16.2.1 第2课时 二次根式的除法
.若W=2400焦耳，R=100欧姆，t=15
秒．试求电流I．
解：当W=2400，R=100，t=15时，
W 2400 8 2 2 2 10 I 安培 . Rt 100 15 5 5 5
能力提升： 7.自习课上，张玉看见同桌刘敏在练习本上写的题 目是“求二次根式 诉 是“
4 9 9 9 5 3 5 (5) 1 . 5 5 5 5 5 5
四 二次根式除法的应用 例4 设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.
已知 S 2 3, b 10 ，求a的值. 解:∵ S ab,
∴ a
S 2 3 2 3 10 30 . b 5 10 10 10
练一练 在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？ 对不是最简二次根式的进行化简．
(1) 45; 1 (2) ; 3 5 (3) ; 2 (4) 0.5; 4 (5) 1 . 5
解：只有(3)是最简二次根式；
(1) 45 3 5; 1 1 1 3 3 (2) ; 3 3 3 3 3 1 1 1 2 2 (4) 0.5 ; 2 2 2 2 2
7 25 25 5 (3) 2 ＝ ＝ ＝ . 解： 9 9 9 3
81 81 9 (4) . 2 25x 25x2 5x
0.09 169 0.09 169 0.3 13 39 (5) . 0.64 196 0.64 196 0.8 14 112
练一练 1.能使等式
学练优八年级数学下（HK） 教学课件
第16章 二次根式
16.2.1 二根次式的乘除
第2课时 二次根式的除法
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
导入新课
情景引入 站在水平高度为h米的地方看到可见的水平距离为d
h 问题1 某一登山者爬到海拔100米处，即 20 时， 5
h 米，它们近似地符合公式为 d 8 5
C. 1＜k≤2
D. 1≤k≤2
4.下列各式的计算中，结果为 2 5 的是（ C ） A. 10 2 C.
1 1 2 40
B. D.
2 5
8 5
5. 化简：
2 27 72 (2) ; (1) ; 3 8 6 解: (1) 72 72 12 2 3. 6 6
18 19 (3) 1 . 27 27
归纳 分母形如 n a 的式子，分子、分母同乘以 a 可 使分母不含根号.
归纳总结
满足如下两个特点：
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简 二次根式. 简记为：一根号无分母，分母无根号；二不能再开方.
在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二 次根式，并且分母中不含二次根式.
归纳总结
二次根式的除法法则:
a a (a 0, b 0). b b
文字叙述: 算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.
当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类 比单项式除以单项式法则，易得
m a m a (a 0, b 0, n 0). n b n b
典例精析
例1 计算：
2 27 2 27 2 3 3 3 3 2 6 (2) . 3 8 2 3 8 3 2 2 2 2 2 (3) 1 18 19 64 64 8 8 3 . 27 27 27 9 27 3 3
6.在物理学中有公式W=I2Rt，其中W表示电功(单位：
焦耳)，I表示电流(单位：安培)，R表示电阻(单位： 欧姆)，t表示时间(单位：秒)，如果已知W、R、t，
3
是不是可以用分数的 基本性质去掉分母的 根号呢？
下面让我们一起来做做看吧：
2 3
概念学习
2 3 6 3 3 3
把分母中的根号化去,使分母变成有理数的这 个过程就叫做分母有理化.
典例精析
例3 计算:
3 (1) ; 5
3 2 8 （2） ; （3） . 27 2a 3 3 5 15 1 . 解:（） 5 5 5 5 3 2 3 2 2 3 6 （2） . 3 27 3 3 3 3 8 2 2 2 2 a 2 a （3） . a 2a 2a a a a
例5 高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”．据
报道：一个30g的鸡蛋从18楼抛下来就可以砸破行人 的头骨，从25楼抛下可以使人当场死亡．据研究从高
2h 空抛物时间t和高度h近似的满足公式t .从100米 10
高空抛物到落地所需时间t2是从50米高空抛物到落地 所需时间t1的多少倍？
t2 解:由题意得 t1 2 100 10 20 2. 10 2 50 10
思考 通过上述二次根式除法运算结果，联想到二 次根式除法运算法则，你能说出二次根式 a 的结 b 果吗？
议一议 问题 在前面发现的规律 范围有没有限制呢？
你们都错啦， a≥0，b＞ 0,b=0时等 式两边的二 次根式就没 有意义啦
a a 中，a,b的取值 b b
a,b同号 就可以啦
不对，同乘 法法则一样， a,b都为非 负数.
.
他看到的水平线的距离d1是多少？ 解：d1 8 20 16 5.
h 问题2 该登山者接着爬到海拔200米的山顶，即 40 5
时，此时他看到的水平线的距离d2是多少？
解：
d2 8 40 16 10.
