【恒心】(2014东城一模)北京市东城区2014届高三3月质量调研数学(理科)试题及参考答案

东城区2013-2014学年度第二学期教学检测

高三数学 （理科）

学校______________班级_________姓名____________考号___________

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

选择题部分（共40分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．

1．设集合A ＝{x |1621x

<<}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(C R B )＝

A ．(1，4)

B ．(3，4)

C ．(1，3)

D ．(1，2) 2．已知i 是虚数单位， 若),i 1(z i

3-=+则z=

A ．1－2i

B ．2－i

C ．2＋i

D ．1＋2i 3．设a ∈R ，则“a ＝-2”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与 直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件 4．将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8

π

个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ

的一个可能取值为 A.

34π B. 2π C. 4

π D.4π

- 5．设a ，b 是两个非零向量．则下列命题为真命题的是

A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b

B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |

C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得a ＝λb

D ．若存在实数λ，使得a ＝λb ，则|a ＋b |＝|a |－|b |

6 的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则

a b +的最大值为

A.

B.

C. 4

D. 7．已知抛物线1C ：212y x p =

(0)p >的焦点与双曲线2C ：2213

x y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M ,若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则p =

8．设a ＞0，b ＞0．

A ．若2223a b

a b +=+，则a ＞b

B ．若2223a b

a b +=+，则a ＜b

C ．若2223a b

a b -=-，则a ＞b

D ．若2223a b

a b -=-，则a ＜b

非选择题部分（共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．记等差数列

{}n a 的前n 项和为n S ，已知2446,10a a S +==.

则_______a 10=．

10．如图，PA 与圆O 相切于A ，不过圆心O 的割线PCB 与

直径AE 相交于D 点.已知∠BPA =0

30，2=AD ，

1=PC ,则圆O 的半径等于 ．

11. 若函数

()x f x kx e =-有零点，则k 的取值范围

为_______.

12．已知圆的方程为08622=--+y x y x ,设该圆过点（3，5）的最长弦和最短

弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为_______________.

13．已知231(1)n

x x x x ⎛⎫+++ ⎪⎝

⎭的展开式中没有．．

常数项，n ∈*

N ，且2 ≤ n ≤ 7， 则n =______．

14．设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1]( x 2－ax －1)≥0， 则a ＝______________．

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)

设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，， 且3cos cos 5

a B

b A

c -=． （Ⅰ）求

tanB

tanA

的值； （Ⅱ）求tan()A B -的最大值．

16．(本小题满分13分)

某绿化队甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技能考核.

（I ）求从甲、乙两组各抽取的人数；

（II ）求从甲组抽取的工人中至少1名女工人的概率；

（III ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望.

17．(本小题满分14分)

在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，

2AB =. 以AC 的中点O 为球心、AC 为直径的球面交PD 于点M ，交PC 于点N .

（Ⅰ）求证：平面ABM ⊥平面PCD ； （Ⅱ）求直线CD 与平面ACM 所成的角的正弦值； （Ⅲ）求点N 到平面ACM 的距离.

18．（本小题满分14分）

已知函数1()ln(1),01x

f x ax x x

-=++

≥+，其中0a > ()I 若()f x 在x=1处取得极值，求a 的值； ()II 求()f x 的单调区间；

（Ⅲ）若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围 .

19．(本小题满分14分)

椭圆C ：22

22+1x y a b

=(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2，1)

（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB

为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证：直线l 过定点，并求出该定 点的坐标．

20．（本题满分12分）

在数列}b {},a {n n 中，a 1=2，b 1=4，且1n n n a b a +，，成等差数列，11n n n b a b ++，， 成等比数列（n ∈*

N ）

（Ⅰ）求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此归纳出}b {},a {n n 的通项公式，并证明你的结论； （Ⅱ）证明：.12

5

b a 1b a 1b a 1b a 122n n 332211<++++++++