中考数学专题存在性问题解题策略角的存在性处理策略
总结初三数学教学中常见问题及解决方法
总结初三数学教学中常见问题及解决方法数学作为一门重要的学科，对学生的逻辑思维和问题解决能力都有很大的影响。
然而，在初三的数学教学过程中，我们常常会遇到一些问题。
本文将就初三数学教学中常见的问题进行总结，并提供解决方法。
一、学生对抽象概念理解困难初三是数学知识进一步深化的阶段，许多概念变得更加抽象和复杂。
因此，许多学生在理解这些概念时会遇到困难。
针对这个问题，我们可以采取以下解决方法：1.引导学生建立概念图：通过绘制概念图，可以帮助学生将抽象概念具象化，形成对概念的整体认知。
2.实例引导：在讲解抽象概念时，引入具体的实例进行说明。
通过实例的具体操作，学生可以更直观地理解抽象概念的含义。
3.巩固基础知识：确保学生掌握了必要的基础知识，对于抽象概念的理解能力有很大的帮助。
二、计算题与应用题分离在初三数学教学中，很多学校都存在将计算题与应用题分离的问题。
计算题偏重机械运算，而应用题则需要学生将所学知识运用到实际问题中。
因此，我们应该将计算题和应用题有机结合。
1.建立联系：在讲解计算题的过程中，引入一些实际问题作为背景，让学生能够将计算题与实际应用相联系起来。
2.编写综合题：在练习册或者试卷中，适当设置综合题，将计算题和应用题融合在一起。
这样可以培养学生解决实际问题的能力，提高应用题的综合运用能力。
三、缺乏实践操作机会数学是一门需要实践操作的学科，但在传统教学中，学生的实践机会比较有限。
为了解决这个问题，我们可以采取以下方法：1.引入数学实验：通过设计数学实验，让学生亲自动手操作，实践所学的数学知识。
这样可以增强学生的实践操作能力，提高他们对数学知识的理解和运用能力。
2.小组合作学习：在一些综合实践性的任务中，可以组织学生进行小组合作学习。
通过合作解决问题，可以培养学生的团队合作意识和创新思维。
四、解题策略不灵活在初三的数学教学中，很多学生对于解题策略只会机械地套用，缺乏灵活运用。
为了帮助学生提升解题策略的灵活性，我们可以采取以下措施：1.灵活运用思维导图：在解决数学问题时，可以运用思维导图的方式，帮助学生整理思路，找出解题思路的关键点。
中考数学压轴题解题策略直角三角形的存在性问题解题策略
中考数学压轴题解题策略（3）直角三角形的存在性问题解题策略《挑战压轴题·中考数学》的作者上海马学斌专题攻略解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到．怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）．例题解析例❶如图1-1，在△ABC中，AB＝AC＝10，cos∠B＝45．D、E为线段BC上的两个动点，且DE＝3（E在D右边），运动初始时D和B重合，当E和C重合时运动停止．过E 作EF//AC交AB于F，连结DF．设BD＝x，如果△BDF为直角三角形，求x的值．图1-1【解析】△BDF中，∠B是确定的锐角，那么按照直角顶点分类，直角三角形BDF存在两种情况．如果把夹∠B的两条边用含有x的式子表示出来，分两种情况列方程就可以了．如图1-2，作AH⊥BC，垂足为H，那么H是BC的中点．在Rt△ABH中，AB＝10，cos∠B＝45，所以BH＝8．所以BC＝16．由EF//AC，得BF BEBA BC=，即31016BF x+=．所以BF＝5(3)8x+．图1-2 图1-3 图1-4①如图1-3，当∠BDF ＝90°时，由4cos 5BD B BF ∠==，得45BD BF =． 解方程45(3)58x x =⨯+，得x ＝3． ②如图1-4，当∠BFD ＝90°时，由4cos 5BF B BD ∠==，得45BF BD =． 解方程5154885x x +=，得757x =． 我们看到，在画示意图时，无须受到△ABC 的“限制”，只需要取其确定的∠B ． 例❷ 如图2-1，已知A 、B 是线段MN 上的两点，，，．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成 △ABC ，设AB ＝x ，若△ABC 为直角三角形，求x 的值．图2-1【解析】△ABC 的三边长都可以表示出来，AC ＝1，AB ＝x ，BC ＝3－x ．如果用斜边进行分类，每条边都可能成为斜边，分三种情况：①若AC 为斜边，则22)3(1x x -+=，即0432=+-x x ，此方程无实根．②若AB 为斜边，则1)3(22+-=x x ，解得35=x （如图2-2）． ③若BC 为斜边，则221)3(x x +=-，解得34=x （如图2-3）． 因此当35=x 或34=x 时，△ABC 是直角三角形．图2-2 图2-3例❸ 如图3-1，已知在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（-2, 0），点B 是点A 关于原点的对称点，P 是函数)0(2>=x xy 图象上的一点，且△ABP 是直角三角形，求点P 的坐标．图3-1【解析】A 、B 两点是确定的，以线段AB 为分类标准，分三种情况．4=MN 1=MA 1>MB如果线段AB 为直角边，那么过点A 画AB 的垂线，与第一象限内的一支双曲线没有交点；过点B 画AB 的垂线，有1个交点．以AB 为直径画圆，圆与双曲线有没有交点呢？先假如有交点，再列方程，方程有解那么就有交点．