问题3 他从海拔100米处登上海拔200米高的山顶，
那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？
x x2 x x2
成立的x的取值范围是（ C ）
A.x≠2
2.化简：
B.x≥0
C.x＞2
D.x≥2
5 7 ； (2) 1 ; 64 25 5 5 5 (1) . 解： 64 8 64 (1)
7 (2) 1 25 32 25 32 25
(3) 1.25 .
42 2 4 2 . 5 25
d 2 16 10 . 解： d1 16 5
二次根式的除法 该怎样算呢
思考 乘法法则是如何得出的？除法有没有类似 的法则？
讲授新课
一 二次根式的除法 计算下列各式: (1)
2 4 ___ 3 2 ÷___=____; 3 9 4 16 ___ 4 ÷___=____; 5 5 25
6 36 ___ 7 6 ÷___=____; 7 49
24 (1) ; 3
(2) 3 1 ; 2 8
24 24 8 2 2. 解: (1) 3 3
3 1 3 1 3 (2) 8 12 2 3. 2 8 2 8 2
除式是分数或分式时， 先要转让化为乘法再 进行运算
( 3 ) 3 42； 56
1 1 1 (4)2 1 . 2 2 6
a a3
中实数a的取值范围”，她告
a
刘敏说：你把题目抄错了，不是“
a3 a ”刘敏说：哎呀，真抄错了，好在不影响结 a3
”，而
果，反正a和a-3都在根号内．试问：刘敏说得对吗？ 解：刘敏说得不对，结果不一样．理由如下：
按 解得a＞3或a≤0； 而按 解得a＞3．
a 计算，则a≥0，a-3＞0或a≤0，a-3＜0, a3
4 9
=
2 3 _____;
(2)
(3)
4 16 = _____; 5 25
6 36 = _____. 7 49
观察两者有什么关系？
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式： (1)
4 4 = ； 9 9
16 16 = ； 特殊 25 25
36 36 . 49 49
(2) (3)
一般
a a b b
二 二次根式除法法则的逆用
类似的，把二次根式的除法法则反过来，就得到
a a (a 0, b 0). b b
语言表述：商的算术平方根，等于积中各因式 的算术平方根的商. 我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.
典例精析
例2 化简:
(1) 3 ; 100 (2) 75 ; 27
3 3 解: (1) 100 100
(3) 1.25
5 4
5 5 . 2 4
三 最简二次根式 问题1 你还记得分数的基本性质吗？ 分数的分子与分母都乘同一个非零整式，所得分数
f f ·h ( h 0 ). 与原分数相等.即 g g ·h
问题2 前面我们学习了二次根式的除法法则，你 会去掉 2 这样的式子分母的根号吗？
3 . 10
2
还有其他 解法吗?
75 52 3 5 5 . (2) 2 32 3 27 3 3
75 75 补充解法： 27 27
5 3 5 . 3 3 3
7 (3) 2 ; 9
81 (4) x 0 ; 2 25x
0.09 169 (5) . 0.64 196
a 计算，则a≥0，a-3＞0, a3
课堂小结
法
则
a a (a 0, b 0) b b
m a n b =（m n） a b （a 0, b 0)
拓展法则 二次根 式除法
性
质
a a (a 0, b 0). b b
分母有理化
相关概念
最简二次根式
课后作业
见《学练优》本课时练习
解: ( 3 ) 1 1 1 1 3 1 (4)2 1 2 2 2 6 2 2 6
3 1 （2 2） 2 6
4
3 6 12. 2
归纳 类似(4)中被开方数中含有带分数，应先将带分 数化成假分数，再运用二次根式除法法则进行运算.
16.2.1二次根式的除法PPT学习教案
12 2 3
探究
把 a a 反过来，就可以得到: bb
a b
a （a≥0，b＞0） b
第8页/共18页
利用它可以对二次根式进行化简.
