电磁现象的普遍规律

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电动力学的第一章总结

第一章电磁现象的普遍规律本章重点：从特殊到一般，由实验定律加假设总结出麦克斯韦方程。

主要内容：讨论几个定律，总结出静电场、静磁场方程；找出问题，提出假设，总结真空中麦氏方程；讨论介质电磁性质，得出介质中麦氏方程；给出求解麦氏方程的边值关系；引入电磁场能量，能流并讨论电磁能量的传输。

§1. 电荷和静电场一、库仑定律和电场强度1. 库仑定律一个静止点电荷Q 对另一静止点电荷Q '的作用力为:34rrQ Q F o πε'=⑴ 静电学的基本实验定律（2）两种物理解释超距作用：一个点电荷不需中间媒介直接施力与另一点电荷。

场传递：相互作用通过场来传递。

对静电情况两者等价。

2. 点电荷电场强度每一电荷周围空间存在电场：即任何电荷都在自己周围空间激发电场。

它的基本性质是：电荷对处在其中的其它电荷具有作用力。

对库仑定律重新解释:描述一个静止点电荷激发的电场对其他任何电荷的电场力。

描述电场的函数——电场强度定义：试探点电荷F ，则30()4F Q rE x Q rπε==' 它与试探点电荷无关，给定Q ，它仅是空间点函数，因而是一个矢量场——静电场。

3．场的叠加原理（实验定律）n 个点电荷在空间某点的场强等于各点电荷单独存在时在该点场强的矢量和，即：3110()4nni ii i i i Q r E x E r πε====∑∑。

4．电荷密度分布体密度： ()0limV Q dQx V dVρ∆→∆'==''∆ 面密度： ()0lim S Q dQx S dS σ∆→∆'==''∆ 线密度： ()0lim l Q dQx l dl λ∆→∆'==''∆ ()dQ x dV ρ''=()()(),,VSLQ x dV Q x dS Q x dl ρσλ''''''===⎰⎰⎰5．连续分布电荷激发的电场强度()30()4Vx r E x dV r ρπε''=⎰或()30()4S x r E x dS rσπε''=⎰ 或 ()30()4L x rE x dl r λπε''=⎰ 对于场中的一个点电荷，受力F Q E '=仍然成立。

科学院大学硕士研究生入学考试《电动力学》考试大纲.doc

中国科学院大学硕士研究生入学考试《电动力学》考试大纲本电动力学考试大纲适用于中国科学院大学物理类的硕士研究生入学考试。

电动力学是物理类各专业的一门重要基础理论课。

本科目的考试内容包括电磁现象的普遍规律、静电场和稳恒电流磁场、电磁波的传播、电磁波的辐射、狭义相对论及带电粒子与电磁场的相互作用等六大部分。

要求考生掌握电磁现象的基本规律，具有分析、处理基本问题的能力，对电磁场的性质和时空概念有较深入地理解。

一、考试内容（一）电磁现象的普遍规律：麦克斯韦方程组，介质的电磁性质，电磁场边值关系，电磁场的能量和能流（二）静电场和稳恒电流磁场：静电场的标势及其微分方程，静磁场的矢势及其微分方程，磁标势，泊松方程和拉普拉斯方程，分离变量法，镜象法，电多极矩和磁多极矩（三）电磁波的传播：平面电磁波，电磁波在绝缘介质和导电介质中的传播，界面上电磁波的反射和折射，波导和谐振腔（四）电磁波的辐射：电磁场的矢势和标势，推迟势，电偶极辐射，电磁场的动量和辐射压力（五）狭义相对论：狭义相对论的基本原理，相对论的时空理论及四维形式，电动力学的相对论不变性，相对论力学（六）带电粒子与电磁场的相互作用：运动带电粒子的势和辐射电磁场，电磁波的散射和吸收，介质的色散二、考试要求（一）电磁现象的普遍规律：1. 理解并掌握电磁现象的普遍规律2. 了解电磁现象的实验定律，深入理解和掌握由此总结出的麦克斯韦方程组3. 熟练掌握介质的电磁性质，电磁场边值关系，电磁场的能量和能流（二）静电场和稳恒电流磁场1. 理解并掌握唯一性定理2. 理解并掌握静电场的标势及其微分方程，静磁场的矢势及其微分方程，磁标势，泊松方程和拉普拉斯方程3. 熟练掌握分离变量法、镜象法、电多极矩和磁多极矩等方法，能分析和处理静电场和稳恒电流磁场的一些基本问题4. 理解超导体的电磁性质（三）电磁波的传播：1. 深入理解并掌握平面电磁波在无界空间传播的主要特点2. 熟练掌握和理解电磁波在介质（包括绝缘介质和导电介质）中传播的主要特点以及在介质界面上反射和折射的主要特点3. 熟练掌握电磁波在波导、谐振腔等有界空间传播时的边值问题的解法（四）电磁波的辐射：1. 理解势的规范变换和物理量的规范不变性2. 深入理解并掌握电磁场的矢势和标势、推迟势3. 熟练掌握电偶极辐射，能分析和处理电磁波辐射的一些基本问题4. 深入理解电磁场的动量和辐射压力（五）狭义相对论：1. 深入理解并掌握狭义相对论的基本原理、相对论的时空理论及四维形式2. 了解电动力学的相对论不变性3. 理解并掌握相对论力学（六）带电粒子与电磁场的相互作用：1. 理解并掌握运动带电粒子的势和辐射电磁场2. 深入理解电磁波的散射和吸收、介质的色散三、主要参考书目郭硕鸿著，《电动力学》，高等教育出版社，北京，2008年第三版。

郭硕鸿《电动力学》课后习题答案

电动力学答案第一章电磁现象的普遍规律1. 根据算符∇的微分性与向量性，推导下列公式：B A B A A B A B B A )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇AA A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A 解：（1）)()()(c c A B B A B A ⋅∇+⋅∇=⋅∇B A B A A B A B )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=c c c cB A B A A B A B )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=（2）在（1）中令B A =得：A A A A A A )(2)(2)(∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇，所以 AA A A A A )()()(21∇⋅-⋅∇=⨯∇⨯ 即 AA A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A 2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：u u f u f ∇=∇d d )( ， u u u d d )(A A ⋅∇=⋅∇， uu u d d )(AA ⨯∇=⨯∇ 证明：（1）z y x z u f y u f x u f u f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=∇)()()()(z y x z uu f y u u f x u u f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=d d d d d d u uf z u y u x u u f z y x ∇=∂∂+∂∂+∂∂=d d )(d d e e e （2）z u A y u A x u A u z y x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇)()()()(A zuu A y u u A x u u A z y x ∂∂+∂∂+∂∂=d d d d d d u u z u y u x u u A u A u A z y x z z y y x x d d )()d d d d d d (Ae e e e e e ⋅∇=∂∂+∂∂+∂∂⋅++= （3）uA u A u A z u y u x u uu z y x zy x d /d d /d d /d ///d d ∂∂∂∂∂∂=⨯∇e e e Azx y y z x x y z yu u A x u u A x u u A z u u A z uu A y u u A e e e )d d d d ()d d d d ()d d d d (∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=z x y y z x x y z y u A x u A x u A z u A z u A y u A e e e ])()([])()([])()([∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=)(u A ⨯∇=3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=为源点'x 到场点x 的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。

《电动力学》郭硕鸿_第三版_答案.

