考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷66(题后含答案及解析)
考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷66 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设随机事件A与B为对立事件，0＜P(A)＜1，则一定有
A．0＜P(A∪B)＜1．
B．0＜P(B)＜1．
C．0＜P(AB)＜1．
D．0＜P()＜1．
正确答案：B
解析：因A、B为对立事件，即A∪B=Ω，AB=，所以P(AB)=0，P()=0，且P(A)+P(B)=P(A∪B)=1．因此(A)，(C)，(D)均不成立，应选(B)． 知识模块：概率论与数理统计
2． A，B，C三个随机事件必相互独立，如果它们满足条件
A．A，B，C两两独立．
B．P(ABC)=P(A)P(B)P
C．P(A－B)=1．
D．P(A－B)=0．
正确答案：C
解析：由三个事件相互独立的条件可知，(A)与(B)显然不对．对于(C)：由P(A－B)=1)=1，即P(B)=0．下面验证当P(A)=P(A)=P(B)=0时，它们是否满足四个等式：1)由P(B)=0P(AB)≤P(B)=0P(AB)=0=P(A)P(B)；2)由P(B)=0P(BC)≤P(B)=0P(BC)=0=P(B)P(C)；3)由P(P(AC)=P(AC)+P(C)=P(C)=P(C)P(A)．由以上1)，2)，3)可知A，B，C两两独立．4)由P(ABC)≤P(B)=0P(ABC)=0=P(A)P(B)P(C)．由以上可知，A，B，C满足四个等式，故选(C)． 知识模块：概率论与数理统计
3． 设随机变量X的概率分布为P{X=k}=a，k=0，1，2，…，则常数a=
A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析：由泊松分布知，P{X=k}当a(e+1)=1即a=时，X～P(1)，故应选(B)． 知
识模块：概率论与数理统计
4． 已知随机变量(X，Y)在区域D={(x，y)|－1＜x＜1，－1＜y＜1}上服从均匀分布，则
A．P{X+Y≥0}=1／4．
B．P{X－Y≥0}=1／4．
C．P{max(X，Y)≥0}=1／4．
D．P{min(X，Y)≥0}=1／4．
正确答案：D
解析：由题设知(X，Y)的概率密度函数为由于P{min(X，Y)≥0}=P{X≥0，Y≥0}=∫01dx∫011／4dy=1／4，故选(D)．因P{max(X，Y)≥0}=1－P{max(X，Y)＜0}=1－P{X＜0，Y＜0}所以选项(A)、(B)、(C)都不正确． 知识模块：概率论与数理统计
5． 设X1，X2，…，Xn，…相互独立且都服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布，则当n→∞时以Ф(x)为极限的是
A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：由于X1，X2，…，Xn，…相互独立同分布，其期望和方差都存在，且E(Xi)=nλ，D(Xi)=nλ，因此当n→+∞时，P{≤x}以Ф(x)为极限，故应选(C)． 知识模块：概率论与数理统计
6． 设X1，X2，…，Xn是取自总体X的简单随机样本，记EX=μ，DX=σ2，)2，DS＞0，则
A．S是σ的无偏估计．
B．S2是σ2的无偏估计．
C．是μ2的无偏估计．
D．Xi2是EX2的无偏估计．
正确答案：B
解析：从上题知S2是无偏估计，应选(B)．进一步分析DS=ES2－(ES)2＞0(ES)2≠ES2=σ2ES≠σ， 知识模块：概率论与数理统计
填空题
7． 设离散型随机变量X的分布函数F(x)=则随机变量|X|的分布函数为
_______．
正确答案：
解析：由于分布函数F(x)只在x=－1，0，1处有3个间断点，因此离散型随机变量X与|X|的概率分布分别为|X|的分布函数F|X|(x)为F|X|(x) 知识模块：概率论与数理统计
8． 设F(x)是连续型随机变量X的分布函数，常数a＞0，则∫－∞+∞[F(x+a)－F(x)]dx=_______．
