信号拉式变换
常见信号拉氏变换
常见信号拉氏变换1. 介绍拉氏变换是一种在信号处理领域中常用的数学工具，它能够将时域中的信号转换为复频域中的函数。
拉氏变换可以帮助我们更好地理解和分析各种常见信号的特性和行为。
本文将介绍常见信号的拉氏变换，并详细讨论每个信号类型的特点和拉氏变换公式。
我们将涵盖常见的连续时间信号和离散时间信号，以及它们在频域中的表示。
2. 连续时间信号2.1 常值信号常值信号是指在整个时间范围内保持恒定数值的信号。
它在时域中表示为：x(t)=A其中，A是常数。
对于常值信号，其拉氏变换为：X(s)=A s2.2 单位阶跃函数单位阶跃函数是一种在t=0时从零跳跃到单位幅度的函数。
它在时域中表示为：x(t)=u(t)其中，u(t)是单位阶跃函数。
单位阶跃函数的拉氏变换为：X(s)=1 s2.3 单位冲激函数单位冲激函数是一种在t=0时瞬时达到无穷大幅度的函数。
它在时域中表示为：x(t)=δ(t)其中，δ(t)是单位冲激函数。
单位冲激函数的拉氏变换为：X(s)=12.4 指数衰减信号指数衰减信号是一种随时间指数衰减的信号。
它在时域中表示为：x(t)=e−at其中，a是正常数。
指数衰减信号的拉氏变换为：X(s)=1 s+a2.5 正弦信号正弦信号是一种周期性的连续时间信号。
它在时域中表示为：x(t)=Asin(ωt+ϕ)其中，A是振幅，ω是角频率，ϕ是相位差。
正弦信号的拉氏变换为：X(s)=ω(s2+ω2)3. 离散时间信号3.1 单位取样序列单位取样序列是一种在离散时间点上取值为1的序列。
它在时域中表示为：x[n]=δ[n]其中，δ[n]是单位冲激函数。
单位取样序列的拉氏变换为：X(z)=13.2 指数衰减序列指数衰减序列是一种随时间指数衰减的离散时间信号。
它在时域中表示为：x[n]=a n u[n]其中，a是正常数，u[n]是单位阶跃函数。
指数衰减序列的拉氏变换为：X(z)=11−az−13.3 正弦序列正弦序列是一种周期性的离散时间信号。
单位脉冲信号的拉氏变换
单位脉冲信号的拉氏变换
拉氏变换（Laplace transformation）是19世纪法国数学家拉氏提出的一种将定义域上的函数f（t）映射到复平面上另一个函数F（s）的变换。
其定义为：
F（s）=∫f（t）e-stdt ，
其中传统拉氏变换定义域有限，即限制在[0,无穷）或[0,T]上。
拉氏变换可以用来处理单位脉冲信号，其定义为：
δ(t)= {
0t<0
1t=0
0t>0
}
拉氏变换应用于单位脉冲信号时，有：
F（s）=∫δ(t)e-stdt=e-st
可以看出，单位脉冲信号的拉氏变换结果为常数，值为e-st。
这表明，单位脉冲信号的拉氏变换可以有效减少信号复杂性，将其表达为一个常数。
拉氏变换可以用来解决各种复杂的数学函数，比如微分方程、偏微分方程，也有助于解决工程中的复杂问题，比如积分、极坐标变换等问题。
它对于分析瞬态过程中信号的特性有很好的帮助，这些特性在传统的时域分析中很难被合理表达。
因此，在实际工程中，应用拉氏变换处理器来分析很有必要。
综上所述，拉氏变换为我们解决复杂的函数和工程问题提供了非常有用的方法，加上单位脉冲的特殊特性，可以使得拉氏变换对它的处理更加简单，大大简化了计算过程。
拉氏变换常用公式
拉氏变换常用公式拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，用于求解线性常系数常微分方程和线性差分方程。
在控制工程、信号与系统、电路分析等领域中，拉普拉斯变换被广泛应用。
下面是拉普拉斯变换中一些常用的公式：1.输入信号：f(t)的拉普拉斯变换：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞] (e^(-st))(f(t)) dt2.单位阶跃函数u(t)的拉普拉斯变换：U(s)=L[u(t)]=1/s3.延时函数f(t-T)的拉普拉斯变换：L[f(t-T)]=e^(-Ts)F(s)4.积分操作的拉普拉斯变换：L[∫[0,t]f(τ)dτ]=1/sF(s)5.导数操作的拉普拉斯变换：L[dⁿf(t) / dtⁿ] = sⁿF(s) - sⁿ⁻¹f(0) - sⁿ⁻²f'(0) - ... - f⁽ⁿ⁻¹⁾(0)6.二阶导数操作的拉普拉斯变换：L[d²f(t) / dt²] = s²F(s) - sf(0) - f'(0)7.卷积操作的拉普拉斯变换：L[f(t)*g(t)]=F(s)G(s)8.