1. 根据算符∇的微分性与矢量性推导下列公式B A B A A B A B B A rr r r r r r r r r )()()()()(∇⋅+×∇×+∇⋅+×∇×=⋅∇ AA A A A r r r r r )(21)(2∇⋅−∇=×∇×解1BA B A A B A B B A vv v v v v v v v v )()()()()(∇⋅+×∇×+∇⋅+×∇×=⋅∇首先算符∇是一个微分算符其具有对其后所有表达式起微分的作用对于本题∇将作用于BA vv 和又∇是一个矢量算符具有矢量的所有性质因此利用公式b a c b c a b a c vv v v v v v v v )()()(⋅−⋅⋅=××可得上式其中右边前两项是∇作用于Av 后两项是∇作用于Bv2根据第一个公式令AvB v可得证2. 设u 是空间坐标xy z 的函数证明.)()()(duA d u u A du Ad u u A u dudf u f rr rr ×∇=×∇⋅∇=⋅∇∇=∇证明1ududfe z u du df e y u du df e du df e z u f e y u f e x u f u f z y x x u z y x ∇=∂∂⋅+∂∂⋅+⋅=∂∂+∂∂+∂∂=∇∂∂r r r r r r )()()()(2du A d u zu dz u A d y u du u A d x u du u A d z u z A y u A x u A u A z y x z y x rr r r r r r r ⋅∇=∂∂⋅+∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇)()()()()()()(3=∂∂−∂∂+∂∂−∂∂+∂∂−∂∂=∂∂∂∂∂∂=×∇z x yy z x x y z z y u x z y xe y A x A e x A z A e z A y A u A u A A zy x e e e u A r r r r rr r r r r r r r r rr )()()()()()()(duA d u e y u du A d x udu A d e x u du A d z u du A d e z u du A d y u du A d z x y y z x x y z r r r r r r r r r r ×∇=∂∂−∂∂+∂∂−∂∂+∂∂−∂∂=)()()(3. 设2'2'2')()()(z z y y x x r −+−+−=为源点'x 到场点x 的距离r 的方向规定为从源点指向场点1 证明下列结果并体会对源变数求微商(''''ze y e x e z y x∂∂+∂∂+∂∂=∇r r r 与对场变数求微商)(ze y e x e z y x∂∂+∂∂+∂∂=∇r r r 的关系 )0.(0,0,11,3'333''≠=−∇=⋅∇=×∇−=−∇=∇=−∇=∇r rr r r r r r r r r r r r r r r r r r (最后一式在人r 0点不成立见第二章第五节)2求均为常矢量及其中及000,)],sin([)]sin([),(,)(,,E k a r k E r k E r a r a r r rr r r r r r r r r r r r r r ⋅×∇⋅⋅∇⋅∇∇⋅×∇⋅∇证明3)()()('''=∂−∂+∂−∂+∂−∂=⋅∇z z z y y y x x x r r 0'''=−−−∂∂∂∂∂∂=×∇z z y y x x z y x e e e r z y xr r r r ])'()'()')][(()[()(z y x z y x z z y y x x e z z e y y e x x e ze y e x e a e a e a r a v r v v v v v v v r v −+−+−∂∂+∂∂+∂∂⋅++=∇⋅ ])'()'()')[((z y x z yxe z z e y y e x x za y a x a v r v −+−+−∂∂+∂∂+∂∂= ae a e a e a z z y y x x vvvv=++=ar a r r a r a r a vv v r v v v v v v ⋅∇⋅+×∇×+∇⋅+×∇×=⋅∇)()()()()( a a r a r r a v r v v v v v ⋅⋅+×∇×+∇⋅=)()()( ar a r a vvv v v ⋅∇⋅+×∇×+=)()())(sin()](sin([)]sin([000E r k E r k r k E rr r r r r r r r ⋅∇⋅+⋅⋅∇=⋅⋅∇0])sin()sin()sin([E e r k z e r k y e r k x z y x r r r r r r r r r ⋅∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂= ))(cos())(cos(0E k r k E e k e k e k r k z z y y x x r r r r rr r r r r ⋅⋅=++⋅=000)sin()]sin([)]sin([E r k E r k r k E rr r r r r r r r ×∇⋅+×⋅∇=⋅×∇4. 应用高斯定理证明∫∫×=×∇SVfS d f dV r r r 应用斯托克斯Stokes 定理证明∫∫=∇×LSl d S d φφr r证明1)由高斯定理∫∫⋅=⋅∇SVgS d g dV r r r即∫∫++=∂∂+∂∂+∂∂S zz y y x x V zy x dS g dS g dS g dV z g y g x g )( 而dVk f yf x j f x f z i f z f y dV f x y z x y z V ])()()[(r r r r ∂∂−∂∂+∂∂−∂∂+∂∂−∂∂=×∇∫∫ ∫−∂∂+−∂∂+−∂∂=dVi f j f zk f i f y j f k f x y x x z z y )]()()([r r r r r r 又])()()[(k S d f dS f j dS f dS f i dS f dS f f S d y Sx x y x z z x z y y z Sr rr r r ∫∫−+−+−=× ∫−+−+−=zy x y x z x z y dS i f j f dS k f i f dS j f k f )()()(rr r r r r 若令if j f H k f i f H j f k f H y x Z x z y z y x rr r r r r −=−=−=,, 则上式就是∫∫⋅=⋅∇SVH S d dV H r r r,高斯定理则证毕2)由斯托克斯公式有∫∫⋅×∇=⋅SlSd f l d f r r r r∫∫++=⋅lz z y y x x ldl f dl f dl f l d f )(rr ∫∫∂∂−∂∂+∂∂−∂∂+∂∂−∂∂=⋅×∇S zx y y z x x y z S dS f y f x dS f x f z dS f z f y S d f )()()(r r 而∫∫++=lz k y j x i ldl dl dl l d )(φφφφr∫∫∂∂−∂∂+∂∂−∂∂+∂∂−∂∂=∇×S y x x z z y S k dS x dS y j dS z dS x i dS y dS z S d r r r r )()()(φφφφφφφ ∫∂∂−∂∂+∂∂−∂∂+∂∂−∂∂=zy x dS i yj x dS k x i z dS j z k y )()()(rr r r r r φφφφφφ若令k z j y i x f f f φφφ===,,则证毕5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为,),()('''∫=VdV x t x t P r r r ρ利用电荷守恒定律0=∂∂+⋅∇tJ ρr 证明P r 的变化率为∫=V dV t x J dtPd ''),(r r r证明∫∫∇−=∂∂=∂∂V V dV x j dV x t tP '''''''r r r r r ρ ∫∫∫⋅∇−=⋅∇−⋅∇−=∇−=∂∂V x V x dVj x j dV j x j x dV x j tP '''''''''''''''')((])()([)(r r r r r∫∫⋅−=Sx Sd j x dV j r r '若)0(,0)(,==⋅∞→∫S j S d j x S rr r 则同理∫∫=∂∂=∂∂'')(,)(dVj t dV j t z z y y ρρr r 即∫=V dV t x j dtPd ''),(r r r6. 若m r是常矢量证明除R 0点以外矢量3R R m A r r r ×=的旋度等于标量3RR m r r ⋅=ϕ的梯度的负值即ϕ−∇=×∇A r其中R 为坐标原点到场点的距离方向由原点指向场点证明mr m r r m r m R m R R m A vv v v v v v v ])1[()]1([1)(1)()]1([)(3∇⋅∇−∇⋅∇−∇∇⋅+∇⋅∇=∇××−∇=××∇=×∇)0(,1)(≠∇∇⋅=r rm vr m m r r m r m R R m 1)()()1()]1([)]1([)(3∇∇⋅−×∇×∇−∇×∇×−=∇⋅−∇=⋅∇=∇vv v v v v ϕ rm m r 1)(])1[(∇∇⋅−=∇⋅∇−vvϕ−∇=×∇∴A v7有一内外半径分别为r 1和r 2的空心介质球介质的电容率为ε使介质内均匀带静止自由电荷f ρ求1 空间各点的电场2极化体电荷和极化面电荷分布解1∫∫=⋅dV S d D f Sρrr , (r 2>r>r 1)f r r r D ρππ)(3443132−=⋅即)(,3)(123313r r r r r r r E f >>−=∴rr ερ 由)(,)(342313200r r r r Q S d E f f S >−==⋅∫ρεπεr r )(,3)(2303132r r r rr r E f >−=∴r r ρε 01时E r r r <2)EE E P e r r r r )(00000εεεεεεχε−=−=)(3]3)([)()(3310331300r rr r r r r r E P f f P r r r r r −⋅∇−−=−⋅∇−−=⋅∇−−=⋅−∇=∴ρεεερεεεεερ f f ρεεερεεε)()03(300−−=−−−=nn P P P 21−=σ考虑外球壳时r r 2 n 从介质1指向介质2介质指向真空2=n Pfr r f n P r r r rr r r P ρεερεεεσ32313203313013)1(3)(2−−=−−===r 考虑到内球壳时r r 23)(133130=−−−==r r f P rrr r rρεεεσ8内外半径分别为r 1和r 2的无穷长中空导体圆柱沿轴向流有恒定均匀自由电流J f 导体的磁导率为µ求磁感应强度和磁化电流解fS f I S d D dtd I l d H =⋅+=⋅∫∫rr r r 当0,0,1===<B H I r r f rr 故时当r 2>r>r 1时)(2212r r j S d j rH l d H f Sf l−=⋅==⋅∫∫ππr r r r r j r r r r r r j B ff rr v ×−=−=22122122)(2)(µµ 当r>r 2时)(22122r r j rH f −=ππ r j r r r B frr r ×−=2212202)(µ )2()1())()(2212000rr r r j H H M J f M M−××∇−=−×∇=×∇=×∇=r r r r r µµµµµχ )(,)1()1(2100r r r j H f <<−=×∇−=r r µµµµ指向介质从介质21(),(12n