2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
作业
P43 练习1,2,34 P51 习题A组 1，2
2.1.2 空间中直线与直线 之间的位置关系
两条直线的位置关系
思考1：同一平面内两条直线有几种位置关系？ 思考1 同一平面内两条直线有几种位置关系？ 空间中的两条直线呢？ 空间中的两条直线呢？
b
C
a
1）教室内日光灯管所在直线与黑板左右两 侧所在直线的位置关系如何？ 侧所在直线的位置关系如何？
两条直线的位置关系
空间中的直线与直线之间有三种位置关系： 空间中的直线与直线之间有三种位置关系： 相交直线: 同一平面内，有且只有一 相交直线: 同一平面内， 个公共点； 个公共点； 平行直线: 同一平面内，没有公共点； 平行直线: 同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内， 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点
一个或几个拉丁字母： 平面M 平面AC AC， 2. 一个或几个拉丁字母： 平面M， 平面AC， 平面ABCD等 平面ABCD等 ABCD
平面的表示
两个相交平面的画法和表示 平面α和平面β相交于一条直线a β a α 平面α∩平面β=直线a 被遮住的部分画虚线 a
平面的表示
点与直线、点与平面、 用集合符号表示 点与直线、点与平面、直线 与平面的关系 直线和平面都可以看成点的集合
a
a b b
平面内两条相交直线 空间中两条异面直线
已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直 所成的锐角（或直角） 线 a′ // a, b′ // b ，把 a′ 与 b′ 所成的锐角（或直角）叫 所成的角． 做异面直线a与b所成的角．
b
b′
a
O
b
α
a′
α
O
a′ a
异面直线所成的角
探究 我们规定两条平行直线的夹角为0°，那么 两条异面直线所成的角的取值范围是什么？
不一定， 不一定，如上图的立方体中 AB ⊥ B B ′ , BC ⊥ B B ′ , 相交， 直线AB与BC相交，
异面直线所成的角
例3 已知正方体 ABCD− A′B′C′D′ ． BA′ （1）哪些棱所在直线与直线 是异面直线？ 是异面直线？ B C 的夹角是多少？ （2）直线A′ 和C ′ 的夹角是多少？ 垂直？ （3）哪些棱所在的直线与直线 A′ 垂直？ A 由异面直线的定义可知， 解:（1）由异面直线的定义可知， D′ C′ 棱 AD, DC , C C ′, D D′, D′C ′, B′C ′ 所在 A′ B′ 是异面直线． 的直线分别与直线 BA′是异面直线． D C ∠ 可知， （2）由 BB′ // CC ′ 可知，B′BA′ 为 B ∠ 的夹角， 异面直线 BA′与 CC ′的夹角， B′BA′ = 45 ， A 所以 BA′ 与 CC ′ 的夹角为 45 ． （3）直线 AB, BC , CD , DA , A′B′, B′C ′, C ′D′, D′A′ 垂直． 分别与直线 AA′ 垂直．
平行直线
公理4 公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行. 平行于同一直线的两条直线互相平行.
如果a//b，b//c，那么a//c 空间中的平行线具有传递性 C F D A B E A B C D F
三条平行线共面
E 三条平行线不共面
平行直线
问题 已知三条直线两两平行，任取两条直线能确 定一个平面，问这三条直线能确定几个平面？ D C F D A B E A B C E
答：3 对
平行直线
观察 如图, 在长方体ABCD A′B′C′D′中 ABCD—A′B′C′D′ 如图, 在长方体ABCD A′B′C′D′中, BB′∥AA′，DD′∥AA′，那么BB′ DD′平行 BB′与 BB′∥AA′，DD′∥AA′，那么BB′与DD′平行 吗 ? D' C' A' D A 答：平行 B B' C
P “点P在直线l上”,“点A在平面α内” ∈l, A∈α
P “点P在直线l 外”,“点A在平面α外” ∉ l , A ∉ α
在平面α 或者说平面α 直线 l 在平面α内，或者说平面α经过直线 l 在平面α 直线 l 在平面α外.
l ⊂ α, l ⊂ α
平面的基本性质
思考1 如何让一条直线在一个平面内？ 思考1：如何让一条直线在一个平面内？
平面的基本性质
思考3 如果两个平面有一个公共点， 思考3：如果两个平面有一个公共点， 那么还会有其它公共点吗？ 那么还会有其它公共点吗？如果有这些 公共点有什么特征？ 公共点有什么特征？
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点， 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
P∈α,且 ∈β ⇒α ∩ β = l,且 ∈l P P
β
P
l
作用： 作用：判断两个平面位 置关系的基本依据
α
例题
如图，用符号表示下列图形中点、直线、 例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、 平面之间的位置关系. 平面之间的位置关系.
a
α A l B β a
α l b β
P
(1)
(2)
解：1） A∈α，B∈β，α∩β=l，a∩α=A，a∩β=B 2) a⊂α,b⊂β,α∩β=l,a∩l=P, b∩l=P, a∩b=P
2）天安门广场上，旗杆所在直线与长安 天安门广场上， 街所在直线的位置关系如何？ 街所在直线的位置关系如何？
两条直线的位置关系
观察 如图, 长方体ABCD A′B′C′D′中 ABCD如图, 长方体ABCD-A′B′C′D′中，线段 A′B所在直线分别与线段CD′所在直线 所在直线分别与线段CD′所在直线， A′B所在直线分别与线段CD′所在直线，线段 BC所在直线 线段CD所在直线的位置关系如何? 所在直线， CD所在直线的位置关系如何 BC所在直线，线段CD所在直线的位置关系如何? D' A' D A B B' C C'
EH是 ∆ABD 的中位线， 的中位线，
1 EH // BD ，且 EH = BD 2 1 FG // BD ，且 FG = BD 2
A E H D F G C
因为 EH // FG ，且 EH = FG B 所以 是平行四边形． 四边形EFGH 是平行四边形．
探究 在上例中，如果再加上条件AC=BD，那么四 边形EFGH 是什么图形？ 答：四边形EFGH是菱形 A H E D B F G C
两条直线的位置关系
定义 不同在任何一个平面内的两条直线 叫做异面直线. 叫做异面直线
a
b
a
b
异面直线的图示
两条直线的位置关系
问题 关于异面直线的定义， 关于异面直线的定义，你认为下列哪个说法 最合适？ 最合适？ 空间中既不平行又不相交的两条直线； A. 空间中既不平行又不相交的两条直线； B. 平面内的一条直线和这平面外的一条直线； 平面内的一条直线和这平面外的一条直线； 分别在不同平面内的两条直线； C. 分别在不同平面内的两条直线； 不在同一个平面内的两条直线； D. 不在同一个平面内的两条直线； 不同在任何一个平面内的两条直线. E. 不同在任何一个平面内的两条直线.
b
π 0, 2
α
a
如果两条异面直线所成角为90 如果两条异面直线所成角为900，那么这两 条直线垂直. 条直线垂直. 记直线a垂直于b 记直线a垂直于b为：a⊥b
异面直线所成的角
探究 （1）在长方体ABCD − A′B′C ′D′中，有没有两条棱 ） 所在的直线是相互垂直的异面直线？ 所在的直线是相互垂直的异面直线？
例2：已知直线a，和点P，P∉a，求证 经过点P和直线a有且只有一个平面.
P a
探究问题
• 根据公理1探究直线与平面的各种位置关系. • 根据公理2探究两条相交直线或平行直线确定一个
平面的合理性.
• 根据公理3探究平面与平面的各种位置关系.