如果是一元二次方程，那么可能是一个交点，也可能是两个交点．由题意，得点B 的坐标为（2，0），且∠BAP 不可能成为直角．①如图3-2，当∠ABP ＝90°时，点P 的坐标为（2，1）．②方法一：如图3-3，当∠APB ＝90°时，OP 是Rt △APB 的斜边上的中线，OP ＝2．设P 2(,)x x ，由OP 2＝4，得2244x x +=．解得x =P (2,2)．图3-2 图3-3方法二：由勾股定理，得P A 2＋PB 2＝AB 2．解方程2222222(2)()(2)()4x x x x +++++=，得x =方法三：如图3-4，由△AHP ∽△PHB ，得PH 2＝AH ·BH ．解方程22()(2)(2)x x x =+-，得x =图3-4 图3-5这三种解法的方程貌似差异很大，转化为整式方程之后都是(x 2－2)2＝0．这个四次方程的解是x 1＝x 2＝2，x 3＝x 4＝，它的几何意义就是以AB 为直径的圆与双曲线相切于P 、P ′两点（如图3-5）．例❹ 如图4-1，已知直线y ＝kx －6经过点A (1,－4)，与x 轴相交于点B ．若点Q 是y 轴上一点，且△ABQ 为直角三角形，求点Q 的坐标．图4-1【解析】和例题3一样，过A 、B 两点分别画AB 的垂线，各有1个点Q ．和例题3不同，以AB 为直径画圆，圆与y 轴有没有交点，一目了然．而圆与双曲线有没有交点，是徒手画双曲线无法肯定的．将A (1,－4)代入y ＝kx －6，可得k ＝2．所以y ＝2x －6，B (3,0)．设OQ 的长为m ．分三种情况讨论直角三角形ABQ ：①如图4-2，当∠AQB ＝90°时，△BOQ ∽△QHA ，BO QH OQ HA =．所以341m m -=． 解得m ＝1或m ＝3．所以Q (0,－1)或(0,－3)．②如图4-3，当∠BAQ ＝90°时，△QHA ∽△AGB ，QH AG HA GB =．所以4214m -=． 解得72m =．此时7(0,)2Q -． ③如图4-4，当∠ABQ ＝90°时，△AGB ∽△BMQ ，AG BM GB MQ=．所以243m =． 解得32m =．此时3(0,)2Q ．图4-2 图4-3 图4-4三种情况的直角三角形ABQ ，直角边都不与坐标轴平行，我们以直角顶点为公共顶点，构造两个相似的直角三角形，这样列比例方程比较简便．已知A (1,－4)、B (3,0)，设Q (0, n )，那么根据两点间的距离公式可以表示出AB 2，AQ 2和BQ 2，再按照斜边为分类标准列方程，就不用画图进行“盲解”了．例❺ 如图5-1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）．若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只．．．有．三个时，求直线l 的解析式．图5-1【解析】有且只有三个直角三角形ABM 是什么意思呢？过A 、B 两点分别画AB 的垂线，与直线l 各有一个交点，那么第三个直角顶点M 在哪里？以AB 为直径的⊙G 与直线l 相切于点M 啊！ 由23333(4)(2)848y x x x x =--+=-+-，得A (－4, 0)、B (2, 0)，直径AB ＝6． 如图5-2，连结GM ，那么GM ⊥l ．在Rt △EGM 中，GM ＝3，GE ＝5，所以EM ＝4．因此3tan 4GEM ∠=． 设直线l 与y 轴交于点C ，那么OC ＝3．所以直线l （直线EC ）为334y x =-+． 根据对称性，直线l 还可以是334y x =-．图5-2例❻ 如图6-1，在△ABC 中，CA ＝CB ，AB ＝8，4cos 5A ∠=．点D 是AB 边上的一个动点，点E 与点A 关于直线CD 对称，连结CE 、DE ．（1）求底边AB 上的高；（2）设CE 与AB 交于点F ，当△ACF 为直角三角形时，求AD 的长；（3）连结AE ，当△ADE 是直角三角形时，求AD 的长．图6-1【解析】这道题目画示意图有技巧的，如果将点D 看作主动点，那么CE 就是从动线段．反过来画图，点E 在以CA 为半径的⊙C 上，如果把点E 看作主动点，再画∠ACE 的平分线就产生点D了．（1）如图6-2，设AB边上的高为CH，那么AH＝BH＝4．在Rt△ACH中，AH＝4，4cos5A∠=，所以AC＝5，CH＝3．（2）①如图6-3，当∠AFC＝90°时，F是AB的中点，AF＝4，CF＝3．在Rt△DEF中，EF＝CE－CF＝2，4cos5E∠=，所以52DE=．此时52AD DE==．②如图6-4，当∠ACF＝90°时，∠ACD＝45°，那么△ACD的条件符合“角边角”．作DG⊥AC，垂足为G．设DG＝CG＝3m，那么AD＝5m，AG＝4m．由CA＝5，得7m＝5．解得57m=．此时2557AD m==．图6-2 图6-3 图6-4 （3）因为DA＝DE，所以只存在∠ADE＝90°的情况．①如图6-5，当E在AB下方时，根据对称性，知∠CDA＝∠CDE＝135°，此时△CDH 是等腰直角三角形，DH＝CH＝3．所以AD＝AH－DH＝1．②如图6-6，当E在AB上方时，根据对称性，知∠CDA＝∠CDE＝45°，此时△CDH 是等腰直角三角形，DH＝CH＝3．所以AD＝AH＋DH＝7．图6-5 图6-6。
中考专题存在性问题解题策略 角的存在性处理策略