M M n Mr r rr−×=α 在内表面上0)2)1(,012212021=−−===r r rr r M M µµ故)(,012r r M n M ==×=rr rα在上表面r r 2时)1(22)(0212221211222−−−=×−×−=×−=−×===µµαr f r r fr r Mj rr r r j r r r r r M n M n rr r rrr r r rf j rr r r 2212202)1(−−−=µµ9证明均匀介质内部的体极化电荷密度P ρ总是等于体自由电荷密度f ρ的倍)1(0εε−−证明ff P E E P ρεεερεεεεεερ)1()()()(0000−−=−−=⋅∇−−=−⋅−∇=⋅−∇=r r r 10证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力大小相等方向相反(但两个电流元之间的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律)证明1线圈1在线圈2的磁场中的受力 ∫×=23121222024l r r l d I B v v v πµ21112B l d I F d v v v×=∫∫∫∫××=××=∴12123121221210312122211012)(4)(4l l l l r r l d l d I I r r l d I l d I F v r vvv v v πµπµ )()(41221312123121212210∫∫⋅−⋅=l l l d l d r r r r l d l d II v v v v v v πµ12线圈2在线圈1的磁场中受的力同1可得∫∫⋅−⋅=21)()(41232121321212121021l l l d l d r r r r l d l d I I F v v v v v v v πµ2分析表达式1和21式中第一项为0)1()(21221212221212231212123121212=−⋅==⋅=⋅∫∫∫∫∫∫∫l l l l l l r l d r dr l d r r l d l d r r l d l d 一周v v v v v v v v 同理对2式中第一项 ∫∫=⋅210)(3212121l l r r l d l d v v v ∫∫⋅−==∴12)(421312122102112l l l d l d r r II F F v v rv v πµ11. 平行板电容器内有两层介质它们的厚度分别为l 1和l 2电容率为21εε和今再两板接上电动势为Ε的电池求1 电容器两板上的自由电荷密度f ω2 介质分界面上的自由电荷密度f ω若介质是漏电的电导率分别为21σσ和当电流达到恒定时上述两问题的结果如何解在相同介质中电场是均匀的并且都有相同指向则,)00f 2211212211==−=−Ε=+σεε介质表面上E E D D E l E l n n故122112122121,εεεεεεl l E l l E +Ε=+Ε=又根据fn n D D σ=−21 n 从介质1指向介质2在上极板的交面上 121f D D σ=− D 2是金属板故D2即12212111εεεεεσl l D f +== 而02=f σ)0(,'1'1'2'2'13=−=−=D D D D D f 是下极板金属故σ 13122121ff l l σεεεεεσ−=+−=∴ 若是漏电并有稳定电流时222111,σσjE j E r r r r == 又 ===Ε=+积稳定流动电荷不堆,2121222111j j j j j l j l n nrrr σσ 得+Ε==+Ε==+Ε==1221122212212111221121:,σσσσσσσσσσl l j E l l j E l l j j 即12212`13σσσεσl l D f +Ε==上1221122σσσεσl l D f +Ε−=−=下Ε+−=−=1221121232σσσεσεσl l D D f 中12. 证明1 当两种绝缘介质得分界面上不带面自由电荷时电场线的曲折满足1212tan tan εεθθ=其中21εε和分别为两种介质的介电常数21θθ和分别为界面两侧电场线与法线的夹角2当两种导电介质内流有恒定电流时分界面上电场线曲折满足1212tan tan σσθθ=其中21σσ和分别为两种介质的电导率证明(1)根据边界条件112212sin sin ,0)(θθE E E E n ==−×即vv 由于边界面上0=fσ故)(12=−⋅D D n v vv 即111222cos cos θεθεE E = 12121122,εεθθεθεθ==∴tg tg tg tg 即有(2)根据E J vv σ=可得电场方向与电流密度同方向由于电流I 是恒定的故有1221cos cos θθj j =即122211cos cos θσθσE E =而0)(12=−×E E n v vv 即 1122sin sin θθE E = 故有2121σσθθ=tg tg 13试用边值关系证明在绝缘介质与导体的分界面上在静电情况下导体外的电场线总是垂直于导体表面在恒定电流的情况下导体内电场线总是平行于导体表面证明1导体在静电条件下达到静电平衡01导体内E v∴ 而 0)(12=−×E E n v vv 02=×∴E n vv故0E v垂直于导体表面3导体中通过恒定电流时导体表面0=fσ∴导体外0,022==D E vv即而 0:,0)(10112=⋅=⋅==−⋅E n D n D D n f v vv v v v v εσ即 01=⋅∴E n vv 导体内电场方向和法线垂直即平行于导体表面14内外半径分别为a 和b 的无限长圆柱形电容器单位长度电荷为fλ板间填充电导率为σ的非磁性物质1 证明在介质中任何一点传导电流与位移电流严格抵消因此内部无磁场2求f λ随时间的衰减规律3 求与轴相距为r 的地方的能量耗散功率密度4求长度为l 的一段介质总的能量耗散功率并证明它等于这段的静电能减少率1 证明由电流连续性方程0=∂∂+⋅∇t J f ρr 据高斯定理 D f r⋅∇=ρ 0=∂⋅∂∇+⋅∇∴tDJ rr 即0=∂∂⋅∇+⋅∇tDJ rr 0.0)(=∂∂+∴=∂∂+⋅∇∴t DJ t D J r r r r 即传到电流与位移电流严格抵消(2)解由高斯定理得∫∫=⋅dl dl r D f λπrr 2 rf r f e r E e r D rr r r πελπλ2,2==∴ 又ED E J t D J rr r r rr εσ===∂∂+,,0 t e E E tEE εσεσ===∂∂+∴0,0r r r r rt r r f e e re r r rεσπελπελ−=∴220电动力学习题解答第一章电磁现象的普遍规律tf f e εσλλ−=∴03解re r t t D J ft f πλεσπλεσ2)2(0⋅=∂∂−=∂∂−=−r r 能量耗散功率密度σπελσρ222)2(1rJ J f ==5解单位体积rdrl dV π2⋅= ∫==b a f f abl rdr l r P ln22)2(222πεσλπσπελr 静电能 abl dr r l dV E D W f b a f baln2212212122⋅⋅==⋅=∫∫πελπελr r 减少率 ab l t a b l t W f ff ln2ln 222πεσλλπελ=∂∂⋅−=∂∂−1. 一个半径为R 的电介质球极化强度P=K2r r电容率为(1) 计算束缚电荷的体密度和面密度(2) 计算自由电荷体密度(3) 计算球外和球内的电势(4) 求该带电介质球产生的静电场总能量解(1)2222/)11(rK r rr r K r r K P P −=⋅∇+⋅∇−=⋅∇−=⋅−∇=r r r r ρ RP P P n )(12rr r −⋅−=σ 又球外无极化电荷02=P r RK rr K n P n RRp /21=⋅=⋅=r r rr σ(2) 由公式 E D rr ε= PE D rr r +=0εεεε−=P D r r200)(rKP D f εεεεεερ−=⋅∇−=⋅∇=r r`(3)对于球外电场由高斯定理可得∫=⋅0εQs d E rr外 022002sin )(4εϕθθεεεερπ∫∫∫∫⋅−==⋅∴d drd r r KdV r E f 外r r r )(300r rεεεε−∴KRE 外同理可得球内电场20r rK Er r ⋅−εε内球外电势外外r)(rd 00εεεεϕ−⋅∴∫∞∞KRE r rrR ln)(rd rd 000rεεεεεεϕ−+−⋅⋅∫∫∞K KE E RR球内电势内外内rr r r42022020r2rr r r 2121内内内εεεεεεεεωK K K E D rr r r ⋅⋅⋅⋅⋅∴ ∫∫∫∫−⋅−⋅∴2022202)2d drd sin r r )(21d εεπεϕθθεεεωK R K V W 内内∫∫∫∫−⋅⋅−⋅=2002224200222)(2d drd sin r r 1)(21dεεεπεϕθθεεεεωRK R K V W R 外外200))(1(2εεεεπε−+=∴K R W W W 外内2 在均匀外电场中置入半径为0R 的导体球试用分离变数法球下列两种情况的电势1导体球上接有电池使球与地保持电势差;0φ2 导体球上带总电荷Q.解1当导体球上接有电池与地保持电势差0φ时以地为电势零点本问题的定解条件如下φφ内R=0R02外ϕ∇R>0R 且 =−==∞→0000cos φϕϕθϕR R R R E 外外0ϕ是未置入导体球前坐标原点的电势根据有关的数理知识可解得)cos R Ran 1n nnnn θϕ外P b ∑∞由于00cos ϕθϕ外R E R −=∞→即021210210cos )(cos cos )(cos cos a ϕθθθθθϕ+−=+++++∞→∞=+∞=∑∑R E P RbR b R b P R a R a R n n n n n n nn 外故而有)1(0),1(0,,0100>=>=−==n b n a E a a n n ϕθθϕϕcos b cos 21000Rb R R E +∴外又020100000cosb cos ,0φθθϕϕφϕ=+−====R b R R E R R R R 即外外故而又有=+−=+∴0cos cos 201000000θθφϕR b R E R b 得到 20010000,)(R E b R b =−=ϕφ最后得定解问题的解为)(cos )(cos 03000000R R RR E R R R E >+−++−=θϕφϕθϕ外2当导体球上带总电荷Q 时定解问题存在的方式是=∂∂−+>∇<∇∫∞→→)(ds (Rcos )(0)(00s0R 000R 0R 02020R R Q R E R R R R R 原点的电势是未置入导体球前坐标有限外外内外内外内φεφφϕϕθφφφφ解得满足边界条件的解是∑=0n n n n cos R 内θϕP a ∑=0n n1n n00cos R Rcos 外θθϕϕP b E由于∞→R 外ϕ的表达式中只出现了)1(0cos cos (1>=n b P n 项故θθθθϕϕcos b cos 21000Rb R R E +∴外又有0R R =外ϕ是一个常数导体球是静电平衡C R b R R E R R =+−==θθϕϕcos b cos 201000000外301201000cos cos R E b R b R E ==+−∴即θθθθϕϕcos cos 230000RR E R b R E ++外又由边界条件Q 外∫∂∂−sds rφε 004πεQ b =∴,000R 4R R Q <−∴ϕπεϕ内023000Rcos cos R 4R R E RR E Q>+外θθπεϕ3均匀介质球的中心置一点电荷fQ 球的电容率为ε球外为真空试用分离变数法求空间电势把结果与使用高斯定理所得结果比较提示空间各点的电势是点电荷f Q 的电势RQ πε4f与球面上的极化电荷所产生的电势的叠加后者满足拉普拉斯方程解一. 