例题讲解
化简: (1)
3 ( 2) 100
100 10
(2)
2 9
5y x2
2 5y 第9页/共18页 9x2
233552 (2 3 5)2
第4页/共18页
302 30
化简二次 根式，就要 把被开方数 中的平方数 （或平方式 ）从根号里 开出来。
讨论
计算：
有什么发现？
(1) 4 2 ( 2) 4 2
93
93
(3) 16 4 ( 3) 第5页/共18页 16 4
25 5
25 5
根据你发现的规律填空：
(1)
2 3
=
2 3
(2)
5 7
=
5 7
一般地，对二次根式的除法，有：
a a （第6页a/共≥108页,b＞0） bb
例题讲解
计算： (1) 24 ( 2) 2 1
3
3 18
解: (1) 24 24 8 2 2
3
3
(2) 2 1 2 1 2 18 3 18 3 18 3
52 y 5 y
32 x2 3x
计算：
(1)
2 (2) 2 3 3
1
解（1） 3
8
2
解法一： 2 3
2 3
23 33
6 32
6 6 32 3
解法二： 2 2 3 6 6 3 3 3 ( 3)2 3
第10页/共18页
(2) 2 3 2 3 3 3 2 6 8 2 2 2 2 2 2
16_2_2二次根式的除法同步作业 解析版【2023春人教版八下数学优质备课】
16.2 二次根式的乘除第 2 课时 二次根式的除法参考答案与试题解析夯基训练知识点1二次根式的除法法则1. 计算√5×√15√3的结果是_____________.1.【答案】52.√a−3√a−1=√a−3a−1成的条件是( )A.a ≠1B.a ≥1且a ≠3C.a>1D.a ≥32.【答案】D解:由√a √a =√a b (a ≥0,b>0),得{a −3≥0a −1≥0所以a ≥3.故选D. 3.计算√34÷√16的结果是( )A.√22B.√24C.3√22D.√32 3.【答案】C解：掌握二次根式的除法，直接计算即可.4.下列计算结果正确的是( )A.2+√3=2√3B.√8÷√2=2C.(-2a 2)3=-6a 6D.(a+1)2=a 2+14.【答案】B 知识点2商的算术平方根的性质 5若√a 2−a =√a √2−a ，则a 的取值范围是( )A ．a ＜2B ．a ≤2C ．0≤a ＜2D ．a ≥05解析：根据题意得⎩⎨⎧a ≥0，2－a ＞0，解得0≤a ＜2.故选C. 方法总结：运用商的算术平方根的性质：√b a =√b √a a ＞0，b ≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件．6化简：(1)√179； (2)√3c 34a 4b 2(a ＞0，b ＞0，c ＞0)．6解析：运用商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根．解：(1)179＝169＝169＝43； (2)3c 34a 4b 2＝3c 34a 4b 2＝c 2a 2b3c . 方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式7.下列各式计算正确的是( ) A.√32=√32 B.√82=√3 C.√34=√32 D.√a 9b =√a 3b 7.【答案】C 8.若√1−a a 2=√1−a a ,则a 的取值范围是( )A.a ≤0B.a<0C.a>0D.0<a ≤18.【答案】D解:由题意得1-a ≥0且a>0,解得0<a ≤1.此题容易忽略1-a ≥0这个条件.9.下列等式不一定成立的是( )A.√a b =√a√b (b ≠0) B.a 3·a −5=1a 2(a ≠0) C.a 2−4b 2=(a+2b)(a-2b)D.(-2a 3)2=4a 69.【答案】A10.下列计算正确的是( )A.√12=2√3B.√32=√32 C.√−x 3=x D.√x 2=x10.【答案】A知识点3 最简二次根式11在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？并说明理由． (1)45；(2)13；(3)52；(4)0.5；(5)145. 解析：根据满足最简二次根式的两个条件判断即可． 解：(1)45＝35，被开方数含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式；(2)13＝33，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式； (3)52，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式；(4)0.5＝12＝22，被开方数含有小数，因此不是最简二次根式； (5)145＝95＝355，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式． 方法总结：解决此题的关键是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母； (2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．题型总结题型1 利用二次根式的乘除法法则计算 12计算：(1)9√45÷3√212×32√223; (2)a 2∙√ab ∙b √b a ÷√9b 2a解析：先把系数进行乘除运算，再根据二次根式的乘除法则运算．解：(1)原式＝9×13×32×45×25×83＝183； (2)原式＝a 2·b ·ab ·b a ·a 9b 2＝a 2b 3a . 