正确答案：a
解析：∫－∞+∞[F(x+a)－F(x)]dx=∫－∞+∞[∫xx+af(y)dy]dx∫－∞+∞[f(y)∫y－aydy]=∫－∞+∞sf(y)dy=a． 知识模块：概率论与数理统计
9． 设(X，Y)～N(μ，μ；σ2，σ2；0)，则P{X＜Y}=_______．
正确答案：1╱2
解析：由ρ=0可知，X与Y独立，从而有X－Y－N(0，2σ2)，根据对称性，有P|{X－Y＜0}=1／2． 知识模块：概率论与数理统计
10． 两名射手各向自己的靶独立射击，直到有一次命中时该射手才(立即)停止射击．如果第i名射手每次命中的概率为pi(0＜pi＜1，i=1，2)，则两射手均停止射击时脱靶(未命中)总数的数学期望为_______．
正确答案：[*]
解析：每位射手的射击只有两个基本结果：中与不中，因此两射手的每次射击都是一个伯努利试验．每位射手直到他有一次命中时方停止射击，因此此时的射击次数应服从几何分布；此时的射击次数－1=未击中的次数．以Xi表示第i名射手首次命中时的脱靶数，则此时他的射击次数Xi+1服从参数为pi的几何分布，因此P{Xi=k}=(1－pi)kpi，i=1，2，且E(Xi+1)=1／pi，i=1，2，于是EXi=E(Xi+1)－1=－1，两射手脱靶总数X=X1+X2的期望为EX=EX1+EX2 知识模块：概率论与数理统计
11． 设总体X服从参数为p的0—1分布，则来自总体X的简单随机样本X1，X2，…，Xn的概率分布为_______．
正确答案：
解析：总体X的概率分布为此概率分布也可以表示为于是样本X1，X2，…，Xn的概率分布为p(x1，x2，…，xn)如果记i，则样本X1，X2，…，Xn的概率分布为 知识模块：概率论与数理统计
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
12． 铁路一编组站随机地编组发往三个不同地区E1，E2和E3的各2节、
3节和4节车皮，求发往同一地区的车皮恰好相邻的概率p．
正确答案：设事件A={发往同一地区的车皮恰好相邻}，Bi={发往Ei的车皮相邻}(i=1，2，3)，将发往E1，E2和E3三个不同地区的车皮统一编组，且使发往同一地区的车皮恰好相邻，总共有3!=6种不同情形，其中每种情形对应B1，B2和B3的一种排列．6种不同情形都是等可能的，如B1B2B3是其中一种可能的情形，即“发往E1的2节车皮编在最前面，发往E2的3节车皮编在中间，发往E3的4节车皮编在最后面”．由古典型概率的计算公式，有P(B1B2B3)从而p=P(A)=6P(B1B2B3)=6／1260=1／210． 涉及知识点：概率论与数理统计
13． 三人独立地同时破译一个密码，他们每人能够译出的概率分别为1／5，1／3，1／4．求此密码能被译出的概率p．
正确答案：设事件A、B、C分别表示三人各自能够译出密码，依题意A、B、C相互独立，且P(A)=1／5，P(B)=1／4，P(C)=1／3，则p=P(A∪B∪C) 涉及知识点：概率论与数理统计
14． 设某一设备由三大部件构成，设备运转时，各部件需调整的概率分别为0．1，0．2，0．3，若各部件的状态相互独立，求同时需调整的部件数X的分布函数．
正确答案：X只取0，1，2，3各值，为计算概率P{X=i}，i=0，1，2，3，设Ai={第i个部件需要调整}，i=1，2，3．依题意，A1，A2，A3相互独立，且P(A1)=0．1，P(A2)=0．2，P(A3)=0．3．P{X=0}=P()=0．9×0．8×0．7=0．504，P{X=3}=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=0．1×0．2×0．3=0．006，P{X=1}=P(A3)=0．1×0．8×0．7+0．9×0．2×0．7+0．9×0．8×0．3=0．398，P{X=2}=1－P{X=0}－P{X=1}－P{X=3}=0．092．于是X的分布函数F(x)为F(x)=P{X≤x} 涉及知识点：概率论与数理统计
15． 已知随机变量X的概率密度(Ⅰ)求分布函数F(x)；(Ⅱ)若令Y=F(X)，求Y的分布函数FY(y)．
