2020届广东省广州市2017级高三普通高中毕业班综合测试(二模)数学(理)试卷无答案
广东省广州市2020届高三普通高中毕业班综合测试(二)理科数学试题(解析版)
2020年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．若集合A ＝{x |y =√2−x }，B ＝{x |x 2﹣x ≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．[0，1）B ．[0，1]C ．[0，2）D ．[0，2]2．已知复数z ＝1+bi （b ∈R ），z 2+i是纯虚数，则b ＝（ ）A ．﹣2B ．−12C ．12D ．13．若a ＝log 332，b ＝ln 12，c ＝0.6﹣0.2，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c ＞b ＞aB ．c ＞a ＞bC ．b ＞a ＞cD ．a ＞c ＞b4．首项为﹣21的等差数列从第8项起开始为正数，则公差d 的取值范围是（ ） A ．d ＞3B ．d ＜72C ．3≤d ＜72D ．3＜d ≤725．《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”．我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想．现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r ，正方形的边长为a （0＜a ＜r ），若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率是p ，则圆周率π的值为（ ）A ．a 2(1−p)rB ．a 2(1+p)rC ．a (1−p)rD ．a(1+p)r6．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，E 是棱AB 的中点，动点F 是侧面ACC 1A 1（包括边界）上一点，若EF ∥平面BCC 1B 1，则动点F 的轨迹是（ ） A ．线段B ．圆弧C．椭圆的一部分D．抛物线的一部分7．函数f（x）＝﹣2x+1|x|的图象大致是（）A．B．C．D．8．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E是BC的中点，F 是AE上一点，AF→=2FE→，则BF→=（）A．12AB→−13AD→B．13AB→−12AD→C．−12AB→+13AD→D．−13AB→+12AD→9．已知命题p：（x2−1x）n的展开式中，仅有第7项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为495；命题q：随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.7，则P （0＜ξ＜2）＝0.3．现给出四个命题：①p∧q，②p∨q，③p∧（￢q），④（￢p）∨q，其中真命题的是（）A．①③B．①④C．②③D．②④10．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，a n+a n+1＝2n（n∈N*），则S2020＝（）A ．22020−23B ．22020+23C ．22021−23D ．22021+2311．过双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）右焦点F 2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为P ，与双曲线交于点A ，若F 2P →=3F 2A →，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．y ＝±12xB ．y ＝±xC ．y ＝±2xD ．y ＝±25x12．若关于x 的不等式e 2x ﹣alnx ≥12a 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[0，2e ]B ．（﹣∞，2e ]C ．[0，2e 2]D ．（﹣∞，2e 2]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2017届广州市高三(二模)数学(理)
2017届广州市高三第二次调研考试试题（二）数学（理科） 2017.4一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。
只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合{}11A x x =-<，110B x x ⎧⎫=-≥⎨⎬⎩⎭，则A B =∩（ ） A ．{}12x x ≤< B ．{}02x x << C ．{}01x x <≤ D ．{}01x x <<2、若复数z 满足()34i i 2i z -+=+，则复数z 所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3、执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ）A ．4B ．3C ．2-D ．3-4、从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为（ ）A ．15B ．25C ．12D ．355、函数()()ln 1f x x x =-+的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6、已知2cos 423πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin θ=（ ） A ．79 B ．19 C ．19- D ．79- 7、已知点()4,4A 在抛物线22y px =（()0p >）上，该抛物线的焦点为F ，过点A 作该抛物线准线的垂线，垂足为E ，则EAF ∠的平分线所在的直线方程为（ ）A ．2120x y +-=B ．2120x y +-=C ．240x y --=D ．240x y -+=8、在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，M 是棱11A D 的中点，过1C ，B ，M 作正方体的 截面，则这个截面的面积为（ ）A ．352B ．358C ．92D ．98 9、已知R k ∈，点(),P a b 是直线2x y k +=与圆22223x y k k +=-+的公共点， 则ab 的最大值为（ ）A ．15B ．9C ．1D ．53- 10、已知函数()2sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的图象在区间[]0,1上恰有3个最高点， 则ω的取值范围为（ ）A ．1927,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．913,22ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1725,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[)4,6ππ 11、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ）A ．83B ．163C ．323D ．16 12、定义在R 上的奇函数()y f x =为减函数，若m ，n 满足()22f m m -+()220f n n -≥，则当1n ≤32≤时，m n的取值范围为（ ） A ．2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13、已知点()00O ，，()1,3A -，()24B -，，→→→+=AB m OA OP 2，若点P 在y 轴上，则实数m = ．14、《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下卷“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二； 五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知 它的数目.3个3个数，剩2个；5个5个数，剩3个；7个7个数，剩2个.问这堆物品15、设()()5423x y x y -+9872987a x a x y a x y =+++8910a xy a y ++，则08a a += ．16、在平面四边形ABCD 中，连接对角线BD ，已知9CD =，16BD =，90BDC ∠=︒，4sin 5A =，则对角线AC 的最大值为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17、设等比数列{}n a 的前n 项和n S ，已知1238a a a =，(2133n S a a =++)521n a a -+（*N n ∈）.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n b nS =，求数列{}n b 的前n 项和n T .18、如图，ABCD 是边长为a 的菱形，60BAD ∠=︒，EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ， 23EB FD a ==.（Ⅰ）求证：EF AC ⊥；（Ⅱ）求直线CE 与平面ABF 所成角的正弦值.19、某商场拟对某商品进行促销，现有两种方案供选择，每种促销方案都需分两个月实施，且每种方案中第一个月与第二个月的销售相互独立.根据以往促销的统计数据，若实施 方案1，预计第一个月的销量是促销前的1.2倍和1.5倍的概率分别是0.6和0.4， 第二个月的销量是第一个月的1.4倍和1.6倍的概率都是0.5；若实施方案2，预计 第一个月的销量是促销前的1.4倍和1.5倍的概率分别是0.7和0.3，第二个月的销量 是第一个月的1.2倍和1.6倍的概率分别是0.6和0.4.令()1,2i i ξ=表示实施方案i 的 第二个月的销量是促销前销量的倍数.（Ⅰ）求1ξ，2ξ的分布列；（Ⅱ）不管实施哪种方案，i ξ与第二个月的利润之间的关系如下表，试比较哪种方案第二个月的利润更大.20、已知双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的顶点，且椭圆与双曲线 的离心率互为倒数.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动点M ，N 在椭圆C 上，且433MN =，记直线MN 在y 轴上的截距为m ， 求m 的最大值.21、已知函数()ln x f x ax b x=-+在点()()e,e f 处的切线方程为2e y ax =-+. （Ⅰ）求实数b 的值；（Ⅱ）若存在2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，满足()1e 4f x ≤+，求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22、选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的普通方程为20x y --=，曲线C 的参数方程为 23cos ,2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点. （Ⅰ）求线段AB 的长；（Ⅱ）已知点P 在曲线C 上运动，当PAB ∆的面积最大时，求点P 的坐标及PAB ∆的最大面积.23、选修4-5：不等式选讲（Ⅰ）已知1a b c ++=，证明：()()2211a b ++++()21613c +≥； （Ⅱ）若对任意实数x ，不等式x a -+212x -≥恒成立，求实数a 的取值范围.2017年广州市普通高中毕业班综合测试（二）理科数学试题答案及评分参考一、选择题1-5:ABABA 6-10:CDCBC 11、12：BD二、填空题13．2314．23 15．2590- 16．27 三、解答题17．解：（Ⅰ）因为数列{}n a 是等比数列，所以2132a a a =.因为1238a a a =，所以328a =，解得22a =.因为()2135213n n S a a a a -=++++，所以213S a =，即1213a a a +=.因为22a =，所以11a =.因为等比数列{}n a 的公比为212a q a ==， 所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=.（Ⅱ）因为等比数列{}n a 的首项为11a =，公比2q =，所以()111n n a q S q -==-122112n n -=--. 因为n n b nS =，所以()21n n b n =-=2n n n ⋅-.所以123n T b b b =+++1n n b b -++(23122232=⨯+⨯+⨯)2n n ++⨯-()123n ++++.设23122232n P =⨯+⨯+⨯2n n ++⨯.则2341n +所以(1232222n n P n +=⨯-++)422n +++=()1122n n +-+. 因为123+++()12n n n ++=， 所以()112n n T n +=-()122n n ++-. 所以数列{}n b 的前n 项和()112n n T n +=-()122n n ++-. 18．解：（Ⅰ）证明：连接BD ，因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥.因为FD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC FD ⊥.因为BD FD D =∩，所以AC ⊥平面BDF .因为EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，所以EB FD ∥.所以B ，D ，F ，E 四点共面.因为EF ⊂平面BDFE ，所以EF AC ⊥.（Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，分别以DC ，DF 的方向为y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz -.可以求得31,,022A a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，31,,022B a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，30,0,2F a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,,0C a ，31,,322E a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 所以()0,,0AB a =，313,,222AF a a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =， 则0,n AB ⎧⋅=⎪⎨即0,313ay =⎧⎪⎨不妨取1x =，则平面ABF 的一个法向量为()1,0,1n =. 因为31,,322CE a a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以cos ,n CEn CE n CE ⋅==368. 所以直线CE 与平面ABF 所成角的正弦值为368.19．解：（Ⅰ）依题意，1ξ的所有取值为1.68，1.92，2.1，2.4， 因为()1 1.68P ξ==0.60.50.30⨯=，()1 1.92P ξ==0.60.50.30⨯=， ()1 2.1P ξ==0.40.50.20⨯=，()1 2.4P ξ==0.40.50.20⨯=. 所以1ξ的分布列为依题意，2ξ的所有取值为1.68，1.8，2.24，2.4， 因为()2 1.68P ξ==0.70.60.42⨯=，()2 1.8P ξ==0.30.60.18⨯=， ()2 2.24P ξ==0.70.40.28⨯=，()2 2.4Pξ==0.30.40.12⨯=. 所以2ξ的分布列为所以1150.30EQ =⨯200.50250.20+⨯+⨯=19.5， 2150.42EQ =⨯+200.46250.12⨯+⨯=18.5.因为12EQ EQ >，所以实施方案1，第二个月的利润更大.20．