三角函数求取值范围专题
专题：三角函数中w取值范围研究-无水印
在三角函数图象中， w 对整个图象的性质影响巨大，因此，对 w 的取值范围的考察就
是高考的热门考点之一，这部分考题呈现出综合性较强，对学生的逻辑推理，直观想象素
养要求较高，比如 2016 年一卷 12 题，2019 年一卷 11 题，三卷 12 题等，所以，对 w 的取
2 3
0 ，x1 、 x2 、x3
0, ，且 x 0, 都
有 f x1 f x f x2 ，满足 f x3 0 的实数 x3 有且只有 3 个，给出下述四个结论：
①满足题目条件的实数 x1 有且只有1个；②满足题目条件的实数 x2 有且只有1个；
③
f
x
在
0,
10
上单调递增；④
B．[5 , 11] 69
C．[ 2 , 3] 34
A． 0,
3 2
B． 2 ,
3 2
C．
0,
2
D．
2
,
【答案】B
4.已知函数
f
x
2sin
x
π 4
(
0
)的图象在区间 0,1上恰有
3
个最高点，则 的取值范围为 NhomakorabeaA.
19π 4
,
27π 4
B.
9π 2
,
13π 2
C.
17π 4
,
25π 4
D. 4π,6π
5．函数 f (x) sin( x ), ( 0, 0 ) 在一个周期内的图象如图所示，M、N 分别
取值范围. ( 4 , 7 ] 33
变式：图象在[0, ]上有且仅有两条对称轴，求 w 的取值范围.
练习 3．已知函数
重难点专题18 三角函数中w取值范围问题八大题型汇总(原卷版) 备战2024年高考数学重难点突破
题型8新定义 (9)已知函数y =Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0)，在[x 1,x 2]上单调递增（或递减），求ω的取值范围第一步：根据题意可知区间[x 1,x 2]的长度不大于该函数最小正周期的一半，即x 2-x 1≤12T =πω，求得0<ω≤πx 2-x 1.第二步：以单调递增为例，利用[ωx 1+φ,ωx 2+φ]⊆[―π2+2kπ,π2+2kπ]，解得ω的范围；第三步：结合第一步求出的ω的范围对k 进行赋值，从而求出ω（不含参数）的取值范围.结合图象平移求ω的取值范围1、平移后与原图象重合思路1：平移长度即为原函数周期的整倍数；思路2：平移前的函数=平移后的函数.2、平移后与新图象重合：平移后的函数=新的函数.3、平移后的函数与原图象关于轴对称：平移后的函数为偶函数；4、平移后的函数与原函数关于轴对称：平移前的函数=平移后的函数-；5、平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中。
()f x ()g x ()f x ()g x y x ()f x ()g x三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为T，相邻的对称轴和对2，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期称中心之间的“水平间隔”为T4性，进而可以研究ω的取值。
三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与x轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定ω的取值.已知三角函数的零点个数问题求ω的取值范围对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关，若在在区间至多含有k个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值．三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与x轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定ω的取值.ππ。
三角函数值域的求法及例题
标题：三角函数值域的求法及其应用
一、基本概念：
三角函数是描述周期性现象的关键工具，特别是一元函数微积分中的基本函数。
它们的值域，即能够表示的函数的取值范围，对于理解函数的性质和图形至关重要。
二、求值域的方法：
1. 观察法：根据三角函数的定义，我们知道正弦、余弦和正切函数的值域分别是-1 到1（包括-1，但不包括0），0 到正无穷（包括0），以及-π/2 到π/2（包括0，但不包括π/2 和-π/2）。
当已知函数的表达式时，可以通过观察函数的定义域和函数自身的性质来求值域。
2. 三角函数不等式法：可以利用三角函数的不等式来求值域，例如：对于正弦函数，有0 <= sin(x) <= 1。
3. 反函数法：对于反三角函数，如arcsin(x) 和arctan(x)，可以通过求其反函数的定义域来得到值域。
4. 换元法：对于某些复杂的三角函数，可以通过换元法将问题简化。
5. 判别式法：对于二次或高次方程的解，可以通过判别式小于或等于零来求出函数的值域。
三、例题解析：
【例题】求函数f(x) = 3sin(2x + π/6) 的值域。
解：首先，我们可以看出函数的定义域为R（即所有实数），且函数的周期性表现为sin(x) 的形式。
由于正弦函数的值域为-1 到1（包括-1，但不包括0），因此我们可以得出f(x) 的值域为[-3, 3]。
四、总结：
求三角函数值域的方法多种多样，观察法、三角函数不等式法、反函数法、换元法以及判别式法都是常见的方法。
理解这些方法并灵活运用，可以帮助我们更好地解决实际问题。
以上就是关于三角函数值域求法的介绍以及例题解析，希望对你有所帮助。
专题二 微重点6 三角函数中ω,φ的范围问题
P0，12，现将 y＝f(x)的图象向左平移π3个单位长度得到的函数图象也过
点 P，则
√A.ω 的最小值为 2
B.ω 的最小值为 6
C.ω 的最大值为 2
D.ω 的最大值为 6
12345678
依题意 f(0)＝sin φ＝12，0<φ<π2，φ＝π6， f(x)＝sinωx＋π6的图象向左平移π3个单位长度得到 g(x)＝sinωx＋π3＋π6＝sinωx＋π3ω＋π6，g(0)＝sinπ3ω＋π6＝12， 所以π3ω＋π6＝2k1π＋π6或π3ω＋π6＝2k2π＋56π， 即ω＝6k1或ω＝6k2＋2，其中k1，k2∈Z， 由于ω>0，所以ω的最小值为2.
跟踪演练3 (2022·湛江模拟)已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|≤π2，f π3＋x
＝f π3－x，f －π3＝0，且 f(x)在区间1π0，π2上有且只有一个极大值点，
33 则 ω 的最大值为__4___.
由题意知，－π3ω＋φ＝k1π， π3ω＋φ＝k2π＋π2，
k1，k2∈Z，
12345678
若 x∈(0,2π)，则 ωx＋π6∈π6，2ωπ＋π6. 设 t＝ωx＋π6，则 t∈π6，2ωπ＋π6， 因为 2ωπ＋π6∈π6，176π， 所以函数 y＝sin t 在π6，2ωπ＋π6上的零点最多有 2 个. 所以f(x)在(0,2π)上的零点最多有2个.
12345678
4.(2022·萍乡模拟)设函数 f(x)＝sin2x＋π4在区间a，a＋π3上的最大值为
M，最小值为 m，则 M－m 的最小值为
A.