正确答案：直接应用F(x)=P{X≤x}，FY(y)=P{F(X)≤y}求解．(Ⅰ)F(x)=P{X≤x}=－∞xf(t)dt(Ⅱ)令Y=F(X)，则由0≤F(x)≤1及F(x)为戈的单调不减连续函数知(如图2．1)，当y＜0时FY(y)=0；当y≥1时，FY(y)：1；当0≤y＜1／2时，FY(y)=P{F(X)≤y}=P{F(X)≤0}+P{0＜F(X)≤y}=P{0＜X2／2≤y}当1／2≤y＜1时，FY(y)=P{F(X)≤y}=P{F(X)≤0}+P{0＜F(X)≤1／2}+P{1／2＜F(X)≤y}=0+P{0＜X＜1}+P{1＜X≤F－1(y)}=∫01xdx+f(x)dx综上得FY(y) 涉及知识点：概率论与数理统计
16． 设随机变量X与Y相互独立，且都在[0，1]上服从均匀分布，试求：(Ⅰ)U=XY的概率密度fU(u)；(Ⅱ)V=|X－Y|的概率密度fV(v)．
正确答案：由于X与Y相互独立且密度函数已知，因此我们可以用两种方
法：分布函数法与公式法求出U、V的概率密度．(Ⅰ)分布函数法．由题设知(X，Y)联合概率密度f(x，y)=fX(x)fY(y)所以U=XY的分布函数为(如图3．3)FU(u)=P{XY≤u}=f(x，y)dxdy．当u≤0时，FU(u)=0；当u≥1时，FU(u)=1；当0＜u＜1时，FU(u)=∫0udu∫01dy+∫u1dx∫0u／xdy=u+∫u1u／xdx=u－ulinu．综上得(Ⅱ)公式法．记Z=X－Y=X+(－Y)，其中X与(－Y)独立，概率密度分别为由卷积公式得Z的概率密度fZ(z)=∫－∞+∞(z－y)f－Y(y)dy=∫－10fX(z－y)dyV=|X－Y|=|Z|的分布函数为FV(v)=P{|Z|≤v}，易得当v≤0时，FV(v)=0；当v＞0时，FV(v)=P{－v≤Z≤v}=∫－vv(z)dz；由此知，当0＜v＜1时，FV(v)=∫－v0(x+1)+∫0v(1－z)=2v－v2；当v≥1时，FV(v)=∫－v－10dz+∫－10(z+1)dz+∫01(1－z)dz+∫1v0dz=1．综上得FV(v) 涉及知识点：概率论与数理统计
17． 设X和Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为其中λ＞0，μ＞0是常数，引入随机变量求E(Z)和D(Z)．
正确答案：由于Z为0—1分布，故E(Z)=P{Z=1}，D(Z)=P{Z=1}．P{Z=0}．而P{Z=1}=P{2X≤Y}=fX(x)fY(y)dxdy=λe－λxμe－μydxdy=∫0+∞λe－λx(∫2x+∞μe－μydy)dx=∫0+∞λe－λxe2μxdx=λ／(λ+2μ)，P{Z=0}=1－P{Z=1}=2μ／(λ+2μ)，所以E(Z)=λ／(λ+2μ)，D(Z)=2λμ／(λ+2μ)2． 涉及知识点：概率论与数理统计
18． 将一颗骰子重复投掷n次，随机变量X表示出现点数小于3的次数，Y表示出现点数不小于3的次数．求3X+Y与X－3Y的相关系数．
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷4(题后含答案及解析)
考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷4 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设随机变量X与Y相互独立，且都在[0，1]上服从均匀分布，则 ( )
A．(X，Y)是服从均匀分布的二维随机变量
B．Z=X+Y是服从均匀分布的随机变量
C．Z=X-Y是服从均匀分布的随机变量
D．Z-X2是服从均匀分布的随机变量
正确答案：A
解析：当X与Y相互独立，且都在[0，1]上服从均匀分布时，(X，Y)的概率密度为所以，(X，Y)是服从均匀分布的二维随机变量．因此本题选(A)． 知识模块：概率论与数理统计
2． 设二维连续型随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)，则随机变量Z=Y-X的概率密度fZ(z)= ( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：记Z的分布函数为FZ(z)，则其中Dz={(x，y)Θy-x≤z)如图3-1的阴影部分所示， 知识模块：概率论与数理统计