小结
1.平面的表示：概念、图形、符号等 1.平面的表示：概念、图形、 平面的表示 2.平面的基本性质 2.平面的基本性质 公理1 公理1 公理2 公理2 公理3 公理3 3.判断共面的方法 3.判断共面的方法
AD 如： 与BB′, A′D′与BB′ 等．
D′
C′
（2）如果两条平行直线中的 ） D 一条与某一条直线垂直，那么， 一条与某一条直线垂直，那么， B 另一条直线是否也与这条直线 A 垂直？ 垂直？ 垂直 （3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？ ）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？
A′
B′
C
∠ADC+∠B′A′D′=1800
思考3 思考3 如图，在空间中AB// A′B′，AC// A′C′， 你能证明∠BAC与∠B′A′C′ 相等吗？
E´ A´ E A D D´ C B
C´ ´
B´
等角定理
定理 空间中如果两个角的两边分别对应 平行，那么这两个角相等或互补. 平行，那么这两个角相等或互补.
公理2 过不在一条直线上的三点,有且只有一个 公理 过不在一条直线上的三点 有且只有一个 平面. 平面 “不共线的三点确定一个平面” 不共线的三点确定一个平面”
α
集合符号表示
． A ． ． B C
已知A、 、 三点不共线 三点不共线， 已知 、B、C三点不共线，则存在惟一平 使得A、 、 ∈α 面α，使得 、B、C∈α 作用：判断几个点共面或直线在同一个平面内
AC // A′C ′, AB // A′B′
C
C
α A
C′
B
α A
B
β
A′
B′
β
B′
A′
C′
等角定理：空间中如果两个角的两边分别 等角定理： 对应平行且方向相同，那么这两个角相等. 对应平行且方向相同，那么这两个角相等. 方向相同
高中数学《第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系》827PPT课件
11
1
1
1
已知正方体ABCD A B C D的棱长为a， 111 1
求平面A BC 和平面ACD 的距离。
1
1
1
三.两个平面相交
提问： 请同学们观察下面两个图形，有何不同？
提问： 我们如何刻画直线和平面的这种相对位置关系呢？
1.半平面
平面内的一条直线把这 个平面分成两部分，
其中的每一部分都叫做 半平面。
AB AD 1, AA 2,点P为DD的中点。
1
1
求证：（1）平面PAC 平面BDD ; 1
(2)平面PB C 平面PAC. 11
★★★7.平面与平面垂直的性质 定理
文字语言
如果两个平面互相垂直 ，
那么在其中一个平面内
垂直于它们交线的直线 垂直于另一个平面。
图形语言
符号语言
AB
AB l
(4)斜高相等
★注意：正棱锥中的有关计算：
都在高、侧棱、侧棱在 底面上的射影（底面正 多变形的半径）、
斜高、斜高在底面上的 射影底面正多边形的边心距 、
底面边的一半，所组成 的三棱锥P OEC的四个直角三角形 中进行。
正棱台
正棱锥被平行于底面的 平面所截，
截面和底面之间的部分 ，叫做正棱台。
底面正多变形的半径
那么它也垂直于另一个 平面。
图形语言
符号语言
∥ m
m
5.定理
文字语言 垂直于同一条直线的两 个平面平行。
图形语言
符号语言
a a
∥
6.定理
文字语言 平行于同一个平面的两 个平面平行
图形语言
符号语言
∥ ∥
∥
7.两个平行平面间的距离
高中数学必修1-2.1空间点、直线、平面的位置关系
之间的位置关系
D1 A1
C1 B1
D
C
A
B
2.1 平面 2.2 空间中直线与直线之间的位置关系 2.3空间中直线与平面之间的位置关系 2.4平面与平面之间的位置关系
1.能不能说一个平面长4米,宽2米?
为什么?
不能.
2观察下面的图形,指出它们表示的空间图 形的不同之处. B B
3.思考下列问题:
(1)不共面的四点可以确定多少个平面?
4个
(2)共点的三条直线可以确定多少个平面? 1个或3个
4.判断下列命题是否正确:
(1)平面α与平面β相交,它们只有有限个公 共点. × (2)经过一条直线和这条直线外的一点,有 且只有一个平面. √ (3)经过两条相交直线,有且只有一个平面.√
(2)说出正方体中各对线段的位置关系;
(1) AB 和 CC1 异面 (2) A1C 和 BD1 相交 (3) A1 A 和 CB1 异面 (4) A1C1 和 CB1 异面 (5) A1 B1 和 DC 平行 (6) BD1 和 DC 异面
A1 D1 B1 C1
D A B
C
3.如果OA // OA, OB // OB, 相等或互补 那么AOB和AOB __________ .
A1
D1 B1
C1
D A B
C
(4)如果两个平面有三个不共线的公共点, 那么这两个平面重合. √
练习:空间直线与直线的位置关系 1.判别下列说法是否正确,并说明原因: (1)没有公共点的两条直线叫做平行直线. 错.可能是异面直线. (2)分别在两个平面内的两条直线一定是 异面直线. 错.可能是共面直线.
2.(1)正方体中与AA1平行的棱共有 3 条;
必修2-2.1.1-空间点、直线、平面之间的位置关系导学案3个课时
2.1《空间点、直线、平面之间的位置关系》导学案2.1.1平面第 ___ 周 高一 __________ 班 ____________ 合作小组姓名 ____________【学习目标】1•正确理解平面的概念；掌握平面的基本性质； 2•熟练掌握公理1、2、3的三种语言及相互转换； 3•会用三个公理证明简单的共点、共线、共面问题；【重点难点】教学重点：公理1、2、3 教学难点：三个公理的理解【学法指导】注意观察教室中的点、线、面，你会有很多的收获！预习案阅读课本P40-43，完成下面预习案一、知识梳理1. 平面概述 (1)平面的两个特征：①无限延展②没有厚度(2) 平面的画法： ________________________(3) 平面的表示： ______________________________________________________________________ 平面可以看成点的集合，点 A 在平面 内，记作 __________ ，点B 不在平面 内，记作 __________ 2. 三个公理公理1 : ___________________________________________________________________________ 用数学符号表示为： ___________________________________________________ 图形语言：公理2 : ___________________________________________________________________________ 用数学符号表示为： ___________________________________________________ 图形语言：公理3: _________________________________________________________________________________________________ 用数学符号表示为： ___________________________________________________ 图形语言：编写人：朱其山审核人：郭小艳 编写时间：2013-05-13. 公理2的三条推论：推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面;推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面二、问题导学为什么要学习三个公理？三个公理的作用是什么?三、预习自测1.卜列推断中，错误的是( ).A •A l,A ,B l,B l B. A,A ,B ,B I ABC.l , A l A D . A,B,C , A,B,C ，且A、B、C不共线,重合2. 下列结论中，错误的是( )A . 经过三点确定一个平面B. 经过一条直线和这条直线外一点确定一个平面C . 经过两条相交直线确定一个平面D. 经过两条平行直线确定一个平面3•用符号表示下列语句，并画出相应的图形：(1)直线a经过平面外的一点M；(2)直线a既在平面内，又在平面内;4•如图，试根据下列要求，把被遮挡的部分改为虚线:(1)AB没有被平面遮挡；(2)AB被平面遮挡【疑惑之处】探究案【例1】如图，用符号表示下图图形中点、直线、平面之间的位置关系【探究小结】【例2】在正方体ABCD-ABQQ,中，(1) AA与CC,是否在同一平面内？(2)点B,G,D是否在同一平面内？(3)画出平面AGC与平面BCQ的交线，平面ACD1与平面BDC1的交线.