解：（Ⅰ）双曲线2215x y -=的焦点坐标为()6,0±，离心率为305. 因为双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数， 所以6a =，且22306a b a -=，解得1b =. 故椭圆C 的方程为2216x y +=. （Ⅱ）因为4323MN =>，所以直线MN 的斜率存在. 因为直线MN 在y 轴上的截距为m ，所以可设直线MN 的方程为y kx m =+. 代入椭圆方程2216x y +=得()221612k x kmx +++()2610m -=. 因为()()22122416km k ∆=-+()2124m -=()22160k m +->， 所以221+6m k <.设()11,M x y ，()22,N x y ， 根据根与系数的关系得1221216km x x k -+=+，()21226116m x x k -=+.因为433MN =，即()222222*********m km k k k -⎛⎫+-- ⎪++⎝⎭433=. 整理得()42221839791k k m k -++=+. 令211k t +=≥，则21k t =-.所以221875509t t m t -+-==15075189t t ⎡⎤⎛⎫-+≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦75230593-⨯=. 等号成立的条件是53t =，此时223k =，253m =满足2216m k <+，符合题意. 故m 的最大值为153. 21．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()()0,11,+∞∪.因为()ln x f x ax b x =-+，所以()2ln 1ln x f x a x-'=-. 所以函数()f x 在点()()e,e f 处的切线方程为e e y a b --+e ax =--，即e y ax b =-++. 已知函数()f x 在点()()e,e f 处的切线方程为2e y ax =-+，比较求得e b =. 所以实数b 的值为e .（Ⅱ）由()1e 4f x ≤+，即e ln x ax x -+1e 4≤+. 所以问题转化为11ln 4a x x ≥-在2e,e ⎡⎤⎣⎦上有解. 令()11ln 4h x x x=-2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦， 则()22114ln h x x x x '=-=222ln 44ln x x x x -=()()22ln 2ln 24ln x x x x x x +-. 令()ln 2p x x x =-，所以当2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦时，有()11p x x x '=-10x x -=<. 所以函数()p x 在区间2e,e ⎡⎤⎣⎦上单调递减.所以()()e p x p <ln e 2e 0=-<.所以()0h x '<，即()h x 在区间2e,e ⎡⎤⎣⎦上单调递减.所以()()2e =h x h ≥2211ln e 4e -21124e=-. 所以实数a 的取值范围为211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 22．解：（Ⅰ）曲线C 的普通方程为221124x y +=. 将直线20x y --=代入221124x y +=中消去y 得，230x x -=. 解得0x =或3x =.所以点()0,2A -，()3,1B ， 所以()()223012AB =-++=32.（Ⅱ）在曲线C 上求一点P ，使PAB 的面积最大，则点P 到直线l 的距离最大. 设过点P 且与直线l 平行的直线方程y x b =+. 将y x b =+代入221124x y +=整理得，()2246340x bx b ++-=. 令()()2264434b b ∆=-⨯⨯-0=，解得4b =±. 将4b =±代入方程()2246340x bx b ++-=，解得3x =±.易知当点P 的坐标为()3,1-时，PAB 的面积最大.且点()3,1P -到直线l 的距离为2231211d ---=+32=.PAB 的最大面积为192S AB d =⨯⨯=. 23．解：（Ⅰ）证明：因为1a b c ++=，所以()()()222111a b c +++++222a b c =++()23a b c ++++2225a b c =+++. 所以要证明()()2211a b ++++()21613c +≥，即证明22213a b c ++≥. 因为222a b c ++=()2a b c ++()2ab bc ca -++()2a b c ≥++-()2222a b c ++， 所以()2223a b c ++()2a b c ≥++. 因为1a b c ++=，所以22213a b c ++≥. 所以()()2211a b ++++()21613c +≥. （Ⅱ）设()f x =21x a x -+-，则“对任意实数x ，不等式212x a x -+-≥恒成立”等价于“()min 2f x ≥⎡⎤⎣⎦”. 当12a <时，()f x =31,,11,,2131,.2x a x a x a a x x a x ⎧-++<⎪⎪⎪-+-≤≤⎨⎪⎪-->⎪⎩ 此时()min 12f x f ⎛⎫=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭12a =-， 要使212x a x -+-≥恒成立，必须122a -≥，解得32a ≤-. 当12a =时，1223x -≥不可能恒成立. 当12a >时，()f x =131,,211,,231,.x a x x a x a x a x a ⎧-++<⎪⎪⎪+-≤≤⎨⎪⎪-->⎪⎩此时()min 12f x f ⎛⎫=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭12a =-， 要使212x a x -+-≥恒成立，必须122a -≥，解得52a ≥.综上可知，实数a 的取范为3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭∪.。
广州市普通高中毕业班综合测试(二)数学理(含答案)word版
试卷类型：A2017年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数 学（理科）本试卷共4页，21小题， 满分150分． 考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=， 其中S 是锥体的底面积， h 是锥体的高． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数i z a b =+(),a b ∈R 的虚部记作()Im z b =，则1Im 2i ⎛⎫= ⎪+⎝⎭A ．13 B ．25C ．13-D ．15-2．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7U A B == ，(){}2,4,6U A B = ð，则集合B = A ．{}2,4,6 B ．{}1,3,5C ．{}1,3,5,7D ．{}1,2,3,4,5,6,7 3．设随机变量ξ服从正态分布()3,4N ，若()()232P a P a ξξ<-=>+，则a 的值为A ．73 B ．53C ．5D ．3 4．已知函数()()32120f x x ax x a a=++>，则()2f 的最小值为A ．B ．16C ．288a a ++D ．1128a a++5．已知()1s i n c o s f x x x =+，()1n f x +是()n f x 的导函数，即()()21f x f x '=，()()32f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=，n ∈*N ，则()2011f x =A ．sin cos x x --B ．sin cos x x -C ．sin cos x x -+D ．sin cos x x + 6．一条光线沿直线220x y -+=入射到直线50x y +-=后反射，则反射光线所在的直线方程为A ．260x y +-=B ．270x y -+=C ．30x y -+=D ．290x y +-= 7．三个共面向量a 、b 、c 两两所成的角相等，且1=a ，2=b ，3=c ，则a+b+c 等于A．6 C6D ．3或68．正方形ABCD 的边长为2，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且1AE =，12BF =，将此正方形沿DE 、DF 折起，使点A 、C 重合于点P ，则三棱锥P DEF -的体积是 A ．13 BD ．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题） 9．已知函数()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>，若函数()f x 图象上的一个对称中心到对称轴的距离的最小值为3π，则ω的值为 ． 10．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()32f x x x =-，则当0x >时，()f x 的解析式为 ．11．若1223211C 3C 3C 3C385n n n n nn n---+++++= ，则 n 的值为 ．12．如图1为某质点在4秒钟内作直线运动时，速度函数()v v t =的图象，则该质点运动的总路程s = 厘米． 13．将正整数12分解成两个正整数的乘积有112⨯，26⨯，34⨯三种，其中34⨯是这三种分解中，两数差的绝对值最小的，我们称34⨯为12的最佳分解．当()*,p q p q p q ⨯≤∈N 且是正整数n 的最佳分解时，我们规定函数()pf n q=，例如()3124f =. 关于函数()f n 有下列叙述：①()177f =，②()3248f =，③()4287f =，④图1()914416f =.其中正确的序号为 （填入所有正确的序号）．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）在梯形ABCD 中，AD BC ，2AD =，5BC =，点E 、F分别在AB 、CD 上，且EF AD ，若34AE EB =，则EF 的长为 ． 15．（坐标系与参数方程选做题）设点A 的极坐标为2,6π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 过点A 且与极轴所成的角为3π，则直线l 的极坐标．．．方程为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）如图2，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上． （1）求渔船甲的速度； （2）求sin α的值．17．（本小题满分12分）某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查．瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学生共有40人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果．例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为3人．且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为25． （1）试确定a 、b 的值；60ABC东南西 北 α（2）从40人中任意抽取3人，求其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率； （3）从40人中任意抽取3人，设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为ξ，求随机变量ξ的数学期望E ξ．18．（本小题满分14分）一个几何体是由圆柱11ADD A 和三棱锥E ABC -组合而成，点A 、B 、C 在圆O 的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图3所示，其中EA ABC ⊥平面， AB AC ⊥，AB AC =，2AE =． （1）求证：AC BD ⊥；（2）求二面角A BD C --的平面角的大小．19．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和()12n n n a S +=，且11a=．（1）求数列｛a n ｝的通项公式；（2）令ln n n b a =，是否存在k （2,k k *≥∈N ），使得k b 、1k b +、2k b +成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由． 20．（本小题满分14分）已知双曲线C ：()222210x y a b a b-=>>和圆O ：222x y b +=（其中原点O 为圆心），过双曲线C 上一点()00,P x y 引圆O 的两条切线，切点分别为A 、B ．（1）若双曲线C 上存在点P ，使得90APB ∠=，求双曲线离心率e 的取值范围； （2）求直线AB 的方程；（3）求三角形OAB 面积的最大值．21．（本小题满分14分）已知函数()ln f x ax x x =+的图象在点e x =（e 为自然对数的底数）处的切线斜率为3．A OD E正（主）视图 E A侧（左）视图A 1 D 1 A D 1A 1 E BC OD 图3（1）求实数a 的值； （2）若k ∈Z ，且()1f x k x <-对任意1x >恒成立，求k 的最大值； （3）当4n m >≥时，证明()()mnn m mnnm >．2017年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．9．3210．()32f x x x =-- 11．4 12．11 13．①③ 14．23715．sin 13πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭或cos 16πρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭或4sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭或cos sin 20θρθ--=三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查方位角、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力等．）解：（1）依题意，120BAC ∠= ，12AB =，10220AC =⨯=，BCA α∠=．………………………2分在△ABC 中，由余弦定理，得2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⨯⨯∠ ……………………4分C北22122021220cos120784=+-⨯⨯⨯=．解得28BC =． ………………………………………………………6分所以渔船甲的速度为142BC=海里/小时． 答：渔船甲的速度为14海里/小时．…………………………………7分（2）方法1：在△ABC 中，因为12AB =，120BAC ∠=，28BC =，BCA α∠=，由正弦定理，得sin sin120AB BCα=．…………………………………………9分即12sin1202sin 28AB BCα===答：sin α的值为14．……………………………………………………12分 方法2：在△ABC 中，因为12AB =，20AC =，28BC =，BCA α∠=，由余弦定理，得222cos 2AC BC AB AC BC α+-=⨯．………………………………………9分即22220281213cos 2202814α+-==⨯⨯． 因为α为锐角，所以sin α===14．答：sin α的值为14．……………………………………………………12分 17．（本小题满分12分）（本小题主要考查概率与统计的概念、随机变量的分布列等基础知识，考查运算求解能力等．） 解：（1）由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有()10a +人．