3． 设随机变量X与Y相互独立，且X～N，则概率P{｜X-Y｜＜1} ( )
A．随σ1与σ2的减少而减少
B．随σ1与σ2的增加而增加
C．随σ1的增加而减少，随σ2的减少而增加
D．随σ1的增加而增加，随σ2的减少而减少
正确答案：C
解析：由X～N，从而由于Ф(x)是x的单调增加函数，因此当σ1增加时，减少；当σ2减少时增加．因此本题选(C)． 知识模块：概率论与数理统计
4． 设随机变量X与Y相互独立，且X～N(0，1)，Y～B(n，p)(0＜p＜1)，则X+Y的分布函数 ( )
A．为连续函数
B．恰有n+1个间断点
C．恰有1个间断点
D．有无穷多个间断点
正确答案：A
解析：记Z=X+Y，则Z的分布函数是n+1个连续函数之和，所以为连续函数．因此本题选(A)． 知识模块：概率论与数理统计
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷20(题后含答案及解析)
考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷20 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 若，则必有
A．P(C)≤P(A)+P(B)一1．
B．P(C)≥P(A)+P(B)一1
C．P(C)=P(AB)
D．P(C)=P(A ∪ B)．
正确答案：B 涉及知识点：概率论与数理统计
2． 设0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，P(A | B)+=1，则A与B必
A．不相容．
B．对立．
C．独立．
D．不独立．
正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计
3． 设三事件A，B，C两两独立，则A，B，C相互独立的充分必要条件是：
A．A与BC独立．
B．AB与A ∪ C独立．
C．AB与AC独立．
D．A ∪ B与A ∪ C独立．
正确答案：A
解析：∵“两两独立”指P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)；而“相互独立”指上述3个式子，另加P(ABC)=P(A).P(B)P(C)共4个式子成立．注意P(ABC)=P(A(BC))，只有(A)可选． 知识模块：概率论与数理统计
4． 设三事件A，B，C相互独立且0＜P(C)＜1，则下述事件中不独立的是：
A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析：∵AB与中都含C的运算(即有公共的事件C)，无法保证独立，而另3项选择却都是“相互独立”的． 知识模块：概率论与数理统计
5． 设事件A与B独立且不相容，则min[P(A)，P(B)]=_______．
A．1
B．0
C．
D．不能确定．
正确答案：B
解析：∵AB=φ，得0=P(AB)=P(A)P(B)，可见P(A)与P(B)中至少有一个为0，故min[P(A)，P(B)]=0． 知识模块：概率论与数理统计
6． 对事件A，B,已知P(A)=1，则必有：
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷51(题后含答案及解析)
考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷51 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设A，B为两个随机事件，其中0＜P(A)＜1，P(B)＞0且P(B｜A)=P(B｜)，下列结论正确的是( )．
A．P(A｜B)=P(｜B)
B．P(A｜B)≠P(｜B)
C．P(AB)=P(A)P(B)
D．P(AB)≠P(A)P(B)
正确答案：C
解析：整理得P(AB)=P(A)P(B)，正确答案为(C)． 知识模块：概率统计
2． 设随机变量X～N(μ，σ2)，其分布函数为F(x)，则对任意常数a，有( )．