方法总结：二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，在运算时要注意运算符号和运算顺序，若被开方数是带分数，要先将其化为假分数． 题型2利用商的算术平方根的性质求代数式的值13.已知√x−69−x =√x−6√9−x ,且x 为奇数,求(1+x)·√x 2−5x+4x 2−1的值. 13.解:∵√x−69−x =√x−6√9−x , ∴{x −6≥09−x ≥0∴6≤x<9. 又∵x 是奇数,∴x=7.∴(1+x)√x 2-5x+4x 2-1=(1+x)√(x -1)(x -4)(x+1)(x -1)=(1+x)√(x -4)(x+1)=√(x +1)(x −4).当x=7时,原式=√(7+1)(7−4)=2√6.题型3 利用商的算术平方根的性质确定字母的取值范围14若√a 2−a =√a √2−a ，则a 的取值范围是( )A ．a ＜2B ．a ≤2C ．0≤a ＜2D ．a ≥0解析：根据题意得⎩⎨⎧a ≥0，2－a ＞0，解得0≤a ＜2.故选C. 方法总结：运用商的算术平方根的性质：b a ＝b a(a ＞0，b ≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件．题型4 利用商的算术平方根的性质化简二次根式15化简：(1)√179； (2)√3c 34a 4b 2(a ＞0，b ＞0，c ＞0)．解析：运用商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根．解：(1)179＝169＝169＝43； (2)3c 34a 4b 2＝3c 34a 4b 2＝c 2a 2b3c . 方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式拓展培优拓展角度1利用二次根式的性质活用代数式表示数16.老师在讲解“二次根式及其性质”时,在黑板上写下了下面的一题作为练习:已知√7=a,√70=b,用含有a,b 的代数式表示√4.9.甲的解法:√4.9=√4910=√49×1010×10=√7×√7010=ab 10; 乙的解法:√4.9=√49×0.1=7√0.1, 因为√0.1=√110=√770=√7√70=a b , 所以√4.9=7√0.1=7·a b =7a b .请你解答下面的问题:(1)甲、乙两人的解法都正确吗?(2)请你再给出一种不同于上面两人的解法.16.解:(1)都正确.(2)∵√10=√707=√70√7=b a , ∴√4.9=√4910=√49×1010×10=710√10=710·b a =7b 10a .拓展角度2 利用二次根式的乘除法法则进行分母有理化(类比思想)19.化简√3+√2,甲、乙两位同学的解法如下:甲:√3+√2=√3-√2(√3+√2)(√3-√2)=√3−√2; 乙:√3+√2=√3+√2=√3+√2)(√3-√2)√3+√2=√3−√2.以上两种化简的步骤叫做分母有理化.仿照上述两种方法化简:√7−√5.19.解:方法1:√7−√5=√7+√5)(√7−√5)(√7+√5)=2(√7+√5)2=√7+√5. 方法2:√7−√5=√7−√5=√7+√5)(√7−√5)√7−√5=√7+√5.拓展角度3二次根式除法的综合运用20座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其周期计算公式为T ＝2π√l g ，其中T 表示周期(单位：秒)，l 表示摆长(单位：米)，g ＝9.8米/秒2，假若一台座钟摆长为0.5米，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声(π≈3.14)?解析：由给出的公式代入数据计算即可．要先求出这个钟摆的周期，然后利用时间除周期得到次数．解：∵T ＝2π√0.59.8≈1.42，60T ＝601.42≈42(次)，∴在1分钟内，该座钟大约发出了42次滴答声．方法总结：解决本题的关键是正确运用公式．用二次根式的除法进行运算，解这类问题时要注意代入数据的单位是否统一．。
人教版数学八年级下册16.2第2课时《二次根式的除法》说课稿
人教版数学八年级下册16.2第2课时《二次根式的除法》说课稿一. 教材分析人教版数学八年级下册16.2第2课时《二次根式的除法》这一节，主要让学生掌握二次根式相除的方法。
在此之前，学生已经学习了二次根式的性质和二次根式的乘法。
本节课的内容是在此基础上进行的，目的是让学生能够运用二次根式的除法解决实际问题，提高他们的数学应用能力。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次根式的性质和乘法有一定的了解。
但是，他们在处理二次根式的除法问题时，可能会感到困惑，对于如何将除法问题转化为乘法问题，以及如何在计算过程中保持二次根式的简洁性，还需要进一步引导和培养。
三. 说教学目标1.让学生掌握二次根式相除的基本方法。
2.培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。
3.提高学生解决实际问题的数学应用能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次根式相除的方法和步骤。
2.教学难点：如何将除法问题转化为乘法问题，以及在计算过程中的简洁性处理。
五. 说教学方法与手段1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究二次根式除法的方法。
2.利用多媒体手段，展示二次根式除法的运算过程，帮助学生直观理解。
3.采用小组合作学习的方式，让学生在讨论中互相学习，共同进步。