乘法操作的拉普拉斯变换：L[f(t)g(t)]=F(s)*G(s)9.常用单位阶跃函数和冲激函数的拉普拉斯变换：(1)f(t)=u(t)的拉普拉斯变换：F(s)=L[u(t)]=1/s(2)f(t)=t^nu(t)的拉普拉斯变换：F(s)=L[t^nu(t)]=n!/s^(n+1)(3) f(t) = e^(at) u(t)的拉普拉斯变换：F(s) = L[e^(at) u(t)] = 1 / (s - a)(4) f(t) = sin(ωt) u(t)的拉普拉斯变换：F(s) = L[sin(ωt) u(t)] = ω / (s² + ω²) (5) f(t) = cos(ωt) u(t)的拉普拉斯变换：F(s) = L[cos(ωt) u(t)] = s / (s² + ω²) (6)f(t)=δ(t)的拉普拉斯变换：F(s)=L[δ(t)]=1(7) f(t) = e^(at) δ(t)的拉普拉斯变换：F(s) = L[e^(at) δ(t)] = 1 / (s - a)(8) f(t) = sin(ωt) δ(t)的拉普拉斯变换：F(s) = L[sin(ωt) δ(t)] = ω / (s² + ω²)(9) f(t) = cos(ωt) δ(t)的拉普拉斯变换：F(s) = L[cos(ωt) δ(t)] = s / (s² + ω²)拉普拉斯变换的公式非常有用，可以将时域问题转化为复频域问题，从而更容易进行分析和求解。
拉普拉斯变换
解： Q lim f (t) lim sF(s)
t 0
s
f 0 lim sF (s) s lim s s s a lim 1 s 1 a s 1
f (0)
❖ 6、终值定理
若
f t F s
则
lim f (t) lim sF (s)
t
s0
2.3 拉氏反变换
一、定义：
将象函数 F(s) 变换到与其对应的原函数 f (t)
1 2
Rt
2
t0
0
t
上式中R为常数, 表示抛物线函数信号的幅值。
R(s)
Lr(t)
R S3
4、其他常见函数
L[sin t]
s2
2
L[cos t ]
s2
s
2
L[eat ] 1 sa
L[ (t)] 1
2.2 拉氏变换的运算定理
❖ 1、线形定理(叠加+比例)
若
f1 t F1 s f2 t F2 s
0 1
t 0 t 0
F (s) L[ (t)] 1
s
1 1 s
阶跃信号
0 t 0
r(t)
r(t) R t 0
R 0
t
上式中R为常数, 表示阶跃函数信号的幅值。
阶跃函数的拉氏变换为
R(s) L[r(t)] L[R] R s
2、单位斜坡函数
0 t 0 f (t) t t 0
F (s)
s2 3s 5 A1 (s 2)(s 3) 1.5
s 1
1.5 3 2.5 s 1 s 2 s 3
A2
s2 3s 5 (s 1)(s 3)
3
s 2
故原函数为
拉氏变换定理
拉氏变换定理
拉普拉斯变换定理是应用于连续时间信号的一种数学工具，它建立了时间域信号与频域（复平面）信号之间的转换关系。
拉普拉斯变换定理是指对于一个连续时间信号f(t) 的拉普拉斯变换F(s)，它们之间存在如下关系：F(s) = ∫[0, +∞] f(t) * e^(-st) dt 其中，F(s) 表示f(t) 的拉普拉斯变换，s 是复平面上的复数变量，e^(-st) 是指数函数，* 表示卷积运算符。
拉普拉斯变换定理表明，一个信号在时间域上的函数与在频域上的函数之间存在一一对应的关系，通过进行拉普拉斯变换可以通过复平面上的复数来描述信号的频域特性。
这种频域表示方式对于信号分析、系统建模和解决差分方程等问题都具有重要的意义。
根据拉普拉斯变换定理，对于一个连续时间信号f(t)的拉普拉斯变换F(s)，可以通过应用拉普拉斯变换公式来求解。
通过利用F(s) 在复平面上的解析性质，可以分析信号的稳定性、响应特性和频率特性等，为信号处理和控制系统设计提供了便利。
信号与系统第6章拉氏变换
t
L[
f ( )d ] F(s) f 1(0)
s
s
其中：
f (1) (0)
0
f ( )d ，为常数
4、延时（时域平移）
若： L[ f (t)] F(s) ，则
L[ f (t t0)u(t t0)] est0 F(s)
5、S域平移
若： L[ f (t)] F(s) ，则
L[ f (t)eat] F(s a)
]/
ds
显然
K12
d[(s
p1)k ds
F (s)]
s p1
继续微分：
K13
1 2
d
2[(s
p1)k ds2
F (s)]
s p1
一般形式：
K1i
(i
1 1)!