2 2
√B.12
C.1－
2 2
2－1 D. 2
解三角形的范围与最值问题
解三角形的范围与最值问题解三角形的范围与最值问题三角形是我们初中数学中常见的几何图形，解决三角形的范围和最值问题是三角函数的重要内容。
本文将从范围和最值两个方面进行探讨。
一、解三角形的范围问题解三角形的范围问题主要是要找到三角函数定义域中的解集，也就是角的取值范围。
1. 正弦函数正弦函数的定义域为全集R，一个完整的正弦函数周期为360度，即sinθ=sin(θ+360°)。
因此，对于任意θ∈R，正弦函数的值总是在[-1,1]之间取值。
2. 余弦函数余弦函数的定义域为全集R，一个完整的余弦函数周期为360度，即cosθ=cos(θ+360°)。
因此，对于任意θ∈R，余弦函数的值总是在[-1,1]之间取值。
3. 正切函数正切函数的定义域由其分母不为零的限定，即tanθ存在当且仅当cosθ≠0，即θ∈R\{nπ+π/2|n∈N}。
对于任意θ∈R，正切函数没有上下界，其取值范围为全集R。
4. 余切函数余切函数的定义域由其分母不为零的限定，即cotθ存在当且仅当sinθ≠0，即θ∈R\{nπ|n∈N}。
对于任意θ∈R，余切函数没有上下界，其取值范围为全集R。
以上是几个常见三角函数的定义域和取值范围，要求掌握它们的基本特征和计算方法。
二、解三角形的最值问题解三角形的最值问题主要是要找到三角函数在定义域中的最大值和最小值，其思路一般是利用极值点或者函数的单调性来进行分析。
1. 正弦函数和余弦函数的最值正弦函数和余弦函数的最值为1和-1，当且仅当θ=nπ(n∈N)时取到。
当θ非整数倍π时，正弦函数和余弦函数的值位于-1和1之间。
2. 正切函数和余切函数的最值正切函数和余切函数都没有最值，但它们在某些点上趋近于无穷或者负无穷，这些点称为函数的特殊点。
正切函数的特殊点为θ=nπ+π/2(n∈Z)，此时tanθ趋近于正无穷或负无穷，取决于极限方向。
余切函数的特殊点为θ=nπ(n∈Z)，此时cotθ趋近于正无穷或负无穷，取决于极限方向。
三角函数范围问题解法
三角函数范围问题解法
三角函数的范围是指其取值的范围。
在数学中，我们通常使用弧度制来描述三角函数的范围。
三角函数的范围是由其定义域决定的，而定义域是实数集上的一个区间。
对于正弦函数（sin(x)），其定义域是整个实数集，而值域是[-1, 1]。
这意味着正弦函数的取值范围在-1到1之间，包括-1和1。
对于余弦函数（cos(x)），其定义域也是整个实数集，而值域也是[-1, 1]。
与正弦函数类似，余弦函数的取值范围也在-1到1之间。
正切函数（tan(x)）的定义域是除了所有奇数倍的π/2之外的实数集。
其值域是整个实数集，也就是说正切函数的取值可以是任意的实数。
割函数（sec(x)）和余割函数（csc(x)）的定义域和值域与正弦函数和余弦函数的定义域和值域相同，分别为整个实数集和[-1, 1]。
对于反正弦函数（arcsin(x)）、反余弦函数（arccos(x)）和反正切函数（arctan(x)），其定义域为[-1, 1]，值域为整个实数集。
这意味着这些反三角函数的取值可以是任意的实数。
综上所述，三角函数的范围取决于其定义域。
不同的三角函数具有不同的定义域和值域，因此其范围也各不相同。
微专题30 三角函数中的ω取值与范围问题(解析版)
微专题30 三角函数中的ω取值与范围问题【方法技巧与总结】1、()sin()f x A x ωϕ=+在()sin()f x A x ωϕ=+区间()a b ，内没有零点⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≤+<+<+≤≤-⇒ππϕωπππϕωπk b k k a k T a b 2⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+≤-≥≤-⇒ωϕππωϕπk b k a T a b 2同理，()sin()f x A x ωϕ=+在区间[]a b ，内没有零点 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<+<+<+<≤-⇒ππϕωπππϕωπk b k k a k T a b 2⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+<-><-⇒ωϕππωϕπk b k a T a b 2 2、()sin()f x A x ωϕ=+在区间()a b ，内有3个零点⎪⎩⎪⎨⎧+≤+<++<+≤≤-<⇒ππϕωππππϕωπk b k k a k T a b T 432(1)(3)(24)T b a k Tk a k k b πϕπϕωωπϕπϕωω⎧⎪⎪-+-⎪⇒≤<⎨⎪⎪+<-≤-+-<≤⎪⎩同理()sin()f x A x ωϕ=+在区间[]a b ，内有2个零点⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<+≤++≤+<<-≤⇒ππϕωππππϕωπk b k k a k T a b T 32232(2))2(332k TT b k a k b a k πϕππϕωωπϕπϕωω⎧⎪⎪-+-⎪⇒<≤⎨⎪⎪+≤-<-+-≤<⎪⎩ 3、()sin()f x A x ωϕ=+在区间()a b ，内有n 个零点 ⇒(()(+1)1)(1)22n Tn T b a k k a k n k n b πϕππϕωωπϕπϕωω-+≤-⎧⎪⎪-+-⎪≤<⎨⎪⎪+-+-<≤⎩<⎪同理()sin()f x A x ωϕ=+在区间[]a b ，内有n 个零点(1)(1()()22+1)n Tn T b k k a k n k n b a πϕππϕωωπϕπϕωω-+≤-<⎧⎪⎪-+-⎪⇒<≤⎨⎪⎪+-+-≤<⎪⎩4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为214n T +，则21(21)42n n T b a πω++==-． 5、已知单调区间(,)a b ，则2T a b -≤.【题型归纳目录】题型一：三角函数的基本性质———奇偶性、单调性、周期性、对称性、最值 题型二：三角函数与零点 题型三：三角函数性质综合应用 【典型例题】题型一：三角函数的基本性质———奇偶性、单调性、周期性、对称性、最值例1．若函数()2sin()(0)3f x x πωω=+>在区间[,]44ππ-上单调递增，则ω的取值范围是( )A ．10(0,]3B ．2(0,]3C ．210[,]33D ．10[,)3+∞【解析】解：当44xππ-，时，44x ππωωω-，34343x πππππωωω-++，要使()f x 在[4π-，]4π上单调递增， 则342432πππωπππω⎧--⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，得，得10323ωω⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，又0ω>， 203ω∴<． 故选：B ．例2．已知()sin 3(0)f x x x ωωω=>在区间[,]64ππ上单调递增，则ω的取值范围是( )A ．(0，2]3B ．(0，2][73，26]3C ．[7，2650][,19]33D ．(0，250][,19]33【解析】解：()sin 3cos 2sin()3f x x x x πωωω=+=+，由22232k x k ππππωπ-++，k Z ∈，得52266k x k πππωπ-+，k Z ∈，即52266k k xππππωω-+，即函数的单调递增区间为526[k ππω-，26]k ππω+，k Z ∈，()f x 在区间[,]64ππ上单调递增，∴5266264k k πππωπππω⎧-⎪⎪⎪⎨⎪+⎪⎪⎩，即125283k k ωω-⎧⎪⎨+⎪⎩，即212583k k ω-+，0ω>，∴当0k =时253ω-，此时203ω<， 当1k =时，2673ω， 当2k =时，219163ω+，此时不成立， 综上ω的范围是203ω<或2673ω， 即(0，2][73，26]3，故选：B ．例3．已知函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在区间[4π-，2]3π上单调递增，则ω的取值范围为( )A ．(0，8]3B ．(0，1]2C ．1[2，8]3D ．