【探究小结】【探究小结】课堂检测1 .下列说法中正确的是（）.A.空间不同的三点确定一个平面 B.空间两两相交的三条直线确定一个平面C. 空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形D. 和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内2. _______________________________________________ 给出下列说法，其中说法正确的序号依次是 ______________________________________________________ . ① 梯形的四个顶点共面； ② 三条平行直线共面；③ 有三个公共点的两个平面重合；④ 每两条都相交并且交点全部不同的四条直线共面 3.已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是_________ .4. 下面四个叙述语（其中 A,B 表示点，a 表示直线， 表示平面） ①Q A ,B ,AB ；②Q A,B,AB ；变式：例2中，A i C 与面BC i D 相交于点M ,求证：G,M,0三点共线. 分析：要证若干点共线的问题，只需证这些点同在两个相交平面内即可【例3】已知 ABC 在平面 夕卜，它的三边所在的直线分别交面 一条直线上.于P,Q,R ,求证：P,Q,R 在同③Q A a,a,A ；④Q A,a,A a.其中叙述方式和推理都正确的序号是 ____________5•在棱长为a的正方体ABCD-A i B i C i D i中M,N分别是AA i, D1C1的中点，过点D, M , N三点的平面与正方体的下底面A i B i C i D i相交于直线I ,(i)画出直线I ;(2)设I I A j B, P，求PB i 的长;(3)求D i到|的距离.课后检测i .下列推断中，错误的是( ).A . A l,A,B l,B lB . A , A,B ,B I ABC . l ,A l AD . A, B,C,A,B,C，且A、B、C不共线,重合2. E、F、G、H是三棱锥A-BCD 棱AB、AD、CD、CB上的点，延长EF、HG交于P,则点P( ).A. —定在直线AC上B.—定在直线BD上C.只在平面BCD内D.只在平面ABD内3. 用一个平面截一个正方体，其截面是一个多边形，则这个多边形边数最多是( ).A. 三B.四C.六D.八4. 下列说法中正确的是( ).A. 空间不同的三点确定一个平面B. 空间两两相交的三条直线确定一个平面C. 空间有三个角为直角的四边形一定是平面图D. 和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内5. 两个平面若有三个公共点，则这两个平面____________6. 给出下列说法：① 梯形的四个顶点共面；② 三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④ 每两条都相交并且交点全部不同的四条直线共面.其中说法正确的序号依次是________ .7. 已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是________8. 求证：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内已知：直线AB,BC,CA两两相交，交点分别为A,B,C，求证：直线AB,BC,CA共面.9.空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，已知EF和GH交于P点，求证：EF、GH、AC三线共点.2.1.2空间中直线与直线间的位置关系第 __ 周高一__________ 班_____________ 合作小组姓名 _____________【学习目标】1. 直线与直线之间的位置关系.2. 异面直线的定义、异面直线所成的角；【重点难点】教学重点：异面直线的定义；直线与直线之间的位置关系；教学难点：异面直线的定义【学法指导】多观察生活中事物，如建筑物、电线杆、马路、桥梁等并思考直线与直线的位置关系预习案阅读教材P44-50,完成下面填空一、知识梳理1 •空间两直线的位置关系相父直线：共面直线；异面直线：_____________ . ________________2.异面直线的概念与画法（1）异面直线的画法（注意：常用平面衬托法画两条异面直线）（2）异面直线所成的角：已知两条异面直线a,b ,经过空间任一点0作直线_________________ ,把a ,b 所成的锐角（或直角）叫异面直线a,b所成的角（或夹角）•注意：①a,b所成的角的大小与点0的选择无关，为了简便，点0通常取在异面直线的一条上；②异面直线所成的角的范围为 ___________ ,③如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作 a b.（3）_________________________________________________________________________________ 空间等角定理： _______________________________________________________________________________二、问题导学空间两条直线位置关系有几种？其中，哪一种关系是平面几何中没有学过？三、预习自测1 •分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（）.A.异面B.平行C.相交D.以上都有可能2 .直线I与平面不平行，则（A. l与相交B. IC. I与相交或ID.以上结论都不对3•若两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，则这两个平面的公共点个数（）A.有限个B.无限个C.没有D.没有或无限个4•如果OA // O'A',OB // O'B'，那么AOB与A O'B'_____________________ （大小关系）探究案【例1】空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点,求证：四边形EFGH是平行四边形进一步探究1:若AC=BD，四边形EFGH是什么图形？探究2:在什么条件下，四边形EFGH是正方形？【探究小结】【例2】正方体ABCD ABGD,中，E,F分别为A1B11^C1的中点，求异面直线DB,与EF所成角的大小.【探究小结】【例3】如图，已知长方体 ABCD-A'B'C'D'中，AB ,3 , AD , AA '1.(1) BC 和AC '所成的角是多少度? (2) AA '和BC '所成的角是多少度?【探究小结】课堂检测B.某平面内的一条直线和这平面外的直线;D.不在同一平面内的两条直线；F.分别在两个不同平面内的两条直线；的一条直线；H.空间没有公共点的两条直线；I.既不相交，又不平行的两条直线 2•下图长方体中(1) 说出以下各对线段的位置关系 ①CA 1和BD 1是 __________________ 直线 ②BD 和B 1D 1是③BD 1和DC 是 ___________________ 直线(2) _________________________________ 与棱AB 所在直线异面的棱共有 _________________________________ 条？ ⑶与对角线DB 1成异面直线的棱共有几条 ？ (4)思考：这个长方体的棱中共有多少对异面直线？3•如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB , CD , EF , GH 这四条线段 所在直线是异面直线的有 __________ 对?4•在平面内我们有 垂直于同一条直线的两条直线平行1.两条异面直线指：A.空间中不相交的两条直线； C.分别在不同平面内的两条直线； E.不同在任一平面内的两条直线；G.某一平面内的一条直线和这个平面外 ”在空间，这一结论是否一定成立？注：不是所有空间，若推广需证明其正确性5. “若直线a与直线b异面，直线b与直线C异面。
空间点直线平面之间的位置关系(详细)
两个平面平行或相交的画法及表示
m
//
=m
探究1
，直线a、b，且//，a，b， 已知平面 、 则直线a与直线b具有怎样的位置关系？
a b
答：平行或异面
探究2 如果三个平面两两相交，那么它们的交线 有多少条？画出图形表示你的结论.
推论1 一条直线和直线外一点唯一确定一 个平面. l A C B 推论2 两条相交直线唯一确定一个平面. 推论3 两条平行直线唯一确定一个平面.