d i1[(s
p1)k dsi1
F (s)]
i 1,2,,k
s p1
举例：
F (s)
s2 s(s 1)3
F(s)
K11 (s 1)3
K12 (s 1)2
如果A(s) 的阶次高于B(s) ，可以先用长除法，后用上面
的方法：
举例：
F
(s)
s3 (s
5s2 1)(s
9s 2)
7
则展开后应有：
F
(s)
s
2
(s
s3 1)(s
2)
F(s) s 2 2 1 s 1 s 2
f (t) ' (t) 2 (t) 2et e2t t 0
E(s) D(s)
为求 K1i ，上式两边同乘以(s p1)k
(s
p1)k
F
(s)
K11
K12
信号与系统第4章拉氏变换
为“象函数”。
拉普拉斯变换是t域函数f(t)与s域函数F(s)之间的变换。 f(t)与F(s)的拉普拉斯变换关系常用以下符号表示：
f (t) F(s)
机械工业出版社
7
三、定义说明
1、为什么正、反变换的原函数相差一个u(t)？ 在单边拉普拉斯正变换中，原函数可以是非因
果信号，所以在拉氏正变换中用 f(t) 表示。由于正 变换是对原函数从 t = 0−开始的积分，丢掉了原函 数中t < 0的信息，反变换只能还原t > 0的函数值， 所以在拉氏反变换式中原函数用因果函数f(t)u(t)表 示。 推论：两个t ≥0的波形相同，t < 0波形不同的原函 数，它们单边拉普拉斯变换的象函数完全相同。
0
0
令s = j，代入上式得
F1( j)
∞ -∞
f1 (t )
e- jt dt
∞ f (t) e-stdt F (s)
0
含义：求e- tf(t)u(t)的谱函数等于求f(t)u(t)的复变函数。
F1(j)的傅里叶反变换为
f1 (t )
e- t
f
(t )u(t )
1 2π
∞
-∞ F1(
j )e j t d
等式两边同乘e t，把F1(j) =F(s)，s = j，ds =jd
代入式中，得
et
f1(t)
f (t)u(t)
1 2π
∞ -∞
F1
(
j
)e(
j)t d
1 2πj
j∞ - j∞
F
(
s)est
面上的一个点。
机械工业出版社
常见信号拉氏变换
常见信号拉氏变换拉普拉斯变换是一种非常重要的数学工具，广泛应用在信号处理和控制系统中。
在这篇文章中，我们将介绍一些常见的信号及其拉普拉斯变换，并解释其在实际应用中的意义和作用。
首先，我们来了解一下拉普拉斯变换的基本概念。
拉普拉斯变换是一种积分变换，它将一个时间域上的函数转变为一个复平面上的函数。
在连续时间系统中，拉普拉斯变换可以将微分和积分方程转化为代数方程，从而简化系统的分析和求解。
在信号处理中，常见的信号类型包括连续时间信号和离散时间信号。
在连续时间信号中，最常见的信号包括单位阶跃函数、冲激函数和正弦函数等。
单位阶跃函数在时间t=0时从0跳变到1，描述了系统的开关行为，其拉普拉斯变换可以表示为1/s，其中s是复频域变量。
冲激函数表示一个瞬时的脉冲信号，其拉普拉斯变换为1，即δ(t)的拉普拉斯变换为1。
而正弦函数在时间域中以周期性振荡的形式出现，在频域中则表现为位于正负无穷处的脉冲，其拉普拉斯变换可以用1/(s^2+w^2)来表示，其中w是正弦函数的频率。
在离散时间信号中，最常见的信号是单位样值函数和指数函数等。
单位样值函数表示在t=0时为1，其它时刻为0的序列，其拉普拉斯变换可以表示为1/(1-e^-s)，其中s是离散频域变量。
指数函数在离散时间序列中以指数增长或衰减的形式出现，其拉普拉斯变换可以用1/(1-e^(-a*s))来表示，其中a是指数函数的增长或衰减系数。
拉普拉斯变换在实际应用中扮演着重要的角色。
在信号处理中，拉普拉斯变换可以帮助我们理解信号的频域特性，如频率响应和滤波器设计等。
在控制系统中，拉普拉斯变换可以将微分方程转换为代数方程，从而使系统的分析和设计更加简单和直观。
除了上述介绍的常见信号类型，还有许多其他类型的信号也可以通过拉普拉斯变换进行分析和处理。
例如，矩形波、三角波和高斯函数等都有其特殊的拉普拉斯变换表达式，它们在不同的应用中起到了重要的作用。