3[8，2]【解析】解：函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在区间[4π-，2]3π上单调递增，∴246222362k k πωπππωππππ⎧-+-+⎪⎪⎨⎪++⎪⎩，k Z ∈解得：883132k k ωω⎧-⎪⎪⎨⎪+⎪⎩ 0ω>，当0k =时，可得：102ω<． 故选：B ．变式1．若函数()sin()(0)4f x x πωω=->在区间(0,)2π上单调递增，则ω的取值范围是( )A ．(0，3]2B ．[1，3]2C ．[1，2]D ．(0，2]【解析】解：由22242k x k ππππωπ-+-+，得232,44k k x k Z ππππωωωω-++∈， 取0k =，得344xππωω-， 函数()sin()(0)4f x x πωω=->在区间(0,)2π上单调递增，∴342ππω，即32ω． 又0ω>，ω∴的取值范围是(0，3]2．故选：A ．变式2．为了使sin (0)y x ωω=>在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是( ) A ．98πB ．1972πC ．1992πD ．100π【解析】解：使sin (0)y x ωω=>在区间[0，1]上至少出现50次最大值 14914T ∴⨯，即197214πω⨯，1972πω∴． 故选：B ．变式3．（多选题）已知R ω∈，函数2()(3)sin()f x x x ω=-⋅，存在常数a R ∈，使得()f x a +为偶函数，则ω的值可能为( )A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【解析】解：根据题意，2()(3)sin()f x x x ω=-⋅，则2()(3)sin[()]f x a x a x a ω+=+-+， 若()f x a +为偶函数，则30a -=且sin[()]sin[()]x a x a ωω+=-+， 则3a =，sin cos cos sin cos sin sin cos x a x a x a x a ωωωωωωωω+=-， 必有cos 0a ω=，则32k πωπ=+，必有36k ππω=+，()k Z ∈ 当0k =时，6πω=，当1k =时，2πω=，故选：AD ．变式4．若函数sin()(0)y x ωϕω=+>的部分图象如图，则ω= 4 ．【解析】解：由函数的图象可知，0(x ，0)y 与0(4x π+，0)y -，纵坐标相反，而且不是相邻的对称点，所以函数的周期002()42T x x ππ=+-=，所以22T ππω==，所以4ω=．故答案为：4．变式5．为了使函数sin (0)y x ωω=>在区间[0，1]上至少出现4次最大值，则ω的最小值是132π． 【解析】解：为了使函数sin (0)y x ωω=>在区间[0，1]上至少出现4次最大值，则ω取得最小值时，需有2233144T T ππωω+=⨯+=⨯， 解得132πω=， 故答案为132π． 变式6．已知函数sin()(0y A x A ωϕ=+≠，0)ω>在(4π，)3π上单调，其图象经过点(4π，0)，且有一条对称轴为直线4x π=-，则ω的最大值是 5 ．【解析】解：因为函数图象经过点(,0)4π，所以14k πωϕπ+=，1k Z ∈，①因为直线4x π=-为函数的一条对称轴，所以242k ππωϕπ-+=+，2k Z ∈，②①-②可得12()22k k ππωπ=-+-，即1212()k k ω=-+-，由12k k Z -∈，0ω>，可得1ω=，3，5，⋯， 因为函数sin()y A x ωϕ=+在(,)43ππ上单调，所以434T ππ-，即212ππω，解得6ω，所以ω的最大值是5． 故答案为：5．题型二：三角函数与零点 例4．已知函数211()sin sin (0)222xf x x ωωω=+->，x R ∈，若()f x 在区间(,2)ππ内有零点，则ω的取值范围是( )A ．1(4，55)(84⋃，)+∞B ．(0，15][48，1)C ．1(8，15)(48⋃，5)4D ．1(8，15)(48⋃，)+∞【解析】解：1cos sin 12()222x x f x ωω-=+-= ()4x πω-，由()0f x =，可得(41)()4k x k Z πω+=∈， 令2ω=得函数()f x 有一零点9(,2)8x πππ=∈，排除（B ）、（C ）， 令38ω=得函数()f x 在(0,)+∞上的零点从小到大为：123x π=，2103x π，⋯显然1(,2)x ππ∉，2(,2)x ππ∉，可排除（A ）， 故选：D ．例5．已知函数21()3sin cos cos 2f x x x x ωωω+-，(0,)x R ω>∈，若函数()f x 在区间(,)2ππ内没有零点，则ω的取值范围( )A ．(0，5]12B ．(0，5511][,]12612C ．(0，5]8D ．511(0,][,1)612【解析】解：函数21()3sin cos cos 2f x x x ωωω+-， 31cos21222x x ωω+=+-， sin(2)6x πω=+，函数()f x 在区间(,)2ππ内没有零点，所以：()()02f f ππ⋅>，即：sin()sin(2)066πππωωπ+⋅+>，所以：①sin()06sin(2)06ππωπωπ⎧+>⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，解得：5(0,]12ω∈， ②sin()06sin(2)06ππωπωπ⎧+<⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，解得：511[,]612ω∈，综上所述：(0ω∈，5511][,]12612， 故选：B ．例6．已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，0ϕπ<<，()()4f x f π恒成立，且()f x 在区间(0,)4π上恰有两个零点，则ω的取值范围是( ) A ．(6,10)B ．(6,8)C ．(8,10)D ．(6,12)【解析】解：依题意得()4f π为()f x 的最大值1，∴242k ππωϕπ+=+，k Z ∈，(0,)ϕπ∈，(82,82)k k k Z ω∴∈-+∈①又()f x 在区间(0,)4π上恰有两个零点，5044T π∴-，且3044T π<-，即53T ππ<，即253πππω<，解得610ω<，②∴由①②(6,10)ω∈．故选：A ．变式7．已知函数231()cos (0,)22xf x x x R ωωω=+->∈，若函数()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是( ) A ．5(0,]12B ．5(0,)6C ．5511(0,][,]12612D ．5511(0,](,]12612⋃ 【解析】解：13()cos sin()26f x x x x πωωω==+．令6x k πωπ+=可得6k x ππωω=-+，k Z ∈． 令26k ππππωω<-+<解得11266k ωω+<<+， 函数()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，∴区间1(6ω+，12)6ω+内不存在整数． 又2122ππππω-=，1ω∴， 又0ω>， 1(6ω∴+，12)(06ω+⊂，1)或1(6ω+，12)(16ω+⊂，2)．1216ω∴+或1112266ωω+<+， 解得5012ω<或511612ω． 故选：C ．变式8．已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，0ϕπ<<，()()4f x f π恒成立，且()y f x =在区间3(0,)8π上恰有3个零点，则ω的取值范围是 (6,10) ．【解析】解：函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，0ϕπ<<，()()4f x f π恒成立，()14f π∴=，∴242k ωππϕπ+=+，k Z ∈，224k πωπϕπ∴=+-，k Z ∈．结合ϕ的范围，可得0k =或1k =． ①当0k =时，24πωπϕ=-，由0ω>，且(0,)ϕπ∈，可得(0ω∈，2 )． ()y f x =在区间3(0,)8π上恰有3个零点，3(,)8x ωπωϕϕϕ+∈+， 3348πωπϕπ∴<+，即334824πωππωππ<+-，即57282πωππ<，即2028ω<． 