电磁现象的普遍规律要点
13(1)第一章_电磁现象的普遍规律
L1
I1dl1 r12 r12 3
0 J1 ( x)dV1 r12 0 dB1 ( x ) = ;B1 ( x ) = 3 4 r12 4
电流区域（闭合导体）V1产生的磁感强度B1——
年伽里略去世，牛顿出生。
麦克斯韦方程组积分、微分形式
S
D dS q0
B E dl t dS C S B dS 0 D H dl I 0 t dS C S
动方程，它在电动力学中占有重要的地位。
电荷守恒定律： 一个封闭系统的总电荷不随时间改变，这是电磁 现象的基本定律之一。实验表明，电荷不仅在一般的 物理过程﹑化学反应过程和原子核反应过程中守恒； 而且在基本粒子转化过程中也是守恒的。
洛伦兹力公式：
麦克斯韦方程组给出了电磁场运动变化的规律，
包括电荷电流对电磁场的作用。而电磁场对电荷电流
•若全空间电荷守恒，则S为无穷远界面，其上无电流流出流入：
J 0 dS 0
d J 0 dS dt dV 0
0 t
对任意变化 电流均成立
•若是稳恒电流，则要求电流不随时间 变化，进一步要求电荷分布不随时间 变化，即—— 上式表示稳定电流线是闭合的，稳恒 电流即直流电，只能通过闭合回路。 要维持电流稳恒，必须在电路中存在 非静电力，如原子力、化学力、磁力 及光子力，把电荷源源不断通过内部 从B 送往A，保持UAB不变。
但需补充的是，媒质中会出现怎样的宏观电荷电流，
以及如何确定它们。
在电磁场作用下，静止媒质中一般会发生3种过程： 极化﹑磁化和传导，其都会使媒质中出现宏观电流。在 电动力学中，处理有媒质的电磁问题时﹐需将麦克斯韦
电磁定律三大定律
电磁定律是描述电磁现象和电磁场的基本规律。
其中，电磁定律中的三大定律是：
1. 库伦定律（库仑定律）：
库伦定律描述了电荷之间的相互作用力。
它表明，电荷之间的作用力正比于它们之间的电荷量的乘积，反比于它们之间距离的平方。
库伦定律的数学表达式为：F = k * (|q1| * |q2|) / r^2，其中F为电荷之间的作用力，q1和q2分别为两个电荷的电荷量，r为它们之间的距离，k为库伦常数。
2. 安培环路定律：
安培环路定律是描述电流和磁场之间的关系。
它表明，通过一个闭合回路的磁场的总磁通量等于该回路上电流的总和乘以一个常数。
安培环路定律是法拉第电磁感应定律的基础。
它的数学表达式为：∮B·dl = μ0 * I，其中B为磁感应强度，I为电流，∮B·dl表示磁场的环路积分，μ0为真空中的磁导率。
3. 法拉第电磁感应定律：
法拉第电磁感应定律描述了磁场变化产生的感应电动势。
它表明，一个闭合回路中的感应电动势等于该回路上磁场变化速率的负数乘以回路所围面积。
法拉第电磁感应定律是电磁
感应现象的基本描述。
它的数学表达式为：ε= -dΦ/dt，其中ε为感应电动势，dΦ/dt表示磁场变化速率。
以上三大定律是电磁学的基础，它们描述了电荷之间的相互作用力、电流和磁场之间的关系，以及磁场变化产生的感应电动势。
这些定律为理解和应用电磁现象提供了重要的理论基础。
电动力学总结
c) 给定边界条件
a）做替代时，所研究空间的泊松方程不能被改变（即自由 点电荷位置、Q 大小不能变）。所以假想电荷必须放在 所求区域之外。
b）不能改变原有边界条件（实际是通过边界条件来确定假 想电荷的大小和位置）。
c）一旦用了假想（等效）电荷，不再考虑原来的电荷分布。 d）坐标系选择仍然根据边界形状来定。
2、在所求区域的介质中若有自由电荷分布，则要求 自由电荷分布在真空中产生的势为已知。 一般所求区域为分区均匀介质，则不同介质分界
面上有束缚面电荷。区域V中电势可表示为两部分
的和，即 0， 0 为已知自由电荷产生
的电势， 不满足 20 ， 为束缚电荷产生 的电势，满足拉普拉斯方程 20
但注意，边值关系还要用 而不能用
Z
0
0
Y(y) Cek2y Dek2y Z(z) Esinkz Fcoskz
2. 柱坐标
2 1 (r) 1 2 2 0 r r r r22 z 2
讨论 (r,) ，令 ( r , ) f( r )g ()