第1讲角的存在性处理策略知识必备一、一线三等角1.如图1-1-1，o90=∠=∠=∠E D ACB 且045=∠CAB →CBE ACD ∆∆≌，此为“一线三直角”全等，又称“K 字型”全等;图1-1-1 图1-1-2 图1-1-3 图1-1-42.如图1-1-2，o 90=∠=∠=∠E D ACB →CBE ACD ∆∆∽，此为“一线三直角”相似，又称“K 字型”相似;3.如图1-1-3，o 90=∠=∠=∠E D ACB →CBE ACD ∆∆∽，此为更一般的“一线三等角”. 二、相似三角形的性质相似三角形的对应边成比例，其比值称为相似比； 相似三角形的对应线段成比例. 三、正切的定义如图1-1-4，在ABC Rt ∆中，b a A =∠tan ，即A ∠的正切值等于A ∠的对边与A ∠的邻边之比；同理，abB =∠tan ，则1tan tan =∠⋅∠B A ，即互余两角的正切值互为倒数. 方法提炼一、基本策略：联想构造 二、构造路线方式(一)：构造“一线三等角”1.45o 角→构等腰直角三角形→造“一线三直角”全等，如图1-2-1；图1-2-12.30o 角→构直角三角形→造“一线三直角”相似，如图1-2-2； 图1-2-23.tanα=k →构直角三角形→造“一线三直角”相似，如图1-2-3；4.“一线三等角”的应用分三重境界；一重境：当一条线上已有三个等角时，只要识别、证明，直接应用模型解题，如图1-2-4所示的“同侧型一线三等角”及图1-2-5所示的“异侧型一线三等角”；二重境：当一条线上已有两个等角时，需要再补上一个等角，构造模型解题；三重境：当一条线上只有一个角时，需要再补上两个等角，构造模型解题，如图1-2-6及图1-2-7所示；方式（二）：构造“母子型相似”“角处理”，还可以在角的一边上某点处作水平或竖直辅助线，造成某水平边或竖直边对此角结构，然后在这条线上补出一个与此角相等的角，构造出“母子型相似”，其核心结构如图1-2-8所示.方式（三）：整体旋转法（*）前两种构造属静态构造方式，再介绍一种动态构造方式，即整体旋转法，其核心思想是“图形的旋转（运动）本质是图形上点旋转（运动）；反过来，点的旋转（运动）可以看成该点所在图形的旋转（运动）”.下面以三个问题说明此法： 问题1 已知点A （3，4），将点A 绕原点O 顺时针方向旋转45º角，求其对应点A’的坐标.简析 第一步 （“整体旋转”）：如图1-2-9，作AB ⊥y 轴于点B ，则AB =3，OB =4，点A 绕原点O 顺时针方向旋转45º得到点A ’，可看成Rt △OAB 绕原点O 顺时针方向旋转45º得到Rt △OA ’B ‘，则图1-2-3 图1-2-4 图1-2-5 图1-2-6 图1-2-7图1-2-8A ’B ’=8，OB ’=4，且∠BOB ’=45º；第二步（造“一线三直角”）：如图1-2-10,依托旋转后的Rt △OA B '',作系列“水平—竖直辅助线”，构造“一线三直角”，即Rt △OCB '∽Rt △B DA ''；事实上,Rt △OCB '与Rt △B DA ''都是等腰直角三角形,于是有OC =B C '=22,B D '=A D '=232,故点A '的坐标为722(,)22； 问题 2 已知点(4,6)A ,将点A 绕原点O 顺时针方向旋转a 角,其中tan a =12,求其对应点A '的坐标.简析 第一步（“整体旋转”）：如图1-2-11,作AB ⊥y 轴于点B,则AB =4,OB =6,将Rt △OAB 绕原点O 顺时针方向旋转a 角得到Rt △OA B '',则A B ''=4,OB '=6, 且tan ∠BOB '=tan a =12；第二步（造“一线三直角”）：如图1-2-12,依托旋转后的Rt △OA B '',作系列“水平—竖直辅助线”，构造“一线三直角”，即Rt △OCB '∽Rt △B DA ''， 于是有B C '=565,OC =5125,A D '=545,B D '=585,故点A '的坐标为55(,)55148.问题3 已知点(,)A a b ,将点A 绕原点O 顺时针方向旋转a 角,求其对应点A '的坐标.简析 不是一般性，不妨都在第一象限内思考问题： 第一步（“整体旋转”）：如图1-2-13,作AB ⊥y 轴于点B,则AB=a ,OB =b ,将Rt △OAB 绕原点O 顺时针方向旋转a 角得到Rt △OA B '',则A B ''=a ,OB '=b ,且∠BOB '=a ；第二步（造“一线三直角”）：如图1-2-14,依托旋转后的Rt △OA B '',作系列“水平—竖直辅助线”，构造“一线三直角”，即Rt △OCB '∽Rt △B DA ''，于是有B C '=sin b a ,OC =cos b a ,A D '=sin a a ,B D '=cos a a , 故点A '的坐标为(,)cos sin cos sin a a b a b a a a +-.例1(2019•日照)如图1-3-1，在平面直角坐标系中，经过点A 的双曲线同时经过点B ，且点A 在点B 的左侧，点A 的横坐标为，图1-2-9∠AOB=∠OBA=45°，则k 的值为_______。
中考数学压轴题解题策略：相似三角形的存在性问题