记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件A ， 则102()405a P A +==，解得6a =．………………………………………………2分 所以40(32)40382b a =-+=-=．答：a 的值为6，b 的值为2．………………………………………………………3分（2）由表格数据可知，具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生共有8人．方法1：记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B ，则“没有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B ，所以332340C 124123()1()11C 247247P B P B =-=-=-=． 答：从这40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率为123247．……………………………………………………………6分 方法2：记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B ，所以()122138328328340C C C C C 123C 247P B ++==． 答：从这40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率为123247．……………………………………………………6分 （3）由于从40位学生中任意抽取3位的结果数为340C ，其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生共24人，从40位学生中任意抽取3位，其中恰有k 位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为32416C C k k-，………………………7分所以从40位学生中任意抽取3位，其中恰有k 位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的概率为32416340C C ()C k kP k ξ-==，()0,1,2,3k =…………………………8分 ξ的可能取值为0，1，2，3，………………………………………………9分因为032416340C C 14(0)C 247P ξ===， 122416340C C 72(1)C 247P ξ===，212416340C C 552(2)C 1235P ξ===，302416340C C 253(3)C 1235P ξ===， 所以ξ的分布列为所以0E ξ=⨯142471+⨯722472+⨯55212353+⨯25312352223912355==． ……………………10分答：随机变量ξ的数学期望为95．…………………………………………12分 （若将抽取的3人理解为可重复抽取，而采用二项分布求解，可酌情给分）18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线线、线面关系，二面角，三视图等知识，考查化归与转化数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力．）方法1：（1）证明：因为EA ABC ⊥平面，C A ABC ⊂平面，所以EA AC ⊥，即E D A C ⊥．又因为AC AB ⊥，AB ED A = ，所以AC ⊥平面EBD ．因为BD EBD ⊂平面，所以AC BD ⊥．………………………………………4分 （2）解：因为点A 、B 、C 在圆O 的圆周上，且AB AC ⊥，所以BC 为圆O 的直径．设圆O 的半径为r ，圆柱高为h ，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，12210,2122212.2rh r rh r ⎧+⨯=⎪⎪⎨⎪+⨯⨯=⎪⎩…………………………………………6分 解得2,2.r h =⎧⎨=⎩所以4BC =，AB AC ==7分过点C 作CH BD ⊥于点H ，连接AH ，由（1）知，AC BD ⊥，AC CH C = ，所以BD ⊥平面ACH ． 因为AH ⊂平面ACH ，所以BD AH ⊥．所以AHC ∠为二面角A BD C --的平面角．………………………………9分 由（1）知，AC ⊥平面ABD ，AH ⊂平面ABD ， 所以AC AH ⊥，即△CAH 为直角三角形． 在Rt △BAD中，AB =2AD =，则BD =由AB AD BD AH ⨯=⨯，解得AH =．因为tan ACAHC AH∠==13分 所以AHC ∠60=．所以二面角A BD C --的平面角大小为60．………………………………14分 方法2：（1）证明：因为点A 、B 、C 在圆O 的圆周上，且AB AC ⊥，所以BC 为圆O 的直径．设圆O 的半径为r ，圆柱高为h ，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，AD 1A 1EBCOD12210,2122212.2rh r rh r ⎧+⨯=⎪⎪⎨⎪+⨯⨯=⎪⎩…………………………………………2分 解得2,2.r h =⎧⎨=⎩所以4BC =，AB AC ==3分 以点D 为原点，1DD 、DE 所在的射线分别为x 轴、z 轴建立如图的空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()14,0,0D ，()0,0,2A ，()2,2,2B ，()2,2,2C -，()2,2,0AC =- ，()2,2,2DB =．…………………5分因为()()2,2,02,2,20AC DB =-=， 所以AC DB ⊥ ．所以AC BD ⊥．…………………………………………………9分（2）解：设(),,x y z =n 是平面BCD 的法向量，因为()0,4,0BC =-，所以0,0.BC DB ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即40,2220.y x y z -=⎧⎨++=⎩取1z =-，则()1,0,1=-n 是平面BCD 的一个法向量．……………………11分 由（1）知，AC BD ⊥，又AC AB ⊥，AB BD B = ，所以AC ⊥平面ABD ．所以()2,2,0AC =-是平面ABD 的一个法向量．………………………………12分因为1cos ,2AC AC AC⋅===⋅n n n ， 所以,60AC =n ．而,ACn 等于二面角A BD C --的平面角，所以二面角A BD C --的平面角大小为60．……………………………………14分方法3：（1）证明：因为EA ABC ⊥平面，C A ABC ⊂平面，所以EA AC ⊥，即ED A C ⊥．又因为AC AB ⊥，AB ED A = ，所以AC ⊥平面EBD ．AD 1A 1EBCO D因为BD EBD ⊂平面，所以AC BD ⊥．……………………………………………………………………4分 （2）解：因为点A 、B 、C 在圆O 的圆周上，且AB AC ⊥，所以BC 为圆O 的直径．设圆O 的半径为r ，圆柱高为h ，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，12210,2122212.2rh r rh r ⎧+⨯=⎪⎪⎨⎪+⨯⨯=⎪⎩…………………………………………6分 解得2,2.r h =⎧⎨=⎩所以4BC =，AB AC ==7分 以点D 为原点，1DD 、DE 所在的射线分别为x 轴、z 轴建立如图的空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()14,0,0D ，()0,0,2A ，()2,2,2B ，()2,2,2C -，()0,4,0BC =- ，()2,2,2DB =．……………9分设(),,x y z =n 是平面BCD 的法向量，则0,0.BC DB ⎧=⎪⎨=⎪⎩ n n 即40,2220.y x y z -=⎧⎨++=⎩ 取1z =-，则()1,0,1=-n 是平面BCD 的一个法向量．………11分 由（1）知，AC BD ⊥，又AC AB ⊥，AB BD B = ， 所以AC ⊥平面ABD ．所以()2,2,0AC =-是平面ABD 的一个法向量．……………………………12分因为1cos ,2AC AC AC⋅===⋅n n n ， 所以,60AC =n ．而,ACn 等于二面角A BD C --的平面角，所以二面角A BD C --的平面角大小为60．……………………………………14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、等比数列和不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证AD 1A 1EBCOD能力，以及函数与方程、化归与转化等数学思想．） （1）解法1：当2n ≥时，()11122n n n n n n a na a S S --+=-=-，………………………2分即11n n a a n n -=-()2n ≥．………………………………………………………………4分 所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =的常数列．……………………………………………5分所以1na n=，即n a n =()n ∈*N ． 所以数列{}n a 的通项公式为n a n =()n ∈*N ．………………………………………7分解法2：当2n ≥时，()11122n n n n n n a na a S S --+=-=-， (2)分即11n n a n a n -=-()2n ≥．…………………………………………………………………4分 所以1321122113211221n n n n n a a a a n n a a n a a a a n n ----=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=-- ．…………5分因为11a =，符合n a 的表达式．………………………………………………………6分所以数列{}n a 的通项公式为n a n =()n ∈*N ．………………………………………7分 （2）假设存在k ()2,,k m k ≥∈*N ，使得k b 、1k b +、2k b +成等比数列，则2k k b b +=21k b +．……………………………………………………………………………8分因为ln ln n n b a n ==（n ≥2）， 所以()()2222ln 2ln ln 2ln ln(2)22k k k k k k b b k k +⎡⎤+++⎡⎤⎢⎥=⋅+<=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦……………………11分()()22221ln 1ln 12k k k b +⎡⎤+<=+=⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦．……………………13分这与2k k b b +=21k b +矛盾．故不存在k （2,k k *≥∈N ），使得k b 、1k b +、2k b +成等比数列．……………………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查圆、双曲线、直线方程和不等式等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，以及数形结合、分类讨论思想和创新意识等．）解：（1）因为0a b >>，所以1b a <，所以c e a===<1分由90APB ∠=及圆的性质，可知四边形PAOB是正方形，所以OP ．因为OP a =≥，所以2b a ≥，所以c e a ===2≥．3分故双曲线离心率e的取值范围为⎣．…………………………………………4分 （2）方法1：因为22222200PA OP OA x y b =-=+-，所以以点P为圆心，PA 为半径的圆P 的方程为()()222220000x x y y x y b -+-=+-．………5分因为圆O 与圆P 两圆的公共弦所在的直线即为直线AB ， (6)分所以联立方程组()()222222220000,.x y b x x y y x y b ⎧+=⎪⎨-+-=+-⎪⎩………………………………7分消去2x ，2y ，即得直线AB 的方程为200x x y y b +=． (8)分方法2：设()11,A x y ()22,B x y ，已知点()00,P x y ， 则PA k =0101y y x x --，11OA yk x =()101,0x x x ≠≠其中．因为PA OA ⊥，所以1PA OA k k =-，即0110111y y y x x x -⨯=--． (5)分整理得22010111x x y y x y +=+．因为22211x y b +=，所以20101x x y y b +=．……………………………………………6分因为OA OB =，PA PB =，根据平面几何知识可知，AB OP ⊥． 因为00OP y k x =，所以00AB xk y =-．……………………………………………………7分 所以直线AB 方程为()0110x y y x x y -=--． 即000101x x y y x x y y +=+．所以直线AB 的方程为200x x y y b +=．…………………………………………………8分方法3：设()()1122,,,A x y B x y ，已知点()00,P x y ， 则PA k =0101y y x x --，11OA yk x =()101,0x x x ≠≠其中．因为PA OA ⊥，所以1PA OA k k =-，即0110111y y y x x x -⨯=--． (5)分整理得22010111x x y y x y +=+．因为22211x y b +=，所以20101x x y y b +=．……6分 这说明点A 在直线200x x y y b +=上． …………7分 同理点B 也在直线200x x y y b +=上．所以200x x y y b +=就是直线AB 的方程． ……8分 （3）由（2）知，直线AB 的方程为200x x y y b +=，所以点O 到直线AB的距离为2d =．因为AB ===，所以三角形OAB 的面积0012S AB d =⨯⨯=10分 以下给出求三角形OAB 的面积S 的三种方法：方法1：因为点()00,P x y 在双曲线22221x y a b-=上，所以2200221x y a b-=，即22222002b x a b y a -=()220x a ≥．设t ==≥所以322b tS t b=+．…………………………………………………………………………11分因为()()()3222b t b t b S tb-+-'=+，所以当0t b <<时，0S '>，当t b >时，0S '<．所以322b tS t b=+在()0,b 上单调递增，在(),b +∞上单调递减．……………………12分b ≤，即b a <≤时，322212b b S b b b ⨯==+最大值，……………………13分b >，即a >时，()3222b b S a b ==+最大值 综上可知，当b a b<≤时，212S b =最大值；当a >时，2S =最大值．………14分方法2：设t =33222b t b S b t bt t==++．……………………………11分因为点()00,P x y 在双曲线22221x y a b -=上，即2200221x y a b-=，即22222002b x a b y a -=()220x a ≥．所以t ==令()2b g t t t =+，则()()()2221t b t b b g t t t+-'=-=． 所以当0t b <<时，()0g t '<，当t b >时，()0g t '>．所以()2b g t t t=+在()0,b 上单调递减，在(),b +∞上单调递增． (12)分b，即b a <≤时，32212b S b b b b==+最大值， (13)分b >，即a >时，32b S ==最大值． 综上可知，当b a b<≤时，212S b =最大值；当a >时，2S =最大值．………14分方法3：设2200t x y =+，则S b ==．…………………11分 因为点()00,P x y 在双曲线22221x y a b -=上，即2200221x y a b-=，即22222002b x a b y a -=()220x a ≥．