湘教版八年级数学下册《1.4 第2课时 角平分线的性质定理的逆定理》课件
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解析：由已知，O到三角形三边的距离 相等，所以O是三条内角平分线 的交点，AO，BO，CO都是角平分线， 1 所以有∠CBO＝∠ABO＝ ∠ABC， 2 1 ∠BCO＝∠ACO＝ 2∠ACB， ∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°， ∠OBC＋∠OCB＝70°， ∠BOC＝180°－70°＝110°.
E
D A
P
B ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）. ∴∠AOP=∠BOP（全等三角形的对应角相等）. ∴点P在∠AOB 的平分线上.
知识总结
角平分线性质定理的逆定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. D 应用格式： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE. O ∴点P 在∠AOB的平分线上.
讲授新课
一 角平分线的性质定理的逆定理
问题：交换角的平分线的性质中的条件和结论，你能
得到什么命题，这个新命题正确吗？ 角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等. D 几何语言： ∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB ∴ PD= PE
P O E 思考：这个命 题正确吗？ B A C
点P在∠A的平分线上.
D
N P
F
M
C
B
E
结论：三角形的三条内角平分线交于一点，并
且这点到三边的距离相等.
变式1：如图，在△ABC中，AP平分∠BAC，BD平分
∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4, (1)求点O到△ABC三边的距离和.
B
12
O
P
A
D M
C
温馨提示：不存在垂线段———构造应用
第1章 直角三角形
1.4角平分线的性质
第2课时 角平分线的性质定理的逆定理
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.理解角平分线性质定理的逆定理.(难点）
2.掌握角平分线性质定理的逆定理的证明方法并应用其
解题.（重点）
3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上.
导入新课
复习回顾 1.叙述角平分线的性质定理 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
P E A C
B
典例精析 例1：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公
路的距离相等，并且离公路与铁路交叉处距离为500米，
这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？ 解：作夹角的角平分线OC，
O
截取OD=2.5cm ,D即为所求.
S D
C
方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到 两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平 分线，再在这条角平分线上根据要求取点.
二 三角形的内角平分线
活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你
发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点
活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一
量，每组垂线段，你发现了什么？
你能证明这 个结论吗？ 发现：过交点作三角形三边的垂线段相等
证一证 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，
几何语言描述： ∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB.
∴ PD= PE. 不必再证全等
A
D C
P到OA的距离
角平分线上的点
P到OB的距离
P
O E B
2.我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相
等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平
分线上呢？ 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
图形
已知 条件 结论
当堂练习
1. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路
MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得
它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P.
A M P 小区C
O
N
B
2. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，
PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到 PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分 ∠BAC，并说明理由． 解：AD平分∠BAC．理由如下： ∵D到PE的距离与到PF的距离相等，
猜想: 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
证明猜想 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E， PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上. ∵PD⊥OA,PE⊥OB. 证明：作射线OP， ∴∠PDO=∠PEO=90°， 在Rt△PDO和Rt△PEO 中， OP=OP PD= PE（已知 ）， （公共边），O
B
O
P
A
D M
C
知识与方法
1.应用角平分线性质： 存在角平分线
涉及距离问题
条件
2.联系角平分线性质： 距离 面积 周长
1 s ch 2
例2 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O 到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的 度数为( A ) A．110° B．120° C．130° D．140°
变式1：如图，在△ABC中，AP平分∠BAC，BD平分 ∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,OM＝4.
(2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.
解：连接OC，过O作ON⊥BC，OE⊥AB，垂足分别 为N，E.
SABC SAOC SBOC SAOB 1 1 1 AC OM BC ON AB OE 2 2 2 1 OM ( AC BC AB) 2 1 4 32 64 2
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 证明：过点P作PD，PE， PF分别垂直于AB，BC， CA，垂足分别为D，E，F. ∵BM是△ABC的角平分线， 点P在BM上， ∴PD=PE.同理PE=PF. ∴PD=PE=PF.