综合可得，ω∈∅． ②当1k =时，522424πωππωπϕπ=+-=-， 由0ω>，且(0,)ϕπ∈，可得(6ω∈，10 )． ()y f x =在区间3(0,)8π上恰有3个零点，3(,)8x ωϕϕωπϕ+∈+， 3348πωπϕπ∴<+，即3534824πωππωππ<+-，即412ω<．综合可得，此时，(6,10)ω∈． 综上，结合①②可得，(6,10)ω∈， 故答案为：(6,10)． 变式9．已知函数1()2cos sin()(0)2262xx f x ωωπω=+->，x R ∈，若()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是 (0，5511][,]12612． 【解析】解：由1()2cos (sincoscossin )226262xxxf x ωωπωπ=+- 21313sincoscos sin()222226xxxcos x x x ωωωπωωω=+-=+=+． ()f x 在区间(,2)ππ内没有零点， 2ππππω∴-=，可得01ω<． 当(,2)x ππ∈时，(66x ππωπω+∈+，2)6ππω+，∴26()226k k Z k ππωπππωππ⎧+⎪⎪∈⎨⎪++⎪⎩，或26()2226k k Z k ππωππππωππ⎧++⎪⎪∈⎨⎪++⎪⎩， 解得152()612k k k Z ω-+∈，或5112()612k k k Z ω++∈， 又01ω<<，5012ω∴<或511612ω． ω∴的取值范围是(0，5511][,]12612． 故答案为：(0，5511][,]12612． 变式10．已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0ω>（1）若()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增，求ω的取值范围；（2）令2ω=，将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象，区间[a ，](b a ，b R ∈且)a b <满足，()y g x =在[a ，]b 上恰有30个零点，求b a -的取值范围． 【解析】解：（1）对于函数()2sin f x x ω=，其中常数0ω>，若()y f x =在[4π-，2]3π上单调递增， 则()42ππω--，且232ππω，求得34ω，即ω的取值范围为(0，3]4． （2）令2ω=，将函数()2sin 2y f x x ==的图象向左平移6π个单位长度，可得函数2sin 2()2sin(2)63y x x ππ=+=+的图象；再向上平移1个单位长度，得到函数()2sin(2)13y g x x π==++的图象，令()0g x =，求得1sin(2)32x π+=-，72236x k πππ∴+=+，或112236x k πππ+=+，k z ∈， 求得512x k ππ=+或34x k ππ=+，k z ∈，故函数()g x 的零点为512x k ππ=+或34x k ππ=+，k z ∈． ()g x ∴的零点相离间隔依次为3π和23π， ()y g x =在[a ，]b 上恰有30个零点， b a ∴-的最小值为2431415333πππ⨯+⨯=，2471615333b a πππ-<⨯+⨯=， ∴434733b a ππ-<． 题型三：三角函数性质综合应用例7．已知函数()sin()(06,)22f x x ππωϕωϕ=+<<-<<的图象向右平移3π个单位长度得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则(ωϕ= )A ．34π-B ．23π-C ．23π D ．34π 【解析】解：把函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度， 得到函数()sin()3g x x ωπωϕ=-+的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则432k πωππωϕπ-+=+，⋯①42k ππωϕπ+=+，⋯②由①②得3n ωππ=，n Z ∈；3n ω∴=，又(0,6)ω∈，3ω∴=； ()sin(3)f x x ϕ∴=+；由342k ππϕπ+=+，解得4k πϕπ=-，又(2πϕ∈-，)2π，4πϕ∴=-，34πωϕ∴=-． 故选：A ．例8．已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在(4π，)3π单调，则ω的最大值为( ) A ．12B ．11C ．10D ．9【解析】解：函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，()4k πωϕπ∴-+=，且42k ππωϕπ+='+，k 、k Z '∈，2()1k k ω∴='-+，即ω为奇数①．()f x 在(4π，)3π单调，∴12234πππω-，12ω∴②．由①②可得ω的最大值为11． 当11ω=时，由4x π=为()y f x =图象的对称轴，可得1142k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈，故有4πϕ=-，()4k πωϕπ-+=，满足4x π=-为()f x 的零点，同时也满足满足()f x 在(4π，)3π单调， 故11ω=为ω的最大值， 故选：B ．例9．已知函数()sin()(0,||),24f x x x ππωϕωϕ=+>=-为()y f x =图象的对称轴，4x π=为()f x 的零点，且()f x 在区间(,)126ππ上单调，则ω的最大值为( ) A ．13B ．12C ．9D ．5【解析】解：函数()sin()(0,||),24f x x x ππωϕωϕ=+>=-为()y f x =图象的对称轴，4x π=为()f x 的零点，()f x 在区间(,)126ππ上单调，∴周期2()6126T πππ⨯-=，即26ππω，12ω∴．4x π=-为()y f x =图象的对称轴，4x π=为()f x 的零点，∴21242n ππω+=，n Z ∈，21n ω∴=+．当11ω=时，由题意可得114k πϕπ⨯+=，4πϕ=，函数为()sin(11)4y f x x π==+，在区间(,)126ππ上，711(46x ππ+∈，25)12π，()f x 在区间(,)126ππ上不单调，11ω∴≠．当9ω=时，由题意可得94k πϕπ⨯+=，4πϕ=-，函数为()sin(9)4y f x x π==-，在区间(,)126ππ上，9(42x ππ-∈，5)4π，()f x 在区间(,)126ππ上单调，满足条件，则ω的最大值为9， 故选：C ．变式11．已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且11(36x π∀∈，17)36π，|()|1f x <，则ω的最大值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2【解析】解：函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴．4m πωϕπ∴-+=，42n ππωϕπ+=+．(,)m n Z ∈2()1n m ω∴=-+，即ω为奇数．下面验证5ω=不符合题意， 当5ω=时，可得4πϕ=，函数()sin(5)4f x x π=+，且11(36x π∈，17)36π时，64945(,)43636x πππ+∈， 而56494(,)23636πππ∈，不符合11(36x π∈，17)36π，|()|1f x <，则ω的最大值为3，故选：C ．变式12．将函数()sin(2)(0f x x ωϕω=+>，[0ϕ∈，2])π图象上每点的横坐标变为原来的2倍，得到函数()g x ，函数()g x 的部分图象如图所示，且()g x 在[0，2]π上恰有一个最大值和一个最小值（其中最大值为1，最小值为1)-，则ω的取值范围是( )A ．713(,]1212B ．713[,)1212C ．1117[,)1212D ．1117(,]1212【解析】解：将函数()sin(2)(0f x x ωϕω=+>，[0ϕ∈，2])π图象上每点的横坐标变为原来的2倍， 得函数()sin()g x x ωϕ=+，由()g x 图象过点3以及点在图象上的位置， 知3sin ϕ=，23πϕ=，02x π，∴2222333x πππωπω++， 由()g x 在[0，2]π上恰有一个最大值和一个最小值，∴5272232ππππω+<，∴11171212ω<， 故选：C ．