所以22222200021b t x y x b a a ⎛⎫=+=+-≥ ⎪⎝⎭．令()2222221124g u b u u b u b b ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，所以()g u 在21,2b ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在21,2b ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减． (12)因为t a ≥，所以2110,u t a ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，当22112b a ≤，即b a b <≤时，()22max1124g u g b b ⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，此时321122S b b b =⨯=最大值． …………13分当22112b a >，即a >时，()2224max 1a b g u g a a -⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，此时22b b S a =最大值．综上可知，当b a b<≤时，212S b =最大值；当a >时，2S =最大值．………14分21．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数的值域、导数、不等式等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，以及创新意识．） （1）解：因为()ln f x ax x x =+，所以()ln 1f x a x '=++．……………………………1分因为函数()ln f x ax x x =+的图像在点e x =处的切线斜率为3， 所以()e 3f '=，即ln e 13a ++=．所以1a =． (2)分 （2）解：由（1）知，()ln f x x x x =+，所以()1f x k x <-对任意1x >恒成立，即ln 1x x xk x +<-对任意1x >恒成立．………………………3分令()ln 1x x xg x x +=-，则()()2ln 21x x g x x --'=-， (4)令()ln 2h x x x =--()1x >， 则()1110x h x x x-'=-=>， 所以函数()h x 在()1,+∞上单调递增．……………………………………………5分 因为()()31ln30,422ln20h h =-<=->，所以方程()0h x =在()1,+∞上存在唯一实根0x ，且满足()03,4x ∈．当01()0x x h x <<<时，，即()0g x '<，当0()0x x h x >>时，，即()0g x '>，………………6分所以函数()ln 1x x xg x x +=-在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增．所以()()()()()000000min 001ln 123,411x x x x g x g x x x x ++-====∈⎡⎤⎣⎦--． (7)分所以()()0min 3,4k g x x <=∈⎡⎤⎣⎦．故整数k 的最大值是3．…………………………………………………………………8分 （3）证明1：由（2）知，()ln 1x x xg x x +=-是[)4,+∞上的增函数， (9)分所以当4n m >≥时，l n ln11n n n m m m n m ++>--．……………………………………………………10分即()()()()11ln 11ln n m n m n m -+>-+． 整理，得()ln ln ln ln mn n m m mn m n n n m +>++-． (11)分因为n m >， 所以ln ln ln ln mn n m m mn m n n +>+．……………………………12分即ln ln ln ln mnm mn n nm m n +>+．即()()ln ln mn m mn nn m m n >．…………………………………………………………13分所以()()mnn m mn nm >． (14)分证明2：构造函数()ln ln ln ln f x mx x m m mx m x x =+--，………………………………………9分则()()1ln 1ln f x m x m m m '=-+--．………………………………………………10分因为4x m >≥，所以()()1ln 1ln 1ln 0f x m m m m m m m '>-+--=-->． 所以函数()f x 在[),m +∞上单调递增．……………………………………11分 因为n m >， 所以()()f n f m >． 所以ln ln ln ln mn n m m mn m n n +-->22ln ln ln ln 0m m m m m m m m +--=． (12)分即ln ln ln ln mn n m m mn m n n +>+． 即ln ln ln ln mnm mn n nm m n +>+．即()()ln ln mn m mn nn m m n >． (13)分所以()()mnn m mn nm >．………………………………………………………………14分。
2020届广东省广州市2017级高三12月调研考试数学(理)试卷参考答案
展开式中的常数项为
C64
(3x)2
1
135 ．
x
x
15．答案：6
解析：设外接球半径为 R ，则 4 R3
125
，解得 R
5
，底面正三角形外接圆的半径 r
2 ，设三棱
3
6
2
锥的高为 h
，由 (h
R)2
r2
R2
，解得 h
4
，则其侧视图的面积为 S侧视图
1 3 4
2
6
．
16．在△ABC 中，设角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ，记△ABC 的面积为 S ，且 4a2 b2 2c2 ，则 S a2
11．答案：C
1
1
解析：设 M (x, y) ，则 M 的半径 r y , AO ，
2
2
2
2
2
由于 MO AO ，所以 MO AO AM ，
A
2
即 x2
y2 1
1 y
，ห้องสมุดไป่ตู้理得： x2
y，
4 2
O
P
因为曲线
x2
y
是以
P
0,
1
为焦点的抛物线，
B
M
4
1
1
1
而 AM r y ， MP y ，此时 MA MP 为定值．
3 24
8
2
3
3
1 P( ABC) 1 P( A)P(B)P(C) 1 (1 m) (1 n) ，(1 m)(1 n) ，
3
4
8
2
13
3
(1 m)(1 n) 1 (m n) mn 1 (m n) ，m n ．
2020届广东省广州市高三二模数学(理)试题(解析版)
当0＜x＜m时， ＜0，f（x）单调递减；当x＞m时， ＞0，f（x）单调递增，
可得x＝m处f（x）取得极小值，且为最小值e2m﹣alnm，
由题意可得e2m﹣alnm a，即 alnm a，
化为m+2mlnm≤1，设g（m）＝m+2mlnm， ＝1+2（1+lnm），
所以面NEMF∥平面BCC1B1，而EF 面MN，
所以EF∥平面BCC1B1，
所以要使EF∥平面BCC1B1，则动点F的轨迹为线段FN．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查线线平行，线面平行，面面平行的转化，还考查了空间想象和逻辑推理的能力，属于中档题.
7．函数 的图象大致是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
解：如图,
在正四棱锥P﹣ABCD中,由底面边长为2,侧棱长为 ,
可得△PAC为正三角形,取PC的中点G,得AG⊥PC,且AG .
设过AG与PC垂直的平面交PB于E,交PD于F,连接EF,
则EG⊥PC,FG⊥PC,可得Rt△PGE≌Rt△PGF,得GE＝GF,PE＝PF,
在△PAE与△PAF中,由PA＝PA,PE＝PF,∠APE＝∠APF,得AE＝AF.
则A∩B＝{x|0≤x≤1}＝[0，1].
故选：B.
【点睛】
本题主要考查一元二次不等式的解法，考查函数定义域的求法，考查集合的交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
2．已知复数 ，若 是纯虚数，则b＝（）
A．﹣2B． C． D．1
【答案】A
【解析】根据复数的除法法则把 化成复数的一般形式，然后由实部为零，虚部不等于零计算即可．
2017届广东省广州市高三毕业班综合测试(二)理科数学试题及答案
试卷类型：A 2017年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）4 本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号．用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．数学（理科）试题A 第 1 页共 29 页数学（理科）试题A 第 2 页 共 29 页参考公式：球的表面积公式24S R =π，其中R 是球的半径．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“若2x =，则2320x x -+=”的逆否命题是A ．若2x ≠，则2320x x -+≠B ．若2320x x -+=，则2x =C ．若2320x x -+≠，则2x ≠D ．若2x ≠，则2320x x -+=2．已知0a b >>，则下列不等关系式中正确的是A ．sin sin a b> B ．22log log a b< C ．1122a b<D ．1133ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．已知函数()40,1,0,x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩则()2f f =⎡⎤⎣⎦A ．14B ．12C ．2D ．44．函数()sin y A x ωϕ=+()0,0,0A ωϕ>><<π则此函数的解析式为A ．3sin y x ππ⎛⎫=+ ⎪44⎝⎭B ．y =C ．3sin y x ππ⎛⎫=+ ⎪24⎝⎭D ．3sin y x π3π⎛⎫=+ ⎪24⎝⎭图1数学（理科）试题A 第 3 页 共 29 页5．已知函数()223f x x x =-++，若在区间[]4,4-上任取一个实数0x ，则使()00f x ≥成立的概率为A ．425 B ．12C ．23D ．16．如图2，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C在母线VB 上，且1VC =，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是A C ．3D ．27．已知两定点()1,0A -，()1,0B ，若直线l 上存在点M ，使得3MA MB +=，则称直线l 为“M 型直线”．给出下列直线：①2x =；②3y x =+；③21y x =--；④1y =；⑤23y x =+．其中是“M型直线”的条数为A ．1B ．2C ．3D ．48．设(),P x y 是函数()y f x =的图象上一点，向量()()51,2x =-a ，()1,2y x =-b ，且//a b .数列{}n a是公差不为0的等差数列，且()()()12936f a f a f a ++⋅⋅⋅+=，则129a a a ++⋅⋅⋅+=A.0B.9C.18D.36AV CB图2数学（理科）试题A 第 4 页 共 29 页二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．已知i 为虚数单位，复数1i 1iz -=+，则z = ．10．执行如图3所示的程序框图，则输出的z 的值是 ．11．已知()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若3cos 5α=02απ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则12f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 12．5名志愿者中安排4人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排2人，则不同的安排方案共有_________种（用数字作答）．13．在边长为1的正方形ABCD 中，以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a ，2a ，3a ；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1c ，2c ，3c ．若m 为()()i j s t +∙+a a c c 的最小值，其中{}{},1,2,3i j ⊆，{}{},1,2,3s t ⊆，则m = ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）B ACDEFG 图4数学（理科）试题A 第 5 页 共 29 页如图4，在平行四边形ABCD 中，4AB =，点E 为边DC 的中点，AE 与BC 的延长线交于点F，且AE 平分BAD ∠，作DG AE ⊥，垂足为G ，若1DG =，则AF 的长为 ． 15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知曲线1C 和2C 的方程分别为32,12x t y t=-⎧⎨=-⎩（t 为参数）和24,2x t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点有 个． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且::7:5:3a b c =． （1）求cos A 的值； （2）若△ABC的面积为，求△ABC 外接圆半径的大小．17．（本小题满分12分）某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调份，统计结果如下面的图表所示．数学（理科）试题A 第 6 页 共 29 页（1）分别求出a ，b ，c ，n 的值；（2）从第3，4组答对全卷的人中用分层抽样的方法抽取6人，在所抽取的6人中随机抽取2人授予“环保之星”，记X 为第3组被授予“环保之星”的人数，求X 的分布列与数学期望．18．（本小题满分14分）如图5，已知六棱柱111111ABCDEF A BC D E F -的侧棱垂直于底面，侧棱长与底面边长都为3，M ，N 分别是棱AB ，1AA 上的点，且1AM AN ==．（1）证明：M ，N ，1E ，D 四点共面；（2）求直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值．19．（本小题满分14分）已知点(),n n n P a b ()n ∈*N 在直线l ：31y x =+上，1P 是直线l 与y 轴的交点，数列{}n a 是公差为1的等差数列． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求证：22212131111116n PP PP PP ++++<．C 1ABA 1B 1 D 1CDMNEFE 1F 1图5数学（理科）试题A 第 7 页 共 29 页20．（本小题满分14分）已知圆心在x 轴上的圆C 过点()0,0和()1,1-，圆D的方程为()2244x y -+=．（1）求圆C 的方程；（2）由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于A ，B 两点，求AB的取值范围．21．（本小题满分14分）已知函数()ln f x a x =-11x x -+，()e x g x =（其中e 为自然对数的底数）． （1）若函数()f x 在区间()0,1内是增函数，求实数a 的取值范围； （2）当0b >时，函数()g x 的图象C 上有两点(),e b P b ，(),e b Q b --，过点P ，Q 作图象C 的切线分别记为1l ，2l ，设1l 与2l 的交点为()00,M x y ，证明00x >．2017年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题，满分40分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．