【恒心】(2014东城一模)北京市东城区2014届高三3月质量调研数学(文科)试题及参考答案

东城区2013-2014学年度第二学期教学检测高三数学 （文科）学校_____________班级_________姓名__________考号__________本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

选择题部分（共40分）一 、选择题： 本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设全集U={1，2，3，4，5，6} ，设集合P={1，2，3，4} ，Q{3，4，5}，则P ∩（C U Q ）=A.{1，2，3，4，6}B.{1，2，3，4，5}C.{1，2，5}D.{1,2}2. 在某次测量中得到的A 样本数据如下：52，54，54，56，56，56，55，55，55，55.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加6后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是A. 众数B..平均数 C .中位数 D .标准差 3. 已知i 是虚数单位，若i 1zi3-=+,则z 的共轭复数为 A 1-2i B 2-4i C i 222- D 1+2i 4．设l 是直线，a ，β是两个不同的平面,A. 若l ∥a ，l ∥β，则a ∥βB. 若l ∥a ，l ⊥β，则a ⊥βC. 若a ⊥β，l ⊥a ，则l ⊥βD. 若a ⊥β, l ∥a ，则l ⊥β 5． 函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的最大值与最小值之差为 A 32+ B . 4 C . 3 D .32- 6．"0"a ≤“是函数|)ax 2(x |)x (f -=在区间(0,+)∞内单调递增”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7．已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为A .2x y =B .2x y = C . 28x y = D . 216x y = 8．已知c b a abc x x x x f <<-+-=,96)(23，且0)()()(===c f b f a f ，现给出如下结论：①0)1()0(>f f ；②0)1()0(<f f ；③0)3()0(>f f ；④0)3()0(<f f . 其中正确结论的序号是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④非选择题部分（共110分）二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知变量x 、y 满足条件1,0,290,x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则x y +的最大值是______.10. 经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线 方程是 ．11. 曲线21x y xe x =++在点（0,1）处的切线方程为 . 12. 在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n+=++，则_____;a 5= 13. 已知平面向量(2,4)a =，．2),1(b -=若()c a a b b =-⋅ ，则||c =_____________．14. 定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离，已知 曲线C 1：y=x 2+a 到直线l:y=x 的距离等于曲线C 2：x 2+(y+4)2=2到直线l:y=x 的距 离，则实数a=_______.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且。

（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=3，sinC=2sinA，求△ABC的面积.16.（本题满分14分）-中，⊿PAB是等边三角形，如图，在三棱锥P ABC∠PAC=∠PBC=90 º（Ⅰ）证明:：AC=BC；（Ⅱ）证明：AB⊥PC；PC=，且平面PAC⊥平面PBC，（Ⅲ）若4-体积.求三棱锥P ABC17.（本题满分13分）一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):轿车A 轿车B 轿车C舒适型100 150 z标准型300 450 600按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.(Ⅰ) 求z的值；(Ⅱ) 用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率；(Ⅲ) 用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4,8.6, 9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.18．（本题满分14分）设函数()(,,)n n f x x bx c n N b c R +=++∈∈（Ⅰ）设2n ≥，1,1b c ==-，证明：()n f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一的零点；（Ⅱ）设2n =，若对任意12,x x [1,1]∈-，有2122|()()|4f x f x -≤，求b 的取值范围．19.（本题满分14分）已知椭圆221:14x C y +=，椭圆2C 以1C 的长轴为短轴，且与1C 有相同的离心率． （Ⅰ）求椭圆2C 的方程；（Ⅱ）设O 为坐标原点，点A B ，分别在椭圆1C 和2C 上，2OB OA = ，求直线AB 的方程．20.（本题满分13分）对于项数为m 的有穷数列数集}{n a ，记},,,max{21k k a a a b =（k =1,2,…,m ），即k b 为k a a a ,,,21 中的最大值，并称数列}{n b 是}{n a 的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.（Ⅰ）若各项均为正整数的数列}{n a 的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的}{n a ； （Ⅱ）设}{n b 是}{n a 的控制数列，满足C b a k m k =++-1（C 为常数，k =1,2,…,m ）.求证 k k a b =（k =1,2,…,m ）.东城区2013-2014学年度第二学期教学检测高三数学答案 （文科）一、选择题：1.D; 2.D; 3.A; 4.B; 5.A; 6.C;; 7.D; 8.C. 二、填空题: 9. 6; 10.10x y -+=; 11. 31y x =+;12. ln52+; 13. 28; 14..49 三、解答题： 15.（本题满分12分）（Ⅰ） ，由正弦定理可得sin sin cos B A A B =，即得tan B =3B π∴=. . ………………5分（Ⅱ） sinC=2sinA ，由正弦定理得2c a =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，229422cos3a a a a π=+-⋅，解得a =2c a ∴==△ABC 的面积=.233acsinB 21= ………………12分16.（本题满分14分）（Ⅰ）因为PAB ∆是等边三角形，90PAC PBC ∠=∠=︒, 所以Rt PBC Rt PAC ∆≅∆,可得AC BC =.………………3分 （Ⅱ）如图，取AB 中点D ，连结PD ,CD , 则PD AB ⊥,CD AB ⊥, 所以AB ⊥平面PDC ,所以AB PC ⊥. ．．．．．．7分 (Ⅲ)作BE PC ⊥，垂足为E ，连结AE ． 因为Rt PBC Rt PAC ∆≅∆，所以AE PC ⊥，AE BE =．由已知，平面PAC ⊥平面PBC ，故90AEB ∠=︒．因为Rt AEB Rt PEB ∆≅∆，所以,,AEB PEB CEB ∆∆∆都是等腰直角三角形。