B A N
D
P
F
M
C
E
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形 的三条内角平分线有什么关系？ A
方法总结 由已知，O 到三角形三边的距离相等，得O是
三条内角平分线的交点，再利用三角形内角和定理
即可求出∠BOC的度数．
归纳总结 角的平分线的性质 角的平分线的判定 C P OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E PD=PE C P PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E OP平分∠AOB
解析：由已知，O到三角形三边的距离 相等，所以O是三条内角平分线 的交点，AO，BO，CO都是角平分线， 1 所以有∠CBO＝∠ABO＝ ∠ABC， 2 1 ∠BCO＝∠ACO＝ 2∠ACB， ∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°， ∠OBC＋∠OCB＝70°， ∠BOC＝180°－70°＝110°.
E
D A
P
B ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）. ∴∠AOP=∠BOP（全等三角形的对应角相等）. ∴点P在∠AOB 的平分线上.
知识总结
角平分线性质定理的逆定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. D 应用格式： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE. O ∴点P 在∠AOB的平分线上.
讲授新课
一 角平分线的性质定理的逆定理
问题：交换角的平分线的性质中的条件和结论，你能
得到什么命题，这个新命题正确吗？ 角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等. D 几何语言： ∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB ∴ PD= PE
P O E 思考：这个命 题正确吗？ B A C
点P在∠A的平分线上.
D
N P
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M
C
B
E
结论：三角形的三条内角平分线交于一点，并
且这点到三边的距离相等.
变式1：如图，在△ABC中，AP平分∠BAC，BD平分
∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4, (1)求点O到△ABC三边的距离和.
B
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D M
C
温馨提示：不存在垂线段———构造应用
第1章 直角三角形
1.4角平分线的性质
第2课时 角平分线的性质定理的逆定理
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.理解角平分线性质定理的逆定理.(难点）
2.掌握角平分线性质定理的逆定理的证明方法并应用其
解题.（重点）
3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上.
导入新课
复习回顾 1.叙述角平分线的性质定理 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
P E A C
B
典例精析 例1：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公
路的距离相等，并且离公路与铁路交叉处距离为500米，
这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？ 解：作夹角的角平分线OC，
O
截取OD=2.5cm ,D即为所求.
S D
C
方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到 两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平 分线，再在这条角平分线上根据要求取点.
二 三角形的内角平分线
活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你
发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点
活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一
量，每组垂线段，你发现了什么？
你能证明这 个结论吗？ 发现：过交点作三角形三边的垂线段相等
证一证 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，
几何语言描述： ∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB.
∴ PD= PE. 不必再证全等
A
D C
P到OA的距离
角平分线上的点
P到OB的距离
P
O E B
2.我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相
等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平
分线上呢？ 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
图形
已知 条件 结论
当堂练习
1. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路
MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得
它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P.
A M P 小区C
O
N
B
2. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，
PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到 PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分 ∠BAC，并说明理由． 解：AD平分∠BAC．理由如下： ∵D到PE的距离与到PF的距离相等，
猜想: 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
证明猜想 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E， PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上. ∵PD⊥OA,PE⊥OB. 证明：作射线OP， ∴∠PDO=∠PEO=90°， 在Rt△PDO和Rt△PEO 中， OP=OP PD= PE（已知 ）， （公共边），O
B
O
P
A
D M
C
知识与方法
1.应用角平分线性质： 存在角平分线
涉及距离问题
条件
2.联系角平分线性质： 距离 面积 周长
1 s ch 2
例2 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O 到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的 度数为( A ) A．110° B．120° C．130° D．140°
变式1：如图，在△ABC中，AP平分∠BAC，BD平分 ∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,OM＝4.
(2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.
解：连接OC，过O作ON⊥BC，OE⊥AB，垂足分别 为N，E.
SABC SAOC SBOC SAOB 1 1 1 AC OM BC ON AB OE 2 2 2 1 OM ( AC BC AB) 2 1 4 32 64 2
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 证明：过点P作PD，PE， PF分别垂直于AB，BC， CA，垂足分别为D，E，F. ∵BM是△ABC的角平分线， 点P在BM上， ∴PD=PE.同理PE=PF. ∴PD=PE=PF.