数学（理科）试题A 第 8 页共 29 页数学（理科）试题A 第 9 页 共 29 页16．（本小题满分12分） 解：（1）因为::7:5:3a b c =，所以可设7a k=，5b k=，3c k =()0k >， (2)分由余弦定理得，222cos 2b c a A bc +-=()()()222537253k k k k k+-=⨯⨯…………………………………………………………3分12=-．………………………………………………………………………………………………4分 （2）由（1）知，1cos 2A =-，因为A 是△ABC 的内角， 所以sin A 2=………………6分数学（理科）试题A 第 10 页 共 29 页由（1）知5b k =，3c k =， 因为△ABC的面积为，所以1sin 2bc A =8分即1532k k ⨯⨯= 解得k =……………………10分 由正弦定理2sin aR A=，即72sin k R A ==，…………………………………………………11分解得14R =． 所以△ABC外接圆半径的大小为14． (12)分17．（本小题满分12分）解：（1）根据频率直方分布图，得()0.0100.0250.035101c +++⨯=，解得0.03c =．……………………………………………………………………………………………1分第3组人数为105.05=÷，所以1001.010=÷=n ． (2)分数学（理科）试题A 第 11 页 共 29 页第1组人数为1000.3535⨯=，所以28350.8b =÷=． (3)分 第4组人数为2525.0100=⨯，所以250.410a =⨯=． (4)分（2）因为第3，4组答对全卷的人的比为5:101:2=，所以第3，4组应依次抽取2人，4人.…………………………………………………………………5分依题意X的取值为0，1，2．……………………………………………………………………………6分()022426C C 20C 5P X ===，…………………………………………………………………………………7分()112426C C 81C 15P X ===，………………………………………………………………………………8分()202426C C 12C 15P X ===，………………………………………………………………………………9分所以X 的分布列为：………………………………………10分数学（理科）试题A 第 12 页所以2812012515153EX =⨯+⨯+⨯=． ………………………………………………………………12分 18．（本小题满分14分）第（1）问用几何法，第（2）问用向量法： （1）证明：连接1A B ，11B D ，BD ，11A E ， 在四边形1111A B D E 中，1111A E B D 且1111=A E B D ， 在四边形11BB D D 中，11BD B D 且11=BD B D ， 所以11A E BD 且11=A E BD ，所以四边形11A BDE 是平行四边形．所以11A B E D ．………………………………2分 在△1ABA 中，1AM AN ==，13AB AA ==， 所以1AMANABAA =，所以1MN BA ．…………………………………………………………………………………………4分 所以1MN DE ． 所以M，N，1E ，D四点共分C 1A BA 1B 1D 1CDMNEF E 1F 1数学（理科）试题A 第 13 页 共 29 页（2）解：以点E 为坐标原点，EA ，ED ，1EE 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系，则()B，9,02C ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,3,0D ， ()10,0,3E，()M ，…………………………8分则3,02BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()10,3,3DE =- ，()2,0DM =-．……………………………………………………………………………………10分设(),,x y z =n 是平面1MNE D 的法向量，则10,0.DE DM ⎧=⎪⎨=⎪⎩ n n即330,20.y z y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩取y =2x =，z = 所以(=n 是平面1MNE D的一个法向量．………………………………………………12分 设直线BC 与平面1MNE D 所成的角为θ，则sin BCBCθ=n n116==．故直线BC与平面1MNE D所成角的正弦值为数学（理科）试题A 第 14 页 共 29 页116．………………………………………………14分 第（1）（2）问均用向量法：（1）证明：以点E 为坐标原点，EA ，ED ，1EE 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z则()B ，9,02C ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,3,0D ， ()10,0,3E ，()M ，()N 所以()10,3,3DE =- ，()0,1,1MN =-． 因为13DE MN =，且MN 与1DE 不重合，所以1DE MN ．…………………………………………5分 所以M，N，1E ，D四点共面．………………………………………………………………………6分（2）解：由（1）知3,022BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()10,3,3DE =-，()2,0DM =-．………………10分（特别说明：由于给分板（1）6分（2）8分，相当于把（1）中建系与写点坐标只给2分在此加2分）设(),,x y z =n 是平面1MNE D 的法向量，则10,0.DE DM ⎧=⎪⎨=⎪⎩ n n 即330,20.y z y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩数学（理科）试题A 第 15 页 共 29 页取y =2x =，z = 所以(=n 是平面1MNE D的一个法向量．………………………………………………12分 设直线1BC 与平面1MNE D 所成的角为θ，则sin BCBCθ=n n==．故直线BC与平面1MNE D所成角的正弦值为．………………………………………………14分 第（1）（2）问均用几何法：（1）证明：连接1A B ，11B D ，BD ，11A E ， 在四边形1111A B D E 中，1111A E B D 且1111=A E B D ， 在四边形11BB D D 中，11BD B D 且11=BD B D ， 所以11A E BD 且11=A E BD ，所以四边形11A BDE 是平行四边形．所以11A B E D ．………………………………2分 在△1ABA 中，1AM AN ==，13AB AA ==， 所以1AMANABAA =，所以C 1A BA 1B 1 D 1CDMNEFE 1F 1数学（理科）试题A 第 16 页 共 29 页1MN BA ．…………………………………………………………………………………………4分 所以1MN DE ． 所以M，N，1E ，D四点共面．………………………………………………………………………6分（2）连接AD ，因为BC AD ，所以直线AD 与平面1MNE D 所成的角即为直线BC 与平面1MNE D 所成的角．…………………7分连接DN ，设点A 到平面DMN 的距离为h ，直线AD 与平面1MNE D 所成的角为θ，则sin hADθ=．……………………………………………………………………………………………8分因为A DMN D AMNV V --=，即1133DMN AMN S h S DB ∆∆⨯⨯=⨯⨯．…………………………………………9分 在边长为3的正六边形ABCDEF中，DB =6DA =， 在△ADM 中，6DA =，1AM =，60DAM ∠= ，由余弦定理可得，DM =在Rt △DAN 中，6DA =，1AN =，所以DN = 在Rt △AMN 中，1AM =，1AN =，所以MN在△DMN中，DM =DN =MN =数学（理科）试题A 第 17 页 共 29 页由余弦定理可得，cos DMN ∠=，所以sin DMN ∠=所以1sin 22DMN S MN DM DMN ∆=⨯⨯⨯∠=．…………………………………………………11分又12AMN S ∆=，……………………………………………………………………………………………12分所以AMN DMN S DB h S ∆∆⨯==………………13分所以sin 116h AD θ==故直线BC与平面1MNE D所成角的正弦值为116．………………………………………………14分19．（本小题满分14分）（1）解：因为()111,P a b 是直线l ：31y x =+与y 轴的交点()0,1， 所以10a =，11b =．……………………………………………………………………………………2分数学（理科）试题A 第 18 页 共 29 页因为数列{}n a 是公差为1的等差数列， 所以1n a n =-．……………………………………………………………………………………………4分因为点(),n n n P a b 在直线l ：31y x =+上， 所以31n n b a =+32n =-．所以数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为1n a n =-，32n b n =-()*n ∈N ．………………………6分（2）证明：因为()10,1P ，()1,32n P n n --，所以()1,31n P n n ++． 所以()222211310n PP n n n +=+=．………………………………………………………………………7分 所以222121311111n PP PP PP ++++22211111012n ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭．……………………………………8分 因为()()222114411241212121214n n n n n n n ⎛⎫<===- ⎪--+-+⎝⎭-，……………………………10分所以，当2n ≥时，222121311111n PP PP PP ++++数学（理科）试题A 第 19 页 共 29 页111111210352121n n ⎡⎤⎛⎫<+-++- ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎣⎦ ……………………………………………………………11分15110321n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭………………………………………………………………………………………12分16<．又当1n =时，212111106PP =<．………………………………………………………………………13分所以22212131+111116n PP PP PP +++<．……………………………………………………………14分 20．（本小题满分14分）解：（1）方法一：设圆C的方程为：()222x a y r -+=()0r >， (1)分因为圆C 过点()0,0和()1,1-， 所以()22222,11.a r a r ⎧=⎪⎨--+=⎪⎩………………………………………………………………………………3分 解得1a =-，1r =．数学（理科）试题A 第 20 页 共 29 页所以圆C的方程为()2211x y ++=．…………………………………………………………………4分方法二：设()0,0O ，()1,1A -，依题意得，圆C 的圆心为线段OA 的垂直平分线l 与x 轴的交点C ． (1)分 因为直线l的方程为1122y x -=+，即1y x =+，……………………………………………………2分 所以圆心C的坐标为()1,0-．…………………………………………………………………………3分 所以圆C的方程为()2211x y ++=．…………………………………………………………………4分（2）方法一：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ， 则()220044x y -+=， 即()2200440y x =--≥， 解得026x ≤≤．…………………………………………………………………………………………5分由圆C 与圆D 的方程可知，过点P 向圆C 所作两条切线的斜率必存在，数学（理科）试题A 第 21 页 共 29 页设PA 的方程为：()010y y k x x -=-， 则点A 的坐标为()0100,y k x -， 同理可得点B 的坐标为()0200,y k x -， 所以120AB k k x =-，因为PA ，PB 是圆C 的切线，所以1k ，2k1=，即1k ，2k 是方程()()2220000022110x x k y x k y +-++-=的两根，………………………………7分即()0012200201220021,21.2y x k k x x y k k x x ⎧++=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以120AB k k x =-x =……………………………………………9分因为()220044y x =--， 所以AB =………………10分 设()()0020562x f x x -=+，则()()00305222x f x x -+'=+．……………………………………………………………数学（理科）试题A 第 22 页 共 29 页…………………11分由026x ≤≤，可知()0f x 在222,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数，在22,65⎛⎤⎥⎝⎦上是减函数，……………………12分所以()0max 2225564f x f ⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， ()()(){}min0131min 2,6min ,484f x f f ⎧⎫===⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭， 所以AB的取值范围为⎦．…………………………………………………………………14分方法二：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ， 则()220044x y -+=， 即()2200440y x =--≥， 解得026x ≤≤．…………………………………………………………………………………………5分 设点()0,A a ，()0,B b ，则直线PA ：00y a y a x x --=，即()0000y a x x y ax --+=，因为直线PA 与圆C1=，化简得()2000220x a y a x +--=． ① 同理得()2000220x b y b x +--=， ②数学（理科）试题A 第 23 页 共 29 页由①②知a，b为方程()2000220x x y x x +--=的两根，…………………………………………7分即00002,2.2y a b x x ab x ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以AB a b =-===…………9分因为()220044y x =--， 所以AB =………………10分=．………………………………………………………………11分 令012t x =+，因为026x ≤≤，所以1184t ≤≤．所以AB ==，…………………………………数学（理科）试题A 第 24 页 共 29 页……12分 当532t =时，max AB =，当14t =时，min AB =所以AB的取值范围为4⎦．…………………………………………………………………14分21．（本小题满分14分） （1）解法一：因为函数()ln f x a x =-11x x -+在区间()0,1内是增函数， 所以()()2201a f x x x '=-≥+()01x <<．……………………………………………………………1分即()2120a x x +-≥()01x <<， 即()221xa x ≥+……………………………………………………………………………………………2分212x x =++()01x <<， 因为21122x x<++在()0,1x ∈内恒成立，所以12a ≥．