d2g() d2
2g()
0
1 r
d (r dr
df)2
dr r2
面或导体表面上的电荷一般 点电荷时，可以将导体面上感
非均匀分布的，造成电场缺 应电荷分布等效地看作一个或
乏对称性。
几个点电荷来给出尝试解。
3. 电象法概念、适用情况
电象法：
用假想点电荷来等效地 代替导体边界面上的面 电荷分布，然后用空间 点电荷和等效点电荷迭 加给出空间电势分布。
注意：
适用情况：
a) 所求区域有少许几个点电荷， 它产生的感应电荷一般可以 用假想点电荷代替。
电磁现象的普遍规律
S
dσ
f
vdV
d dt
wdV ,
•相应的微分形式为
S f v w .
t f
v
S
w .
t
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23
场和电荷系统的能量守恒定律的一般形式
若V包括整个空间，则通过无限远界面的能
量应为零。这时能量守恒式左边的面积分为
零，因而
f
vdV
d dt
wdV.
此式表示场对电荷所作的功率等于场的总能
15
本讲内容
场和电荷系统的能量守恒定律
场的能量密度
场的能流密度
电磁能量的传输
场和电荷系统的动量守恒定律
场的动量密度
场的动量流密度
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16
电磁场的能量和能流
电磁场是一种物质，它具有内部运动。电磁场的运动和其他物 质运动形式相比有它特殊性的一面，但同时也有普遍性的一面， 即电磁场运动和其他物质运动形式之间能够互相转化。这种普 遍性的反映是各种运动形式有共同的运动量度——能量。我们 对一种新的运动形态的认识是通过它和已知的运动形态的能量 守恒定律来得到的。
1
0
B2
)
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29
电磁场能量密度和能流密度表示式
例题1：求半径为a，均匀带电导体球和 介质球的总静电能。
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30
电磁场能量密度和能流密度表示式
半径为a，均匀带电导体球Q所激发的电 场强度为 :
E
1
4
0
Q r2
r r
, (r
a)
0, (r a)
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量减小率，因此场和电荷的总能量守恒。
电磁现象三大原理
电磁现象三大原理
电磁现象三大原理包括库仑定律、安培定律和法拉第电磁感应定律。
1．库仑定律：这个定律阐述了静止点电荷之间的相互作用力。
它指出，两个静止的点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
这个定律由法国物理学家库仑在1785年提出，它不仅是电磁学的基本定律，也是物理学的基本定律之一。
2．安培定律：这个定律描述了电流产生的磁场的大小和方向。
它也被称为右手螺旋定则，用于确定电流和其产生的磁场之间的关系。
这个定律指出，电流通过导线时，磁场的大小与电流的大小成正比，与导线距离的平方成反比。
3．法拉第电磁感应定律：这个定律描述了因磁通量变化产生感应电动势的现象。
根据这个定律，当磁场发生变化时，会在导体中产生感应电流。
这个定律也被称为电磁感应定律，是发电机的工作原理基础。
这三个定律的建立，标志着人类对于电磁现象的认识发展到了新的阶段。
在学习电磁学和研究电磁现象和规律时，理解和掌握这三个定律是非常重要的。
电磁现象的普遍规律
Q
ε0
证毕
2. 多个点电荷的高斯公式 在封闭曲面内，存在多个点电荷时， 在封闭曲面内，存在多个点电荷时，封闭曲面的电通量
r r r r ∫∫ E • dS = ∫∫ (∑ Ei ) • dS
S S i
r r Q 1 = ∑ ∫∫ Ei • dS = ∑ i =
i S i
ε0
ε0
∑Q
i
i