综上所述，拉普拉斯变换是一种非常强大的数学工具，用于信号处理和控制系统分析。
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令s= +j
f (t )e st dt F (s)
定义： F (s)
f (t )e st dt
拉普拉斯正变换
对 f(t)e- t求傅里叶反变换可推出 1 j st f (t ) F ( s ) e ds j 拉普拉斯反变换 2πj
16
e
t
u(t )
L
L
1 s 1 s 1 s j 0
1 s j 0
Re(s) Re(s)
Re(s) 0 Re(s) 0
17
e u(t )
t
L e j0t u (t )
e
j0t
u (t )
L
一般：收敛域 > 极点的实部
单边拉普拉斯变换应注意两点：
一、信号必须是单边信号，即 f (t ) 0，t 0
二、积分下限选取。为了从S域分析在0时刻包含冲 激的信号，及由S域分析系统的零输入响应，采用 0-定义 除特别指明外，积分下限简写为0，表示08
二、单边拉普拉斯变换及其存在的条件
单边拉普拉斯变换存在的条件
充要条件为：
2t
27
五、单边拉普拉斯变换的性质
5. 乘积特性
f1 (t ) F1 (s)
L L f 2 (t ) F2 (s)
Re(s) 1 Re(s) 2
1 f1 (t ) f 2 (t ) [ F1 ( s) * F2 ( s)] 2πj
L
Re(s) 1 2
cos0 t u(t )
L
s 2 s 2 0
Re(s) 0
sin 0 t u(t )
L
L
0 2 s 2 0
1 sn
Re(s) 0
Re(s) Re(s)
18
(t )
( n) (t )
L
u(t )
tu(t ) t u (t )
0
15
三、常用信号的拉普拉斯变换
4. t 的正幂函数 t n，n为正整数
n t n n 1 st L[t n u (t )] (t n )e st dt (e st ) 0 t e dt 0 s s n n1 st n n1 0 t e dt L[t u(t )] s s 根据以上推理,可得 0
0称绝对收敛坐标
10
例1 计算下列信号拉普拉斯变换的收敛域。
(1)u(t ) u(t )
收敛域为全s平面
(2)u (t )
(3)e u (t )
3t
n
0
3
书216页结论
(4)t u(t )
(5)t , e
t t2
0
不存在
|
分析：求收敛域即找出满足
或 lim f (t )e t 0
Re(s) 0
a0
1 f (at ) F (s / a) a
L
Re(s) a 0
23
五、单边拉普拉斯变换的性质
3. 时移特性
若 则
L f (t ) F (s)
Re(s) 0
L f (t t0 )u(t t0 ) est 0 F (s)
20
L
2 0 s 2 2 (s 2 0 )
五、单边拉普拉斯变换的性质
1. 线性特性
若
L f1 (t ) F1 (s)
Re(s) 1 Re(s) 2
f 2 (t ) F2 (s)
L
则
a1 f1 (t ) a2 f 2 (t ) a1F1 (s) a2 F2 (s)
t
f (t ) | e t dt C
11
的取值范围。
三、常用信号的拉普拉斯变换
1. 指数型函数 e t u(t)
1 L[e u(t )] e e dt s 1 L 同理： e t u(t ) s 1 L j0t e u (t ) s j 0
t
0
t st
0
e
( 0 j0 ) t
u (t )
L
1 s ( 0 j 0 )
0
12
三、常用信号的拉普拉斯变换
1. 指数型函数 e t u(t)
e j 0 t e j 0 t cos 0 t u (t ) u (t ) 2
n n n 1 n2 n 1 L[t u (t )] L[t u (t )] L[t u (t )] s s s n n 1 n 2 2 1 0 L[t u (t )] s s s s s
n
t u (t )
n L