由已知4PC =，得2AE BE ==， AEB ∆的面积2S =． 因为PC ⊥平面AEB ， 所以三棱锥P ABC -的体积1833V S PC =⨯⨯= ．．．．．．14分 17. （本题满分13分）(Ⅰ)设该厂本月生产轿车为n 辆,由题意得,5010100300n =+, 所以n=2000. z=2000-100-300-150-450-600=400 ．．．．．．3分 (Ⅱ) 设所抽样本中有m 辆舒适型轿车,因为用分层抽样, 所以40010005m=,解得m=2, 即抽取了2辆舒适型轿车, 3辆标准型轿车,分别记作S 1,S 2;B 1,B 2,B 3,则从中任取2辆的所有基本事件为(S 1, B 1), (S 1, B 2) , (S 1, B 3) (S 2 ,B 1), (S 2 ,B 2), (S 2 ,B 3),( (S 1, S 2),(B 1 ,B 2), (B 2 ,B 3) ,(B 1 ,B 3)共10个,其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件: ,(S 1, B 1), (S 1, B 2) , (S 1, B 3) (S 2 ,B 1), (S 2 ,B 2), (S 2 ,B 3),( (S 1, S 2),所以从中任取2辆,至少有1辆舒适型轿车的概率为710. ．．．．．．9分 (Ⅲ)样本的平均数为1(9.48.69.29.68.79.39.08.2)98x =+++++++=, 那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4, 8.6, 9.2, 8.7, 9.3, 9.0这6个数,总的个数为8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为75.086=.. ．．．．．．13分 18．（本题满分14分）（Ⅰ）当112()1nn b c n f x x x ==-≥=+-，，时，1111()(1)()10()12222n n n n f f f x =-⨯<∴ ，在（，）内存在零点．又当'11(,1)()102n n x f x nx -∈=+>时，， 11()1()122n n f x f x ∴∴在（，）上是单调递增的，在（，）内存在唯一零点． ．．．．．．6分 （Ⅱ）当2n =时，c bx x x f ++=22)(．对任意]1,1[)(4)()(]1,1[,2221221-≤--∈在等价于都有x f x f x f x x上的最大值 与最小值之差4≤M ,据此分类讨论如下：（ⅰ）122bb >>当，即时， 22(1)(1)24M f f b =--=>，与题设矛盾．（ⅱ）-1-0022bb ≤<<≤当，即时， 222(1)()(1)422b b M f f =--=+≤恒成立．（ⅲ）0-1-202bb ≤≤≤≤当，即时， 222(-1)()(-1)422b b M f f =--=≤恒成立．综上可知，22-≤≤b ． ．．．．．．14分 19．（本题满分14分）（Ⅰ）由已知可设椭圆2C 的方程为()222124y x a a +=>，4a =． 故椭圆2C 的方程为141622=+x y ． ．．．．．．5分 （Ⅱ）设A B ，两点的坐标分别为()()A A B B x y x y ，，，，由2OB OA =及（Ⅰ）知，O AB ，，三点共线且点A B ，不在 y 轴上，因此可设直线AB 的方程为kx y =．将kx y =代入1422=+y x 中，得()44122=+x k ，所以22414kx A+=，将kx y =代入22+1164y x =中，得()22416k x +=， 所以22164B x k =+，又由2OB OA = ，得224A B x x =，即224116416k k +=+．解得1±=k，故直线AB 的方程为x y =或x y -=．．．．．．．14分 20.（本题满分13分）（Ⅰ）数列}{n a 为：2, 3, 4, 5, 1； 2, 3, 4, 5, 2； 2, 3, 4, 5, 3； 2, 3, 4, 5, 4； 2, 3, 4, 5, 5. ……5分（Ⅱ）因为},,,max{21k ka a ab =，},,,,max{1211++=k k k a a a a b ，所以k k b b ≥+1. 因为C b a k m k=++-1，C b a k m k =+-+1，所以011≥-=--+-+k m k m k k b b a a ，即k k a a ≥+1. 因此，k k a b =. ……13分。