B A N
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即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形 的三条内角平分线有什么关系？ A
方法总结 由已知，O 到三角形三边的距离相等，得O是
三条内角平分线的交点，再利用三角形内角和定理
即可求出∠BOC的度数．
归纳总结 角的平分线的性质 角的平分线的判定 C P OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E PD=PE C P PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E OP平分∠AOB
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湘教版八年级下册数学：1.4-角平分线的性质-课件(共15张PPT)
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例1、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分 ∠CAB，DE⊥AB于E，F 在AC上，BE＝FC， 求证：BD＝DF.
证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E， ∠C＝90°，∴DE＝DC. 在△BDE和△FDC中， DE=CD ,
∠DEB=∠C,
BE=FC, ∴ △BDE ≌ △FDC （SAS） ∴ BD=DF (全等三角形中对应边相等).
7
合作探究
思 考
分
逆命题
析
到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
它是真命题吗? 如果是.请你证明它.
′ 已知:如图, ∠AOB,
PD⊥OA, PE⊥OB,且PD=PE,垂足分O
A D
P C
别是D,E.
求证:点P在∠AOB的平分线上.
E
分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可
B
以先作出过点P的射线OC,然后证明
11
例2、 如图，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于 点E，
BF和CE相交于点D.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∠BDE＝∠CDF
∠DEB＝∠DFC
BE＝CF
∴△BDE≌△CDF(AAS)，
∴DE＝DF.
C P FB
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分 线上.∵ PF⊥OB，PE⊥OA
且PE＝PF.
∴点P在∠AOB的平分线上.
14
自我检测
1、已知:如图,P是∠AOB平分线上的一点，
PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别C,D.
求证:(1)OC=OD;
例1、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分 ∠CAB，DE⊥AB于E，F 在AC上，BE＝FC， 求证：BD＝DF.
证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E， ∠C＝90°，∴DE＝DC. 在△BDE和△FDC中， DE=CD ,
∠DEB=∠C,
BE=FC, ∴ △BDE ≌ △FDC （SAS） ∴ BD=DF (全等三角形中对应边相等).
7
合作探究
思 考
分
逆命题
析
到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
它是真命题吗? 如果是.请你证明它.
′ 已知:如图, ∠AOB,
PD⊥OA, PE⊥OB,且PD=PE,垂足分O
A D
P C
别是D,E.
求证:点P在∠AOB的平分线上.
E
分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可
B
以先作出过点P的射线OC,然后证明
11
例2、 如图，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于 点E，
BF和CE相交于点D.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∠BDE＝∠CDF
∠DEB＝∠DFC
BE＝CF
∴△BDE≌△CDF(AAS)，
∴DE＝DF.
C P FB
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分 线上.∵ PF⊥OB，PE⊥OA
且PE＝PF.
∴点P在∠AOB的平分线上.
14
自我检测
1、已知:如图,P是∠AOB平分线上的一点，
PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别C,D.
求证:(1)OC=OD;
八年级数学下册直角三角形角平分线的性质角平分线性质定理的应用课件湘教版
(3)CD＋AB＝AD. 理由：如图，∵ME⊥AD，MC⊥CD， ∴∠C＝∠DEM＝90°. 在Rt△DCM和Rt△DEM中， ∵DM＝DM，MC＝ME， ∴Rt△DCM≌Rt△DEM， ∴CD＝ED.同理AE＝AB. ∵ED＋AE＝AD，∴CD＋AB＝AD.
1.4 角平分线的性质
【归纳总结】应用角平分线的性质定理及其逆定理解决问题的 步骤 (1)根据角找出平分线及平分线上的点； (2)过这点找出表示距离的两条线段(或构造垂线段)； (3)得出距离相等(或角相等)的结论．
1.4 角平分线的性质
目标突破
目标一 能运用角平分线的性质定理及其逆定理解决问题
例1 教材补充例题 如图1－4－4，∠B＝∠C＝90°，M是BC的
中点，DM平分∠ADC.