相似三角形的存在性问题解题策略专题攻略相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验，如例题1、2、3、4．应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等，如例题6．应用判定定理3解题不多见，如例题5，根据三边对应成比例列连比式解方程(组)．例题解析例❶如图1-1,抛物线y=1x2-3x+4与X轴交于A、B两点(A点在B点左侧),与y轴交于点C.动82直线EF(EF//x轴)从点C开始，以每秒1个单位的速度沿y轴负方向平移，且分别交y轴、线段BC于E、F两点，动点P同时从点B出发，在线段0B上以每秒2个单位的速度向原点0运动.是否存在t,使得△匕卩卩与厶ABC相似.若存在，试求出t的值；若不存在，请说明理由.图1-1【解析】ABP卩与厶ABC有公共角ZB，那么我们梳理两个三角形中夹ZB的两条边.△ABC是确定的.由y=x2-x+4，可得A(4,0)、B(&0)、C(0,4).782于是得到BA=4,BC=4*5.还可得到C E=C0=1.EF OB2△BPF中，BP=21,那么BF的长用含t的式子表示出来，问题就解决了. 在RtAEFC中，CE=t,EF=21,所以CF=^5t.因此BF=处5-呂二*；5(4-1).于是根据两边对应成比例，分两种情况列方程BABP ①当—时，BCBF42t44_—.解得t—（如图1-2）. 4冒55（4-1）3BABF ②当—时，BCBP4—〔5（4-1）.解得1—20（如图1-3）. 4f5217得顶点M(1,-图1-2 图1-3例❷如图2-1,在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx(a>0)经过点A和x轴正半轴上的点B,AO=BO=2,ZAOB=120°.(1)这条抛【解析】AABC与AAOM中相等的一组角在哪里呢?本题由简到难，层层深入.第(1)题求出抛物线的解析式，得到顶点M的坐标，为第(2)题求ZAOM的大小作铺垫；求得了ZAOM的大小，第(3)题暗示了要在△ABC中寻找与ZAOM相等的角.(1)如图2-2,过点A作AH丄y轴，垂足为H.容易得到A(-1,3).再由A(-1,J3)、B(2,0)两点，可求得抛物线的解析式为y二辜x2-睾x.⑵由y吕x2一斗x召(x-1)2-斗,v33(3)由A (-1,\：'3)、B(2,0),可得ZABO=30°. 因此当点C 在点B 右侧时，ZABC=ZA0M=150°. 所以△ABC 与AAOM 相似，存在两种情况：① 当燮=_°A 仝时，BC =BA ==2.此时C(4,0)(如图2-3).BCOM J3弋3 BC OA —② 当==时，BC =x/3BA =\3x 2\；3=6.此时C (8,0)(如图2-4).BAOM图2-3.图2-4例❸如图3-1,抛物线y=ax 2+bx —3与x 轴交于A(l,0)、B(3,0)两点，与y 轴交于点D,顶点为C.(1)求此抛物线的解析式；(2)在x 轴下方的抛物线上是否存在点M,过M 作MN 丄x 轴于点N,使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.图3-1【解析】AAMN 是直角三角形，因此必须先证明△BCD 是直角三角形.一般情况下，根据直角边对应成比例分两种情况列方程.所以 tan ZBOM=.所以ZBOM=30。
探究初中数学教学中存在的问题和解决策略
探究初中数学教学中存在的问题和解决策略初中数学教学中存在的问题主要包括考试导向、理论脱离实际、缺乏趣味性和师生互动不足等方面。
针对这些问题，可以采取以下解决策略：强化基础能力训练、引入实际应用、增加趣味性和提升师生互动。
考试导向是当前初中数学教学中的普遍问题之一。
由于考试成绩是对学生学习成果的评价，学生和家长普遍重视考试成绩，教师也为了学生成绩好而注重讲解考试中的重点和难点。
这种情况导致教学内容和方式过于侧重应试技巧，而忽略了数学思维和解决问题的能力的培养。
我们应该强化基础能力的训练，注重培养学生的逻辑思维、推理能力和创新意识。
数学理论在初中教学中有时脱离实际，给学生的学习带来困难。
学生难以将抽象的数学概念与生活实际联系起来，缺乏对数学应用的实际意义的认识。
要解决这个问题，可以在教学中引入实际应用的例子，将抽象的数学理论与实际问题相结合，让学生能够理解和运用数学知识解决实际问题。
初中数学教学中的内容和方式较为单一，缺乏趣味性。
数学知识本身往往较为抽象，如果教学内容和方式过于呆板，容易让学生感到枯燥乏味，缺乏学习的兴趣。
我们可以通过增加趣味性的教学内容和方式来激发学生的学习兴趣。
可以在数学教学中引入游戏、实验、比赛等元素，通过互动和竞赛的方式让学生更加主动积极地参与学习。
师生互动不足也是初中数学教学中存在的问题之一。
一方面，教师常常以讲授为主，学生缺乏表达和提问的机会；学生有时缺乏主动性和参与性，仅仅完成被动接受教师讲解的任务。
为了改变这种情况，我们可以通过增加师生互动的环节，让学生更加主动参与教学过程。
教师可以引导学生进行讨论、小组合作、思维导图等活动，激发学生的思维和创造力，同时也增加了课堂的活跃度。
中考数学直角三角形的存在性问题解题策略