变式13．已知22()sin ()cos ()(0)33f x x x ππωωω=+-+>．给出下列判断：①若1()1f x =，2()1f x =-，且12||2min x x π-=，则2ω=；②若()f x 在[0，2]π上恰有9个零点，则ω的取值范围为5359[,)2424； ③存在(0,2)ω∈，使得()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到的图象关于y 轴对称； ④若()f x 在[,]63ππ-上单调递增，则ω的取值范围为1(0,]3．其中，判断正确的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】解：222()sin ()cos ()cos(2)sin(2)3336f x x x x x ππππωωωω=+-+=-+=+．①由题可知，最小正周期22T ππω==，1ω∴=，即①错误； ②设函数()sin(2)6f x x πω=+在y 轴右侧与x 轴的第9个交点的横坐标为α，第10个交点的横坐标为β，则296πωαπ+=，2106πωβπ+=，解得5312παω=，5912πβω=， 若()f x 在[0，2]π上恰有9个零点，则535921212πππωω<，解得53592424ω<，即②正确；③()f x 的图象向右平移6π个单位得到函数()sin[2()]sin(2)6636g x x x ππωππωω=-+=-+， 函数()g x 的图象关于y 轴对称，∴,362k k Z ωππππ-+=+∈，13k ω∴=--，k Z ∈，若存在(0,2)ω∈，则13(0,2)k --∈，解得1(1,)3k ∈--，与k Z ∈相矛盾，即③错误；④令2[2,2]622x k k πππωππ+∈-++，得[,]36k k x ππππωωωω∈-++，k Z ∈， ()f x 在[,]63ππ-上单调递增，∴当0k =时，有3636ππωππω⎧--⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得12ω，0ω>，102ω∴<， 故ω的取值范围为1(0,]2，即④错误．∴正确的只有②，故选：A ．变式14．已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在(18π，5)36π单调，求ω的最大值．【解析】解：函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，()4n πωϕπ∴-+=，n Z ∈，且42n ππωϕπ⋅+='+，n Z '∈，∴相减可得()222n n k πππωππ⋅='-+=+，k Z ∈，即21k ω=+，即ω为奇数．()f x 在(18π，5)36π单调，（1）若()f x 在(18π，5)36π单调递增，则2182k ππωϕπ⋅+-，且52362k ππωϕπ⋅++，k Z ∈， 即2182k ππωϕπ-⋅--+①，且52362k ππωϕπ⋅++，k Z ∈②， 把①②可得：336ωππ，12ω∴，故有奇数ω的最大值为11． 当11ω=时，114k πϕπ-+=，k Z ∈，||2πϕ，4πϕ∴=-． 此时()sin(11)4f x x π=-在(18π，5)36π上不单调，不满足题意．当9ω=时，94k πϕπ-+=，k Z ∈，||2πϕ，4πϕ∴=， 此时()sin(9)4f x x π=+在(18π，5)36π上单调递减，不满足题意；故此时ω无解．（2）若()f x 在(18π，5)36π单调递减，则2182k ππωϕπ⋅++，且532362k ππωϕπ⋅++，k Z ∈，即2182k ππωϕπ-⋅---③，且532362k ππωϕπ⋅++，k Z ∈④， 把③④可得：336ωππ，12ω∴，故有奇数ω的最大值为11． 当11ω=时，114k πϕπ-+=，k Z ∈，||2πϕ，4πϕ∴=-． 此时()sin(11)4f x x π=-在(18π，5)36π上不单调，不满足题意．当9ω=时，94k πϕπ-+=，k Z ∈，||2πϕ，4πϕ∴=， 此时()sin(9)4f x x π=+在(18π，5)36π上单调递减，满足题意；故ω的最大值为9． 故答案为：9．【过关测试】 一．选择题2．若函数()3sin (0)f x x ωω=>能够在某个长度为3的闭区间上至少三次出现最大值3，且在[,]1110ππ-上是单调函数，则整数ω的值是( ) A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】解：函数sin y x ω=能够在某个长度为3的区间上至少三次出现最大值3， 如果起点为最高点，到下一个最高点，刚好一个周期，可两次获得最大值3， 由三角函数的图象与性质可知：即：223πω；解得：43πω； 又[11x π∈-，]10π上为单调函数，1110xωπωπω∴-，且102112ωππωππ⎧⎪⎪⎨⎪--⎪⎩， 解得5ω；综上可得，正整数5ω=． 故选：B ．3．已知函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||)2πϕ，满足()06f π-=且对于任意的x R ∈都有2()()3f x f x π=-，若()f x 在52(,)369ππ上单调，则ω的最大值为( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．11【解析】解：函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||)2πϕ，满足()0sin()66f A πωπϕ-==-+，6k ωπϕπ∴-+=，k Z ∈①． 对于任意的x R ∈都有2()()3f x f x π=-，故()f x 的图象关于直线3x π=对称，∴32n ωππϕπ+=+，n Z ∈②．∴②-①可得()362n k ωπωπππ+=-+，即2()1n k ω=-+，即ω等于π的奇数倍． 若()f x 在52(,)369ππ上单调，则12252936πππω⋅-，求得12ω． 当11ω=时，由①可得116k πϕπ-+=，k Z ∈，结合||2πϕ，可得6πϕ=-，此时，()sin(11)6f x A x π=-，当52(,)369x ππ∈，4911(636x ππ-∈，41)18π， 故不满足()f x 在52(,)369ππ上单调，故11ω=不满足条件． 当9ω=时，()sin(9)f x A x ϕ=+，由①可得32k πϕπ-+=，k Z ∈，结合||2πϕ，可得2πϕ=或2πϕ=-，满足()f x 在52(,)369ππ上单调，也满足③． 故ω的最大值为9， 故选：C ． 4．已知0ω>，||2πϕ，在函数()sin()f x x ωϕ=+，()cos()g x x ωϕ=+的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2π，当(6x π∈-，)4π时，函数()f x 的图象恒在x 轴的上方，则ϕ的取值范围是() A ．(6π，)3πB ．[6π，]3πC ．(,)32ππD ．[,]32ππ【解析】解：由()()f x g x =，得sin()cos()x x ωϕωϕ+=+， 即tan()1x ωϕ+=， 即4x k πωϕπ+=+，则4x k πωπϕ=+-，4k x ππϕω+-=，当0k =时，14x πϕω-=，当1k =时，24x ππϕω+-=，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2π， 21442x x πππϕϕππωωω+--∴-=-==， 即2ω=，则()sin(2)f x x ϕ=+， 当(6x π∈-，)4π时，函数()f x 的图象恒在x 轴的上方，即此时()0f x >，恒成立， 由()0f x >，得222k x k πϕππ<+<+，k Z ∈， 得222k x k ϕϕπππ-<<-+，则26224k k ϕππϕπππ⎧--⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩，得2624k k ϕππϕππ⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，得2322k k πϕππϕπ⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，当0k =时，得32πϕπϕ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，得32ππϕ， 则ϕ的取值范围是[3π，]2π，故选：D ．