平面的基本性质
思考3：如果两个平面有一个公共点， 那么还会有其它公共点吗？如果有这些 公共点有什么特征？
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
2.1.2
空间中直线与直线 之间的位置关系
两条直线的位置关系
定义 不同在任何一个平面内的两条直线 叫做异面直线.
a
b
a
b
异面直线的图示
两条直线的位置关系
问题 关于异面直线的定义，你认为下列哪个说法 最合适？ A. 空间中既不平行又不相交的两条直线；
B. 平面内的一条直线和这平面外的一条直线；
C. 分别在不同平面内的两条直线；
a
A
记为：a=A
直线与平面
（3）直线与平面平行
a
没有公共点
记为：a//
直线与平面
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外 记为：a a//
a a
a=A 或
A
主要内容
直线与平面的位置关系
直线在平面内
2021_2022年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系1
• 因为平面α和平面β都包含着直线b与l，且l∩b＝B，而由公
理2的推理2知：经过两条相交直线，有且只有一个平面，所
以平面α与平面β重合，所以直线a，b，c和l共面．
• 规律总结：(1)证明点线共面的主要依据：公理1、公理2及其 推论．
• [证明] 如右图所示，
• ∵PA∩PB＝P， • ∴过PA，PB确定一个平面α. • ∴A∈α，B∈α. • ∵A∈l，B∈l， • ∴l⊂α. • ∴PA，PB，l共面．
3. 证明多点共线问题
• 例题3 已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，
BC∩α＝Q，如图．求证：P、Q、R三点共线．
自主预习
1．平面
描述
几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体抽象出 来的，是无限___延__展_____的
通常把水平的平面画成一个__平__行__四__边__形__，并且其锐 角画成45°，且横边长等于其邻边长的___2__倍，如图 1所示；如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强 立体感，被遮挡部分用__虚__线___画出来，如图2所示
练习1
(1)若点 M 在直线 a 上，a 在平面 α 内， 则 M，a，α 间的关系可记为________.
(2) 根 据 右 图 ， 填 入 相 应 的 符 号 ： A________平面 ABC，A________平面 BCD， BD________平面 ABC，平面 ABC∩平面 ACD ＝________.
• (2)公理2中“有且只有一个”的含义要准确理解，这里的“有 ”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一，强调的是存在 和唯一两个方面，因此“有且只有一个”必须完整地使用，不 能仅用“只有一个”来代替，否则就没有表达出存在性．确定 一个平面中的“确定”是“有且只有”的同义词，也是指存在 性和唯一性这两个方面，这个术语今后也会常常出现．
高中数学空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1平面2．1.2空间中直线与直线之间的位置关系知识导图学法指导1.研究几何问题，不仅要掌握自然语言、符号语言、图形语言的相互转换，也要学会用符号语言表示点、直线、平面之间的位置关系．用图形语言表示点、直线、平面之间的位置关系时，一定要注意实线与虚线的区别．2．学会用自然语言、符号语言描述四个公理的条件及结论，明确四个公理各自的作用．3．要理解异面直线的概念中“不同在任何一个平面内”的含义，即两条异面直线永不具备确定平面的条件．4．判断异面直线时，要更多地使用排除法和反证法．5．作异面直线所成的角时，注意先选好特殊点，再作平行线．高考导航1.平面及其基本性质是后面将要学习的内容的基础和证明的依据，需要牢固掌握，但高考中很少单独考查．2．高考经常考查两条直线位置关系的判定和公理4的应用，常以选择题、填空题的形式出现，有时也以解答题某一问的形式出现，分值5～7分．3．求异面直线所成的角，常与正、余弦定理(必修5中学习)综合考查，对于理科考生还需要掌握用空间向量法(选修2－1中学习)求角的大小．独立考查该知识的试题不多，有时以选择题、填空题的形式出现，有时以解答题的形式出现(一般作为第一问)，分值5～7分．第1课时平面知识点一平面概念几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出来的，是无限延展的常常把水平的平面画成一个平行四边形，并且其锐角画成画法45°，且横边长等于邻边长的2倍，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来(1)一个希腊字母：如α，β，γ等；表示(2)两个大写英文字母：表示平面的平行四边形的相对的两方法个顶点；(3)四个大写英文字母：表示平面的平行四边形的四个顶点1．平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量；2．平面无厚薄、无大小，是无限延展的．1.直线在平面内的概念如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.2.一些文字语言、数学符号与图形的对应关系数学符号表示文字语言表达图形语言表达A∈l点A在直线l上A∉l A∈αA∉α点A在直线l外点A在平面α内点A在平面α外βl ⊂αl ⊄αl ∩m ＝A α∩β＝l ruize直线 l 在平面 α 内 直线 l 在平面 α 外 直线 l ，m 相交于点 A 平面 α， 相交于直 线 l知识点二 平面的基本性质公理内容 图形 符号 如果一条直线上的 公理 1 两点在一个平面内， A ∈l ，B ∈l 且 A ∈α， 那么这条直线在此 B ∈α⇒l ⊂α平面内过不在同一条直线 A ，B ，C 三点不共线公理 2 上的三点，有且只有 ⇒存在唯一的平面 α一个平面 使 A ，B ，C ∈α如果两个不重合的 平面有一个公共点， 公理 3 那么它们有且只有 一条过该点的公共 P ∈α 且 P ∈β⇒α∩β ＝l 且 P ∈l 直线1.公理 1 的作用：①用直线检验平面(常被应用于实践，如泥瓦工 用直的木条刮平地面上的水泥浆)；②判断直线是否在平面内(经常被用 于立体几何的说理中)．2．公理 2 的作用：①确定平面；②证明点、线共面．公理 2 中要 注意条件“不在同一条直线上的三点”，事实上，共线的三点是不能 确定一个平面的．同时要注意经过一点、两点或在同一条直线上的三 点可能有无数个平面；过不在同一条直线上的四点，不一定有平面．因 此，要充分重视“不在同一条直线上的三点”这一条件的重要性．3．公理 3 的主要作用：①判定两个平面是否相交；②证明共线问 题；③证明线共点问题.公理 3 强调的是两个不重合的平面，只要它们有公共点，其交集 就是一条直线．以后若无特别说明，“两个平面”是指不重合的两个平面．B C D[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间不同三点确定一个平面．( )(2)空间两两相交的三条直线确定一个平面．( )(3)和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内．( )☆答案☆：(1)× (2)× (3)√2．经过空间任意三点作的平面( )A ．只有一个B ．只有两个C ．有无数个D ．只有一个或有无数个解析：当三点共线时，可作无数个平面；当三点不共线时，只能 作一个平面． ☆答案☆：D3．如果 a ⊂α，b ⊂α，l ∩a ＝A ，l ∩b ＝B ，那么下列关系成立的是 ( )A ．l ⊂αB ．l ∉αC ．l ∩α＝AD ．l ∩α＝B解析：∵l ∩a ＝A 又 a ⊂α，∴A ∈l 且 A ∈α.同理 B ∈l 且 B ∈α.∴l ⊂α. ☆答案☆：A4．如果空间四点 A 、 、 、 不共面，那么下列判断正确的是( ) A ．A 、B 、C 、D 四点中必有三点共线B ．A 、B 、C 、D 四点中不存在三点共线C ．直线 AB 与 CD 相交D ．直线 AB 与 CD 平行解析：A 、B 、C 、D 四点中若有三点共线，则必与另一点共面；直 线 AB 与 CD 既不平行也不相交，否则 A 、B 、C 、D 共面． ☆答案☆：B类型一 平面,例 1 下面四种说法：①平面的形状是平行四边形；②任何一个平 面图形都可以表示平面；③平面 ABCD 的面积为 10 cm 2；④空间图形 中，后引的辅助线都是虚线．其中正确的说法的序号为________．【解析】 本题考查的是平面的概念及平面的画法与表示方法．平面是无限延展的，不计大小，不计面积，而平行四边形是平面的一部分，它是不能无限延展的．另外，在空间图形中，我们一般把能看得见的线画成实线，把被面遮住看不见的线画成虚线，目的是增强立体感，同几何体的三视图的画法类似，后引的辅助线也是如此，这与平面几何是有区别的．有时，根据具体的情况，可以用其他的平面图形，如矩形、圆、正多边形等表示平面，但不能说它是平面．综上，①③④错误，②正确．故填②.【☆答案☆】②平面是从现实中抽象出来的，它具有无限延展性，无比平整性、无大小、无轻重、无厚薄，平面和平面图形是完全不同的两个概念．方法归纳平面画法的四个关注点①通常画的平行四边形表示的是整个平面．需要时，可以把它延展开来，如同在平面几何中画直线一样，直线是可以无限延伸的，但在画直线时却只画一条线段(无端点)来表示．②加“通常”二字的意思是因为有时根据需要也可用其他平面图形表示，如用三角形、矩形、圆等平面图形来表示平面．③画表示平面的平行四边形时，通常把它的锐角画成45°，横边画成邻边的两倍．④画表示竖直平面的平行四边形时，通常把它的一组对边画成铅垂线．