3.连续分布电荷的高斯公式 连续分布电荷的高斯公式 在封闭曲面内，存在连续分布的电荷，分布函数为 在封闭曲面内，存在连续分布的电荷，分布函数为ρ(r), 封闭曲面的电通量为： 封闭曲面的电通量为：
求散度 当r<=a时， 时
r r Qr Q r r r E= = ( xex + yey + zez ) 3 3 4πε 0 a 4πε 0 a
r ∂Ex ∂E y ∂Ez 3Q ρ ∇•E = + + = = 3 ∂x ∂y ∂z 4πε 0 a ε0
当r>a时， 时
r r Q r ∇•E = ∇• 3 = 0 4πε 0 r
r
r r r r r ρ (r ′)(r − r ′) E (r ) = ∫ r r 3 dV ′ 4πε 0 r − r ′
2.高斯定理和电场的散度 高斯定理和电场的散度
一个闭合曲面的电通量与曲面内包含的电荷成正比。 一个闭合曲面的电通量与曲面内包含的电荷成正比。
r r Q ∫∫ E • dS =
r r r 1 lim ∫∫ E • dS = V ⋅ ∇ • E = ρ (r )V
V →0 S
ε0
r ρ (r ) ∇•E =
ε0
高斯定理的微分形式
对于电力线来说，正电荷点相当于源点， 对于电力线来说，正电荷点相当于源点，负电荷 相当于漏点。只有电荷才激发电场。 相当于漏点。只有电荷才激发电场。
电动力学的第一章总结
第一章 电磁现象的普遍规律本章重点：从特殊到一般，由实验定律加假设总结出麦克斯韦方程。
主要内容：讨论几个定律，总结出静电场、静磁场方程；找出问题，提出假设，总结真空中麦氏方程； 讨论介质电磁性质，得出介质中麦氏方程； 给出求解麦氏方程的边值关系；引入电磁场能量，能流并讨论电磁能量的传输。
§1. 电荷和静电场一、 库仑定律和电场强度1. 库仑定律一个静止点电荷Q 对另一静止点电荷Q '的作用力为:34rrQ Q F o πε'=⑴ 静电学的基本实验定律 （2）两种物理解释超距作用： 一个点电荷不需中间媒介直接施力与另一点电荷。
场传递： 相互作用通过场来传递。
对静电情况两者等价。
2. 点电荷电场强度每一电荷周围空间存在电场：即任何电荷都在自己周围空间激发电场。
它的基本性质是：电荷对处在其中的其它电荷具有作用力。
对库仑定律重新解释:描述一个静止点电荷激发的电场对其他任何电荷的电场力。
描述电场的函数——电场强度定义：试探点电荷F，则30()4F Q r E x Q rπε==' 它与试探点电荷无关，给定Q ，它仅是空间点函数，因而是一个矢量场——静电场。
3．场的叠加原理（实验定律）n 个点电荷在空间某点的场强等于各点电荷单独存在时在该点场强的矢量和，即：3110()4n n i ii i i i Q r E x E r πε====∑∑ 。
4．电荷密度分布体密度： ()0limV Q dQx V dVρ∆→∆'==''∆面密度： ()0lim S Q dQ x S dS σ∆→∆'==''∆线密度 ： ()0lim l Q dQ x l dl λ∆→∆'==''∆()dQ x dV ρ''=()()(),,VSLQ x dV Q x dS Q x dl ρσλ''''''===⎰⎰⎰5．连续分布电荷激发的电场强度()30()4V x r E x dV r ρπε''=⎰ 或()30()4S x rE x dS r σπε''=⎰ 或 ()30()4L x rE x dl rλπε''=⎰ 对于场中的一个点电荷，受力F Q E '=仍然成立。
第一章电磁现象的普遍规律
习题：第45页, 1，3，4，7，8，9，11，12，14
44
E
B
H
t
Jf
D t
D f
B 0
（Jf 和 f 为自由电荷和传导电流）
21
法向分量的跃变
由于柱体的厚度d趋于零，只需要考虑集中分布在界面处的面电荷
D2n
D1n
Qf S
f
P2n P1n P
E2n
E1n
D2n
D1n (P2n
0
P1n )
f
P 0
22
同理
B2n B1n 0
引入电位移矢量D和磁场强度H
D 0E P,
H
B
M
0
介质中微分形式的麦氏方程就表述为
18
E
B
H
t
Jf
D t
（Jf 和 f 为自由电荷和传导电流）