(1)求证：AM平分∠BAD；
(2)试说明线段DM与AM之间有怎样的位置关系；
(3)线段CD，AB，AD之间有怎样的数量关系？
并说明理由．
1.4 角平分线的性质
知识点二 利用角平分线的性质作图
点到角的两边的距离相等的作图转化为作这个角的 ___平__分_线____．
1.4 角平分线的性质
反思
王芳说：一个三角形两个外角的平分线的交点一定在另一个内 角的平分线上．你是否同意王芳的观点？
1.4 角平分线的性质
解：我同意王芳的观点．如图所示，P是△ABC两个外角的平分线的交点，过点 P分别作AB，AC，BC的垂线段PD，PE，PG，可证PD＝PG＝PE，由角平分线性质 定理的逆定理可得点P在另一个内角∠A的平分线上．
图1－4－4
1.4 角平分线的性质
[解析] (1)首先要作辅助线ME⊥AD，则利用角平分线上的点到角两边的 距离相等可知ME＝MC，再利用中点的条件可知ME＝MB，然后利用角平分 线性质定理的逆定理即可证明AM平分∠BAD.(2)根据平行线的性质得出 ∠CDA＋∠BAD＝180°，求出∠ADM＋∠DAM＝90°，根据三角形内角和定 理求出∠AMD的度数即可．(3)证Rt△DCM≌Rt△DEM，推出CD＝ED，同理 得出AE＝AB，即可得出答案．
湘教版八年级数学下册1.4角平分线的性质(第2课时)
O E ②PD、PE分别是点P到OA、OB的距离；
C P B
③PD=PE.
则OC是∠AOC的平分线.
3.转化方法在几何问题中应用，往往是先通过条 件得出相等的线段或相等的角，然后把问题中的 线段或角换成与之相等的线段或角，从而将所求
或需证明的问题转化为其它的问题，完成解答或
证明.转化是一种重要的数学思想.
作法： A B P C 1.作∠A的平分线； 2.作∠B的平分线,与∠A的平分
线相交于点P.
则点P到△ABC三边的距离相等.
方 法 小 结：
转化是数学中是一种重要的数学思想.在几何问 题中，先通过条件得出相等的线段或相等的角， 然后将所求或需证明的问题转化为其它的问题，
从而一点，EC⊥OA
图1-27
如图 1-29 ，已知 EF⊥CD ， EF⊥AB ， MN⊥AC ， M是EF的中点.需添加一个什么条件，就可使CM， AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？
C N A 分析：根据角平分线的性质定理的逆 D 定理可知：已知ME⊥CD，MN⊥CA， 还需补充条件 MN=ME ，才能 M 得出CM为∠ACD的平分线. 因为MF=ME，所以 MN=MF ， F B 同理可得AM为∠ACD的平分线. E
A E
∴ ∠ECD=∠EDC.
O D B
（2） 在Rt△OCE和Rt△ODE中，
∵ EC=ED，
OE=OE， ∴ Rt△OCE≌Rt△ODE. ∴ OC=OD.
2.如图，在△ABC中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC， BC分别平分∠BAD，∠ABE，点C在线段DE上. 求证：AB=AD+BE. A B
如图 1-29 ，已知 EF⊥CD ， EF⊥AB ， MN⊥AC ， M 是 EF 的中点 . 需添加一个什么条件，就可使 CM ， AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？
C P B
③PD=PE.
则OC是∠AOC的平分线.
3.转化方法在几何问题中应用，往往是先通过条 件得出相等的线段或相等的角，然后把问题中的 线段或角换成与之相等的线段或角，从而将所求
或需证明的问题转化为其它的问题，完成解答或
证明.转化是一种重要的数学思想.
作法： A B P C 1.作∠A的平分线； 2.作∠B的平分线,与∠A的平分
线相交于点P.
则点P到△ABC三边的距离相等.
方 法 小 结：
转化是数学中是一种重要的数学思想.在几何问 题中，先通过条件得出相等的线段或相等的角， 然后将所求或需证明的问题转化为其它的问题，
从而一点，EC⊥OA
图1-27
如图 1-29 ，已知 EF⊥CD ， EF⊥AB ， MN⊥AC ， M是EF的中点.需添加一个什么条件，就可使CM， AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？
C N A 分析：根据角平分线的性质定理的逆 D 定理可知：已知ME⊥CD，MN⊥CA， 还需补充条件 MN=ME ，才能 M 得出CM为∠ACD的平分线. 因为MF=ME，所以 MN=MF ， F B 同理可得AM为∠ACD的平分线. E
A E
∴ ∠ECD=∠EDC.