六. 说教学过程1.导入新课：回顾二次根式的性质和乘法，引出二次根式的除法。
2.探究新知：学生自主尝试解决二次根式的除法问题，教师引导学生将除法问题转化为乘法问题，并讲解运算过程。
3.例题讲解：教师选取典型例题，讲解二次根式除法的步骤和方法。
4.巩固练习：学生独立完成练习题，教师及时给予反馈和指导。
5.拓展应用：学生分组讨论，将二次根式除法应用于实际问题，分享解题过程和心得。
6.总结归纳：教师引导学生总结二次根式除法的方法和步骤，以及注意事项。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，突出二次根式除法的方法和步骤。
主要包括以下内容：1.二次根式除法的定义。
2.二次根式除法的步骤。
16.2二次根式的乘除法(教案)
1.教学重点
本节课的教学重点主要包括以下内容：
a.掌握二次根式乘法的运算法则，特别是\( \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab} \)的形式，以及如何将其他形式的二次根式乘法转化为这一形式；
b.理解并应用二次根式除法的运算法则，特别是\( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \)和\( \frac{\sqrt{a}}{b} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b^2}} \)的形式，以及如何处理分母中含有二次根式的情况；
（3）\( \sqrt{a^2} \times \sqrt{b^2} = |a||b| \)（a、b为任意实数）
2.掌握二次根式除法的运算法则，能够正确计算以下形式的除法：
（1）\( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \)（a≥0，b＞0）
2.培养学生的逻辑思维能力，使其能够理解并运用二次根式乘除法的性质，解决实际问题；
3.培养学生的数学建模能力，通过解决实际情境中的问题，让学生体会数学知识在实际生活中的应用；
4.培养学生的数学抽象能力，让学生从具体的二次根式乘除运算中抽象出一般性规律，形成数学认知结构；
5.培养学生的合作交流意识，鼓励学生在小组讨论和交流中，共同探索二次根式乘除法的运算规律，提高解决问题的能力。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次根式乘除法相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示二次根式乘除法的基本原理，如使用尺子和直角三角形模型来计算对角线长度。
二次根式的除法-ppt下载
单项式的法则进行运算，将根号外因数(式)之商作为 根号外商的因数(式)，被开方数之商作为被开方数．
（教学提纲）二次根式的除法-ppt下 载【优 质公开 课推荐 】
（教学提纲）二次根式的除法-ppt下 载【优 质公开 课推荐 】
（教学提纲）二次根式的除法-ppt下 载【优 质公开 课推荐 】
（教学提纲）二次根式的除法-ppt下 载【优 质公开 课推荐 】
1 将下列各式分母中的根号去掉：
(1) 1 ； 12
a
(2)
b
；
a
(3) 1 ； 52
(4)
2.
3 22 3
知2－练
（教学提纲）二次根式的除法-ppt下 载【优 质公开 课推荐 】
第十六章 二次根式
16.2 二次根式的乘除
第1课时 二次根式的 除法
1 课堂讲解 二次根式的除法法则
商的算术平方根的性质
最简二次根式
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
二次根式的乘法法则是什么内容？化简二 次根式的一般步骤是什么？
知识点 1 二次根式的除法法则
问题
1.计算：(1) 9 =_______, 9 =_______;
（教学提纲）二次根式的除法-ppt下 载【优 质公开 课推荐 】
（教学提纲）二次根式的除法-ppt下 载【优 质公开 课推荐 】
例1 计算：
(1) 2 4 ；(2) 3 1 .
3
2 18
知1－讲
解：(1) 24 24= 8= 42=2 2; 33
(2) 3131=318=39= 33. 2 18 218 2
【人教版八年级下册】《16.2 二次根式的乘除(第2课时)》教案教学设计
16.2 二次根式的乘除第2课时一、教学目标【知识与技能】1.会进行简单的二次根式的除法运算.2.使学生能利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算.3.理解最简二次根式的概念,并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.【过程与方法】1.在学习了二次根式乘法的基础上进行总结对比,得出除法的运算法则.2.引导学生用从特殊到一般的方法及类比的方法,解决数学问题.【情感态度与价值观】在经历探索二次根式除法运算法则的过程中,认识到事物之间的相互联系,获得成就感,建立学习数学的信心和兴趣.二、课型新授课三、课时第2课时共2课时四、教学重难点【教学重点】会进行简单的二次根式的除法运算,会用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算.【教学难点】二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用.五、课前准备教师：课件、三角尺、直尺等.学生：三角尺、铅笔.六、教学过程（一）导入新课（出示课件2-3）站在水平高度为h米的地方看到可见的水平距离为d米，它们近似地符合公式为d=8√ℎ5.