高斯法在球外0R R >,由高斯定理有fP f Q Q Q Q s d E =+=⋅∫总rr 0ε对于整个导体球而言束缚电荷)0=P Q 204R Q E f πε=∴r积分后得是积分常数外C C RQ .(40f +πεϕ又由于0,0=∴=∞→C R 外ϕ)(400R R RQ f >=∴πεϕ外在球内0R R <,由介质中的高斯定理∫=⋅fQ s d D r r 又24,R Q E E D f πεε=∴=rrr积分后得到是积分常数内22f.(4C C RQ +πεϕ由于20f 44,0C R Q R Q f R R +==πεπεϕϕ故而有外内).(4400002R R R Q R Q C f f<−=∴πεπε)(44400f0ff R R R Q R Q RQ <−∴πεπεπεϕ内二. 分离变量法本题所求的电势是由点电荷f Q 与介质球的极化电荷两者各自产生的电势的叠加且有着球对称性因此其解可写作'4ϕπεϕ+=R Qf 由于'φ是球对称的其通解为R b a+='ϕ由于球心有f Q 的存在所以有∞→内R ϕ 即a4内RQ f πεϕ在球外有外0R ∞→ϕ 即Rb 4f 外R Q πεϕ 由边界条件得0f 0fRb4a 4,0R R Q R Q R ++πεπεϕϕ即外内20f20020f 0R4b 4,RR 0R Q R R Q R πεεεπεεϕεϕε−=−∂∂∂∂即外内)11(4a),11(400f 0εεπεεπε−−=∴R Q Q b f<−>∴00f00f f 00f ,444,R 4R R R Q R Q R Q R R Q πεπεπεϕπεϕ内外4 均匀介质球电容率为1ε的中心置一自由电偶极子fP r球外充满了另一种介质电容率为2ε求空间各点的电势和极化电荷分布提示同上题'431φπεφ+⋅=RR P f r r ,而'φ满足拉普拉斯方程解RR∂∂=∂∂外内φεφε21又内∑+−=∂∂l 1l 0l 31f 11l 4cos 2(0P R A R P R R πεθεφε∑−−=∂∂外l2l 0l301f 221l (4cos 2(0P R B R P RR πεθεφε比较系数)(cos θl P B00A30113012312113,24242R B A R B R A R ff=−−=+及επερεεπρ得)2(4)(2,)2(4)(22112113211211εεπερεεεεπερεε+−=+−=f fB R A 比较的系数)(cos 2θP 40224221,32R B A R B R A=ε及011(012=+R A ε所以0,022==B A 同理)3,2(,0L ===l B A l l 最后有)(,)2(4)(24cos )2(4)(2403211213132112131R R R RR R R R R R f f f f <+⋅−+⋅=+−+⋅εεπερεεπερθεεπερεεπερφrrr rr r内)(,)2(43)2(4)(24cos )2(4)(2403213211213122112131R R RR RRRRRRR f f f f f >+⋅=+⋅−+⋅=+−+⋅εεπρεεπερεεπερθεεπερεεπερφr r rrr r r r 外球面上的极化电荷密度n P P n n P r,21−=σ从2指向1如果取外法线方向则nn n n p P P )])[()])[(0102内外球外φεεφεεσ∇−−∇−=−= 0)()(0102R RRR内外∂∂−+∂∂−−=φεεφεε]cos )2(4)2(2)(2)2(4cos )(6)[()2(4cos 6)(32112121321200132102θρεεπεεεεεεεπθρεεεεεεπθρεεf f f R R R ++−−−+−−−+−−= θρεεπεεεεθρεεπεεεεεεεcos )2(2)(3cos )2(4)(6)(632112103211012201f f R R +−−=+−+−=求极化偶极子l q P f r r=可以看成两个点电荷相距l 对每一个点电荷运用高斯定理就得到在每个点电荷旁边有极化电荷 ))(1(,)1(1010f P f P q q q q −−=−−=εεεε两者合起来就是极化偶极子 f P P P r r )1(1−=εε5.空心导体球壳地内外半径为R 1和R 2球中心置一偶极子Pr球壳上带电Q 求空间各点电势和电荷分布解+⋅=∞====∇→→∞→为有限值0'1'1301022332,4,0,0r r r r r P C φφπεφφφφφr r=∂∂+∂∂−+⋅====∫∑∫∑===−+013301223131212)(cos 4,),(cos εφφθπεφφφφθφQdS rdS r P r A r r P CC CP r B R r R r l ll f R r R r l l l rr2φ=+++=+++CR A A R P C P R B R B R B f L L θπεθθcos 4cos cos 110210232222120即)4.3.2(0),3.2.1(0,0cos )4(,2111200L L =====+==l A l B R P R A C R B A l l f θπε∑∑+−−=−−=∂∂++−=+−=∂∂+−L L θφθπεθπεθφcos 2)1(cos 2cos 4cos 2311210231310113101R B R B P r B l r A R P P R lA R P r l l l f L l l f 又则∫∫∫====∂∂−02121210210344B R B R dS R B dS R B dS r ππφ000sin cos 4sin cos 22002131020*******=+=−+−=∂∂∫∫∫∫∫ππππϕθθθπεϕθθθπεφd d R R P d d R R P dS r f f 故∫∫==∂∂+∂∂−00134επφφQB r dS r 3101200004,4,4R P A R Q A Q B f πεπεπε−===最后有<<=>=<+⋅−⋅=)(,4)(,4)(,44421202203120310201R r R R QR r r Q R r R QR r P r r P f πεφπεφπεπεπεφr r r r 电荷分布在r R 1的面上313131104cos 4cos 2cos 1R P R P R P r f f f Pπθπθπθφεσ−=−+−=∂∂=在r R 2面上223042R Qr P πφεσ=∂∂−=6在均匀外电场0E r中置入一带均匀自由电荷f ρ的绝缘介质球ε求空间各点的电势解=∇++∑+061)(cos )('2'21φφρεφθφr P r B r A f l l l ll内外内φ是由高斯定理解得的f ρ的作用加上0E r的共同作用'0,cos →∞→−=r r r E φθφ外有限++∑∑+)(cos 61)(cos cos 210θρεφθθφl l e f l l l P r c r P r B r E 内外:)0R r =外内φφ++++23022010000cos P R BR B R B R E θ ++++22020120cos 610P R c R c c R f θρε即000206R B c R f =+ερ012100R c R B R E =+20232R c R B =rr ∂∂=∂∂外内φεφε∑+−−+−=∂∂)1(cos (200l l l R P B l E rθεφ外]L +++= +=∂∂∑−202101002cos 3)(cos 3P R c c R P R lc R r f l l l f εθερθερφ内LL+−−−−2423123cos2cos PRBRBRBEεθεεθε即23RBRfερ−=3112RBECεεε−−=LL42232RBRCεε−=解方程得fRBρε303−=)6131(20εερ+−=fRC33123REREB++−=εεε123εεε+−=EC及2232CRRCεε−=即0)32(2=+RRCεε022==BC同理0==llBC LL3,2=l得<+±>+−+±22223233,cos236131(6,cos)2(3cos3cosRrrERrRrrRErRErRrEfffθεεεεερερφθεεεθερθφ内外7在一个很大的电解槽中充满电导率为2σ的液体使其中流着均匀的电流0fδ今在液体中置入一个电导率为1σ的小球求稳衡时电流和电荷分布讨论21σσ>>及12σσ>>两种情况的电流分布特点先求空间电势∇∇22外内φφ外内φφRr=因为)(Rrnn=外内δδ稳恒电流认为表面无电流堆积即nn流出流入=故rr222221外内φσφσ=并且δδ=∞→r外即θφcosrEr−=∞→外()02Ej fσ=有限内∞→rφ可以理解为在恒流时0→r的小封闭曲面流入流出这时的解即为>+−+<022121300000212,cos )2(cos ,cos 23R r rR E r E R r r E θσσσσθφθσσσφ外内求内外电场)22sin 12222(φθφθθφφφe r e r e E r rr rΦ++−=−∇=)sin (cos 23)22122(0212θθθθσσσθφφe e E e r re E r r r r rr r−+=+内内内ze E r021223σσσ+=[]θθθθσσσσθθe e r R E e e E E r r rr r r sin cos 2)2()sin (cos 212133000++−+−外[]θθθθθσσσσθθe e e rR E e e E r r r rr r r r sin cos cos 3)2()sin (cos 212133000+−+−+−−+−+30302121300cos 3)2(r E e r E R E r v v θσσσσ求电流根据内内E j vr1σ 外外E j v v2σ 及 =⋅=r f f e r r r E rr r j E j r vr v v v5025020cos )(0θσσ得])(3[2,2335302121211000rj rrr j R j j j j f f f r rr r r r −⋅=σσσσσσσ内外内)(2cos 3)()(2121000120σσσσθεεεω−+=−=−=E E E E E n n n n f 内外8.半径为0R 的导体球外充满均匀绝缘介质ε导体球接地离球心为a 处)(0R a >置一点电荷f Q 试用分离变数法求空间各点电势证明所得结果与镜像法结果相同提示).()(cos )(1cos 211022a R P aR a aR a R rn n n>=−+=∑∞=θθ解1分离变数法由电势叠加原理球外电势''f,4φφπεφ+RQ 外是球面上感应电荷产生的电势且满足定解条件 ==>=∇=∞→00)(,00''2R r r R r 外φφφ根据分离变数法得)(,)(cos 001'R r P r B l l l l>=∑∞=+θφ ∑∞=++−+∴0122f )(cos cos 214l l l lP rB ar r a Q θθπεφ外*)(,)(cos )(cos )(14010a r P rB P a r a Q l ll ln n n f <+=∑∑∞=+∞=θθπε 又0)(cos ])(4[100=+=∑∞=+=n l l oll fR r P R B a R a Q θπεφ外即 0)(4,...,04,0410201000=+=+=++l ll f f fR B a R a Q R B a R a Q R B a Q πεπεπε,4,4,41203100aQ a R B a Q a R B a Q R B fl l l f O fπεπεπε+−=−=−=∴代入*式得解2镜像法如图建立坐标系本题具有球对称性设在球内0r 处有像电荷'Q ,'Q 代替球面上感应电荷对空间电场的作用由对称性'Q 在O f Q 的连线上先令场点P 1在球面上根据边界条件有常数即=−==+fQ Q Q Q f Q Q r r r Q r Q f f'''',0将'Q 的位置选在使∆'Q P 1O∆f Q P 1O,则有常数aR r r fQ Q 0'=为达到这一目的令'Q 距圆心为r 0则 aR r a R R r 200000,==并有aQ R Q aR Q Q r r f f Q Q f0'0''−===−=常数这样满足条件的像电荷就找到了空间各点电势为).