O D B
（2） 在Rt△OCE和Rt△ODE中，
∵ EC=ED，
OE=OE， ∴ Rt△OCE≌Rt△ODE. ∴ OC=OD.
2.如图，在△ABC中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC， BC分别平分∠BAD，∠ABE，点C在线段DE上. 求证：AB=AD+BE. A B
如图 1-29 ，已知 EF⊥CD ， EF⊥AB ， MN⊥AC ， M 是 EF 的中点 . 需添加一个什么条件，就可使 CM ， AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？
湘教版八年级下册1.4角平分线的性质课件(共27张PPT)
1.4 角平分线的性质
例题2 如图1-4-9, BD是∠ABC的平分线, AB=BC, 点P在BD上, PM⊥AD, PN⊥CD, 垂足分别是 M, N．试说明PM=PN.
1.4 角平分线的性质
分析 根据角平分线的定义, 可得∠ABD= ∠CBD, 然后利用“SAS” 证明
△ABD 和△CBD全 等, 再根据全等三角形的对应角相等, 可得∠ADB= ∠CDB, 然后根据角平分线上的点到角的两边的距离 相等即可证明.
第1章 直角三角形
1.4 角平分线的性质
第1章 直角三角形
1.4 角平分线的性质
考场对接
1.4 角平分线的性质
考场对接
题型一 运用角平分线的性质定理证明线段相等
例题1 如 图 1 - 4 - 8 所 示 , AD是△ABC的角平分线, DE, DF 分别是 △ ABD和 △ A C D 的 高 . 求证：AE=AF.
1.4 角平分线的性质
题型四 运用角平分线的性质定理解决其他几何问题
例题5 如图1-4-13所示, 在Rt△ABC中, ∠C=90°, AC=BC, AD平分 ∠CAB, 交BC于点D, DE⊥AB于点E, 且AB=6 cm, 求△BDE的周长.
1.4 角平分线的性质
解： ∵AD平分∠CAB, ∴∠1=∠2. ∵DC⊥AC, DE⊥AB, ∴DE=DC, ∴BD+DE=BD+DC=BC. 由已知易证△ADE≌△ADC, ∴AE=AC. 又∵BC=AC, ∴BC=AE, ∴BD+DE=AE, ∴BD+DE+BE=AE+BE=AB. ∵AB=6 cm, ∴BD+DE+BE=6 cm, 即△BDE的周长为6 cm.
湘教初中数学八下《1.4角平分线的性质》课堂教学课件
∴ PD = PE.
图1-26
结论
由此得到角平分线的性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
动脑筋
角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平 分线上吗？
如图1-27，点P 在∠AOB 的内部， 作PD⊥OA， PE⊥OB， 垂足分别为点D，E. 若PD= PE， 那么点P 在∠AOB的平分线上吗？
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本课节内容 1.4
角平分线的性质
角平分线是以一个角的顶点为端点的一条 射线，它把这个角分成两个相等的角.
探究
如图1-26，在∠AOB的平分线OC上任取一点P， 作PD⊥OA ， PE⊥OB ， 垂足分别为点D， E， 试问PD与PE相等吗？
直角三角形两个锐角互余
性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
直
勾股定理
角
有一个角是直角的三角形是直角三角形
三
判定
有两个角互余的三角形是直角三角形
角
形
勾股定理的逆定理
全等判定方法
SAS ASA AAS SSS
HL
角平分线
角的平分线上的点到角的两边的距离相等 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
∵ ∠1=∠2， ∴ BA = BC. 又 BA⊥AD， BC⊥CD， ∴ 点B在∠ADC的平分线上.
图1-28
（2）求证：BD是∠ABC的平分线. 证明： 在Rt△BAD和Rt△BCD中，
∵ BA = BC， BD = BD， ∴ Rt△BAD≌Rt△BCD. ∴ ∠ABD =∠CBD. ∴ BD是∠ABC的平分线.