A．F(a+μ)+F(a一μ)=1
B．F(μ+a)+F(μ一a)=1
C．F(a)+F(一a)=1
D．F(a一μ)+F(μ一a)=1
正确答案：B
解析： 知识模块：概率统计
3． 设X，Y为两个随机变量，若E(XY)=E(X)E(Y)，则( )．
A．D(XY)=D(X)D(Y)
B．D(X+Y)=D(X)+D(Y)
C．X，Y独立
D．X，Y不独立
正确答案：B
解析：因为E(XY)=E(X)E(Y)，所以Cov(X，Y)=0，又D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)，所以D(X+Y)=D(X)+D(Y)，选(B)． 知识模块：概率统计
4． 设X，Y都服从标准正态分布，则( )．
A．X+Y服从正态分布
B．X2+Y2服从χ2分布
C．X2，Y2都服从χ2分布
D．X2／Y2服从F分布
正确答案：C
解析：因为X，Y不一定相互独立，所以X+Y不一定服从正态分布，同理(B)，(D)也不对，选(C)． 知识模块：概率统计
5． 下列命题不正确的是( )．
A．若P(A)=0，则事件A与任意事件B独立
B．常数与任何随机变量独立
C．若P(A)=1，则事件A与任意事件B独立
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷55(题后含答案及解析)
考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷55 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设随机变量X，Y相互独立，X～U(0，2)，Y～E(1)，则P(X+Y＞1)等于( )．
A．
B．1-e
C．e
D．2e
正确答案：A
解析：由X～U(0，2)，Y～E(1)得 知识模块：概率统计
2． 设随机变量X～U[0，2]，Y=X2，则X，Y( )．
A．相关且相互独立
B．不相互独立但不相关
C．不相关且相互独立
D．相关但不相互独立
正确答案：D
解析：由X～U[0，2]得fX(x)=．E(X)=1，E(Y)=E(X2)=，因为E(XY)≠E(X)E(Y)，所以X，Y一定相关，故X，Y不独立，选(D)． 知识模块：概率统计
3． 设随机变量X的分布函数为F(z)，则下列函数中可作为某随机变量的分布函数的是( )．
A．F(x2)
B．F(一x)
C．1一F(x)
D．F(2x一1)
正确答案：D
解析：函数φ(x)可作为某一随机变量的分布函数的充分必要条件是：(1)0≤φ(x)≤1； (2)φ(x)单调不减；(3)φ(x)右连续； (4)φ(一∞)=0，φ(+∞)=1．显然只有F(2x—1)满足条件，选(D)． 知识模块：概率统计
4． 对于随机变量X1，X2，…，Xn，下列说法不正确的是( )．
A．若X1，X2，…，Xn两两不相关，则D(X1+X2+…+Xn)=D(Xi)
B．若X1，X2，…，Xn相互独立，则D(X1+X2+…+Xn)=D(X1)+D(X2)+…+D(Xn)
C．若X1，X2，…，Xn相互独立同分布，服从N(0，σ2)，则
D．若D(X1+X2+…+X)一D(X1)+D(X2)+…+D(K)，则X1，X2，…，K两两不相关
正确答案：D
解析：若X1，X2，…，Xn相互独立，则(B)，(C)是正确的，若X1，X2，…，Xn两两不相关，则(A)是正确的，选(D)． 知识模块：概率统计
考研数学一(概率与数理统计)模拟试卷6(题后含答案及解析)
考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷6 (题后含答案及解析)
全部题型 3. 解答题
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1． 设总体X的概率密度为又设X1，X2，…，Xn是来自X的一个简单随机样本，求未知参数θ的矩估计量．
正确答案：X的数学期望为 涉及知识点：概率与数理统计
2． 设总体X的概率密度为试用样本X1，X2，…，Xn求参数a的矩估计和最大似然估计．
正确答案：先求矩估计： 涉及知识点：概率与数理统计