(],cos 2)(cos 2[414422020222'1a r aR r a R r aQ R ar r a Q r Qr Q fff >++−−+=+=θθπεπεπεφ外将分离变数法所得结果展开为Legend 级数可证明两种方法所求得的电势相等9接地的空心导体球的内外半径为R 1和R 2在球内离球心为a(a<R 0)处置一点电荷Q 用镜像法求电势导体球上的感应电荷有多少分布在内表面还是外表面解球外的电势及导体内电势恒为0而球内电势只要满足即可内01r =R φ因此做法及答案与上题同解略cos 2cos 2[412124121220θθπεφa R R aR R a QR Ra a R Q−+−−+=内因为球外0=φ故感应电荷集中在内表面并且为Q.R 1R2P210.上题的导体球壳不接地而是带总电荷Q 0,或使其有确定电势0ϕ试求这两种情况的电势又问0ϕ与Q 0是何种关系时两种情况的解是相等的解由于球壳上有自由电荷Q 0并且又是导体球壳故整个球壳应该是等势体其电势用高斯定理求得为2004R Q Q πε+所以球壳内的电势将由Q 的电势像电荷aQR 1−的电势及球壳的电势叠加而成球外电势利用高斯公式就可得故>+=<++−+−−+==)(,4)].(cos 2cos 2[412001202124121220R R RQ Q R R R Q Q a R R aR R a QR Ra a R Q πεφθθπεφφ外内或>=<+−+−−+==)(,).(cos 2cos 2[41202102124121220R R r R R R a R R a R R a QR Ra a R Q φφφθθπεφφ外内当20004R Q Q πεφ+=时两种情况的解相同11在接地的导体平面上有一半径为a 的半球凸部如图半球的球心在导体平面上点电荷Q 位于系统的对称轴上并与平面相距为bb>a 试用电象法求空间电势解如图利用镜像法根据一点电荷附近置一无限大接地导体平板和一点电荷附近置一接地导体球两个模型可确定三个镜像电荷的电量和位置rb r Q Q rba r Qb a Q rb a r Q b a Q rr r−=−=−===−=33222211,,,θθθπεφcos 2cos 21cos 21[4224222220R b a ba Rb aRb b R Rb b R Q +++++−−+=O),20(],cos 22242a R R b a ba Rb a><≤−++πθθ12. 有一点电荷Q 位于两个互相垂直的接地导体平面所围成的直角空间内它到两个平面的距离为a 和b 求空间电势解可以构造如图所示的三个象电荷来代替两导体板的作用−++−+−−−+−+−=222022200)()()(1)()()(1[4b z a y x x b z a y x x Q πεφ )0,()()()(1)()()(122202220>++++−+−+++−−z y b z a y x x b z a y x x 13.设有两平面围成的直角形无穷容器其内充满电导率为的液体取该两平面为xz 面和yz 面在x 0,y 0,z 0和x 0,y 0,-z 0两点分别置正负电极并通以电流I 求导电液体中的电势解本题的物理模型是由外加电源在A B 两点间建立电场使溶液中的载流子运动形成电流I,当系统稳定时是恒定场即0=∂∂+⋅∇t j ρr 中对于恒定的电流可按静电场的方式处理于是在A 点取包围A 的包围面∫=⋅nQ s d E εr r 而又有σ⋅=⋅=∫E i s d i I rr r r }∫⋅=⇒sd E I r r σ1∴有σεεσ111I Q QI =⇒=对BQ σε1I Q Q B −=−=又在容器壁上,0=n j r即元电流流入容器壁由Ej r rσ=有0=n j r时=n E r∴可取如右图所示电像B(x 0,y 0,z 0)y14.画出函数dx x d )(δ的图说明)()(x P rr δρ∇⋅−=是一个位于原点的偶极子的电荷密度解=∞≠=0,0,0)(x x x δx x x x dx x d x ∆−∆+=→∆)()(lim )(0δδδ10)(0=≠dxxd x δ时2=∆∞−=>∆=→∆x dxx d x x 0lim )(,0x a 00δ时 +∞=∆∞−=<∆→∆xdx x d x b x 0lim )(,0)0δ15证明1)0).((1)(>=a x a ax δδ若a<0,结果如何20)(=x x δ证明1根据∑−=)(()](['kk x x x x φδφδ所以ax ax )()(δδ=2从)(x δ的定义可直接证明有任意良函数f(x),则)()(x F x x f =⋅也为良函数∫=⋅==0)()()(0x x x f dx x x x f δ16一块极化介质的极化矢量为)('x P r r 根据偶极子静电势的公式极化介质所产生的静电势为∫⋅=V dV r rx P '3'4)(πεϕr r r 另外根据极化电荷公式,)(''P n x P P P r r r r r r ⋅=⋅−∇=σρ及极化介质所产生的电势又可表为∫∫⋅+⋅∇−=S V r Sd x P dV r x P 0'''0''4)(4)(πεπεϕr r r r r 试证明以上两表达式是等同的证明∫∫∇⋅=⋅=VVdV rx P dV r r x P '''0'3'01)(41)(41r r rr r πεπεϕ 又有r P r P r P p 11)1('''∇⋅+⋅∇=∇r r r 则][41])([41'''''''''0∫∫∫∫⋅+⋅∇−=⋅∇+⋅∇−=S V V V S d r P dV r P dV r P dV r P r r r r r πεπεϕ ][41][41'0'''0∫∫∫∫+=⋅+⋅∇−=S P V P S V dS r dV rdS r n P dV r P r s rr r σρπεπε刚好是极化体电荷的总电势和极化面电荷产生的总电势之和17证明下述结果并熟悉面电荷和面偶极层两侧电势和电场的变化1 在面电荷两侧电势法向微商有跃变而电势是连续的2 在面偶极层两侧电势有跃变 P n rr ⋅=−0121εϕϕ而电势的法向微商是连续的各带等量正负面电荷密度σ±而靠的很近的两个面形成面偶极层而偶极矩密度.)lim 0l P l r rσσ→∞→=证明1如图可得,20εσss E ∆⋅=∆⋅ 022,200210=−=−=∴z z E εσεσφφεσ面z e E n r r 01112εσφ==∂∂ )(20222z e E nr −==∂∂εσφ 02211εσφφ=∂∂−∂∂∴n n 2)可得ze E r r 0εσ= 00012limlim εεσφφP n l n l E l l r r r r r r ⋅=⋅=⋅=−∴→→ 又EnE n r r =∂∂=∂∂21,φφ++z12lr.012=∂∂−∂∂∴nn φφ18.一个半径为R 0的球面在球坐标20πθ<<的半球面上电势为0ϕ在πθπ<<2的半球面上电势为0ϕ−求空间各点电势提示=−===+−=⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅−+∫)(,)1()(,0)0(1)1(,12)()()(642)1(531211011偶数奇数n n P P n x P x P dx x P n n n n n n n 解=∞<=∇∇∞→→0022r r 外内外内φφφφ≤<−<≤===πθπφπθφθφ2,20,)(000f R r ∑=)(cos θφl l l P r A内这是内φ按球函数展开的广义傅立叶级数l l r A 是展开系数∫∫⋅−+=+==−πθθθφθθφ011]sin )(cos [212]cos )(cos [21200d P l d P l f R A l R l R l ll 内内]sin )(cos sin )(cos [21220200∫∫+−+=πππθθθφθθθφd P d P l l l ])()([212100010∫∫−−+=dx x P dx x P l l l φφ ∫∫+−+=−10010)()([212dxx P dx x P l l l φ由)()1()(x P x P l ll −=−则])()()1[(2121010100∫∫+−+=+dx x P dx x P l R A l ll φ∫+−+=+1010)(]1)1[(212dxx P l l l φ当l 为偶数时00=ll R A 当l 为奇数时有101101010012)()()12()(]1)1[(212+−+=+−+=−++∫l x P x P l dx x P l R A l l l l ll φφ ])1(642)2(531)1()1(642531)1[(2121−⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅−−+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−=−+l l l ll l φ ])1(642)2(531)1()1(642531)1[(2121−⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅−++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−=−−l l l ll l φ )12()1(642)2(531)1()11()1(642)2(531)1(210210++⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅−=++−⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅−=−−l l l l ll l l l φφ则 )12()1(642)2(531)1(2100++⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅−=−l l l R A l ll φ∑<++⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅−=−)(),(cos ))(12()1(642)2(531)1(00210R r l P R rl l l l l l 取奇数内θφφ∑+)(cos 1θφl l lP r B 外又)12()1(642)2(531)1(])(cos [212211110++⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅−=+=−−+∫l l l P l r B l l R l lφθφ外即∑>++⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅−=+−)(),(cos ))(12()1(642)2(531)1(01021R r l P rR l l l l l l 为奇数外θφ。