图1-26
结论
由此得到角平分线的性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
动脑筋
角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平 分线上吗？
如图1-27，点P 在∠AOB 的内部， 作PD⊥OA， PE⊥OB， 垂足分别为点D，E. 若PD= PE， 那么点P 在∠AOB的平分线上吗？
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本课节内容 1.4
角平分线的性质
角平分线是以一个角的顶点为端点的一条 射线，它把这个角分成两个相等的角.
探究
如图1-26，在∠AOB的平分线OC上任取一点P， 作PD⊥OA ， PE⊥OB ， 垂足分别为点D， E， 试问PD与PE相等吗？
直角三角形两个锐角互余
性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
直
勾股定理
角
有一个角是直角的三角形是直角三角形
三
判定
有两个角互余的三角形是直角三角形
角
形
勾股定理的逆定理
全等判定方法
SAS ASA AAS SSS
HL
角平分线
角的平分线上的点到角的两边的距离相等 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
∵ ∠1=∠2， ∴ BA = BC. 又 BA⊥AD， BC⊥CD， ∴ 点B在∠ADC的平分线上.
图1-28
（2）求证：BD是∠ABC的平分线. 证明： 在Rt△BAD和Rt△BCD中，
∵ BA = BC， BD = BD， ∴ Rt△BAD≌Rt△BCD. ∴ ∠ABD =∠CBD. ∴ BD是∠ABC的平分线.
最新湘教初中数学八年级下册《1.4角平分线的性质》精品PPT课件 (2)
［教学内容3］ 把简易平分角的仪器放在角的 两边时，平分角的仪器两边AB 与AD相等，从几何作图角度怎 么画？BC=DC，从几何作图角度 怎么画？
A·
B·
·D
C·
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探究体验
［教学内容3］角平分线的画法： (１)以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于 N．
（２）分别以M，N为圆心．大于MN一半的长为半径作
（SSS）
∴∠MOC=∠NOC 即：OC平分∠AOB
B
N
O
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探究体验
［教学内容4］
C
操作：
（1）作一个平角∠AOB的
平分线OC，
（2）反向延长OC得到直线 CD.
A
.
O
B
思考1：请说出直线CD与AB
的位置关系.
D
思考2：作出一个45º的角.
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探究体验
［教学内容5］ 操作：用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在 一起，把对折后的纸片继续折一次，折出一个直三角形 （使第一次的折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠 形成的三条折痕. 问题1：第一次的折痕和角有什么关系？为什么？ 问题2：第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系， 它们的长度有何关系？
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探究体验
2．探究体验［教学内容6］ 如图：按照折纸的顺序画出角及折纸形成的三条 折痕.分组讨论、交流，再利用几何画板软件验 证结论，并用文字语言阐述得到的性质. 结合图形写出已知，求证，分析后写出证明过程.
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探究体验
［教学内容6］ 结论：角平分线上的点到角的两边的距离相等 题设：一个点在一个角的平分线上 结论：它到角的两边的距离相等
A·
B·
·D
C·
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探究体验
［教学内容3］角平分线的画法： (１)以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于 N．
（２）分别以M，N为圆心．大于MN一半的长为半径作
（SSS）
∴∠MOC=∠NOC 即：OC平分∠AOB
B
N
O
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探究体验
［教学内容4］
C
操作：
（1）作一个平角∠AOB的
平分线OC，
（2）反向延长OC得到直线 CD.
A
.
O
B
思考1：请说出直线CD与AB
的位置关系.
D
思考2：作出一个45º的角.
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［教学内容5］ 操作：用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在 一起，把对折后的纸片继续折一次，折出一个直三角形 （使第一次的折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠 形成的三条折痕. 问题1：第一次的折痕和角有什么关系？为什么？ 问题2：第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系， 它们的长度有何关系？
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探究体验
2．探究体验［教学内容6］ 如图：按照折纸的顺序画出角及折纸形成的三条 折痕.分组讨论、交流，再利用几何画板软件验 证结论，并用文字语言阐述得到的性质. 结合图形写出已知，求证，分析后写出证明过程.