故实数a的取值范围为数学（理科）试题A 第 25 页 共 29 页1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．……………………………………………………………………4分解法二：因为函数()ln f x a x =-11x x -+在区间()0,1内是增函数， 所以()()2201a f x x x '-+≥=()01x <<．……………………………………………………………1分即()2120a x x +-≥()01x <<， 即()2210ax a x a +-+≥()01x <<，…………………………………………………………………2分设()()221g x ax a x a =+-+，当0a =时，得20x -≥，此时不合题意．当0a <时，需满足()()00,10,g g ≥⎧⎪⎨≥⎪⎩即()0,210,a a a a ≥⎧⎪⎨+-+≥⎪⎩解得12a ≥，此时不合题意．当0a >时，需满足()222140a a --≤⎡⎤⎣⎦或()()00,10,10,g g a a ⎧⎪≥⎪≥⎨⎪-⎪-<⎩或()()00,10,11,g g a a ⎧⎪≥⎪≥⎨⎪-⎪->⎩解得12a ≥或1a >，所以12a ≥．综上所述，实数a的取值范围为数学（理科）试题A 第 26 页 共 29 页1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．……………………………………………………………4分（2）证明：因为函数()e x g x =，所以()e x g x '=． 过点(),e b P b ，(),e b Q b --作曲线C 的切线方程为：1l ：()e e b b y x b =-+， 2l ：()e e b b y x b --=++，因为1l 与2l 的交点为()00,M x y ， 由()()e e ,e e ,b b b by x b y x b --⎧=-+⎪⎨=++⎪⎩ ………………………………………………………………………………6分消去y，解得()()()0e +e e e eeb b b b bbb x -----=-． ①…………………………………………7分下面给出判定00x >的两种方法： 方法一：设e b t =，………………………………………………………………………………………8分因为0b >，所以1t >，且ln b t =． 所以()()2202+1ln 11t t t x t --=-．…………………………………………………………………………9分数学（理科）试题A 第 27 页 共 29 页设()()()22+1ln 1h t t t t =--()1t >， 则()12ln h t t t t t'=-+()1t >．………………………………………………………………………10分令()12ln u t t t t t=-+()1t >，则()212ln 1u t t t '=+-． 当1t >时，ln 0t >，2110t->，所以()212ln 10u t t t '=+->，………………………………11分所以函数()u t 在()1,+∞上是增函数， 所以()()10u t u >=，即()0h t '>， (12)分所以函数()h t 在()1,+∞上是增函数， 所以()()10h t h >=．…………………………………………………………………………………13分因为当1t >时，210t ->， 所以()()2202+1ln 101t t t x t --=>-．…………………………………………………………………14分方法二：由①得0x ()221+e 11e b bb --=--．数学（理科）试题A 第 28 页 共 29 页设2e b t -=，…………………………………………………………………………………………………8分因为0b >，所以01t <<，且ln 2t b =-． 于是21ln bt-=，……………………………………………………………………………………………9分所以()01+221ln 1ln 1b t b t x b t t t t +⎛⎫=+=+ ⎪--⎝⎭．…………………………………………………………10分由（1）知当12a =时，()1ln 2f x x =-11x x -+在区间()0,1上是增函数，…………………………11分所以()ln 2t f t =-()1101t f t -<=+， 即ln 2t <11t t -+． …………………………………………………………………………………………12分即210ln 1t t t++>-，………………………………………………………………………………………13分已知0b >， 所以数学（理科）试题A 第 29 页 共 29 页0210ln 1t x b t t +⎛⎫=+> ⎪-⎝⎭．…………………………………………………………………………14分。
2017年广州市普通高中毕业班综合测试广州二测广州市二测答案(理科数学)
数学答案（理科）试题B 第 1 页 共 11 页绝密 ★ 启用前2017年广州市普通高中毕业班综合测试(二)理科数学试题答案及评分参考评分说明:1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数.选择题不给中间分.一.选择题(1)A (2)B (3)A (4)B (5)A (6)C (7)D (8)C(9)B(10)C(11)B(12)D二.填空题 (13)32(14)23 (15)2590- (16)27三.解答题(17)解:(Ⅰ)因为数列{}n a 是等比数列,所以2132a a a =.因为1238a a a =,所以32=8a ,解得22=a .…………………………………………………………1分 因为()1253123-++++=n n a a a a S ,所以123a S =,即1213a a a =+.………………………………………………………………………2分 因为22=a ,所以11=a .………………………………………………………………………………3分 因为等比数列{}n a 的公比为212a q a ==, 所以数列{}n a 的通项公式为12-=n n a .…………………………………………………………………4分数学答案（理科）试题B 第 2 页 共 11 页(Ⅱ)因为等比数列{}n a 的首项为11=a ,公比2q =,所以()122121111-=--=--=n nn n q q a S .…………………………………………………………………6分因为n n b nS =,所以()212n nn b n n n =-=⋅-.………………………………………………………7分所以n n n b b b b b T +++++=-1321()()231222322123n n n =⨯+⨯+⨯++⨯-++++.…………………………………8分设231222322n n P n =⨯+⨯+⨯++⨯, 则234+121222322n n P n =⨯+⨯+⨯++⨯.所以()+1234222222n n n P n =⨯-+++++()1=122n n +-+.…………………………………10分因为()11232n n n +++++=, ……………………………………………………………………11分所以()()111222n n n n T n ++=-+-. 所以数列{}n b 的前n 项和()()111222n n n n T n ++=-+-.…………………………………………12分(18)(Ⅰ)证明:连接BD ,因为ABCD 是菱形,所以BD AC ⊥.……………………1分因为⊥FD 平面ABCD ,⊂AC 平面ABCD ,所以FD AC ⊥.………………………………………………2分因为D FD BD = ,所以⊥AC 平面BDF .……………3分 因为⊥EB 平面ABCD ,⊥FD 平面ABCD ,所以//EB FD .所以B ,D ,F ,E 四点共面.………………………………………………………………………4分 因为⊂EF 平面BDFE ,所以AC EF ⊥.……………………………………………………………5分FEDCB数学答案（理科）试题B 第 3 页 共 11 页(Ⅱ)解法1:如图,以D 为坐标原点,分别以DC ,DF 的方向 为y 轴,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系xyz D -.……6分可以求得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0,21,23a a A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21,23a a B ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛a F 23,0,0, ()0,,0a C ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛a a a E 3,21,23.………………………………7分 所以()0,,0a AB =,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a a a 23,21,23.……………………………………………………8分设平面ABF 的法向量为()z y x ,,=n ,则⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙,0,0n n即0,10,2ay ay =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 不妨取1x =,则平面ABF 的一个法向量为()1,0,1=n .……………………………………………10分 因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=a a a 3,21,23, 所以36cos ,8CE CE CE∙==n n n . 所以直线CE 与平面ABF .…………………………………………………12分 解法2:如图,设ACBD O =,以O 为坐标原点,分别以OA ,OB 的方向为x 轴,y轴的正方向,建立空间直角 坐标系O xyz -.…………………………………………6分可以求得,0,02A a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,10,,02B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,0,02C a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭, 10,2E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,10,2F a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ (7)分数学答案（理科）试题B 第 4 页 共 11 页所以1,,02AB a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,1,2AF a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭.………………………………………8分设平面ABF 的法向量为()z y x ,,=n ,则⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙,0,0ABn n即10,210,2ay ay ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩不妨取1x=,则平面ABF 的一个法向量为()=n .………………………………………10分因为31,2CE a ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭,所以36cos ,CE CE CE∙==n n n .所以直线CE 与平面ABF 所成角的正弦值为8.…………………………………………………12分 (说明:若本题第(Ⅰ)问采用向量法证明正确,第(Ⅰ)问给6分,仍将建系、写点的坐标与向量的坐标等分值给到第(Ⅱ)问)(19)解:(Ⅰ)依题意,1ξ的所有取值为68.1,92.1,1.2,4.2,…………………………………1分 因为()30.05.06.068.11=⨯==ξP ,()30.05.06.092.11=⨯==ξP ,()20.05.04.01.21=⨯==ξP ,()20.05.04.04.21=⨯==ξP .………………………………3分 所以1ξ的分布列为依题意,2ξ的所有取值为68.1,8.1,24.2,4.2,…………………………………………………5分 因为()42.06.07.068.12=⨯==ξP ,()18.06.03.08.12=⨯==ξP ,()28.04.07.024.22=⨯==ξP ,()12.04.03.04.22=⨯==ξP ,……………………………7分……………4分数学答案（理科）试题B 第 5 页 共 11 页所以2ξ的分布列为(Ⅱ)令i Q 表示方案i 所带来的利润,则所以1150.30+200.50+250.20=19.5EQ =⨯⨯⨯, 2150.42+200.46+250.12=18.5EQ =⨯⨯⨯. 因为12EQ EQ >,所以实施方案1,第二个月的利润更大.………………………………………………………………12分(20)解:(Ⅰ)双曲线2215x y -=的焦点坐标为(),离心率为5.………………………1分因为双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C :22221x y a b+=()0a b >>的顶点,且椭圆与双曲线的离心率 互为倒数,所以a ==,解得1b =. 故椭圆C 的方程为1622=+y x .…………………………………………………………………………3分 (Ⅱ)因为2334>=MN ,所以直线MN 的斜率存在.………………………………………………4分 因为直线MN 在y 轴上的截距为m ,所以可设直线MN 的方程为m kx y +=.……………8分…………………………10分……………………………9分数学答案（理科）试题B 第 6 页 共 11 页代入椭圆方程1622=+y x 得0)1(612)61(222=-+++m kmx x k .…………………………………5分 因为()0)61(24)1)(61(241222222>-+=-+-=∆m k m k km ,所以2261k m +<.………………………………………………………………………………………6分 设),(11y x M ,),(22y x N ,根据根与系数的关系得1221216kmx x k -+=+,()21226116m x x k-=+.……………………………………7分 则()212212212411x x x x kx x k MN -++=-+== 因为334=MN ,.………………………………8分 整理得()22421973918kk k m +++-=.………………………………………………………………………9分 令112≥=+t k ,则12-=t k .所以2218755015075230575189993t t m t t t -+-⎡⎤-⨯⎛⎫==-+≤= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.…………………………10分等号成立的条件是35=t ,此时322=k ,253m =满足2261k m +<,符合题意.………………11分故m 的最大值为315.…………………………………………………………………………………12分(21)解:(Ⅰ)函数()f x 的定义域为()()0,11,+∞.因为()f x ln x ax b x =-+,所以()f x '2ln 1ln x a x-=-.…………………………………………1分 所以函数()f x 在点()()e,e f 处的切线方程为()()e e e y a b a x --+=--,即e y ax b =-++.………………………………………………2分已知函数()f x 在点()()e,e f 处的切线方程为2e y ax =-+,比较求得e b =.所以实数b 的值为e .……………………………………………………………………………………3分数学答案（理科）试题B 第 7 页 共 11 页(Ⅱ)解法1:由()f x 1e 4?,即1e e ln 4x ax x -+?.