跟踪训练1如图所示的两个相交平面，其中画法正确的是()解析：对于①，图中没有画出平面α与平面β的交线，另外图中的实线、虚线也没有按照画法原则去画，因此①的画法不正确．同样的道理，可知②③的画法不正确，④中画法正确．☆答案☆：④l利用平面的概念及平面的画法进行判断．类型二 文字语言、图形语言、符号语言的转化例 2 (1)根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置 关系，并画出相应的图形：①A ∈α，B ∉α；②A ∈α，m ∩α＝A ，A ∉l ，l ⊂α；③P ∈l ，P ∉α，Q ∈l ，Q ∈α；(2)用符号语言表示下列语句，并画出图形：①三个平面 α，β，γ 相交于一点 P ，且平面 α 与平面 β 相交于 P A ， 平面 α 与平面 γ 相交于 PB ，平面 β 与平面 γ 相交于 PC ；②平面 ABD 与平面 BDC 相交于 BD ，平面 ABC 与平面 ADC 相交 于 AC.【解析】 (1)①点 A 在平面 α 内，点 B 不在平面 α 内；②直线 l 在平面 α 内，直线 m 与平面 α 相交于点 A ，且点 A 不在 直线 l 上；③直线 l 经过平面 α 外一点 P 和平面 α 内一点 Q .图形分别如图①②③所示．(2)①符号语言表示：α∩β∩γ＝P ，α∩β＝P A ，α∩γ＝PB ，β∩γ＝ PC.图形表示如图④所示．②符号语言表示：平面 ABD ∩平面 BDC ＝BD ，平面 ABC ∩平面ADC ＝AC.图形表示如图⑤所示.本题考查数学抽象．在“A ∈α， ⊂α”中 A 视为平面 α(集合)内的点(元素)，l(集合)视为平面 α(集合)内的直线(子集)．方法归纳(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有 几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着先用文字语言 表示，再用符号语言表示．AC ∴(2)要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用 “∈” 或“∉”表示；直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”表示．(3)根据已知符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和 虚线的区别．跟踪训练 2 根据如图所示，在横线上填入相应的符号或字母：A________平面 ABC ， ________平面 BCD ，BD________平面 ABC ， 平面 ABC ∩平面 ACD ＝________.☆答案☆：∈ ∉ ⊄ AC根据符号的含义进行判断或转化 .类型三 平面性质的应用例 3 如图， ABC 在平面 α 外，AB ∩α＝P ，AC ∩α＝Q ，BC ∩α ＝R.求证：P ，Q ，R 三点共线．【证明】 方法一 ∵AB ∩α＝P ，∴P ∈AB ，P ∈α.又 AB ⊂平面 ABC ，∴P ∈平面 ABC.由公理 3 可知点 P 在平面 ABC 与平面 α 的交线上，同理可证 Q ，R 也在平面 ABC 与平面 α 的交线上，∴P ，Q ，R 三 点共线．方法二 ∵AP ∩AQ ＝A ，∴直线 AP 与直线 AQ 确定平面 APQ .又 AB ∩α＝P ，AC ∩α＝Q ，∴平面 APQ ∩α＝PQ.∵B ∈平面 APQ ， ∈平面 APQ ， BC ⊂平面 APQ .∵R ∈BC ，∴R ∈ 平面 APQ ，又 R ∈α，∴R ∈PQ ，∴P ，Q ，R 三点共线.证明三点共线，可以证明三点都在两平面的交线上或第三点在两点所确定的直线上．方法归纳(1)证明三线共点常用的方法是先说明两条直线共面且相交于一点，然后说明这个点在以另一条直线为交线的两个平面内，即该点在另一条直线上，则可得三线共点．(2)证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2，常用方法有：①先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入平面法”；②先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“辅助平面法”；③假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”．跟踪训练3如图，三个平面α、β、γ两两相交，α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行，求证：a，b，c三条直线必过同一点．证明：∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a⊂γ，b⊂γ，∵a与b不平行，∴a 与b必相交，设a∩b＝P，则P∈a，P∈b，∵a⊂β，b⊂α，∴P∈β，P∈α.又α∩β＝c，∴P∈c，即交线c经过点P.∴a、b、c三条直线相交于同一点．,证明三线共点的基本方法是先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点.常结合公理3，证明该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线(第三条直线)上，从而证明三线共点.[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α间的关系可记为()A．M∈a，a∈αB．M∈a，a⊂αC．M⊂a，a⊂αD．M⊂a，a∈α解析：根据点与直线、直线与平面之间位置关系的符号表示，可知B正确．☆答案☆：B2．给出下面四个命题：①三个不同的点确定一个平面；②一条直线和一个点确定一个平面；③空间两两相交的三条直线确定一个平面；④两条平行直线确定一个平面．其中正确的命题是()A．①B．②C．③D．④解析：对于①，三个不共线的点确定一个平面，故错；对于②，一条直线和直线外一个点确定一个平面，故错；对于③，空间两两相交的三条直线，且不能交于同一点，确定一个平面，故错；对于④，两条平行直线确定一个平面，正确．☆答案☆：D3．下面空间图形画法错误的是()解析：画立体图时，被平面遮住的部分画成虚线或不画．☆答案☆：D4．给出以下四个命题：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确；②如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面；③显然不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．☆答案☆：B5．在空间四边形ABCD中，在AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果GH，EF交于一点P，则()A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P在直线AC或BD上D．P既不在直线BD上，也不在AC上解析：由题意知GH⊂平面ADC.因为GH，EF交于一点P，所以P∈平面ADC.同理，P∈平面ABC.因为平面ABC∩平面ADC＝AC，由公理3可知点P一定在直线AC上．☆答案☆：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．设平面α与平面β相交于直线l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b ＝M，则点M与l的位置关系为________．解析：因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β.又平面α与平面β相交于直线l，所以点M在直线l上，即M∈l.☆答案☆：M∈l7．给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是________．解析：空间中和一条直线都相交的两条直线不一定在同一平面内，故①错；若三条直线相交于一点时，不一定在同一平面内，如长方体一角的三条线，故②错；若两平面相交时，也可有三个不同的公共点，故③错；若三条直线两两平行且在同一平面内，则只有一个平面，故④错．☆答案☆：08．把下列符号叙述所对应的图形的序号填在题后的横线上：(1)A∉α，a⊂α：________.(2)α∩β＝a，P∉α，且P∉β：________.(3)a⊄α，a∩α＝A：________.(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O：________.☆答案☆：(1)③(2)④(3)①(4)②三、解答题(每小题10分，共20分)9．完成下列各题：(1)将下列文字语言转换为符号语言．①点A在平面α内，但不在平面β内；②直线a经过平面α外一点M；③直线l在平面α内，又在平面β内(即平面α和平面β相交于直线l)．(2)将下列符号语言转换为图形语言．①a⊂α，b∩α＝A，A∉a；②α∩β＝c，a⊂α，b⊂β，a∥c，b∩c＝P.解析：(1)①A∈α，A∉β.②M∈a，M∉α.③α∩β＝l.(2)①同理，EF ⊂平面 ADD A ，∴Q ∈平面 ADD A ，又∵平面 ABCD ∩平面 ADD A ＝AD ， N②10．在正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，点 M 、N 、E 、F 分别是棱 CD 、 AB 、DD 1、AA 1 上的点，若 MN 与 EF 交于点 Q ，求证：D 、A 、Q 三点 共线．证明：∵MN ∩EF ＝Q ，∴Q ∈直线 MN ，Q ∈直线 EF ，∵M ∈直线 CD ， ∈直线 AB ，CD ⊂平面 ABCD ，AB ⊂平面 ABCD ，∴M 、N ∈平面 ABCD ，∴MN ⊂平面 ABCD ， ∴Q ∈平面 ABCD.1 1 1 11 1 ∴Q ∈直线 AD ，即 D ，A ，Q 三点共线．[能力提升](20 分钟，40 分)11．用一个平面截正方体所得的截面图形不可能是( ) A ．