3． 设X1，X2，…，Xn是来自对数级数分布的一个样本，求p的矩估计．
正确答案： 涉及知识点：概率与数理统计
4． 设总体X服从参数为N和p的二项分布，X1，X2，…，Xn为取自X的样本，试求参数N和p的矩估计．
正确答案： 涉及知识点：概率与数理统计
5． 设总体的分布列为截尾几何分布P{X=k)=θk-1(1一θ)，k=1，2，…，r，P{X=r+1)=θr，从中抽得样本X1，X2，…，Xn其中有m个取值为r+1，求θ的极大似然估计．
正确答案： 涉及知识点：概率与数理统计
6． 设总体X服从正态分布N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn是其样本．(1)求C使得是σ2的无偏估计量；(2)求k使得为σ的无偏估计量．
正确答案： 涉及知识点：概率与数理统计
7． 设X1，X2，…，Xn是来自总体F(x；θ)的一个样本，(X1，…，Xn)是θ的一个估计量，若试证：是θ的相合(一致)估计量．
正确答案： 涉及知识点：概率与数理统计
8． 设X1，X2，…，Xn是取自均匀分布在[0，θ]上的一个样本，试证：Tn=max{X1，X2，…，Xn}是θ的相合估计．
正确答案：Tn=X(n)的分布函数为 涉及知识点：概率与数理统计
9． 已知X具有概率密度(1)求未知参数α的矩估计和最大似然估计；(2)验证所求得的矩估计是否为α的无偏估计．
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷22(题后含答案及解析)
考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷22 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设X1，…，Xn为相互独立的随机变量，Sn=X1+…+Xn，则根据列维一林德贝格中心极限定理，当n充分大时，Sn近似服从正态分布，只要X1，…Xn
A．有相同的数学期望；
B．有相同的方差；
C．服从同一指数分布；
D．服从同一离散型分布．
正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计
2． 设总体X～N(μ，σ2)．从中抽得简单样本X1，X2，…，Xn．记则Y1～χ2(n)，Y2～χ2(n-1)且
A．Y1、Y2均与独立．
B．Y1、Y2均与不独立．
C．Y1与独立，而Y2未必．
D．Y2与独立，而Y1未必．
正确答案：D 涉及知识点：概率论与数理统计
填空题
3． 对随机变量X，Y，已知3X+5Y=11，则X和Y的相关系数为_____．
正确答案： 涉及知识点：概率论与数理统计
4． 设总体X～N(μ，σ2)，从X中抽得容量为16的简单样本，S2为样本方差，则D(S2)=________．
正确答案：χ 涉及知识点：概率论与数理统计
5． 设X～F(n，n)，且P(|X|＜A)=0．3，则=______．(其中A为一常数)．
正确答案：0.7 涉及知识点：概率论与数理统计
6． 设X1，…，Xn是来自总体N(μ，σ2)的简单样本，其中μ、σ2均未知．记，则假设H0：μ=0的t检验使用的统计量t=______．
正确答案： 涉及知识点：概率论与数理统计
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
7． 对随机变量X和Y，已知EX=3，EY=一2，DX=9，DY=2，E(XY)=一5．设U=2X—Y一4，求EU，DU．
正确答案：EU=2EX—EY-4=2×3+2—4=4，DU=D(2X—Y一4)=4DX+DY一4cov(X，Y)=4×9+2—4EE(XY)一EX.EY]=36+2—4(一5+3×2)=34． 涉及知识点：概率论与数理统计
考研数学一(概率与数理统计)模拟试卷26(题后含答案及解析)
考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷26 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设A，B为随机事件，P(B)＞0，则( )
A．P(AUB)≥P(A)+P(B)．
