y与x的“反比例平移函数”．（1）若矩形的两边分别是2cm、3cm，当这两边分别增加x(cm)、y(cm)后，得到的新矩形的面积为82cm，求y与x的函数表达式，并判断这个函数是否为“反比例平移函数”．（2）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(9，0)、(0，3) ．点D是OA的中点，连接OB、CD交于点E，“反比例平移函数”6-+=xkaxy的图象经过B、E两点．则这个“反比例平移函数”的表达式为；这个“反比例平移函数”的图象经过适当的变换与某一个反比例函数的图象重合，请写出这个反比例函数的表达式．（3）在（2）的条件下，已知过线段BE中点的一条直线l交这个“反比例平移函数”图象于P、Q两点(P在Q的右侧)，若B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为16，请求出点P的坐标．。
2014东城初三一模数学答案
北京市东城区2013--2014学年第二学期初三综合练习（一） 数学试卷参考答案及评分标准 2014.5一、选择题（本题共32分，每小题4分）题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案 B AABD BC D二、填空题（本题共16分，每小题4分）题 号 91011 12答 案(1)(1)a a a +--3﹣1或4(3,2)（1，4）（5,0）三、解答题：（本题共30分，每小题5分） 13．（本小题满分5分） 解：原式=2222212-⨯+- ………………4分 =21+． ………………5分 14．（本小题满分5分）解：解不等式○1 得x ＞2； ………………1分 解不等式○2 得x ≤8． ………………3分 ∴ 不等式组的解集为 2＜x ≤8． ………………4分∴ 不等式组的最小整数解为3． ………………5分 15．（本小题满分5分）证明：∵ 四边形ABCD 为正方形，∴ AB =AD ，∠B =∠D =90°，DC =CB ．………………2分∵ E 、F 为DC 、BC 中点，∴ DE =DC ，BF =BC ．∴ DE =BF ． ………………3分 ∵ 在△ADE 和△ABF 中，,,,AD AB D B DE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ADE ≌△ABF （SAS ）． ………………4分 ∴ AE =AF ． ………………5分 16．（本小题满分5分）解：原式=22442m m m m m ++⋅+=22(2)2m m m m +⋅+ =22m m +． ………………3分 ∵ m 是方程22410x x +-=的根，∴ 22410m m +-=． ∴ 2122m m +=． ………………………5分 17．（本小题满分5分）解：设甲种商品应购进x 件，乙种商品应购进y 件. ………………………1分根据题意，得 1605101100.x y x y +=⎧⎨+=⎩………………………3分解得 10060.x y =⎧⎨=⎩………………………4分答：甲种商品购进100件，乙种商品购进60件. ………………………5分18.（本小题满分5分）解：（1）过点B 作BC ⊥x 轴于点C .由勾股定理可得 5OB =.………1分 ∵ OA=OB ，∴ 点A 的坐标为（5,0）. ………2分设直线AB 的解析式为 y kx b =+.可求直线AB 的解析式为210y x =-+.………3分（2）将等腰△AOB 沿x 轴正方向平移5个单位，能使点B 落在反比例函数32y x=（x ＞0）的图象上. ………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19.（本小题满分5分）（1）证明：由折叠的性质可得：∠ANM =∠CNM . ∵ 四边形ABCD 是矩形， ∴ AD ∥BC .∴ ∠ANM =∠CMN . ∴ ∠CMN =∠CNM .∴ CM =CN . ………2分（2）解：过点N 作NH ⊥BC 于点H ，则四边形NHCD 是矩形. ∴ HC =DN ，NH =DC .∵ △CM N 的面积与△CDN 的面积比为3：1， ∴ MC =3ND =3HC .∴ MH =2HC .设DN =x ，则HC =x ，MH =2x ， ∴CM =3x =CN ，在Rt △CDN 中，DC =2x =4，∴ 2x =.∴ HM =2.在Rt △MNH 中，MN =2281626MH NH +=+=.20.（本小题满分5分） 解：（1）90÷30%=300（名），一共调查了300名学生.（2）艺术的人数：300×20%=60名，其它的人数：300×10%=30名；补全折线图如图.（3）体育部分所对应的圆心角的度数为：×360°=48°.（4）1800×=480（名）．答：1800名学生中估计最喜爱科普类书籍的学生人数为480．21．（本小题满分5分）解：（1）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =∠ADC =90°．∵∠B =∠AED =∠CAD ，∠C =∠C ，90.C CAD C B ︒∴∠+∠=∠+∠=∴∠BAC =∠ADC =90°．∴AC 是⊙O 的切线．………………2分 （2）可证△ADC ∽△BAC ．∴AC CDBC AC =．即AC 2=BC ×CD =36． 解得 AC =6． ∵点E 是BD 的中点， ∴∠DAE =∠BAE .∵∠CAF =∠CAD +∠DAE =∠ABF +∠BAE =∠AFD ， ∴CA =CF =6，∴DF =CA ﹣CD =2．………………5分22．（本小题满分5分）解： (1)∠B +∠D =180°（或互补）． ………………1分 (2)∵ AB =AC ，∴ 把△ABD 绕A 点逆时针旋转90°至△ACG ，可使AB与AC 重合. ………………2分 ∠B =∠ACG , BD=CG , AD=AG∵ △ABC 中，∠BAC =90°，∴ ∠ACB +∠ACG =∠ACB +∠B =90°． 即∠ECG =90°．∴ EC 2+CG 2=EG 2．………………3分 在△AEG 与△AED 中,∠EAG =∠EAC +∠CAG =∠EAC +∠BAD =90°-∠EAD =45°=∠EAD ． 