直角三角形的存在性问题解题策略专题攻略解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根． 一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程． 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到．怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）．例题解析例1、 如图1-1，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，cos ∠B ＝45．D 、E 为线段BC 上的两个动点，且DE ＝3（E 在D 右边），运动初始时D 和B 重合，当E 和C 重合时运动停止．过E 作EF //AC 交AB 于F ，连结DF ．设BD ＝x ，如果△BDF 为直角三角形，求x 的值．图1-1【解析】△BDF 中，∠B 是确定的锐角，那么按照直角顶点分类，直角三角形BDF 存在两种情况．如果把夹∠B 的两条边用含有x 的式子表示出来，分两种情况列方程就可以了． 如图1-2，作AH ⊥BC ，垂足为H ，那么H 是BC 的中点．在Rt △ABH 中，AB ＝10，cos ∠B ＝45，所以BH ＝8．所以BC ＝16． 由EF //AC ，得BF BE BA BC =，即31016BF x +=．所以BF ＝5(3)8x +．图1-2 图1-3 图1-4①如图1-3，当∠BDF ＝90°时，由4cos 5BD B BF ∠==，得45BD BF =． 解方程45(3)58x x =⨯+，得x ＝3．②如图1-4，当∠BFD ＝90°时，由4cos 5BF B BD ∠==，得45BF BD =． 解方程5154885x x +=，得757x =． 我们看到，在画示意图时，无须受到△ABC 的“限制”，只需要取其确定的∠B ． 例2、 如图2-1，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成 △ABC ，设AB ＝x ，若△ABC 为直角三角形，求x 的值．图2-1【解析】△ABC 的三边长都可以表示出来，AC ＝1，AB ＝x ，BC ＝3－x ． 如果用斜边进行分类，每条边都可能成为斜边，分三种情况：①若AC 为斜边，则22)3(1x x -+=，即0432=+-x x ，此方程无实根．②若AB 为斜边，则1)3(22+-=x x ，解得35=x （如图2-2）． ③若BC 为斜边，则221)3(x x +=-，解得34=x （如图2-3）． 因此当35=x 或34=x 时，△ABC 是直角三角形．图2-2 图2-3例3、 如图3-1，已知在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（-2, 0），点B 是点A 关于原点的对称点，P 是函数)0(2>=x xy 图象上的一点，且△ABP 是直角三角形，求点P 的坐标．图3-1【解析】A 、B 两点是确定的，以线段AB 为分类标准，分三种情况．如果线段AB 为直角边，那么过点A 画AB 的垂线，与第一象限内的一支双曲线没有交点；过点B 画AB 的垂线，有1个交点．以AB 为直径画圆，圆与双曲线有没有交点呢？先假如有交点，再列方程，方程有解那么就有交点．如果是一元二次方程，那么可能是一个交点，也可能是两个交点．由题意，得点B 的坐标为（2，0），且∠BAP 不可能成为直角．①如图3-2，当∠ABP ＝90°时，点P 的坐标为（2，1）．②方法一：如图3-3，当∠APB ＝90°时，OP 是Rt △APB 的斜边上的中线，OP ＝2．设P 2(,)x x ，由OP 2＝4，得2244x x+=．解得x =P (2,2)．图3-2 图3-3 方法二：由勾股定理，得P A 2＋PB 2＝AB 2．解方程2222222(2)()(2)()4x x x x+++++=，得x = 方法三：如图3-4，由△AHP ∽△PHB ，得PH 2＝AH ·BH ．解方程22()(2)(2)x x x=+-，得x =图3-4 图3-5这三种解法的方程貌似差异很大，转化为整式方程之后都是(x 2－2)2＝0．这个四次方程的解是x 1＝x 2＝2，x 3＝x 4＝它的几何意义就是以AB 为直径的圆与双曲线相切于P 、P ′两点（如图3-5）．例4、 如图4-1，已知直线y ＝kx －6经过点A (1,－4)，与x 轴相交于点B ．若点Q 是y 轴上一点，且△ABQ 为直角三角形，求点Q 的坐标．图4-1【解析】和例题3一样，过A 、B 两点分别画AB 的垂线，各有1个点Q ．和例题3不同，以AB 为直径画圆，圆与y 轴有没有交点，一目了然．而圆与双曲线有没有交点，是徒手画双曲线无法肯定的．将A (1,－4)代入y ＝kx －6，可得k ＝2．所以y ＝2x －6，B (3,0)．设OQ 的长为m ．分三种情况讨论直角三角形ABQ ：①如图4-2，当∠AQB ＝90°时，△BOQ ∽△QHA ，BO QH OQ HA =．所以341m m -=． 解得m ＝1或m ＝3．所以Q (0,－1)或(0,－3)．②如图4-3，当∠BAQ ＝90°时，△QHA ∽△AGB ，QH AG HA GB =．所以4214m -=． 解得72m =．此时7(0,)2Q -． ③如图4-4，当∠ABQ ＝90°时，△AGB ∽△BMQ ，AG BM GB MQ =．所以243m =． 解得32m =．此时3(0,)2Q ．图4-2 图4-3 图4-4三种情况的直角三角形ABQ ，直角边都不与坐标轴平行，我们以直角顶点为公共顶点，构造两个相似的直角三角形，这样列比例方程比较简便．已知A (1,－4)、B (3,0)，设Q (0, n )，那么根据两点间的距离公式可以表示出AB 2，AQ 2和BQ 2，再按照斜边为分类标准列方程，就不用画图进行“盲解”了．