5．已知函数()2sin 1(0)f x x ωω=+>在区间[2π-，2]3π上是增函数，则ω的取值范围是( ) A ．(0，3]4B ．(0，1]C ．3[4，1]D ．3[2，1]【解析】解：函数()2sin 1(0)f x x ωω=+>， ()f x 区间[2π-，2]3π上是增函数， 则有2222232k k πωπππωππ⎧--+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，k Z ∈，解得：14k ω-且334k ω+， 0ω>，(0∴，3]4．故选：A ．6．已知函数()sin()(0)4f x x πωω=+>在区间[0，]π上有且仅有4条对称轴，则下列四个结论正确的是()A ．()f x 在区间(0,)π上有且仅有3个不同的零点B ．()f x 的最小正周期可能是4π C ．ω的取值范围是1317[,)44D ．()f x 在区间(0,)16π上单调递增【解析】解：函数()sin()(0)4f x x πωω=+>，令42x k ππωπ+=+，k Z ∈，得(41)4k x πω+=，k Z ∈， 函数()f x 在区间[0，]π上有且仅有4条对称轴，即有4个整数k 满足(41)04k ππω+，由(41)04k ππω+，得0144k ω+，可得0k =，1，2，3，则1434144ω+⨯<+⨯，∴131744ω<，即ω的取值范围是1317[,)44，故C 正确； (0,)x π∈，(44x ππω∴+∈，)4πωπ+，得7(42ππωπ+∈，9)2π，当[44x ππω+∈，9)2π时，()f x 在区间(0,)π上有且仅有4个不同的零点，故A 错误； 周期2T πω=，由1317[,)44ω∈，得14(17ω∈，4]13， 8(17T π∴∈，8]13π，()f x ∴的最小正周期不可能是4π，故B 错误； (0,)16x π∈，(44x ππω∴+∈，)164ωππ+，又13[4ω∈，17)4，∴29[16464ωπππ+∈，33)64π，又33642ππ>，()f x ∴在区间(0,)16π上不一定单调递增，故D 错误．故选：C ．7．函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在区间[0，]3π上恰有三个零点，则ω的取值范围是( )A ．111722ω< B ．111722ωC ．172322ω< D ．172322ω【解析】解：函数sin()(0)6y x πωω=+>在区间[0，]3π恰有3个零点，[66x ππω+∈，]36ππω+，可得3436πππωπ+<，可得172322ω<． 故选：C ．8．已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+>的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为( )A ．2937[,]66ππB ．2937[,)66ππC ．2537[,)66ππD ．[4π，6)π【解析】解：因为[0x ∈，1]，所以[33x ππω+∈，]3πω+，因为()f x 的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点， 所以46232ππππωπ++<+，解得253766ππω<． 故选：C ．9．若存在唯一的实数(0,)2t π∈，使得曲线sin()(0)4y x πωω=->关于直线x t =对称，则ω的取值范围是()A ．3(4，7]4B ．3[4，7]4C ．3(2，7]2D ．3[2，7]2【解析】解：函数sin()4y x πω=-，其对称方程为42x k ππωπ-=+，k Z ∈，解得34k x ππω+=，k Z ∈；对称轴(0,)2x t π=∈，∴当0k =时，可得对称性：342ππω<，，解得：32ω>； 当1k =时，可得对称性：342πππω+，解得：72ω； ω∴的取值范围是3(2，7]2．故选：C ． 二．多选题10．已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，)R ϕ∈在区间75(,)126ππ上单调，且满足73()()124f f ππ=-则( )A ．2()03f π=B ．04ω<C ．关于x 的方程()1f x =在区间[0，2)π上最多有4个不相等的实数解D ．若函数()f x 在区间213[,)36ππ上恰有5个零点，则ω的取值范围为8(,3]3【解析】解：函数()sin()f x x ωϕ=+满足73()()124f f ππ=-． 对于A ，因为1732()21243πππ⨯+=，所以()f x 的一个对称中心是(3π，0)，即2()03f π=，选项A 正确；对于B ，因为576122Tππ-，解得2T π，即22ππω，解得4ω，所以04ω<，选项B 正确；对于C ，关于x 的方程()1f x =只有一个实数解，函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，)R ϕ∈在区间7(12π，5)6π上单调，且满足2()03f π=， 所以5224()633T πππ⨯-=， 当23T π=时，()sin3f x x =，()1f x =在区间[0，2)π上的实数解为6π，56π，32π共有三个，选项C 错误； 对于D ，函数()f x 在区间2[3π，13)6π上恰有5个零点，所以13252632TT ππ<-， 所以2132522632ππππωω⨯<-⨯，解得81033ω<， 且满足5224()63T πππω>⨯-=，即223ππω，解得3ω，所以8(3ω∈，3]，选项D 正确．故选：ABD ．11．已知函数()4sin cos()1(0)6f x x x πωωω=++>在(0,)x π∈上恰有3个零点，则( )A ．()f x 在(0,)π上恰有2个极大值点和2个极小值点B ．()f x 在(0,)8π上的最大值是2C ．()f x 在(0,)12π上是增函数D ．ω的取值范围是1723(,]1212【解析】解：函数()4sin cos()16f x x x πωω=++314sin (sin )12x x x ωωω=-+ 223sin cos 2sin 1x x x ωωω=-+ 3sin 2cos2x x ωω=+2sin(2)6x πω=+，0ω>； 当(0,)x π∈时，2(66x ππω+∈，2)6πωπ+，对于D ，因为()f x 在(0,)π内恰好3个零点，所以3246ππωππ<+，解得17231212ω<，选项D 正确； 对于A ，当(0,)x π∈时，2(66x ππω+∈，2)6πωπ+，因为3246ππωππ<+，所以()2sin(2)6f x x πω=+在区间(0,)π上可能有2个或1个极小值点，选项A 错误；对于B ，当(0,)8x π∈时，2(66x ππω+∈，)46ωππ+，因为17231212ω<，所以1725464126482ωππππππ+>⨯+=>，所以()f x 在区间(0,)8π上有最大值为2，选项B 正确；对于C ，当(0,)12x π∈时，2(66x ππω+∈，)66ωππ+，因为17231212ω<，所以2335666126722ωππππππ+⨯+=<，所以()f x 在区间(0,)12π上单调递增，选项C 正确．故选：BCD ．12．已知函数2()12cos ()(0)3f x x πωω=-+>，下面结论正确的是( )A ．若1x ，2x 是函数()f x 的两个不同的极值点，且12||x x -的最小值为π，则1ω=B ．存在(0,1)ω∈，使得()f x 往右平移6π个单位长度后得到的图象关于原点对称C ．若()f x 在[0，2]π上恰有6个零点，则ω的取值范围是3541[,)2424D ．