中考数学专题存在性问题解题策略角的存在性处理策略

第1讲 角的存在性处理策略

知识必备

一、一线三等角

1.如图1-1-1，o 90=∠=∠=∠E D ACB 且0

45=∠CAB →CBE ACD ∆∆≌，此为

“一线三直角”全等，又称“K 字型”全等;

图1-1-1 图1-1-2 图1-1-3 图1-1-4

2.如图1-1-2，o

90=∠=∠=∠E D ACB →CBE ACD ∆∆∽，此为“一线三直角”

相似，又称“K 字型”相似;

3.如图1-1-3，o

90=∠=∠=∠E D ACB →CBE ACD ∆∆∽，此为更一般的“一线三等角”.

二、相似三角形的性质

相似三角形的对应边成比例，其比值称为相似比； 相似三角形的对应线段成比例. 三、正切的定义

如图1-1-4，在ABC Rt ∆中，b

a

A =∠tan ，即A ∠的正切值等于A ∠的对边与A ∠的邻边之比；同理，a

b

B =

∠tan ，则1tan tan =∠⋅∠B A ，即互余两角的正切值互为倒数. 方法提炼

一、基本策略：联想构造 二、构造路线

方式(一)：构造“一线三等角”

1.45o 角→构等腰直角三角形→造“一线三直角”全等，如图1-2-1；

图1-2-1

2.30o 角→构直角三角形→造“一线三直角”相似，如图1-2-2；

A

图1-2-2

3.tan α=k →构直角三角形→造“一线三直角”相似，如图1-2-3；

4.“一线三等角”的应用分三重境界；

一重境：当一条线上已有三个等角时，只要识别、证明，直接应用模型解题，如图1-2-4所示的“同侧型一线三等角”及图1-2-5所示的“异侧型一线三等角”；

二重境：当一条线上已有两个等角时，需要再补上一个等角，构造模型解题； 三重境：当一条线上只有一个角时，需要再补上两个等角，构造模型解题，如图1-2-6及图1-2-7所示；

方式

（二）：构造“母子型相似”

“角处理”，还可以在角的一边上某点处作水平或竖直辅助线，造成某水平边或竖直边对此角结构，然后在这条线上补出一个与此角相等的角，构造出“母子型相似

”，其核心结构如图1-2-8所示.

方式（三）：整体旋转法（

*）

DAC DEA

→DA 2=DC ∙DE →DG 2+AG 2=DC ∙DE

定

定

定

定

定

定

定

定

A

A

A

图1-2-3

图1-2-4

图1-2-5

图1-2-6

图1-2-7

图1-2-8

图1-2-10

y x 3

344A'

E'

A E O 前两种构造属静态构造方式，再介绍一种动态构造方式，即整体旋转法，其核心思想是“图形的旋转（运动）本质是图形上点旋转（运动）；反过来，点的旋转（运动）可以看成该点所在图形的旋转（运动）”.

下面以三个问题说明此法：

问题1 已知点A （3，4），将点A 绕原点O 顺时针方向旋转45º角，求其对应点A ’的坐标.

简析 第一步 （“整体旋转”）：如图1-2-9，作AB ⊥y 轴于点B ，则AB =3，OB =4，点A 绕原点O 顺时针方向旋转45º得到点A ’，可看成Rt △OAB 绕原点O 顺时针方向旋转45º得到Rt △OA ’B ‘，则A ’B ’=8，OB ’=4，且∠BOB ’=45º；

第二步（造“一线三直角”）：如图1-2-10,依托旋转后的Rt △OA B '',作系列“水平—竖直辅助线”，构造“一线三直角”，即Rt △OCB '∽Rt △B DA ''；

事实上,Rt △OCB '与Rt △B DA ''都是等腰直角三角形,于是有OC =B C '=22B D '=A D '=

232,故点A '的坐标为722

(

22

； 问题2 已知点(4,6)A ,将点A 绕原点O 顺时针方向旋转a 角,其中tan a =

12

,求其对应

点A '的坐标.

简析 第一步（“整体旋转”）：如图1-2-11,作AB ⊥y 轴于点B,则AB =4,OB =6,将Rt △OAB 绕原点O 顺时针方向旋转a 角得到Rt △OA B '',则A B ''=4,OB '=6,

且tan ∠BOB '=tan a =1

2

；

图1-2-9

图1-2-11 图1-2-12

图1-2-13

图1-2-14

第二步（造“一线三直角”）：如图1-2-12,依托旋转后的Rt △OA B '',作系列“水平—竖直辅助线”，构造“一线三直角”，即Rt △OCB '∽Rt △B DA ''， 于是有B C '=

5

65,OC =

5

125,A D '=

5

45,B D '=

5

85,故点A '的坐标为55

(

,

)55

148.

问题3 已知点(,)A a b ,将点A 绕原点O 顺时针方向旋转a 角,求其对应点A '的坐标. 简析 不是一般性，不妨都在第一象限思考问题： 第一步（“整体旋转”）：如图1-2-13,作AB ⊥y 轴于点B,则AB=a ,OB =b ,将Rt △OAB 绕原点O 顺时针方向旋转a 角得到Rt △OA B '',则A B ''=a ,OB '=b ,且∠BOB '=a ；

第二步（造“一线三直角”）：如图1-2-14,依托旋转后的Rt △OA B '',作系列“水平—竖直辅助线”，构造“一线三直角”，即Rt △OCB '∽Rt △B DA ''， 于是有B C '=sin b a ,OC =cos b a ,A D '=sin a a ,B D '=cos a a , 故点A '的坐标为(,)cos sin cos sin a a b a b a a a +-.

例1(2017•日照)如图1-3-1，在平面直角坐标系中，经过点A 的双曲线同时经过

点B ，且点A 在点B 的左侧，点A 的横坐标为

，∠AOB=∠OBA=45°，则k 的值为_______。

x

y

图1-3-1

B

A

O

x

y

2t t 2图1-3-2

D C B

A

O

简析由题可知，△OAB 为等腰直角三角形；

如图1-3-2，构造“一线三直角”结构，即Rt △OAD ≌Rt △ABC ； 设OD=AC=t ，则A(

，t)，B(

，

)，从而有

t=(

)()，解得

；

因此有。

反思：见等腰直角三角形，造“一线三直角”，即“K 字型”全等。

例2如图1-3-3，已知反比例函数的图像经过点A(3，4)，在该图像上找一点P ，使∠POA=45°，则点P 的坐标为_______。