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［教学内容6］ 结论：角平分线上的点到角的两边的距离相等 题设：一个点在一个角的平分线上 结论：它到角的两边的距离相等
湘教版数学八年级下册(新) 课件：1.4.1 角平分线的性质(共12张PPT)
A D
C
角平分线上的点到角的两边的距 离相等。
性质应用所具备的条件：
1.角的平分线； 2.点在该平分线上； 3.该点到角两边的垂直距离。 O 两垂直距离相等。 E
老师提醒：性质的 三个条件必须齐全， 缺一不可。
D
A C
P
性质的结论：
性质的书写格式：
B
∵
OP 是 ∠AOB的平分线
\
PD OA
PE OB
1. 角是轴对称图形吗？如果是，它的 对称轴是什么？ 2. 角平分线的概念 一条射线 将 一个角 分成为两个相 等的角，这条射线就叫做这个角的 角平分线。
角平分线的性质
例 1：
已知：OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D， PE⊥OB于E A
求证: PD=PE
D
C
P
O E B
归纳总结角平分线的性质：
4 如图所示，OC是∠AOB 的平分线，P 是OC上任意 一点,PE⊥OA，垂足为E， DP⊥OC，垂足为P。问： PE=PD吗?为什么?
P O C
D
B
5 ∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴
DB = DC ，
B
角平分线上的任意一点到 （ 角的两边的距离相等。 ）
通过前面的练习，觉得 自己有什么收获吗？ 老师期望: 做完题目后,一定要“悟” 到点东西,纳入到自己的 认知结构中去
角的两边的距离相等。
B A C D
2 ∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ BD = CD ，( 角平分线上的任意一点到 )
角的两边的距离相等。
B C A
D
3 如图所示，OC是∠AOB 的平分线,P 是OC上任意一 点,问：PE=PD吗?为什么?
湘教版数学八年级下册 1.4角平分线的性质课件
角平分线的性质
教学目的：
学习角平分线的性质定理
重点：
角平分线的性质定理
难点：
角平分线性质定理的应用
课前思考与回顾
如何用尺规作角的平分线？
作法：
A
１．以Ｏ为圆心，适当 长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，
Ｍ
交ＯＢＮ于．
Ｃ
２．分别以Ｍ，Ｎ为
圆心．大于 ＭＮ的长为
半径作弧．两弧在∠AOB
Ｂ
Ｎ
Ｏ
的内部交于Ｃ．
３．作射线OC．
10㎝，AC＝5㎝，求BE的长?
如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。 求证：AD是△ABC的角平分线。
A
E
F
B
D
C
应用与提高
已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC
的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF，
求证：CF=EB。
O
E B
动脑筋
2.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB 于E，则：
⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？
⑵哪条线段与DE相等？为什么？
⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6，
求BE，AE的长和△AED的周长。
A
E
D
B
C
练一练
A E
C
B
D
在△ABC中，AC⊥BC，AD为
∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB＝
证明:
∵PD⊥OA,PE⊥OB
∴∠PDO=∠PEO=90°
又∵∠AOC=∠BOC
OP=OP
O
∴△DOP≌△EOP
∴PD=PE
A
D
教学目的：
学习角平分线的性质定理
重点：
角平分线的性质定理
难点：
角平分线性质定理的应用
课前思考与回顾
如何用尺规作角的平分线？
作法：
A
１．以Ｏ为圆心，适当 长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，
Ｍ
交ＯＢＮ于．
Ｃ
２．分别以Ｍ，Ｎ为
圆心．大于 ＭＮ的长为
半径作弧．两弧在∠AOB
Ｂ
Ｎ
Ｏ
的内部交于Ｃ．
３．作射线OC．
10㎝，AC＝5㎝，求BE的长?