六边形 B ．五边形C ．菱形D ．直角三角形解析：可用排除法，正方体的截面图形可能是六边形、五边形、 菱形，故选 D.☆答案☆：D12．平面 α，β 相交，在 α，β 内各取两点，这四点都不在交线上， 这四点能确定________个平面．解析：如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四 点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个． ☆答案☆：1 或 413．如图所示，已知直线 a ∥b ∥c ，l ∩a ＝A ，l ∩b ＝B ，l ∩c ＝C.所以 EF 綊1A B. 又因为 A B 綊 D C ， 所以 EF 綊1D C ， 可设 D F ∩CE ＝P .又 D F ⊂平面 A D DA ，CE ⊂平面 ABCD ，所以点 P 为平面 A D DA 与平面 ABCD 的公共点．又因为平面 A D DA ∩平面 ABCD ＝DA ， 所以据公理 3 可得 P ∈DA ，即 CE ，D F ，DA 三线交于一点． 求证：直线 a ，b ，c 和 l 共面．证明：∵a ∥b ，∴a ，b 确定一个平面 α.∵A ∈a ，B ∈b ，∴A ∈α，B ∈α.则 a ，b ，l 都在平面 α 内，即 b 在 a ，l 确定的平面内．同理可证 c 在 a ，l 确定的平面内．∵过 a 与 l 只能确定一个平面，∴a ，b ，c ，l 共面于 a ，l 确定的平面．14．如图所示，在正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，E 为 AB 的中点， F 为 AA 1 的中点．求证：CE ，D 1F ，DA 三线交于一点．证明：连接 EF ，D 1C ，A 1B ，因为 E 为 AB 的中点，F 为 AA 的中点， 1 2 11 12 1所以 E ，F ，D ，C 四点共面，1 1 1 1 1 1 11 11。
空间中点、直线、平面之间的位置关系
求直线AM与CN所成的角的余弦值.
解：(1)BA1和C1D所成的角 900 ,BA1和AD1所成的角 600
D1
C1 （2）作NQ//AM,取AB中点P，连
A1
M
B1
PB1，则NQ// PB1//AM,∠QNC为异 面直线AM与CN所成的角(或补角)
N D
b
a c
空间两直线平行的判定公理
公理4 平行于同一条直线的两直线互相 平行.
若 a//b，c//b 则 a//c.
b
a c
定理：空间中如果两个角的两边分别平 行，那么这两个角相等或互补.
定理：空间中如果两个角的两边分别平 行，那么这两个角相等或互补.
例1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为4. (1) 求直线BA1和C1D， BA1和AD1所成的角的大小
C
A1C1 5, A1E 2 5, C1E 3 A
F
B
E
由余弦定理得 cos A1C1E
5 5
A1C1与BD1所成角的余弦值为
5 5
把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，
方法归纳： 补形法 如正方体、长方体等，其目的在于易于发
现两条异面直线的关系。
2.1.3-2.1.4空间中直线与平面、 平面与平面之间的位置关系
A
E
H
D
P
B
G F
C
讲授新课
问题1：在平面几何中，两直线的位置
关系如何？
c
a
d
b
立交桥
立交桥
定义：不同在任何一个平面内的两条直线 叫做异面直线.
位置关系 公共点个数 是否共面 相交 平行 异面
空间点直线平面之间的位置关系(教学设计)
2.1（1）空间点、直线、平面之间的位置关系（教学设计）2.1.1平面一、教学目标：1、知识与技能（1）掌握平面的表示法及水平放置的直观图；（2）掌握平面的基本性质及作用；2、过程与方法（1）通过师生的共同讨论，利用生活中的实物形成平面的概念，使学生对平面有了感性认识；（2）让学生归纳整理点、线、面的关系.3、情感与价值使学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣,提高学生的空间想象能力.二、教学重点、难点重点：1、平面的概念及表示；2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.难点：平面基本性质的掌握与运用.教学过程：一、创设情境，新课引入1. 利用你手中的直尺，如何判定你课桌的桌面是不是平的．2. 你骑的自行车有一个脚撑就可站稳，为什么？3. 矩形硬纸板的一顶点放在讲台面上，硬纸板与讲台面不重合，能否说这两个平面只有一个公共点？4．教师借助实物，引入生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，这些都给我们以平面的印象.给同学设问：你们能举出更多例子吗？引导学生观察、思考、举例和互相交流.与此同时，教师对学生的活动给予评价.顺势导入新课.二、师生互动，新课讲解1、平面含义教师根据上述平面实例，导入几何里所说的平面概念，就是从这样的一些物体中抽象出来的，强调几何里的平面是无限延展的.2、平面的画法及表示教师设问师：在平面几何中，怎样画直线？引入平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。
如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画。
平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。
点A 在平面α内，记作：A ∈α 点B 在平面α外，记作：B α 3、平面的基本性质 无限延展性 4、 探究公理 （1）问题1的探究教师提出问题，引发学生思考：如何用直尺这个工具来判定你的桌面是不是平的呢？（把直尺放在物体表面的各个方向上，如果直尺的边缘与物体的表面不出现缝隙，就可判断物体表面是平的） 教师点拔：这是判断物体表面是不是平的的一个常用方法．如果物体表面是平的，把直尺边缘无论如何放在平面上，则边缘与平面都没有缝隙，也就是说，如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．由此，可以归纳出公理1．公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（如图14-1）．DCBAα·Aα·B a这时我们说，直线在平面内或平面经过直线．这一性质是平面的主要特征．弯曲的面就不是处处具有这种性质．教师进一步分析：为了书写的简便，我们把代数中刚学习过的有关集合的符号，引入立体几何中．把点作为基本元素，直线、平面即为“点的集合”，这样：点A在直线a上，记作A∈a；点A在直线a外，记作A a；点A在平面α内，记作A∈α；点A在平面α外，记作Aα；直线a在平面α内，记作aα；直线a在平面α外，记作aα．公理1用集合符号表示为：A∈a，B∈a，A∈α，B∈α，则有ａα．例1：证明如果一个三角形的两边在一个平面内，那么第三边也在这个平面内．注意：在分析过程中，一定要强调“要证明直线在平面内，则应该证明什么？条件中有没有，没有如何去创造”．通过这种逆推思路的分析，培养学生良好的思考习惯．课堂练习1：判断下列命题的真假①如果一条直线不在平面内，则这条直线与平面没有公共点．（ X ）②过一条直线的平面有无数多个．（V ）③与一个平面没有公共点的直线不存在．（X）④如果线段AB在平面α内，则直线AB也在平面内a．（V）（2）问题2的探究教师提出问题，引发学生思考：自行车有一个脚撑就可站稳，为什么？（因为前轮着地点、后轮着地点、脚撑着地点三点在一个平面上，而且为了站稳，前轮着地点、后轮着地点、脚撑着地点三点不共线，因此我们可以推测：过不共线的三点有且只有一个平面）教师演示：用相交于一点的三根小棍的三个端点作为空间不在一直线上的三个点（如图14-2），当把作为平面的硬纸板放在上面时，这张作为平面的硬纸板不能再“动”了，因为一动就要离开其中的一个点，硬纸板所在平面就不能确定了，正如同刚才的发现：过不共线的三点有且只有一个平面．公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．（如图14-3）公理2也可以简单地说成：不共线的三点确定一个平面．教师出示问题：试举出一个应用公理2的实例．（例如，一扇门用两个合页和一把锁就可以固定了）教师明晰：由于两点确定一条直线，根据公理2容易得出如下推论：推论1 经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面．已知：点A，直线a，A a．（如图14-6）求证：过点A和直线a可以确定一个平面．分析：“确定一个平面”包含两层意思：一是存在，二是唯一．这两层都应证明．（说明：这个证明可以由教师引导学生一起分析完成，但步骤教师一定要板书）证明：存在性．因为A a，在a上任取两点B，C，所以过不共线的三点A，B，C有一个平面α．（公理2）因为B∈α，C∈α，所以a∈α．（公理1）故经过点A和直线a有一个平面α．唯一性．如果经过点A和直线a的平面还有一个平面β，那么Ａ∈β，ａβ，因为B∈ａ，C∈ａ，所以B∈β，B∈β．（公理1）故不共线的三点A，B，C既在平面α内又在平面β内．所以平面α和平面β重合．（公理2）所以经过点A和直线ａ有且只有一个平面．有时“有且只有一个平面”，我们也说“确定一个平面”．类似地可以得出下面两个推论：推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面．（如图14-7）推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．（如图14-8）（3）问题3的探究教师将矩形硬纸板的一顶点放在讲台面上，让学生观察，并同时提出问题：能否说这两个平面只有一个公共点？（不能，因为平面是无限延展的，所以这两个平面应该有一条经过这公共点的直线）教师点拔：我们只能用有限的模型或图形来表示无限延展的平面，所以我们有时要看模型或图形，但又不能受模型或图形的限制来影响我们对平面的无限延展的了解．