……………………………………………4分 所以问题转化为11ln 4a x x ≥-在2e,e 轾犏臌上有解.………………………………………………………5分 令()11ln 4h x x x=-()2e,e x 轾Î犏臌, 则()h x '22114ln x x x =-222ln 44ln x x x x-=(22ln ln 4ln x x x x +-=.………………………………7分 令()ln p x x =-,所以当2e,e x 轾Î犏臌时,有()110p x xx'==<.……………………………………………8分 所以函数()p x 在区间2e,e 轾犏臌上单调递减.……………………………………………………………9分 所以()()e ln e 0p x p <=-<. ………………………………………………………………10分所以()0h x '<,即()h x 在区间2e,e 轾犏臌上单调递减. ………………………………………………11分 所以()()22221111eln e4e 24e h x h ≥=-=-. 所以实数a 的取值范围为211,24e轹÷ê-+?÷÷êøë.…………………………………………………………12分 解法2:命题“存在x Î2e,e 轾犏臌,满足()f x 1e 4?”等价于“当x Î2e,e 轾犏臌时,有()min f x ⎡⎤⎣⎦1e 4?”.………………………………………4分由(Ⅰ)知,()f x '2ln 1ln x a x -=-=2111ln 24a x 骣÷ç--+-÷ç÷ç桫. (1)当14a ³时,()0f x '≤,即函数()f x 在区间2e,e 轾犏臌上为减函数,…………………………5分 所以()minf x =⎡⎤⎣⎦()2e f 22e e e 2a =-+.由()min f x ⎡⎤⎣⎦1e 4?,得22e 1e e e 24a -+?,解得21124e a ?. 所以21124e a ?.………………………………………………………………………………………6分数学答案（理科）试题B 第 8 页 共 11 页(2)当14a <时,注意到函数()f x '=2111ln 24a x 骣÷ç--+-÷ç÷ç桫在区间2e,e 轾犏臌上的值域为1,4a a 轾犏--犏臌. ……………………………………7分①0a £,()0f x '≥在区间2e,e 轾犏臌上恒成立,即函数()f x 在区间2e,e 轾犏臌上为增函数. 所以()()min e f x f =⎡⎤⎣⎦e e e =2e e a a =-+-.由于()min f x ≤⎡⎤⎣⎦1e 4+,所以2e e a -?1e 4+,解得1104e a ≥->,这与0a ≤矛盾.………8分 ②若104a <<,由函数()f x '的单调性(单调递增)和值域知,存在唯一的()20e,e x ∈,使()00f x '=,且满足当x Î()0e,x 时,()00f x '<,即()f x 为减函数；当x Î()0,e x 时,()00f x '>,即()f x 为增函数.所以()()0min f x f x =⎡⎤⎣⎦000e ln x ax x =-+.…………………………………………………………9分 由()min f x ≤⎡⎤⎣⎦1e 4+,得000e ln x ax x -+?1e 4+,即0001ln 4x ax x -?. 因为()00f x '=,即020ln 10ln x a x --=,所以02ln 1ln x a x -=. 将02ln 1ln x a x -=代入0001ln 4x ax x -?,得0201ln 4x x £,其中()20e,e x ∈.………………………10分 令()h x 2ln x x =,则()h x '3ln 2ln x x-=, 当x Î2e,e 轾犏臌时,()0h x '≤,即()h x 在区间2e,e 轾犏臌上为减函数.所以()()2eh x h ≥()2222e e 1>44ln e ==,与0201ln 4x x £矛盾, 所以不存在10,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使()min f x ≤⎡⎤⎣⎦1e 4+成立.………………………………………………11分综上可知,实数a 的取值范围为211,24e轹÷ê-+?÷÷êøë.…………………………………………………12分 (说明:当104a <<时,也可转化为200ln 4x x ≥,其中()20e,e x ∈,从而构造函数()2ln x p x x =解答；还可数学答案（理科）试题B 第 9 页 共 11 页转化为0011ln 4a x x ?,从而构造函数()11ln 4q x x x =-解答；还有其他解法均参照给分！)(22)(Ⅰ)解:曲线C 的普通方程为141222=+y x .……………………………………………………1分 将直线02=--y x 代入141222=+y x 中消去y 得,032=-x x .…………………………………2分 解得0=x 或3=x .………………………………………………………………………………………3分 所以点()2,0-A ,()1,3B ,………………………………………………………………………………4分 所以()()23210322=++-=AB .………………………………………………………………5分(Ⅱ)解法1:在曲线C 上求一点P , 使△PAB 的面积最大,则点P 到直线l 的距离最大.设过点P 且与直线l 平行的直线方程为b x y +=.……………………………………………………6分将b x y +=代入141222=+y x 整理得,()0436422=-++b bx x . 令()()22644340b b ∆=-⨯⨯-=,解得4±=b .…………………………………………………7分将4±=b 代入方程()0436422=-++b bx x ,解得3±=x .易知当点P 的坐标为()1,3-时,△PAB 的面积最大.………………………………………………8分 且点P ()1,3-到直线l 的距离为231121322=+---=d .……………………………………………9分△PAB 的最大面积为=⨯⨯=d AB S 219.…………………………………………………………10分 解法2:在曲线C 上求一点P , 使△PAB 的面积最大,则点P 到直线l 的距离最大.设曲线C 上点()θθsin 2,cos 32P ,其中[)π2,0∈θ,………………………………………………6分则点P 到直线l 的距离为22112sin 2cos 32+--=θθd 226πcos 4-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=θ.………………………8分 因为[)π2,0∈θ,则6π136π6π<+≤θ, 所以当π6π=+θ,即65π=θ时,23max =d .………………………………………………………9分此时点P 的坐标为()1,3-,△PAB 的最大面积为=⨯⨯=d AB S 219.…………………………10分数学答案（理科）试题B 第 10 页 共 11 页(23)(Ⅰ)证明1:因为1=++c b a ,所以()()()222111+++++c b a ()32222++++++=c b a c b a 5222+++=c b a .所以要证明()()()316111222≥+++++c b a , 即证明31222≥++c b a .…………………………………………………………………………………1分 因为()()ca bc ab c b a c b a ++-++=++22222 ……………………………………………………2分 ()()22222c b a c b a ++-++≥,……………………………………………………3分所以()()22223c b a c b a ++≥++.……………………………………………………………………4分因为1=++c b a ,所以31222≥++c b a . 所以()()()316111222≥+++++c b a .…………………………………………………………………5分 证明2:因为1=++c b a ,所以()()()222111+++++c b a ()32222++++++=c b a c b a 5222+++=c b a .所以要证明()()()316111222≥+++++c b a , 即证明31222≥++c b a .…………………………………………………………………………………1分 因为21293a a +≥,21293b b +≥,21293c c +≥,……………………………………………………3分 所以()2221233a b c a b c +++≥++.…………………………………………………………………4分因为1=++c b a ,所以31222≥++c b a . 所以()()()316111222≥+++++c b a .…………………………………………………………………5分 证明3:因为()()21681193a a ++≥+,()()21681193b b ++≥+,()()21681193c c ++≥+, ……………………………3分所以()()()()()()22216811111133a b c a b c ++++++≥+++++⎡⎤⎣⎦.……………………………4分数学答案（理科）试题B 第 11 页 共 11 页 因为1=++c b a ,所以()()()316111222≥+++++c b a .…………………………………………………………………5分 (Ⅱ)解:设()12-+-=x a x x f ,则“对任意实数x ,不等式+212x a x --≥恒成立”等价于“()min 2f x ≥⎡⎤⎣⎦”.…………6分 当21<a 时,()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--≤≤-+-<++-=.21,13,21,1,,13x a x x a a x a x a x x f 此时()min 11=22f x f a ⎛⎫=-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭, 要使+212x a x --≥恒成立,必须221≥-a ,解得23-≤a .……………………………………7分 当21=a 时,3221≥-x 不可能恒成立.………………………………………………………………8分 当21>a 时,()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--≤≤-+<++-=.,13,21,1,21,13a x a x a x a x x a x x f 此时()min 11=22f x f a ⎛⎫=-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭, 要使+212x a x --≥恒成立,必须221≥-a ,解得25≥a .……………………………………9分 综上可知,实数a 的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⎥⎦⎤⎝⎛-∞-,2523, .……………………………………………10分。
2019年12月高2020届高2017级广东省广州市高三年级调研测试理科数学试题参考答案
广 州 市 教究 院 广 州 市 教 育 研 广 州 市 教 育 研 究 院 广 州 市 教 育 研 究院 州 市 教 育 研 究 院2020届广州市高三年级调研测试参考答案理科数学一． 选择题二．填空题 13.524 14. 135 15.6 16. 610三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（1）解法1：设{}n a 的公差为d ，因为{}n a 为单调递增的等差数列，所以，0>d .由253418,80,a a a a +=⎧⎨⋅=⎩得343418,80.a a a a +=⎧⎨⋅=⎩解得348,10.a a =⎧⎨=⎩所以234=-=a a d .所以()2233+=-+=n d n a a n . 解法2：设{}n a 的公差为d ，因为{}n a 为单调递增的等差数列，所以0>d .由253418,80,a a a a +=⎧⎨⋅=⎩得()()1112518,2380,a d a d a d +=⎧⎪⎨+⋅+=⎪⎩解得14,2.a d =⎧⎨=⎩所以()2211+=-+=n d n a a n .（2）由（1）得122422++==n n a n，当2≥n 时由42222233221-=++++n a n n b b b b ，………………………① 得42222211133221-=++++---n a n n b b b b ，……………………② ①-②得2,434421≥⨯=-=+n b n n n n n ， 所以 2,23≥⨯=n b n n .当1=n 时，6221622211=-=-=a b 符合上式.所以n n b 23⨯=.所以()21216--=nn S 6231-⨯=+n . 广州调研广 州教 育 研 究 院 广州市 教育 研 究 院 广 州 市 教 育 研 究 院州 市 教 育 研 究院 州 市 教 育 研 究 院18．（1）证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以⊥BD AC .又因为⊂BD 平面ABCD ，平面⊥AEFC 平面ABCD .平面AEFC 平面=ABCD AC ，所以⊥BD 平面AEFC . 因为⊂BD 平面BDE ，所以平面⊥BED 平面AEFC .（2）设 AC BD = O ，连接OF ，可知平面四边形 AEFC 为直角梯形，EA ⊥AC ，又因为AE ⊂平面 AEFC ，平面AEFC 平面 ABCD = AC ， 平面AEFC ⊥平面ABCD ，所以AE ⊥平面 ABCD ． 因为EF //AC ，1=2AC AO EF =，所以AE //OF ，所以OF ⊥平面 ABCD ． 解法1：以OB ，OC ，OF 分别为 x ，y ，z 轴建立如图所示空间坐标系． 则)B，()010C ，，， ()D ，()0,1,0A -，()0,1,2E -，()0,0,2F ，设平面 BCF 的法向量()1111,,z y x n =，因为()0,1,3-=，()2,0,3-=，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n n ，即1111020y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 令12x =，解得()3,32,21=n .设平面的CDF 法向量()2222,,z y x n =，因为()2,1,0-=，()0,1,3--=，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022n n ，即2222200y z y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩， 令22x =，解得()3,32,21--=n . 因为1911-==， 结合图像可知二面角B FC D --的余弦值为1119-.广州调研广 州 市 教 育 研 究 院 广 州 市 教 育 研 究 院 广 州 市 教 育 研 究 院 广 州 教 育 研 究院州 教 研 究 院解法2：因为ABCD FO 面⊥且ABCD BD 面⊂，所以BD FO ⊥.因为O 为BD 中点，所以FD BF =. 又CD BC =，FC FC =， 所以DFC BFC ∆≅∆.过B 作FC BG ⊥交FC 于G 点，连结GD ，则FC DG ⊥， 所以BGD ∠为二面角D FC B --的平面角. 在Rt FBO ∆中，3232=⨯=BO ，2=FO ， 所以()73222=+=BF ，322==BO BD ，同理5=CF ，在Rt FBC ∆中，7=BF ，2=BO ，5=CF .由三角形面积公式得519=BG ，则519=DG .在BGD ∆中，1911519212519519cos -=⨯-+=∠BGD . 所以二面角B FC D --的余弦值为1119-. 19. 解：（1）因为Y X =且](600,300,∈Y X ，所以()()Y g X g =，当](400300,X ∈时，()()()()03003210041800>-=+-+=-X X X X g X f . 当](600400,X ∈时，()()()()03004210041800<-=+-+=-X X X g X f .故当](400300,X ∈时，()()X g X f >， 当](600400,X ∈时，()()X g X f <．