若2(0,]3ω∈，则()f x 在[,]64ππ-上单调递增【解析】解：22()12cos ()cos(2)sin(2)336f x x x x πππωωω=-+=-+=+，对于A ，12||2min T x x π-==，∴2ππω=，12ω=，错误； 对于B ，平移后12()sin(2)6g x x ωωπ-=+关于原点对称，则1216()62kk k Z ωππω--=∈⇒=，k Z ∈，当0k =时，1(0,1)2ω=∈，正确；对于C ，[0x ∈，2]π，2[,4]666x πππωωπ+∈+，3541647[,)62424ππωππω+<⇒∈，正确； 对于D ，当[,]64x ππ∈-，则2(636x πωππω+∈-+，)26ωππ+，若()f x 在[,]64ππ-上单调递增，则23623262ωπππωωπππ⎧-+-⎪⎪⇒⎨⎪+⎪⎩，0ω>，∴2(0,]3ω∈，正确．故选：BCD ． 三．填空题13．若函数sin y x ω=能够在某个长度为1的闭区间上至少两次获得最大值1，且在区间[,]1615ππ-上为增函数，则正整数ω的值为 ．【解析】解：由题意函数sin y x ω=图象过(0,0)，其周期2T πω=，要使长度为1的闭区间上至少两次获得最大值1，则有1T ， 即21πω，解得2ωπ，在区间[,]1615ππ-上为增函数， ∴2216k ππωπ--且2215k πωππ+，k Z ∈，解得832k ω-且307.5k ω+，∴当0k =时，正整数ω值为7，符合条件．故答案为：7．14．已知函数22()2sin cos ()sin (0)24x f x x x ωπωωω=⋅-->在区间52[,]63ππ-上是增函数，且在区间(0,)π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是 ．【解析】解：22()2sin cos ()sin 24x f x x x ωπωω=⋅-- 2sin [1cos()]2x x sin x πωωω=⋅+--2sin (1sin )sin x x x ωωω=⋅+- sin x ω=，令2,2x k k Z πωπ=+∈，解得2,2k x k Z ππωω=+∈， 因为()f x 在区间(0,)π上恰好取得一次最大值， 所以02ππω<<，解得12ω>， 令22,22k xk k Z πππωπ-++∈，解得22,22k k x k Z ππππωωωω-++∈， 因为()f x 在区间52[,]63ππ-上是增函数， 所以562232ππωππω⎧--⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得35ω， 综上所述，1325ω<， 所以ω的取值范围为13(,]25．故答案为：13(,]25．15．设函数()sin (0)g x x ωω=>向左平移5πω个单位长度得到函数()f x ，已知()f x 在[0，2]π上有且只有5个零点，则ω的取值范围是 ． 【解析】解：由题意知，()sin ()sin()55f x x x ππωωω=+=+， 因为[0x ∈，2]π，所以[55x ππω+∈，2]5πωπ+，又()f x 在[0，2]π上有且只有5个零点， 所以5265ππωππ+<，解得1229510ω<， 所以ω的取值范围是12[5，29)10．故答案为：12[5，29)10．16．若函数()2sin(2)4f x x π=+在[0，]2m和[3m ，]π上均单调递增，则实数m 的取值范围为 ．【解析】解：由()2sin(2)4f x x π=+知，当[0x ∈，]π时，()f x 在[0,]8π和5[,]8ππ上单调递增，[0，]2m和[3m ，]π上均单调递增， ∴28538m m ππ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，∴5244mππ， m ∴的取值范围为：5[,]244ππ． 故答案为：5[,]244ππ． 17．已知函数5()cos()(0)6f x x πωω=->在(0,)4π上有且仅有2个零点，则实数ω的取值范围为 ．【解析】解：令()0f x =，则562x k πωππ-=+，k Z ∈，43k x ππωω∴=+， 由于()f x 在(0,)4π上有且仅有2个零点，则有434ππω<，且有734ππω，则有162833ω<为所求范围． 故答案为：16(3，28]3．18．已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，)R ϕ∈在区间75(,)126ππ上单调，且满足73()()124f f ππ=-．（1）若5()()6f x f x π-=，则函数()f x 的最小正周期为 π ；（2）若函数()f x 在区间213[,)36ππ上恰有5个零点，则ω的取值范围为 ． 【解析】解：因为7(12π，37)(412ππ⊆，5)6π， 所以()f x 在7(12π，3)4π上单调， 又73()()124f f ππ=-，所以73212423πππ+=，可得2()03f π=， 又由于5()()6f x f x π-=， 所以函数()f x 的对称轴方程为556212x ππ==，则2531244Tπππ-==，所以函数的最小正周期为π； 因为函数()f x 在区间2[3π，13)6π上恰有5个零点， 所以13252632T T ππ<-， 所以2132522632ππππωω⋅<-⋅，解得81033ω<， 且满足5224()633T πππ>⨯-=，即223ππω，即3ω， 故8(3ω∈，3]，故④正确；故答案为：π，8(,3]3．19．设()3sin()1(0)12f x x πωω=-+>，若()f x 在[,]36ππ-上为增函数，则ω的取值范围是 ． 【解析】解：设()3sin()1(0)12f x x πωω=-+>，若()f x 在[,]36ππ-上为增函数， [12312x πωππω-∈--，]63ωππ-， 故有3122ωπππ---，6122ωπππ-，求得54ω， 可得ω的取值范围是5(0,]4，故答案为：(0，5]4．20．已知函数()sin()(0)3f x x πωω=->，[0x ∈，]π的值域为3[，则ω的取值范围是 ．【解析】解：因为[0x ∈，]π，所以[,]333x πππωωπ-∈--，因为函数()sin()3f x x πω=-的值域为3[，所以[32ππωπ-∈，4]3π，解得55[,]63ω∈． 故答案为：55[,]63．21．已知函数2sin()(0)3y x πωω=->图象与函数2sin()(0)6y x πωω=+>图象相邻的三个交点依次为A ，B ，C ，且ABC ∆是钝角三角形，则ω的取值范围是 ．【解析】解：因为2sin()2sin()326y x x πππωω=-+=+，所以函数2sin()3y x πω=-的图象向左平移2πω个单位得到函数2sin()6y x πω=+的图象，画出两函数2sin()(0)3y x πωω=->和函数2sin()(0)6y x πωω=+>的部分图象，如图所示：根据图象知，2AC πω=，取AC 的中点D ，连接BD ，由对称性知，ABC ∆是以ABC ∠为顶角的等腰三角形，因为ABC ∆是钝角三角形，所以4ABD π∠>，所以tan 1ADABD BD∠=>，所以AD BD >，由2sin()2sin()36x x ππωω-=+，整理可得()()236x x k ππωωππ-++=+，k Z ∈，可得712x k πωπ=+，k Z ∈；则72sin()2sin()23123y x k πππωπ=-=+-=±2||22B BD y ==ABC ∆为钝角三角形，只需AD BD >，即22πω>24ω<，所以ω的取值范围是2)4． 故答案为：2)．。
高考数学一轮复习三角函数与解三角形中的最值(范围)问题
，∵函数f（x）＝cos（2x＋φ）（0＜φ＜π）在区间
π π
− ,
6 6
上单调递
π
− ≥ 0,
π
π
π
2π
减，∴ − + , + ⊆[0，π]，即ቐ 3π
解得 ≤φ≤ .令f（x）＝cos
3
3
3
3
+ ≤ π,
3
π
π π
（2x＋φ）＝0，则2x＋φ＝ ＋kπ（k∈Z），即x＝ － ＋ （k∈Z），又函数f
4
解：（2）f（x）＝－
1 2 5
sin−
＋ ＋a.
2
4
17
, 5
4 ⇒൝4
()max ≤
由题意得ቐ
()min ≥ 1
17
,
4 ⇒2≤a≤3，
+ ≤
−1 ≥ 1
即实数a的取值范围是[2，3].
三角形中的最值（范围）问题
考向1 利用三角函数的性质求最值（范围）
【例4】 △ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C.