又∵AD =AG ，AE =AE ，∴ △AEG ≌△AED ． ………………4分 ∴ DE =EG ． 又∵CG =BD ,∴ BD 2+EC 2=DE 2．∴ 5DE =．………………5分五、解答题：（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．（本小题满分7分） 解：（1）证明：()()()22=41433=21,m m m m ∆+-+-所以方程有两个不等实根. ………………2分()()()21212412141212.213,1+.111,01,1 2.1,3,1.13331.m m m m x mmm m mx x x x my m m +±-+±-=∴>∴<<∴+<>∴==+⎛⎫∴=-+=- ⎪⎝⎭两根分别为………………5分（3）作出函数3(1)m m>y=-的图象，并将图象在直线2m =左侧部分沿此直线翻折，所得新图形如图所示.易知点,A B 的坐标分别为3(3,3),(2,).2A B --当直线 过点 A 时，可求得 过点B 时，可求得 因此，……………7分24. （本小题满分7分）解： (1) ∠QEP = 60 °．………………1分 (2) ∠QEP = 60 °．证明: 如图1，以∠DAC 是锐角为例．∵ △ABC 是等边三角形，∴ AC =BC ，∠ACB =60°．()21,=210.m m >∴∆->2y m b =+9,b =-11,2b =-119.2b -<<-文档供参考，可复制、编制，期待您的好评与关注！ 21G QPEDCBAGQPEDCBA12345678910-1-2-1-2-3-412345xyOA BCDN 1N 2N 3N 4E又由题意可知，CP =CQ ，∠PCQ =6O °． ∴ ∠ACP =∠BCQ ． ∴ △ACP ≌△BCQ ． ∴ ∠APC =∠Q ．设PC 与BQ 交于点G ， 图1 ∵ ∠1=∠2，∴ ∠Q EP =∠PCQ =60°． ………………4分 （3）由题意可求，∠APC =30°，∠PCB =45°． 又由（2）可证 ∠QEP =60°． ∴ 可证QE 垂直平分PC ，△GBC 为等腰直角三角形． ∵ AC =4，∴ 22GC =，26GQ =．∴ 2622BQ =-． ………………7分25．（本小题满分8分） 解：（1）由题意可求点A (2，0)，点B （0,1）.过点C 作CE ⊥x 轴，易证△AOB ≌△ECA .∴ OA =CE =2，OB =AE =1.∴ 点C 的坐标为（3,2）. ………………1分 将点A (2，0)，点C (3，2)代入212y x bx c =-++，220,93 2.2b c b c -++=⎧⎪⎨-++=⎪⎩文档供参考，可复制、编制，期待您的好评与关注！解得9,27.b c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴二次函数的解析式为219722y x x =-+-. ………………2分 (2)令2197022x x -+-=，解得7D x =. ∴ D 点坐标为（7,0）.可求 5,25,5AC CD AD ===. ∴ △ACD 为直角三角形，∠ACD =90°. 又∵ ∠BAC =90°，∴ AB ∥CD . ………………4分（3）如图，由题意可知，要使得以A ,B ,M ,N 四点构成的四边形为平行四边形，只需要点N 到x 轴的距离与点B 到x 轴的距离相等. ∵ B 点坐标为（0,1）， ∴ 点N 到x 轴的距离等于1. 可得2197122x x -+-=和2197122x x -+-=-. 解这两个方程得12349-179+179339332222x x x x +-====∴ 点N 的坐标分别为9-1721），9172-，1）9332+-1），9-332，-1）. ………8分。
2014北京初三各区一模数学分类汇编-22题
1. 图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC和△DEF，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=F=90°，∠EDF=30°，EF=2．将△DEF的斜边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．（1）请回答李晨的问题：若CD=10，则AD= ；（2）如图2，李晨同学连接FC，编制了如下问题，请你回答：①∠FCD的最大度数为；②当FC∥AB时，AD= ；③当以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边时，AD= ;④△FCD的面积s的取值范围是.图2A BC备用图图12．以下是小辰同学阅读的一份材料和思考：、五个边长为1的小正方形如图①放置，用两条线段把他们分割成三部分（如图②），移动其中的两部分，与未移动的部分恰好拼接成一个无空隙无重叠的新正方形（如图③）．小辰阅读后发现，拼接前后图形的面积相等，若设新正方形的边长为(0)x x>，可得25 x=，x=参考上面的材料和小辰的思考方法，解决问题：五个边长为1的小正方形如图④放置，用两条线段把它们分割成四部分，移动其中的两部分，与未移动的部分恰好拼接成一个无空隙无重叠的矩形且所得矩形的邻边之比为1:2．具体要求如下：（1）设拼接后的矩形的长为a，宽为b，则a的长度为________．（2）在图④中，画出符合题意的两条分割线（只要画出一种即可）；（3）在图⑤中，画出拼接后符合题意的矩形（只要画出一种即可）．3. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，E （8,0），F(0 , 6). （1）当G(4，8)时，则∠FGE= °（2）在图中的网格区域内找一点P ，使∠FPE=90°且四边形OEPF 被 过P 点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形．要求：写出点P 点坐标，画出过P 点的分割线并指出分割线（不必说明理由，不写画法）. 4. 阅读下面材料：小炎遇到这样一个问题：如图1，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，∠EAF =45°，连结EF ，则EF =BE +DF ，试说明理由．