（2）（ⅰ）送餐量x 的分布列为：则()16151201511851175216511415113=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x E .送餐量y 的分布列为：广州调研广 州 市 教 育 研 究 院 广 州 市 教 育 研 究 院 广 州市 育研 究 院 广 州 市 育 研 究院 州 市 教 育 研 究院则()14301186116101155214611315211=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=y E .（ⅱ）()()](60030048030,x E X E ∈==，()()()+∞∈==,y E Y E 40042030.A 公司外卖配送员，估计月薪平均为()372041800=+X E 元.B 公司外卖配送员，估计月薪平均为()378042100=+Y E 元.因为3780元3720>元，所以小王应选择做B 公司外卖配送员．20．解：（1）由已知得23b =，3a c +=，222a b c =+，所以所求椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）解法1：因为过()1,0F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不在x 轴上），所以设:1l x ty =+，由()2222134690143x ty t y ty x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩， 设()11,A x y 、()22,B x y ，则122122634934t y y t y y t -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，因为OE OA OB =+，∴AOBE 为平行四边形，所以3AGBE AOBE OGB AOB S S S S ∆∆=+=1232y y =-==1=m ，得218181313==++m S m m m， 由函数的单调性易得当1m =，即0t =时，max 92=S ． 解法2：因为OE OA OB =+，所以AOBE 为平行四边形，所以3AGBE AOBE OGB AOB S S S S ∆∆=+=．当直线AB 的斜率不存在时，93=2AGBE AOB S S ∆=. 当直线AB 的斜率存在时，设为()1y k x =-，广州调研广 州 市育 研 究 院 广 州 市 教 院 广 州 市 教 育 研 究 院 广 州 市 教 育 研 究院 州 市 教 育 研 究 院由()()22222143690143y k x k y ky k x y =-⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩. 设()11,A x y 、()22,B x y ，则1222122643943k y y k k y y k -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩， 所以3AGBE AOBS S ∆=1232y y =-==， 令2433k m +=>，得92S =<， 综上可知，max 92=S ．21．（1）解：由x k x x )x (f ln +-=2知函数的定义域为)(+∞,0.则xkx x x k x )x (f +-=+-='2212.令0=')x (f 得022=+-k x x . 其k 81-=∆.①当081≤-=∆k 即81≥k 时，0≥')x (f 在)(+∞,0上恒成立， 所以)(x f 在)(+∞,0上为单调递增函数. ②当081>-=∆k 即81<k 时，(1)式的两根为48111k x --=，48112k x -+= 若810<<k ，则210x x <<，当)(10x ,x ∈，),(+∞2x 时有0>')x (f ，当)(21x ,x x ∈时有0<')x (f ，从而知函数)x (f 在)(10x ,和),(+∞2x 单调递增，在)(21x ,x 单调递减.若0≤k ，则210x x <≤，当)(20x ,x ∈时有0<')x (f ，)(x x 2+∞∈,时0>')x (f ，从而知函数)x (f 的在)(20x ,单调递减，在),(+∞2x 单调递增.综上，当81≥k 时，)(x f 在)(+∞,0上为单调递增函数；当810<<k 时， )x (f 在)(10x ,和),(+∞2x 单调递增，在)(21x ,x 单调递减; 当0≤k 时，)x (f 的在)(20x ,单调递减，在),(+∞2x 单调递增.广州调研广 州 市 教 育 研 究 院 广 州 市 教 育 研 究 院 广 州 市 教 育 研 究 院 广 州 市 教 育 研 究院 州 市 教 育 研 究 院（2）证明：设()22g x x x k =-+，由题意和（1）得810<<k . 则极值点12,x x 为方程()0g x =的两根，且12104x x <<<， 所以1212x x +=，1212x x k =. 且()y f x =在1(0,)x 上单增，在12(,)x x 上单减，在2(,)x +∞上单增， 所以1212()()()()f x f x f x f x -=-22111222(ln )(ln )x x k x x x k x =-+--+ 11221()ln 2x x x k x =--+……………………………① 11211(2)ln 22x x k x =--+1112212ln 4x x x x x =-+. 要证11121221112ln 24444x x x x k x x x -+<-=-， 即证1122221ln222x x x x x x +<-=-， 即证1122ln1x x x x <- . 构造()ln (1)h x x x =-- （(01)x <<2'11()1x h x x x-=-=，(0,1)x ∈时， '()0h x >， 所以()y h x =在(0,1)上单增，()(1)0h x h ∴<=. 即1ln -<x x 成立. 综上可知，原不等式成立.广州调研广 州 市 教 育研 院 广 州 市 教 育 研 究 院 广 州 市 教 育 研 究 院广市 教 育 研 究院州 市 育 研 究 院【说明】化简到①后的其他变形思路：思路1：由()0g x =，解得1x =，2x =. 则212x x -=，12144x k x k -=. 先证明1ln -<x x .则由①得12()()f x f x -<11221()12x x x k x ⎛⎫--+- ⎪⎝⎭124k =-. 思路2：令12x t x =，结合1212x x +=，1212x x k =，其中01t <<. 可得()121t x t =+，()2121x t =+，()221t k t =+.则由①得，需证明12()()f x f x -<112211()ln 224x x x k k x --+<-. 整理得，需证明ln 1t t <-（01t <<）.22．（1）解：因为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=m m y m m x 11，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-=++=+=21)1(21)1(22222222m m m m y m m m m x ，所以422=-y x .所以曲线C 的直角坐标方程为422=-y x .把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入直线的极坐标方程03cos sin 3=--θρθρ， 得直线的直角坐标方程为033=--x y ．所以直线的直角坐标方程为033=+-y x .（2）解法1：由220,4,x x y ⎧=⎪⎨-=⎪⎩解得13,22A ⎛⎪⎝⎭，13,22B ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭. 因为点(0,1)P ，所以1PA =，1PB =. 所以115PA PB +==. 广州调研广州 市 教 育研 院 广 州 市 教 研 究 院 广 州 市 教 育 研 究 广 州 市 教 育 研 究院 州 市 教 育 研 究 院解法2：因为点(0,1)P 在直线l 上，则直线l 的参数方程为11+2x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，将211+2⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y t 代入422=-y x ， 得22100--=t t ，044)10(14)2(2>=-⨯⨯--=∆， 所以122+=t t ，12100⋅=-<t t ．因为1=PA t ，2=PB t ，所以1212121111-+=+====t t PA PB t t t t 所以11+=PA PB ．23．解：（1） 当2a =时，()22(2)f x x x =--，由22(2)0x x --<，解得2x <；所以不等式()0f x <的解集为(),2-∞．（2）因为(2)0=f ，所以由(),x a ∈-∞时，()0f x <，得2a ≤．当2a ≤，(,)x a ∈-∞时，()(2)2()=--+--f x x a x x x a()(2)(2)()=--+--a x x x x a2()(2)0=---<a x x ，所以a 的取值范围是(],2-∞．广州调研。
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B． y x
C． y 2x
D． y 2 x 5
12．若关于 x 的不等式 e2x a ln x 1 a 恒成立，则实数 a 的取值范围是 2
A．0, 2e
B． , 2e
C． 0, 2e2
D． , 2e2
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知角 的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，若点 P 2, 1在角 的
A．线段
B．圆弧
C．椭圆的一部分
D．抛物线的一部分
7．函数 f x 2x 1 的图像大致是
x
A．
B．
C．
D．
8．如图，在梯形 ABCD 中， AB / /CD ， AB AD ， AB=2AD 2DC ， E 是 BC 的中
点， F 是 AE 上一点， AF 2FE ，则 BF =
D
A． 1 AB 1 AD 23
秘密 ★ 启用前
试卷类型： B
2020 年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
理科数学
本试卷共 6 页，23 小题， 满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，
用 2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号，并将试卷类型（B）填涂在答题 卡的相应位置上。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的 答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不 能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目 指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答 案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
a 0 a r ，若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率是 p ，
则圆周率 的值为
A．
1
a2 p
r
2
B．
1
a2 p
r
2
C．
a
1 p
r
D．
1
a
p
r
6．在三棱柱 ABC A1B1C1 中， E 是棱 AB 的中点，动点 F 是侧面 ACC1A1 （包括边界）
上一点，若 EF∥平面 BCC1B1 ，则动点 F 的轨迹是
C． 1 AB 1 AD 23
B． 1 AB 1 AD 32
D． 1 AB 1 AD A 32
C FE
B
理科数学（二）试题 B 第 2 页 共 6 页 2020届广东省广州市2017级高三普通高中毕业班综合测试（二模）数学（理）试卷
9．已知命题
p
：
x2
1 x
n
的展开式中，仅有第
7
项的二项式系数最大，则展开式中的常
2i
A． 2
B． 1 2
C． 1 2
D．1
3．若
a
log3
3 2
，
b ln 1 ， c 0.60.2 ，则 a ， b ， c 的大小关系为
2
A． c b a
B． c a b
C． b a c
D． a c b
4．首项为 21的等差数列从第 8 项起开始为正数，则公差 d 的取值范围是
数项为 495 ；命题 q ：随机变量 服从正态分布 N 2, 2 ，且 P 4 0.7 ，则
P0 2 0.3．现给出四个命题：① p q ，② p q ，③ p (q) ，④ (p) q ，
其中真命题的是
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
10．设数列an 的前 n 项和为 Sn ，且 a1 2 ， an an1 2n n N* ，则 S2020 =
△ ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 a 1，B ，△ ABC 的 3
面积为 3 3 ． 4
（1）求△ ABC 的周长；
（2）求 cos B C 的值．
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。
1．若集合 A x y 2 x ， B x x2 x 0 ，则 A B
A． 0,1
B． 0,1
C．0, 2
D． 0, 2
2． 已知复数 z 1 bi b R ， z 是纯虚数，则 b
终边上，则 sin 2=
．
14．下表是某厂1~4 月份用水量（单位：百吨）的一组数据
月份 x （万元） 1 2 3 4 用水量 y （万元） 2.5 3 4 4.5 由散点图可知，用水量 y 与月份 x 之间有较明显的线性相关关系，其线性回归方程是
yˆ bˆx 1.75 ，预测 6 月份该厂的用水量为
的平面 ，则平面 被此正四棱锥所截的截面面积为
，平面 将此正四棱锥分
成的两部分体积的比值为
．（第一个空 2 分，第二个空 3 分）
三、解答题：共 70 分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考 题，每个试题考生都必须做答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答。
（一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）
22020 2
A．
3
22020 +2
B．
3
22021 2
C．
3
22021 +2
D．
3
11．过双曲线
C
：
x2
y2 b2
1 a
0,b 0 右焦点 F2 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为
P ，与双曲线交于点 A ，若 F2P 3F2 A ，则双曲线 C 的渐近线方程为
A． y 1 x 2
A． d 3
B． d 7 2
C． 3 d 7 2
D． 3 d 7 2
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5．《周髀算经》中提出了 “方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”．我国古代 铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想．现
将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为 r ，正方形的边长为
万元．
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2020届广东省广州市2017级高三普通高中毕业班综合测试（二模）数学（理）试卷
15．过抛物线 y2 4x 焦点 F 的直线交该抛物线于 A ， B 两点，且 AB 4 ，若原点 O 是
△ ABC 的垂心，则点 C 的坐标为_______．
16．正四棱锥 P ABCD 的底面边长为 2 ，侧棱长为 2 2 ．过点 A 作一个与侧棱 PC 垂直