重难专攻（四）
三角函数与解
三角形中的最值（范围）问题
三角函数与解三角形中的最值（范围）问题是高考的热点，主要涉及：
（1）三角函数式的最值（范围）问题；（2）利用三角函数性质求某些量的最
值（范围）；（3）三角形中的最值（范围）（周长、面积等），其求解方法多
样，一般常用方法有：（1）利用三角函数的单调性（正、余弦函数的有界性）
3
3
答案
3
3
－
3
3
2
1+ 2
，
｜解题技法｜
sin+
三角函数求值域专题
三角函数求值域专题求三角函数值域及最值的常用方法：(1)一次函数型：或利用为：y asinx bcosx a2b2sin(x ),利用函数的有界性或单调性求解；化为一个角的同名三角函数形式，(1)：y 2sin(3x —) 5，y sin xcosx12(2)y 4sin x 3cosx(3) _____________________________________ .函数在区间上的最小值为_1.(4 )函数且的值域是—(,1] [1,)(2)二次函数型：化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、换元及图像法求解;二倍角公式的应用：女口. ( 1) y sin x cos2x3(2)函数的最大值等于3.4(3) _____________________________ .当时，函数的最小值为_4 •(4).已知k v—4,则函数y = cos2x + k(cos x-1)的最小值是 1 •(5).若，则的最大值与最小值之和为2— _ •(3) 借助直线的斜率的关系用数形结合求解；a sin x b型如f(x) 型。
此类型最值问题可考虑如下几种解法：ccos x d①转化为asinx bcosx c再利用辅助角公式求其最值；②利用万能公式求解；③采用数形结合法(转化为斜率问题)求最值。
例1 ：求函数y sinx的值域。
cosx 2结合图形可知，此函数的值域是［』3,』3］。
33例2.求函数的最小值.解法一：原式可化为，得，即， 故，解得或(舍)，所以的最小值为. 解法二：表示的是点与连线的斜率，其中点 B 在左半圆上，由图像知，当 AB 与半圆相切时，最小, 此时，所以的最小值为.(4) 换元法•识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为 解法2：将函数ycosx sinx_变形为 2y cosx sin x2y ，二 sin( x )2y 1 y 2|sin(x )| 理 1V 1 y2(2y)y2，解得：彳，故值域是3]解法 3:利用万能公式求解: 由万能公式sin x -1 2t cosx 口;，代入1 t 2sinx得到cosx 22t2厂沪则有3yt2t0知：当t0,则y满足条件；当0，由24 12y 0 ,乜，故所求函数的值域是3解法4：利用重要不等式求解：由万能公式sinx -12t T ， cosx.代入t 2sinx得到cosx 20,2t1 3t 20时，则y 0,满足条件；当t 0时,2 1" t 3t——,如果t >3t)2 ([)(3t)2 ~1 (：3t)2 2、于，此时即有如果t2、( ；)( 3t)彳，此时有0 y 于。
三角函数求范围
三角函数求范围三角函数是高中数学中的一项重要内容，它在计算几何、物理、电子等领域中都有广泛的应用。
在学习三角函数时，我们要对它的范围有一定的了解，因为范围直接关系到函数的取值范围和周期。
本文将从正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数四个方面，介绍三角函数的范围。
正弦函数的范围是[-1,1]。
正弦函数是一个奇函数，它的图像是一条关于原点对称的周期函数。
在周期为2π时，正弦函数的取值范围是[-1,1]。
这是因为正弦函数的值在[-π/2,π/2]之间是单调递增的，所以当x∈[-π/2,π/2]时，sinx的值在[-1,1]之间。
当x∈[π/2,3π/2]时，sinx的值在[-1,1]之间取反，即sinx∈[-1,1]。
当x∈[3π/2,2π]时，sinx的值再次取反，仍然在[-1,1]之间。
余弦函数的范围也是[-1,1]。
余弦函数是一个偶函数，它的图像是一条关于y轴对称的周期函数。
在周期为2π时，余弦函数的取值范围也是[-1,1]。
这是因为余弦函数的值在[0,π]之间是单调递减的，所以当x∈[0,π]时，cosx的值在[1,-1]之间。
当x∈[π,2π]时，cosx 的值再次取反，仍然在[-1,1]之间。
正切函数的范围是(-∞,∞)。
正切函数是一个奇函数，它的图像是一条关于原点对称的周期函数。
在周期为π时，正切函数的取值范围是(-∞,∞)。
这是因为正切函数的值在(-π/2,π/2)之间是单调递增的，所以当x∈(-π/2,π/2)时，tanx的值在(-∞,∞)之间。
当x∈(π/2,3π/2)时，tanx的值在(-∞,∞)之间取反，即tanx∈(-∞,∞)。
当x∈(3π/2,2π)时，tanx的值再次取反，仍然在(-∞,∞)之间。
余切函数的范围也是(-∞,∞)。
余切函数是一个奇函数，它的图像是一条关于原点对称的周期函数。
在周期为π时，余切函数的取值范围是(-∞,∞)。
这是因为余切函数的值在(0,π)之间是单调递减的，所以当x∈(0,π)时，cotx的值在(∞,-∞)之间。
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三角函数中求取值范围专题
1.在△ABC 中，若()B A C B A cos cos sin sin sin +=+.
(1)判断△ABC 的形状；
(2)在上述△ABC 中，若角C 的对边1=c ，求该三角形内切圆半径的取值范围。
2.设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =．
（1）求B 的大小；（2）求cos sin A C +的取值范围．
3.已知向量)4cos ,4(cos ),2,4sin
32(2x x n x m ==．
（1） 若2=⋅n m ，求)3cos(π+x 的值； （2）记n m x f ⋅=)(，在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足
C b B c a cos cos )2(=-，求)(A f 的取值范围．
4.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足（2a －c ）cosB ＝bcosC. （Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）当b 时，求AB CB 的最大值.
5.设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a B b A c -=． （Ⅰ）求B
A tan tan 的值； （Ⅱ）求tan()A
B -的最大值．
6.设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；
（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．
7.在ABC △中，已知内角A π
=3，边BC =B x =，周长为y ．
（1）求函数()y f x =的解析式和定义域；
（2）求y 的最大值．
8.已知ABC △顶点的直角坐标分别为(34)A ，，(00)B ，，(0)C c ，．
（1）若5c =，求sin A ∠的值；
（2）若A ∠是钝角，求c 的取值范围．
9.已知ABC △的面积为3，且满足06AB AC ≤≤，设AB 和AC 的夹角为θ． （I ）求θ的取值范围；
（II ）求函数2()2sin 3cos 24f θθθ⎛⎫=+-
⎪⎝⎭π的最大值与最小值．
10.已知函数117(),()cos (sin )sin (cos ),(,).112
t f t g x x f x x f x x t ππ-==⋅+⋅∈+ （Ⅰ）将函数()g x 化简成sin()A x B ωϕ++（0A >，0ω>，[0,2)ϕπ∈）的形式； （Ⅱ）求函数()g x 的值域.
11.已知(2cos 23sin ,1),(cos ,)m x x n x y =+=-，满足0m n ⋅=．
（I ）将y 表示为x 的函数()f x ，并求()f x 的最小正周期；
（II ）已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 对应的边长，若3)2
A (
=f ，且2a =，求b c +的取值范围．
12.在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，且A
A C A ac c a b cos sin )cos(222+=-- （1）求角A ；
（2）若2=
a ，求bc 的取值范围．。