n! , Re( s ) 0 n 1 s
令s j
若
1 s
( s )t e dt 0
4
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
推广到一般情况
( j )t F[ f (t )e t ] f (t )e t e jt dt f ( t ) e dt
25
五、单边拉普拉斯变换的性质
4. 卷积特性
L f1 (t ) F1 (s) L f 2 (t ) F2 (s) L
Re(s) 1 Re(s) 2
f1 (t ) * f 2 (t ) F1 (s) F2 (s)
Re(s) max( 1, 2 )
| f (t ) | e dt
t
对任意信号f(t) ，若满足上式，则 f(t)应满足
t
lim f (t )e t 0
(0)或Re（s） >
0
9
二、单边拉普拉斯变换及其存在的条件
单边拉普拉斯变换存在的条件
j 收 左半平面 敛 右半平面 S平面
0
区
0称收敛条件
6
二、单边拉普拉斯变换及其存在的条件
单边拉普拉斯变换
F (s) f (t ) est dt
1 j st f (t ) F ( s ) ds e j 2πj
单边拉斯变换更好的求解零输入和零状态响应 双边拉斯变换更好的描述系统
0
7
二、单边拉普拉斯变换及其存在的条件
f ( t ) u( t ) u( t )
て t
习：求拉氏变换 习： 1 0 f(t)
1 1 s 1 e s F ( s) e s s s
Re (s )
22
五、单边拉普拉斯变换的性质
Hale Waihona Puke 2. 展缩特性若 则L f (t ) F (s)
5
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
拉普拉斯变换符号表示及物理含义 符号表示：
F ( s) L[ f (t )]
物理意义：
f (t ) L1[ F (s)]
L f (t ) F ( s)
信号f(t)可分解成复指数est的线性组合 F(s)为单位带宽内各谐波的合成振幅，是密度函数。 s是复数称为复频率，F(s)称复频谱。
0
13
三、常用信号的拉普拉斯变换
2. 阶跃函数 u(t)
1 L[u(t )] lim L[e u(t )] 0 s
t
0或 Re(s) 0
14
三、常用信号的拉普拉斯变换
3. (t ), (t )
( n)
L[ (t )] (t )e st dt 1
Re(s) max( 1, 2 )
21
L
例：求拉氏变换 法一： 法二：
cos( 0t )u(t )
Re (s ) 0
1 j ( 0 t ) 1 j ( 0 t ) cos( 0 t )u( t ) e e 2 2
cos( 0t )u(t ) cos0t cosu(t ) sin0t sinu(t ) cos( （ 0 t t 0 ))u( t )
n
L
L
L
1 s 1 s2 n! s n 1
1 (s ) 2
Re(s) 0
Re(s) 0 Re(s) 0
te
t
u (t )
L
Re(s)
19
e e
0t
cos 0 t u (t )
L
s 0 (s 0 )
t0 0
Re(s) 0
24
s cos( 0 t )u(t ) 2 Re (s) 0 2 s 0 s cos( 0 t0 ) 0 sin( 0 t 0 ) cos( 0 (t t0 ))u(t ) 2 Re (s ) 0 2 2 2 s 0 s 0 s st 0 cos( 0 (t t0 ))u(t t0 ) 2 e Re (s ) 0 2 s 0 cos( 0 t )u(t t0 ) cos(0 (t t0 t 0 ))u(t t 0 ) cos( 0 (t t 0 ) 0 t0 )u(t t0 )
L
正弦信号
1 1 1 s ( ) 2 2 2 s j 0 s j 0 s 0
0
e j0t e j0t sin 0 t u (t ) u (t ) 2j
L
0 1 1 1 ( ) 2 2 2 j s j 0 s j 0 s 0