D f , B 0
P e0E, M M H
B 0(H M ) 0(1 M )H 0r H H
D 0E P 0(1 e )E 0r E E 19
这种不变性称为规范不变性．
(1)库仑规范 A 0
1
(2)洛仑兹规范 A c2 t 0
31
例 1：电荷Q均匀分布于半径为a的球体内，求各点的电场强度， 并由此直接计算电场的散度。（第10页）
32
33
例2：电流I均匀分布于半径为a的无穷长直导线内，求空间各点 的磁场强度，并由此计算磁场的旋度． （第18页）
E dS
1
dV
S
0 V
SB dS 0
微分形式
E
B
B
t
0 J
0 0
E t
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2.电场强度：我们用一个单位试验电荷在场中所受的力来定义 电荷在点 x 上的电场强度 E 。
E F/q
(1.2)
由库仑定律，一个静止电荷Q所激发的电场强度为
E
Qr
4 0 r 3
S
S 4 0
r2
Qd Q d
S 4 0
4 0 S
所以： E dS Q
S
0
如果点电荷 Q 在 S 面外，则
(1.6)
SE dS 0
需要说明的是，当封闭曲面S内的总电荷Q=0时， E dS 0 S
但不能由此得出S面上各点的场强 E 0 的结论。从数学上
说， E dS 0 是总通量为零，有可能是场线既有穿出又有 S
要确定一个矢量场，还需要给出其旋度。
计算一个点电荷Q所激发的电场E对任一闭合回路L的 环量，由库仑定理得
E dl Q r dl
L
4 0 L r 3
设dl与r的夹角为θ，上式最终 为
E dl Q
L
4 0
dr L r2
Q d 1
4 0 L r
右边被积函数是一个全微分。 沿L回路积分为零。所以：
例：电荷Q均匀分布于半径为a的球体内，求各点的电场强度， 并由此直接计算电场强度的散度。
解：作半径为r的球(与电荷球体同心)。由对称性，在球面上 各点的电场强度有相同的数值E，并沿径向。当r>a时，球面 所围的总电荷为Q，由高斯定理得
E dS 4r 2E Q
S
0
因而，
E
Q
4 0 r 2
写成矢量式得
2.电场的散度（divergence of electrostatic field)
将高斯公式: E dS EdV 代入（1.7）式得：
S
V
EdV 1 dV
V
0 V
当积分区域无限缩小，直至只包围一点时，上式等价于：
EdV 1 dV
所以
E
(
x
)
0
(
x
)
(1.8)
这就是高斯定理的微分形式。0 它是电场的一个微分方程。
小和方向。有如下两种物理解释: 1. 两电荷之间的作用力是超距作用，即一个电荷把
作用力直接施加于另一电荷上； 2. 相互作用是通过电场来传递的，而不是直接的超
距作用。
结论：
a.静电时，两种描述是等价的。 b.在运动电荷时，特别是在电荷发生迅变时，实践
证明通过场来传递相互作用的观点是正确的。
二、电场和电场强度 Electric Field and its intensity
上式指出：电荷是电场的源，电场线从正电荷发出而终止
于负电荷。在没有电荷的地方，电场线是连续的。
式（1.8）还反映了电荷对电场作用的局域性质：空间某点 邻域上场的散度只和该点上的电荷密度有关，而和其他地 点的电荷分布无关。电荷只直接激发其邻近的场，而远处 的场则是通过场本身的内部作用传递出去的。
四、静电场的旋度
第一节 电荷和电场
一、库仑定律（Coulomb’s law )
库仑定律是静电现象的基本实验定律。是描写真空
中两个静止的点电荷 Q 和 Q’ 之间相互作用力的定律。 其中 Q 受到的作用力为:
F
4 0 r 3
r
(1.1)
z
q' r
x
q
式中 r x x
x
表示q’ 到q的径矢。
o
y
x
注意: 库仑定律只是从现象上给出两电荷之间作用力的大
r r3
0,
(r 0)
因而，
Qr
E 40 r3 0. (r a)
当r<a时E 应取(1.12)式，由直接计算得
E
Q
4 0 a3
r r3
E
Qr
4 0 r 3
.