这个实例说明了平面具有如下性质．公理3 如果两个不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．（如图14-5）公理3的数学符号语言：P∈α，P∈βα∩β＝a，P∈a．教师进一步概括：为了简便，以后说到两个平面，如不特别说明，都是指两个不重合的平面．如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交．这条公共直线叫作这两个平面的交线．由公理３可见，两个平面如果有一个公共点，那么就有无穷多个公共点，所有公共点在公共直线上，即它们的交线上；交线上的每一个点都是两平面的公共点．课堂练习2：判断下列命题的真假．①如果两个平面有两个公共点A，B，那么它们就有无数个公共点，并且这些公共点都在直线AB上．（V）②两个平面的公共点的集合可能是一条线段．（ X ）例2：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内．（如图14-9）已知：AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C．求证：直线AB，BC，AC共面．证法1：因为AB∩AC＝A，所以直线AB，AC确定一个平面α．（推论2）因为B∈AB，C∈AC，所以B∈α，C∈α，故BCα．（公理1）因此，直线AB，BC，CA都在平面α内，即它们共面．证法2：因为A直线BC，所以过点A和直线BC确定平面α．（推论1）因为A∈α，B∈BC，所以B∈α．故ABα，同理ACα，所以AB，AC，BC共面．证法3：因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过A，B，C三点可以确定平面α．（公理2）因为A∈α，B∈α，所以ABα．（公理1）同理BCα，ACα，所以AB，BC，CA三直线共面．思考：在这道题中“且不过同一点”这几个字能不能省略，为什么？（不能，如果三条直线两两相交且过同一点，则这三条直线可以不共面）课堂练习3：1. 三角形、梯形是平面图形吗？（是）2. 四条直线两两相交且不过同一点，这四条直线是否一定共面？（不一定）3. 两个平面最多可以把空间分成几个部分？三个平面呢？例3：(tb2600603)用符号表示下列语句。
第二章 2.1.1空间点、直线、平面之间的位置关系
§2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平 面学习目标 1.了解平面的表示方法，点、直线与平面的位置关系.2.掌握关于平面基本性质的三个公理.3.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系.知识点一 平面 1.平面的概念(1)平面是最基本的几何概念，对它加以描述而不定义. (2)几何中的平面的特征：⎩⎪⎨⎪⎧绝对的平无限延展不计大小不计厚薄2.平面的画法常常把水平的平面画成一个平行四边形，并且其锐角画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来3.平面的表示方法(1)用希腊字母表示，如平面α，平面β，平面γ.(2)用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示，如平面ABCD .(3)用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示，如平面AC，平面BD.知识点二点、直线、平面之间的位置关系及其表示方法1.直线在平面内的概念如果直线l 上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.2.点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达文字语言符号语言图形语言A在l外A∉lA在l上A∈lA在α内A∈αA在α外A∉αl在α内l⊂αl在α外l⊄αl，m相交于A l∩m＝Al，α相交于A l∩α＝Aα，β相交于l α∩β＝l知识点三平面的基本性质公理文字语言图形语言符号语言作用公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α①确定直线在平面内的依据②判定点在平面内公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α①确定平面的依据②判定点线共面公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l①判定两平面相交的依据②判定点在直线上1.两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.(×)2.两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，记作α∩β＝A.(×)3.空间不同三点确定一个平面.(×)4.两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.(√)题型一图形语言、文字语言、符号语言的相互转换例1用符号表示下列语句，并画出图形.(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上.考点平面的概念、画法及表示题点自然语言、符号语言与图形语言的互化解(1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图.(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB，如图.反思感悟(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.跟踪训练1(1)若点A在直线b上，b在平面β内，则点A，直线b，平面β之间的关系可以记作()A.A∈b∈βB.A∈b⊂βC.A⊂b⊂βD.A⊂b∈β(2)如图所示，用符号语言可表述为()A.α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝AB.α∩β＝m，n∈α，m∩n＝AC.α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂nD.α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n考点平面的概念、画法及表示题点自然语言、符号语言与图形语言的互化答案(1)B(2)A题型二点、线共面问题例2如图，已知a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α.考点平面的基本性质题点点线共面问题证明因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，所以直线a⊂β，点P∈β.因为P∈b，b ⊂α，所以P∈α.又因为a⊂α，P∉a，所以α与β重合，所以PQ⊂α.引申探究将本例中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内.证明已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c和l共面.证明：如图，∵a∥b，∴a与b确定一个平面α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.又∵A∈l，B∈l，∴l⊂α.∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理l⊂β.∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B，由公理2的推论知：经过两条相交直线有且只有一个平面，∴平面α与平面β重合，∴a，b，c和l共面.反思感悟证明点、线共面问题的理论及常用方法(1)依据：公理1和公理2.(2)常用方法.①先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；②先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”；③假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”.跟踪训练2如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.考点平面的基本性质题点点线共面问题证明方法一(纳入平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内.方法二(辅助平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.证明点共线、线共点问题典例(1)如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点.证明∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB与CD必交于一点，设AB交CD于M.则M∈AB，M∈CD，又∵AB⊂α，CD⊂β，∴M∈α，M∈β，又∵α∩β＝l，∴M∈l，∴AB，CD，l共点.(2)如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.求证：E，F，G，H四点必定共线.证明∵AB∥CD，∴AB，CD确定一个平面β，∵AB∩α＝E，E∈AB，E∈α，∴E∈β，∴E在α与β的交线l上.同理，F，G，H也在α与β的交线l上，∴E，F，G，H四点必定共线.[素养评析](1)点共线与线共点的证明方法①点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上.