例5、 如图5-1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）．若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只．．．有．三个时，求直线l 的解析式．图5-1【解析】有且只有三个直角三角形ABM 是什么意思呢？过A 、B 两点分别画AB 的垂线，与直线l 各有一个交点，那么第三个直角顶点M 在哪里？以AB 为直径的⊙G 与直线l 相切于点M 啊！ 由23333(4)(2)848y x x x x =--+=-+-，得A (－4, 0)、B (2, 0)，直径AB ＝6． 如图5-2，连结GM ，那么GM ⊥l ．在Rt △EGM 中，GM ＝3，GE ＝5，所以EM ＝4．因此3tan 4GEM ∠=． 设直线l 与y 轴交于点C ，那么OC ＝3．所以直线l （直线EC ）为334y x =-+． 根据对称性，直线l 还可以是334y x =-．图5-2例6、 如图6-1，在△ABC 中，CA ＝CB ，AB ＝8，4cos 5A ∠=．点D 是AB 边上的一个动点，点E 与点A 关于直线CD 对称，连结CE 、DE ．（1）求底边AB 上的高；（2）设CE 与AB 交于点F ，当△ACF 为直角三角形时，求AD 的长；（3）连结AE ，当△ADE 是直角三角形时，求AD 的长．图6-1【解析】这道题目画示意图有技巧的，如果将点D 看作主动点，那么CE 就是从动线段．反过来画图，点E 在以CA 为半径的⊙C 上，如果把点E 看作主动点，再画∠ACE 的平分线就产生点D 了．（1）如图6-2，设AB 边上的高为CH ，那么A H ＝BH ＝4．在Rt △ACH 中，AH ＝4，4cos 5A ∠=，所以AC ＝5，CH ＝3． （2）①如图6-3，当∠AFC ＝90°时，F 是AB 的中点，AF ＝4，CF ＝3． 在Rt △DEF 中，EF ＝CE －CF ＝2，4cos 5E ∠=，所以52DE =．此时52AD DE ==． ②如图6-4，当∠ACF ＝90°时，∠ACD ＝45°，那么△ACD 的条件符合“角边角”． 作DG ⊥AC ，垂足为G ．设DG ＝CG ＝3m ，那么AD ＝5m ，AG ＝4m ．由CA ＝5，得7m ＝5．解得57m =．此时2557AD m ==．图6-2 图6-3 图6-4 （3）因为DA＝DE，所以只存在∠ADE＝90°的情况．①如图6-5，当E在AB下方时，根据对称性，知∠CDA＝∠CDE＝135°，此时△CDH 是等腰直角三角形，DH＝CH＝3．所以AD＝AH－DH＝1．②如图6-6，当E在AB上方时，根据对称性，知∠CDA＝∠CDE＝45°，此时△CDH 是等腰直角三角形，DH＝CH＝3．所以AD＝AH＋DH＝7．图6-5 图6-6。
初三数学学习中的问题解决策略
初三数学学习中的问题解决策略数学作为一门学科，对于初三学生来说是一个重要的科目。
但是，很多初三学生在数学学习中会面临各种问题和挑战。
本文将为初三学生提供一些数学学习中的问题解决策略，帮助他们更好地应对数学学习中遇到的困难。
1. 聚焦基础知识数学学习是一个渐进的过程，基础知识的牢固程度对学习后续内容至关重要。
因此，初三学生在数学学习中应聚焦于基础知识的学习与巩固。
可以通过反复做题、查漏补缺的方式加深对基础知识的理解。
此外，可以请教老师或同学解答自己在基础知识上的疑问，加强记忆和理解。
2. 制定学习计划在学习数学时，制定一个合理的学习计划是非常重要的。
首先，了解自己的学习进度和能力，根据课程表和个人情况安排每天的学习时间。
在制定学习计划的同时，要合理安排时间来复习前面已学习的内容，以保持知识的连贯性和记忆的持久性。
其次，将学习计划细分为每个阶段的具体任务，如每天预习新知识或每周复习旧知识，以帮助自己更好地掌握和消化新的知识点。
3. 积极参与课堂学习课堂学习是初三学生掌握数学知识的重要途径之一。
与老师和同学积极互动，认真听讲，提问疑问，参与课堂活动，积极完成课堂作业等都有助于理解和掌握数学知识。
此外，通过课后复习和总结，将课堂上学到的内容加深巩固，形成自己的知识体系。
4. 多做题，多实践数学是一门实践性很强的学科，通过大量的练习可以提高自己的解题能力和思维逻辑能力。
初三学生可以通过大量练习不同类型的题目，不断巩固和提高自己的解题能力。
同时，可以参加数学竞赛活动，与其他同学进行交流和切磋，从中获得启发和提高。
5. 错题集的建立在数学学习中，初三学生经常会遇到一些难题，甚至有些题目会一再出错。
这时，建立一个错题集是非常有帮助的。
将错题及解题过程详细记录下来，及时找老师或同学解答疑惑，以便日后复习时能够查找相关知识点和方法。
通过不断地查漏补缺，可以提高自己的解题能力和错误率。
6. 注重思维训练在数学学习中，注重培养和锻炼创新思维和逻辑思维能力是非常重要的。
中考数学常见问题及解决建议
中考数学常见问题及解决建议
中考数学常见问题及解决建议
（一）审题不仔细
数学卷中有不少题目都源于教材，可以从教材中找到原型，而且在平时的练习中也时常出现，考生对这类题比较熟悉，按理说得分是比较稳的，结果却出乎意料，不少考生在这类难度并不大的题目上丢了分。
究其原因，主要是审题不清，考场上一看到似曾相识的题目，有些考生就麻痹大意，不仔细看题计算，有的考生甚至不管题中的数据是否有变化，直接将平时练习时的答案选上去，这种无谓的失分非常可惜。