第一章电磁现象的普遍规律

43
习题：第45页, 1，3，4，7，8，9，11，12，14
44
E
B
H
t
Jf
D t
D f
B 0
（Jf 和 f 为自由电荷和传导电流）
21
法向分量的跃变
由于柱体的厚度d趋于零，只需要考虑集中分布在界面处的面电荷
D2n
D1n
Qf S
f
P2n P1n P
E2n
E1n
D2n
D1n (P2n
0
P1n )
f
P 0
22
同理
B2n B1n 0
引入电位移矢量D和磁场强度H
D 0E P,
H
B
M
0
介质中微分形式的麦氏方程就表述为
18
E
B
H
t
Jf
D t
（Jf 和 f 为自由电荷和传导电流）
D f , B 0
P e0E, M M H
B 0(H M ) 0(1 M )H 0r H H
D 0E P 0(1 e )E 0r E E 19
这种不变性称为规范不变性．
(1)库仑规范 A 0
1
(2)洛仑兹规范 A c2 t 0
31
例 1：电荷Q均匀分布于半径为a的球体内，求各点的电场强度，并由此直接计算电场的散度。（第10页）
32
33
例2：电流I均匀分布于半径为a的无穷长直导线内，求空间各点的磁场强度，并由此计算磁场的旋度．（第18页）
E dS
1
dV
S
0 V
SB dS 0
微分形式
E
B
B
t
0 J
0 0
E t

电磁现象普遍规律

第四节介质的麦克斯韦方程组
介质的概念从电磁学的观点来看，介质是一个带电粒子系统，其内
部存在着不规则而又迅速变化的微观电磁场。研究宏观电磁现象时，所讨论的物理量是一个包含大数目分子的小体积内的平均值，称为宏观物理量。
在外场下，介质的带电粒子受到作用，分子电偶极矩的取向以及分子电流的取向呈现一定的规则性，即介质的极化和磁化。由于极化或磁化，介质内部及表面出现宏观电荷、电流分布，称为束缚电荷、磁化电流；它们又反过来激发附加的宏观电磁场，外场与附加电磁场叠加即为总电磁场。
▪（电）介质的极化
电介质的主要特征是它的分子中电子被原子核束缚得很紧，
即使在外电场作用下，电子一般只能相对于原子核有一微观的位
移，而不象导体中的电子能够脱离所属原子作宏观运动。因而电
介质亦称绝缘体。在外电场作用下达到静电平衡时，电介质内部
的场强也可以不等于零。
1. 电介质的分类
a) 有极分子：如氯化氢(HCl)、水(H2O)、氨(NH3)、甲醇
位移电流的实质是电场的变化率，由麦克斯韦首先引入
vv
vv
B 0J 0(J JD )
r JD
0
r E t
r JD
0
r E t
r
洛仑兹公式
场对处于其内的电荷体系的作用：
库仑定律安培定律
v
v
dFe dV E 电荷系统单 v
v vv
v v v 位体积所受 f E J B
S
V
对任意体积V均成立，则被积函数相等，有：
v
E 0/0
高斯定理微分形式的物理意义：静电场中，电荷是电场的源，在没有电荷分布的地点，既无电场线发出，也无电场线终止，但可以有电场线连续通过该处。而对于运动电荷，即非静电场，远处的场不能再用库仑定律，但高斯定理微分形式仍然适用。

电动力学总结

（3）无限大均匀线性介质中点电荷
Q 4 r
点电荷在均匀介质中的空间电势分布（Q 为自由电荷）
Q 产生的电势 Q P产生的电势
f
Qf
4 0 r
P
QP
4 0 r
(QP
(0
1)Qf
)
（ 4）连续f 分布P 电荷Q 4 f 0 (Q r PP ) 4 VQ f4 (rx )d 0 rV
机动目录上页下页返回结束
值关系表达式*
nˆ D
nˆ nˆ nˆ
B 0
E H
0α
其它边值关系*
Ñ Ñ sLPM rrddSrLrsVJrMpddVSr nrnrPr2M r2Pr1 M r1prM
r
s Jf
dSr d dt
dVnr
V
rr J2 J1
f
t
7.电磁场的能量和能流单位体积的能量 --- 能量密度
Ñ r r r r L B • d l0S rJ • d S r
安培环路定律*
旋度方程 B0J
uv
磁场的散度方程 B0
法拉第电磁感应定律
Ñ LiE rird lrdd t Bd dt(S其 B r中 dS r B EriSB rd S Brtr)
Ei 0 感生电场是有旋无源场
rr r
总电场为： ErESEi r B r
)
r
2 2
f (r) 0
g ( ) a 1s in a 2c o s
r r f (r) 有两个线性无关解、
单值性要求 (0)(2)，只能取整数，令 n
( r ,) r n ( A n s in n B n c o s n ) r n ( C n s in n D n c o s n ) n 1

第一章电磁现象的普遍规律习题课

第一章电磁现象的普遍规律要求掌握§1—§6，其中重点是§3—§5。

具体要求是：1．需要掌握的主要数学公式（1）矢量代数公式：cb a bc a c b a b a c a c b c b a)()()()()()(⋅-⋅=⨯⨯⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅ （2）梯度、散度和旋度定义及在直角坐标和球坐标中的表达式。