②三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.(2)通过证明题的学习，掌握推理的基本形式和规则，形成重论据，有条理，合乎逻辑的思维品质，培养逻辑推理的数学核心素养.1.有以下结论：①平面是处处平的面；②平面是无限延展的；③平面的形状是平行四边形；④一个平面的厚度可以是0.001 cm.其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.4考点平面的概念、面法及表示题点平面概念的应用答案 B解析平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，①②两种说法是正确的；③④两种说法是错误的.故选B.2.若一直线a在平面α内，则正确的作图是()考点平面的概念、画法及表示题点自然语言、符号语言与图形语言的互化答案 A解析B中直线a不应超出平面α；C中直线a不在平面α内；D中直线a与平面α相交.3.如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为()A.A⊂a，a⊂α，B∈αB.A∈a，a⊂α，B∈αC.A⊂a，a∈α，B⊂αD.A∈a，a∈α，B∈α考点平面的概念、画法及表示题点自然语言、符号语言与图形语言的互化答案 B解析点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，表示为A∈a，a⊂α，B∈α.4.能确定一个平面的条件是()A.空间三个点B.一个点和一条直线C.无数个点D.两条相交直线答案 D解析A项，三个点可能共线，B项，点可能在直线上，C项，无数个点也可能在同一条直线上.5.如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________.考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题答案P∈直线DE解析因为P∈AB，AB⊂平面ABC，所以P∈平面ABC.又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直线DE.1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言.文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚.2.在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想.一、选择题1.经过同一条直线上的3个点的平面()A.有且只有一个B.有且只有3个C.有无数个D.不存在答案 C2.满足下列条件，平面α∩平面β＝AB，直线a⊂α，直线b⊂β且a∥AB，b∥AB的图形是()答案 D3.如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则()A.l⊂αB.l⊄αC.l∩α＝MD.l∩α＝N答案 A解析∵M∈a，a⊂α，∴M∈α，又∵N∈b，b⊂α，∴N∈α，又M，N∈l，∴l⊂α.4.下列说法中正确的是()A.三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形C.梯形一定是平面图形D.两个不同平面α和β有不在同一条直线上的三个公共点考点平面的基本性质题点确定平面问题答案 C解析不共线的三点确定一个平面，故A不正确；四边形有时指空间四边形，故B不正确；梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故C正确；两个平面如果相交，一定有一条交线，所有这两个平面的公共点都在这条交线上，故D不正确.故选C.5.下列图形中不一定是平面图形的是()A.三角形B.菱形C.梯形D.四边相等的四边形答案 D解析四边相等的四边形可能四边不共面.6.如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是()A.A，B，C，D四点中必有三点共线B.A，B，C，D四点中不存在三点共线C.直线AB与CD相交D.直线AB与CD平行考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题答案 B解析两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面.7.在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，若EF与HG交于点M，则()A.M一定在直线AC上B.M一定在直线BD上C.M可能在直线AC上，也可能在直线BD上D.M不在直线AC上，也不在直线BD上答案 A解析由题意得EF在平面ABC内，HG在平面ACD内，EF与HG交于点M，∴M一定落在平面ABC与平面ACD的交线AC上.8.空间不共线的四点可以确定平面的个数是()A.0B.1C.1或4D.无法确定答案 C解析若有三点共线，则由直线与直线外一点确定一个平面，得不共线的四点可以确定平面的个数为1；若任意三点均不共线，则空间不共线的四点可以确定平面的个数是4，故选C.二、填空题9.如图所示的图形可用符号表示为________.答案α∩β＝AB10.A，B，C为空间三点，经过这三点的平面有________个.答案1或无数解析当A，B，C不共线时，有一个平面经过三点；当A，B，C共线时，有无数个平面经过这三点.11.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”为________.答案A∈l，l⊄α三、解答题12.若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，求证：O，C，D三点共线.考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题证明∵AC∥BD，∴AC 与BD 确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD .∵l ∩α＝O ，∴O ∈α.又∵O ∈AB ⊂β，∴O ∈直线CD ，∴O ，C ，D 三点共线.13.如图在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是AB 的中点，F 是A 1A 的中点，求证：(1)E ，C ，D 1，F 四点共面；(2)直线CE ，D 1F ，DA 三线共点.考点 平面的基本性质题点 点共线、线共点、点在线上问题证明 (1)如图，连接EF ，D 1C ，A 1B .∵E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点，∴EF ∥A 1B ，且EF ＝12A 1B ， 又∵A 1B ∥D 1C ，且A 1B ＝D 1C ，∴EF ∥D 1C ，且EF ＝12D 1C ，∴E，F，D1，C四点共面.(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈直线CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理，P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA.∴CE，D1F，DA三线共点.14.已知空间三条直线两两相交，点P不在这三条直线上，则由点P和这三条直线最多可以确定的平面个数为________.答案 6解析当三条直线共点但不共面相交时，这三条直线可以确定三个平面，而点P与三条直线又可以确定三个平面，故最多可以确定六个平面.15.如图，在直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线.考点平面的基本性质题点平面基本性质的其他简单应用解很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上.由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示，∵E∈AC，AC⊂平面SAC，∴E∈平面SAC.同理，可证E∈平面SBD.∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，则连接SE，直线SE就是平面SBD和平面SAC的交线.。
2.1.1_空间点、直线、平面之间的位置关系
（1）符号表示： 点A、线a、面α
（2）集合关系：
图形
符号语言
A a Aa
A a Aa
A
A
A
A
文字语言(读法)
点A在直线a上 点A不在直线a上
点A在平面α内 点A不在平面α内
Ab a
a b A 直线a、b交于点A
图形
a
a
a A
符号语言
文字语言(读法)
a 直线a在平面 内
a
直线a与平面
无公共点
C D
B A
C1 D1
B1 A1
在正方体 明理由：
ABCD中 A，1B1判C1D断1 下列命题是否正确，并说
②设正方形ABCD与 A1的B1C中1D心1 分别为O， O1
则平面 A与A1平Cຫໍສະໝຸດ C面的交BB线1D为1D ；
OO1
C
D
O
B A
正确
C1
B1
D1
O1
A1
在正方体 ABCD 中A1，B1C判1D1断下列命题是否正确，并 说明理由：
与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
B
观察长方体，你能发现长方体的两个相交平 面有公共直线吗？
D
这条公共直线B’C’叫做这两个
C 平面A’B’C’D’和平面BB’C’C的交
A
B
线．
另一方面，相邻两个平面有一
个公共点，如平面A’B’C’D’和平
D
C 面BB’C’C有一个公共点B’，经过
A
B
点B有且只有一条过该点的公共直
我们常常把水平的平面画成一个平行四边形， 用平行四边形表示平面．
平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等 于其邻边长的2倍．