（二）答题不全面
数学卷中有些综合题采用一题多问的形式，适当设置梯度，即第一小题比较简单，第二小题较难，第三小题更难。
对于这类题目，部分考生只拿到了第一小题的分数，后面的分数就丢了。
这主要是因为考生基础不够扎实，解决数学问题的过程方法和数学探究能力不够全面，要避免此类失分，考生平时应加强难题、综合题的练习。
冲刺复习建议
1、重视本地近三年中考试题，对其题型、题量及考查方式做到胸有成竹，这样在考试时就会临阵不乱，正常发挥，甚至是超常发挥。
2、复习知识要全面，并扎实掌握基础知识、基本技能，以不变应万变。
对教材资源的开发、应用和再加工，但又体现。
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第1讲 角的存在性处理策略知识必备一、一线三等角1.如图1-1-1，o 90=∠=∠=∠E D ACB 且045=∠CAB →CBE ACD ∆∆≌，此为“一线三直角”全等，又称“K 字型”全等;图1-1-1 图1-1-2 图1-1-3 图1-1-42.如图1-1-2，o90=∠=∠=∠E D ACB →CBE ACD ∆∆∽，此为“一线三直角”相似，又称“K 字型”相似;3.如图1-1-3，o90=∠=∠=∠E D ACB →CBE ACD ∆∆∽，此为更一般的“一线三等角”.二、相似三角形的性质相似三角形的对应边成比例，其比值称为相似比； 相似三角形的对应线段成比例. 三、正切的定义如图1-1-4，在ABC Rt ∆中，baA =∠tan ，即A ∠的正切值等于A ∠的对边与A ∠的邻边之比；同理，abB =∠tan ，则1tan tan =∠⋅∠B A ，即互余两角的正切值互为倒数. 方法提炼一、基本策略：联想构造 二、构造路线方式(一)：构造“一线三等角”1.45o 角→构等腰直角三角形→造“一线三直角”全等，如图1-2-1；图1-2-12.30o 角→构直角三角形→造“一线三直角”相似，如图1-2-2；A图1-2-23.tan α=k →构直角三角形→造“一线三直角”相似，如图1-2-3；4.“一线三等角”的应用分三重境界；一重境：当一条线上已有三个等角时，只要识别、证明，直接应用模型解题，如图1-2-4所示的“同侧型一线三等角”及图1-2-5所示的“异侧型一线三等角”；二重境：当一条线上已有两个等角时，需要再补上一个等角，构造模型解题； 三重境：当一条线上只有一个角时，需要再补上两个等角，构造模型解题，如图1-2-6及图1-2-7所示；方式（二）：构造“母子型相似”“角处理”，还可以在角的一边上某点处作水平或竖直辅助线，造成某水平边或竖直边对此角结构，然后在这条线上补出一个与此角相等的角，构造出“母子型相似”，其核心结构如图1-2-8所示.方式（三）：整体旋转法（*）DAC DEA→DA 2=DC ∙DE →DG 2+AG 2=DC ∙DE定定定定定定定定AAA图1-2-3图1-2-4图1-2-5图1-2-6图1-2-7图1-2-8图1-2-10y x 3344A'E'A E O 前两种构造属静态构造方式，再介绍一种动态构造方式，即整体旋转法，其核心思想是“图形的旋转（运动）本质是图形上点旋转（运动）；反过来，点的旋转（运动）可以看成该点所在图形的旋转（运动）”.下面以三个问题说明此法：问题1 已知点A （3，4），将点A 绕原点O 顺时针方向旋转45º角，求其对应点A ’的坐标.简析 第一步 （“整体旋转”）：如图1-2-9，作AB ⊥y 轴于点B ，则AB =3，OB =4，点A 绕原点O 顺时针方向旋转45º得到点A ’，可看成Rt △OAB 绕原点O 顺时针方向旋转45º得到Rt △OA ’B ‘，则A ’B ’=8，OB ’=4，且∠BOB ’=45º；第二步（造“一线三直角”）：如图1-2-10,依托旋转后的Rt △OA B '',作系列“水平—竖直辅助线”，构造“一线三直角”，即Rt △OCB '∽Rt △B DA ''；事实上,Rt △OCB '与Rt △B DA ''都是等腰直角三角形,于是有OC =B C '=22B D '=A D '=232,故点A '的坐标为722(22； 问题2 已知点(4,6)A ,将点A 绕原点O 顺时针方向旋转a 角,其中tan a =12,求其对应点A '的坐标.简析 第一步（“整体旋转”）：如图1-2-11,作AB ⊥y 轴于点B,则AB =4,OB =6,将Rt △OAB 绕原点O 顺时针方向旋转a 角得到Rt △OA B '',则A B ''=4,OB '=6,且tan ∠BOB '=tan a =12；图1-2-9图1-2-11 图1-2-12图1-2-13图1-2-14第二步（造“一线三直角”）：如图1-2-12,依托旋转后的Rt △OA B '',作系列“水平—竖直辅助线”，构造“一线三直角”，即Rt △OCB '∽Rt △B DA ''， 于是有B C '=565,OC =5125,A D '=545,B D '=585,故点A '的坐标为55(,)55148.问题3 已知点(,)A a b ,将点A 绕原点O 顺时针方向旋转a 角,求其对应点A '的坐标. 简析 不是一般性，不妨都在第一象限思考问题： 第一步（“整体旋转”）：如图1-2-13,作AB ⊥y 轴于点B,则AB=a ,OB =b ,将Rt △OAB 绕原点O 顺时针方向旋转a 角得到Rt △OA B '',则A B ''=a ,OB '=b ,且∠BOB '=a ；第二步（造“一线三直角”）：如图1-2-14,依托旋转后的Rt △OA B '',作系列“水平—竖直辅助线”，构造“一线三直角”，即Rt △OCB '∽Rt △B DA ''， 于是有B C '=sin b a ,OC =cos b a ,A D '=sin a a ,B D '=cos a a , 故点A '的坐标为(,)cos sin cos sin a a b a b a a a +-.例1(2017•日照)如图1-3-1，在平面直角坐标系中，经过点A 的双曲线同时经过点B ，且点A 在点B 的左侧，点A 的横坐标为，∠AOB=∠OBA=45°，则k 的值为_______。