问题1 某一登山者爬到海拔100米处，即ℎ5=20时，他看到的水平线的距离d1是多少？学生答：d1=8√20=16√5问题2 该登山者接着爬到海拔200米的山顶，即ℎ5=40时，此时他看到的水平线的距离d2是多少？学生答：d1=8√40=16√10问题3 他从海拔100米处登上海拔200米高的山顶，那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？解：d2d1=√1016√5教师提出问题：乘法法则是如何得出的？二次根式的除法该怎样算呢？除法有没有类似的法则？（二）探索新知1.探究二次根式的除法（出示课件5） 教师依次出示下列问题： 计算下列各式：（1）√4√9=___÷___=__;√49=_____;（2）√16√25=___÷___=__;√1625=______;（3）√36√49=___÷___=__;√3649=_______;学生依次解答如下：学生1答：（1）√4√9=2÷3=23;√49=23;学生2答：（2）√16√25=4÷5=45;√1625=45;学生3答：（3）√36√49=6÷7=67;√3649=67;教师问： 观察两者有什么关系？出示课件6： 观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式： 依次展示学生答案： 学生1答：（1）√4√9=√49;学生2答：（2）√16√25=√1625;学生3答：（3）√36√49=√3649.教师问：通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根式乘法运算法则，你能说出二次根式√a√b的结果吗？（出示课件7）学生回答：√a√b =√ab.教师问：在前面发现的规律√a√b =√ab中，a,b的取值范围有没有限制呢？学生讨论回答：a≥0，b＞0师生一起归纳总结：（出示课件8）二次根式的除法法则:√a √b =√ab（a≥0，b＞0）教师问：你能利用文字描述二次根式的除法法则吗？学生答：算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.教师追问：当二次根式根号外的因数(式)不为1时，如何处理呢？学生答：类比单项式除以单项式法则进行化简.教师总结如下：文字叙述:算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得√an√b =mn√ab（a≥0，b＞0,n≠0）考点1：利用二次根式的除法法则计算根号外因数是1的二次根式计算：（出示课件9） （1）√24√3;（2）√32÷√118;师生共同讨论解答如下： 解：（1）√24√3=√243=√8=2√2;（2）√32÷√118=√32÷118=√32×18=√3×9=3√3;教师追问：像（2）除式中有分数或分式时，如何化简呢？ 学生答：先要转化为乘法再进行运算.出示课件10，学生自主练习后口答，教师订正.考点2：利用二次根式的除法法则计算根号外因数不是1的二次根式计算: （出示课件11）（1）√425√6;（2）2√112÷12√16;学生独立思考后，师生共同解答. 解：（1）√425√6 =35√426=35√7;（2）2√112÷12√16=（2÷12）√32÷16=（2×2）√32×6=4√9=12;教师问：类似（2）中被开方数中含有带分数的怎样计算呢？ 学生答：应先将带分数化成假分数，再运用二次根式除法法则进行运算.出示课件12，学生自主练习后口答，教师订正.2.探究商的算术平方根的性质从前面知识点1的题目我们可以得到下面三个等式：（1）√49=√4√9;（2）√1625=√16√25;（3）√3649=√36√49.教师问：通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根式乘法运算法则，你能说出二次根式√ab的结果吗？学生回答:√ab =√a√b.教师问：在前面发现的规律√ab =√a√b中，a,b的取值范围有没有限制呢？学生回答：a≥0，b＞0师生一起归纳总结：（出示课件13）二次根式的商的算术平方根的性质:√a b =√a√b（a≥0，b＞0）教师问：你能利用语言描述商的算术平方根的性质吗？学生答:商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.考点1：商的算术平方根的性质的应用 化简:（出示课件14-15） （1）√3100 ;（2）√7527; （3）√279;（4）√8125x2(x>0); （5）√0.09×1690.64×196.学生独立思考后，师生共同解答. 展示学生答案如下： 学生1解：（1）√3100=√3√100 =√310; 学生2解：（2）√7527=√52×3√32×3=√52√32=53;学生3补充解法：√7527=√75√27 =√33√3=53.学生4解：（3）√279=√259=√25√9=53; 学生5解：（4）√8125x2==√92√（5x ）=95x;学生6解：（5）√0.09×1690.64×196=√0.32× 132√0.82×142=0.3×130.8×14=39112.教师问：像（5）可以如何计算的呢？学生答：可以先用商的算术平方根的性质，再运用积的算术平方根性质.出示课件16，学生自主练习，教师给出答案。
16.2《二次根式的除法》教案
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次根式除法的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对二次根式除法的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