B．P(A—B)≥P(A)一P(B)．
C．P(AB)≥P(A)P(B)．
D．
正确答案：B
解析：根据概率运算性质可知，P(AUB)=P(A)+P(B)一P(AB)≤P(A)+P(B)，故选项A不成立．P(A—B)=P(A)一P(AB)≥P(A)一P(B)，故正确选项为
B．而，所以选项D不成立．至于选项C，它可能成立也可能不成立，如果则P(AB)=P(A)≥P(A)P(B)． 知识模块：概率与数理统计
2． 设A1，A2和B是任意事件，且0＜P(B)＜1，P((A1∪A2)|B)=P(A1|B)+P(A2|B)，则( )
A．P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)．
B．P(A1∪A2)=P(A1|B)+P(A2|B)．
C．P(A1B∪A2B)=P(A1B)+P(A2B)．
D．
正确答案：C
解析：由题设知，P(A1A2|B)=0，但是这不能保证P(A1A2)=0和P(A1A2|B)=0，故A和D不成立．由于P(A1|B)+P(A2|B)=P((A1∪A2)|B)未必等于P(A1+A2)，因此B一般也不成立．由P(B)＞0及P((A1∪A2)|B)=P(A1|B)+P(A2|B)，可见选项C成立： 知识模块：概率与数理统计
3． 设0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，P(A|B)+=1，则事件A和B( )
A．互不相容．
B．相容．
C．不独立．
D．独立．
正确答案：D
解析： 知识模块：概率与数理统计
4． 设随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则随σ的增大，概率P{|X一μ|＜σ}应该( )
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷82(题后含答案及解析)
考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷82 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设随机变量X～E(1)，记Y＝max(X，1)，则E(Y)＝
A．1．
B．1＋e-1．
C．1－e-1．
D．e-1．
正确答案：B
解析：如果先去求Y的密度fY(y)，则计算量很大．直接用随机变量函数的数学期望的定义式 E(Y)＝E[max(X，1)]＝∫－∞＋∞max(χ，1)f(χ)dχ，
其中f(χ)为指数分布的X的密度函数，且f(χ)＝ 所以E(Y)＝∫－∞＋∞max(χ，1)f(χ)dχ＝∫－∞0max(χ，1).0dχ＋∫0＋∞max(χ，1)e－χdχ
＝∫01e－χdχ＋∫1＋∞χe－χdχ＝1－e-1＋2e-1＝1＋e-1． 知识模块：概率论与数理统计
2． 已知随机变量X与Y均服从0．1分布，且EXY＝，则P{X＋Y≤1}＝
A．．
B．．
C．．
D．．
正确答案：C
解析：由X与Y均服从0－1分布，可以列出(X，Y)的联合分布如下： 由二维离散型随机变量(X，Y)的函数的数学期望的定义式可知，随机变量Z＝g(X，Y)＝XY的数学期望为 E(XY)＝0.0.P{X＝0，Y＝0}＋0.1.P{X＝0，Y＝1}＋1.0.P{X＝1，Y＝0}＋1.1.P}X＝1，Y＝1} ＝P{X＝1，Y＝1} 即p22＝，从而 P{X＋Y≤1}＝P{X＝0，Y＝0}＋P{X＝0，Y＝1}＋P{X＝1，Y＝0}
＝p11＋p12＋p21＝1－p22＝， 故选
C． 知识模块：概率论与数理统计
3． 设随机变量X与Y独立同分布，记U＝X－Y，V＝X＋Y，则随机变量U与V
A．不独立．
B．独立．
C．相关系数不为零．
D．相关系数为零．
正确答案：D
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷45(题后含答案及解析)
考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷45 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设二维随机变量(X，Y)满足E(XY)＝EXEY，则X与Y