（3）矢量场论公式AB B A A A A A A⨯∇⋅∇±∇==⨯∇=⨯∇⋅∇=∇⨯∇∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇＝，可引入＝若，可引入若000)(0)()(2ϕϕ（4）复合函数“三度”公式：dudf uu f ∇=∇)(du A d u u A⋅∇=⋅∇)(duA d u u A⨯∇=⨯∇)(（5）有关x x r '-=的一些常用公式：为常数矢量）a a r a r rr r r r r r r r r rr()(0),0(0,10,3,333=⋅∇=⨯∇≠=⋅∇-=∇=⨯∇=⋅∇=∇（6）积分变换公式：Sd A A l d A V d A s d SLVS⋅⨯∇=⋅⋅∇=⋅⎰⎰⎰⎰)(2．麦克斯韦方程组建立的主要实验定律和假定电磁感应定律：⎰-=B dt d εS d⋅(实质：变化磁场激发电场)电荷守恒定律：0=∂∂+⋅∇t J ρ位移电流假定：tEJ D ∂∂=0ε（实质：变化电场可以激发磁场）感生电场i E ： 0,=⋅∇∂∂-=⨯∇i i E tBE3．真空中的麦克斯韦方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⋅∇=⋅∇∂∂+=⨯∇∂∂-=⨯∇00000B E t E J B t B E ερμεμ4．介质中的电磁性质方程仅讨论均匀介质：E P 00εχ=, p m H M ρχ,==P ⋅∇-,tE J H B E D t P J M J D P m ∂∂===∂∂=⨯∇=0,,,,εμε5．介中的麦克斯韦方程组微分方程⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅∇=⋅∇∂∂+=⨯∇∂∂-=⨯∇0,B D t D J H t B Eρ 积分方程⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=⋅⋅+=⋅⋅-=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰s S LL s S d B Q S d D Sd D dtd I l d H S d B dt d l d E 0 其中M BH P E D-=+=00,με6．洛伦兹力公式：B J E f⨯+=ρ(适用于电荷分布情况)B v e E e F⨯+=(适用于单个带电粒子)7．电磁场的边值关系⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⨯=-⨯=-⋅=-⋅0)()(0)()(12121212E E n H H n B B n D D n f fασ其它有用的边值关系：12)(εσσP f E E n +=-⋅， P P P n σ-=-⋅)(12,tJ J n f ∂∂-=-⋅σ)(128．电磁场的能量能流密度矢量H E S⨯=及其意义；均匀介质中的能量密度 )(21H B D E w⋅+⋅=;能量在场中传递，传递方向为S的方向三、练习题（一）单选题（在题干后的括号内填上正确选项前的序号，每题1分） 1．高斯定理→→⎰⋅E S d s=εQ中的Q 是（ 4 ）① 闭合曲面S 外的总电荷 ② 闭合曲面S 内的总电荷 ③ 闭合曲面S 外的自由电荷 ④ 闭合曲面S 内的自由电荷 2．高斯定理→→⎰⋅E S d s=0εQ中的E是 ( 3 )① 曲面S 外的电荷产生的电场强度 ② 曲面S 内的电荷产生的电场强度③ 空间所有电荷产生的电场强度 ④ 空间所有静止电荷产生的电场强度 3．下列哪一个方程不属于高斯定理（3 ）①→→⎰⋅E S d s=εQ②→→⎰⋅E S d S=V d V'⎰ρε01② ▽→⨯E =-tB∂∂→④→⋅∇E =ερ4．静电场方程▽→⨯E = 0 ( 1 )① 表明静电场的无旋性 ② 适用于变化电磁场 ③ 表明静电场的无源性 ④ 仅对场中个别点成立5．对电荷守恒定律下面哪一个说法成立 ( 3 )① 一个闭合面内总电荷保持不变 ② 仅对稳恒电流成立 ③ 对任意变化电流成立 ④ 仅对静止电荷成立6．在假定磁荷不存在的情况下，稳恒电流磁场是（ 4 ） ① 无源无旋场 ② 有源无旋场 ③有源有旋场 ④ 无源有旋场7．下面哪一个方程适用于变化电磁场（ 3 ）① ▽→⨯B =→J 0μ ②▽→⨯E =0 ③→⋅∇B =0 ④ →⋅∇E =08．下面哪一个方程不适用于变化电磁场（ 1 ）① ▽→⨯B =→J 0μ ②▽→⨯E =-t B ∂∂→③▽•→B =0 ④ ▽•→E =0ερ 9．通过闭合曲面S 的电场强度的通量等于 ( 1 )① ⎰⋅∇VdV E )( ②⎰⋅⨯∇L l d E )( ③ ⎰⨯∇V dV E )( ④⎰⋅∇SdS E )(10．电场强度沿闭合曲线L 的环量等于 ( 2 )① ⎰⋅∇VdV E )( ② ⎰⋅⨯∇SS d E )( ③⎰⨯∇VdV E )( ④⎰⋅∇SdS E )(11.磁感应强度沿闭合曲线L 的环量等于 ( 2 )① l d B L⋅⨯∇⎰)( ② ⎰⋅⨯∇SS d B )( ③⎰⨯SS d B ④⎰⋅∇VdV B )(12. 位置矢量r的散度等于 ( 2 )①0 ②3 ③r1④r 13.位置矢量r的旋度等于 ( 1 )①0 ②3 ③r r ④3rr14.位置矢量大小r 的梯度等于 ( 3 )①0 ② r 1 ③ r r ④3rr15.)(r a⋅∇=? (其中a 为常矢量) ( 4 )① r ② 0 ③ rr④a16.r1∇=？ ( 2 )① 0 ② -3rr ③ r r④ r17.⨯∇ 3rr=？ ( 1 )① 0 ② r r③ r ④r118.⋅∇ 3rr=？（其中r ≠0） ( 1 )①0 ② 1 ③ r ④r119.)]sin([0r k E ⋅⋅∇ 的值为（其中0E和k 为常矢量） ( 3 )①)sin(0r k k E ⋅⋅②)cos(0r k r E ⋅⋅③)cos(0r k k E ⋅⋅④)sin(0r k r E⋅⋅20.对于感应电场下面哪一个说法正确 ( 4 )①感应电场的旋度为零 ②感应电场散度不等于零③感应电场为无源无旋场 ④感应电场由变化磁场激发21.位移电流 ( 4 )①是真实电流，按传导电流的规律激发磁场 ②与传导电流一样，激发磁场和放出焦耳热 ③与传导电流一起构成闭合环量，其散度恒不为零 ④实质是电场随时间的变化率22.麦氏方程中tBE ∂∂-=⨯∇ 的建立是依据哪一个实验定律 ( 3 )①电荷守恒定律 ②安培定律 ③电磁感应定律 ④库仑定律23.麦克斯韦方程组实际上是几个标量方程 ( 2 )①4个 ②6个 ③8个 ④10个24.从麦克斯韦方程组可知变化电场是 ( 2? )①有源无旋场 ②有源有旋场 ③无源无旋场 ④无源无旋场25.从麦克斯韦方程组可知变化磁场是 ( 3 4 )①有源无旋场 ②有源有旋场 ③无源无旋场 ④无源无旋场26.束缚电荷体密度等于 ( 3 )①0 ②P ⨯∇ ③-P⋅∇ ④)(12P P n-⋅27.束缚电荷面密度等于 ( 4 )①0 ②P ⨯∇ ③-P ⋅∇ ④-)(12P P n -⋅28.极化电流体密度等于 ( 4 )①0 ②M ⋅∇ ③M ⨯∇ ④tP∂∂29.磁化电流体密度等于 ( 1 )①M ⨯∇ ②M ⋅∇ ③tM ∂∂④)(12M M n -⋅30.对于介质中的电磁场 ( 3 )①（E，H ）是基本量，（D ，B ）是辅助量②（D ，B ）是基本量，（E，H ）是辅助量 ③（E，B ）是基本量，（D ，H ）是辅助量 ④（D ，H ）是基本量，（E，B ）是辅助量31. 电场强度在介质分界面上 ( )①法线方向连续，切线方向不连续 ②法线方向不连续，切线方向不连续③法线方向连续，切线方向连续 ④法线方向不连续，切线方向连续32.磁感应强度在介质分界面上 ( )①法线方向连续，切线方向不连续 ②法线方向不连续，切线方向不连续③法线方向连续，切线方向连续 ④法线方向不连续，切线方向连续33.玻印亭矢量S( )①只与E垂直 ②H 垂直 ③与E 和H 均垂直 ④与E 和H均不垂直（二）填空题（在题中横线上填充正确的文字或公式）1．连续分布的电荷体系)(/x ρ产生的电场强度=)(x E ___________________。

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第一章电磁现象的普遍规律§1.1 电荷与电场1、库仑定律（1）库仑定律如图1-1-1所示，真空中静止电荷'Q 对另一个静止电荷Q 的作用力F为()'3''041r r r r Q Q F --=πε （1.1.1）式中0ε是真空介电常数。

（2）电场强度E静止的点电荷'Q 在真空中所产生的电场强度E 为()'3''041r r r r Q E--=πε （1.1.2）（3）电场的叠加原理N 个分立的点电荷在r 处产生的场强为()'13'0'4iNi i i r r r r Q E --=∑=πε （1.1.3）体积V 内的体电荷分布()'rρ所产生的场强为()()'3'''41r r r r dV r E V--=⎰ρπε （1.1.4）式中'r 为源点的坐标，r 为场点的坐标。

2、高斯定理和电场的散度高斯定理：电场强度E 穿出封闭曲面S 的总电通量等于S 内的电荷的代数和)(∑ii Q 除以0ε。

用公式表示为∑⎰=⋅iiSQS d E 01ε （分离电荷情形）（1.1.5）或⎰⎰=⋅VSdV S d E ρε01（电荷连续分布情形）（1.1.6）其中V 为S 所包住的体积，S d为S 上的面元，其方向是外法线方向。

应用积分变换的高斯公式⎰⎰⋅∇=⋅VSdV E S d E （1.1.7）由（1.1.6）式可得静电场的散度为ρε01=⋅∇E3. 静电场的旋度由库仑定律可推得静电场E的环量为0=⋅⎰Ll d E（1.1.8）应用积分变换的斯托克斯公式⎰⎰⋅⨯∇=⋅SLS d E l d E从（1.1.8）式得出静电场的旋度为0=⨯∇E（1.1.9）§1.2 电流和磁场1、电荷守恒定律不与外界交换电荷的系统，其电荷的代数和不随时间变化。