iii.分母有理化；
iv.应用二次根式除法解决实际问题。
二、核心素养目标
《二次根式的除法》核心素养目标：
1.培养学生的数学抽象能力，通过二次根式的除法运算，让学生理解和掌握数学表达式的抽象化过程；
2.提升学生的逻辑推理能力，引导学生通过分母有理化等方法，合理运用运算规律，进行逻辑推理和化简；
3.增强学生的数学建模意识，将二次根式除法应用于解决实际问题，培养学生建立数学模型解决现实情境中的问题；
另外，我发现学生们在解决复杂的二次根式除法问题时，仍然会犯一些基本的运算错误。这提示我，在后续的教学中，需要加强对基本运算技能的训练，让学生们通过大量的练习来提高他们的运算速度和准确度。
在总结回顾环节，我试图让学生们自己总结今天的学习内容，这样做有助于他们更好地内化知识。但我也意识到，可能需要更多的时间让学生们提问和解答疑问，确保他们真正掌握了课程的核心内容。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调分母有理化和二次根式除法的运算规则这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和逐步解析来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次根式除法相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，比如用实际物品来模拟二次根式除法的过程，演示其基本原理。
在新课讲授后的实践活动中，学生分组讨论和实验操作的部分非常活跃，他们能够将所学的知识应用到解决实际问题中。这让我感到欣慰，因为这说明学生们开始学会将理论知识转化为实际操作能力。
二次根式的除法
二次根式的除法在数学中，二次根式是指含有根号的表达式，其中根号下的被开方数可以是任意实数。
而二次根式的除法则是指对含有二次根式的表达式进行除法运算。
本文将详细介绍二次根式的除法规则和示例。
1. 二次根式的基本形式二次根式的一般形式可以表示为：√a，其中a是一个非负的实数。
如果a是一个完全平方数，那么二次根式可以被简化为一个有理数；否则，二次根式就是一个无理数。
2. 二次根式的除法规则当我们需要对两个二次根式进行除法运算时，可以使用以下规则：规则1：若两个二次根式的被开方数相同，则可以直接将它们的系数相除。
规则2：若两个二次根式的被开方数不相同，可以使用有理化的方法，将二次根式的分母进行有理数化，然后按照规则1进行运算。
下面通过示例来解释以上规则：示例1：计算√24 / √6首先，我们将分母有理化，即将√6进行有理数化：√6 = √(2 * 3) = √2 * √3现在我们可以进行除法运算：√24 / √6 = (√24) / (√2 * √3)根据规则1，我们可以将二次根式的系数相除：= (√(24/2) * √(2/3))= (√12 * √(2/3))再继续进行化简：= (√(2 * 2 * 3) * √(2/3))= (2 * √6 * √(2/3))最后，我们可以合并同类项：= 2√(6 * (2/3))= 2√(4)= 2 * 2= 4所以，√24 / √6 = 4。
示例2：计算(√8 - √2) / (√3 - 1)首先，我们将分母进行有理数化：(√3 - 1) = (√3 - 1) * (√3 + 1) / (√3 + 1)= (√3^2 - 1) / (√3 + 1)= (3 - 1) / (√3 + 1)= 2 / (√3 + 1)现在我们可以进行除法运算：(√8 - √2) / (√3 - 1) = (√8 - √2) / (2 / (√3 + 1))根据规则2，我们可以将分子的分母有理化：= (√8 - √2) * (√3 + 1) / 2继续进行运算：= (√(8 * 3) + √(8 * 1) - √(2 * 3) - √(2 * 1)) / 2= (√24 + √8 - √6 - √2) / 2最后，我们可以合并同类项：= (2√6 + √8 - √6 - √2) / 2= (√6 + √8 - √2) / 2所以，(√8 - √2) / (√3 - 1) = (√6 + √8 - √2) / 2。
《二次根式的除法》课件PPT1
3
3 3 ( 3)2
3
4 12x 2 y
5
(2) 2 3 2 3 8 22
(3) 27 27
3x
3x
3 3 2 6
2
2 2
2
3x 9 x 3 x
3x
3x
x
结论：在二次根式的运算中，一般要求最后结果的 分母中不含根式，所以必须要分母有理化。
1. m＞5
2. 3.
【答案】
解决问题
a= b
a
b （a≥0，b＞0）
二次根式除法法则:
两个二次根式相除，把它们的被开方数相除所得的 商，作为商的被开方数；
二次根式除法法则: 例1.计算：
a= b
a
b （a≥0，b＞0）
(1) 32 （2） 2
24 ； （3） 3
(1) 32 32 16 4
2
2
(21) 24 24 8 4 2 2 2
复知习识旧回知顾
1.二次根式的乘法法则：
a b aba 0，b 0
即：两个二次根式相乘,等于把它们的被开方数相乘作 为积的被开方数；
2.公式的逆用： ab a ba 0，b 0
即：积的算术平方根等于各因式的算术平方根的积.
化简二次根式
它的作用?
把开方开得尽的因数或因式,开方后移到根号外.
（2） 75 = 52 3 = 52 = 5 27 32 3 32 3
或 75 75 52 3 5 3 5 27 27 32 3 3 3 3
(3)
25 9x
y
2
25 y
9x2
52 ：计算. (综合运用:既计算又化简)
1 3 ; 2 3 2 ; 3 8 .