A．相关．
B．不相关．
C．独立．
D．不独立．
正确答案：B
解析：因E(XY)＝EXEY，故Cov(X，Y)＝E(XY)一EXEY＝0，X与Y不相关，应选(B)． 知识模块：概率论与数理统计
2． 将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于
A．一1．
B．0．
C．．
D．1．
正确答案：A
解析：依题意，Y＝n—X，故ρXY＝一1．应选(A)．一般来说，两个随机变量X与Y的相关系数ρXY满足｜ρXY｜≤1．若Y＝aX＋b，则当a>0时，ρXY＝1，当a－arxcosX，即U＝一V＋，由于U是V的线性函数，且其增减变化趋势恰恰相反，所以其相关系数ρ＝－1.应选(A)． 知识模块：概率论与数理统计
5． 设随机变量X1，X2，…，Xn(n>1)独立同分布，且方差σ2>0，记，则X1一的相关系数为
A．一1．
B．0．
C．．
D．1．
正确答案：B
解析：由于Xi独立同分布，故DXi＝σ2，，Cov(X1，Xi)＝0(i≠1)，故应选(B)．(注：容易计算D(X1一) 知识模块：概率论与数理统计
6． 设随机变量X的方差存在，并且满足不等式P{｜X—EX｜≥3｜≤，则一定有
A．DX＝2．
B．P｛｜X—EX｜＜3｝．
C．DX≠2．
D．P｛｜X—EX｜＜3｝≥．
正确答案：D
解析：因事件{｜X—EX｜，即选项(D)正确．进一步分析，满足不等式P{l｜X—EX｜≥3}≤的随机变量，其方差既可能不等于2，亦可以等于2，因此结论(A)与(C)都不能选．比如：X服从参数为P的0—1分布，DX＝pq}＝0．因此(A)不成立．若X服从参数n＝8，P＝0．5的二项分布，则有EX＝4，DX＝2．但是P{｜X—EX｜≥3}＝P{｜X一4｜≥3}P{X＝0}＋P{X＝1}＋P{X＝7}＋P{X＝8}＝．因比(B)也不成立． 知识模块：概率论与数理统计
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷41(题后含答案及解析)
考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷41 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设随机变量X服从F(3，4)分布，对给定的α(0＜α＜1)，数Fα(3，4)满足P{X＞Fα(3，4)}=α，若P{X≤x}=1一α，则x=
A．
B．
C．Fα(4，3)．
D．F1-α(4，3)．
正确答案：A
解析：由P{X≤x}=1一α可知，P{X＞x}=α，即x=Fα(3，4)．又由F1-α(n1，n2)=故选(A)． 知识模块：概率论与数理统计
2． 设X1，X2，X3，X4是来自正态总体N(0，22)的简单随机样本，记Y=a(X1—2X2)2+b(3X3—4X4)2，其中a，b为常数．已知Y～χ2(n)，则
A．n必为2．
B．n必为4．
C．n为1或2．
D．n为2或4．
正确答案：C
解析：依题意Xi～N(0，22)且相互独立，所以X1一2X2～N(0，20)，3X3—4X4～N(0，100)，且它们相互独立．由χ2分布的典型模式及性质知由上可知，n=1或2，即应选(C)． 知识模块：概率论与数理统计
3． 设X1，X2，…，Xn是来自标准正态总体的简单随机样本，和S2为样本均值和样本方差，则
A．
B．
C．
D．
正确答案：D
解析：显然，(n一1)S2服从自由度为n一1的χ2分布，故应选(D)．其余选项不成立是明显的：对于服从标准正态分布的总体，由于X1，X2，…，Xn相互独立并且都服从标准正态分布，可见服从自由度为n的χ2分布． 知识模
块：概率论与数理统计
4． 设随机变量X服从n个自由度的t分布，定义tα满足P{X≤tα}=1一α(0＜α＜1)．若已知P{|X|＞x}=b(b＞0)，则x等于
A．t1-b
B．
C．tb．
D．．
正确答案：D
解析：根据t分布的对称性及b＞0，可知x＞0．从而P{X≤x}=1一P{X＞x}=根据题设定义P{X≤tα}=1一α，可知应选(D)． 知识模块：概率论与数理统计