对于体积为V ，边界面为S 的有限区域内，有⎰⎰-=⋅V S dV dtd S d J ρ （1.2.1）或0=∂∂+⋅∇tJ ρ （1.2.2）这就是电荷守恒定律的数学表达式。

2、毕奥－萨伐尔定律'r 处的电流元l Id 在r 处产生的磁感强度为()3''04rr r r l Id B d --⨯=πμ （1.2.3）参见图1-1-2。

由此得沿闭合曲线L 流动的电流I 所产生的磁感强度为()()⎰--⨯=L rr r r l Id r B 3''04 πμ(1.2.4)如果电流是体分布，则电流元为()''dV r J ，这时()()()'3'''04dV rr r r r J r B d --⨯=πμ （1.2.5） ()()()'3'''04dV rr r r r J r B V ⎰--⨯= πμ （1.2.6） 3、磁场的环量和旋度（1）安培环路定理磁感强度B沿闭合曲线L 的环量等于通过L 所围的曲面S 的电流代数和的0μ倍；即⎰⎰⋅=⋅SLS d J l d B0μ (1.2.7)（2）磁场的旋度由安培环路定理和斯托克斯公式 ⎰⎰⋅⨯∇=⋅LSS d B l d B可得磁场的旋度为J B0μ=⨯∇ （1.2.8）这是安培环路定理的微分形式。

4、磁场的散度磁场的散度为 0=⋅∇B（1.2.9）§1.3 麦克斯韦方程组1、麦克斯韦对电磁感应定律的推广按照法拉第电磁感应定律，变化的磁场在一固定导体回路L 中产生的感应电动势为⎰⋅-=Φ-=S S d B dt d dt dε （1.3.1）依定义，感应电动势ε是电场强度感E沿导体回路L 的线积分，因此（1.3.1）式可写做⎰⎰⋅-=⋅S L i S d B dtd l d E（1.3.2）其中i E是变化的磁场在导体中产生的感应电场的电场强度。

麦克斯韦的推广：当导体回路不存在时，变化的磁场在空间仍然产生感应电场感E，并且满足（1.3.2）式。

应用斯托克斯公式，可将（1.3.2）式化为微分形式tB E i ∂∂-=⨯∇（1.3.3）在一般情况下，既有静电场S E ，又有感应电场i E，则总电场便为i S E E E+= （1.3.4）又因为0=⨯∇S E，故得tBE ∂∂-=⨯∇ （1.3.5）这就是麦克斯韦推广了的法拉第电磁感应定律。

2、麦克斯韦对安培环路定理的推广稳恒电流的安培环路定理为J B0μ=⨯∇，由此得出()010=⨯∇⋅∇=⋅∇B Jμ （1.3.6）这与电荷守恒定律0≠∂∂-=⋅∇tJ ρ（1.3.7）相矛盾。

麦克斯韦的推广：在一般情况下，安培环路定理的普遍形式为()D J J B+=⨯∇0μ （1.3.8）其中tDJ D ∂∂=（1.3.9）叫做位移电流密度。

即⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+=⨯∇t D J B0μ （1.3.10）或S d t D J l d B S L⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=⋅⎰⎰0μ （1.3.11） 3、麦克斯韦方程组我们把电磁学中最基本的实验定律概括、总结和提高到一组在一般情况下相互协调的方程组，这便是麦克斯韦推广了的安培环路定理。

它与电荷守恒定律不矛盾。

⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⋅∇=⋅∇∂∂+=⨯∇∂∂-=⨯∇00000B E t E J B t B Eερεμμ （1.3.12）这组方程称为麦克斯韦方程组。

4、洛伦兹力公式带电荷q 的粒子以速度v在电磁场中运动时，它所受的力为()B v E q F ⨯+=作用在单位体积的电荷上的力（力密度）为()B J E B v E f⨯+=⨯+=ρρ§1.4 介质的电磁性质1、介质的极化（1）极化强度P在外电场的作用下，介质的分子产生电偶极矩或固有的电偶极矩趋向有规则的排列，这叫做介质的极化。

极化强度P是描述介质极化状态的量，其定义是单位体积内的电偶极矩，即VpP ii∆≡∑（1.4.1）式中V ∆为包含有大量分子的物理小体积，i p为第i 个分子的电偶极矩。

如果每个分子的平均电偶极矩为p，则p n P=（1.4.2）式中n 为分子数密度。

（2）极化电荷与极化强度的关系极化电荷体密度P ρ与极化强度P的关系为dV S d P VP S⎰⎰-=⋅ρ（1.4.3）或P P⋅-∇=ρ（1.4.4）极化电荷面密度P σ与P的关系为()21P P n P-⋅=σ （1.4.5）式中n为交界面法线方向的单位矢量，从介质1指向介质2。

如果介质2为真空，则P n P⋅=σ（1.4.6）均匀介质内的极化电荷()f P E D P ρεεερ⎪⎭⎫⎝⎛--=-⋅-∇=⋅-∇=001（1.4.7）即均匀介质内任意一点的极化电荷密度等于该点的自由电荷密度f ρ的⎪⎭⎫⎝⎛--εε01倍。

因此，若该点处无自由电荷分布，则0=P ρ。

（3）有介质时的电场在一般情况下，介质中的电场E 是自由电荷的电场f E ，极化电荷的电场PE以及变化磁场产生的感应电场i E的和，即i P f E E E E++= (1.4.8)在介质中，电场的旋度和散度分别为tB E E i ∂∂-=⨯∇=⨯∇（1.4.9）和P E f P f ⋅∇-=+=⋅∇00001111ερερερε（1.4.10）（4）电位移D 及其与电场强度E的关系电位移矢量D的定义为P E D+≡0ε（1.4.11）在各向同性的线性介质中，P 与E成线性关系E P e0εχ= （1.4.12）e χ叫做介质的电极化率。

代入（1.4.11）式得()E D eχε+=10 （1.4.13）定义相对介电常数r ε和介电常数ε分别为e r χε+≡1， 0εεεr ≡ （1.4.14）这时E Dε= （1.4.15）2、介质的磁化（1）磁化强度M在外磁场的作用下，介质分子产生的磁矩或固有磁矩趋向有规则排列，这叫做介质的磁化。

磁化强度M是描述介质磁化状态的量，其定义是单位体积内的磁矩，即Vm M ii∆≡∑ （1.4.16）式中V ∆为含有大量分子的物理小体积，i m为第i 个分子的磁矩。

如果每个分子的平均磁矩为m，则m n M= （1.4.17）式中n 为分子数密度。

（2）磁化电流与磁化强度的关系磁化电流体密度M J与磁化强度M 的关系为S d J l d M LSM⋅=⋅⎰⎰ （1.4.18）上式可写作⎰=⋅LM I l d M（1.4.19）式中M I 是积分环路L 所套住的磁化电流的代数和，如图1-1-3。

把斯托克斯公式用于（1.4.18）式，便得MJ M ⨯∇=（1.4.20）磁化电流面密度M α与磁化强度M的关系：面电流是指在曲面上流动的电流，面电流密度α 的大小等于通过与α垂直的单位长度横截线的电流。

设介质1的磁化强度为1M ，介质2的磁化强度为2M，在两介质的交界面上，磁化面电流密度为M α，交界面的单位法向矢量为n ，从介质1指向介质2，则()12M M n M-⨯=α（1.4.21）若介质2为真空，则()12M M n M-⨯=α（1.4.21）（3）有介质时的磁场自由电流f J 、磁化电流M J 和位移电流D J都产生磁场，这些磁场的叠加就是介质中的磁场B。

因此，在一般情况下，磁场的旋度和散度分别为()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⨯∇+=++=⨯∇t D M J J J J B f D M f00μμ（1.4.23）和0=⋅∇B（1.4.24）（4）磁场强度H 及其与磁感强度B的关系磁场H定义为M BH -≡0μ（1.4.25）对于各向同性的非铁磁物质，磁化强度M 和H之间有简单的线性关系H M Mχ= （1.4.26）M χ 叫做介质的磁化率。

把（1.4.26）式代入（1.4.25）式可得()H H B Mχμ0=（1.4.27）定义相对磁导率r μ和磁导率μ分别为M r χμ+≡1， 0μμμr ≡ （1.4.28）这时H Bμ=（1.4.29）对于所有物质来说，相对介电常数r ε都大于1，但相对磁导率r μ则可以大于1（顺磁质），也可以小于1（抗磁质）。

3、介质中的麦克斯韦方程组电磁场遵守的普遍规律为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅∇=⋅∇∂∂+=⨯∇∂∂-=⨯∇0B D t D J H t B Eρ（1.4.29）物质方程：在各向同性的线性介质中E D ε=， H Bμ= （1.4.29）§1.5 电磁场边值关系由麦克斯韦方程组的积分形式得出介质交接面两侧场量的关系为()()()())4.5.1(0)3.5.1()2.5.1()1.5.1(012121212=-⋅=-⋅=-⨯=-⨯B B n D D n H H n E E nσα式中n是交接面法线上的单位矢量，从介质1指向介质2；σ和α 分别是交界面上的自由电荷和自由面电流密度。