第2课时 二次根式的除法教案
第2课时二次根式的除法●学习目标1．探索二次根式的除法法则，会用法则进行除法运算．2．理解最简二次根式的概念，能将二次根式化为最简二次根式．●学习重点二次根式的除法法则的探究和应用．●学习难点二次根式的除法法则的双向使用．教学设计一师一优课一课一名师(设计者：)教学过程设计一、创设情景明确目标1．二次根式的乘法法则是什么？完成下列填空：(1)（－0.09）×（－0.25）＝__0.15__；23×32＝__66__．(2)若b2（a＋1）＝b a＋1，则a__≥－1__，b__≥0__．(填取值范围)2．一个矩形的面积是6cm2，一个正方形的面积是矩形面积的2倍．这个正方形的面积是多少？这个矩形的面积是正方形面积的几分之几？相信你能列出代数式来，但是怎样化简这两个式子呢？这就是我们这节课学习的主要内容．二、自主学习指向目标自学教材第8页至第10页的内容，思考下列问题：1．二次根式的除法法则是什么？a b ＝ab(a≥0，b＞0)．(1)你能用文字语言叙述这一法则吗？(一个非负数的算术平方根除以一个正数的算术平方根等于这个非负数与这个正数的商的算术平方根．)(2)二次根式的乘法与除法法则中b的取值范围不同，你知道为什么吗？(当b＝0时，式子无意义．)2．商的算术平方根的性质是什么？a b＝ab(a≥0，b＞0)该性质与二次根式的除法法则有什么关系？(互逆关系．)3．最简二次根式的特点是：(①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．)三、合作探究达成目标探究点一二次根式的除法法则活动1：阅读教材第8页探究，完成探究题中的填空，思考下列问题：(1)你发现什么规律？(每组两个计算结果相等．)(2)你能用字母表示你发现的规律吗？(3)这个规律的左边表示两个二次根式之间进行什么运算？右边表示它们之间的什么结果？(左边是两个二次根式相除，右边表示它们的商的结果．) 展示点评：一般地，对二次根式的除法法则是 a b ＝a b (a ≥0，b ＞0)． 小组讨论：二次根式除法法则中为什么强调a ≥0，b ＞0?反思小结：二次根式的除法公式必须要求公式中的每个二次根式都必须满足二次根式的定义中的条件，对于分母中的二次根式还要让分母不能等于0．这是该公式的重要条件，是今后解决有关计算的理论依据．针对训练1.123＝__2__，20÷10＝__2__； 2.a b＝a b 成立的条件是a__≥__0，b__＞__0. 探究点二 二次根式除法法则的应用活动2：阅读教材第8页例4，思考下列问题：(1)第(1)小题各步计算的依据是什么？你还有别的算法吗？展示点评：依据分别是二次根式除法法则、积的算术平方根的性质．小组讨论：第(2)小题与第(1)小题形式上有什么区别？各步的依据是什么？计算结果都有什么要求？反思小结：两个二次根式相除，把被开方数相除，再把结果化简．针对训练3．计算：(1)18÷2； (2)726. 答案：(1)3 (2)2 3.探究点二 商的算术平方根的性质活动3：把二次根式的除法公式反过来，就可以得到a b ＝a b(a ≥0，b ＞0) 这就是商的算术平方根的性质，用文字如何叙述这个性质？展示点评：一个非负数a 与正数b 的商的商的算术平方根等于非负数a 的算术平方根与正数b 的算术平方根的商．小组讨论：(1)第(1)小题中的每一步化简依据是什么？(2)第(2)小题与第(1)小题的区别在哪里？反思小结：当二次根式的被开方数中含有分母时，二次根式不是最简形式，因此要用商的算术平方根的性质进行化简．针对训练4．化简：(1)949(请用两种方法化简)； (2)a 2b 4c 2. 解：(1)37 (2)a 2cb. 探究点四 最简二次根式活动4：观察比较例4、例5、例6的计算结果．思考：它们是最简二次根式吗？这些结果有什么共同特点？展示点评：满足(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式两个条件的二次根式叫做最简二次根式．小组讨论：如何化去分母中的根号？反思小结：可用二次根式的性质，乘除法运算法则及分数基本性质化去分母中的根号．针对训练6．下列二次根式是最简二次根式的是( A ) A.21 B.12C.0.2D.20 7．把下列二次根式化成最简二次根式：(1)32 (2)40 (3) 1.5 (4)43 解：(1)42；(2)210；(3)62；(4)233. 四、总结梳理 内化目标(1)二次根式除法公式是：a b ＝a b (a ≥0，b ＞0)；将它反过来得到公式：a b ＝a b(a ≥0，b ＞0)，可以用它化简被开方数含有分母的二次根式；(2)二次根式的计算方法多样，结果一定要化成最简二次根式或整式；(3)最简二次根式的两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含开的尽方的因数或因式．五、达标检测 反思目标1．等式a ＋1a ＋2＝a ＋1a ＋2成立的条件是( C ) A ．a ＞－1 B ．a ＞－2 C ．a ≥－1 D ．a ≥－22．下列二次根式中，最简二次根式是( C )A.15B.0.5C. 5D.50 3．已知菱形的面积为18cm 2，其中一条对角线长22cm ，则另一条对角线的长为__3cm __．(菱形的面积等于两条对角线的积的一半)．4．计算与化简：①2a 6a ②82a ③2427 ④188解：①33 ②2a a ③223 ④325．计算：45÷315×325. 解：1525. 作业练习 深化目标上交作业：教材第10页习题16.2第2、4题，第11页第8题．课后作业：见学生用书部分．●教学反思1．创设情境，复习二次根式的乘积，旨在类比学习二次根式的除法，培养学生继续探究的兴趣．2．二次根式除法的学习过程，按照由特殊到一般的规律，由学生经历思考、讨论、分析的过程，让学生大胆猜测，使学生在交流中体会成功．。