F E DCBAGF EDCBA图1 图2小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB ，AD 是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE 绕着点A 逆时针旋转90°得到△ADG ，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）．参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =90°点E ，F 分别在边BC ，CD 上，∠EAF =45°．若∠B ，∠D 都不是直角，则当∠B 与∠D 满足_ 关系时，仍有EF =BE +DF ； （2）如图4，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D 、E 均在边BC 上，且∠DAE =45°，若BD =1， EC =2，求DE 的长．FE DCBA EDCBA图3 图45、阅读下列材料：小明遇到这样一个问题：已知：在ABC △中，AB ，BC ，ACABC △的面积．小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点ABC △（即ABC △三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出ABC △的面积． 他把这种解决问题的方法称为构图法．请回答：（1）图1中ABC △的面积为 ； 参考小明解决问题的方法，完成下列问题：（2）图2是一个66⨯的正方形网格（每个小正方形的边长为1）．①利用构图法在答题卡的图2DEF △； ②计算DEF △的面积为 ．（3）如图3，已知PQR △，以PQ ，PR 为边向外作正方形PQAF ，PRDE ，连接EF．若PQ =，PR =QR =AQRDEF 的面积为__________．6. 在学习三角形中线的知识时，小明了解到：三角形的任意一条中线所在的直线可以把该三角形分为面积相等的两部分。
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O 2014东城区一模（第56套）
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
1.1
5
-的绝对值是（ ）
A. 5
B. 15
C. 1
5
- D. -5
2. 从财政部公布的2014年中央公共财政预算支出结构中，交通运输支出约为4350亿元，比去年同期增长7.1%.将4 350用科学记数法表示应为（ ）
A. 4.35×103
B. 0.435×104
C. 4.35×104
D. 43.5×102 3．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为（ ） A ．
5 B ．
6 C ．
7 D ．
8 4．有五张形状、大小、质地都相同的卡片，上面分别画有下列图形：①正方形；②正三角形；
③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆.将卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，正面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是（ ） A.
5
1
B.
5
2 C.
5
3 D.
5
4
5. 在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同.其中的一名学生想要知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（ ）
A.众数
B.方差
C.平均数
D.中位数 6. 如图，AB ∥CD ，点E 在BC 上，且CD =CE ，∠D =74°则∠B 的度数为（ ）
A. 74°
B. 32°
C. 22°
D. 16°
7. 若二次函数y =x 2﹣2x +c 的图象与y 轴的交点为（0，﹣3），则此二次函数有（ ）
A.最小值为-2
B.最小值为-3
C.最小值为-4
D.最大值为-4 8. 在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点B 的坐标为（4，3）．平行于对角线AC 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m 与矩形OABC 的两边分别交于点M ，N ，直线m 运动的时间为t （秒）．设△OMN 的面积为S ，则能反映S 与t 之间函数关系的大致图象是（ ）
2
二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9. 分解因式：3a a -=________________.
10. 现定义运算“★”，对于任意实数a 、b ，都有a ★b =a 2﹣3a +b ，如：3★5=32﹣3×3+5，根据
定义的运算求2★（-1）= ．若 x ★2=6，则实数x 的值是 ． 11. 在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点P 在第一象限，P e 与x 轴交于O , A 两点， 点A 的坐标为（6,0），P e 的半径为13，则点P 的坐标为 ____________.
12. 在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 如图放置，动点P 从（0，3）出发，沿所示方向
运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第5次碰到矩形的边时，点P 的坐标为 ；当点P 第2014次碰到矩形的边时，点P 的坐标为____________.
三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13.计算： 101
82cos 45()(2014)2
--︒+-．
14．求不等式组20,
132
x x x ->⎧⎪
⎨+≥-⎪⎩的最小整数解．
15.已知：如图，正方形ABCD ，E ，F 分别为DC ，BC 中点． 求证：AE =AF ．。