xy图1-3-1BAOxy2t t 2图1-3-2D C BAO简析由题可知，△OAB 为等腰直角三角形；如图1-3-2，构造“一线三直角”结构，即Rt △OAD ≌Rt △ABC ； 设OD=AC=t ，则A(，t)，B(，)，从而有t=()()，解得；因此有。
反思：见等腰直角三角形，造“一线三直角”，即“K 字型”全等。
例2如图1-3-3，已知反比例函数的图像经过点A(3，4)，在该图像上找一点P ，使∠POA=45°，则点P 的坐标为_______。
xy图1-3-3PAOxy3434图1-3-4D C PB A O简析1（构造“一线三直角”）：如图1-3-4，作AB ⊥OA 交OP 于点B ，则△OAB 为等腰直角三角形；再造“一线三直角”结构，即Rt △OAD ≌Rt △ABC ，由A(3,4)，可得OD=AC=4，AD=BC=3，则B(7,1)，故直线OP 的解析式为，且反比例函数的解析式为，联立得，解得（负值舍去），故点P 的坐标为(，)。
简析2（构造“一线三等角”）：如图1-3-5，分别过点A 、P 作y 轴的垂线，垂足依次为点D 、E ，再在y 轴上分别找点B 、C ，使BD=AD ，CE=PE ，则∠ABO=∠PCO=45°； 由∠POA=45°，易证△ABO ∽△OCP ，则，即AB •CP=BO •OC ；由A(3，4)，可得，BO=BD+OD=7，k=12，再设点P(t ，)，则CP=，OC=CE-OE=PE-OE=，从而有，解得，故点P 的坐标为()。
450是一个神奇美妙、让人浮想联翩的角。
依托450角，自然联想到构造等腰直角三角形。
然后依托等腰直角三角形，再造“一线三直角”，这是处理450角的基本策略之一。
如图1-3-6，若∠C=450，一般有四种方式构造直角三角形，但建议将已知点作为直角顶点，相对而言会更简单。
这也体现出了“以不变应万变”的解题策略。
解法1，从头到尾几乎口算，不需要设元，原因在于构造等腰直角三角形时。
将已知点A 作为直角顶点，否则需要设元求解，很是麻烦。
解法2，将y 轴看成所谓“一线”。
利用一个450角，再补两个“450”角，构造“一线xy图1-3-5CE PB D AO三等角”，设出坐标，巧妙解题，这是角的存在性问题另一种重要处理策略。
如图1-3-7，已知抛物线272y x x c=-++与x轴交于A、B两点，且经过点()02C，、732D⎛⎫⎪⎝⎭，，点P是直线CD上方抛物线上一动点，当0=45PCD∠时，求点P的坐标。
策略一：450→构等腰直角三角形→造“一线三直角”.简析：易求抛物线的解析式为2722y x x=-++，直线CD的解析式为122y x=+如图1-3-8，过点D作DQ⊥CQ，交CP的延长线于点Q，过点D作平行于y轴的直线，并分别过点C、Q向该直线上作垂线，垂足依次为点E、F，则△CDQ为等腰直角三角形，△CED≌△DFQ，DF=CE=3,QF=DE=,故Q点坐标为31322⎛⎫⎪⎝⎭，利用C、Q两点，可以求出直线CP的解析式32y x=+，在与抛物线联立得232722y xy x x=+⎧⎪⎨=-++⎪⎩，解得=02xy⎧⎨=⎩（舍去），或1=272xy⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此点P坐标为1722⎛⎫⎪⎝⎭，类似的，也可以过点P作垂线等。
但不推荐，否则直角顶点未知。
需要设元求解，而简析1直角顶点D已知，故而顺风顺雨。
理论上，在直线CD上任取一个已知点，将之做为等腰直角三角形的直角顶点，都可顺利解决，如图1-3-9所示，可自行探究。
对比例2，还可以发现，双曲线与抛物线都是“幌子”，借助450角的处理策略，他们仅仅起到最后联立解方程组求交点的作用。
练就“慧眼”，便可以“识珠”，很多题目的命制套路就是如此.图1-3-7 图1-3-9图1-3-8策略二：一个45°→补两个45°→造“一线三等角”如图1－3－10，过点P 、D 向轴上做垂线，补出两个45°角，构出“一线三等角”结构，即∆PCE ∽∆CDF ，则有DF CECF PE，即PE ·DF=CE ·CF ； 由题可设P(t ，-t+27t+2),易得PE=2t ，DF=32,CE=-t+27t+2+t-2=-t ²+29t,CF=2-(27-3)=23,因此有2t ·32=23(-t ²+29t)，解得t=21（t=0舍去），故点坐标为（21，27）因本题数据的特殊性，最后可以看出，点P 、D 的纵坐标相等，故过点P 、D 向y 轴做垂线，垂足重合，即图中的G 点，其实巧合与否，对解题并无影响；此外，所谓“一线”，也可以做成“水平线，甚至于“斜线”，可自行探究，一般选择现有的“一线”比较合适。