如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。 求证：AD是△ABC的角平分线。
A
E
F
B
D
C
应用与提高
已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC
的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF，
求证：CF=EB。
O
E B
动脑筋
2.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB 于E，则：
⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？
⑵哪条线段与DE相等？为什么？
⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6，
求BE，AE的长和△AED的周长。
A
E
D
B
C
练一练
A E
C
B
D
在△ABC中，AC⊥BC，AD为
∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB＝
证明:
∵PD⊥OA,PE⊥OB
∴∠PDO=∠PEO=90°
又∵∠AOC=∠BOC
OP=OP
O
∴△DOP≌△EOP
∴PD=PE
A
D
初中数学湘教版八年级下册1.4 第2课时 角平分线的性质定理的逆定理课件
O
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm ,D即为所求.
D S
C
方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到 两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平 分线，再在这条角平分线上根据要求取点.
二 三角形的内角平分线
活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你 发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点
OP平分∠AOB
1. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路 MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得 它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P.
A
M
小区C
P
O
N
B
2. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，
PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到
PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分
1.应用角平分线性质： 存在角平分线 条件 涉及距离问题
2.联系角平分线性质：
距离
面积 s 1 ch
周长
2
例2 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O 到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的 度数为( A ) A．110° B．120° C．130° D．140°
解析：由已知，O到三角形三边的距离 相等，所以O是三条内角平分线 的交点，AO，BO，CO都是角平分线， 所以有∠CBO＝∠ABO＝ 1∠ABC， ∠BCO＝∠ACO＝ 12∠ACB2 ， ∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°， ∠OBC＋∠OCB＝70°， ∠BOC＝180°－70°＝110°.
∠BAC，并说明理由．
解：AD平分∠BAC．理由如下： ∵D到PE的距离与到PF的距离相等， ∴点D在∠EPF的平分线上． ∴∠1＝∠2．
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm ,D即为所求.
D S
C
方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到 两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平 分线，再在这条角平分线上根据要求取点.
二 三角形的内角平分线
活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你 发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点
OP平分∠AOB
1. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路 MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得 它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P.
A
M
小区C
P
O
N
B
2. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，
PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到
PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分
1.应用角平分线性质： 存在角平分线 条件 涉及距离问题
2.联系角平分线性质：
距离
面积 s 1 ch
周长
2
例2 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O 到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的 度数为( A ) A．110° B．120° C．130° D．140°
解析：由已知，O到三角形三边的距离 相等，所以O是三条内角平分线 的交点，AO，BO，CO都是角平分线， 所以有∠CBO＝∠ABO＝ 1∠ABC， ∠BCO＝∠ACO＝ 12∠ACB2 ， ∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°， ∠OBC＋∠OCB＝70°， ∠BOC＝180°－70°＝110°.
∠BAC，并说明理由．
解：AD平分∠BAC．理由如下： ∵D到PE的距离与到PF的距离相等， ∴点D在∠EPF的平分线上． ∴∠1＝∠2．
《角平分线的性质定理及其逆定理》PPT课件 湘教版
在Rt△PDO和Rt△PEO中，OP= OP，PD=PE,
O
∴Rt△PDO≌Rt△PEO.∴∠AOC=∠BOC.
∴OC是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线OC上.
由此得到角平分线性质定理的逆定理：
A D
C P
E B
图1-27
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
探究新知
角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上吗? 如图1-27， 点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB.垂足分别为点 D，E.若PD=PE，那么点P在∠AOB的平分线上吗?
巩固练习
1. 如图，一个工厂在A区，它到公路、铁路的距离相等，并且离公路和
铁路的交叉处O点为500m，在图上标出它的位置(比例尺为1∶20000).
解：
500÷20000=0.025m,
E
0.025m=2.5cm 图上距离为2.5cm.
点P即为所求．
PC F
课堂小结
角平分线性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
A D
PC
EB
图1-26
探究新知
角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上吗? 如图1-27， 点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB.垂足分别为点 D，E.若PD=PE，那么点P在∠AOB的平分线上吗?
证明：如图1-27，过点O, P作射线OC.
∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO= ∠PEO= 90°.
A
A（B）
A（B）
A
D
C
PC
PC
O
BO
O
O
EB
探究新知
一般情况下.我们要证明几何命题时，可以按照以下 步骤进行.即: 1.明确命题中的条件和结论； 2.根据题设，画出图形.并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，写出证明过程.