(r a)
(1.11)
若r<a,则球面所围电荷为
4
3
r3
4 3
r3
Q
4 a3
/
3
Qr 3 a3
应用高斯定理得
E S
dS
4r
2E
Qr3
0a3
由此得，
Qr
E 40a3 .
(r a)
(1.12)
现在计算电场的散度。当r>a时E应取(1.11)式，在这个
区域 r≠0，由直接计算可得
E dl 0 (1.9) L
即： LE dl S E(x) dS 0
则由面积元的任意性得 E( x) 0 (1.10)
这就证明了静电场的无旋性。实践证明，无旋性只在静电场 的情况下成立。
小结：
（1.8）和(1.10)给出了静电场的散度和旋度，它们表示电荷 激发电场以及电场内部联系的规律性，是静电场的基本规 律。它们反映的物理图像是：电荷是电场的源，电场线从 正电荷发出而终止于负电荷，在自由空间中电场线连续通 过；在静电情形下电场没有旋涡状结构。
穿入的情况。从物理上说, 因为E是由封闭面S内、外所有电
荷激发的场强的矢量和。
讨论： a.当区域内有多个点电荷时
E S
dS
1
0
Qi
i
b.当区域内电荷连续分布时
(1.6’)
E dS 1 dV
S
0 V
(1.7)
——这就是高斯定理的积分形式。
结论：闭合面的E通量与V 外的电荷分布无关。
注意积分区域 S 和V 的对应关系。
(1.3)
3. 电场具有叠加性。即多个电 荷所激发的电场等于每个电荷 所激发的电场的矢量和。
a.电荷不连续分布时，总电场 强度是:
E Qiri
i 40ri3
(1.4)
b.电荷连续分布在某一区域内时， P点电场强度为
E
( x)r 4 0 r 3
dV
(1.5)
三、高斯定理和电场的散度
1.高斯定理（Gauss’ theorem)
第一章 电磁现象的普遍规律
Universal Law of Electromagnetic Phenomenon
主要内容：
本章重点：从特殊到一般，由一些重要的实验定律及一些 假设总结出麦克斯韦方程。
本章难点：电磁场的边值关系、电磁场能量。
主要内容： 讨论几个定律，总结出静电场、静磁场方程； 找出问题，提出假设，总结真空中麦氏方程； 讨论介质电磁性质，得出介质中麦氏方程； 给出求解麦氏方程的边值关系； 引入电磁场能量、能流并讨论电磁能量的传输。
高斯定理是讨论闭合曲面上电场强度E的通量。在点电荷 场中，设 S 表示包围着点电荷 Q 的一个闭合面，dS 为S 上的定向面元，以外法线方向为正。
1Q
E dS S
S
4 0r3r dS来自S14
0
Qr
cos
r3
dS
1 Q cos S 4 0 r 2 dS
dS
θE
r dS Q d
S
1 QdS
1
1
E dS